第02篇 相关拓展公式、圆锥曲线常用的二级结论
高中数学圆锥曲线最常用二级结论总结
圆锥曲线的常用二级结论一、椭圆的常用二级结论1.（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++.（2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为2222x y a b λ+=,()2222,0x y b aλλ+=>.2.椭圆的两焦点分别为12,F F ,P 是椭圆上任意一点,则有以下结论成立:(1)122PF PF a +=;(2)1a c PF a c -≤≤+;(3)2212b PF PF a ≤⋅≤;（4）焦半径公式10||PF a ex =+,20||PF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).3.椭圆的方程为22221x y a b +=（a ＞b ＞0）,左、右焦点分别为12,F F ,()00,P x y 是椭圆上任意一点,则有:(1)()()22222222000022,b a y a x x b y a b =-=-;(2)参数方程()00cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数;4.设P 点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)焦点三角形的面积：122||=tan2PF F P S c y b θ∆=.(3)当P 点位于短轴顶点处时,θ最大,此时12PF F S ∆也最大;(4).21cos 2e -≥θ(5)点M 是21F PF ∆内心，PM 交21F F 于点N ，则caMN PM =||||.5.有关22b a-的经典结论（椭圆中的垂径定理）(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-(3).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，F 1,F 2点是椭圆上两焦点，则有四边形AF 1BF 2至少为平行四边6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则（1）以000(,)P x y 为切点的切线斜率为2020b x k a y =-；（2）过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过000(,)P x y 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.8.椭圆的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.9.过椭圆上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.10.若P 为椭圆上异于长轴端点的任一点,F 1,F 2是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=，则()sin sin sin c e a αβαβ+==+.11.P 为椭圆上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.12.O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.13.已知A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a ---<<.14.过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab 2215.从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点.16.若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设(1).过1F 的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有①2211,cos cos b b AF BF a c a c αα==-+；②2cos ab AB a c α=-２２２２(2).若椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c ，焦点()()12,0,,0F c F c -，设过F ２的直线l 的倾斜角为α，交椭圆于A 、B 两点，则有：①22,cos cos b b AF BF a c a c αα==２２＋－；②22cos ab AB a c α=-２２２结论：椭圆过焦点弦长公式：()()222cos 2sin ab x a c AB ab y a c αα⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪-⎩２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上17.若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,则2112amnb+=18、过圆锥曲线的焦点F 作直线交圆锥曲线于A 、B 两点，若λ=BFAF ，则有下列结论：1、椭圆、双曲线（直线与双曲线两个交点在一支上）、抛物线（离心率e=1）（焦比公式）①焦点在x 轴上时：11cos +-=λλθe ，1112+-+=λλk e ；②焦点在y 轴上时：11sin +-=λλθe ，11112+-+=λλk e 。
圆锥曲线最最常用二级结论总结
圆锥曲线最最常用二级结论总结圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
8.切线：对于任意一条圆锥曲线，其切线斜率等于该点处的导数。
经过改写后的内容如下：圆锥曲线的二级结论总结如下：1.通径：对于任意一条圆锥曲线，其焦点到该曲线上任意一点的连线与该曲线的法线垂直。
2.焦点弦AB：对于椭圆和双曲线，焦点弦AB的长度等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，焦点弦AB的长度等于该曲线的焦距的两倍。
3.AF与BF的关系：对于椭圆和双曲线，AF和BF的和等于该曲线的长轴长度；对于抛物线，AF和BF的差等于该曲线的焦距。
4.焦点到曲线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到该曲线上任意一点的距离等于该点到曲线的法线的距离。
5.焦点到直线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到直线的距离等于该直线到曲线的法线的距离。
6.焦点到焦点连线的距离：对于任意一条圆锥曲线，焦点到焦点连线的距离等于该曲线的离心率乘以焦距的长度。
7.焦点到中点弦的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的短轴长度的一半；对于抛物线，焦点到中点弦的距离等于该曲线的焦距的一半。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学圆锥曲线二级结论高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+by y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x ①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B aA =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--1111 15.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a x x f x =∝+→)(lim ，b ax x f x =-∝+→])([lim 16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34= 17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29) AC C B B A S z A C y C B x B A ?+?+?==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ac e =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=+- 24.A 、B 、C 三点共线?nm n m +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab。
圆锥曲线常用二级结论及推导
圆锥曲线常用二级结论及推导
一级定理：
圆锥曲线以圆锥为开口的曲面，可以分为无穷类：双曲线、抛物线、圆环等，它们具有相同的曲线性质：
其曲线方程与相应圆锥的椭球坐标方程有关；
1. 每条曲线都由两个圆锥内切，且两个圆锥圆心恒定；
2. 每条曲线都内切于两个椭球相同的u轴对称，且保证轴线恒定；
3. 每条曲线都具有特定的v轴对称性，即它的曲线的曲线的v值是它的相反数；
4. 各曲线的曲率系数及曲率半径都是椭球坐标系中固定的；
5.曲线的凹凸性及其轮廓都是椭圆的图形而不受其开口的圆锥影响。
1. 椭圆圆锥曲线的抛物线曲线方程：
uV=C。
其中，C为椭球坐标系中定义的一个常量，用来表示曲线定义的空间维度。
证明：由三维圆锥的椭球坐标方程u2/ a2+v2 /b2=1，得到uV/a2b2=1，即uV=a2b2，故结论得证。
圆锥曲线二级结论(2)
四、焦点弦【知识讲解】1.1椭圆焦半径公式（2）已知直线l 过左焦点1F 与椭圆交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1ba BF AF =+1.2椭圆焦点弦长公式：α2222cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB ，最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径。
2.1双曲线焦半径公式（2）已知直线l 过左焦点1F 与双曲线交于B A ,两点，设α=∠21F AF ，则焦半径αcos ||2⋅-=c a b AF ，αcos ||2⋅+=c a b BF ，22||1||1ba BF AF =+2.2双曲线焦点弦长公式：α2222cos 2||||||⋅-=+=c a ab BF AF AB 3焦点弦定理已知焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F 的直线交曲线于B A ,两点，直线AB 的倾斜角为θ，FB AF λ=，则曲线的离心率满足等式：|11||cos |+-=λλθe 【典型例题】1.已知椭圆13422=+y x ，直线01:1=-+y x l ，01:2=++y x l 与椭圆分别交于B A ,和D C ,，则||||CD AB +的值为（）。
2.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为k )0(>k 的直线与椭圆交于B A ,两点。
