1863 数学思想与方法

数学概念及其教学数学概念的意义反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。

数学概念产生和发展的途径（1）从现实模型直接得来；（2）经过多级抽象概括得来；（3）从数学内部需要产生出来；（4）把客观事物理想化和纯粹化得出；（5）根据有理论上存在的可能性而提出等¤ 数学概念是发展变化的：原因一方面事物是发展变化的，另一方面人们的认识是不断深化的。

如：自然数集（加零）→扩大的自然数集（加正分数）→算术数集（加负整（分）数）→有理数集（加无理数）→实数集（加虚数）→复数集¤ 概念和词语密切联系：语词是概念的语言形式，而概念是语词的思想内容，两者密切联系，不可分割。

概念和语词之间是一一对应的吗？¤ 数学概念的重要性：非常基本，也非常重要，判断由概念构成，推理由判断构成，论证由判断和推理构成，因此概念是其他思维形式的基础，是思维的细胞。

¤ 概念的内涵和外延概念的内涵亦称内包：就是概念所反映的事物的本质属性的总和, 是概念的质的方面，它说明所反映的事物是什么样的。

是指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。

概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和（或范围），是概念的量的方面，它说明概念所反映的是哪些事物。

例：“△ABC 的顶点”内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；外延是指 A 、B 、C 三点的集合。

注：（1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。

例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。

（2）概念的内涵和外延是发展的（3）概念的内涵和外延关系密切、互相依赖。

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩同一关系相容关系属种关系交叉关系概念间的关系矛盾关系不相容关系反对关系概念间的关系（概念外延间的同异关系）1、相容关系（两个概念外延之间至少有一部分重合）（1）同一关系（全同关系或重合关系）：外延完全重合，内涵可以不同。

例如：（一）数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数的差等；（二）等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。

注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、较全面的认识。

另外，在推理证明中具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。

从属关系（属种关系）如果甲概念的外延真包含乙概念的外延，如下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。

其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。

这两个概念的外延和的关系可以写成例如四边形和平行四边形是具有属种关系的概念；实数和有理数也具有属种关系的概念。

在属种关系中，外延大的那个叫属概念，外延小的那个叫种概念（一个概念的属概念是否唯一，一个概念的种概念是否唯一？）注意：一是种类概念之间具有相对性。

二是要区分从属关系和全体与部分的关系。

有的概念之间既有从属关系又有全体与部分的关系。

有的却不然。

例如,对数与它的首数、尾数之间的关系不是从属关系,只是全体与部分的关系。

3）交叉关系如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分重合关系，如下图。

用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合和集合，如果是非空集合而且不是，那么这两个概念具有交叉关系。

例：（1）整数和整数（2）等腰三角形和直角三角形4）不相容关系（全异关系）如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有全异关系，这种关系又叫做“全异关系”或“排斥关系”。

全异关系又分为反对关系、矛盾关系和并列关系.反对关系：两个概念的外延完全不同，而且它们的外延之和小于其属概念的外延，如正有理数和负有理数相对于有理数来说是反对关系。

矛盾关系：两个概念的外延完全不同，并且它们的外延之和等于其属概念的外延。

如有理数和无理数相对于实数来说就是矛盾关系。

并列关系：指两个或两个以上的同一系列的类概念，同时对于它们共同的种概念之间的关系，外延无公共部分。

内涵和外延的反变关系概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的。

当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。

内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。

例如,在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比四边形的外延缩小了。

不过这里要注意,这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含的两个概念之间。

概念的定义和原始概念把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。

（揭示概念内涵的逻辑方法） 原始概念：一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念．如：点、线、面、空间、集合、元素、对应等。

定义的结构：被定义项（被定义的概念 ）、定义联项（联系词）和定义项（下定义的概念）。

如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。

下定义的方法：邻近的属加种差的定义邻近的属：在一个概念的各个属概念中，其内涵与这个概念的内涵之差最小的，叫这个概念的邻近的属。

如平行四边形是矩形的属概念而四边形和多边形则不是。

种差：用于区别该概念和邻近的属概念的属性）例：一个角是直角的平行四边形叫做矩形（种差） （邻近的属）（被定义的项）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧公理定义递归定义外延定义关系定义发生定义最常用）邻近的属加种差定义（定义方法（种差）（邻近的属）（被定义项）注：一个概念的同一个属可以有不同的种差，因此同一个概念可以有不同的定义。

¤发生定义：用一类事物产生或形成的情况作为种差作出定义。

例如：“圆是由一定线段的一动端点在平面上绕另一不动端点运动而形成的封闭曲线”。

这种定义一般说来语言叙述比较长，但直观、生动，有时可以用图形直观地表示出来。

¤关系定义：用对象之间的关系作为种差而作出的定义。

例如：“偶数就是能被2整除的整数”¤外延定义：列举概念的全部对象来下定义。

例如：“有理数是正整数、负整数、正分数、负分数和零的统称”¤递归定义：当被定义的对象与自然数性质有关时常采用。

¤公理定义法（约定式定义）规定“”下定义的基本要求定义要下得正确,必须遵守以下规则（1）定义应当相称所谓定义相称指下定义概念的外延与被定义概念的外延必须相等,不能扩大, 也不能缩小,即通常说的不能过宽也不能过窄。

