函数的单调性测试题(含答案)

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高中试卷-5.3.1 函数的单调性(精练)(含答案)

5.3.1 函数的单调性【题组一求函数的单调区间】1．（2020·河南信阳·高二期末（文））已知函数f(x)=12x 2―ln x ，则其单调增区间是（）A ．0，1]B ．0，1C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)【答案】D【解析】f(x)=12x 2―lnx ，定义域为0，+∞令f ′(x )=x ―1x >0解得x >1故函数f(x)=12x 2―lnx 单调增区间是1，+∞故选D2．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））函数()()1xf x x e =+的单调递增区间是（）A ．(),2-¥B ．()0,2C ．()2,0-D ．()2,-+¥【答案】D【解析】函数()()1xf x x e =+的定义域为R ，()()2xf x x e ¢=+，令()0f x ¢>，解得2x >-.因此，函数()()1xf x x e =+的单调递增区间是()2,-+¥.故选：D.3．（2020·北京丰台·高三二模）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则()(f x )A ．是奇函数，且在定义域上是增函数B ．是奇函数，且在定义域上是减函数C ．是偶函数，且在区间(0,1)上是增函数D ．是偶函数，且在区间(0,1)上是减函数【答案】B【解析】根据题意，函数()ln(1)ln(1)f x x x =--+，则有1010x x ->ìí+>î，解可得11x -<<，即()f x 的定义域为(1,1)-；设任意(1,1)x Î-，()(1)(1)()f x ln x ln x f x -=+--=-，则函数()f x 为奇函数；1()(1)(1)1x f x ln x ln x lnx -=--+=+，其导数22()1f x x ¢=-，在区间(1,1)-上，()0f x ¢<，则()f x 为(1,1)-上的减函数；故选：B ．4．（2020·山西省古县第一中学高二期中（理））函数()()3xf x x e =- 的单调递增区间是（）A ．(),2-¥-B ．()2,+¥C ．(1,4)D ．(0,3)【答案】B【解析】()()3xf x x e =-Q ，()()2xf x x e ¢\=-，解不等式()0f x ¢>，解得2x >，因此，函数()()3xf x x e =-的单调递增区间是()2,+¥，故选B.5．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考）函数()2cos sin 2f x x x =+的一个单调减区间是（）A ．,42p p æöç÷èøB ．0,6p æöç÷èøC ．,2ππæöç÷èøD ．5,6p p æöç÷èø【答案】A【解析】()2cos sin 2f x x x =+Q ，该函数的定义域为R ，()()()222sin 2cos 2212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x x x ¢=-+=--=-+-()()2sin 12sin 1x x =-+-，1sin 1x -££Q ，可得sin 10x +³，令()0f x ¢<，可得2sin 10x ->，即1sin 2x >，解得()52266k x k k Z p pp p +<<+Î.所以，函数()y f x =的单调递减区间为()52,266k k k Z p p p p æö++Îç÷èø.当0k =时，函数()y f x =的一个单调递减区间为5,66p p æöç÷èø，5,,4266p p p p æöæöÍç÷ç÷èøèøQ ，对任意的k Z Î，50,2,2666k k p p p p p æöæöË++ç÷ç÷èøèø，5,2,2266k k p p p p p p æöæöË++ç÷ç÷èøèø，55,2,2666k k p p p p p p æöæöË++ç÷ç÷èøèø，故函数()y f x =的一个单调递减区间为,42p p æöç÷èø.故选：A.6．（2020·安徽高三开学考试（理））若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．(),0-¥B ．()0,+¥C ．()(),11,0-¥-È-D ．(),1-¥-，()1,0-【答案】D【解析】由题意()()()2211x ax a e f x ax -+-¢=+，∴()()1211e k f a -¢==+，又()111e f a -=+，故曲线在点()()1,1f 处的切线方程为()()()211111y x e a e a -=-++，将点()1,0-代入可得1a =，则()()221x xe f x x -¢=+，令()()2201x xe f x x -¢=<+，所以1x <-或10x -<<，故函数在(),1-¥-，()1,0-上单调递减.故选：D7．（2020·云南昆明一中高三其他（理））函数4()3ln f x x x x=+-的单调递减区间是（）A ．(1,4)-B ．(0,1)C ．(4,)+¥D ．(0,4)【答案】D【解析】函数的定义域是(0,)+¥，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，令()0f x <＇，解得04x <<，故函数4()3ln f x x x x=+-在(0,4)上单调递减，选：D .【题组二已知单调性求参数】1．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知()1()2ln 0f x a x x a x æöç-÷èø=->在[1)+¥，上为单调递增函数，则a 的取值范围为（）A ．[0)+¥，B ．(0)+¥，C ．(1)+¥，D ．[1)+¥，【答案】D【解析】222()ax x a f x x-+¢=，(0)a >因为()f x 在[1,)+¥上为单调递增，等价于220ax x a -+³恒成立.即221xa x ³+在[1,)+¥上恒成立.因为222111x x x x =£=++，当1x =时，取“=”，所以1a ³，即a 的范围为[1,)+¥.故选：D2．（2020·河南南阳·高二期末（理））函数()327f x x kx x =+-在区间[]1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（）A ．(],2-¥-B ．[]22-,C ．[)2,-+¥D ．[)2,+¥【答案】B【解析】()327f x x kx x =+-Q ，()2327f x x kx ¢\=+-，由题意可知，不等式()0f x ¢£对于任意的[]1,1x Î-恒成立，所以，()()12401240f k f k ì-=¢--£ïí=¢-£ïî，解得22k -££.因此，实数k 的取值范围是[]22-,.故选：B.3．（2020·佳木斯市第二中学高二期末（文））“a ≤-1”是“函数f (x )=ln x-ax 在[1,+∞)上为单调函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为函数f (x )=ln x-ax 在[1,+∞)上为单调函数，所以1()0f x a x ¢=-³在[1,+∞)上恒成立或1()0f x a x ¢=-£在[1,+∞)上恒成立，即min 1()a x £或max 11()101a x x x³³\<£Q ，从而0a £或1a ³因为“1a £-”是“0a £或1a ³” 充分不必要条件，所以“a ≤-1”是“函数f (x )=ln x-ax 在[1,+∞)上为单调函数”的充分不必要条件，故选：A4．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知函数1()ln xf x x ax-=+，若函数()f x 在[1,)+¥上为增函数，则正实数a 的取值范围为（）A ．()0,1B ．(01]，C ．()1,+¥D ．[1,)+¥【答案】D【解析】函数1()ln x f x x ax-=+，()2211()a ax f x x ax ax --¢=+=，因为函数()f x 在[1,)+¥上为增函数，所以()0f x ¢³在[1,)+¥上恒成立，又0a >，所以 10ax -³在[1,)+¥上恒成立，即1a x³在[1,)+¥上恒成立，令()()max 11g x g x x==，，所以1a ³，故选：D 5．（2019·四川树德中学高二月考（理））()cos 2(sin cos )f x x a x x =+-在0,2p éùêúëû单调递增，则a 的范围是__________．【答案】)+¥【解析】()cos 2sin cos f x x a x a x =+-，则'()2sin 2cos sin f x x a x a x =-++，因为函数()f x 在[0,]2p上单调增，可得'()0f x ³在[0,]2p上恒成立，即(sin cos )2sin 2a x x x +³，令sin cos x x t +=，则2sin 21x t =-，t Î，所以22212()t a t t t-³=-，因为1t t -在t Î上是增函数，所以其最大值为a ³=所以实数a 的取值范围是)+¥.6．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））设函数()x x f x e ae -=+在[0，1]上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[1，)+¥B ．(-¥，1]C ．(1,)+¥D ．(,1)-¥【答案】B ()x x f x e ae -=+Q 在[0，1]上单调递增，()0x x f x e ae -\=-¢…在[0，1]上恒成立，即2x a e …，而函数2x y e =在[0，1]上单调递增，\当0x =时，1min y =，1a \…，a \的取值范围是(-¥，1]．故选：B ．7．（2020·西夏·宁夏大学附属中学高二期中（理））若函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，则实数t 的取值范围是（）A ．51[,)8+¥B ．(],3-¥C ．51,8æù-¥çúèûD ．[)3,+¥【答案】A【解析】因为函数()323f x x tx x =-+在区间[]1,4上单调递减，所以'2()3230f x x tx =-+£在[]1,4x Î恒成立，所以(1)0,(4)0,f f ¢£¢£ìíî即40,5180,t t -£ìí-£î解得：518t ³.8．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,2B ．()4,+¥C ．(),2-¥D ．(]0,3【答案】A【解析】依题意10,1a a ->>，由此排除CD 选项.由()()299'00x f x x x x x-=-=£>，解得03x <£，所以函数()f x 的单调递减区间为(]0,3.由此排除B 选项，只有A 选项正确.证明如下：由于()f x 在区间[1,1]a a -+上单调递减，所以0113a a <-<+£，解得(]1,2a Î.故选：A【题组三单调性与图像】1．（2020·陕西省商丹高新学校高二月考（理））已知函数()f x 的导函数()f x ¢的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】2x <-时，()0f x ¢<，则()f x 单调递减；20x -<<时，()0f x ¢>，则()f x 单调递增；0x >时，()0f x ¢<，则f （x ）单调递减．则符合上述条件的只有选项A ．故选A ．2．（2020·四川内江·高二期末（文））如图所示为()y f x ¢=的图象，则函数()y f x =的单调递减区间是（）A ．(),1-¥-B ．()2,0-C ．()()2,0,2,-+¥D ．()(),1,1,-¥-+¥【答案】C【解析】由导函数图象，知20x -<<或2x >时，()0f x ¢<，∴()f x 的减区间是(2,0)-，(2,)+¥．故选：C ．3．（2020·浙江高二期中）函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x =¢-³恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x \>，所以，函数()y f x =在()0,+¥上为增函数，故排除C 、D 选项.故选：A.【题组四利用单调性解不等式】1．（2020·四川省绵阳南山中学双语学校高二月考（文））定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，且()()22f x f x ¢-<，若()01f =-，则不等式()22xe f x -<的解集为（）A ．(),0-¥B ．()0,¥+C ．(),1-¥-D ．()1,-+¥【答案】A【解析】构造函数()()221,xf xg x x R e+=-Î，∵()()22f x f x ¢-<，∴()()()()()()()222222222012xxx xf x f x f x e e f xg x e e ¢--¢-+¢==<，∴函数()g x 在R 上单调递减，又()120101g -+=-=，∴不等式()()00g x g >=的解集为{|0}x x <，故选：A.2．（2020·山西祁县中学高二月考（文））设函数21()1x xf x e e x -=+-+，则使得(2)(1)f x f x >+成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)-¥B ．(1,)+¥C ．1(,1)3-D ．1(,(1,)3-¥-+¥U 【答案】D【解析】()211xx f x ee x --=+-+，所以()()f x f x -=，()f x 为R 上的偶函数，又()()222'1x xxf x e e x -=-++，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在[)0,+¥上为增函数.因()()()()22,11f x fx f x f x =+=+，由()()21f x f x >+ 得到21x x >+，故23210x x -->，13x <-或1x >，选D.3．（2020·山东德州·高三二模）已知函数f （x ）的定义域为R ，且()()()1,02f x f x f ¢+<=，则不等式()13x f x e +>解集为（）A ．(1,)+¥B ．(,1)-¥C ．(0,)+¥D ．(,0)-¥【答案】C【解析】构造函数()()1x f x g x e +=,则()()()10xf x f x eg x ¢--=>¢,故()g x 在R 上为增函数.又()()00103f g e+==,故()13xf x e +>即()13x f x e +>,即()()0g x g >.解得0x >.故选：C4．（2020·历下·山东师范大学附中高三月考）已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数为()f x ¢，若()()2sin f x f x x =--，且当0x ³时，()cos 0f x x ¢+<，则不等式()sin cos 2f x f x x xp æö+>+-ç÷èø的解集为（）A ．,2p æö-¥ç÷èøB ．,2p æö+¥ç÷èøC ．,4p æö-¥-ç÷èøD ．,4p æö-+¥ç÷èø【答案】C【解析】令()()sin g x f x x =-，则()()sin g x f x x -=-+，()()2sin f x f x x =--Q ，()()sin sin f x x f x x \+=--，()()g x g x \-=，()g x \为定义在R 上的偶函数；当0x ³时，()()cos 0g x f x x ¢¢=+<，()g x \在[)0,+¥上单调递减，又()g x 为偶函数，()g x \在(],0-¥上单调递增.由()sin cos 2f x f x x x p æö+>+-ç÷èø得：()cos sin sin 222f x x f x x f x x p p p æöæöæö++=+++>+ç÷ç÷ç÷èøèøèø，即()2g x g x p æö+>ç÷èø，2x x p\+<，解得：4x p<-，即不等式的解集为,4p æö-¥-ç÷èø.故选：C .5．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数31()sin xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若2(1)(2)0f a f a -+£，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,1]2-B ．1[1,2-C ．1(,1][,)2-¥-È+¥D ．1(,][1,)2-¥-È+¥【答案】B【解析】由于()31sin xx f x x x e e=-+-，，则f （﹣x ）＝﹣x 3sin x ++e ﹣x ﹣e x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数．故原不等式f （a ﹣1）+f （2a 2）≤0，可转化为f （2a 2）≤﹣f （a ﹣1）＝f （1﹣a ），即f （2a 2）≤f （1﹣a ）；又f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ，由于e x +e ﹣x ≥2，故e x +e ﹣x ﹣cosx>0，所以f '（x ）＝3x 2﹣cosx+e x +e ﹣x ≥0恒成立，故函数f （x ）单调递增，则由f （2a 2）≤f （1﹣a ）可得，2a 2≤1﹣a ，即2a 2+a ﹣1≤0，解得112a -££，故选B ．【题组五利用单调性比较大小】1．（2020·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当[)0,x Î+¥时，()()0f x xf x ¢+>，若()660.70.7a f =，()()0.70.7log6log 6b f =，()0.60.666c f =×，则a ，b ，c的大小关系是（）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．a b c>>【答案】A【解析】令()()g x xf x =，由()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得()()g x xf x =是定义在R 上的奇函数，又因为[)0,x Î+¥时，()()0y f x xf x ¢¢=+>，所以()()g x xf x =在[)0,+¥上是增函数，所以()()g x xf x =是定义在R 上的增函数，又由60.60.7log 600.716<<<<，所以()060.6.7(0.7)l )og 6(6g g g <<，即b a c <<.故选：A.2．（2020·江苏淮安·高三月考）已知函数()sin f x x x =+，x ÎR ，若()23a f log =，132b f log æö=ç÷èø，()22c f -=则a ，b ，c 的大小为（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．b a c>>【答案】B【解析】因为()1cos 0f x x ¢=+³，所以()f x 在(,)-¥+¥上单调递增，因为23(1,)log Î+¥，()133221,0log log =-Î-，2124-=，所以1231234log log <<，所以()22133(2)2f log f f log -æö>>ç÷èø，故a c b >>．故选：B ．3．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，若0.2(log 3)a f =，3(log 0.2)b f =，3(0.2)c f =，则（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．b c a>>【答案】B【解析】函数2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，(0,)x Î+¥，则()1cos 0g x x ¢=-…在(0,)+¥恒成立，\函数()g x 在(0,)+¥上单调递增，()(0)0g x g \>=，即函数()g x 在(0,)+¥上单调递增，且()0>g x ，又Q 函数y x =在(0,)+¥上单调递增，且0y >，\函数2()sin (sin )f x x x x x x x =-=-，在(0,)+¥上单调递增，且()0f x >，又22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=----=-=Q ，\函数()f x 是偶函数，0.255(log 3)(log 3)(log 3)a f f f \==-=，333(log 0.2)(log 5)(log 5)b f f f ==-=，Q 5535log log log <<，\51312log <<，而33log 5log 31>=，30.20.008=，\335530.20log log >>>，又Q 函数()f x 在(0,)+¥上单调递增，\335(5)(3)(0.2)f log f log f >>，即b a c >>，故选：B ．4．（2020·河南高三其他（理））设01x <<，则222,(),x x xe e e a b c x x x===的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b a c<<【答案】B【解析】设()x e f x x =，则2(1)()x e x f x x-¢=，当(0,1)x Î时，()0f x ¢<，故()f x 在(0,1)为减函数，22x x <Q ，\22x xe e <，则22222(x x xe e e x x x<=，故b c >；又201x x <<<，2()()f x f x \>，即22x x e e x x>，故c a >，a cb \<<．故选：B ．5．（2020·江西南昌二中高三月考（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ³时，()x f x e x =+，则()2a f =-，()2log 9b f =，c f=的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．b c a>>【答案】D【解析】当0x ³时，()xf x e x =+，则()10xf x e ¢=+>，所以()f x 在[)0,x Î+¥上单调递增，由22log 9log 832>=>>，所以()()2log 92f ff >>，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()22a f f =-=，>>，所以b c a故选：D。