若FB AF 3=，则k 的值为（）。
【变式训练】1.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交双曲线于B A ,两点，若FB AF 4=，则双曲线的离心率为（）。
2.设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆相交于B A ,两点，直线l 的倾斜角为︒60，FB AF 2=。
圆锥曲线中的几个常用二级结论
结论 2 椭圆、双曲线共焦点
已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1， e2 分别是椭圆和双曲线的离心率，则sien2122θ＋coes2222θ＝1．
2 (1)已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为 F1，F2，记它们其中的一个交点为 P，
且∠F1PF2＝23π，则该椭圆离心率 e1 与双曲线离心率 e2 必定满足的关系式为( C )
点，F1，F2 分别为左、右焦点，若∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1
＝β，则
S△PF1F2＝ b2θ，离心率 tan2
e＝|sinαs－inθsinβ|x22＋by22＝1(a＞b＞0)上的一点，F1，F2 分别为左、右焦点，若 P→F1·P→F2＝0，tan∠PF1F2＝12，则椭圆的离心率为___3_5__．
【解析】 因为 tan∠PF1F2＝12，P→F1·P→F2＝0，所以 sin∠PF1F2＝sinα＝ 15，sin∠PF2F1
＝sinβ＝
25，sin∠F1PF2＝sinθ＝1，所以
e＝sinαs＋inθsinβ＝
1
1 ＋
2
＝
35．
55
3 (2)已知 F1，F2 是双曲线x42－y2＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上，且P→F1· P→F2＝0，则△PF1F2 的面积为__1___．
2 (2)已知 F1，F2 为椭圆 C1：ax221＋by221＝1(a1＞b1＞0)与双曲线 C2：ax222－by222＝1(a2＞
0，b2＞0)的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝π3，e1，e2 分别为 C1，
C2 的离心率，则 e1e2 的最小值为
( A)
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。
3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。
4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。
5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。
6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。
7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。
9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。
10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。
圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。
圆锥曲线二级结论高中
圆锥曲线二级结论高中
圆锥曲线是高中数学中的重要内容之一，其二级结论也是备考中不可或缺的一部分。
这些结论可以帮助考生简化解题过程、加快解题速度，从而提高考试成绩。
以下是一些常见的圆锥曲线二级结论:
1. 过曲线上的点 P(x,y) 的切线方程为 y = mx + b，其中 m 为切线与曲线的斜率，b 为切线与曲线的截距。
2. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式为：|AB| = |AC| ×√
(1-e^2),其中 A、B、C 分别表示直线与曲线相交的三点，e 为直线的倾斜角度。
3. 涉及到曲线上的点 A、B 及线段 AB 的中点 M 的关系时，可以利用点差法：设 MP = x，则 MP + PM = 2x，即 x = (MP + PM) / 2。
4. 圆锥曲线的两类对称问题：曲线关于点成中心对称的曲线是本身;曲线关于直线成轴对称的曲线是圆。
这些二级结论在高考圆锥曲线题目中经常会被用到，掌握它们可以帮助考生更好地应对高考考试。
同时，考生也应该注重对这些结论的推导和熟练掌握，以在实际考试中快速、准确地运用它们。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论圆锥曲线是数学中重要的概念之一，它们的性质和应用广泛存在于各个领域中。
在研究圆锥曲线时，我们常常需要掌握一些基本的二级结论。
本文将介绍一些圆锥曲线常用的二级结论，帮助读者更好地理解和应用这些曲线。
第一，圆是一种特殊的圆锥曲线。
圆的定义是所有离中心点相等距离的点组成的图形。
它的二级结论包括：直径是圆的最长线段，圆的周长公式为C=2πr，其中r为半径；圆的面积公式为A=πr^2，其中r为半径。
第二，椭圆是另一种常见的圆锥曲线。
椭圆的定义是所有离两个焦点之和相等的点组成的图形。
它的二级结论包括：焦距的定义为两个焦点之间的距离，椭圆的离心率定义为焦距与长轴长度的比值，离心率小于1时为椭圆；椭圆的周长和面积的计算公式与圆不同，需要通过积分等方法求解。
第三，双曲线是圆锥曲线中的另一个重要概念。
双曲线的定义是所有离两个焦点之差相等的点组成的图形。
它的二级结论包括：焦距的定义与椭圆相同，双曲线的离心率定义为焦距与长轴长度的比值，离心率大于1时为双曲线；双曲线的周长和面积的计算公式也与圆不同，需要通过积分等方法求解。
第四，抛物线是圆锥曲线中的另一类。
抛物线的定义是所有离焦点距离等于焦距的点组成的图形。
它的二级结论包括：焦距的定义与椭圆和双曲线不同，抛物线的焦距等于焦点到准线的垂直距离；抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点；抛物线的标准方程为y^2=4ax，其中a为焦距。
综上所述，圆锥曲线常用的二级结论包括圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义、性质和计算公式等。
通过掌握这些结论，我们可以更好地理解和应用圆锥曲线，在数学和实际问题中更加准确地计算和分析相关情况。
希望本文能对读者有所帮助，更深入地了解圆锥曲线的奥妙。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
圆锥曲线常用的二级结论和椭圆与双曲线对偶结论
圆锥曲线常用的二级结论：
1.零点定理：设F1，F2为椭圆E的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1 + PF2 = 2a（a
为椭圆长轴的一半）;对于双曲线，PF1 - PF2 = 2a，其中a为双曲线的长轴的一半。
2.切线定理：设点P（x0，y0）在曲线C上，则C在点P处的切线方程为F_x（x0，y0）
x + F_y（x0，y0）y = F（x0，y0），其中F（x，y）为曲线C的方程，F_x和F_y为它的偏导数。
3.法线定理：设点P（x0，y0）在曲线C上，则C在点P处的法线方程为F_y（x0，y0）
x - F_x（x0，y0）y = F_y（x0，y0）x0 - F_x（x0，y0）y0。
4.离心率计算公式：设椭圆E的长轴为a，短轴为b，则椭圆的离心率为e = √（a² - b²）
/ a。
5.弦长定理：对于椭圆E，设以焦点F1，F2为端点的弦所对应的直角顶点为P，则弦PF1
+ PF2的长度等于椭圆长轴的长度;对于双曲线，弦PF1 - PF2的长度等于双曲线长轴的长度。
椭圆与双曲线的对偶结论：
1.椭圆E的对称中心为它所包围的正方形的中心，长、短半轴分别为正方形的对角线之
一和另外一边。
2.椭圆的纵轴端点为它所包围正方形的中心连通它上下角的一条直线，椭圆的焦点在这
条直线上。
3.双曲线的渐近线为对应椭圆的渐近线的转置。
4.对于椭圆E的焦点F和双曲线H的焦距f，有e² = 1 + f² / b²。
把椭圆的参数a，b
换成双曲线的参数a，b，即可得到双曲线的离心率计算公式。
高中数学圆锥曲线二级结论
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
数学圆锥曲线二级结论汇总
数学圆锥曲线二级结论汇总一、离心率公式离心率 e 是描述圆锥曲线形状的重要参数，对于椭圆，其离心率 e 的公式为：e = c/a其中，c 是焦点到中心的距离，a 是椭圆长轴的半径。
对于双曲线，其离心率 e 的公式为：e = c/a其中，c 是焦点到中心的距离，a 是双曲线实轴的半径。
二、焦点弦长公式焦点弦长是过圆锥曲线焦点的弦的长度，其公式如下：L = 2b^2/a其中，L 是焦点弦长，b 是半短轴长度，a 是半长轴长度。
三、切线长公式切线长是过圆锥曲线上的点作切线的长度，其公式如下：T = a*sqrt(1-k^2)其中，T 是切线长，a 是半长轴长度，k 是切线的斜率。
四、中点弦公式中点弦是过圆锥曲线上的中点的弦，其公式如下：x = (1-k^2)x0^2/[(1+k^2)a^2] - 2x0(y0/a)/[1+k^2] + y0^2/[(1+k^2)*a^2]其中，x0 和 y0 是中点的坐标，a 是半长轴长度，k 是切线的斜率。
五、渐近线方程渐近线是描述圆锥曲线接近其极限位置的线，其方程如下：y = ±(b/a)*x其中，a 和 b 分别是半长轴和半短轴长度。
对于双曲线，b 和 a 分别是实轴和虚轴长度。
六、焦半径公式焦半径是描述圆锥曲线上任意一点到焦点的距离的公式，其公式如下：|PF1| = a - ex, |PF2| = a + ex, |PF1| = |PF2| - 2*ex其中，P 是圆锥曲线上的任意一点，F1 和 F2 分别是左右焦点，e 是离心率。
对于椭圆和双曲线，a 和 b 分别是半长轴和半短轴长度。
对于抛物线，p 是焦点到准线的距离。
圆锥曲线常用的二级结论6069-修订编选
圆锥曲线常用的二级结论6069-修订编选
圆锥曲线是数学中引入的一种曲线形式，它具有几何学美学以及功能特点，即可以用于描绘封闭曲线，又可用来描述非封闭曲线。
一般来说，圆锥曲线可以用极坐标和直角坐标系中的方程进行研究，常用的结论也有二级结论，如下：
1、轴线相等双曲线本地主轴线的倾斜角的余弦的平方和，等于圆锥面（斜截面）的一半的投影距离的和，即：
cos2α + cos2β = X2 + Y2
3、近似双曲线环带角和第三轴相等时，环带角的余弦，加上投影距离的平方，乘以一个常数，ch等于近似双曲线椭圆面乘以另一个常数，Cv，即：
cosδ + X2 × ch = Ab × Cv
5、双曲线的斜线与双曲线的曲线轴有关，即：
y2 = 4a2(cosα - sinα)
6、双曲线轴向，焦点点及渐近线方向的余弦的和，等于面的半长轴的平方，即：
7、双曲（抛物线）开口程度的余弦，等于半长轴的平方乘以一个常数，ch，即：
