向量空间的基与维数

向量空间的基与维数
结论1 设，当下述三个条件有两条满足时，{}就是V的一个基.
(i)零向量可由唯一地线性表示；
(ii)V中每个向量都可由唯一地线性表示；
(iii).
结论 2 设,都是F上向量空间V的子空间. 若，,则
，且.
例 1 设和都是数域，且，则是上的向量空间.
域F是F上向量空间，基是{1}，.
C是R向量空间，{ 1 , i} 是基，.
R是有理数域上的无限维向量空间，这是因为对任意的正整数t，是线性无关的，这里.
令，则F是一个数域，F是Q上的向量空间.
1)1,线性无关：
设，. 则(否则，,矛盾)，因此.
2) 1,,线性无关：
设，，i=1,2,3 . ( 1 )
,
两端平方得
,
由于1,线性无关，故
假如，则，且，即. 矛盾.
因而故假如，则得，这与是无理数相矛盾. 因而
将代入(1)，便得这说明1,,线性无关.
3) 1,,,线性无关：
设，，i=1,2,3,4 . 则有
. ( 2 )
假如不全为零，则
得到“1,,线性相关”的结论，矛盾. 所以与应全为零，将代入(2)得
又由1,线性无关得. 这样，我们证得了1,,,线性无关.
故{1,,,}是F的一个基..
例2 C[a,b]={f(x)|f(x)是定义在[a,b]上的连续实函数}. C[a,b]是R上的向量空间.
对任意的正整数n，可证得线性无关：
设，使( 3 )
取n+1个实数，使
a b.
由(3)知
.
即
其中
而
. 用左乘(4)两端，得
这说明线性无关.
故C[a,b]是R上无限维向量空间.
引理设V是F上向量空间，是V的子空间，V，i=1,2,…,s. 试证明
证对s作数学归纳.
当s=1 时，结论显然成立.
设，且对个V的不等于V的子空间结论成立.
下考虑V的子空间，，. 由归纳假设知故存在
1) 当时，，故；
2) 当时，由于，因此显然,,…,.且存在，
使（否则，如果,,…,，, ,
,使,，所以，即有，这与矛盾）.这样
，故
例3 设.存在集合, 使S含无穷多个向量，且S中任意n个不同的向量都是V 的一个基.
证取V的一个基，令. 对任意从中删
去后剩下的个向量生成的V的子空间记为，则
由引理知, 故存在
令, 中任n个不同的向量线性无关，是V的基.
设，有，且中任意n个不同的向量构成V的一个基.
对任意，有
.
这样的子空间共有个. 由引理知
存在
令. 则||=k+1，且中任意n个不同的向量是V的基.
这个过程进行下去，满足条件的无限集S即可找到.
另证：设是V的一个基，令
令
让,,…,F互不相同，则
由于
其行列式是Vandermonde行列式，即
故线性无关，是Ｖ的一个基. Ｓ中含无穷多个向量.
例４设是Ｆ上n(>０)维向量空间V的子空间，且i=1,2,3,…,s. 则存在V的一个基，使得该基中每一个向量都不在中.
证：对s作数学归纳.
当时，取的一个基，，将其扩充为V的一个基. 可证明出线性无关，是V的基，且, i=1,2,…,r,
设，且对个V的子空间结论成立. 现考虑V的s个子空间,
由归纳假设知存在V的一个基，使
1）如果，那么即满足要求;
2）如果. 不妨设∈, , 由
最多有一个F中的数，使, （否则，如果有两个不同的数, , 使，则，故，矛盾），所以除可能的
之外，F 中有非零数，使同理有 F 中非零数，使
显然易证线
性无关，是V的基，且满足要求.
例 5 设W是的由全体形如的向量所生成的子空间, 证明
证
令
(j)
是第i行第j列位置元素是1，而其余的个元素全是零的n阶方阵.
对, i≠t,
对, (j) ∈W.
(j)
容易验证}是线性无关的（共个向量）
故而W中每个矩阵其迹为0. 因此，故
引理 设是向量空间V 的子空间，则
(i)
(ii)
例 6 设是F 上向量空间V 的子空间.