三角函数的单调性测试题(人教A版)(含答案)

三角函数的单调性（人教A版）一、单选题(共13道，每道7分)1.下列四个命题中，正确的个数是( )（1）在定义域内是增函数；（2）（4）在第一、第四象限是增函数；（3）与在第二象限都是减函数；在上是增函数．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性2.的单调递增区间是( )A. B. C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性3.函数的一个单调递增区间为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性4.在上，使为增函数，为减函数的区间为( )A. B. C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性5.在上，使为增函数，为减函数的区间为( )A. B.或 C. D.或答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性6.的单调递增区间是( )A. B. C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性7.关于函数，下列说法正确的是( )A.在上递减B.在上递增C.在上递减D.在上递减答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性8.函数的最小正周期为，则( )A.在上单调递减B.在上单调递减C.在上单调递增D.在上单调递增答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性9.使函数为增函数的区间是( )A. B. C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性10.函数的单调递减区间为( )A. B. C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性11.已知函数，则在区间上的最大值与最小值分别是( )A. B. C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的单调性12.若，则( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：正切函数的单调性13.在锐角三角形ABC中，，则下列不等式正确的是( )①；②；③；④A.①③B.②③C.①②③D.①②④答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：余弦函数的单调性。

高中数学中的函数单调性测试题

高中数学中的函数单调性测试题在高中数学的学习中，函数的单调性是一个非常重要的概念。

它不仅在数学理论中有着广泛的应用，也是解决实际问题的有力工具。

为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，下面为大家精心准备了一套函数单调性的测试题。

一、选择题1、函数\（f(x) ＝ x^2 2x\）在区间\（0, 2\）上的单调性是（）A 单调递增B 单调递减C 先增后减D 先减后增2、下列函数中，在区间\（（＼infty, 0)＼）上单调递增的是（）A ＼（f(x) ＝ x\）B ＼（f(x) ＝＼frac{1}｛x}＼）C ＼（f(x) ＝x^2\） D ＼（f(x) ＝ x^2\）3、函数\（f(x) ＝＼ln x\）的单调递增区间是（）A ＼（（＼infty, 0)＼）B ＼（（0, ＋＼infty)＼）C ＼（（－1, 1)＼）D ＼（（1, ＋＼infty)＼）4、已知函数\（f(x) ＝ 2x^3 6x^2 ＋ 7\），则函数\（f(x)＼）在区间\（－1, 2\）上的单调性为（）A 单调递增B 单调递减C 先增后减D 先减后增5、函数\（f(x) ＝＼frac{x ＋ 1}｛x 1}＼）的单调递减区间是（）A ＼（（＼infty, 1)＼）和\（（1, ＋＼infty)＼）B ＼（（＼infty, 1)＼）C ＼（（1, ＋＼infty)＼）D ＼（（＼infty, －1)＼）和\（（－1,＋＼infty)＼）二、填空题1、函数\（f(x) ＝ 3 2x\）的单调递减区间为________。

2、函数\（f(x) ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）的单调递增区间为________，单调递减区间为________。

