《数系的扩充》教学设计

《数系的扩充与复数的概念》

教学设计

-----高中人教A版选修2-2

王

海

艳

唐山市第六十二中学

【教材分析】

本章《数系的扩充与复数的概念》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。教材编写的线索是：先将复数看成是有序实数对，然后学习复数代数形式的四则运算，最后介绍复数的几何意义。本节是该章的基础课、起始课，具有承上启下的作用。

【学情分析】

在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

【三维目标】

知识与技能：了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件

过程与方法：经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求，让学生学会对事件归纳与认识的方法。

情感、态度与价值观：

（１）培养学生分类讨论、等价转化等数学思想和方法；

（２）培养学生矛盾转化、分与合、实与虚等辩证唯物主义观点；

（３）感受人类理性思维的作用。

【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件

【教学难点】数集扩充的必要性和过程

【教学设计】

设计思想

知识来源于实际生活。教学中应注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性。本节课对知识结构进行创造性地“教学加工”，教学方法上则采用“合作－探究”的模式，保证学生对知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化发展。

媒体设计

本节课是概念课，要避免单一下定义再作练习模式，应努力使课堂元素更丰富，因此借助于多媒体课件配合教学，添加与教学内容匹配的图片背景，激发学生的学习兴趣；而例习题用媒体展示分析，则可以提高课堂教学效率。

设计特色

（１）重视数学的人文价值。（２）知识建构采用合作探究模式。

【教学过程】

一、创设情境，提出问题

回顾数的发展史：数，是数学中的基本概念。到目前为止，我们学习了哪些数集？用符号表如何表示？它们之间有怎样的包含关系？用图示法可以如何表示（投影）

（设计意图：数集及之间关系的回顾，特别是“图示法”的直观表示，旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受）

（投影）：自然数系、整数系、有理数系、实数系变化过程及“图示法”表示数集之间的包含关系。

问题：今天的课题是什么？从刚才这张“图示法”表示数集之间的包含关系的图也可以看出数逐步发展壮大的过程。将实数继续扩展，是不是就是今天要学的复数呢？所有的复数能不能构成新的集合呢？

（设计意图：设置悬念，激发学生的学习积极性。 ）

二、学生活动，意义建构

互动探究点一 复数的概念

问题1 为解决方程x2—2=0，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？

在有理数集中，方程022=-x 无解，为此引入无理数，数集扩充到实数集。从

使得方程有解的角度来看，每一次数的概念的扩充有什么特征？（新的数集都是

在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的。）如何使方程012=+x 有解呢？

（设计意图：通过一个简单方程解的情况的“陷阱”，培养学生严谨的科学态度，同时通过如何使一系列方程解问题的“诱导”，使学生不断受到数的概念的扩充的

“基本特征”的冲击，形成思维定势，从而使引入一个新数i 使方程012=+x 有解

的方法水到渠成，自然给出“虚数单位”的第一个“规定”。）

问题2 如何理解新引入的数i?

（１）12-=i （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的

加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。(3)由于i2＜0与实数集中a2≥0(a ∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在新的数集中不再成立． （学生自学课本，以填空形式完成问题3，问题4）

问题3 复数及复数集定义是什么？怎样表示它们呢？(板书)

形如bi a +的数，（其中R b a ∈,）我们把它们叫做复数。全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C 。复数通常用字母z 表示，即),(R b a bi a z ∈+=其中b a ,分别叫做复数z 的实部与虚部。这一表示形式叫做复数的代数形式。

（设计意图：通过对数与数之间的运算特征的研究与归纳，建立复数的基本概念）

问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？（板书）

（1）对于复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，当 b ≠0 时叫做虚数；

（2）当a=0 , b ≠0 时，叫做纯虚数．

试试 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．（口答）

①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.

（设计意图：巩固复数的实部与虚部的概念及区分虚数、纯虚数。）

问题5 实数是复数吗？何时为实数？复数集C 和实数集R 之间有什么关系

根据复数中b a ,的取值不同，复数可以有以下的分类：（1）

时为纯虚数）当虚数（实数（复数0)(0)0a b b bi a z （２）复数集C 是实数集R 的真子集

问题6 复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？（投影）

（设计意图：巩固复数集，虚数集，实数集，纯虚数集概念）

典题训练1 当实数m 为何值时，复数z ＝(m+1)＋(m －1)i 为

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数

（设计意图：旨在明确复数的分类这一内容，特别要强调纯虚数的条件） 探究点二 两个复数相等（学生小组讨论探究）

问题7 两个复数能否比较大小？

问题8 两个复数相等的充要条件是什么？

复数bi a +可以看成是关于i 的一次二项式，类比两个二项式相等的意义，我们规定：两个复数bi a +与di c +相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等，记作di c bi a +=+

（设计意图：培养学生合作精神，转化思想）

典题训练2 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y)i ，求x 与y.

（设计意图：对复数相等问题的研究，可让学生体会、总结复数问题的一般的处理方法――实数化）（实物投影，及时更正学生错误）

跟踪训练 已知x2－x －6x ＋1＝(x2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值 （设计意图：及时巩固、检查课堂效果）

课堂检测（限时5分钟）

1．已知复数z ＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( )A ．2，1 B ．2，5 C ．±2，5 D ．±2，1

2．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )

A ．±1

B ．±I

C ．±2i

D ．±2i

3．如果z ＝m(m ＋1)＋(m2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )

A ．1

B ．0

C ．－1

D ．－1或1

4.已知复数a+bi 与3+（4-k ）i 相等，且a+bi 的实部和虚部是方程x 2-4x+3=0的两根，试求a,b,k 的值。

5．实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2

m －1＋(m2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；

(3)纯虚数

（设计意图：当堂检验学生掌握情况，限时训练学生时间观念。）