定义过宽：下定义概念的外延大于被定义概念的外延。

例如:A、无理数是无限小数；B、直径是弦。

此两例都犯了定义过宽的逻辑错误。

例A中的下定义概念“无限小数”外延大于被定义概念“无理数”外延。

因无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数,而无限循环小数就不是无理数。

例B中的下定义概念“弦”的外延大于被定义概念“直径”的外延。

定义过窄：下定义概念的外延小于被定义概念的外延。

例如:A、无理数是有理数的不尽方根；B、各角为直角的菱形是矩形。

此两例都犯了定义过窄的错误。

例A中的下定义概念“有理数的不尽方根”的外延小于被定义概念“无理数”的外延。

因为π、e、lg3等都是无理数,它们都不是有理数的不尽方根。

例B中的下定义概念“各角为直角的菱形”的外延小于被定义概念“矩形”的外延。

因为各角为直角的菱形是正方形,正方形一定是矩形,但矩形不一定是正方形。

2）定义不能恶性循环在定义中,下定义概念必须能直接地揭示被定义概念的内涵,而不能直接或间接地依赖于被定义概念。

下定义的目的就是要揭示被定义概念的内涵。

如果下定义概念直接或间接地包含了被定义概念,那么就达不到明确概念内涵的目的。

违犯了这条规则,就会犯循环定义的逻辑错误。

循环定义常有以下两种情况：恶性循环：在一个科学系统中,如果把概念A作为已知的概念来定义概念B,但又用概念B来定义概念A,这种逻辑错误叫做定义恶性循环。

例如用两条直线垂直来定义直角,反过来又用两直线交成直角来定义垂直。

这样定义概念不能揭示概念的内涵。

词语反复：用被定义概念的简单重复来定义被定义的概念,即用自身定义自己, 这种逻辑错误叫做词语反复,结果什么也没有说清楚。

以下几例都犯了词语反复的错误。

1°互质数就是互为质数的数。

2°基础知识就是最基础的知识。

3）定义一般不用否定形式定义应从正面对被定义概念的本质属性用肯定形式给予揭示, 一般不用否定形式。

例如“不是有理数的数叫做无理数”。

这样定义无理数,既不能揭示无理数的内涵,又不能确定无理数的外延。

但是,有些概念的特有属性就是它缺少某个属性,对这样的概念下定义可用否定形式。

例如,“同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”就是用的否定形式。

（4）定义应当简明（5）定义一般不用比喻说法在定义中不能应用比喻或含混不清的概念,不应列举非本质属性,不应含有多余词语,也不能漏掉必须的词语。

例如“无穷小是很小很小的数”,这样定义无穷小是错误的。

从外表看,颇似定义,但它用了比喻词。

又如,“正方形是一种有规则四边形”,“有规则”是一个不可捉摸的含混概念,这样定义不能揭示出“正方形”的内涵。

再如,“对边平行且相等的平面四边形是平行四边形”。

这个定义既不清楚确切,也不简明。

定义中漏掉了“两组”、“分别”、多了“且相等”,“平面”。

概念的划分和分类划分是明确概念外延的逻辑方法，就是将一个概念所指的事物，按照不同的属性分成若干小类，从概念来说，就是将一个属概念划分成若干种概念，被划分的类叫做划分的母项，若干小类叫做划分的子项。

概念的划分：把一个属概念分为若干个不相容种概念的逻辑方法。

概念的分类是划分的特殊形式，是根据概念所反映对象的本质属性或特征所进行的划分。

概念分类的要求：（1）排中律：不能同假，必有一真，即A 和A ’必居其一，且仅居其一，A 或A ’）（2）同一律：保持同一性，A 是A（3）无矛盾律：使用同一标准，逐级分类等划分规则（1）划分后各子项应当互不相容：子项之间必须有全异关系，违反这条规则叫做犯了子项相容的错误。

例如：把平行四边形划分为菱形、正方形和邻边不等的平行四边形。

（2）各个子项必须穷尽母项：子项的总和应当与母项全同，违反这条规则叫做犯了子项不穷尽错误。

例如：把平行四边形划分为菱形、正方形和矩形。

（3）每一次划分应当用同一个划分标准：划分的标准可以不同，但每一次划分时不能用两种或两种以上的划分 标准。

（4）不能越级划分：应取最接近的种概念，否则就叫做犯了越级分类的错误。

如：把实数分成整数和分数。

二分法：首先把被划分的概念分为两个互相矛盾的概念，再继续按照此方法进行，最后得到的种概念就一定能够满足前面的三条规则。

如：用二分法表示线性方程组的解122111112212221221122112211221122112121212a 0000x y x y x y c b c b x x b y c a b a b a x b y c a c a c y a b a b D a b a b D c b c b D a c a c D D D a a b b D D D c c c c -⎧=⎪+=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩=-=-=-≠=====解方程组得设，，有唯一确定的解、至少有一不为零，无解则 ，，，至少有一个不为零，解不定，有一不为零，无解系数全为零⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解不定。