总结以上，圆锥曲线二级结论具有以上特点，可以帮助人们研究曲线的几何、功能特点，以此来提高曲线的研究价值。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论包括：
1. 离心率与焦距之间的关系：离心率e是焦点到准线的距离与焦距的比值，对于椭圆和双曲线来说，离心率e小于1；对于抛物线来说，离心率e等于1。
2. 曲线方程：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1，抛物线的标准方程为y² = 4ax。
3. 曲线的对称性：椭圆关于x轴、y轴对称；双曲线关于x轴、y轴对称以及关于原点对称；抛物线关于y轴对称。
4. 焦距和半长轴、半短轴之间的关系：椭圆的焦距为2ae，半长轴为a，半短轴为b，有关系式c² = a² - b²；双曲线的焦距为
2ae，半长轴为a，半短轴为b，有关系式c² = a² + b²；抛物线的焦距为2a，其中a为焦点到准线的距离。
5. 抛物线的焦点和准线：抛物线的焦点位于焦点到准线的中垂线上，焦点和准线的距离相等。
6. 椭圆的准线和双曲线的渐近线：椭圆的准线是它的对称轴，双曲线的渐近线是两条对称轴，与椭圆和双曲线的切线垂直。
以上是一些圆锥曲线常用的二级结论，这些结论对于研究和解题有很大的帮助。
圆锥曲线常用的二级结论
圆锥曲线常用的二级结论
一、椭圆
1. 椭圆的一般式：
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
(x² / a²) + (y² / b²) = 1
其中 a 和 b 分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
3. 椭圆的离心率：
其中 e 表示椭圆的离心率。
4. 椭圆的焦点坐标：
如果椭圆的焦距为 2c，则椭圆的焦点坐标为(±c,0)。
5. 椭圆的几何意义：
椭圆是一个平面曲线，其形状类似于拉伸的圆形。
在数学中，椭圆被广泛应用于计算、图形学和物理学。
二、双曲线
2. 双曲线的标准式：
双曲线有两条渐近线，它们在双曲线两侧无限接近双曲线，但永远不会穿过它。
三、抛物线
其中 a、b 和 c 分别表示抛物线的系数，抛物线面向的方向可以通过 a 的正负性来
判断。
如果抛物线面向的方向垂直于 x 轴，其焦点坐标为 (0, 1 / (4a))。
数学-圆锥曲线二级结论
圆锥曲线146个相关结论结论1：过圆2222+=x y a 上任意点P 作圆222x y a +=的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论2：过圆2222x y a b +=+上任意点P 作椭圆()22221,0x y a b a b+=>>的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论3：过圆2222x y a b +=−上任意点P 作双曲线()22221,0,0−=>>x y a b a b的两条切线，则两条切线垂直，反之也成立.结论4：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈上，过点M 作椭圆的切线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论5：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈外，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论6：点0(,)M x y 在椭圆()()()22221,0,,x m y n a b m n a b −−+=>>∈内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心），分别过,A B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−+=.结论7：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n ab−−−=>>∈上，过点M 作双曲线的切线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论8：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n ab−−−=>>∈外，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论10：点0(,)M x y 在双曲线()()()22221,0,0,,x m y n a b m n a b −−−=>>∈内，过点M 作双曲线的弦AB （不过双曲线中心），分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()()00221x m x m y n y n a b −−−−−=.结论11：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈上，过点M 作抛物线的切线方程为()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论12：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 的直线方程为()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论13：点00(,)M x y 在抛物线()()22,(0,,)y n p x m p m n −=−>∈内，过点M 作抛物线的弦AB ，分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线()()()002y n y n p x x m −−=+−.结论14：过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论15：过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论16：过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 的所在的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论17：AB 为椭圆的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论18：AB 为双曲线的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论19：AB 为抛物线的焦点弦，则过A ,B 的切线的交点M 必在准线上.结论20：点M 是椭圆准线与长轴的交点，过点M 作椭圆的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径. 结论21：点M 是双曲线准线与实轴的交点，过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径.结论22：点M 是抛物线准线与对称轴的交点，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为A ,B ，则切点弦AB 就是通径.结论23：过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上任意一点(,0)(0)M m m −>作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 所在的直线必过(,0)N m .结论24：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的对称轴上任意一点(,)M m n −作抛物线的两条切线，切点分别为,A B .（1） 当0n m a =>，时，则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2） 当0m n b =>，时，则切点弦AB 所在的直线必过点20b P n ⎛⎫⎪⎝⎭，. 结论25：过双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的实轴上任意一点(,0)()M m m a <作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为,A B ，则切点弦AB 所在的直线必过2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭.结论26：过抛物线22(0)y px p =>外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，弦,A B 的中点为N ，则直线MN 必与其对称轴平行.结论27：若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n−=>>共焦点，则在它们交点处的切线相互垂直.结论28：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论29：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论30：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，则满足||||||||AP BQ AQ BP =的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论31：过双曲线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作双曲线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程. 结论32：过椭圆外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作椭圆的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程. 结论33：过抛物线外一定点P 作其一条割线，交点为,A B ，过,A B 分别作抛物线的切线相交于点Q ，则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程.结论34：从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点向椭圆的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222x y a +=.结论35：从双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：222x y a +=.结论36：F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，M 是椭圆上任意一点，则焦半径[],MF a c a c ∈−+.结论37：F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点，M 是双曲线上任意一点.