河北衡水中学2019高三第五次调研考试--数学理
衡水中学2019届高三上学期第五次调研数学文科试题及答案解析
衡水中学2019届高三上学期五调考试数学文科试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.已知，，则（ ）A. B. C. D.2.满足（是虚数单位）的复数（ ）A. B. C. D.3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为，（其中），则A. B. C. D.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（ ）A. B. C. D.8.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为()A. B. C. D.9.在等腰直角三角形中，，点为所在平面上一动点，且满足,求的取值范围A. B. C. D.10.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D.11.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与圆交于、两点.若，则直线的斜率为A. B. C. D.12.已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出____________________人．14.中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于__________．15.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．16.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_____.①存在点，使得//平面；②对于任意的点，平面平面；③存在点，使得平面；④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为．求的值；中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．18.等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）记,求数列的前项和．19.如图，三棱柱中，平面，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛.（1）求选出的2名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.21.已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同两点，，且，若点满足，求的值．22.已知函数，其中．(1)试讨论函数的单调性；(2)若，且函数有两个零点，求实数的最小值．【解析卷】衡水中学2019届高三上学期五调考试数学文科试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.已知，，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合B对应不等式的解集，然后求其与集合A的交集即可.【详解】因为,又，所以.故选A.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型.2.满足（是虚数单位）的复数（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将原式子变形为，再由复数的除法运算得到结果.【详解】∵，∴，即，故选A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有：z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2详解：：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=-8，∴a2=-6．故选D.点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（ ）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为，（其中），则A. B. C. D.【答案】C【分析】根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，可知角中终边上一点的坐标为且，则，所以，又由，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义，求得的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.【答案】A【分析】作OA⊥于点A，于点B，可得，，，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥于点A，于点B，∵与圆相切，∴，，又点M在双曲线上，∴整理，得，∴∴双曲线的渐近线方程为故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（ ）A. B. C. D.【答案】C【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，在△A2BM中，，，．故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．9.在等腰直角三角形中，，点为所在平面上一动点，且满足,求的取值范围A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P的坐标，从而求出的取值范围．【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则A（0，2），B（2，0），C（0，0），由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，设P（2+ θ， θ），θ∈[0，2π）；则=（ θ， θ），又+=（2，2）；∴•（+）=2 θ+2 θ=2sin（θ+），当θ+=，即θ=时，•（+）取得最大值2，当θ+=，即θ=时，•（+）取得最小值﹣2，∴•（+）的取值范围是[﹣2，2]．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，因为AB＝AD＝1，BD＝由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形所以DE为球体的半径故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R的方程.11.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与圆交于、两点.若，则直线的斜率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是为圆的直径，所以．设直线，将其代入抛物线方程消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据弦长公式可得，于是得到．【详解】由题设可得圆的方程为，故圆心为，为抛物线的焦点，所以所以．设直线,代入得，设直线l与抛物线C的交点坐标为，则，则，所以，解得．故选C．【点睛】（1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力．(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为，其中表示直线的斜率，是直线和椭圆的方程组消去化简后得到的二次方程中的系数，是的判别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为．12.已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数恰有2个零点转化为两函数与有两不同交点，作出函数图像即可求出结果.【详解】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出____________________人．【答案】25【解析】【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出段的频率，结合样本容量即可求出结果.【详解】由题意，月收入在（元）段的频率为，所以月收入在（元）段应抽出的人数是.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.14.中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.【详解】化解得：即：A=B又解得：a=b=【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴在上单调递增，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则，故，故答案为.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数的最小值.16.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_____.①存在点，使得//平面；②对于任意的点，平面平面；③存在点，使得平面；④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．【答案】②④【解析】①为棱上的中点时，此时也为棱上的中点，此时；满足//平面，∴①正确．②平面，∴不可能存在点，使得平面，∴②错误．③连结则平面，而平面，∴平面平面，成立，∴③正确．④四棱锥B1-BED1F的体积等于，设正方体的棱长为1，∵无论，在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变．三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变．∴三棱锥和三棱锥体积为定值，即四棱锥的体积等于为定值，∴④正确．故答案为：①③④三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为．求的值；中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．【答案】(1)(2)3【解析】【分析】（1）化简π，根据函数的最小正周期ππ即可求出的值2）由（1）知，π.由π，求得π，再根据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.【详解】（1）π故函数的最小正周期ππ，解得.（2）由（1）知，π.由π，得πππ（）.所以ππ（）.又π ，所以π.的面积π，解得.由余弦定理可得π，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．18.等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）记,求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件得a3=5，a5=9，由此求出a n=a5+（n-5）d=2n-1；由，推导出{b n}是等比数列，，，由此求出．（2）由（1）知，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n【详解】（1）∵是方程的两根，且数列的公差，∴，公差∴又当时，有1－当∴数列是等比数列，∴（2）由（1）知∴T n＝，①，②①-②，得即【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19.如图，三棱柱中，平面，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)先证平面,可得，再由四边形为正方形可得，从而可得平面，进而可得；(2)由平面可得是直线与平面所成的角，利用勾股定理求出OA,OB,即可得出.【详解】证明（1）平面，平面，又，即，，平面，平面，.，四边形为正方形，，又，平面，又平面，.（2）设，连接.由（1）得平面，是直线与平面所成的角.设，则，，，在中，，直线与平面所成角的正切值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型.20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛.（1）求选出的2名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值；(2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果.【详解】（1）设来自甲旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，来自乙旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：，，，，；；；；共15种，其中选出的2名都是高级导游的有，，，共3种所以选出的2人都是高级导游的概率为.（2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），则且 2 ，则，属于几何概型问题作图，由图可知，，所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型.21.已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同两点，，且，若点满足，求的值．【答案】（1）；（2）的值为或．【解析】【分析】（1）由已知求得，又由，由此能求出椭圆的方程；（2）由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合已知，即可求出的值．【详解】（1）由已知，得，又，∴，∴椭圆的方程为．（2）由得①∵直线与椭圆交于不同两点、，∴，得，设，，∴．又由，得，解得．据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点，设的中点为，则，，当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．当时，，∴此时，线段中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22.已知函数，其中．(1)试讨论函数的单调性；(2)若，且函数有两个零点，求实数的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】⑴求出，分别讨论的范围，求出单调性⑵等价于有两个零点，结合⑴中的结果求导后判定函数的单调性，研究零点问题【详解】(1) ，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，若，则，若，则所以函数在上单调递减，在上单调递增；综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；(2) 函数有两个零点等价于有两个零点.由(1)可知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意。
2019届河北省衡水中学高三终极押题第五次考试数学(理)试题
