弹性力学双语课件第四章平面问题极坐标解答

• the angle of rotation of PB will be
=-
<pop =- PP/OP=-u/r
• rr =+=u/r-u/r
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弹性力学 第四章
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geometrical equations in rectangular
coordinates 直角坐标中的几何方程
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The corresponding displacements in plane stress problems 平面应力问题的相应位移
• ur=1/E[-(1+)A/r+2(1-)Br(lnr-1)+(1-3)Br
+2(1- )Cr]+Icos+Ksin
(4.5.16)
u=4Br/E+Hr-Isin+Kcos
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rxy=u/y+v/x中的一般规律
• 由rxy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有 两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如 u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向 （y）线段的转角。
1. u/y--x方向的位移 u 对y坐标求导为y方向线 段的转角。
r= r(r) = (r) r=0
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r= r(r) = (r) r=0
r(r)
(r)
(r)
r(r)
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Axisymmetrial stresses 轴对称应力
• r=/(rr)+2/(r22) = 2/r2 r=- (/r)[/(r)]= -1/r 2/(r)+1/r2 /
(4.5.17)
• they are usually not symmetrical about the z
axis. 位移分量一般不为轴对称.
• u=4Br/E may be multi-valued displacements.可能为位移多值项。
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The symmetrical displacements in plane
and in place of x and y respectively.
• x=[x- y]/E y=[y- x]/E
x--r
rxy=xy/G y--
(2.6.4)
• r=[r- ]/E =[ - r]/E rr=r/G
(4.2.14-16)
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4.3 stress function and compatibility equation in polar coordinates
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rr =ur/(r) +u/r-u/r
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physical equations in polar coordinates 极坐标中的物理方程
• The physical equations in the two coordinate systems must have the same form, but with r
• 由x=u/x y=v/y，得出规律：某一坐标方 向的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变 中的项。
1. x=u/x ---x方向的位移u对x坐标求导u/x 为 x方向线段的正应变 x 。
2. y=v/y ---y方向的位移 v 对y坐标求导 v/y 为y方向线段的正应变 y 。
• 将此规律应用到极坐标。则有r方向的位移ur 对r求导为r方向的正应变中的项r=ur/r。 方向的位移u对求导（再除以r以保持因次一 致），为方向的正应变中的项=u/(r)。
• Egs. (4.4.1)---(4.4.12)
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4.5 Axisymmetrial stresses and corresponding displacements轴对称应力和相应的位移
• Axisymmetrial stresses：轴对称应力： 1.the normal stress components are independent of 2.the shearing stress components vanish 3.hence the stress distribution is symmetrical with respect to any plane passing through the z axis.
极坐标中的应力函数及相容方程
• r=/(rr)+2/(r22) = 2/r2 r=- (/r)[/(r)]= -1/r 2/(r)+1/r2 /
• r+=/(rr)+2/(r22)+2/r2
• x+y= 2/y2+2/x2 r+= x+y
• /(rr)+2/(r22)+2/r2= 2/y2+2/x2
• =(PB-PB)/PB=[(r+ur)d-rd]/(rd)=ur/r
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Only the radial displacement takes place只有径向位移
• the angle of rotation of PA will be =0
• the angle of rotation of PB will be =(BBPP)/PB=[(ur+ur/d)-ur]/rd=ur/(r)
=(r)
r=/(rr) = 2/r2 r=0
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the compatibility equation and its solution 相容方程及其解
• 4 =[/(rr)+2/(r22)+2/r2 ]2 =0 (4.3.9)
=(r)
4 =[/(rr)+2/r2 ]2 =0
• P57(E) Fig. 4.2.1;P60(中)图4-2
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Only the radial displacement takes place只有径向位移