（1） 当M 在双曲线右支上，则焦半径MF c a ≥−； （2） 当M 在双曲线左支上，则焦半径MF c a ≥+.结论38：F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，M 是抛物线上任意一点，则焦半径022p p MF x ∈+≥. 结论39：（椭圆的光学性质）椭圆上任一点M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的切线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）. 结论40：（双曲线的光学性质）双曲线上任一点M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的法线平分过该点的两条焦半径夹角的外角）. 结论41：（抛物线的光学性质）抛物线上任一点M 处的切线平分该点的两条焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角.结论42：椭圆的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ . 结论43：双曲线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ，且MF ⊥PQ . 结论44：抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ，且MF ⊥PQ .结论45：椭圆上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交椭圆于Q ，则MQ 必与该椭圆相切，且MF ⊥PQ .结论46：双曲线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ，则MQ 必与该双曲线相切，且MF ⊥PQ .结论47：抛物线上任一点P 处的切线交准线于M ，P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ，则MQ 必与该椭圆相切，且MF ⊥PQ .结论48：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论49：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论50：焦点在x 轴上的抛物线（或焦点在y 轴）上三点P ,Q ,M 的焦半径成等差数列的充要条件为P ,Q ,M 的横坐标（纵坐标）成等差数列. 结论51：椭圆上一个焦点F 2关于椭圆上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该椭圆的另一个焦点F 1.结论52：双曲线上一个焦点F 2关于双曲线上任一点P 处的切线的对称点为Q ，则直线PQ 必过该双曲线的另一个焦点F 1. 结论53：椭圆上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ,S ，则有P ,Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论54：双曲线上任一点P （非顶点），过P 的切线和法线分别与短轴相交于Q ,S ，则有P ,Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论55：椭圆上任一点P （非顶点）处的切线与过长轴两个顶点A ,A ′的切线相交于M ,M ′，则必得到以MM ′为直径的圆经过该椭圆的两个焦点. 结论56：双曲线上任一点P （非顶点）处的切线与过实轴两个顶点A ,A ′的切线相交于M ,M ′，则必得到以MM ′为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论57：以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆． 结论58：以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆． 结论59：以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切．结论60：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴上）上任一点M （非短轴顶点）与短轴的两个顶点B , B ′的连线分别交x 轴（或y 轴）于P , Q ，则2P Q x x a =（或2P Q y y a =）. 结论61：焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴上）上任一点M （非顶点）与实轴的两个顶点B , B ′的连线分别交y 轴（或x 轴）于P , Q ，则2P Q y y b =−（或2P Q x x b =−）.结论62：P 为焦点在x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点），则12PF F ∆与边21PFPF （或）相切的旁切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点A ′）.结论63：P 为焦点在x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点，则12PF F ∆与的内切圆与x 轴相切于右顶点A （或左顶点A ′）.结论64：AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF =e.；结论65：AB 是过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的焦点F 的一条弦（非通径，且为单支弦），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF e=. 结论66：AB 是过抛物线22(0)=>y px p 的焦点F 的一条弦（非通径），弦AB 的中垂线交x 轴于N ，则||2||AB NF =. 结论67：AB 是抛物线的焦点弦，分别过A ，B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 在其准线上.结论68：AB 是椭圆的焦点弦，分别过A ，B 作椭圆的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论69：AB 是双曲线的焦点弦，分别过A ，B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论70：AB 是过抛物线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其准线相切.结论71：AB 是过椭圆焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相切，与另一条准线相离.结论72：AB 是过双曲线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相交，截得的圆弧度数为定值，且为12arccos e.结论73：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切，则该曲线必为抛物线；若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论74：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交，则该曲线必为双曲线，且此时截得的圆弧度数为定值，且为12arccos e.结论75：AB 为过抛物线22(0)=>y px p 焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 则12||AB x x p =++.结论76：AB 为过椭圆22221(0)+=>>x y a b a b焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 则12||2AB a e x x =−+.结论77：AB 为过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b焦点F 的焦点弦，()()1122,,,,A x y B x y 若AB 为单支弦，则12||2AB e x x a =+−；若AB 为双支弦，则12||2AB e x x a =++.结论78：F 为抛物线的焦点，A ，B 是抛物线上不同的两点，直线AB 交其准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论79：F 为椭圆的一个焦点，A ，B 是椭圆上不同的两点，直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论80：F 为双曲线的一个焦点，A ，B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB .结论81：F 为双曲线的一个焦点，A ，B 是双曲线上不同的两点（同一支上），直线AB 交其相应的准线l 于M ，则FM 平分∠AFB 的外角.结论82：AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过焦点F 的弦，点P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c−.结论83：AB 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b过焦点F 的弦，点P 是双曲线上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为42b c −.结论84：AB 是抛物线2(0)=>y px p 过焦点F 的弦，点P 是抛物线上异于A ，B 的任一点，直线PA 、PB 分别交准线l 于M 、N ，则点M 与点N 的纵坐标之积为定值，且为2p −.结论85：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴顶点，()(,0),(,0)0E m F m m a −<<，点P 是椭圆上任一点（非长轴顶点），若直线PA 、PB 分别交直线2a x m=于M 、N ，则有如EM FN EN FM ⋅⋅、(aFM FN ⋅(a EM EN ⋅(2a BM FN ⋅(2aAM FN ⋅AM BN ⋅M N y y ⋅AP BP AM BN AN BMk k k k k k ⋅⋅⋅ 结论86：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b 的实轴顶点，()(,0),(,0)E m F m m a −>，点P 是双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线PA 、PB 分别交直线2()a x m a m=>于M 、EM FN EN FM ⋅⋅、(a FM FN ⋅(a EM EN ⋅(2aBM FN ⋅(2aAM FN ⋅(aAM BN ⋅(M N y y ⋅AP BP AM BN AN BMk k k k k k ⋅⋅⋅结论87：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一直径（中心弦），点P 是椭圆上任一点（不与A ，B 重合），则PA PB k k ⋅=21e −.