高等代数选讲作业

1,-2,3，则B= 2A I 4的特征值为1/3,-1/3,1/7.

4 4 4 1 1

3 2 1

4 5

5 •设D = 1 1 1 2 2 ，则A21 + A22 + A23

2 4 5 4 2

4 5 5 1 3

《高等代数选讲》练习

1•设4 4 矩阵A =[■ , ,,2, 3], B =[ -, 1, 2, 3]，其中：•「，1, 2, 3均为 4 维列向量，且A =3,|B| = 2，则A + B = 40

3

2•中下列子集不是R的子空间的为(C ).

(A) W1 二｛(X i,X2,X3)R |X2 =1｝；(B) W2 二｛( X i,X2,X3)R IX3

=0｝；

_ 3 _ 3

(C) W3 叫(X1, X2,X3)R |X1=X2=X3｝；( D) W4 二｛( X1,X2,X3)R |X,=X2—X3｝3•设：j,〉2,〉3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3 , R3：-1 二[1,2,3,4]T,

：^ ■： 3 =[0,1,2,3]T, k为任意常数，则线性方程组A X二b的通解为

4 .已知矩阵A的特征值为

5

6 •将f(X)=X5-1表示成X-1的方幕和的形式为

4 2 2

8 •设矩阵A = 2 4 2

2 2 4

1 •求矩阵A的所有特征值与特征向量;

2•求正交矩阵P，使得P J AP为对角矩阵。

—2 —21

解：由卜2 A-4 -2 *-2）第-8）得A的特征值为| —2

—2久―4）

人二兀=2（一重特征值）» A = 8 o

当人二加二2时，由—A）X = O t即:

-_2-22"0

一_2_2

■

=0

_2X. L

3 J

0 j 二

—2 —2

解：由卜2 乂-4 -2 *-2）車-8）得A的特征值为| —2

—2久―彳

人二入=2（二重特征值）、= 8 o

当人二坷二2时f由~ A）X —O y即:

-_2-2_2~"0_

一_2—0

-2_2—2y L 3

J

当4二8时.由（却一力站＞0,即:

"4- 2_1~o

4_2x2—0

_2-240

得基础解系为旳珂1」皿将其单位化得* f半咅

则加64是昇的一组单位正交的特征向量，令

TP 2贝【彷^一个正交矩阵.

■ ■「■ I S f l a I II l*ta

x a i a i x a 2 a 2 a 3 a 3 川a n 川

a n 9 •计算n+1阶行列式：D “ =

a i a 2

x a 3 川 a n

II I II I

HI IH IH II

I

a i a 2 a 3 a 4 IH x

10 0 0

1 Cl^ —口]日？ 一 Ct, £7」一Q?

二（x + 羽）口（X-%）

2=1

f = l

=4

二7解的情况，并在有无穷多解时求其通解

=4

解：将各列都加到第1歹心

并提出公因子得:

n

几1二（“工耳）

4 ■

a

a,

4

二（兀+丈q ）

1

1=1

x-a.

10试就p,t 讨论线性方程组

PX I X 2 X 3

2x 1 3tx 2 2X 3 X I 2tX 2 X 3

解•：对方程组的增广矩阵［⑷切作初等行变换:

P

1 1

4

_

1 t 1 3~ [屮]=

7 3t 2 7

T

1

11 1

4

[1

2t 1

4

P

■ 1 1

1

C1)当(戶一1”工0 C 即戸工1且FHO )吋，秩

(［力，右］〉= 秩(^) = 3 T 从而方程组有唯一解:

2/ - 1

兀1

—

3 O - 1”

1 1 — 4 / +

2 Ji t

Y —— A. .J —

2 厂

3 — 1"

(2)当 p = l 而 1 -4/ + 2/?/ = 1 -2/ = 0 ,也即 2% 时, 秩(［A,b ］)=秩

(丿)=2 ,从而方程组有无穷多解|此 时增广矩阵变为；

1 丄1 3"

_

1 0 1

2

[A A]T

0 1 0 2 —> 0 1 0

2

0 0 0

0 0 0

得同解方程组：

(x 1+x. = 2

1也二2

—> 1 r o t

O 1

1 o

i — P

3 1

4 - t

1

3

i

1 一 p

4 - 2 /J 0 o -

1 - -+ 2严