函数的最大小值与导数的教学设计与反思

函数的最大（小）值与导数的教学设计与反思

何雒娃一、教材分析：

函数的最大（小）值与导数是《高中数学》选修2-2的内容，本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．函数的最值问题与导数，不等式、方程、参数范围的探求及解析几何等知识综合在一起往往能编拟综合性较强的新型题目，可以综合考查学生应用函数知识分析解决问题的能力，从而成为高考的高档解答题，是近年来高考的热点之一.

二、学情分析：

导数是一个全新的概念，在学习本节课之前，学生已经基本掌握了导数的定义与求导法则，能够运用求导法则求基本初等函数的导数，会求导数的极值点与极值。本节课是在导数计算的基础上，对导数进行深层次的理解，主要是导数的应用。

三、教学目标：

知识与能力目标：了解函数在某点取得极值,会利用导数求函数的极大值和极小值.以及闭区间上函数的最大(小)值.，培养学生数形结合、化归的数学思想和运用基础理论研究解决具体问题的能力。

情感态度与价值观目标：经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的作用，激发学生学习数学知识的积极性，树立学好数学的信心。

过程与方法目标：通过课堂学习活动培养学生相互间的合作交流，且在相互交流的过程中养成学生表述、抽象、总结的思维习惯，进而获得成功的体验。

教学重点：会求闭区间上连续函数可导的函数的最值．

教学难点：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．

四、教法学法：

教法：教师通过设计导学案，由导学案引导学生探究、交流、发现新知识，再现知识的生成过程，教师将成为课堂自主学习模式的创设者，师生对话的聆听者，学生探究发现的引导者.

学法：学生将采用独立探究与合作交流相结合的自主学习方式，学生将成为新知识的发现者，课堂的主宰者.

五、教学过程：

1．设置情境

复习：1、极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的

函数的局部性质。

2、求极值的方法。

设计意图：现代教育学心理学认为任何新知识的学习新发现的创造都得以现有认知水平和经验为基础，因此，设计旧知识的复习是非常有必要的，它为下一步学生自主探究发现铺平了道路.

2．讲授新课

设计意图：培养学生自主发现问题提出问题的能力，并为下一步探究发现指明方向.

1．我们知道，在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值．

2．如图为连续函数f(x)的图象：

在闭区间[a ，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？

分别在何处取得？ y

x

O y x O y

x

O y x O b a b a b a b a .

3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a ，b]上最值的关键是什么？

归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求f (x)在(a,b)内的极值；

（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

设计意图：给学生自主探究创设情景，培养学生由特殊到一般的科学思维方法.

例1 求函数y= x4－2 x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．

解： y ′=4 x3－4x ，

令y ′=0，有4 x3－4x=0，解得：

x=－1,0,1

当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：

思考：求函数f (x)在[a,b]上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？

设计意图：培养学生题后反思的习惯

分析：在(a,b)内解方程f ′(x)=0 , 但不需要判断是否是极值点,更不需要判断是极大值还是极小值．

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤可以改为：

（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；

（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

解法2：

y ′=4 x3－4x

令y ′=0，有4x3－4x=0，解得：

x=－1,0,1．

x=－1时，y=4,

x=0时，y=5,

x=1时，y=4．

又 x=－2时，y=13，

x=2时，y=13．

∴所求最大值是13，最小值是4

例 2.已知函数

32()f x x ax bx =-++在区间(2,1)-内1x =-时取极小值，23x =时取极大值。求函数()f x 在[-2,1]上的最大值与最小值。

归纳小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过

列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．

※变式训练

练1. 求函数3()3,[1,2]f x x x x =-∈的最值．

练2. 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.（1）求实数

a 的值；（2）求()f x 在[2,2]-上的最大值．

教学反思：

本节的设计基本都可以达到预期效果，只不过题量比较大，对学生计算要求比较高，对每道题的计算时间要严格规定，否则在规定时间内不能完成课堂教学内容。

本节课力求体现的教学特色有5个:

1.以问题为教学主线

2.概念教学按“五步导学法”设计

3.重视学生的参与

4.重视思想教育

5.使用现代教育技术

1.以问题为教学主线

问题是数学的心脏,本节课的教学始终以问题的解决为线索。在教师的引导下,使学生的思维从问题开始到问题深化。

2. 概念教学按“五步导学法”设计

创设情境、明确目标；自主学习、个性指导；合作释疑、互助研