结论88：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），点M是弦AB 的中点，若,OM AB k k 均存在，则OM AB k k ⋅=21e −.结论89：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有PQ AB k k ⋅=21e −.结论90：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P （不是其顶点）作椭圆的切线PA ，则有PA OP k k ⋅=21e −.结论91：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0)F m a m a −<<，过F 的弦的端点为A ，B ，过点A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=.结论92：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0)F m m c =±，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为椭圆上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FQ FP k k ⋅=−.结论93：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及定点()(,0),0F m a m a m −<<≠，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为椭圆上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m=相交于P ，Q ，则有222FQ FPb k k ⋅=m −a .；结论94：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一直径（中心弦），点P 是双曲线上任一点（不与A ，B 重合），则PA PB k k ⋅=21e −.结论95：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一弦（不过原点且不与对称轴平行），点M 是弦AB 的中点，若,OM AB k k 均存在，则OMAB k k ⋅=22b a.结论96：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的任一弦（不与对称轴平行），若平行于AB的弦的中点的轨迹为直线PQ ，则有PQ AB k k ⋅=21e −.结论97：过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b上任意一点P （不是其顶点）作双曲线的切线PA ，则有PA OP k k ⋅=21e −.结论98：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m a m a >∨<−，过F 的弦的端点为A ，B ，过点A ，B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为D ，C ，直线2a x m=与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=.结论99：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m c =±，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为双曲线上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与准线2a x m=相交于P ，Q ，则有1FQ FP k k ⋅=−.结论100：双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b及定点()(,0)F m m a m a >∨<−，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为双曲线上任意一点，连接AE ，BE ，且分别与直线2a x m=相交于P ，Q ，则有222FQ FPb k k a m ⋅=−. 结论101：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0)(0)F m m >，过F 的弦的端点为A ，B ，过A ，B 分别作直线x m =−的垂线，垂足分别为D ，C ，直线x m =−与x 轴相交于E ，则直线AC 与BD 恒过EF 的中点，且有0AE BE k k +=. 结论102：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0)2p F m m ⎛⎫=⎪⎝⎭，过F 的弦的端点为A 、B ，E 为抛物线上任意一点，连接AE ，BE ，分别与准线x m =−相交于P ，Q ，则有1FP FQ k k ⋅=−. 结论103：抛物线22(0)y px p =>及定点()(,0)0F m m >，过F 的弦的端点为A 、B ，E为抛物线上任意一点，连接AE ，BE ，分别与直线x m =−相交于P ，Q ，则有2FP FQ pk k m⋅=−. 结论104：抛物线22(0)y px p =>的焦点弦与抛物线相交于A ，B ，过B 作直线BC 与x 轴平行，交准线于C ，则直线AC 必过原点（及其准线与x 轴交点E 与焦点F 的线段的中点）.结论105：AB 为过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点.结论106：AB 为过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的焦点F 的弦，其相应的准线与x 轴交点为E ，过A ，B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于M ，N ，则直线AN ，BM 均过线段EF 的中点. 结论107：过圆锥曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.结论108：AB 为垂直于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该椭圆上.结论109：AB 为垂直于双曲线2222(0)λλ−=≠x y a b实轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该双曲线上.结论110：AB 为垂直于抛物线()()220==≠或y tx x ty t 对称轴的动弦，其准线与x 轴交点为Q ，则直线AF 与BQ （或直线BF 与AQ ）的交点M 必在该抛物线上.结论111：已知圆锥曲线的焦点弦AM （不为通径，若为双曲线则为单支弦），则在x 轴上有且只有一点Q 使AQF MQF ∠=∠.结论112：过F 作圆锥曲线的一条弦AB （若为双曲线则为单支弦），分别过A ，B 作准线l 的垂线（Q 是其相应准线与x 轴的交点），垂足为A 1，B 1，则直线AB 1与直线A 1B 都经过QF 的中点K ，即A 、K 、B 1及B 、K 、A 1三点共线.结论113：A ，B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点和左顶点，P 为椭圆上任一点（非长轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =于M ，N ，则以线段MN 为直径的圆必经过两个定点，且椭圆外定点为2a Q m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，椭圆内定点为2,0a R m ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭.结论114：A ，B 分别为双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的右顶点和左顶点，P 为双曲线上任一点（非实轴顶点），若直线AP ，BP 分别交直线2a x m =(m >a )于M ，N ，则以线段MN 为直径的圆必经过两个定点，且椭圆外定点为Q ⎫⎪⎪⎝⎭，椭圆内定点为2,0a R m ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭. 结论115：过直线()0x m m =≠但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()222222,0AB MN a b m N k k m a a m ⎛⎫⋅= ⎪−⎝⎭，且有.结论116：过直线()0x m m =≠但在双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()222222,0AB MN a b m N k k m a m a ⎛⎫⋅= ⎪−⎝⎭，且有. 结论117：过直线()0x m m =≠但在抛物线22(0)=>y px p 外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点(),02AB MN p N m k k m−⋅=，且有. 结论118：设点M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上），过点M 向圆锥曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过准线对应的焦点F ，且FM ⊥AB .结论119：过直线1mx ny +=但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb.结论120：过直线1mx ny +=但在双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点()22,N ma nb.结论121：过直线()10mx ny m +=≠但在抛物线22(0)=>y px p 外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 必过定点1,pn N m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭. 结论122：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，点P 是直线()||,0x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在椭圆上），直线PA 及PB 分别与椭圆相交于M ，N ，则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫⎪⎝⎭.