3、若函数\（f(x) ＝ x^2 2ax ＋ 3\）在区间\（－1, 2\）上单调递增，则实数\（a\）的取值范围是________。

4、函数\（f(x) ＝＼log_{05}（x^2 4x ＋ 3)＼）的单调递减区间是________。

函数的单调性的判断与证明练习题含答案

函数的单调性的判断与证明练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列函数中，在其定义域上为增函数的是( ) A.y =x 4B.y =2−xC.y =x +cos xD.y =−x 122. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的是( ) A.y =x 3+1 B.y =x +1xC.y =−1xD.y =x|x|3. 下列函数在(0,+∞)上是增函数的是( ) A.f (x )=−2x +1 B.f (x )=1x C.f (x )=lg (x −1) D.f (x )=x 24. 已知函数f(x)=3x −(13)x ，则f(x)( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数5. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为( ) A.y =2x B.y =−2x 2C.y =1xD.y =x6. 已知函数f(x)=3x −(13)x，则f(x)（） A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数7. 已知函数f (x )={x 2−ax,x ≥2,a x−1−2,x <2满足对于任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A.(1,4]B.(1,+∞)C.(1,2]D.[2,4]8. 给定下列函数，其中在区间(0,1)上单调递增的函数是（） A.y =−12x 2B.y =|x 2−2x|C.y =(12)x+1D.y =x +1x9. 函数f (x )=e x +e −xe x −e −x 的部分图象大致是( )A. B.C. D.10. 已知函数f (x )={−x 2−4x,x ≥0,x 2−4x,x <0,若f (2−t )>f (t )，则实数t 的取值范围是( )A.(−∞,1)∪(2,+∞)B.(1,2)C.(−∞,1)D.(1,+∞)11. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f (x )，且f (1)=1，函数f (x +1)的图象关于点(−1,0)中心对称，对于任意x 1,x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，都有x 12019 f (x 1)−x 22019 f (x 2)x 1−x 2>0成立．则f(x)≤1x 2019的解集为( )A.[−1,1]B.(−∞,−1]∪[1,+∞)C.(−∞,−1]∪(0,1]D.(−2019,2019)12. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对于任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f (x ⋅y )=f (x )+f (y )；②当x >1时，f (x )>0；③f(√6)=1，则关于x 的不等式f (x )−f (15−x )≥2的解集是( ) A.[2，3]B.[−√2，−1]∪[0，√2]C.[√2，+∞)D.(0，2]13. 函数f(x)=|x−3|的单调递增区间是________.14. 若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________.15. 已知f(x)=x2+(b−2)x是定义在R上的偶函数，则实数b=________，此函数f(x)的单调增区间为________．16. 已知函数g(x)=x3+5x，若g(2a−1)+g(a+4)<0，则实数a的取值范围为________.17. 符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[−1.08]=−2，定义函数{x}=x−[x]．给出下列四个命题：①函数{x}的定义域为R，值域是[0,1]；有无数个解；②方程{x}=12③函数{x}是奇函数；④函数{x}是增函数．正确命题的序号是________.18. 若函数f(x)=kx2+(k−1)x+2是偶函数，则f(x)的递减区间是________．19. 已知函数，若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是________.20. 已知f(x)=2x.x2+1(1)判断f(x)在[−1, 1]的单调性，并用定义加以证明；(2)求函f(x)在[−1, 1]的最值.21. 已知函数f(x)=−2x+1是定义在R上的奇函数．2x+a(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并利用定义证明．22. 已知f(x)=x，x∈(−2,2).x2+4(1)用定义证明函数f(x)在(−2,2)上为增函数；(3)若f(a+2)>f(2a−1)，求实数a的取值范围．+m(m∈R)是奇函数．23. 已知函数f(x)=12x+1(1)求实数m的值；(2)判断f(x)的单调性（不用证明）；(3)求不等式f(x2−x)+f(−2)<0的解集．24. 已知a>0，函数f(x)=1．1+a⋅3x(1)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明；(2)设g(x)=f(x)f(−x)，若对任意x∈[−1,1]，g(x)≥f(2)恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析函数的单调性的判断与证明练习题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分） 1.【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明利用导数研究函数的单调性【解析】利用常见的幂函数，指数函数分析选项ABD 中函数的单调性，利用导数研究C 中函数的单调性即可得到答案. 【解答】解：A ，函数y =x 4在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减，不满足题意； B ，y =2−x=(12)x在定义域内单调递减，不满足题意；C ，∵ 函数y =x +cos x 的定义域为R ，且y ′=1−sin x ≥0， ∴ 函数y =x +cos x 在其定义域上单调递增，满足题意；D ，y =−x 12在定义域内单调递减，不符合题意. 故选C . 2. 【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性，单调性，逐项判定得解. 【解答】解：对于A ，设f (x )=x 3+1，f(−x)=−x 3+1≠−f (x )，不是奇函数，故不符合题意；对于B ，由题设知函数为奇函数，在(−1,0)，(0,1)单调递减，在(−∞,−1)，(1,+∞)单调递增，故不符合题意；对于C ，函数为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)分别单调递增，故不符合题意；对于D ，y =x |x |={x 2,x ≥0,−x 2,x <0,可得函数为奇函数，且在定义域单调递增，故符合题意. 故选D . 3.【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明【解析】对于A:f (x )=−2x +1在定义域上单调递减，不符合题意；对于B:f (x )=1x 函数在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于C:f (x )=lg (x −1)，定义域为(1,+∞)，不符合题意；对于D:f (x )=x 2，函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选：D . 【解答】解：对于A ，f (x )=−2x +1在定义域上单调递减，不符合题意；对于B ，f (x )=1x 函数在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于C ，f (x )=lg (x −1)，定义域为(1,+∞)，不符合题意；对于D ，f (x )=x 2，函数在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选D . 4.【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断【解析】本题主要考查函数的奇偶性和单调性. 【解答】解：易知函数f(x)的定义域为R ， f(−x)=(13)x−3x =−f(x)，所以为奇函数.因为y =(13)x 在R 上是减函数，所以y =−(13)x 在R 上是增函数，又y =3x 在R 上是增函数，所以函数f(x)=3x−(13)x在R 上是增函数. 故选B . 5.【答案】 D【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据奇偶性及单调性，首先判断奇偶性，再判断单调性即可. 【解答】解：对于A ，函数y =2x 为非奇非偶函数，故A 不满足题意；对于B ，函数y =−2x 2为偶函数，故B 不满足题意；对于C ，函数y =1x 为奇函数，在(−∞,0)，(0,+∞)上为减函数，故C 不满足题意；对于D ，函数y =x 为奇函数，且在R 上是增函数，故D 满足题意. 故选D . 6. 【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3x−(13)x，且定义域为R ，所以f(−x)=3−x −(13)−x =(13)x −3x =−[3x −(13)x]=−f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y =3x 在R 上是增函数，y =(13)x在R 上是减函数，所以f(x)=3x−(13)x在R 上是增函数．故选A ． 7. 【答案】 C【考点】函数单调性的判断与证明分段函数的应用【解析】由已知可得函数f (x )是定义在R 上的增函数，则{a2≤2,a >1,4−2a ≥a −2,解得a 的取值范围．【解答】解：∵ 对于任意实数x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0成立，故函数f (x )是定义在R 上的增函数，则{a 2≤2,a >1,4−2a ≥a −2,解得a ∈(1,2].故选C ． 8.【答案】 B【考点】函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A ，y =−12x 2为二次函数，其图像的开口向下，对称轴是直线x =0，所以y =−12x 2在区间(0,1)上单调递减；对于B ，当x ∈(0,1)时，y =|x 2−2x|=−x 2+2x ，因为抛物线y =−x 2+2x 的对称轴是直线x =1，且开口向下，所以函数y =|x 2−2x|在区间(0,1)上单调递增；对于C ，y =(12)x+1=12⋅(12)x，因为0<12<1，所以函数y =(12)x+1在区间(0,1)上单调递减；对于D ，y =x +1x ≥2，当且仅当x =1时等号成立，所以由对勾函数的性质知函数y =x +1x 在区间(0,1)上单调递减．故选B ． 9.【答案】 A【考点】函数奇偶性的判断函数图象的作法函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知函数的定义域为{x|x ≠0}，定义域关于原点对称，由于f (x )+f (−x )=e x +e −xe x −e −x +e −x +e xe −x −e x =e x +e −x −e −x −e −xe x −e −x=0，即f (−x )=−f (x )，所以y =e x +e −xe x −e −x 是奇函数，排除选项B ；因为y =e x +e −x e x −e −x=1+2(e x )2−1=1+2(e 2)x −1在(0,+∞)上为减函数，排除选项D ；当x =1时，f (1)=1+2e 2−1>0，排除选项C ．故选A ．10.【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】【解答】解：根据题意知，函数f (x )={−x 2−4x,x ≥0,x 2−4x,x <0,当x ≥0时，f (x )=−x 2−4x =−(x +2)2+4，则函数f (x )在[0,+∞)上单调递减，有f (x )≤f (0)=0. 当x <0时，f (x )=x 2−4x =(x −2)2−4，则函数f (x )在(−∞,0)上单调递减，有f (x )>f (0)=0. 综上可得函数f (x )在R 上为减函数. 若f (2−t )>f (t )，则2−t <t ，解得t >1，即实数t 的取值范围为(1,+∞)．故选D . 11.【答案】 C【考点】函数单调性的性质函数奇偶性的判断函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】首先确定函数f (x )的奇偶性，再构造新函数g(x)=x 2019f(x)，并确定奇偶性及单调性，即可解出不等式. 【解答】解：由于f(x +1)的图象关于点(−1,0)中心对称，则f (x )的图象关于点(0,0)中心对称，即函数f (x )在定义域上为奇函数，令g (x )=x 2019f (x )，则g (−x )=(−x )2019f (−x )=x 2019f (x )=g (x )，所以g (x )为偶函数，又x 1,x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，都有x 12019f (x 1)−x 22019f (x 2)x 1−x 2>0，即可得函数g (x )在(0,+∞)为增函数，由奇偶性与单调性的关系可得：函数g (x )在(−∞,0)为增函数，又g (1)=12019×f (1)=1，g (−1)=(−1)2019×f (−1)=−1×[−f (1)]=1 由f(x)≤1x 2019，当x >0时，x 2019f(x)≤1=g (1)，所以0<x ≤1；当x <0时，x 2019f(x)≥1=g (−1)，所以x ≤−1.综上可得：x∈(−∞,−1]∪(0,1].故选C.12.【答案】A【考点】函数新定义问题抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】证明函数单调递增，f(6)=f(√6)+f(√6)=2，变换不等式为f(x)≥f(65−x)，利用函数单调性解得答案．【解答】解：设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1)>0，即函数在(0，+∞)上单调递增．∵ f(√6)=1，∴ f(6)=f(√6)+f(√6)=2．∵ f(x)−f(15−x)≥2，∴ f(x)≥f(15−x )+f(6)=f(65−x)，故满足{x>0，65−x>0，x≥65−x，解得x∈[2，3]．故选A．二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）13.【答案】[3,+∞)【考点】函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】讨论去绝对值，即可得到函数，从而确定单调性.【解答】解：当x≥3时，f(x)=x−3，此时f(x)为增函数；当x<3时，f(x)=−(x−3)=−x+3，此时f(x)为减函数，所以f(x)的单调增区间为[3,+∞).故答案为：[3,+∞).14.【答案】[18,13) 【考点】函数单调性的性质函数单调性的判断与证明对数函数的单调性与特殊点【解析】根据分段函数的单调性可得{3a −1<03a −1)×1+4a ≥−a a >0×1+4a ≥−a ，解不等式组即可求解．【解答】由题意知，{3a −1<03a −1)×1+4a ≥−a a >0×1+4a ≥−a解得{a <13a ≥8a >0，所以a ∈[18,13)故答案为：[18,13)15.【答案】 2,(0, +∞) 【考点】偶函数函数单调性的判断与证明【解析】f(x)＝x 2+(b −2)x 是定义在R 上的偶函数，对称轴为y 轴，进而求解．【解答】解：f(x)=x 2+(b −2)x 是定义在R 上的偶函数，对称轴为y 轴，则b =2，于是f(x)=x 2，单调增区间为(0, +∞)．故答案为：2；(0, +∞). 16.【答案】 a <−1 【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：∵g(−x)=−x3−5x=−g(x)，∴函数g(x)是奇函数，且函数在R上单调递增，∴原不等式可化为g(a+4)<−g(2a−1)=g(1−2a)，∴a+4<1−2a，解得a<−1.故答案为：a<−1.17.【答案】②【考点】函数的值域及其求法函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】根据函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等知识逐一对四个命题进行正误判断. 【解答】解：①函数{x}的定义域是R，但是0≤x−[x]<1，故函数{x}的值域为[0,1)，故①错误；，②∵{x}=x−[x]=12∴x=[x]+1，2∴x=1.5，2.5，3.5，⋯，应为无数多个，故②正确；③∵函数{x}的定义域是R，而{−x}=−x−[−x]≠−{x}，{−x}=−x−[−x]≠{x}，∴函数{x}是非奇非偶函数，故③错误；④函数{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④错误．综上所述，②正确.故答案为：②．18.【答案】(−∞, 0]【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】根据偶函数的性质求出k值，再根据二次函数的图象即可求出其单调减区间．【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(−x)=f(x)．即kx2−(k−1)x+2=kx2+(k−1)x+2，所以2(k−1)x=0，所以k=1．则f(x)=x2+2，其递减区间为(−∞, 0]．故答案为：(−∞, 0]．19.【答案】加加加(−∞,−1]【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质函数的图象【解析】可先将f(x+m)+mf(x)<0采用代入法转化为常规表达式，采用分类讨论去绝对值的方式，来进一步探讨不等式是否成立，进一步确定参数m的范围【解答】f(x+m)+mf(x)<0可等价转化为(x+m)|x+m|+m|x|<0对任意x≥1恒成立，当m≥0时，不等式转化为(x+m)2+mx2<0对任意x≥1恒成立，显然无解；当me(−1,0)时，不等式转化为(x+n)2+mx2<0，即(m+1)x2−2mx+m2<0，显然当x→+y时不成立；当m=−1时，(x+m)|x+m|+mx||x|<0⇔(x−1)2−x2<0，即1−2x<0对任意x≥1恒成立，经检验，恒成立；当m<−1时，(x+m)||+m||+mx||x|<0⇔(x+m)|(−m)|+mx2对任意x≥1恒成立尚需进一步讨论，当1<x<−m时，不等式等价于−(x−m)2+nx2<0即(m−1)x2−2mx−m2<0Δ=4m2+4m2(m−1)=4m3<0，令y=(m−1)x2−2mx−m2，函数开口向下，则(m−1)x2−2mx−m2<0恒成立；当x>−m时，(x+m)|x+m|+m|x|<0⇔(xxm)2mx0，即(m+1)2−2mx+m2< 0此时对应的对称轴为x=−mm+1<1，又−mn+1<−m，则y=(m+1)x2−2mx+m2在区间[−m,+∞]为减区间，即y=(m−1)x2−2mx+m2≤y(−n)=m3<0恒成立；综上所述，当m∈(−∞,−1]时，对任意x≥1，有f(x+m)+nf(x)<0恒成立故答案为：(−∞,−1]三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）20.【答案】解：(1)函数f(x)在[−1.1]上单调递增；证明如下：设任意−1<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=2x1x12+1−2x2x22+1=2x1x22+2x1−2x2x12−2x2(x12+1)(x22+1)=2(x1−x2)(1−x1x2)(x12+1)(x22+1)<0，故函数f(x)在[−1.1]上单调递增；(2)由(1)的结论，f(x)在区间[−1，1]上单调递增，则f(x)的最大值f(1)=1，最小值f(−1)=−1.【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）由（1）根据函数的单调性即可解答．【解答】解：(1)函数f(x)在[−1.1]上单调递增；证明如下：设任意−1<x 1<x 2<1，则f(x 1)−f(x 2)=2x 1x 12+1−2x2x 22+1=2x 1x 22+2x 1−2x 2x 12−2x 2(x 12+1)(x 22+1)=2(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)<0，故函数f(x)在[−1.1]上单调递增；(2)由(1)的结论， f (x )在区间[−1，1]上单调递增，则f (x )的最大值f(1)=1，最小值f (−1)=−1. 21. 【答案】解：(1)f (−x )=−2−x +12−x +a=2x −1a⋅2x +1，由f (−x )=−f (x )得： 2x −1a⋅2x +1=−−2x +12x +a⇒2x +a =a ⋅2x +1，解得a =1．验证，当a =1时，f (x )=−2x +12x +1，f (−x )=−2−x +12−x +1=2x −12x +1=−f (x )满足题意,∴ a =1．(2)f (x )为减函数. 证明：由(1)知f (x )=−2x +12x +1=22x +1−1，在R 上任取两个不相等的实数x 1，x 2，且x 1<x 2， f(x 1)−f(x 2)=22x 1+1−22x 2+1=2×2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1).由y =2x 为R 上的增函数，x 1<x 2，2x 2>2x 1， ∴ 2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)⋅(2x 2+1)>0，则f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )为减函数．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】无无【解答】解：(1)f (−x )=−2−x +12−x +a=2x −1a⋅2x +1，由f (−x )=−f (x )得： 2x −1a⋅2x +1=−−2x +12x +a⇒2x +a =a ⋅2x +1，解得a =1．验证，当a =1时，f (x )=−2x +12x +1，f (−x )=−2−x +12−x +1=2x −12x +1=−f (x )满足题意,∴ a =1．(2)f (x )为减函数. 证明：由(1)知f (x )=−2x +12x +1=22x +1−1，在R 上任取两个不相等的实数x 1，x 2，且x 1<x 2， f(x 1)−f(x 2)=22x 1+1−22x 2+1=2×2x 2−2x 1(2x 1+1)⋅(2x 2+1).由y =2x 为R 上的增函数，x 1<x 2，2x 2>2x 1， ∴ 2x 2−2x 1>0，(2x 1+1)⋅(2x 2+1)>0，则f (x 1)−f (x 2)>0，∴ f (x 1)>f (x 2)， ∴ 函数f (x )为减函数． 22.【答案】(1)证明：任取x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，所以f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4).因为−2<x 1<x 2<2，所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在(−2,2)上为增函数.(2)解：由(1)知，f(x)在(−2,2)上单调递增，又f(a +2)>f(2a −1),所以{−2<a +2<2，−2<2a −1<2，a +2>2a −1，解得{−4<a <0,−12<a <32,a <3,即−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12,0). 【考点】函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】(2)根据函数的单调性的定义，采用作差法判断−2<x 1<x 2<2时f(x 1)−f(x 2)的符号，即可证明.(3)根据(2)中的结论得到关于a 的不等式组，求解即可. 【解答】(1)证明：任取x 1，x 2∈(−2,2)，且x 1<x 2，所以f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x2x 22+4=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4).因为−2<x 1<x 2<2，所以x 2−x 1>0，x 1x 2−4<0，则f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在(−2,2)上为增函数.(2)解：由(1)知，f(x)在(−2,2)上单调递增，又f(a +2)>f(2a −1),所以{−2<a +2<2，−2<2a −1<2，a +2>2a −1，解得{−4<a <0,−12<a <32,a <3,即−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12,0).23. 【答案】解：(1)由f (x )=12x +1+m 的定义域为R ，可得f (0)=12+m =0，可得m =−12．经验证，m =−12符合题意． ∴ m =−12，f (x )=12x +1−12.(2)∵ y =2x 为增函数，∴ y =2x +1为增函数，且2x +1>1，所以y =12x +1为减函数，可得f (x )=12x +1−12在R 上为减函数． (3)由f(x 2−x)+f(−2)<0，可得f(x 2−x)<−f(−2)，即f(x 2−x)<f(2)，由f (x )=12x +1−12在R 上为减函数，所以x 2−x >2，即x 2−x −2>0，所以x <−1或x >2，故解集为(−∞, −1)∪(2, +∞)．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数单调性的性质【解析】（1）根据函数奇偶性的性质，利用f(0)＝0进行求解即可．（2）根据函数单调的性质进行判断即可．（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．【解答】解：(1)由f (x )=12x +1+m 的定义域为R ，可得f (0)=12+m =0，可得m =−12．经验证，m =−12符合题意．∴ m =−12，f (x )=12x +1−12.(2)∵ y =2x 为增函数，∴ y =2x +1为增函数，且2x +1>1，所以y =12x +1为减函数，可得f (x )=12x +1−12在R 上为减函数．(3)由f(x 2−x)+f(−2)<0，可得f(x 2−x)<−f(−2)，即f(x 2−x)<f(2)，由f (x )=12x +1−12在R 上为减函数，所以x 2−x >2，即x 2−x −2>0，所以x <−1或x >2，故解集为(−∞, −1)∪(2, +∞)． 24.【答案】(1)证明：当a >0时，f(x)在R 上单调递减．任取x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=a(3x 2−3x 1)(1+a⋅3x 1)(1+a⋅3x 2)，由于x 1<x 2，所以3x 2−3x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，故f(x)在R 上单调递减． (2)解：依题意，g(x)=11+a⋅3x ⋅11+a⋅3−x =1a(3x +13x )+a 2+1(x ∈[−1,1])．令t =3x ，t ∈[13,3]，所以y =t +1t 在[13,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，且当t =13和t =3时，y =103，而当t =1时，y =2，所以y =t +1t∈[2,103]．因为a >0，所以a(3x +13x )+a 2+1≤103a +a 2+1，故g(x)=1a(3x +13x )+a 2+1≥1103a+a 2+1．因为对任意x ∈[−1,1]，g(x)≥f(2)=19a+1恒成立，所以1103a+a 2+1≥19a+1，即103a +a 2+1≤9a +1，化简得a 2−173a ≤0，解得0<a ≤173，故a 的取值范围是(0,173]．【考点】函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】【解答】(1)证明：当a >0时，f(x)在R 上单调递减．任取x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=a(3x 2−3x 1)(1+a⋅3x 1)(1+a⋅3x 2)，由于x 1<x 2，所以3x 2−3x 1>0，所以f(x 1)−f(x 2)>0，故f(x)在R 上单调递减． (2)解：依题意，g(x)=11+a⋅3x ⋅11+a⋅3−x =1a(3x +13x )+a 2+1(x ∈[−1,1])．令t =3x ，t ∈[13,3]，所以y =t +1t 在[13,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，且当t =13和t =3时，y =103，而当t =1时，y =2，所以y =t +1t ∈[2,103]．因为a >0，所以a(3x +13x )+a 2+1≤103a +a 2+1，故g(x)=1a(3x +13x )+a 2+1≥1103a+a 2+1．因为对任意x ∈[−1,1]，g(x)≥f(2)=19a+1恒成立，所以1103a+a 2+1≥19a+1，即103a +a 2+1≤9a +1，化简得a 2−173a ≤0，解得0<a ≤173，故a 的取值范围是(0,173]．。