(i) 证明：
(ii)举一个例子，使上述严格不等式成立. 证
(i)
=
=
=
(ii) 在
中，令
1w +2w +3w
=（1，0，0）,(-1,0,1)）,而1w ⋂2w =2w ⋂3w =1w ⋂3w ={0}, 1w ⋂2w ⋂3w =={0},此时
∑=31
dim i i w =2<3=∑=3
1
dim i i w -()∑≤≤≤⋂n
j i j
i
w w 1dim +dim(1
w ⋂2
w
⋂3w ).
例7 设A )(F M m s ⨯∈,B )(F M n m ⨯∈.令0w ={α∈n F ∣AB α=10⨯s },1w = {B α∣α∈0w }, 求证1w 是m F 的子空间,且dim 1w =秩B-秩(AB).
证 显然10⨯n ∈0w ,故B 10⨯n =10⨯m ∈1w ,即1w ≠∅, ∀1α,2α∈ 0w ,B 1α,B 2α是1w 的任意向量,
∀1α,2α∈F,
AB(2211ααa a +)= 2211AB AB ααa a +=0,
∴2211ααa a +∈ 0w ,
∴B(2211ααa a +)∈1w ⇒2211B B ααa a +∈1w , 因而1w 是m F 的子空间 .
01当秩B=秩(AB)时,齐次线性方程组AB 1⨯n X =10⨯s 与B 1⨯n X =10⨯m 同解.因此1w ={0},故dim 1w =0=秩
B －秩(AB).
02以下我们假设秩B>秩(AB).ABX=0与BX=0不是同解的. 0w ≠{0},1w ≠{0}.
)1秩B=n.
此时0w ≠{0},设{1β，2β，…t β}为0w 的一个基,
其中 t=n- 秩(AB) .则有
1w =(B 1β，B 2β，…B t β). 设1b B 1β+2b B 2β+…+t b B t β=0,i b ∈F,i=1,2,…t. 则B(1b 1β+2b 2β+…+t b t β)=0,而BY=0只有零解,
故1b 1β+2b 2β+…+t b t β=0, 又1β，2β，…t β线性无关.所以i b =0，i=1,2,…n. 这说明{B 1β，B 2β，…B t β}是1w 的一个基.
dim 1w =t=n-秩(AB)=秩B-秩(AB).
)2秩B<n.
令'
0w ={γ∈n F B γ=10⨯m }，'0w 是B 1⨯n Y =10⨯m 的解空间，dim '
0w =n- 秩B>0.
显然'0w ⊆0w .
由于我们事先假设了秩B ≠秩(AB),所以'0w ≠0w .设{1β，2β，…P β}是'0
w 的一个基. P=n-秩B>0. 扩充成0w 的一个基，1β，2β，…P β,1+p β，…,t β, t=n-秩(AB). 而
1w =(B 1β，B 2β，…B P β,B 1+p β，…,B t β)= (B 1+p β，…,B t β). 设
j j t
p j B b β∑
+=1
=0， j b ∈F, j=p+1,…,t.
则B(
j
j
t
p j b β
∑+=1
)=0.
即
j
j t
p j b β
∑+=1
∈'0
w 故存在1b ,p b b ,...,2∈F ，使
j
j
t
p j b β∑+=1
=i
i
p
i b β
∑=1
.
i
i p
i b β∑=1
+j
j
t
p j b β
)(1
∑+=-=0.
而1β，2β，…P β,1+p β，…,t β线性无关，所以k b =0，k=1,2,,…,t; 这说明B 1+p β,B 2+p β，…,B t β线性无关,是1w 的一个基. 因此 dim 1w =t-p=[n-秩(AB)]-【n-秩B]= 秩B-秩(AB).
例8 设1w ,2w 是向量空间v 的子空间,且dim(1w +2w )=dim(1w ⋂2w )+1 证明,下述两条必有一条成立: (ⅰ) 1w +2w =1w ,1w ⋂2w =2w ; (ⅱ) 1w +2w =2w ,1w ⋂2w =1w .。