结论123：A ，B 是双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b的顶点，点P 是直线()||,0x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在双曲线上），直线PA 及PB 分别与双曲线相交于M ，N ，则直线MN必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.结论124：A ，B 是抛物线22(0)=>y px p 上异于顶点O 的两个动点，结论125：过抛物线22(0)=>y px p 上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()002,x p y +−.结论126：过抛物线22(0)=>y px p 上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则()0MA MB k k λλ⋅=≠的充要条件是直线AB 过定点N 002,p x y λ⎛⎫−− ⎪⎝⎭. 结论127：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N 2222002222,a b b a x y a b b a ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭. 特别地，（1）当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()22222,0a a b a b ⎛⎫±− ⎪ ⎪+⎝⎭．（2）当M 为上、下顶点时，即000,x y b ==±时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N ()222220,b b a a b ⎛⎫±− ⎪ ⎪+⎝⎭．结论128：过双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b上任意一点M ()00,x y 作两条弦MA ，MB ，则MA ⊥MB 的充要条件是直线AB 过定点N 2222002222,a b b a x y a b b a ⎛⎫++ ⎪−−⎝⎭. 特别地，当M 为左、右顶点时，即00,0x a y =±=时，MA ⊥MB 的充要条件是直线AB过定点N ()22222,0a a b a b ⎛⎫±+ ⎪ ⎪−⎝⎭．结论129：过二次曲线()22,,,,,0+++=∈+≠Ax By Cx Dy E A B C D E A B 上任意一点M()00,x y 作两条弦MA ，MB ，若MA ⊥MB ，则直线AB 过定点N 000022,Ax C By D x y A B A B ++⎛⎫−− ⎪++⎝⎭.结论130：A ，B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上不同的两个动点，若OA ⊥OB ，则22222211||||a b OA OB a b ++=，min max1111||||||||a b OA OB ab OA OB ⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结论131：A ，B 是双曲线22221(0)−=>>x y b a a b上不同的两个动点（在同一支上），若OA ⊥OB ，则22222211||||b a OA OB a b−+=.结论133：过圆锥曲线()2210,0x y m n m +n=>≠的焦点F 作一条直线与圆锥曲线相交于M ，N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则2m nλμ+=−.结论134：过抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条直线与抛物线相交于M ，N ，与y 轴相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则1λμ+=−.结论135：过圆锥曲线的焦点F 作一条直线与圆锥曲线相交于M ，N ，与相应的准线相交于P ，若,PM MF PN NF λμ==，则0λμ+=.结论136：MN 是垂直椭圆22221(0)+=>>x y a b a b长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=.结论137：MN 是垂直双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=. 结论138：MN 是垂直抛物线()220y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，若,PE EM PF FN λμ==，则0λμ+=.结论139：MN 是垂直椭圆22221(0)+=>>x y a b a b长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为长轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则1λμ+=−.结论140：MN 是垂直双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为实轴顶点，若,OE EA OF FA λμ==，则1λμ+=−.结论141：MN 是垂直抛物线()220y px p =>对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线MP ，NP 分别交x 轴于E 、F ，A 为抛物线焦点，若,OE EA OF FA λμ==，则112λμ+=.结论142：P 是圆锥曲线221(0,0)x y s t s t+=>≠上任意一点，弦PA ，PB 分别过定点((,0),(,0)0M m N m m −<<，若,λμ==PM MA PN NB ，则()222λμ++=−s m s m.结论143：M ，P 是圆C ：222(0)x y r r +=>上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于点A (m ,0)、B (n ,0)，则mn =r 2.结论144：M ，P 是圆锥曲线221(0,0)x y s t s t+=>≠上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于点A (m ,0)、B (n ,0)，则mn =s .结论145：A ，B 是圆锥曲线C ：221(0,0)x y s t s t+=>≠上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点P (m ,0)是x 轴上的定点，直线PB 交C 于另一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点Q,0s m ⎛⎫⎪⎝⎭. 结论146：A ，B 是抛物线C ：2(0)y px p =>上关于x 轴对称的任意两个不同的点，点P (m ,0)是x 轴上的定点，直线PB 交C 于另一点E ，则直线AE 恒过x 轴上的定点Q (),0m −.。
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专题十三 相关知识点、公式的拓展1、立方差（和）公式))((2233b ab a b a b a +-+=+； ))((2233b ab a b a b a ++-=-；2、中线定理（阿波罗尼斯定理）：)(22222CD AD AC AB +=+3、中垂三角形：两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，如图，△ABC 为中垂三角形，则AB 2+AC 2＝5BC 24、角平分线性质：△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，则DCBDAC AB =5、三角形张角定理：如图，在△ABC 为中，D 为BC 边的一点，连接AD ，设AD ＝l ，∠BAD ＝α，∠CAD ＝β，则一定有()cb l βαβαsin sin sin +=+ 推导：∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD∴()βαβαsin 21sin 21sin 21bl cl bc +=+ 两边同时除以lbc 21，得：()cb l βαβαsin sin sin +=+ 推论1：（角平分线张角定理）当α＝β时，⎪⎭⎫⎝⎛+=c b l 1121cos α 推论2：（角平分线面积问题）()ααtan sin 212l c b AD S ABC ≥+=∆ 6、角平分线之斯库顿定理：如图，AD ，是△ABC 的角平分线，则BC BD AC AB AD ..2-=(就其所处图中的位置关系而言，可记忆为：中方＝上积—下积)AD C BAD C B ADC BEAD CB推导：作△ABC 的外接圆，延长AD 交圆于E ，连接BE ，如图 ∵∠E ＝∠C 、∠1＝∠2 ∴△ABE ∽△ADC ∴ACAEAD AB =，即AC AB AE AD ..= ∴AC AB DE AD AD .).(=+ ∴AC AB DE AD AD ..2=+由相交弦定理得：BD ·DC ＝AD ·DE ∴AD 2+BD ·DC ＝AB ·AC注意：角平分线张角定理强调的是角度，斯库顿定理强调的是长度，斯库顿定理可以绕过求张角而直接求出三角形的各边长，通常和内角平分线定理合在一起出考题. 7、倍角三角形：A B c a a b 2)(2=⇔+= B C a b b c 2)(2=⇔+= C A b c c a 2)(2=⇔+=8．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.9．若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．ADCBAD C BE10．关于“尾共点、头共线”向量的三个重要模型(1) “1”的模型(C 为A ,B 上任意一点)：若OB y OA x OC +=，则x ＋y ＝1 (2) 共起点向量的和（C 为A,B 的中点）OC OB OA 2=+ (3) 共起点向量的数量积，即计划恒等式2222222.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=BA OC CA OC BC OC OB OA (4) )(22222CA OC OB OA +=+11．奔驰定理：已知O 是△ABC 内一点，则0.S .S .S AOB AOC BOC =++∆∆∆OC OB OA高考答题需注意的几点1．求椭圆方程问题中，未涉及焦距的需设焦距为2c专题十四 圆锥曲线常用二级结论（92条）第一部分 直线方程、圆方程1．直线方程的五种形式：点斜式，两点式，斜截式，截距式，一般式。
2．与直线相关的重要内容(1)倾斜角与斜率的关系：tan ,[0,)k ααπ=∈ (2)两种特殊的位置关系：①与直线垂直的直线可表示为； ②若直线与直线平行则（斜率相等）且（y 轴截距不等）（充要条件）(3)点到直线的距离公式：0022Ax By C d A B++=+(4)两平行线间的距离为。