函数的单调性与最值(习题及答案)

函数的单调性与最值（习题）
1. 下列说法：
①若 x1，x2∈I，当 x1<x2 时，f (x1)<f (x2)，则 y=f (x)在 I 上是增
函数；
②函数 y=x2 在 R 上是增函数；
③函数 y 1 在定义域上是增函数； x
④ y 1 的单调区间是(∞，∪(0，+∞)． x
其中正确的有（）
C．f (a2+a)< f (a)
D．f (a2+1)< f (a)
6. 函数 f (x) x2 2x 的单调增区间是（ A． ( ，1] B．[1， ) C．R
） D．不存在
7. 设 f (x)是定义在区间(0，+∞)上的单调递减函数，若
f (x)> f (2-x)，则 x 的取值范围是（）
11. 函数 f (x) x2 2x 3 的单调递增区间为______________．
12. 已知 f (x)是定义在(-1，1)上的减函数，且 f (2 a) f (a 3) 0 ．则实数 a 的取值范围是__________．
13.
函数
f (x)
x x2
在区间[2，4]上的最大值为_________，最小
A．(，+∞) B．(∞， C．(，2)
D．(，1)
1
8.
函数
f
(
x)
1
1 x(1
x)
的最大值是（
）
A． 4 5
B． 5 4
C． 3 4
D． 4 3
9. 若函数 f (x)=x22axa21 在区间(∞，1)上是减函数，则实数 a 的取值范围是__________________．

完整版)函数的单调性练习题及答案

完整版)函数的单调性练习题及答案1.函数的单调性练题一选择题：1.函数f(x)=x^2+2x-3的递增区间为(D。

[-1,+∞))2.如果函数f(x)=x^2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(A。

[－3，＋∞))3.函数y=1-(1/(x-1))在(-1,+∞)内是单调递增。

4.如果函数f(x)=kx+b在R上单调递减，则(C。

b>0)5.在区间(-∞,0)上为增函数的是(B。

y=x^2)6.函数f(x)=2x-x^2的最大值是(B。

1)7.函数y=x+x^-2的最小值是(A。

0)2.填空题：8.函数f(x)=2x^2-mx+3，在(-∞,1)上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，则m=4.9.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，则实数m的取值范围为(-∞,-1/2)U(1/2,+∞)。

3.解答题：10.利用单调函数的定义证明：函数f(x)=x+2/x在区间(0,2)上是减函数。

证明：对于任意的x1,x2∈(0,2)，且x1<x2，有：f(x2)-f(x1)=(x2+2/x2)-(x1+2/x1)x2-x1+2/x2-2/x1x2-x1+2(x1-x2)/(x1x2)x2-x1)(1-2/(x1x2))因为x1,x2∈(0,2)，所以x1x2>0，而1-2/(x1x2)<1，所以f(x2)-f(x1)<0，即f(x)在区间(0,2)上是减函数。

11.已知定义在区间(1,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f(x/2)-f(x/4)，且当x>1时f(x)<0.1）求f(1)的值；因为f(x)=f(x/2)-f(x/4)，所以f(2)=f(1)-f(1/2)，又因为f(2)=f(1)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/4)，所以f(1/2)=f(1)-f(1/4)，继续类似地推导，得到：f(1)=f(1)-f(1/2)+f(1/2)-f(1/4)+f(1/4)-f(1/8)+。

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。

证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。

因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。

因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。

因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。

函数的单调性练习题(含标准答案)

函数的单调性练习题(含答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2- - 3函数的单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是（） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，如果g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f (x ＋1)|＜1的解集的补集是（） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是（） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞- -4C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3 11．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则（） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _． 14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．- -520．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．- - 6参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析：设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)．当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数． 20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则- -7f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27．- - 8(2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。

