拉格朗日插值法理论及误差分析
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拉格朗日插值法理论及误差分析
浅析拉格朗日插值法目录:一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、
1、截断误差在[a,b]区间上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x),其截断误差是指Rn?x??f?x??Ln?x?通常称Rn?x?为拉格朗日插值余额。注意到利用公式估计截断误差实际上非常困难。一是因为它要计算函数f(x)的高阶导数,当f(x)很复杂时,计算量很大,而当f(x)没有可用来计算的表达式时,导数无法准确计算;二是因为即使能得到高阶导数的解析式,但于?的具体位置不知道,所以要估计高阶导数在插值区间上的界一般是非常困难的事情。因此,公式并不实用。
2、截断误差的实用
估计式既然公式估计误差时不实用,那么实际中如何估计截断误差呢?假设插值条件中包含n+2组数据?,n,n?, 1f(xi)?yi , i?0,1那么利用n+1组数据我们可以构造一个n 次拉格朗日插值多项式Ln(x),利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。利用公式知,他们各自的插值余项为f(x)?Ln(x)?1f(n?1)(?)(x?x0)(x?x1)?(x?xn), (n?1)!1f(n?1)(?*)(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1), (n?1)!f(x)?L*n(x)?两式相减得L*n(x)?Ln(x)?并可写成1fn?1(?)(x?x1)?(x?xn)(xn?1?x0),
(n?1)!L*(x)?Ln(x)1(n?1)
f(?)(x?x1)?(x?xn)?n.
(n?1)!xn?1?x0注意到上式中利用fn?1(?)?fn?1(?*).该条件在很多情况下是成立的。利用式可得?Ln(x)?L*n(x)R(x)?f(x)?L(x)?,n? nx0?xn?1? ? *?R*(x)?f(x)?L*(x)?Ln(x)?Ln(x),nn?xn?1
?x0?式给出了用Ln(x)或L*n(x)作近似计算时的实用误差估计式,它不需要计算高阶导数,也不用估计插值区间上高阶导数的界。总之,拉格朗日插值法的公式结构紧凑,在理论分析中十分方便,然而在计算中,但插值点增加或减少时,所对应的基本多项式就得重新计算而且图像发生很大变化。像逐次线性插值法、牛顿插值法等都是在拉格朗日插值多项式的基础上延伸出来的。我们根据实际中的具体问题,为减少插值误差来选取相应的插值法来快速的解决问题。五、