2019届河北省衡水中学高三终极押题第五次考试数学（理科）试卷 ★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知全集{04}U x N x =∈≤≤，集合，，则=（ ）A ．{0，4}B ．{0，1，4}C ． {1，4}D ．{0，1}2．若i 为虚数单位，复数z 满足：(1)z i i +=，则（ ）A ．2B ．1C ．D ．23．向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数( )A ．B ．C ．D ．4．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．C ．D ．5．如图的折线图是某公司2018年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（ ）A ．15 B ．25 C ．35 D ．456．已知tan 2,(0,)a απ=∈，则sin 2cos()2απα=+ （ ）AB．CD．7、已知函数133,(1),()log ,(1),x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数(1)y f x =-的大致图象是( )8．右图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（） A ．12B ．15C ．403D ．5039．执行如图所示的程序框图，若输入0,2m n ==，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为（ ）A ．1m n -<B ．0.5m n -<C ．0.2m n -<D ．0.1m n -< 10．已知O 为坐标原点，抛物线2:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为4，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则OP AP +的最小值为（ ） A ．B ．8C ．D ．11、将函数πsin(2)6y x =+的图象向右平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图象.若12()()4g x g x =，且1x ，2[2π,2π]x ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A ．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π212.已知A ，B ，C ，D 四点均在以点1O 为球心的球面上，且AB AC AD ===，BDCBC BD ==8=CD .若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 直径的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．8(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数是_______．14.设函数x ax x x f 23ln )(2-+=，若1=x 是函数)(x f 是极大值点，则函数)(x f 的极小值为________15．若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤24kx y x x y 所表示的平面区域为Ω，若A （1，-2），B （3，0），C （2，-3）中有且仅有两个点在平面区域Ω内，则实数k 的取值范围是 。
2019年河北衡水中学高三上学期第五次调研考试数学(文)试卷(含答案)
高考数学精品复习资料2019.520xx ～20xx 学年度上学期五调考试 高三年级数学（文科）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．设i 是虚数单位，则复数i－1＋i的虚部是( )A.i 2 B ．－12 C.12 D ．－i 22.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题C.命题)(q p ⌝∧是真命题D.命题)(q p ⌝∨是假命题 3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）,该几何体的体积为（ ）3m ． A ．37B ．29C ．27D.494．以下四个命题：其中真命题为( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测， 这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程yˆ＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握 程度越大．A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 5．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入( ) A ．K ＜10? B ．K ≤10? C ．K ＜9? D ．K ≤11? 6.已知12+=x y 则2cos()3πα+等于（ ） A.45-B.35-C.45D.357. 已知菱形ABCD 的边长为4，0051ABC =∠，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ）A. 81π-B. 61π-C. 8πD.6π 8. 已知双曲线C 1：12222=-by a x (a >0，b >0)的焦距是实轴长的2倍.若抛物线C 2：py x 22=(p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为（ ） A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8y D ．x 2＝16y 9. 已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)．我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 叫做“优数”，则在区间(1,2004)内的所有优数的和为( ) A ．1024B ．2003C ．2026D ．204810. 能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的 “和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是（ ） A ．3()4f x x x =+ B ．5()15x f x nx -=+ C ．()tan 2x f x = D ．()x xf x e e -=+ 11.已知向量a ，b ，c 满足||||2a b a b ==⋅=，()(2)0a c b c -⋅-=，则||b c -的最小值为（ ）A．12- B．2 C．2 D．212．已知函数32()1()32x mx m n x f x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，点),(n m P 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,3]（B. 1,3（）C. [3+∞，）D. 3+∞（，）第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（每小题5分，共20分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置） 13.如图是甲、乙两名篮球运动员20xx 年赛季每场比赛得分的 茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和为 . 14.在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =则ABC ∆的面积S 的最大值为 ．15.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ． 16.已知数列}{n a 满足)2()1(,21111≥-=-=--n n n aa a a a n n n n ，则该数列的通项公式=n a _________． 三、解答题（共70分。
2019年河北衡水中学高三上学期第五次调研考试数学(理)试卷(含答案)
高考数学精品复习资料2019.520xx —20xx 学年度第一学期高三年级五调考试数学（理）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 设i 是虚数单位，则复数i－1＋i的虚部是( )A. －i 2 B ．－12 C.12 D ．i 22.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）, 则该几何体的体积为（ ）3m ． A ．37B.29C ．27D.494．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测， 这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率 为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握 程度越大．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5. 已知等比数列{n a }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{n a }的前8项和为( )A ．127B ．255C ．511D ．10236．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入( ) A ．K ＜10? B ．K ≤10? C ．K <9? D ．K ≤11? 7.已知43sin()sin 0,352ππααα++=--<<则2cos()3πα+等于（ ） A.45-B.35-C.45D.358.已知菱形ABCD 的边长为4，0051ABC =∠，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ） A.4π B. 41π- C. 8π D. 81π-9.函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解,则a 的取值范围是 （ ）A.(1,2)B.)2,23()23,1(Y C.3[,2)2 D. 3(1,)210.已知向量a ，b ，c 满足||||2a b a b ==⋅=，()(2)0a c b c -⋅-=，则||b c -的最小值为（ ）A ．732B ．312C ．32D ．7211.已知双曲线12222=-b y a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确定 12．数列{}n a 共有12项，其中10a =，52a =，125a =，且11,1,2,3,11k k a a k +-==⋅⋅⋅，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ）A.84B.168C.76D.152第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（每小题5分，共20分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++L 的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++L =14.已知f (x )是R 上的减函数，A (3，-1)，B (0，1)是其图象上两个点，则不等式|(1ln )|1f x +< 的解集是__________15.已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=16.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．三、解答题（共70分.解答应写在答题纸的相应位置，并写出必要的文字说明、推理过程） 17. （本小题满分12分）已知圆O 的半径为R (R 为常数),它的内接三角形ABC 满足B b aC A R sin )2()sin (sin 222-=-成立,其中c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边,求三角形ABC 面积S 的最大值.18.（本小题满分12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。
2019届河北省衡水市高三下学期五月大联考数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水市高三下学期五月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|1M x x =≥，()122|2N x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，则集合M N =I （ ）A ．φB ．(2,)+∞C ．[2,)+∞D ．[1,2]【答案】C【解析】求出函数()1222y x x=-的定义域，表示出集合N ，得出M N ⋂.【详解】{0N x x =≤Q 或}2x ≥，[)2,M N ∴=+∞I .故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的表示，集合的运算，属于基础题.解此题要理解集合N 表示函数()1222y x x =-的定义域.2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足：(1)23i z i -=-，则z 的虚部为（ ） A ．12-B ．2i -C ．12D ．52【答案】A【解析】通过运算得出5122z i =-，从而判定出的z 的虚部. 【详解】23(23)(1)12i i i z i --+==-5122i =-，故z 的虚部为12-. 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.对复数的实部，虚部的正确理解是判断答案的关键.3．已知抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点F 在直线:4l x y +=上，则点F 到C 的准线的距离为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】由抛物线的方程判断出焦点在y 轴上，所以由直线方程求出焦点坐标()0,4，得到8p =，进而求出点F 到C 的准线的距离. 【详解】在方程4x y +=中，令0x =，得4y =，即42p=，8p ∴=，则点F 到C 的准线的距离是8p =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.4．如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比），则下列说法错误的是（ ）A ．2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B ．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C ．2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D ．2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减 【答案】D【解析】结合统计图表，对答案选项逐一判断即可.