2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(真题测试)解析版

专题4.2 应用导数研究函数的单调性（真题测试）一、单选题1.（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性和单调性都一致的函数是（） A ．2yxB ．sin y x x =+C ．||2x y =D ．tan y x =【答案】B 【解析】【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案. 【详解】容易判断()3R y x x =∈是奇函数，且在R 上是增函数，而2||,2x y x y ==是偶函数，tan y x =在R 上不是增函数，所以排除A,C,D.对B ，函数()sin R y x x x =+∈是奇函数，且1cos 0y x '=+≥，则函数在R 上是增函数. 故选：B.2．（2015·陕西·高考真题（文））设()sin f x x x =-，则()f x =（） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数【答案】B 【解析】【详解】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B ．3．（2016·全国·高考真题（文））函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选：D.4.（2009·湖南·高考真题（文））若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【详解】试题分析：∵函数y=f （x ）的导函数在区间[a ，b]上是增函数，∴对任意的a ＜x 1＜x 2＜b ，有也即在a,x 1,x 2,b 处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，对于B 存在使，对于C 对任意的a ＜x 1＜x 2＜b ，都有，对于D 对任意的x ∈[a ，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A ．5．（2013·全国·高考真题（理））若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由条件知()2120f x x a x -'=+≥在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立． ∵函数212y x x =-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max21123212y <-⨯=⎛⎫⎪⎝⎭, ∴．故选D ．6．（2015·福建·高考真题（理））若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（） A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】【详解】试题分析：令()g()x f x kx =-，则()'()0g x f x k '=->，因此1111g()(0)(0)1111111k k g f f f k k k k k k ⎛⎫⎛⎫>⇒->⇒>-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭，所以选C. 7．（2011·辽宁·高考真题（文））函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),-∞+∞【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()24g x f x x =--，利用导数判断出函数()y g x =在R 上的单调性，将不等式()24f x x >+转化为()()1g x g >-，利用函数()y g x =的单调性即可求解. 【详解】依题意可设()()24g x f x x =--，所以()()20g x f x ''=->. 所以函数()y g x =在R 上单调递增，又因为()()11240g f -=-+-=. 所以要使()()240g x f x x =-->，即()()1g x g >-，只需要1x >-，故选B. 8．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤ D ．e e a b b a >【答案】D 【解析】【分析】对于A,B ，构造函数()e ln x f x x =-，利用导数判断其单调性，根据01a b <<<，比较()e ln ,()e ln abf a a f b b =-=-，可判断A,B ；对于C,D, 设e g()=x x x,利用导数判断其单调性，根据01a b <<<，比较(),()g a g b ，可判断C,D. 【详解】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e xf x x '=-，当01x <<时，1()e xf x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=-=>>故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=，则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增，由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定，故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x -'，当01x <<时，()0g x '<，故eg()=xx x单调递减，所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e ea b a b> ，即e e a b b a >，故C 错误，D 正确，故选：D 二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（） A ．()()20212022f ef < B ．()()20212022f ef >C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()tf x e f x t <+【答案】AD 【解析】【分析】构造函数()xy e f x =，由已知可得函数单调递增，即可判断选项ABD ，举特例可判断选项C.【详解】由()()0f x f x +'>，得()()0x x e f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()x y e f x =为R 上的增函数，故()()2021202220212022e f e f <，所以()()20212022f ef <，故A 正确，B 不正确；函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如()12x f x =，显然()x e f x 是增函数，但()f x 是减函数，所以C 不正确；因为函数()x e f x 为增函数，所以0t >时，有()()x x t e f x e f x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确.故选：AD.10．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数a ，b ，c 满足1log b ac c b a <<<，则一定有（）A ．1a <B ．a b <C ．b c <D ．c a <【答案】AB 【解析】【分析】根据1b c <，1a b <可得(),0,1c b ∈，进而判断出1a c <<，A 正确；构造()ln xf x x=，0x >得到单调性，从而求出a b <，B 正确；CD 选项可以举出反例. 【详解】由正实数a ，b ，c ，以及1b c <，1a b <可得(),0,1c b ∈，又log 1log c c a c >=，所以1a c <<．所以b b a c <，又b a c b <，所以b a a b <，即ln ln b a a b <，等价于ln ln a ba b<，构造函数()ln xf x x=，0x > ()21ln xf x x -'=，当()0,1x ∈时，()21ln 0xf x x -'=> 故()ln xf x x=在()0,1上递增，从而a b <．又取b c =时，原式为1log b ab b b a <<<同样成立，故CD 不正确，故选：AB 11．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（）A ．()f x 在[]1,2上单调递减B ．()00f =C ．()20222022f =D ．()20231f '=【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可. 【详解】方法一：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确，对于C 和D ，设()()g x f x x =-，则()g x 为R 上可导的奇函数，()00g =，由题意()()1111f x x f x x -+-=+--，得()()11g x g x -=+，()g x 关于直线1x =对称，易得奇函数()g x 的一个周期为4，()()()2022200g g g ===，故C 正确，由对称性可知，()g x 关于直线1x =-对称，进而可得()10g '-=，（其证明过程见备注）且()g x '的一个周期为4，所以()()202310g g '='-=，故D 正确．备注：()()11g x g x -=+，即()()11g x g x --=-+，所以()()11g x g x -+=--，等式两边对x 求导得，()()11g x g x '-+=-'--，令0x =，得()()11g g '-=-'-，所以()10g '-=．方法二：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确，对于C ，将()()1120f x f x x --++=中的x 代换为1x +，得()()2220f x f x x --+++=，所以()()222f x f x x ++=+，可得()()4226f x f x x +++=+，两式相减得，()()44f x f x +-=，则()()624f f -=，()()1064f f -=，…，()()202220184f f -=，叠加得()()202222020f f -=，又由()()222f x f x x ++=+，得()()2022f f =-+=，所以()()2022220202022f f =+=，故正确，对于D ，将()()1120f x f x x --++=的两边对x 求导，得()()1120f x f x ''---++=，令0x =得，()11f '=，将()()f x f x --=的两边对x 求导，得()()f x f x '-='，所以()11f '-=，将()()44f x f x +-=的两边对x 求导，得()()4f x f x ''+=，所以()()()2023201911f f f '''==⋅⋅⋅=-=，故正确．故选：BCD12．（2021·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数()xf x xe ax =+.则下列说法正确的是（）A ．当0a =时，min ()0f x =B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图像相切C ．若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上，()2f x x ≤恒成立，则1a e -≤【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：当0a =时，()e xf x x =，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()f x 的单调性，从而求得函数()f x 的最小值；对于B ：当1a =时，()e +xf x x x '=，求导函数，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000e +e +e +1x x x y x x x x x -=-，由切线过原点，求得00x =，继而求得过原点的切线方程；对于C ：问题等价于()+e 0xf x x x a '=+≥在区间[)0,∞+上恒成立，分离参数得e x a x x ≥--在区间[)0,∞+上恒成立，令()e xg x x x =--，求导函数，分析导函数的符号，得函数()g x 的单调性和最值，由此可判断；对于D ：问题等价于2e x x x ax +≤在区间[]0,1上恒成立，0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，分离参数e x a x ≤-，令()e xh x x =-，求导函数，分析()h x '的符号，得函数()h x 的单调性和最值，由此可判断.【详解】对于A ，当0a =时，()()()e ,1e x xf x x f x x ==+'，易知函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，()min 1()1ef x f ∴=-=-，故选项A 不正确；对于B ，当1a =时，()()()()e ,1e 1,02x xf x x x f x x f +''=+=+=，∴函数()f x 在()0,0处的切线方程为2y x =，故选项B 正确；对于C ，()()1e xf x x a =++'，若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()0f x '在[)0,∞+上恒成立，()1e x a x ∴-+，令()()1e ,0x g x x x =-+，则()()2e 0x g x x =-+<'， ∴函数()g x 在[)0,∞+上单调递减，()max ()01a g x g ∴==-，故选项C 错误；对于D ，当0x =时，a ∈R 恒成立；当(]0,1x ∈时，()2f x x 恒成立等价于2e x x ax x +恒成立，即e x a x +，即e x a x -恒成立，设()e ,01x h x x x =-<，则()10e xh x '=-<在(]0,1上恒成立，()h x ∴在(]0,1上单调递减，()min ()11e a h x h ∴==-，故选项D 正确.故选：BD. 三、填空题13．（2009·江苏·高考真题）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_____. 【答案】(1,11)- 【解析】【详解】f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜11，所以单调减区间为(－1,11)．14．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，定义域为(0,)+∞，且满足'()()0xf x f x -<，则不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-恒成立时m 的取值范围为__________. 【答案】()2022,2024【解析】【分析】设()()f x F x x=，根据题意得到()0F x '<，得出函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，结合不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，得到020222m <-<，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()()0xf x f x '-<，可得2()'()()'0f x xf x f x x x -⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，设()()f x F x x=，可得()0F x '<，所以函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，又由2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，所以20220m ->，且(2022)(2)20222f m f m ->-，则020222m <-<，解得20222024m <<，即m 的取值范围为()2022,2024. 故答案为：()2022,2024.15．（2022·江苏盐城·三模）已知()f x '为()f x 的导函数，且满足()01f =，对任意的x 总有()()22f x f x '->，则不等式()223xf x e +≥的解集为__________．【答案】[)0,+∞##{|0}x x ≥ 【解析】【分析】构造新函数()()22exf xg x +=，利用已知条件()()22f x f x '->，可以判断()g x 单调递增，利用()g x 的单调性即可求出不等式的解集【详解】设函数()()22e x f x g x +=，则()()()()222221()22222e x x x x f x e e f x f x f x g x e '⋅-⋅⋅+⎡⎤⎣⎦'--'==⎛⎫ ⎪⎝⎭又()()22f x f x '-> ()0g x '∴>所以()g x 在R 上单调递增，又()()0023g f =+=故不等式2()23xf x e +≥ 可化为()(0)g x g ≥ 由()g x 的单调性可得该不等式的解集为[)0,+∞．故答案为：[)0,+∞16．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知函数()33x f x ax b =-+，则对任意的x ∈R ，存在a 、b （其中a 、b ∈R 且1a ≥），能使以下式子恒成立的是___________.①()()221f x f x ≤+；②()()2021f x f x +-=；③()()21f x f a -≤+；④()()221a f x f ->-.【答案】①②③ 【解析】【分析】取1a =-，0b =，利用导数研究函数()f x 的单调性，可判断①；取20212=b 可判断②；取1a =-，利用导数研究函数()f x 的单调性，可判断③；分1a ≤-、1a ≥两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断④. 【详解】对于①，取1a =-，0b =，则()33x f x x =+，()210f x x '=+>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，因为()221210x x x +-=-≥，即221x x ≤+，故()()221f x f x ≤+恒成立，①对；对于②，取1a =-，20212=b ，则()3202132x f x x =++，所以，()()33202120213232x x f x x x --=-+=--+，则()()2021f x f x +-=，②对；对于③，当1a =-时，()33x f x x b =++，则()210f x x '=+>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，20x -≤，故()()21f x f a -≤+，③对；对于④，当1a ≥时，()2f x x a '=-.由()0f x '>可得x <x ()0f x '<可得x <此时，函数()f x 的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，所以，函数()f x 的极大值为(f b b =+>，极小值为fb b =<，20x ≥，所以，()2f x fb ≥=，1210a a --≤-<-<，所以，(()()210af f f b f->->=>，则()()221af x f ->-不恒成立；当1a ≤-时，()20f x x a '=->，则()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，211--≥a ，所以，()2f x 、()21af --的大小关系无法确定，④错.故答案为：①②③. 四、解答题17．（2014·全国·高考真题（文））函数f(x)=ax 3+3x 2+3x(a≠0). （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）5[,0)(0,)4-⋃+∞【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使()0f x '>或()0f x '<的解集即可. （2）分类讨论在区间（1，2）上使()0f x '>成立的条件，并求出参数a 的取值范围即可试题解析：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x ++'==的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x=-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：12x x ==，若0<a<1,则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；若a<0，则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '<，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是减函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '>，故f （x ）在（x 2，x 1）上是增函数；（2）当a>0，x>0时,()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<.综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-⋃+∞.18．（2008·四川·高考真题（文））设1x =和2x =是函数()531f x x ax bx =+++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）求()f x 的单调区间【答案】（1）25,203a b =-= （2）单调增区间是()()(),2,1,1,2,-∞--+∞，单调减区间是()()2,1,1,2-- 【解析】【分析】（1）根据极值点为导函数的零点，且在零点两边导函数符号相反，列出方程组，求出a 和b 的值，代入检验是否符合要求；（2）在第一问的基础上求出导函数，解不等式，求出单调区间. 【详解】（1）因为()4253f x x ax b =++'，由题设知：()1530f a b '=++=()42225230f a b =⨯⨯+'+=，解得：25,203a b =-=，此时()53252013f x x x x +-=+，()()()422252520514f x x x x x =+=-'--，令()0f x '>得：2x <-或11x -<<或2x >，令()0f x '<得：21x -<<-或12x <<，故1x =是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点，满足要求，综上：25,203a b =-=；（2）由（1）知()()()()()()()42245351451212f x x ax b x x x x x x =++=--=++--'当()()(),21,12,x ∈-∞-⋃-⋃+∞时，()0f x '>；当()()2,11,2x ∈--⋃时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是()()(),2,1,1,2,-∞--+∞，()f x 的单调减区间是()()2,1,1,2-- 19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【答案】(1) f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.（2）3420e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】【分析】(1)求f (x )的导函数为f ′(x )＝(2e x ＋a )(e x －a )，通过讨论a ，求函数的单调区间即可. (2)因为f (x )≥0，所以即求f (x )的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f (x )的最小值，解关于a 的不等式即可求出a 的范围. 【详解】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当x ∈,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )<0；当x ∈ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )>0.故f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，f (x )取得最小值，最小值为f ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当且仅当a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥0，即0>a ≥342e -时，f (x )≥0. 综上a 的取值范围是[342e -，0]. 20．（2014·山东·高考真题（文））设函数若，求曲线处的切线方程；讨论函数的单调性.【答案】（1）210x y --=.（2）当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.【解析】【详解】试题分析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+，求切线的斜率，即1(1)2f '=，又(1)0f =，由直线方程的点斜式进一步整理，得到切线方程为210x y --=.（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++，根据a 的不同情况，讨论导函数值的正负，以确定函数的单调性.其中0a ≥时，情况较为单一，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，再分12a =-，12a <-，102a -<<等情况加以讨论.试题解析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+，此时22()(1)f x x ='+，可得1(1)2f '=，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=. （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++，当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，当12a =-时，0∆=，221(1)2()0(1)x f x x x --=≤+'，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当12a <-时，0,()0g x ∆<<，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当102a -<<时，0∆>，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则1x =2x =由1x =0=>，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减， 12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，综上可知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.21．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,+∞e e .【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===', 令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<, ∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x -'=,令()0g x '=，得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<, 所以a 的取值范围是()()1,,+∞e e .[方法二]：构造差函数由()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点知()1f x =，即a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解，取对数得方程ln ln a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解．构造函数()ln ln ,(0,)g x a x x a x =-∈+∞，求导数得ln ()ln a a x a g x a x x'-=-=．当01a <<时，ln 0,(0,),ln 0,()0,()a x a x a g x g x '<∈+∞->>在区间(0,)+∞内单调递增，所以，()g x 在(0,)+∞内最多只有一个零点，不符合题意；当1a >时，ln 0a >，令()0g x '=得ln a x a =，当0,ln a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,ln a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；所以，函数()g x 的递增区间为0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为,ln a a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭．由于1110e1,e 1e ln 0ln aaa a g a a ---⎛⎫<<<=--< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，有ln ln a x x a <，即()0g x <，由函数()ln ln g x a x x a =-在(0,)+∞内有两个零点知ln 10ln ln a a g a a a ⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以e ln aa >，即eln 0a a ->．构造函数()eln h a a a =-，则e e()1a h a a a'-=-=，所以()h a 的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+∞，所以()(e)0h a h ≥=，当且仅当e a =时取等号，故()0>h a 的解为1a >且e a ≠．所以，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法三]分离法：一曲一直曲线()y f x =与1y =有且仅有两个交点等价为1ax xa=在区间(0,)+∞内有两个不相同的解．因为a x x a =，所以两边取对数得ln ln a x x a =，即ln ln x a x a=，问题等价为()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．①当01a <<时，ln 0,()ap x a<与()g x 只有一个交点，不符合题意． ②当1a >时，取()ln g x x =上一点()()000011,ln ,(),,()x x g x g x g x xx ''==在点()00,ln x x 的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即0011ln y x x x =-+．当0011ln y x x x =-+与ln ()x a p x a =为同一直线时有00ln 1,ln 10,a ax x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得0ln 1,e e.a a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 直线ln ()x a p x a =的斜率满足：ln 1e0a a <<时，()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．记2ln 1ln (),()a a h a h a a a'-==，令()0h a '=，有e a =．(1,e),()0,()a h a h a '∈>在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()a h a h a '∈+∞<在区间(,)e +∞内单调递减；e a =时，()h a 最大值为1(e)eg =，所当1a >且e a ≠时有ln 1e0a a <<．综上所述，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法四]：直接法()112ln (ln )()(0),()a a x x a a x xx x ax a a a x x a x a f x x f x a a a --'⋅-⋅-=>==．因为0x >，由()0f x '=得ln a x a=．当01a <<时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递减，不满足题意；当1a >时，0ln aa >，由()0f x '>得0,()ln a x f x a<<在区间0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，由()0f x '<得,()ln ax f x a >在区间,ln a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减．因为lim ()0x f x →+∞=，且0lim ()0x f x +→=，所以1ln a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即ln ln ln 1(ln )aaa a a a aa a a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=>，即11ln ln (ln ),ln a a a a a a a a a -->>，两边取对数，得11ln ln(ln )ln a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即ln 1ln(ln )a a ->．令ln a t =，则1ln t t ->，令()ln 1h x x x =-+，则1()1h x x'=-，所以()h x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以1ln t t -≥，则1ln t t ->的解为1t ≠，所以ln 1a ≠，即e a ≠．故实数a 的范围为(1,e)(e,)⋃+∞．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成()ln g x x =与ln ()x ap x a=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.22．（2022·江苏江苏·三模）设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+.(1)当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 在R 上单调递增，求a .【答案】(1)在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增 (2)12 【解析】【分析】（1）求得()()e cos 21xf x a x ax a =+--+'，设()()g x f x '=，得到()()e 2sin x g x a x +'=-，得到()y g x =在R 上单调递增，得到()y f x '=在R 上单调递增，结合()00f '=，即可求解；（2）令()e 1xh x x =--，利用导数求得()()00h x h ≥=，得到e 10x x --≥和e 1x x -≥-，令()sin x x x ϕ=-，得出0x ≥时，sin x x ≥；0x ≤，得到sin x x ≤，分0a ≤，102a <<，12a >和12a =，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. (1)解：因为()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+，可得()()e cos 21x f x a x ax a =+--+'，设()()g x f x '=，则()()e 2sin xg x a x +'=-所以当0a ≤时，()0g x '>，函数()y g x =在R 上单调递增，即函数()y f x '=在R 上单调递增，又由()00f '=，所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，所以当0a ≤时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增. (2)解：令()e 1x h x x =--，可得()e 1xh x '=-，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，又由()00h =，所以()()00h x h ≥=，即e 10x x --≥，所以e 1x x ≥+，所以e 1x x -≥-；令()sin x x x ϕ=-，可得()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以函数()x ϕ单调递增，因为()00ϕ=，当0x ≥，可得()()00x ϕϕ≥=，即sin 0x x -≥，即sin x x ≥；当0x ≤，可得()()00x ϕϕ≤=，即sin 0x x -≤，即sin x x ≤，（2.1）当0a ≤时，由（1）知不合题意；（2.2）当102a <<时，若(),0x ∈-∞，()()e cos 21xf x a x ax a =+--+'()1cos 211a x ax a x≤+--+- 121212111ax x a a ax a x x⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤+---=--；当1102x a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，不合题意；（2.3）当12a >时，若()0,1x ∈，同理可得()12121ax x a f x x⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎝⎣'⎥⎭⎦≤-，当1012x a<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，不合题意；（2.4）当12a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，可得()13e cos 22xf x x x =+--'，设()()g x f x '=，则()1e sin 12xg x x '=--，①当0x >时，()111e sin 11sin 10222xg x x x x x x =-'-≥+--≥->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()f x '在()0,∞+上单调递增， ②当0x >时，若[)1,0x ∈-，()()()1111e sin 11021221x x x g x x x x x +=--≤--=≤--'，若(],1x ∈-∞-，()111e sin 1102e 2x g x x -≤+'=--<，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，()f x '在(),0∞-上单调递增，由①②可知，()()00f x f ''≥=，所以()f x 在R 上单调递增，综上所述，12a =.。