OABC3．到角公式：1212.1tan k k k k +-=θ(注：其中θ为直线l 1到直线l 2的到角)4．倒斜截式：n my x +=在直线与圆锥曲线的综合应用中，有时为了计算的方便，需引入直线方程的一种表达形式---倒斜截式n my x +=，应用时需注意以下几点：(1) 考虑消去x ，利用纵坐标的关系；(2) 倒斜截式n my x +=的斜率为mk 1=； (3) 此方程应用时需检验斜率为0；(4) 倒斜截式n my x +=在x 轴的截距为n 5．弦长公式设1122(,),(,)A x y B x y ，则A ，B 之间的距离||)1()()(212221221x x k y y x x AB -+=-+-= 或||)11()()(212221221y y ky y x x AB -+=-+-=6．两条直线的位置关系∠1212l l k k ⊥⇔=-1 ∠ 212121//b b k k l l ≠=⇔且 7．圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。
二元二次方程表示圆的充要条件是且且。
8．圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。
圆的参数方程的主要应用是三角换元：；9．为直径端点的圆方程10．切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（）11．弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；12．过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。
13．“隐形圆”问题：圆的方程是常考问题，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，常见的策略如下：策略一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；策略二 动点P 对两定点A ，B 的张角是90°()0.1.21=-=PB PA k k 或确定隐圆； 策略三 两定点A ，B ，动点P 满足 PB PA .＝λ确定隐圆； 策略四 两定点A ，B ，动点P 满足P A 2＋PB 2是定值确定隐圆；策略五 两定点A ，B ，动点P 满足P APB ＝λ(λ>0，λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯圆)；策略六 构造或者直接求动点的轨迹．第二部分椭圆1．在椭圆上点P 处的切线PT 平分焦点三角形PF 1F 2的外角；2．PT 平分△PF 1F 2的外角在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点．3．以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离．4．以焦半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆相内切．5．设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ∠NF ．6．过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q ，A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ∠NF ． 7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 8．巧用条件，妙求椭圆方程：(1)若已知椭圆过点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可设椭圆方程为122=+ny mx(2)若已知椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则与C 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++m b y m a x (3)若已知椭圆C:x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则与C 同离心率的椭圆方程可设为)0(2222>=+k k b y a x9．椭圆的第二定义：111<=e d PF 10．设A 1，A 2为椭圆的左右顶点，则△PF 1F 2在边P F 2（P F 1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A 2（A 1）； 1112(1)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1⊥的条件PF 1是c ≥b ，即椭圆离心率e 的范围是)1,22[； (2)已知F 1,F 2椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左右焦点，P 是椭圆上的动点，且∠F 1PF 2＝θ，则离心率e 的范围是)1,2[sinθ；(3)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1，F 2分别是椭圆的左右焦点，则PF 1.PF 2的取值范围是[b 2,a 2]；(4)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1，F 2分别是椭圆的左右焦点，则21.PF PF 的取值范围是[b 2—c 2,a 2—c 2]；(5)关于点与椭圆的位置关系：①若000(,)P x y 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，则1220220>+by a x ；②若000(,)P x y 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内，则1220220<+by a x ；(6)关于焦半径的不等关系：c a PF c a +≤≤-1推导：由两点间的距离公式，可知221)(yc x PF ++=① 又由x 2a 2＋y 2b 2＝1，得)(22222x a ab y -=②将②代入①中并化简，得)(1a x a x aca PF ≤≤-+= 所以，由上面的焦半径公式，可知： 当P 在左端点时PF 1的最小值为a —c ； 当P 在右端点时PF 1的最大值为a + c ；(7)关于焦点弦的不等关系：a AB ab 222≤≤13．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个顶点为A 1(—a ，0)，A 2(a ，0)，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1，P 2时，A 1P 1，A 2P 2交点的轨迹方程是x 2a 2—y 2b 2＝1； 14．点与椭圆的位置关系：(1)点()00,y x P 在椭圆的上部⇔122220=+b y a x ； (2)点()00,y x P 在椭圆的内部⇔1220220<+b y a x ； (3)点()00,y x P 在椭圆的外部⇔1220220>+by a x ； 22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)x y a b a b +=>>15．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=16．若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+= 17．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线A x +B y +C ＝0相切的条件是A 2a 2+B 2b 2＝C 2 18．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线A x +B y +C ＝0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2 19．椭圆的中点弦（点差法或韦达定理）图（1）(1)结论：AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则即22.y x a b k AB-=证明：设),(11y x A ，),(22y x B ，将A ，B 代入椭圆方程联立方程组，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ， 两式相减，得：02222122221=-+-by y a x x 0))(())((2212122121=+-++-b y y y y a x x x x所以，2121222121.y y x x a b x x y y ++-=-- 所以0022.y x a b k AB-=(2)推理1：22OM ABb k k a⋅=-；(3)推理2(周角定理)：若A ，B 是椭圆上关于原点对称的两点，P 为异于A ，B 的一个动点，则22.ab k k PBPA -=；证明：设),(11y x P ，),(22y x A ，则),(22y x B -- 所以1212x x y y k PA --=，1212x x y y k PA++= 所以2122212212121212..x x y y x x y y x x y y k k PBPA --=++--= 又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x ， 两式相减，得02222122221=-+-by y a x xy12 x12 y22 x22b2 a2b2 所以 kPA.kPB a220．知 A，B 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上异于顶点的两点，若 OA，OB 的斜率之积 kOA·kOB ＝－ba22，则 OA2＋OB2＝a2＋b2；推导：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 kOA·kOB＝yx11yx22＝－ba22， 所以 a2y1y2＝－b2x1x2，即 a4y12y22＝b4x21x22. 因为点 A，B 在椭圆上， 所以 b2x21＋a2y21＝a2b2，b2x22＋a2y22＝a2b2，移项得 －a2y21＝b2x21－a2b2①，－a2y22＝b2x22－a2b2②， 由①×②得，a4y21y22＝b4(x21－a2)·(x22－a2)＝b4x21x22，所以 x21＋x22＝a2. 由①＋②得，－a2(y12＋y22)＝b2(x21＋x22)－2a2b2＝－a2b2，所以 y21＋y22＝b2， 所以 OA2＋OB2＝x21＋y21＋x22＋y22＝a2＋b2.21．椭圆的短轴端点 B1, B2 ，P 为椭圆上任意一点，连接 B1P, B2 P 分别交长轴于 N , M 两 点，则有 OM ON a2 ；22．若P(x0,y0)在椭圆内，则被P所平分的中点弦的方程是x0 x a2y0 y b2x02 a2y02 b2；23．若P(x0,y0)在椭圆内，则过P的弦中点的轨迹方程是x a2 2y2 b2x0 x a2y0 y b2；24．