由图易知A ，B 正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C 正确；2018年1月至5月的同比数据均为正数，故2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查统计图表的识别和判断，考查学生抽象概括能力和推理论证能力，属于基础题.5．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．C ．16D ．20【答案】D【解析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC u u u r 的坐标，则2AC u u u r 可求.【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--u u u r u u u r ，(2,2)CA m =-u u u r， (4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 又BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-u u u r，241620AC ∴=+=u u u r .故选：D. 【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题.6．已知函数()()3212x x a f x f '=-+-，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为（ ）A ．20x y -=B ．0y =C ．10160x y --=D ．20x y -+=【答案】C【解析】先求出()f x '，代入1x =算出()1f '，再由奇函数的性质得出()00f =，从而求得a 的值；然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线的方程. 【详解】()()2321f x x f ''=-，()()1321f f ''∴=-，即()11f '=，即()322x x a f x =-+-.又()f x 为奇函数，2a ∴=.()32x x f x =∴-，()232f x x '=-.(2)4f ∴=，(2)10f '=.由点斜式得曲线()y f x =在点(2,4)处的切线方程为10160x y --=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数的计算，函数的奇偶性，属于中档题. 曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线方程的方法： （1）求出()0f x '，则切线的斜率()0k f x '=；（2）直线的点斜式写出切线方程为：()()()000y f x f x x x '-=⋅-. 7．函数()f x 的图象可看作是将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）而得到的，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()12cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】由三角函数的图象变换规律得()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由诱导公式得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【详解】将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到函数2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，而2cos 22sin 22sin 26623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，诱导公式，属于基础题.由函数sin y x =的图象通过变换得到()sin y A ωx φ=+的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.8．设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】由()tan2xf x =得出()f x 在(),ππ-上单调递增，再由换底公式与对数函数，指数函数的单调性判断出0.2530log 2log 22π<<<<，从而得出b a c <<.【详解】()tan 2x f x =的最小正周期212T ππ==，与正切函数tan y x =类比可知，()f x 在(),ππ-上单调递增，321log 21log 3=<，521log 21log 5=<， 由221log 3log 5<<，得351log 2log 20>>>，而0.20221>=，且0.2122π<<， 于是得0.2530log 2log 22<<<，所以()()()0.253log 2log 22f f f <<，即b a c <<.故选：D. 【点睛】本题主要考查了正切函数，指数函数，对数函数的单调性以及换底公式，考查了学生推理能力与计算能力，属于中档题.9．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A ．6 B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】按入住a 宾馆的代表团的个数分类讨论. 【详解】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数，如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12326C A =安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B. 【点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．3πB 3πC ．6πD ．12π【答案】A【解析】由三视图知，该几何体是一个正方体截去一角所得的几何体（如图），再由正方体的性质，计算出它的外接球的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一棱长为1的正方体截去一角所得的几何体1111ABD A B C D -（如图所示），故其外接球即为该正方体的外接球，球的一条直径为13BD =，所以所求外接球的表面积2343S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题主要考查几何体的三视图与球的表面积计算，属于基础题.11．已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1xC y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3C 5D ．5【答案】C【解析】由题意得：直线OD 垂直平分2MF ，设点(),M m n ，()2,0F c ，则,22m c n D +⎛⎫⎪⎝⎭，可得方程组：122na m c n m c a ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⋅⎪⎩，求得212,a a M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，将2222,a c a M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线方程得()2222222241a c a a c c --=，化简可得：5e =【详解】不妨设点M 在第二象限，设(,)M m n ，2(,0)F c ，由D 为2MF 的中点，O 、I 、D 三点共线知直线OD 垂直平分2MF ，则:1OD y x a=， 故有n a m c =--，且1122m c n a +⋅=⋅，解得21a m c-=，2n a c =， 将212,a a M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2222,a c a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2222222241a c a a c c--=，化简可得225c a =，即e =M 在第三象限时，同理可得e =故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线OD 垂直平分2MF ，并用a c ，表示出点M 的坐标是解决此题的难点，属于中档题. 12．当x 为实数时，trunc()x 表示不超过x 的最大整数，如trunc(3.1)3=.已知函数()trunc()f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，且[0,3]x ∈时()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的实根的个数为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】由题意分析得到：()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，且()g x 是周期为4的周期函数，正确作出()()f x g x ，的图象，将方程()()f x g x =的实根的个数问题转化为函数()()f x g x ，的图象交点个数问题，观察图象即得结果. 【详解】由()(6)g x g x =-，(1)(1)g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，且()(6)(2)g x g x g x =-=-，令2t x =-，则()(4)g t g t =+，即()g x 为周期函数，且最小正周期为4.对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =；当[1,2)x ∈时，()1f x =；当[2,3)x ∈时，()2f x =；当[3,4)x ∈时，()3f x =；当[4,5)x ∈时，()4f x =；…；当[1,0)x ∈-时，()1f x =；当[2,1)x ∈--时，()2f x =；当[3,2)x ∈--时，()3f x =；当[4,3)x ∈--时，()4f x =；当[5,4)x ∈--时，()5f x =；….结合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()f x 与函数()g x 共有6个交点，即方程()()g x f x =的根的个数为6. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的图象应用，函数的性质，属于中档题.方程的根的个数问题转化为两个函数的图象交点个数问题，利用数形结合求解是常用方法.二、填空题13．若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 【答案】23【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得320r n -=，从而得到rn的值. 【详解】解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为 .321(1)2n r r r r n nC x ⋅--⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，再根据它为常数项，可得320r n -=，求得23r n=， 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.14．已知实数,x y 满足4041010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则11y z x +=+的最大值是________.【答案】2【解析】首先作出可行域，11y z x +=+表示可行域内的点(,)M x y 与定点(1,1)--P 连线斜率k 的值，故结合图形可求出结果. 【详解】作出可行域，如图所示：11y z x +=+表示可行域内的点(,)M x y 与定点(1,1)--P 连线斜率k 的值，由图可知k 均为正数，故要求z 的最大值，只需求k 的最大值， 显然当直线PM 过点()1,3A 时，k 最大，且max 31211k +==+，所以z 的最大值为2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查的是非线性目标函数的最值的求解.解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，确定目标函数的几何意义. 常见的三类目标函数：（1）截距型：形如z ax by =+；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-； （3）斜率型：形如y bz x a-=-. 15．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)()(]2sin ,2,0211,0,2xx f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.【答案】243ππ+【解析】阴影区域在(0,2]上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数()f x 在[2,0)-上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积. 【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆，底面积12S S =圆0022124sin cos |2222x x dx ππππππ---=+=+⎰，所以该柱体的 体积为424632ππππ⎛⎫+⨯=+⎪⎝⎭.故答案为：243ππ+.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.16．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin sin sin sin b C a A b B c C +=+，24c b +=，点D 在线段BC 上，且2BD DC =，则AD 的最小值为________.【答案】23【解析】由正弦定理化边得：222bc a b c +=+，再由余弦定理求出角A ,由条件2BD DC =得：1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，两边平方得到222144cos 999AD c b bc A =++u u u r ，结合条件24c b +=，利用基本不等式求解即可.【详解】由正弦定理得222bc a b c +=+，2221cos 22b c a A bc +-∴==.又(0,)A π∈，3A π∴=， 由2BD DC =，得2BD DC =u u u ru u u r，1233AD AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r，两边平方得222144cos 999AD c b bc A =++u u u r 22142999c b bc =++212(2)99c b bc=+-()22112429923b c c b +⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭，当且仅当22c b ==时取等号.