函数的性质基础题型训练(含答案)

函数的性质题型一：（函数的单调性）1、已知函数()f x 在R 上是单调递增函数，且2()()f m f m >-，则实数m 的取值范围为．2、定义在(1,1)-上的函数()f x 是单调递减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则实数a 的取值范围为．3、已知函数22()(41)2f x x a a x =+-++在区间(],1-∞上是单调递减函数，则实数a 的取值范围为．4、已知函数()(0)a f x x a x =+>在区间3(,)4+∞上单调递增函数，则实数a 的取值范围为．5、函数x x x f -=ln )(的单调增区间是．6、函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为．7、已知函数1,()|1|,x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+⎩≥在区间(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是．8、已知函数,1()3,1ax f x x x a x ⎧⎪=⎨⎪-+<⎩≥在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围为．9、已知函数321()33f x x x ax a =+-+在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是． 10、已知函数21()2x f x x ax e =--是定义在R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是．11、已知函数()()2x xe af x a R e =-∈在区间[]1,2上单调递增，则实数a 的取值范围是．题型二：（函数的奇偶性）12、已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义域为[1,2]a a -的偶函数，则a b +的值是．13、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2xf x x =-，则(0)(1)f f +-= ．14、若函数(),0()(2),0x x b x f x ax x x -⎧=⎨+<⎩≥（,R a b ∈）为奇函数，则()f a b +的值为．15、已知函数()1xxa e f x ae-=+（e 为自然对数的底数）在定义域上为奇函数，则实数a 的值为．16、已知函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)()f x f x +=，2(cos 1)2sin f θθ-=()R θ∈，则(2017)f = ．17、已知函数2221,0(),0ax x x f x x bx c x ⎧--=⎨++<⎩≥是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点,,,A B C D ．若AB BC =，则实数t 的值为．18、已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数m x x x g +-=2)(2．如果1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围为．题型三：（函数的奇偶性、单调性和周期性的综合）19、已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8xf x =，则19()3f -= ．20、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当02x <<时，()2f x x =+，则(7)f = ．21、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是．22、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()221f x x x =-+，不等式()()232f x f x ->的解集用区间表示为．23、已知函数()f x 为奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，(2)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为．24、已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数，且函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递增，则实数a 的取值范围为．25、已知函数21,0()0,021,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则不等式2(2)()0f x f x -+<的解集是．26、已知知函数)(11)(R x x x x f ∈++=，则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集是．27、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)12(log )(21+=x x f ，则满足不等式0)2())2((log 3>++f x f 的x 的取值范围是．28、已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为．29、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，不等式()()0f x xf x '+<恒成立，若0.30.333113(3),(log 3)(log 3),(log )(log )99a fb fc f ππ===，则,,a b c 的大小关系是．30、已知函数()()R f x x ∈满足(1)1f =，且函数()f x 在R 上的导函数1()2f x '<，则不等式lg 1(lg )2x f x +<的解集为．31、已知定义在R 上的可导函数()f x 导函数为()f x '，对于R x ∀∈，()()f x f x '<，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为．32．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是,a b ，则函数()2f x ax bx =-在1x =处取得最值的概率是．33．已知函数()3sin 4f x ax b x =++(),a b ∈R ，()()2lg log 105f =，则()()lg lg2f = ． 34．已知函数()lg f x x =，若存在互不相等的实数,a b ，使()()f a f b =，则ab = ．35．已知函数()()2,11,1xx f x f x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩，则()2log 32016f += ．36．若函数()log 1a f x x x =-+()01a a >≠且的最小值为2，则a = ．37．若函数()3231f x x x =-+在区间(),1a a +上是减函数，则实数a 的取值范围是． 38．已知函数()3231f x ax x x =+-+在R 上是减函数，则a 的取值范围是． 39．已知函数()2ln 2a f x x x x x =--在定义域内为单调函数，则实数a 的取值范围是． 40．）函数()()12,1,1x a x a x f x a x ⎧-+<=⎨⎩()01a a >≠且，在(),-∞+∞上不是单调函数．．．．．．，则实数a 的取值范围是．41．已知函数()f x =2x ，当0x ∆>时，恒有()()f x x f x +∆>，则实数a 的取值范围是．42．已知()22cos f x x x =+，x ∈R ．若()()313log log 21f a f a f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是． 43．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为． 44．设函数()221ln f x x x a x =-++存在极大值和极小值，则实数a 的取值范围是．45．已知函数()()121,022,2x x f x f x x -⎧-<⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()2016x f x =的实数根的个数为．46．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数()ln f x x =()1x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是．47．已知函数()21,01,0x x f x x x ⎧-=⎨-->⎩，若函数()()y f f x k =-有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是． 48．设函数()ln mf x x x=+，m ∈R ，若对任意210x x >>，()()2121f x f x x x -<-恒成立，则实数m 的取值范是．49．设0a >，若函数()2,0ln ,0x x x f x ax x x ⎧+=⎨->⎩有且仅有两个零点，则a 的值为．50．已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 使得()()()()f a f b f c f d ===，其中a b c d <<<，则2abc d 的取值范围是．51．已知函数()212f x x m =+的图像与函数()lng x x =的图像有四个交点，则实数m 的取值范围是．1.()()∞+⋃∞，，01-- 2. ⎪⎭⎫ ⎝⎛320， 3.[]31， 4.⎥⎦⎤⎝⎛1690， 5.()10， 6.()1-2-， 7.[]01-， 8.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21 9.(]3-，∞10.[)∞+，1- 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2-22e e 12.31 13.1- 14.1- 15.1± 16.2 17.47- 18.[]2-5-， 19.2- 20.3- 21.(]∞+，4 22.()31-， 23.()()2002-，，⋃ 24.(]31， 25.()12-，26.()21， 27⎪⎭⎫ ⎝⎛917-2-， 28.()()∞+⋃，，310 29a b c >>30.()∞+，10 31.()∞+，0 32.12133.3 34.1 352336.e 37.[]10，38.(]3--，∞ 39.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e 40()∞+⋃⎪⎭⎫⎝⎛，，1210 41.[]44-， 42.⎥⎦⎤⎢⎣⎡331，43.()∞+，1- 44.⎪⎭⎫⎝⎛210， 45.201646.e e 212+ 47.[)1-2-， 48.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，41 49.e 1 50.()9663， 51.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞21--，。

高中数学--函数的单调性与导数-Word版含答案

函数的单调性与导数选择题1、函数f(x)=xlnx的单调递增区间是( )A(01) B(1+∞)C D【解析】选D因为f(x)=xlnx(x>0)所以f′(x)=lnx+1令f′(x)>0得lnx+1>0即x>所以函数f(x)的单调递增区间是2、下列函数中在(0+∞)内为增函数的是( )Ay=sinx By=xe2Cy=x3-x Dy=lnx-x【解析】选B对于Ay=sinx在(0+∞)内有增有减对于By′=(xe2)′=e2>0故y=xe2在(0+∞)内是增函数;对于Cy′=3x2-1=3当x∈时y′<0;故y=x3-x在上是减函数对于Dy′=-1=当x∈(1+∞)时y′<0故y=lnx-x在(1+∞)上是减函数3、(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一且其导函数y=f′(x)的图象如图所示则该函数的图象是( )【解析】选B由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的且先由“平缓”变“陡峭”再由“陡峭”变“平缓”观察图象可得B正确4、若f(x)=e<a<b则( )Af(a)>f(b) Bf(a)=f(b)Cf(a)<f(b) Df(a)f(b)>1【解题指南】先判断f(x)的单调性再比较f(a)与f(b)的大小【解析】选A因为f′(x)==当x∈(e+∞)时1-lnx<0所以f′(x)<0所以f(x)在(e+∞)内为单调递减函数故f(a)>f(b)5、(2016·烟台高二检测)若a>0且f(x)=x3-ax在B(-11]C(-11) D上是单调函数求a的取值范围【解析】f′(x)=(2x-2a)e x+(x2-2ax)e x=e x令f′(x)=0即x2+2(1-a)x-2a=0解得x1=a-1-x2=a-1+其中x1<x2当x变化时f′(x)f(x)的变化情况见下表:x (-∞x1) x1(x1x2) x2(x2+∞) f′(x) + 0 - 0 +f(x) ↗↘↗因为a≥0所以x1<-1x2≥0f(x)在(x1x2)上单调递减由此可得f(x)在上是单调函数的充要条件为x2≥1即a-1+≥1解得a≥故所求a的取值范围为10(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(02)且在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0(1)求函数y=f(x)的解析式(2)求函数y=f(x)的单调区间【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(02)知d=2所以f(x)=x3+bx2+cx+2f′(x)=3x2+2bx+c由在点M(-1f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0知-6-f(-1)+7=0即f(-1)=1f′(-1)=6所以即解得b=c=-3故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2(2)f′(x)=3x2-6x-3令f′(x)>0得x<1-或x>1+;令f′(x)<0得1-<x<1+故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞1-)和(1++∞)单调递减区间为(1-1+)1已知对任意实数x有f(-x)=-f(x)g(-x)=g(x)且当x>0时有f′(x)>0g′(x)>0则当x<0时有( )Af′(x)>0g′(x)>0 Bf′(x)>0g′(x)<0Cf′(x)<0g′(x)>0 Df′(x)<0g′(x)<0【解析】选B由题知f(x)是奇函数g(x)是偶函数根据奇偶函数图象特点知当x<0时f(x)的单调性与x>0时相同g(x)的单调性与x>0时恰好相反因此当x<0时有f′(x)>0g′(x)<0 2(2016·南昌高二检测)设f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数当x<0时f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0且g(-3)=0则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A(-30)∪(3+∞) B(-30)∪(03)C(-∞-3)∪(3+∞) D(-∞-3)∪(03)【解析】选D因为′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)所以当x<0时′>0所以f(x)·g(x)在(-∞0)上是增函数又g(-3)=0所以f(-3)g(-3)=0所以当x∈(-∞-3)时f(x)g(x)<0;当x∈(-30)时f(x)g(x)>0又因为f(x)g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数所以f(x)g(x)在R上是奇函数其图象关于原点对称所以当x∈(03)时f(x)g(x)<0综上选D【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数f(-1)=0当x>0时xf′(x)-f(x)<0则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A(-∞-1)∪(01) B(-10)∪(1+∞)C(-∞-1)∪(-10) D(01)∪(1+∞)【解析】选A记函数g(x)=则g′(x)=因为当x>0时xf′(x)-f(x)<0故当x>0时g′(x)<0所以g(x)在(0+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数故函数g(x)是偶函数所以g(x)在(-∞0)上单调递增且g(-1)=g(1)=0当0<x<1时g(x)>0则f(x)>0;当x<-1时g(x)<0则f(x)>0综上所述使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞-1)∪ (01)二、填空题(每小题5分共10分)3(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1k+1)上不是单调函数那么实数k的取值范围是【解析】显然函数f(x)的定义域为(0+∞)y′=4x-=由y′>0得函数f(x)的单调递增区间为;由y′<0得函数f(x)的单调递减区间为由于函数在区间(k-1k+1)上不是单调函数所以解得1≤k<答案:4(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)e x在(0+∞)上单调递增则实数m的取值范围是【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)e x由题意得f′(x)≥0在(0+∞)上恒成立令g(x)=mx+m-1则解得m≥1答案:令f′(x)=0得x1=1x2=a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以4≤a-1≤6解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为方法二:f′(x)=x2-ax+a-1因为f(x)在(14)内为减函数所以当x∈(14)时f′(x)≤0;因为f(x)在(6+∞)内为增函数所以当x∈(6+∞)时f′(x)≥0所以即解得5≤a≤7所以实数a的取值范围为6(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)e x其中e是自然对数的底数a∈R(1)若a=1求曲线f(x)在点(1f(1))处的切线方程(2)若a=-1求f(x)的单调区间【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)e x所以f′(x)=(2x+1)e x+(x2+x-1)e x=(x2+3x)e x所以曲线f(x)在点(1f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e又因为f(1)=e所以所求切线方程为y-e=4e(x-1)即4ex-y-3e=0(2)f(x)=(-x2+x-1)e x因为f′(x)=-x(x+1)e x令f′(x)<0得x<-1或x>0f′(x)>0得-1<x<0所以f(x)的减区间为(-∞-1)(0+∞)增区间为(-10)关闭Word文档返回原板块。

