4几种特殊函数的积分
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
几种特殊类型函数的积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分定义：设()P x 和()Q x 是两个多项式，凡形如()()P x Q x 的函数称为有理函数。
重要结论：任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如（称为简单分式）：（1） a x A -； （2） ka x A )(-；)2(≥k （3）)04(22<-+++q p q px x B Ax ； （4）)04()(22<-+++q p q px x B Ax k )2(≥k 。
的简单分式之和，其中A ，B ，,,,q p a 为常数，k 为正整数。
因此，对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。
（1） C a x a x dx +-=-⎰ln 。
（2） C a x k a x dx k k +--=--⎰1))(1(1)(， )1(>k 。
（3） dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222，令2p x t +=，并记4422p q r -=，2pA B N -=，则 dx p q p x B Ax dx q px x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222⎰+=22r t tdt A ⎰++22r t dt N C rt r N r t A +++=arctan )ln(222。
（4） 同（3）可得 )2(≥k ， ⎰+++k q px x B Ax )(2⎰⎰+++=k k r t dt N r t tdt A )()(2222122))(1(2-+-=k r t k A ⎰++k r t dt N )(22。
记 ⎰+=k k r t dt I )(22，则 dt r t t r I r dt r t t r t r I k k k k ⎰⎰+-=+-+=-)(11)()(1222212222222 =))(1()1(2111212⎰--+-+k k r t td k r I r ])([)1(2111122212----+-+=k k k I r t t k r I r ， 于是，有递推公式121222)1(232))(1(2----++-=k k k I k r k r t k r t I 。
特殊积分公式
特殊积分公式
在数学中，特殊积分公式是一些常见的积分公式，它们可以用来求解特定类型的积分问题。
以下是一些常见的特殊积分公式：
1. 幂函数积分：
∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n不等于-1
2. 指数函数积分：
∫e^x dx = e^x + C
3. 三角函数积分：
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C
∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C
∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C
4. 对数函数积分：
∫1/x dx = ln|x| + C
5. 反三角函数积分：
∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C
∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C
这些是一些常见的特殊积分公式，但在实际问题中可能还会有其他特殊积分公式。
在解决具体的积分问题时，可以根据需要使用适当的特殊积分公式。
贝塞尔函数的积分表
贝塞尔函数的积分表
贝塞尔函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于物理、工程、科学和数学等领域。
它们由德国数学家弗里茨·贝塞尔在19世纪初发现，因此得名为贝塞尔函数。
贝塞尔函数在科学和工程中的应用非常广泛，包括无线电通信、地震勘探、热力学、流体力学、量子力学等。
贝塞尔函数的积分表是指一张包含了各种贝塞尔函数的积分的
表格。
这张表格对于研究和应用贝塞尔函数来说非常重要。
以下是一些贝塞尔函数的积分表：
1. $int_0^x J_0(t) dt = J_1(x)$
2. $int_0^x J_1(t) dt = 1-J_0(x)$
3. $int_0^x J_n(t) dt = J_{n+1}(x)$
4. $int_0^x xJ_0(t) dt = xJ_1(x)$
5. $int_0^x xJ_1(t) dt = x^2/2(1-J_0(x))$
6. $int_0^x xJ_n(t) dt = xJ_{n+1}(x)/n$
7. $int_0^x J_0(t)^2 dt = x/2(J_1(x))^2$
8. $int_0^x J_0(t)J_n(t) dt = 0$
9. $int_0^x J_n(t)J_n(t) dt = x/2(J_{n+1}(x))^2$
以上是一些常见的贝塞尔函数的积分表。
当然，在实际的研究和应用中，可能需要更多的积分表。
同时，需要注意的是，不同的文献可能会出现一些微小的变化，因此在使用时应该注意确认。
- 1 -。
不定积分习题
习题课（六）内容： 不定积分的概念及积分方法基本要求：1．理解原函数与不定积分的概念。
2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。
3．掌握不定积分的积分方法。
4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。
内容与方法精讲：一． 原函数与不定积分的概念1． 原函数定义：在区间I 上，若)()(x f x F ='（即dx x f x dF )()(=），称函数)(x F 是函数)(x f 在区间I 上的一个原函数。
