人教中考数学综合题专题复习【一元二次方程】专题解析附详细答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？

【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【解析】

【分析】

作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=1

2

×PB×QE，有P、Q点的移动速

度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】

解：

如图，

过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．

∵∠ABC＝30°，

∴2QE＝QB．

∴S△PQB＝1

2

•PB•QE．

设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，

则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．

根据题意，1

2

•（6﹣t）•t＝4．

t2﹣6t+8＝0．

t2＝2，t2＝4．

当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．

答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．

2．解方程：

2

33

230 2121

x x

x x

⎛⎫⎛⎫

--=

⎪ ⎪

--

⎝⎭⎝⎭

．

【答案】x=15或x=1 【解析】 【分析】 设321

x y x =

-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321

x y x =

-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321

x x =-． 解得x=15

或x=1． 经检验：x=15

或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=

15或x=1． 【点睛】

考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．

3． y 与x 的函数关系式为：y=1.7x （x≤m ）;

或( x≥m) ；

4．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，

（1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。 （3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

【答案】（1）2和6；（2）223）83

【解析】

【分析】

（1）求解该一元二次方程即可;

（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；

（3）设分为两段分别是x 和6x -，然后用勾股定理求出x ，最后求面积即可.

【详解】

解：（1）由题意得()()260x x --=，

即：2x =或6x =，

∴两条线段长为2和6；

（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3， 由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：2231=22+

∴此等腰三角形面积为12222

⨯⨯=22． （3）设分为x 及6x -两段

()22226x x +=-

∴83

x =， ∴2823

x S ∆==， ∴面积为8

3.

【点睛】

本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.

5．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析

【解析】

【分析】

根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.

【详解】

解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =，

∴8AB =．

∴BQ x =，82PB x =-；

假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ，

则()1168821622

x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=，

∵1632160=-=-<，

∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.

6．用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.

【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32. 【解析】

试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.

试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1

∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0

∴x=2b a -±=41222-=-±⨯

∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0

[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0

即4y+1=0或-2y+3=0

解得y 1＝－14，y 2＝32

.

7．阅读下面的例题，

范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，

解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2

请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．

【答案】x 1=4，x 2=﹣5．

【解析】

【分析】