高考数学函数的单调性与最值复习试题（带答案）

高考数学函数的单调性与最值复习试题（带答案）考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高考数学函数的单调性与最值复习试题，希望对大家有所帮助!高考数学函数的单调性与最值复习试题及答案解析一、选择题1.(2013•宣城月考)下列四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是( )A.y=log2xB.y=xC.y=-12xD.y=1xD [y=log2x在(0，+∞)上为增函数;y=x 在(0，+∞)上是增函数;y=12x在(0，+∞)上是减函数，y=-12x在(0，+∞)上是增函数;y=1x在(0，+∞)上是减函数，故y=1x在(0，1)上是减函数.故选D.]2.若函数f(x)=4x2-mx+5在[-2，+∞)上递增，在(-∞，-2]上递减，则f(1)=( )A.-7B.1C.17D.25D [依题意，知函数图象的对称轴为x=--m8=m8=-2，即m=-16，从而f(x)=4x2+16x+5，f(1)=4+16+5=25.]3.(2014•佛山月考)若函数y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+∞)上是( )A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增B [∵y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，∴y=ax2+bx的对称轴方程x=-b2a<0，∴y=ax2+bx在(0，+∞)上为减函数.]4.“函数f(x)在[a，b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A [若函数f(x)在[a，b]上为单调递增(减)函数，则在[a，b]上一定存在最小(大)值f(a)，最大(小)值f(b).所以充分性满足;反之，不一定成立，如二次函数f(x)=x2-2x+3在[0，2]存在最大值和最小值，但该函数在[0，2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f(x)在[a，b]上单调”是“函数f(x)在[a，b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件.]5.设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x)，且当x≥1时，f(x)=ln x，则有( )A.f(13)<f(2)<f(12)B.f(12)<f(2)<f(13)C.f(12)<f(13)<f(2)D.f(2)<f(12)<f(13)C [由f(2-x)=f(x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，f(x)=ln x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为|12-1|<|13-1|<|2-1|，所以f(12)<f(13)<f(2).故选C.]6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a，b]上有( )A.最小值f(a)B.最大值f(b)C.最小值f(b)D.最大值fa+b2C [∵f(x)是定义在R上的函数，且f(x+y)=f(x)+f(y)，∴f(0)=0，令y=-x，则有f(x)+f(-x)=f(0)=0.∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是R上的奇函数.设x1<x2，则x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)>0.∴f(x)在R上是减函数.∴f(x)在[a，b]有最小值f(b).]7.设函数f(x)定义在实数集上，f(2-x)=f(x)，且当x≥1时，f(x)=ln x，则有( )A.f13<f(2)<f12B.f12<f(2)<f13C.f12<f13<f(2)D.f(2)<f12<f13C [由f(2-x)=f(x)可知，f(x)的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，f(x)=ln x，可知当x≥1时f(x)为增函数，所以当x<1时f(x)为减函数，因为12-1<13-1<|2-1|，所以f12<f13<f(2).]8.(2014•黄冈模拟)已知函数y=1-x+x+3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.32C[显然函数的定义域是[-3，1]且y≥0，故y2=4+2(1-x)(x+3)=4+2-x2-2x+3=4+2-(x+1)2+4，根据根式内的二次函数，可得4≤y2≤8，故2≤y≤22，即m=2，M=22，所以mM=22.]二、填空题9.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是________.解析y=-(x-3)|x|=-x2+3x，x>0，x2-3x，x≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为0，32.答案0，3210.若f(x)=ax+1x+2在区间(-2，+∞)上是增函数，则a的取值范围是________.解析设x1>x2>-2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)-f(x2)=ax1+1x1+2-ax2+1x2+2=2ax1+x2-2ax2-x1(x1+2)(x2+2)=(x1-x2)(2a-1)(x1+2)(x2+2)>0，则2a-1>0.得a>12.答案12，+∞三、解答题11.已知f(x)=xx-a(x≠a).(1)若a=-2，试证f(x)在(-∞，-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1，+∞)内单调递减，求a的取值范围.解析(1)证明：设x1<x2<-2，则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).∵(x1+2)(x2+2)>0，x1-x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(-∞，-2)内单调递增.(2)设1<x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).∵a>0，x2-x1>0，∴要使f(x1)-f(x2)>0，只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围为(0，1].12.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有f(a)+f(b)a+b>0成立.(1)判断f(x)在[-1，1]上的单调性，并证明;(2)解不等式：f(x+12)(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围.解析(1)任取x1，x2∈[-1，1]，且x1则-x2∈[-1，1]，∵f(x)为奇函数，∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)•(x1-x2)，由已知得f(x1)+f(-x2)x1+(-x2)>0，x1-x2<0，∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[-1，1]上单调递增.(2)∵f(x)在[-1，1]上单调递增，∴x+12<1x-1，-1≤x+12≤1，-1≤1x-1≤1.解得-32≤x<-1.(3)∵f(1)=1，f(x)在[-1，1]上单调递增.∴在[-1，1]上，f(x)≤1.问题转化为m2-2am+1≥1，即m2-2am≥0，对a∈[-1，1]成立.设g(a)=-2m•a+m2≥0.①若m=0，则g(a)=0≥0，对a∈[-1，1]恒成立.②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[-1，1]恒成立，必须g(-1)≥0且g(1)≥0，∴m≤-2，或m≥2.∴m的取值范围是m=0或m≥2或m≤-2.。

分段函数的单调性(含答案)

分段函数的单调性一、单选题(共10道，每道10分)1.若是上的增函数，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性2.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性3.已知是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性4.若函数是上的减函数，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性5.若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性6.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性7.已知函数满足：对任意实数，当时，总有，那么实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性8.已知函数，若，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性9.已知函数，若，则实数x的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性10.已知，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分段函数的单调性。

函数单调性测试题及答案

函数单调性测试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = -x^2 + 2x \) 在区间 (-∞, 1] 上是单调递增的，那么在区间[1, +∞) 上是单调递减的，这种说法是否正确？A. 正确B. 错误2. 函数 \( g(x) = 3x^3 - 2x^2 + x \) 的导数 \( g'(x) \) 为：A. \( 9x^2 - 4x + 1 \)B. \( 9x^2 + 4x + 1 \)C. \( -9x^2 + 4x - 1 \)D. \( -9x^2 - 4x - 1 \)3. 如果 \( h(x) \) 是一个在区间(0, +∞) 上单调递增的函数，且\( h(2) = 4 \)，那么 \( h(4) \) 一定：A. 大于 4B. 等于 4C. 小于 4D. 无法确定二、填空题4. 函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) 的导数 \( f'(x) \)为 \( ________ \)。

5. 若 \( k \) 为正常数，函数 \( y = kx \) 在整个定义域上是单调递增的，那么 \( k \) 的取值范围是 \( ________ \)。

三、解答题6. 已知函数 \( f(x) = \frac{2}{x} \)，请讨论其在区间 (-∞, 0) 和(0, +∞) 上的单调性，并证明。

7. 函数 \( g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 \)，请找出其在定义域上的极值点，并判断其单调性。

四、证明题8. 证明函数 \( h(x) = x^3 - 3x \) 在区间 (-∞, 1) 上是单调递减的。

答案：1. A2. A3. A4. \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)5. \( k > 0 \)6. 函数 \( f(x) = \frac{2}{x} \) 在区间 (-∞, 0) 上单调递增，在区间(0, +∞) 上单调递减。

高中数学必修一函数的单调性练习题测试题及答案解析

1.3.1.1函数的单调性双基限时练新人教A 版必修11．下列函数在(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝1－2x B ．y ＝－x 2＋2x C ．y ＝5D ．y ＝x －1解析选项A 中y ＝1－2x 为减函数，C 中y ＝5为常数函数，D 中y ＝x －1的定义域为[1，＋∞)．答案 B2．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )A.f x 1－f x 2x 1－x 2>0B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f x 1－f x 2>0解析由增函数的定义易知A 、B 、D 正确，故选C. 答案 C3．设f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是减函数，则有( ) A ．a ≥12B ．a ≤12C ．a >－12D ．a <12解析 ∵f (x )在R 上是减函数，故2a －1<0，即a <12.答案 D4．函数y ＝|x |－1的单调减区间为( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，－1) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析 y ＝|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，－x －1，x <0，在(－∞，0)上为减函数．答案 A5．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝ax的递减区间，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．0≤a ≤1D ．0<a <1解析由二次函数及反比例函数的性质可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，a >0，∴0<a <1. 答案 D6．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0,2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤4B ．0≤m ≤2C ．m ≤0D ．m ≤0或m ≥4解析由f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (2)>f (0)，解得a <0.又因f (x )图象的对称轴为x ＝－－4a2a ＝2.所以x 在[0,2]上的值域与[2,4]上的值域相同，所以满足f (m )≥f (0)的m 的取值范围是0≤m ≤4.答案 A7．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．解析由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数得m －1<2m －1，∴m >0. 答案 m >08．如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析 ∵函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的对称轴为x ＝a －12且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增函数，∴a －12≤12，即a ≤2.答案 (－∞，2]9．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是__________．解析 ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在[0，＋∞)上为减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34. 答案 f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3410．判断函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明．解 f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1，函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数．证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝1＋2x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1－1＝x 1－x 2x 1－x 2－，∵x 1<x 2<0，∴x 1－x 2<0，x 1－1<0，x 2－1<0.∴x 1－x 2x 1－x 2－<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． ∴函数f (x )＝x ＋1x －1在(－∞，0)上是单调减函数． 11．作出函数y ＝|x －2|(x ＋1)的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间．解当x －2≥0，即x ≥2时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122－94；当x －2<0，即x <2时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ≥2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12，[2，＋∞)是函数的单调增区间；⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2是函数的单调减区间．12．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧b －x ＋b －1x ，－x 2＋－b xx，在(－∞，＋∞)上为增函数，求实数b 的取值范围．解由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b －1>0，2－b >0，b －1≥f，即⎩⎪⎨⎪⎧b >12，b <2，b ≥1.∴1≤b <2.即实数b 的取值范围是1≤b <2.。

函数单调性专题(含答案)

函数单调性专题知识点一、定义增函数：。

减函数： .区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量二、图象的特点在单调区间上增函数的图象从左到右是的，减函数的图象从左到右是的.三、求函数单调区间的步骤四、基本初等函数的单调性及单调区间1、一次函数：2、反比例函数：3、二次函数：4、指数函数5、对数函数6、幂函数7、对勾函数五、复合函数的单调性复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：典型习题1．函数xx f 3)(=在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞)2．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有（）A ．21≥aB ．21≤aC ．21>aD ．21<a 3．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( )A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．是增函数或减函数4．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝____．-85．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)43(f 的大小关系是______。

≤6．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (2m ＋1)＞f (3m －4)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(5，＋∞)C ．),53(+∞ D ．)53,(-∞ 7．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则下列一定是y ＝f (x )＋5的递增区间的是( )A ．(3，8)B ．(－2，3)C ．(－3，－2)D ．(0，5)8．已知函数f (x )＝3x ＋b 在区间[－1，2]上的函数值恒为正，则b 的取值范围是_____． (3，＋∞)9．已知函数f (x )的定义域为R ，且对任意两个不相等的实数x ，y ，都有0)()(<--y x y f x f 成立，则f (x )在R 上的单调性为________(填增函数或减函数或非单调函数)．减10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（）A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12试证321)(x x f -=在R 上单调递减.13．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．(－32,21)14．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx ) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．f (1)=0 （2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x 1) ＜2 ． .23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx15求函数y=542)21(--x x 的递减区间.［2，+∞）。