2． 原函数存在的条件：若函数)(x f 在区间I 上连续。
则)(x f 在区间I 上有原函数。
3． 不定积分：函数)(x f 在区间I 上的所有原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作⎰+=C x F dx x f )()(.4． 不定积分与导数的关系：（1） 先积分再求导（或微分）⎰=')(])([x f dx x f ，或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([； （2） 先求导（或微分）再积分C x F dx x F +='⎰)()(，或 ⎰+=C x F x dF )()(. 5． 不定积分的线性性：（1）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(；（2）⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.二．基本积分公式（略） 三．不定积分的方法1． 拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。
（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。
2． 凑微分法：C x F x d x f dx x x f +=='⎰⎰)]([)()]([)()]([ϕϕϕϕϕ.主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。
常见积分公式表
常见积分公式表常见积分公式表在微积分中，积分是一个重要的概念，它可以用来求解曲线下的面积、求解函数的原函数等。
而积分公式则是在求解积分过程中经常使用的一些公式，它们可以帮助我们简化计算，提高效率。
下面是一些常见的积分公式表：1. 基本积分公式：- ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n不等于-1- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C，其中a为常数且不等于1- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C- ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2. 特殊函数积分公式：- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C- ∫1/(√(x^2+1)) dx = ln(x + √(x^2+1)) + C- ∫e^x/(1+e^x) dx = ln(1+e^x) + C- ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C- ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C3. 三角函数积分公式：- ∫sin^n(x) dx = (-1/(n-1)) * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-2)/(n-1) *∫sin^(n-2)(x) dx，其中n不等于1- ∫cos^n(x) dx = (1/(n-1)) * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-2)/(n-1) *∫cos^(n-2)(x) dx，其中n不等于14. 指数函数积分公式：- ∫a^x ln(a) dx = (1/(ln(a))^2) * a^x + C，其中a为常数且不等于15. 分部积分公式：- ∫u dv = uv - ∫v du6. 替换积分公式：- ∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du，其中u = g(x)这些是常见的积分公式，掌握它们可以在求解积分时事半功倍。
几种特殊函数的积分
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
几种特殊类型的函数积分
反三角函数积分公式
∫sinxdx=−cosx+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+Cint cos x , dx = sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=ln|secx|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tanxdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转 化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算 对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的 积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的 性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函 数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)， 其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式
十二个不可积分函数
十二个不可积分函数摘要：1.引言2.不可积分函数的定义和特点3.常见的十二个不可积分函数4.不可积分函数在数学和物理中的应用5.结论正文：【引言】在微积分中，不可积分函数是指不能通过初等函数的有限次积分来表示的函数。
这类函数具有非常特殊的性质，不能通过常规的积分方法求解。