即min 23AD =. 故答案为：233【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式求解最值，属于中档题.将2BD DC =转化为1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r是解决此题的一个关键技巧.三、解答题 17．已知数列中，，且.（1）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）当时，求数列的前2020项和.【答案】（1）①时，不是等比数列；②时，是等比数列；（2）. 【解析】（1）将递推公式变形为，则当时，首项为零，不是等比数列；当时，数列是等比数列.（2）先求出的通项，然后利用分组求和法、并项求和法以及公式法即可求出. 【详解】 （1），，∴①当时，，故数列不是等比数列；②当时，数列是等比数列，其首项为，公比为3.（2）由(1)且当时有：，即，，.【点睛】本题主要考查了等比数列证明、数列前项和的求解，属于中档题. 对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等比中项法：证得即可.18．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)64【解析】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE ，由题意可得四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥，再由点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ，求得CD ，同理求得1DB ，得1DB CD =，可得1B C DE ⊥，由线面垂直的判定可得；（2）取BC 的中点O ，连接AO ，可得AO ⊥BC ，由正棱柱的性质可得AO ⊥平面11BCC B ，以O 为坐标原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD 与平面1BC D 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1C BD C --的平面角的余弦值.【详解】(1)设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE .∵多面体11ABC DB C -是正三棱柱沿平面11DB C 切除部分所得，12BC CC ==， ∴四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥. ∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ， ∴225CD CA AD +=同理()22115DB BB AD AB =-+=∴1DB CD =. ∵E 为1B C 的中点， ∴1B C DE ⊥.又∵11B C BC ⊥，1BC DE E =I ，∴1B C ⊥平面1BC D ；(2)取BC 的中点O ，连接AO . ∵ABC V 为正三角形，AO BC ∴⊥.由正棱柱的性质可得，平面ABC ⊥平面11BCC B ， 且平面ABC I 平面11BCC B BC =， ∴AO ⊥平面11BCC B .以点O 为原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Oxyz .则()1,0,0B ，()11,2,0B ，()1,0,0C -，(3D ，(3CD ∴=u u u r ，(3BD =-u u u r ，()12,2,0B C =--u u u r.设平面CBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则3030n BD x y z n CD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ， 令1z =，得0x =，3y =()0,3,1n =-r.由（1）可知，平面1BC D 的一个法向量为()12,2,0B C =--u u u r.()()10232106cos ,1344n B C ⨯-+⨯-+⨯∴==+⨯+r u u u r ，又∵二面角1C BD C --的平面角为锐角， ∴二面角1C BD C --6【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题.19．某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：[4,5)，[5,6)，[6,7)，[7,8)，[8,9)，[9,10]，统计结果如下表所示：以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间[5,7)内的天数不少于2的概率；（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润Z 服从正态分布()2,1.44N μ，其中，μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）.①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)内的天数（精确到个位）；②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案： 方案一：直接发放奖金，日纯利润低于μ时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于μ时每名员工发放奖金90元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于μ时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于μ时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）1316；（2）①819；②奖励方案二. 【解析】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间[)5,7内的频率为12，基于“用样本频率估计总体分布的概率”的思想，可知日纯利润在区间[)5,7内的频率为12，记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X ，则1~5,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，基于二项分布的性质即可求解；（2）①基于正态分布的3σ原则及其性质即可求解；②首先计算方案一的数学期望，其次针对方案二，列出随机变量Q 的分布列，计算出方案二的数学期望，比较两方案的结果，判断出选择方案二更有利. 【详解】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间[)5,7内的频率为203011002+=， 记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X ，则1~5,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴所求的概率(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=01555511131C C 2216=--=. （2）①1(4.55 5.520 6.5307.5100x =⨯+⨯+⨯+⨯308.5109.55) 6.85+⨯+⨯=，6.85μ∴=.又 1.44σ=，(3.978.29)(6.85 2.88 6.85 1. 44)P Z P Z ∴<<=-<<+(2)P Z μσμσ=-<<+1()[(22)2P Z P Z μσμσμσμσ=-<<++-<<+()]P Z μσμσ--<<+0.8186=.故该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)的天数为10000.8186819⨯≈. ②易知1()()2P Z P Z μμ<=≥=. 对于奖励方案一：设小张每日奖金金额为Y ，则Y 的可能取值为70，90，其对应的概率均为12，故1()(7090)802E Y =⨯+=. 对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为Q ，则Q 的所有可能取值为50，100，150，200.121(50)233P Q ==⨯=； 111227(100)2323318P Q ==⨯+⨯⨯=；121122(150)C 2339P Q ==⨯⨯⨯=； 1111(200)23318P Q ==⨯⨯=.Q ∴的分布列为17()50100318E Q ∴=⨯+⨯21150200100918+⨯+⨯=.()()E Q E Y >Q ，∴从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利.【点睛】本题主要考查了事件的概率，正态分布以及分布列计算的相关相识，考查了学生的数据分析能力和应用数学解决实际问题的能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>C 的左焦点和上顶点的直线与圆223:4O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P -的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点O '与原点O 关于直线l 对称，试求四边形OAO B '的面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2 【解析】（1）由题得：过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1x yc b+=-，又由该=c a = （2）由题得直线l 的斜率k 一定存在，可设直线:2l y kx =-，代入椭圆方程，消元化简得：()221416120k x kx +-+=，由弦长公式求得||AB =，再求出点O到直线AB 的距离d =2||14OAO BS d AB k'=⋅=+四边形，最后求出四边形OAO B '的面积的最大值. 【详解】（1）过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1x yc b+=-，即0bx cy bc -+=，又该直线与圆O 相切，bc a ==，又离心率c e a ==1b ∴=， 222213114b e a a ∴=-=-=，24a ∴=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由点O '与原点O 关于直线l 对称，得2OAB OAO B S S '=△四边形. 当直线l 的斜率不存在时，l x ⊥轴，四边形OAO B '不存在，不合题意.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线:2l y kx =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，即234k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，从而12AB x =-==， 又点O 到直线AB 的距离d =，2OABOAO B S S '∴==△四边形2||14d AB k⋅=+，t =，则0t >，288244OAO B t S t t t'==≤++四边形，当且仅当2t =，即k =>0∆， ∴四边形OAO B '的面积的最大值为2.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，求椭圆的面积的最值等问题，运用了弦长公式，点到直线的距离公式，属于难题；同时考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.21．已知函数f(x)＝mx-lnx-1（m为常数）．（1）若函数f(x)恰有1个零点，求实数m的取值范围；（2）若不等式mx-e x≤f(x)+a对正数x恒成立，求实数a的最小整数值．【答案】（1）{m|m≤0或m=1}（2）实数a的最小整数值为-1【解析】（1）首先写出f（x）的定义域，函数f（x）恰有1个零点⇔方程f（x）=0仅有一个正实数解，由f（x）=0，得1lnxmx+=，设g（x）1lnxx+，然后求导，找出g（x）的最值，结合图象求出m的范围；（2）mx-e x≤f（x）+a⇔lnx-e x≤a-1．设h（x）=lnx-e x，求导判断h（x）的单调区间，利用单调性求出a的最值即可．【详解】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），函数f（x）恰有1个零点⇔方程f（x）=0仅有一个正实数解，由f（x）=0，得1lnxmx+ =，设g（x）1lnxx+=，则()2lnxg xx-='，令g′（x）＞0．得0＜x＜1，令g′（x）＜0，得x＞1，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）在x=1处取得唯一的极大值，即为最大值，故g（x）的最大值为g（1）=1．当x趋近于0时，lnx+1趋近于-∞，所以g（x）为负数，当x趋近于+∞时，x的增长速度大于lnx+1的增长速度，且当x＞1时10 lnxx+＞，故g（x）趋近于0，由图可知，当m≤0或者m=1时，方程m=g（x）仅有一个实数解，∴m的取值范围为{m|m≤0或m=1}；（2）∵mx-e x≤f（x）+a，∴lnx -e x ≤a -1，设h （x ）=lnx -e x ，∴()1x h x e x ='- 又∵()1x h x e x ='-在（0，+∞）上为减函数，h ′（1）=1-e ＜0，1202h e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'＞， ∴()1x h x e x ='-存在唯一的零点0112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， 此时h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，+∞）上单调递减，且()0001x h x e x -'==0， ∴001x e x =，x 0=-lnx 0， 由单调性知()000()x max h x h x lnx e ==-=-（x 0+01x ）， 又0112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故005122x x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭＜＜， ∴mx -e x ≤f （x ）+a 对任意正数x 恒成立时，a -1≥-2，∴a ≥-1，∴实数a 的最小整数值为-1．【点睛】本题考查了函数的求导，利用导数求单调区间，求最值，还涉及到函数的零点等知识，内容丰富，综合性强，较难解决．22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0)απ≤<），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）若0α=，求直线l 被圆C 所截得的弦长；（2）设(1,0)P ，且直线l 与圆C 交于,A B 两点，若1PA PB -=，求角α的大小.【答案】（1）4；（2）3πα=或23π 【解析】（1）将圆的极坐标方程，直线的参数方程都化为直角坐标方程，即可求得结果；（2）直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中，利用直线参数方程中t 的几何意义进行求解.【详解】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.当0α=时，直线l 的方程为0y =，恰好经过圆C 的圆心，故直线l 被圆C 所截得的弦为圆C 的直径，其长为4.（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2240x y x +-=，得22cos 30t t α--=，24cos 120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，123t t ⋅=-，12,t t 异号， 12PA PB t t ∴-=-122cos 1t t α=+==，所以1cos 2α=±， 又0απ≤<，所以3πα=或23π. 【点睛】 本题主要考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，体现了转化与化归的数学思想，同时考查了直线参数方程中参数的几何意义，体现了参数方程解题的优势. 23．已知函数()211f x x x =--+．（1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析.【解析】（1）利用零点分段讨论方法可解不等式()4f x ≤.（2）利用绝对值不等式可求m ，再利用基本不等式求出41a b+的最小值后可证341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 【详解】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+=当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立， ∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭． 【点睛】（1）绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。