• PP=ur AA=ur+ur/ rdr BB= ur+ur/ d
• r=(PA -PA)/PA=(AA-PP)/PA=[(ur+ur/rdr)ur]/dr=ur/r
• (r-)/r---正r面面积大于负r面面积, 与通过 形心的r轴有一角度
• 2r/r---- r 作用的正r面面积大于负r面面积， r与通过形心的 轴有一角度
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4.2 geometrical and physical equations in polar coordinates极坐标中的几何物理方程
• Substituting the strains into geometrical
equations and then doing some integration, we obtain the displacements. 将应变分量代入几何 方程并积分等可得位移分量，一般不为轴对称 。
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r4’’’’+2r3 ’’’ -r2 ’’ +r’=0
• Assume r=et
• =Alnr+Br2lnr+Cr2+D
(4.5.2)
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the corresponding strains and displacements 相应的应变及位移
• Substitution of Eqs. (4.5.3)-(4.5.5) into physical Equations yields the axisymmetrical strain components. 将式 (4.5.3)-(4.5.5) 的应力代入物 理方程得应变分量，为轴对称。
• =Alnr+Br2lnr+Cr2+D
(4.5.2)
• r=/(rr)=A/r2+B(1+2lnr)+2C = 2/r2 =-A/r2+B(3+2lnr)+2C
r=0
(4.5.3) (4.5.4) (4.5.5)
• Substitution of Eqs. (4.5.3)-(4.5.5) into physical
x=u/x y=v/y
rxy=u/y+v/x
• geometrical equations in polar coordinates 极坐标中的几何方程
• r=ur/r
=ur/r +u/(r)
rr =ur/(r) +u/r-u/r
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x=u/x y=v/y中的规律
2/r2 [ /(rr) ]= /r[r-1 ’’-r-2 ’] = r-1’’’-2r-2’’+2r-3 ’
2/r2 [2 /r2 ]=d4/dr4 • r4’’’’+2r3 ’’’ -r2 ’’ +r’=0
• =Alnr+Br2lnr+Cr2+D
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(4.5.2) 24
Equations yields the axisymmetrical strain
components.
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[/(rr)+2/r2 ]2 =0
• [/(rr)+2/r2 ] [ /(rr)+2 /r2 ] =0 • /(rr) /(rr)=r-2 ’’-r-3 ’ /(rr) [2 /r2 ]=r-1’’’
stress problems 平面应力问题的轴对称位移
• ur=1/E[-(1+)A/r+2(1-)Br(lnr-1)+(1-3)Br
+2(1- )Cr]+Icos+Ksin
Chapter 4 solution of plane problems in polar coordinates
第四章 平面问题极坐标解答
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Polar coordinates 极坐标
• The position of a point P in polar coordinates is
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y
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x
r
r
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两种坐标系中的平 衡微分方程的比较
• x/x+yx/y+X=0 y/y+xy/x+Y=0 (2.2.2)
• r/r+r/(r)+(r-)/r+Kr=0 (4.1.1) /(r)+r/r+2r/r+K=0 (4.1.2)
• rr =+=ur/(r)
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Only the circumferential displacement takes place只有环向位移
• PP=u AA=u+u/ rdr BB=u+u/d
• r=0
• =(PB-PB)/PB=(BB-PP)/PB =[(u+u/d)- u ]/(rd)= u/(r)
• 2=/(rr)+2/(r22)+2/r2= 2/y2+2/x2
• 4 =[/(rr)+2/(r22)+2/r2 ]2 =0 (4.3.9)
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4.4 coordinate transformation of stress components应力分量的坐标变换式
2. v/x--y方向的位移 v 对x坐标求导为x方向线 段的转角。
• 应用这一规律于极坐标，就能方便地解释 ur/(r) +u/r为rr中的项。
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=ur/r +u/(r)
• =[2(r+a)- 2r])/ 2r=a/r
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Only the circumferential displacement takes place只有环向位移
• the angle of rotation of PA will be =(AA-PP)/
PA =[(u+u/rdr)-u ]/dr= u/r
defined by the radial coordinate r and the
angular coordinate .
一点P的极坐标用径向坐标r和角坐标表示
P (r, )
• displacements:位移： ur u
• strains:应变:
r rr
• stresses: 应力：
r r
• body force:体力: Kr K