已知椭圆x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，PQ所在直线方程为 Ax+By＝1，且 OP OQ ，O 到 PQ 的距离为 d；（1） d ab a2 b21 （2） | OP |2|1 OQ|21 a21 b2；推导：当 OP，OQ 在坐标轴上时，显然等式成立①当 OP，OQ 不在坐标轴上时，设直线 OP： y kx ，直线 OQ： y 1 x ， kx2联立方程 a2y2 b2 1，得 (k 2a2 b2)x2a2b2 ，y kx解得x2 pa 2b 2 k2a2 b2，y2 pk 2a2b2 k2a2 b2则， 1 k 2a2 b2 ，同理 1 k 2b2 a2 ，OP 2 (k 2 1)a2b2OQ 2 (k 2 1)a2b21 所以， | OP |21 | OQ |21 a21 b2利用等面积法，可得： 1 OP.OQ 1 OP2 OQ2 .d22所以 d OP.OQ OP2 OQ2，又 OP 2 OQ 2 OP 2.OQ 2a2 b2 a 2 .b 2所以 d ab a2 b2（3）1 a21 b2A2 B2（4） PQ 2 a4 A2 b4B2 a2 A2 b2B2（5）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 4a2b2 ； a2 b2（6）SOPQ的最小值是a2b2 a2 b2．25．过椭圆 x2 a2 y2 b21(a＞0，b＞0)上任一点 A(x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且 kBCb2 x0 a2 y0（常数）26．椭圆x2 a2y2 b21(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为 SF1PF2 b2tan 2c|yp|；P( a c2 b2 tan2 , b2 tan )c2c 227．椭圆x2 a2y2 b21(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2 ，当 P 在上顶点或下顶点时，周角 F1PF2 取得最大值；焦点三角形的几点说明：1．椭圆上一点 P(x,y) 与两焦点 F1 , F2 构成的三角形 △PF1F2 的面积： S△PF1F2 b2tan 2（ F1PF2 ， b 为短半轴长），周长为 2(a c) .2．P 在短轴端点时, 取的最大值；推导：∵ P 在椭圆上，∴| PF1 | | PF2 | = 2a在 F1PF2 中，| F1F2 | = 2c ，cos = | PF1 |2 | PF2 |2 | F2 F1 |2 = (| PF1 | | PF2 |)2 | F2 F1 |2 2 | PF1 || PF2 |2 | PF1 || PF2 |2 | PF1 || PF2 |=|2b2 PF1 || PF2|1 (|PF12b2 | | PF2|)21 = 2b2 a2 1（当且仅当| PF1||PF2| 时取等号），2又∵余弦函数y cos x 在 [0, ]上是减函数， (0, ) ∴当 cos=2b2 a2 1 时， max =arccos 2b2 a2 ； a23．焦点角形的面积为 SF1PF2 b2tan 2c|yp|推导：在△PF1F2 中，由余弦定理，得： F1F22 PF12 PF22 2PF1.PF2 cos F1PF2所以 4c2 (PF1 PF2 )2 2PF1.PF2 2PF1.PF2 cos所以PF1.PF22a2 2c2 1 cos 2b2 1 cos2b2 2 cos2b2 c os222所以S PF1F21 2.PF1.PF2sin1 2cb2 os2 2sin cos 22 b2tan 2228．设椭圆 x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0）的两个焦点为 F1、F2，P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在∠PF1F2 中，记 F1PF2 ， PF1F2 ， F1F2P ，则有 sin c e ．sin sin a29．若 P 为椭圆 x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点，F1，F 2 是焦点,PF1F2， PF2F1，则a a c ctaann 2c. toatn 2230．焦点弦：倾斜角为α的直线l过椭圆的焦点F1，与椭圆交于AB两点，且AF1 BF1，则：(1)焦点弦长AB(a22ab2 b2 ) sin2 b2；(2)1 AF1 BF2a b2；(3)焦长比值定理： e cos 1 1(4)焦半径长AF1ab2 c.cos；BF1ab2 c.cos31．若椭圆 x2 a2y2 b2 1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当2 1≤e＜1 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项；32．P 为椭圆 x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0）上任一点，F1，F2 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 2a | AF2 || PA | | PF1 | 2a | AF1 | ，当且仅当 A，F2，P 三点共线时，等号成立；33．椭圆x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0）上存在两点关于直线 l：y＝k(x—x0)对称的充要条件是x02(a2 b2 )2 a2 b2k2；34．椭圆 (x x0 )2 ( y y0 )2 1与直线 Ax By C 0 有公共点的充要条件是a2b2A2a2 B2b2 ( Ax0 By0 C)2 .35．已知椭圆x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0）的右准线 l 与x轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上，且 BC x 轴，则直线 AC 经过线段EF 的中点. 36．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 37．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 38．椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点） 39．椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e． 40．椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项．41．过椭圆 x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M，N两点，弦 MN的垂直平分线交 x 轴于 P，则 | PF | e ． | MN | 242．已知椭圆x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0），A、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点 P(x0 , 0) ，则 a2 b2 ax0a2 b2 a．43．经过椭圆 x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0）的长轴两端点 A1,A2 的切线，与椭圆上任意一点的切线相交于 P1,P2 则有|P1A1|.|P2A2|＝b244．设A、B是椭圆x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB ,PBA ， BPA ，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) |PA |2ab2 | cos | a2 c2co s2 ；(2) tan tan 1 e2 ；(3) SPAB2a2b2 b2 a2cot .第三部分 双曲线1．点 P 处的切线 PT 平分∠PF1F2 在点 P 处的内角． 2．PT 平分∠PF1F2 在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点． 3．以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交． 4．以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切．（内切：P 在右支；外切：P在左支） 5．巧用条件，妙求双曲线方程 (1)与双曲线ax22－by22＝1 有共同渐近线的双曲线方程可设为ax22－by22＝λ(λ≠0)．(2)若双曲线的渐近线方程为 y＝±mn x，则双曲线方程可设为mx22－ny22＝λ(λ≠0)或 n2x2－m2y2＝λ(λ≠0)．(3) 与双曲线ax22－by22＝1 共焦点的双曲线方程可设为a2x－2 k－b2y＋2 k＝1(－b2<k<a2)．(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．(5)与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为a2x－2 λ＋b2y－2 λ＝1(b2<λ<a2)．6．双曲线 x2 a2y2 b21(ab>0)的参数方程x a cosy b tan，（其中 θ 为离心角，[0,2 )且 ， 3 ）227．若P0(x0,y0)在双曲线x2 a2y2 b2 1（a＞0,b＞0）上，则过 P0 的双曲线的切线方程是x0 x a2y0 y b2 1.8．若P0(x0,y0)在双曲线x2 a2y2 b2 1（a＞0,b＞0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2 的直线方程是x0 x a2y0 y b2 1.9．已知 P 为双曲线 x2 a2y2 b21(ab>0)上一点， F1PF2，S∠F1PF2＝b2 tan 2．推导：设双曲线的焦距为 2c ，有双曲线的第一定义知，|| PF1 | | PF2 || = 2a ，在 F1PF2 中，由余弦定理得，| F2 F1 |2 = | PF1 |2 | PF2 |2 2 | PF1 || PF2 | cos= (| PF1 | | PF2 |)2 2 | PF1 || PF2 | (1 cos ) ，∴|PF1||PF2|= |F2 F1|2 (| PF1 | | 2(1 cos )PF2|)2= 2b2 1 cos∴SF1PF2=1 2|PF1||PF2|sin = b2 1sin cos= b2 tan.210．双曲线 x2 a2y2 b2 1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( F1(c, 0),F2 (c, 0) ）当 M (x0, y0 )在右支上时，| MF1 | ex0 a ,| MF2 | ex0 a ；当 M (x0 , y0 ) 在左支上时，| MF1 | ex0 a ,| MF2 | ex0 a 。