微积分在土木工程中的应用

微积分在土木工程中的应用

引言：

结构动力学，作为一门课程也可称作机械振动，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。此后另一个重要的发展时期，是与约翰·伯努利，欧拉，达朗贝和拉格朗日等人的名字分不开的。下面简单介绍工程结构常用的自由振动的数值求解方法和动力响应的非线性分析方法。

正文：

振型叠加法仅适用于求解线性结构的动力响应，并且还要求结构体系应具有非耦连的阻尼效应。对于工程实际中存在的结构动力响应，比如在强烈地震作用下的建筑物的弹塑性动力时程分析，结构体系就不再允许被看作是线性的。在类似情形，结构的刚度和阻尼不再随时间线性变化，其结果就使得在动力方程中的刚度矩阵和阻尼矩阵中的元素是时间的非线性函数。

因此，为解决类似非线性结构的动力响应问题，就出现了响应的求解方法，其中最一般也最为有效的方法就是逐步积分法，或者叫做直接数值积分法。所谓“直接”，就是指在进行数值计算之前，并没有将原方程经过某种数学上的变换，变成另一种形式再来计算，而是直接对系统的动力学方程求解。

逐步积分法

逐步积分法可用来求解线性和非线性结构体系，并且适用于任意阻尼情况。该方法的核心思想包含以下两点：

1．设想运动方程并不是在任意的时间t都能得到满足，而仅仅在时间间隔为Δt的若干个离散的时间点上得到满足。

2．在时间间隔Δt内，对于位移，速度，加速度的变化应作出某些假设。

不同的逐步积分法的差异就在于第二点的假设有所不同，当然，计算结果的精度，稳定性和计算的费用也直接和这些假设有关。

在结构系统的动力分析中，原则上可以认为是考虑了与加速度有关的惯性力和与速度有关的阻尼力的作用后，在时刻t的静力平衡。因此，可以这样认为，逐步积分法对在整个时间历程中动力特性表现为非线性的结构进行了微小时间间隔Δt内的线性化。本来，在整个时间历程中，结构体系的刚度矩阵和阻尼矩阵中的元素是时间的非线性函数。但如果选取的时间间隔Δt相对于结构的最小自振周期来说足够小，那么在每个微小的时间间隔内，就可以以各个时间间隔的起始点处的切线刚度和切线阻尼来表示结构的刚度和阻尼，用增量平衡方程来代替非线性结构系统的动力学平衡方程来求解，从而可以求得其动力响应。

根据在时间间隔Δt内，对于位移，速度，加速度的变化作出假设的不同，主要有以下几种逐步积分的求解方法：中心差分法，平均加速度法，线性加速度法和Wilson-θ法。其中Wilson-θ法是用来求解非线性结构动力响应的最为有效的方法。

对于逐步积分法来说，求解的精度，算法的稳定性与计算所需费用是相互制约的。一般情况下，计算所需费用（即计算所需运算量）与求解所需时间步长（间隔）Δt的步数成比例。因此，在逐步积分的求解过程中，选取一个合适的时间步长是非常重要的。大多情况

下，可以将时间步长选定为最短周期的十分之一。

线性加速度法

下面简介求解单自由度体系非线性动力响应的线性加速度法。该方法的思路是，把整个振动过程分成很多个时间间隔Δt ，一般称作步长，即一步一步按照相同的程序算出x ，从而得到x 的整个时程值。现在假定已选定了时间步长Δt ，并假设在某一步开始时的位移i x ，

速度i x

和加速度i x 都已算出。那么，为了计算Δt 以后的响应，假定在Δt 范围内加速度按直线规律变化，此时，位移对时间的三阶导数为常数：

()常数=∆∆=∆-=+t x t x x x i i i 1

将位移响应x 在时间t i 开始时按泰勒级数展开，并注意到(3.1)式，则有：

6

232

ττττt x x x x x i i i ∆∆+++= 对式求导运算，可以得到已位移增量表示的速度增量和加速度增量： ()

i i x x t x t x 3662-∆-∆∆=∆ i i x t x x t x 2

33∆--∆∆=∆ 用来求解位移增量的动平衡方程为：

()()i i t P x t k ~~∆=∆

式中， ()()()

()i i i t c t m t t k t k ∆+∆+=36~2 ()()()⎪⎭⎫ ⎝

⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∆+∆=∆i i i i i i i x t x t c x x t m t P t P 2336~ 解方程，得出位移增量后，再将此值代入，即可得到速度增量。于是下一时段开始时的位移及速度可从这些增量值求得。重复以上计算过程，就可以算得各时刻得位移响应。 在使用线性加速度法进行数值分析中，包含了两个重要假定：一是加速度为线性变化；二是阻尼和刚度特性在时间步长内保持为常量。一般而言，时间步长很短时误差会很小，但这两个假定毕竟都不是完全正确的。误差一般是在增量平衡关系中出现，而这些误差将会逐渐积累。为避免这种误差的过多积累，在分析的每一步中，要利用总的动平衡条件，来计算时间步长起点处的加速度。

线性加速度法的精度取决于步长Δt 的大小。在选取步长大小时，应主要考虑：作用荷载的变化速率；非线性阻尼和刚度特性的复杂性；结构的振动周期。线性加速度法是一种有条件稳定的算法，一般如果能满足10

1≤∆T t ，T 为结构的振动周期，则就可获得可靠的结果。 结语：

本文简要介绍了微积分在高等结构动力学中求解方法。目前，结构动力学的发展已经从

确定性结构动力学向概率性结构动力学发展，并广泛应用在地震工程当中。应当指出的是，随着计算机硬件的飞速发展，计算理论的进一步研究，结构动力学这门学科始终还处在快速发展过程之中，其理论和方法也必将越来越直接地服务于工程实际。