1863 数学思想与方法

数学概念及其教学

数学概念的意义

反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。

数学概念产生和发展的途径

（1）从现实模型直接得来；

（2）经过多级抽象概括得来；

（3）从数学内部需要产生出来；

（4）把客观事物理想化和纯粹化得出；

（5）根据有理论上存在的可能性而提出等

¤ 数学概念是发展变化的：原因一方面事物是发展变化的，另一方面人们的认识是不

断深化的。如：自然数集（加零）→扩大的自然数集（加正分数）→算术数集（加负整（分）数）→有理数集（加无理数）→实数集（加虚数）→复数集

¤ 概念和词语密切联系：语词是概念的语言形式，而概念是语词的思想内容，两者密

切联系，不可分割。概念和语词之间是一一对应的吗？

¤ 数学概念的重要性：非常基本，也非常重要，判断由概念构成，推理由判断构成，

论证由判断和推理构成，因此概念是其他思维形式的基础，是思维的细胞。

¤ 概念的内涵和外延

概念的内涵亦称内包：就是概念所反映的事物的本质属性的总和, 是概念的质的方面，它说明所反映的事物是什么样的。是指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。

概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和（或范围），是概念的量的方面，它说明概念所反映的是哪些事物。

例：“△ABC 的顶点”

内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；

外延是指 A 、B 、C 三点的集合。

注：

（1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。

例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。

（2）概念的内涵和外延是发展的

（3）概念的内涵和外延关系密切、互相依赖。

⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

同一关系相容关系属种关系交叉关系概念间的关系矛盾关系不相容关系反对关系

概念间的关系（概念外延间的同异关系）

1、相容关系（两个概念外延之间至少有一部分重合）

（1）同一关系（全同关系或重合关系）：外延完全重合，内涵可以不同。

例如：

（一）数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数

与负数的分界数，在数的运算中它又是两个

相等数的差等；

（二）等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线的外延都是同

一条线段，而内涵也各不相同。

注：

研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、较

全面的认识。另外，在推理证明中具有全同关系的概念可以互相代换，使

得论证简明。

从属关系（属种关系）

如果甲概念的外延真包含乙概念的外延，如下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。这两个概念的外延和的关系可以写成

例如四边形和平行四边形是具有属种关系的概念；实数和有理数也具有属种关系的概念。在属种关系中，外延大的那个叫属概念，外延小的那个叫种概念（一个概念的属概念是否唯一，一个概念的种概念是否唯一？）

注意：一是种类概念之间具有相对性。二是要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然。例如,对数与它的首数、尾数之间的关系不是从属关系,只是全体与部分的关系。

3）交叉关系

如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分重合关系，如下图。用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合和集合，如果是非空集合而且不是，那么这两个概念具有交叉关系。例：

（1）整数和整数

（2）等腰三角形和直角三角形

4）不相容关系（全异关系）

如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有全异关系，这种关系又叫做“全异关系”或“排斥关系”。

全异关系又分为反对关系、矛盾关系和并列关系.

反对关系：两个概念的外延完全不同，而且

它们的外延之和小于其属概念的外延，如正有理

数和负有理数相对于有理数来说是反对关系。

矛盾关系：两个概念的外延完全不同，并且

它们的外延之和等于其属概念的外延。如有理数

和无理数相对于实数来说就是矛盾关系。

并列关系：指两个或两个以上的同一系列的类概念，同时对于它们共同的种概念之间的关系，外延无公共部分。

内涵和外延的反变关系

概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的。当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。

例如,在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比四边形的外延缩小了。

不过这里要注意,这种反变关系只能适用于外延间存在着包含和被包含的两个概念之间。

概念的定义和原始概念

把概念的内涵用语言表达出来，就是给概念下定义。（揭示概念内涵的逻辑方法） 原始概念：一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念．

如：点、线、面、空间、集合、元素、对应等。

定义的结构：被定义项（被定义的概念 ）、定义联项（联系词）和定义项（下定义的概念）。

如：平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。

下定义的方法：

邻近的属加种差的定义

邻近的属：在一个概念的各个属概念中，其内涵与这个概念的内涵之差最小的，叫这个概念的邻近的属。

如平行四边形是矩形的属概念而四边形和多边形则不是。

种差：用于区别该概念和邻近的属概念的属性）

例：

一个角是直角的平行四边形叫做矩形

（种差） （邻近的属）（被定义的项）

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧公理定义递归定义外延定义

关系定义发生定义

最常用）邻近的属加种差定义（定义方法