2023年新高考数学一轮复习3-2 函数的单调性与最值(真题测试)解析版

专题3.2 函数的单调性与最值（真题测试）一、单选题1．（2014·北京·高考真题（文））下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A ．x y e -=B ．3y x =C ．ln y x =D ．y x = 【答案】B【解析】【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】对于A ，1xx y e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意；对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意；对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B.2．（2020·山东·高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（） A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数【答案】C【解析】【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <.所以函数()f x 一定是增函数.故选：C3.（2015·山东·高考真题）关于函数22y x x =-+，以下表达错误的选项是（）A ．函数的最大值是1B ．函数图象的对称轴是直线1x =C ．函数的单调递减区间是[)1,-+∞D ．函数图象过点()2,0【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.【详解】 ()22211y x x x =-+=--+，最大值是1，A 正确；对称轴是直线1x =，B 正确；单调递减区间是[)1,+∞，故C 错误；令2x =的22220y =-+⨯=，故()2,0在函数图象上，故D 正确，故选：C4．（2021·全国·高三专题练习）函数()232f x x x =-+的单调递增区间是（） A ． 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ． 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ． 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和[)2,+∞ 【答案】B【解析】【分析】去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果.【详解】222232,13232,1232,2x x x y x x x x x x x x ⎧-+≤⎪=-+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩如图所示：函数的单调递增区间是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞．故选：B.5．（2022·河北·模拟预测）已知2:10p x ax -+=无解，()2:()4q f x a x =-为增函数，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别由210x ax -+=无解和()2()4f x a x =-为增函数解出a 的范围，即可判断. 【详解】由210x ax -+=无解可得240a -<，解得22a -<<；由()2()4f x a x =-为增函数可得240a ->，解得22a -<<，故p 是q 的充要条件.故选：C.6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知函数()f x 对任意实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，并且对任意12,(,2)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，则下列说法正确的是（） A ．(0)(3)f f <B ．(2)(2)f f =-C ．(2)f f <-D ．1)1)f f <【答案】C【解析】【分析】根据题意得到函数()f x 关于2x =对称，且在区间(,2)-∞上单调递减函数，在区间(2,)+∞上单调递增函数，结合函数的性质，逐项判定，即可求解．【详解】由函数()f x 对任意实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，可得函数()f x 关于2x =对称，又由对任意12,(,2)x x ∈-∞，都有()()12120f x f x x x -<-，可得函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减函数，则在区间(2,)+∞上单调递增函数，由()(0)4(3)f f f =>，所以A 不正确；由(2)(2)f f <-，所以B 不正确；由()(6)2f f f <=-，所以C 正确；1212->-，所以))11f f >，所以D 不正确. 故选：C.7．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()13f x f x -=-，且[)12,1,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，()33f =．若对()1,3x ∀∈，()230f x a -->恒成立，则a 的取值范围是（） A ．()1,9-B ．[]1,7-C ．()(),19,-∞-+∞ D ．(][),17,-∞-+∞【答案】D【解析】【分析】由抽象函数单调性和对称性的定义可得()f x 在[)1,+∞上单调递增，在(],1-∞上单调递减且()()133f f -==，由此可将恒成立的不等式化为23x a ->或21x a -<-，分离变量后，根据函数最值可得a 的范围.【详解】[)12,1,x x ∀∈+∞，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增；()()13f x f x -=-，()f x ∴图象关于1x =对称，()f x ∴在(],1-∞上单调递减；()33f =，()()133f f ∴-==；由()230f x a -->知：()()23f x a f ->或()()21f x a f ->-，23x a ∴->或21x a -<-，23a x ∴<-或21a x >+，()1,3x ∈，1a ∴≤-或7a ≥，即a 的取值范围为(][),17,-∞-+∞.故选：D. 8．（2022·江苏南京·三模）已知()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若∀x ≥1，f （x ＋2m ）＋mf （x ）＞0，则实数m 的取值范围是（）A ．（－1，＋∞）B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．（0，＋∞）D ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】分0m ≥和0m <进行分类讨论，分别确定m 的取值范围，最后综合得答案.【详解】0m ≥时，()()()22220f x m mf x x m mx ++=++>，符合题意；0m <时，()()20f x m mf x ++>，即()())2f x m mf x f+>-=显然()f x 在R 上递增，则2x m +>对1x ∀≥恒成立 (120x m +>对1x ∀≥恒成立则：10104120m m ⎧⎪⇒-<<⎨>⎪⎩；综上，1,4m ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭，故选：B ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）函数()21x a f x x -=+在区间()b +∞，上单调递增，则下列说法正确的是（） A ．2a >-B ．1b >-C ．1b ≥-D ．2a <- 【答案】AC【解析】分离常数()221a f x x +=-+，根据()f x 在区间()b +∞，上单调递增，可得201a b +>⎧⎨≥-⎩，从而可得出选项.【详解】()22211x a a f x x x -+==-++， ()f x 在区间()b +∞，上单调递增，20a ∴+>，2a >-∴，由()f x 在区间()1+∞-，上单调递增， 1b .故选：AC10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数23()4x f x x +=+，则下列叙述正确的是（） A ．()f x 的值域为()(),44,-∞--+∞ B ．()f x 在区间(),4-∞-上单调递增 C ．()()84f x f x +--=D ．若{}4,x x x x Z ∈>-∈，则()f x 的最小值为-3 【答案】BCD【解析】【分析】将函数转化为()245235()2444x x f x x x x +-+===-+++，再逐项判断. 【详解】函数()245235()2444x x f x x x x +-+===-+++， A. ()f x 的值域为()(),22,-∞+∞，故错误；B. ()f x 在区间(),4-∞-上单调递增，故正确；C. ()23()8134442x x x f x f x x ++=--++++=，故正确； D. 因为{}4,x x x x Z ∈>-∈，则()f x 的最小值为(3)3f -=-，故正确；故选：BCD11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(12)3221a x a y a x -++=+-（a 是常数）在[2,5]上的最大值是5，则a 的值可能是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB【解析】【分析】先化简解析式，再对参数进行分类讨论，即可求解.【详解】令(12)324()221211a x a f x y a a a x x -++==+=++---（a 是常数），因为[2,5]x ∈，所以41[2,5]1x +∈+. 若1a ≤，44()212111f x a a x x =++-=+--的最大值为5，符合题意；当512a <≤时，()f x 的最大值为(2)f 与(5)f 中较大的数，由(2)(5)f f =，即2|52|2|22|a a a a +-=+-，解得74a =，显然当714a <≤时，()f x 的最大值为5，当74a >时，()f x 的最大值不为定值. 综上，当74a ≤时，()f x 在[2,5]上的最大值是5，结合选项可知，a 的值可能是0或1，故选AB . 12．（2022·江苏·二模）已知定义在[]1,6上的函数()4f x x x=+，则（） A ．任意[],,1,6a b c ∈，()f a ，f b ，()f c 均能作为一个三角形的三条边长B ．存在[],,1,6a b c ∈，使得()f a ，f b ，()f c 不能作为一个三角形的三条边长C ．任意[],,1,6a b c ∈，()f a ，f b ，()f c 均不能成为一个直角三角形的三条边长D ．存在[],,1,6a b c ∈，使得()f a ，f b ，()f c 能成为一个直角三角形的三条边长【答案】AD【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 在定义区间上的最值，再结合构成三角形、直角三角形的条件判断作答.【详解】函数()4f x x x =+在[1,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，min ()(2)4f x f ==，max 20()(6)3f x f ==，任意[],,1,6a b c ∈，不妨令()()()f a f b f c ≥≥，则min max ()()2()2()()()f b f c f c f x f x f a +≥≥>≥，即()f a ，f b ，()f c 均能作为一个三角形的三条边长，A 正确，B 错误；取2,2a b c ===，满足[],,1,6a b c ∈，则()()4,()f a f b f c ===显然有222[()][()][()]f a f b f c +=，即()f a ，f b ，()f c 为边的三角形是直角三角形，C 错误，D 正确. 故选：AD三、填空题13．（2022·山东淄博·三模）设()()232,2x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩．若()()2f a f a =+，则=a __________．【答案】19【解析】【分析】由分段函数各区间上函数的性质有02a <<3a =，即可求结果.【详解】由y =(0,2)上递增，3(2)y x =-在(2,)+∞上递增，所以，由()()2f a f a =+，则02a <<，3a =，可得19a =. 故答案为：19 14．（2022·湖北武汉·模拟预测）若1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使2210x x λ-+<成立，则实数λ的取值范围是______________．【答案】)+∞【解析】【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.【详解】由2210x x λ-+<可得，221x x λ>+，因为1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以12x x λ>+，根据题意，min 12x x λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>即可，设()12f x x x =+，易知()f x在12⎛ ⎝⎭单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭单调递增，所以()min f x f ==⎝⎭所以λ>故答案为：)+∞15．（2022·辽宁·大连市普兰店区高级中学模拟预测）已知函数()f x 为定义在R 上的函数，对任意的R x ∈，均有()()22f x f x +=-成立，且()f x 在[)2,+∞上单调递减，若()10f -=，则不等式()10f x -≥的解集为__________．【答案】[]0,6##}{06x x ≤≤【解析】【分析】根据函数的对称性及单调性之间的关系即可求解.【详解】由题意，因为函数()f x 对任意的R x ∈均有()()22f x f x +=-，所以可得函数()f x 的图象关于2x =对称，又由()f x 在[)2,+∞上单调递减，则()f x 在(,2)-∞上单调递增，因为()10f -=，可得()()510f f =-=，则不等式()10f x -≥，可得115x -≤-≤，解得06x ≤≤，所以不等式()10f x -≥的解集为[]0,6.故答案为：[]0,6.16．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，且任意0x >，均有()()11f f x x f x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，则(1)f =_____.【解析】【分析】设(1)f a =，令1x =、1x a =+求得()1111f f a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，结合()f x 单调性求出a 值，代入()f x 验证即可得结果.【详解】设(1)f a =，令1x =得：()()()111111f f f a f a⎡⎤+=⇒+=⎣⎦；令1x a =+得：()()()111111111f f a f a f a f a a a ⎡⎤⎛⎫++=⇒+== ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭，因为()f x 为定义在(0,)+∞上的增函数，所以1111a a a +=⇒=+，当()1f a ==时，由()()11111101a f a f a a a a +>⇒+>⇒>⇒<-<<或矛盾.故()1f a ==.四、解答题17．（2021·江苏·高三）比较2ππ1+，103【答案】2ππ1013+<<【解析】【分析】构造()21x f x x+=，函数在()1,+∞上单调递增，3π<<. 【详解】设()21x f x x +=，故()211x f x x x x+==+，函数在()1,+∞上单调递增.故3π<<()()3πf f f <<，即2ππ1013+<< 18．（2022·上海市七宝中学模拟预测）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过c 千米/时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v （千米/时）的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y （元）表示为速度v （千米/时）的函数；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？【答案】(1)()()20s y bv a v c v =+<≤ (2)答案见解析【解析】【分析】（1）首先确定全程运输时间，根据可变成本和固定成本可得解析式；（2）根据对号函数单调性可分类讨论得到结论.(1)由题意知：每小时可变部分的成本为2bv ，全程运输时间为s v时， ∴全程运输成本()()20s y bv a v c v=+<≤. (2)由（1）得：a y s bv v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，c >时，y 在(]0,c 上单调递减；则当v c =时，y 取得最小值；c 时，y 在⎛ ⎝上单调递减，在c ⎤⎥⎦上单调递增；则当v =y 取得最小值；c >时，应以速度c c . 19．（2021·上海浦东新·一模）已知函数2()1=++f x x ax ，a R ∈.(1)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()()(0)f x g x x x=>，写出函数()g x 的单调递增区间并用定义证明. 【答案】(1)答案见解析(2)[)1,+∞，证明见解析【解析】【分析】（1）分0a =、0a ≠两种情况，利用函数奇偶性的定义判断出结果；（2）求得1()g x x a x=++，可以确定()g x 的单调递增区间为[)1,+∞，之后利用函数单调性证明即可.(1)当0a =时，2()1f x x =+，定义域为R ，任选x ∈R ，都有2()1()f x x f x -=+=，所以0a =时函数()f x 为偶函数；当0a ≠，(1)2,(1)2f a f a -=-=+则(1)(1),(1)(1)f f f f -≠-≠-； 0a ≠时函数()f x 既非奇函数又非偶函数；(2)函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞. 证明：()1()f x g x x a x x==++，任取[)12,1,,x x ∈+∞且12x x <，1212121212111()()()()(1)g x g x x a x a x x x x x x -=++-++=--1212121()()x x x x x x -=-，由于12x x <，则120x x -<；由于[)12,1,x x ∞∈+，则121210x x x x ->；所以1212121()()0x x x x x x --<，即12()()f x f x <. 函数()g x 的单调递增区间为[)1,+∞.20．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)2(1)2f x x x =++ (2)913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据0∆≤，结合(1)0f -=可解；（2）结合图形，对对称轴和端点函数值进行分类讨论可得.(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++，因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =，所以2(1)2f x x x =++.(2) 因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 21．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））已知函数()f x 的定义域为R ，,a b ∀∈R ，()()()f a f a b f b -=，且当0x >时，()1f x >.(1)求(0)f ，并写出一个符合题意的()f x 的解析式；(2)若()()22248f m m f m +>-，求m 的取值范围. 【答案】(1)(0)1f =，()2x f x =（答案不唯一） (2)423,⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用特殊值求出()0f ，再根据指数的运算性质得到()f x 的一个解析式；（2）令2a b =，即可得到()0f x >，再利用单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；(1) 解：因为(),,()()f a a b f a b f b ∀∈-=R ，所以()0f x ≠. 令a b =，得()(0)1()f a f f a ==. 所以()f x 的一个解析式为()2x f x =（答案不唯一）.(2) 解：令2a b =，则2()02a f a f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()0f x >. 令12x x <，则()()()2211f x f x x f x -=. 因为当0x >时，()1f x >，所以()()()22111f x f x x f x -=>. 因为()0f x >，所以()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.不等式()()22248f m m f m +>-等价于22248m m m +>-，即23280m m --<，解得423m -<<，即m 的取值范围是423,⎛⎫- ⎪⎝⎭. 22．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24(1)f x x ax a =-+≥，2()1x g x x =+. (1)求函数()y f x =的最小值()m a ；(2)若对任意12,[0,2]x x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)24,12()84,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩(2)1a ≤<【解析】【分析】（1）先将()f x 的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间[0,2]的位置关系，可求出函数()y f x =的最小值()m a ；（2）根据函数的单调性求出函数()f x 的最小值和()g x 的最大值，然后使()()21min max f x g x >，建立关系式，解之即可求出答案.(1)由()()222244f x x ax x a a =-+=-+-，则二次函数的对称轴为x a =，则当12a ≤<时，()f x 在[)0,a 上单调递减，在(],2a 上单调递增，所以 ()()()2min 4m a f x f a a ===-；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，()()()min 284m a f x f a ===- ，所以()24,1284,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩； (2)()()1121g x x x =++-+，当[0,2]x ∈时，[]11,3x +∈，又()g x 在区间[0,2] 上单调递增，所以()40,3g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.若对任意12,[0,2]x x ∈，()()21f x g x >恒成立则()()21min max f x g x >，故212443a a ≤<⎧⎪⎨->⎪⎩或24843a a ≥⎧⎪⎨->⎪⎩解得：1a ≤<.。