2018-2019学年度衡水中学高三第五次诊断考试数学(理)试题含答案
2018-2019学年度衡水中学高三第五次诊断考试数学（理科）试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1复数，则 （ ）A ．Z 的虚部为-1B ． Z 的实部为1C ． Z =2D ． Z 的共轭复数为1+i2．已知集合{}3A x x =≤，集合{()}B lg ,x y a x x N ==-∈且，若集合}{A B 0,1,2⋂=,则实数a 的取值范围是A ． []2,4B ．[)2,4C ．(]2,3D ．[]2,3（ ） 3．“4m =”是“直线()+3430m x m y -+=与直线230x m y++=平行”的 （ ）A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件4．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数1()()2g x f x =的定义域为（ ）A ． []0,3B ． []0,2C ． []1,2D ． []1,35．执行如下所示的程序框图，如果输入[]1,2t ∈-，则输出的属于 （ ）第5题图 第6题图 第9题图 A ． []1,4 B ． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ． 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （ ） A ．12 B ． 13 C ． 14 D ．157．若点(),2x kx -满足不等式组104x x y x y ≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则k 的取值范围为 （ ）A ．(][),12,-∞-⋃+∞B ． []1,2-C ． (][),72,-∞-⋃+∞D ． []7,2- 8．将函数2()2cos 16g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，向右平移4π个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()f x ，则下列说法正确的是（ ）A ． 函数()f x 的最小正周期为2πB ． 函数()f x 在区间75,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ． 函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为D ．3x π=是函数()f x 的一条对称轴9．如图，在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是 （ ）A ． 异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ． 直线CD 和平面1BPC 平行 C ． 三棱锥1D BPC -的体积为定值 D ． 直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值10．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且20191lg lg0a a+=，22()1f x x=+，则122019()()+()f a f a f a +=（ ）A ． 2018B ． 4036C ．2019D ．403811．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足4a =，sin cos a B A =，则ABC∆面积的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．412．已知{}()0M f αα==，{}()0N g ββ==，若存在M α∈，N β∈，使得-n αβ<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数” ，若2()31x f x -=-与2()x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为（ ） A ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题（每小题5分，共20分）13．在直角梯形ABCD 中，AD BC ，090ABC ∠=，4AB BC ==，2AD =，则向量BD 在向量AC 上的投影为_______.14．已知向量a 与b 的夹角是3π，且1,2a b ==，若)b a λ+⊥，则实数λ=__________．15．甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张。
2019届河北省衡水中学高三上学期五调考试数学(文)试卷及解析
2019届衡水中学高三上学期五调考试数学（文）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合B对应不等式的解集，然后求其与集合A的交集即可.【详解】因为,又，所以.故选A.2.满足（是虚数单位）的复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将原式子变形为，再由复数的除法运算得到结果.【详解】∵，∴，即，故选A.3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列{an }的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a 2详解：：∵等差数列{an }的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=-8，∴a2=-6．故选D.4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则A. B.。
河北省衡水市2019届高三五月大联考理数试卷(5页)
河北省衡水市2019届高三五月大联考理数试卷理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1M x x =≥，()122|2N x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，则集合M N =I （ ） A. φ B. (2,)+∞ C. [2,)+∞ D. [1,2]2.已知i 为虚数单位，且复数z 满足：(1)23i z i -=-，则z 的虚部为（ ） A. 12-B. 2i -C.12D.523.已知抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点F 在直线:4l x y +=上，则点F 到C 的准线的距离为（ ）A. 2B. 4C. 8D. 164.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比），则下列说法错误的是（ ）A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5.已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A. 6B. C. 16D. 206.已知函数()()3212x x a f x f '=-+-，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为（ ） A. 20x y -=B. 0y =C. 10160x y --=D. 20x y -+=7.函数()f x 的图象可看作是将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）而得到的，则函数()f x 的解析式为（ ） A. ()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()12cos 26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A. 6B. 12C. 16D. 1810.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 3πB.C. 6πD. 12π11.已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1xC y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B. 3C.D. 512.当x 为实数时，trunc()x 表示不超过x 的最大整数，如trunc(3.1)3=.已知函数()trunc()f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，且[0,3]x ∈时()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的实根的个数为（ ） A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______.14.已知实数,x y 满足4041010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则11y z x +=+的最大值是________. 15.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)(]sin ,2,020,2xx f x x π⎧∈-⎪=∈的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.16.在ABC V 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，sin sin sin sin b C a A b B c C +=+，24c b +=，点D在线段BC 上，且2BD DC =，则AD 的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，1a m =，且()*1321,n n n n a a n b a n n N +=+-=+∈.（1）判断数列{}n b 否为等比数列，并说明理由；（2）当2m =时，求数列{}(1)nn a -的前2020项和2020S .18.如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值.19.某大型超市抽查了100天该超市日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：[4,5)，[5,6)，[6,7)，[7,8)，[8,9)，[9,10]，统计结果如下表所示：以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间[5,7)内的天数不少于2的概率； （2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润Z 服从正态分布()2,1.44N μ，其中，μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）.①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)内的天数（精确到个位）； ②该大型超市负责人根据每日纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：方案一：直接发放奖金，日纯利润低于μ时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于μ时每名员工发放奖金90元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于μ时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于μ时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？ 参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.20.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>C 的左焦点和上顶点的直线与圆223:4O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P -的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点O '与原点O 关于直线l 对称，试求四边形OAO B '的面积的最大值.21.已知函数f (x )＝mx -lnx -1（m 为常数）． （1）若函数f (x )恰有1个零点，求实数m 的取值范围；（2）若不等式mx -e x ≤f (x )+a 对正数x 恒成立，求实数a 的最小整数值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0)απ≤<），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）若0α=，求直线l 被圆C 所截得的弦长；（2）设(1,0)P ，且直线l 与圆C 交于,A B 两点，若1PA PB -=，求角α的大小. 23.已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭．。
河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅱ理科数学试卷及答案
姓名
准考证号
2019年全国高三统一联合考试
理科数学
本 试 卷 4 页 ,23 小 题 ,满 分 150 分 。 考 试 时 间 120 分 钟 。 注意事项:
1.答 题 前 ,考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上 相 应 的 位 置 。 2.全 部 答 案 在 答 题 卡 上 完 成 ,答 在 本 试 题 上 无 效 。 3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用0.5 mm 黑色笔迹 签字笔写在答题卡上。 4.考 试 结 束 后 ,将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。
[ ) A.(-∞,-3]∪ 1 2,+∞
( ) B.(-∞,-3)∪ 1 2,+∞
[ ] C.-3,12
( ) D.-3,1 2
3.函
数
f(x)=2x
x3 +2-x
的
图
像
大
致
为
A
B
C
D
4.已知等差数列{an}的首项a1=31,公差为d(d 为整数),若数列{an}的前8项和最大,则d=
A.-2
B.-3
.
15.已 知 甲 、乙 、丙 、丁 4 人 同 时 到 5 个 不 同 的 地 区 参 加 扶 贫 活 动 ,若 每 个 地 区 最 多 有 2 人 参 加 (2
人 到 同 一 个 地 区 ,不 区 分 2 人 在 其 中 的 角 色 ),则 甲 、乙 、丙 、丁 4 人 参 加 扶 贫 活 动 的 不 同 安 排
C.-4
衡水中学2019届高三上学期第五次调研数学文科试题及答案解析
衡水中学2019届高三上学期五调考试数学文科试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.已知A=x|−1<x<2，B=x|x2+2x<0，则A∩B=（）A.−1,0B.−2,−1C.−2,0D.−2,22.满足z+iz=i（i是虚数单位）的复数z=（）A.12−12i B.12+12i C.−12+12i D.−12−12i3.已知等差数列a n的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）．A.9B.3C.−3D.−64.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为(2m，m)（其中m<0），则cos2α=A.−45B.−35C.35D.456.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2=45°，则双曲线的渐近线方程为（）A.y =±2xB.y =±3xC.y =±xD.y =±2x7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm ，它的体积是（）A.2732cm 3B.92cm 3C.932cm 3 D.272cm 38.如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各条棱长都相等，且CC 1⊥底面ABC ，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角为()A.π2B. C. D.π39.在等腰直角三角形ABC 中，∠C =900,CA =2，点P 为ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1,求BP ⋅(CA +CB)的取值范围A.−22,0B.0,22C.−2,2D.−22,2210.如图，平面四边形ABCD 中，AB =AD =CD =1，BD =2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′−BCD ，使平面A ′−BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′−BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.3πB.32π C.4π D.34π11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且直线l 与圆x2−px+y2−34p2=0交于C、D两点.若|AB|=2|CD|，则直线l的斜率为A.±22B.±32C.±1D.±212.已知定义在R上的函数fx=ln x,x>1x2−x,x≤1，若函数Fx=fx−ax恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A.−∞,−1∪0∪1e ,+∞ B.−∞,−1∪0∪1e,1C.−1,−1e ∪0∪1e,1 D.−1,−1e∪0∪1e,+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500.3000（元）段应抽出____________________人．14.ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C =14，c =3，acos A =bcos B，则ΔABC 的面积等于__________．15.已知函数fx =x 2ln x ，若关于x 的不等式fx −kx +1≥0恒成立，则实数k 的取值范围是__________．16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱CC 1上的一个动点，平面BED 1交棱AA 1于点F ．下列命题正确的为_____.①存在点E ，使得A 1C 1//平面BED 1F ；②对于任意的点E ，平面A 1C 1D ⊥平面BED 1F ；③存在点E ，使得B 1D ⊥平面BED 1F ；④对于任意的点E ，四棱锥B 1−BED 1F 的体积均不变．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数f(x)=cos ωx(23sin ωx −cos ωx)+sin 2ωx(ω>0)的最小正周期为2π．(1)求ω的值；(2)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f(B)=2，a =3，△ABC 面积S =334，求b ．18.等差数列{a n }的公差大于0，且a 3,a 5是方程x 2−14x +45=0的两根，数列{b n }的前n 项的和为S n ，且S n =1−12b n ．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n =a n ⋅b n ,求数列{c n }的前n 项和T n ．19.如图，三棱柱中ABC−A1B1C1，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°.（1）求证：AC1⊥A1B；（2）求直线AB与平面A1B1C所成角的正切值.20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛.（1）求选出的2名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是30,50（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是20,40（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.21.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为(22,0)，且椭圆Γ上一点M到其两焦点F1，F2的距离之和为43．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线l：y=x+m（m∈R）与椭圆Γ交于不同两点A，B，且AB=32，若点Px0,2满足PA=PB，求x0的值．22.已知函数f(x)=12x+(1−a)−a ln xx,，其中a∈R．(1)试讨论函数F(x)=xf(x)的单调性；(2)若a∈Z，且函数f(x)有两个零点，求实数a的最小值．【解析卷】衡水中学2019届高三上学期五调考试数学文科试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.1.已知A=x|−1<x<2，B=x|x2+2x<0，则A∩B=（）A.−1,0B.−2,−1C.−2,0D.−2,2【答案】A【解析】【分析】求出集合B对应不等式的解集，然后求其与集合A的交集即可.【详解】因为B=x|x2+2x<0=−2<x<0,又A=x|−1<x<2，所以A∩B=x|−1<x<0.故选A.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型.2.满足z+iz=i（i是虚数单位）的复数z=（）A.12−12i B.12+12i C.−12+12i D.−12−12i【答案】A【解析】【分析】将原式子变形为z=−i1−i，再由复数的除法运算得到结果.【详解】∵z+iz =i，∴z+i=zi，即z=−i1−i=−i1+i1−i1+i=−i+12=12−12i，故选A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有：z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量OZ都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作z．3.已知等差数列a n的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）．A.9B.3C.−3D.−6【答案】D【解析】分析：利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2详解：：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=-8，∴a2=-6．故选D.点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为(2m，m)（其中m<0），则cos2α=A.−45B.−35C.35D.45【答案】C 【分析】根据三角函数的定义，求得sinα=m−5m =−55，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，可知角α中终边上一点P的坐标为(2m,m)且m<0，则OP=5m=−5m，所以sinα=m−5m又由cos2α=1−2sin2α=1−2×−52=35，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义，求得sinα的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=±3xC.y=±xD.y=±2x【答案】A【分析】作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B，可得OA=a，F2B=BM=2a，F2M=22a，F1B=2b，结合双曲线定义可得b=2a从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B，∵F1M与圆x2+y2=a2相切，∠F1MF2=45°∴OA=a，F2B=BM=2a，F2M=22a，F1B=2b又点M在双曲线上，∴F1M−F2M=2a+2b−22a=2a整理，得b=2a，∴ba=2∴双曲线的渐近线方程为y=±2x故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm，它的体积是（）A.2732cm3 B.92cm3 C.932cm3 D.272cm3【答案】C【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，V =13Sh =13×12(2+4)×3×323=923cm 3故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.如图，已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的各条棱长都相等，且CC 1⊥底面ABC ，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角为()A.π2B. C. D.π3【答案】A 【解析】【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解．【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B，连接A 2M，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A2BM 中，A 2B =2a ，BM ==52a ，A2M ==132a ，∴A 2B 2+BM 2=A 2M 2，∴∠MBA 2=π2,．故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C =900,CA =2，点P 为ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1,求BP ⋅(CA +CB)的取值范围A.−22,0B.0,22C.−2,2D.−22,22【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P 的坐标，从而求出BP·(CA +CB)的取值范围．【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则A （0，2），B （2，0），C （0，0），由|BP |=1知，点P 在以B 为圆心，半径为1的圆上，设P （2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；则BP =（cosθ，sinθ），又CA +CB =（2，2）；∴BP •（CA +CB ）=2cosθ+2sinθ=22sin （θ+π4），当θ+π4=π2，即θ=π4时，BP •（CA +CB ）取得最大值22，当θ+π4=3π2，即θ=5π4时，BP •（CA +CB ）取得最小值﹣22，∴BP •（CA +CB ）的取值范围是[﹣22，22]．故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10.如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′−BCD，使平面A′−BD⊥平面BCD，若四面体A′−BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.3πB.32π C.4π D.34π【答案】A【解析】【分析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，因为AB＝AD＝1，BD＝2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形所以DE为球体的半径DE=32S=4π(32)2=3π故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R的方程.11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且直线l 与圆x2−px+y2−34p2=0交于C、D两点.若|AB|=2|CD|，则直线l的斜率为A.±22B.±32C.±1D.±2【答案】C【解析】【分析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是CD为圆的直径，所以|AB|=2|CD|=4p．设直线l:x=ty+p2，将其代入抛物线方程消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据弦长公式可得|AB|= 2p(1+t2)=4p，于是得到t=±1．【详解】由题设可得圆的方程为(x−p2)2+y2=p2，故圆心为(p2,0)，为抛物线的焦点，所以CD=2p,所以|AB|=4p．设直线l:x=ty+p2,代入y2=2px(p>0)得y2−2pty−p2=0，设直线l与抛物线C的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=2pt,y1y2=−p2，则|AB|=(1+t2)(4p2t2+4p2)=2p(1+t2)=4p，所以1+t2=2，解得t=±1．故选C．【点睛】（1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力．(2)弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为AB=1+k2·Δa，其中k表示直线的斜率，a是直线和椭圆的方程组消去y化简后得到的二次方程ax2+bx+c=0中x2的系数，Δ=b2−4ac是ax2+bx+ c=0的判别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为AB=y A−y B．12.已知定义在R上的函数fx=ln x,x>1x2−x,x≤1，若函数Fx=fx−ax恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A.−∞,−1∪0∪1e ,+∞ B.−∞,−1∪0∪1e,1C.−1,−1e ∪0∪1e,1 D.−1,−1e∪0∪1e,+∞【答案】B【解析】【分析】将函数Fx=fx−ax恰有2个零点转化为两函数y=fx与y=ax有两不同交点，作出函数图像即可求出结果.【详解】由题意函数Fx=fx−ax恰有2个零点，即是方程fx−ax=0有两不等实根，即是两函数y=fx 与y=ax有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当a∈−∞,−1∪1e,1∪{0}时，有两交点，即函数Fx=fx−ax恰有2个零点.故选B.【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500.3000（元）段应抽出____________________人．【答案】25【解析】【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出2500.3000段的频率，结合样本容量即可求出结果.【详解】由题意，月收入在2500.3000（元）段的频率为0.0005×500=0.25，所以月收入在2500.3000（元）段应抽出的人数是100×0.25=25.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.14.ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C =14，c =3，acos A =bcos B，则ΔABC 的面积等于__________．【答案】3154【解析】【分析】先由正弦定理得a=b ，然后由余弦定理求得a 、b ，在用面积公式求得ΔABC 的面积.【详解】∵a cos A=b cos B∴sin A cos A=sinB cosB化解得：sinAcosB −cosAsinB =sin A −B =0即：A=B 又∵cos C =14c =3∴cos C =a2+b 2−c 22ab=14解得：a=b=6S ΔABC =3154【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.已知函数fx =x 2ln x ，若关于x 的不等式fx −kx +1≥0恒成立，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(−∞,1]【解析】∵函数f(x)=x 2ln x 的定义域为{x|x >0}，f(x)−kx+1≥0恒成立,即x2ln x−kx+1≥0等价于k≤x ln x+1，x，则g′(x)=ln x+1−1x2，令g(x)=x ln x+1x令r(x)=ln x+1−12，则r′(x)=1+23>0在(0,+∞)上恒成立，∴g′(x)=ln x+1−1x2在(0,+∞)上单调递增，g′(1)=0故当0<x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，则g min(x)=g(1)=1，故k≤g min(x)=g(1)=1，故答案为(−∞,1].点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为a>h(x)或a<h(x)恒成立，即a> h max(x)或a<h min(x)即可，利用导数知识结合单调性求出h max(x)或h min(x)即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数g(x)=x ln x+1的最小值.x16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F．下列命题正确的为_____.①存在点E，使得A1C1//平面BED1F；②对于任意的点E，平面A1C1D⊥平面BED1F；③存在点E，使得B1D⊥平面BED1F；④对于任意的点E，四棱锥B1−BED1F的体积均不变．【答案】②④【解析】①E为棱CC1上的中点时，此时F也为棱AA1上的中点，此时A1C1∥EF；满足A1C//平面BED1F，∴①正确．②∵B1D⊆平面BED1F，∴不可能存在点E，使得B1D⊥平面BED1F，∴②错误．③连结D1B，则D1B⊥平面A1C1D，而B1D⊆平面BED1F，∴平面A1C1D⊥平面BED1F，成立，∴③正确．④四棱锥B1-BED1F的体积等于V D1−BB1F+V D1−B1BF，设正方体的棱长为1，∵无论E，F在何点，三角形BB1E的面积为12×1×1＝12为定值，三棱锥D1−BB1E的高D1C1=1，保持不变．三角形BB1F的面积为12×1×1＝12为定值，三棱锥D1−BB1F的高为D1A1=1，保持不变．∴三棱锥D1−BB1E和三棱锥D1−BB1F体积为定值，即四棱锥B1−BED1F的体积等于V D1−BB1F+V D1−B1BF为定值，∴④正确．故答案为：①③④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数f(x)=cosωx(23sinωx−cosωx)+sin2ωx(ω>0)的最小正周期为2π．(1)求ω的值；(2)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f(B)=2，a=3，△ABC面积S=33，求b．4(2)3【答案】(1)12【解析】【分析】（1）化简f(x)=2sin(2ωx−π6)，根据函数的最小正周期T=2π2ω=2π即可求出ω的值2）由（1）知，f(x)=2sin (x −π6).由f(B)=2sin (B −π6)=2，求得B =2π3，再根据△ABC 的面积SS =334，解得c =3，最后由余弦定理可求出b .【详解】（1）f(x)=23sin ωx cos ωx −cos 2ωx +sin 2ωx =3sin 2ωx −cos 2ωx =2sin (2ωx −π6)故函数的最小正周期T =2π2ω=2π，解得ω=12.（2）由（1）知，f(x)=2sin (x −π6).由f(B)=2sin (B −π6)=2，得B −π6=2k π+π2（k ∈Z ）.所以B =2k π+2π3（k ∈Z ）.又B ∈(0,π)，所以B =2π3.△ABC 的面积S =12ac sin B =12×3×c ×sin 2π3=334，解得c =3.由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2ac cos B =(3)2+(3)2−2×3×3cos2π3=9，所以b =3.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．18.等差数列{a n }的公差大于0，且a 3,a 5是方程x 2−14x +45=0的两根，数列{b n }的前n 项的和为S n ，且S n =1−12b n ．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记c n =a n ⋅b n ,求数列{c n }的前n 项和T n ．【答案】（1）a n =2n −1，b n =23n ；（2）T n =21−n+13n【解析】【分析】（1）由已知条件得a 3=5，a 5=9，由此求出a n =a 5+（n-5）d=2n-1；由S n =1−12b n ，推导出{b n }是等比数列，b 1=23.，q =13，由此求出b n =b 1q n−1=23n ．（2）由（1）知c n =a n b n =2(2n−1)3n，由此利用错位相减法能求出数列{c n }的前n 项和T n【详解】（1）∵a 3,a 5是方程x 2−14x +45=0的两根，且数列{a n }的公差d >0，∴a 3=5，a 5=9，公差d =a 5−a 35−3=2.∴a n =a 5+(n −5)d =2n −1.又当n=1时，有b1=S1=1－12b1 ∴b1=23.当n≥2时,有b n=S n−S n−1=12(b n−1−b n),∴b n bn−1=13(n≥2).∴数列b n是等比数列，b1=2,q=1.∴b n=b1q n−1=23n.（2）由（1）知c n=a n b n=2(2n−1)3n∴T n＝23+632+1033+…+4n−23n，①1 3T n=232+633+1034+…+4n−23n+1，②①-②，得23T n=23+432+433+…+43n−4n−23n+1=23+4×191−13n−11−13−4n−23n+1=43−4n+43n+1即T n=21−n+13n【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19.如图，三棱柱中ABC−A1B1C1，AA1⊥平面ABC，AA1=AC=2BC，∠ACB=90°.（1）求证：AC1⊥A1B；（2）求直线AB与平面A1B1C所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）63【解析】【分析】(1)先证BC⊥平面A1C1CA,可得AC1⊥BC，再由四边形A1C1CA为正方形可得AC1⊥A1C，从而可得AC1平面A1BC，进而可得AC1⊥A1B；(2)由AC1平面A1BC可得∠ABO是直线AB与平面A1BC所成的角，利用勾股定理求出OA,OB,即可得出tan∠ABO.【详解】证明（1）∵CC1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥BC又∠ACB=90°，即BC⊥AC，AC∩CC1=C，∴BC⊥平面A1C1CA，AC1⊂平面A1C1CA，∴AC1⊥BC.∵AA1=AC，∴四边形A1C1CA为正方形，∴AC1⊥A1C，又A1C∩BC=C，∴AC1平面A1BC，又A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥A1B.（2）设AC1∩A1C=O，连接BO.由（1）得AC1⊥平面A1BC，∴∠ABO是直线AB与平面A1BC所成的角.设BC=a，则AA1=AC=2a，∴AO=12AC1=2a，BO=a2+2a2=3a，在RtΔABO中，tan∠ABO=AOBO =63，∴直线AB与平面A1BC所成角的正切值为63.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型.20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛.（1）求选出的2名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是30,50（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是20,40（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.【答案】（1）15；（2）78【解析】【分析】(1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值；(2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果.【详解】（1）设来自甲旅游协会的3名导游为A 1,A 2,A 3，其中A 2,A 3为高级导游，来自乙旅游协会的3名导游为B 1,B 2,B 3，其中B 3为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3；A 1A 3,A 2B 1,A 2B 2,A 2B 3；A 3B 1,A 3B 2,A 3B 3；B 1B 2,B 1B 3,B 2B 3；共15种，其中选出的2名都是高级导游的有A 2A 3，A 2B 3，A 3B 3，共3种所以选出的2人都是高级导游的概率为p =315=15.（2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x （单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y （单位：万元），则x ∈30,50且y ∈20,40，则x ≥y ，属于几何概型问题作图，由图可知S 1=S ΔDEF ，S =S ABCD ，所求概率为p =S−S 1S =1−S 1S =1−12×10×1020×20=78.【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型.21.已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的右焦点为(22,0)，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点F 1，F 2的距离之和为43．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设直线l ：y =x +m （m ∈R ）与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且AB =32，若点Px 0,2满足PA =PB ，求x 0的值．【答案】（1）x 212+y 24=1；（2）x 0的值为−3或−1．【解析】【分析】（1）由已知求得a =23，又由c =22，由此能求出椭圆的方程；（2）由y =x +m x 212+y 24=1，得4x 2+6mx +3m 2−12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合已知，即可求出x 0的值．【详解】（1）由已知2a =43，得a =23，又c =22，∴b 2=a 2−c 2=4，∴椭圆Γ的方程为x 212+y 24=1．（2）由y =x +m,x 212+y 24=1,得4x 2+6mx +3m 2−12=0①∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴Δ=36m 2−16(3m 2−12)>0，得m 2<16，设x1+x 2=−3m 2，x 1x 2=3m 2−124，∴|AB|=1+k 2|x 1−x 2|=2×=2×又由|AB|=32，得−34m 2+12=9，解得m =±2．据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线y =2的交点，设AB 的中点为E(x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22=−34m ，y 0=x 0+m =m 4，当m =2时，E(−32,12)，此时，线段AB 的中垂线方程为y −12=−(x +32)，即y =−x −1．令y =2，得x 0=−3．当m =−2时，E(32,−12)，∴此时，线段AB 中垂线方程为y +12=−(x −32)，即y =−x +1．令y =2，得x 0=−1．综上所述，x 0的值为−3或−1．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用a,b,c,e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22.已知函数f(x)=12x+(1−a)−a ln xx,，其中a∈R．(1)试讨论函数F(x)=xf(x)的单调性；(2)若a∈Z，且函数f(x)有两个零点，求实数a的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】⑴求出F'(x)=x+(1−a)−a x=(x+1)(x−a)x，分别讨论a的范围，求出单调性⑵等价于F(x)=12x2+(1−a)x−a ln x(x>0)有两个零点，结合⑴中的结果求导后判定函数的单调性，研究零点问题【详解】(1)F(x)=xf(x)=12x2+(1−a)x−a ln x(x>0)，则F'(x)=x+(1−a)−ax=(x+1)(x−a)x当a≤0时，F'(x)>0，所以函数F(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，若x∈(0,a)，则F'(x)<0，若x∈(a,+∞)，则F'(x)>0所以函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增；综上可知，当a≤0时，函数F(x)在(0,+∞)上单调递增；当a>0时，函数F(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增；(2)函数f(x)有两个零点等价于F(x)=12x2+(1−a)x−a ln x(x>0)有两个零点.由(1)可知，当a≤0时，函数F(x)在(0,+∞)上单调递增，F(x)最多一个零点，不符合题意。
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河北衡水中学2019高三第五次调研考试--数学理第一卷〔选择题共60分〕【一】选择题〔每题5分，共60分〕1.假设复数ii a 21-+是纯虚数,那么实数a 的值为〔〕A.2B.21- C.51D.52- 2.以下四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是()A .2log y x =B .1y x =C .1()2x y =-D .13y x =4.为了解儿子身高与其父亲身高的关 系，随机抽取5对父子的身高数据如下：那么y 对x 的线性回归方程为 ()A 1-=x y 、B.1+=x y C 、8821+=x y D.176=y 5.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系〔〕 A.99.9%B.99%C.97.5%D.95%A.第10项B .第9项C .第8项D :第7项 7.33)6cos(-=-πx ，那么=-+)3cos(cos πx x ()A.332- B.332±C.1-D.1±8.过(2,2)点且与曲线222220x y x y ++--=相交所得弦长为()A 、3420x y -+=B 、3420x y -+=或2x =C 、3420x y -+=或2y =D 、2x =或2y = 9.两点(2,2),(2,1)A B ，O 为坐标原点，假设255OA tOB -≤，那么实数t 的值为()A.56B.65C.1D.3410.把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是〔〕A.168B.96C.72D.14411.某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，那么该几何体的表面积为〔〕A 、π42616++2cmB 、π32616++2cmC 、π42610++2cmD 、π32610++2cm 12、方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，那么以下有关两根关系的结论正确的选项是〔〕A 、sin cos ϕϕθ=B 、sin cos ϕϕθ=-C 、cos sin ϕθθ=D 、sin sin θθϕ=-第二卷非选择题〔共90分〕【二】填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分〕13.一个圆锥和一个半球有公共底面，假如圆锥的体积和半球的体积相等，那么那个圆锥的母线与轴所成角正弦值为14.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，222a c b -=，且s i n c o s 3c o ss i n A C A C =求b=15.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，那么ab 312+的最小值为 16.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为na ，那么 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是__________、【三】解答题〔共6个小题，共70分〕17.〔此题总分值12分〕为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学进行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，总分值为100分)进行统计、请你依照尚未完成并有局部污损的频率(1)假设用系统学生随机地编号为000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)填充频率分布表的空格(将答案直截了当填在表格内)，并作出频率分布直方图； (3)假设成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ 18、〔此题总分值12分〕如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.〔1〕求证：AB 1//面BDC 1；〔2〕求二面角C 1—BD —C 的余弦值； 〔3〕在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.19.〔此题总分值12分〕如下图，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建筑一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM R =，45MOP ∠=，OB 与OM 之间的夹角为θ. 〔1〕将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.〔2〕假设m R 3=，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S 有最大值？ 其最大值是多少？20、〔此题总分值12分〕如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且21AF F ∠为钝角，假设172AF =，252AF =. 〔1〕求曲线1C 和2C 的方程；〔2〕过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交A C D MO Q FBP于B 、C 、D 、E 四点，假设G 为CD 中点、H 为BE 中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？假设是求出定值；假设不是说明理由.21、〔此题总分值12分〕设函数22()f x a x =〔0a >〕，()ln g x b x =、(1)将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=的解析式及值域；(2)关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3)关于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，假设存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，那么称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”、设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？假设存在，求出“分界线”的方程；假设不存在，请说明理由、 请考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题记分.此题总分值10分。
22、选修4-1：几何证明选讲如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点、假设10=PA ，5=PB ，BAC ∠的平分线AE 与BC 和⊙O 分别交于点D 、E ，求AE AD ⋅的值、23.选修4-4：坐标系与参数方程 曲线⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 4:y x C 〔ϕ为参数〕、〔1〕将C 的方程化为一般方程；〔2〕假设点),(y x P 是曲线C 上的动点，求y x +2的取值范围、 24.选修4-5：不等式选讲CEP不等式ax x 2432<-+-（1） 假设1=a ，求不等式的解集；（2） 假设不等式的解集不是空集，求a 的取值范围。
2017—2018上高三五调理科数学答案4、[答案]C[解析]解法一：x ＝174＋176＋176＋176＋1785＝176， y ＝175＋175＋176＋177＋1775＝176 b ^＝ni ＝1x i －xy i －yni ＝1x i －x2＝12，a ^＝y －b ^x ＝88，因此y ＝88＋12x .解法二：因为x －＝176，y －＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －)，因此将(176,176)代入选项A 、B 、C 、D 中检验知选C.5.答案B (1)表格为(2)提出假设H 0依照上述列联表求得k ＝205×12－1×226×14×7×13≈8.802.当H 0成立时，K 2(χ2)>6.635的概率约为0.01，而那个地方8.802>6.635， 因此我们有99%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系、8.答案C 【解析】9.答案A 答案65【解析】2(2,2),(2,)(22,2)5656)0,.5OA tOB t t OA tOB t t t t ==∴-=--=-≤∴=解得（10.答案D 11.答案C通过三视图能够想象出几何体一个三棱锥和一个圆柱的一半组合而成，其中棱锥的底面是边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为3，半圆柱为底面半径为1，母线长为3，计算表面积为π42610++2cm12.【答案】A【解析】解：依题意可知x ＞0〔x 不能等于0〕 令xy sin 1=，kx y =2，然后分别做出两个函数的图象、因为原方程有且只有两个解，因此2y 与1y 仅有两个交点，而且第二个交点是2y 与1y 相切的点，即点〔θ，|sin θ|〕为切点，因为〔sinθ〕′=cos θ，因此切线的斜率k=cos θ、而且点〔φ，sin φ〕在切线θcos 2x kx y ==上、因此将点〔φ，sin φ〕代入切线方程θcos 2x y =可得：sin φ=φcos θ、 13、【答案】5解析：利用体积相等能够计算出圆锥的高等于底面半径的2倍，即r h 2=， 14.【答案】4b =解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =那么由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 解法二:由余弦定理得:2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠.因此2cos 2b c A =+①又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB Cc=，故4cos b c A =②由①，②解得4b =.15.【答案】2解析：利用离心率能够得a,b,c,的关系，再利用均值不等式即可。
16.【答案】122n +- 【解析】11(1),'(1)(1)n n n n n y x x y nx x x nx n x --=-∴=--=-+112'|2(1)2(2)2n n n x y n n n --=∴=⋅-+=-+⋅，(2)2n f =-[故所求的切线方程为12(2)2(2),0,(1)2nn ny n x x y n -+=-+⋅-==+⋅令则(1)2,21n n nn a a n n ∴=+=+，那么 n n+1-2){}221-2（1数列的前项和为12n a n n =-+17.[解析](1)编号为016.------3分 (2)(3)在被抽到的学生中获二等奖的人数9＋7＝16(人)，占样本的比例是1650＝0.32，即获二等奖的概率为32%，因此获二等奖的人数可能为800×32%＝256(人)、答：获二等奖的大约有256人、 评分细那么： 〔1〕2分〔2〕表格5个空每一个空1分，频率分布直方图准确规范3分， 〔3〕答对256给2分 18.〔I 〕证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点.又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1.∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1∴AB 1//面BDC 1.〔II 〕解：如力，建立空间直角坐标系，那么 C 1〔0，0，0〕，B 〔0，3，2〕，C 〔0，3，0〕，A 〔2，3，0〕，D 〔1，3，0〕设=〔x 1，y 1，z 1〕是面BDC 1的一个法向量，那么,011⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅C C 即)21,31,1(,030231111-=⎩⎨⎧=+=+y x z y 取.…………6分易知CC 1=(0，3，0)是面ABC 的一个法向量.723671,cos 111-=⋅-=>=<∴C ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为72〔III 〕假设侧棱AA 1上存在一点P 〔2，y ，0〕〔0≤y ≤3〕，使得CP ⊥面BDC 1. 那么⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.373,0)3(320)3(3,0011y y y y D C CP C 即∴方程组无解.∴假设不成立.∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.评分细那么：每一问4分。