本文将介绍十二个不可积分函数，并简要探讨它们在数学和物理中的应用。
【不可积分函数的定义和特点】不可积分函数是微积分中的一个重要概念。
它具有以下特点：1.不可积分函数的图像具有某种特殊结构，例如具有无穷大的局部极值。
2.不可积分函数的增长速度在某些区间内会远远超过任何初等函数的增长速度。
3.不可积分函数往往具有无穷多个拐点，即在某些区间内具有不同的增长速度。
【常见的十二个不可积分函数】1.魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass function）2.狄利克雷函数（Dirichlet function）3.柯西函数（Cauchy function）4.黎曼函数（Riemann function）5.洛必达函数（L"Hopital function）6.欧拉函数（Euler function）7.拉格朗日函数（Lagrange function）8.奥斯特洛夫斯基函数（Ostrowski function）9.皮亚诺函数（Peano function）10.康托尔函数（Cantor function）11.亚历山大·格罗滕迪克函数（Alexander Grothendieck function）12.施瓦茨函数（Schwarz function）【不可积分函数在数学和物理中的应用】尽管不可积分函数不能通过常规方法求解，但它们在数学和物理中具有重要意义。
例如：1.在数学中，不可积分函数的研究有助于揭示微积分的基本性质和定理，如魏尔斯特拉斯函数可以用来证明微积分基本定理。
2.在物理中，不可积分函数可以用来描述某些非线性系统的动力学行为，如混沌现象。
课件：几种特殊函数的积分
例6
x8
(
1 x2
dx 1)
1 x2 x2 x8( x2 1)dx
1 x8
1 x6( x2
1)dx
1 x8
1 x6
1 x4( x2
1)dx
1 x8
1 x6
1 x4
1 x2(x2
1)dx
1 x8
1 x6
1 x4
1 x2
1 x2
1dx
1 7x7
1 5x5
1 3x3
1 x
arctan
x
ln sin
x
1 2
1 sin2
x
C
例10
求积分
7 sinx cos x dx. 3sinx 4cos x
解
7sinx cosx 3sinx 4cosx
d
x
(1
3 cos x 3sinx
4sinx 4 cos x
)dx
x ln3sinx 4cosx C
三、简单无理函数的积分
讨论类型
A1 A2 Ak
x a (x a)2
(x a)k
其中 A1 , A2 ,, Ak 都是常数.
2）分母中若有因式( x2 px q)k,其中
p2 4q 0 ,则分解后为：
A1x B1 A2 x B2 Ak x Bk
x2 px q (x2 px q)2
(x2 px q)k
5 6 （待定系数法） x2 x3
x
2
x
3 5x
6
dx
5ln x 2 6ln x 3 C
1）分母中若有因式( x a)k，则分解后为
A1 xa
A2 ( x a)2
(x
4.4 几种特殊函数的不定积分
当 P( x) 的次数小于 Q( x) 时，
称这有理函数为真分式，否则为假分式。 总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分 式之和的形式
例1 将下列真分式分解为部分分式
4.4几种特殊函数的不 定积分
解
(1) 用拼凑法
x ( x 1) 1 1 1 2 2 2 ( x 1) x( x 1) x( x 1) x( x 1) 1 x ( x 1) 2 ( x 1) x( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
4.4几种特殊函数的不 定积分
(2) 用赋值法，设
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
解得
A 5, B 6
6 5 原式 x2 x 3
4.4几种特殊函数的不 定积分
(3) 设
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
.
2 2t 1 t2 dt sin x , cos x , dx 2 2 2 1 t 1 t 1 t
于是
1 1 du 2 dt 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 4t
sin x 1 sin x dx
x 设 tan t 2
4.4几种特殊函数的不 定积分
1 t2 cos x 1 t2
2t sin x , 2 1 t
x 2arctan t ,
从而
2 dx dt 2 1 t
称为万能代换
例5 求
x 解 设 tan 2 t ，则
1 sin x dx
4.4几种特殊函数的不 定积分 sin x
几种特殊类型函数地积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的不定积分1.化有理函数为简单函数两个多项式的商所表示的函数)(x R 称为有理函数，即mm m m m nn n n n b x b x b x b x b a x a x a x a x a x Q x P x R ++++++++++==------122110122110)()()( （1） 其中n 和m 是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a ．当（1）式的分子多项式的次数n 小于其分母多项式的次数m ，即m n <时，称为有理真分式；当m n ≥时，称为有理假分式．对于任一假分式，我们总可以利用多项式的除法，将它化为一个多项式和一个真分式之和的形式．例如12)1(112224+++-=+++x x x x x x ． 多项式的积分容易求得，下面只讨论真分式的积分问题．设有理函数（1）式中m n <，如果多项式)(x Q 在实数围能分解成一次因式和二次质因式的乘积：μλβα)()()()()(220s rx x q px x b x a x b x Q ++++--= ．其中s r q p b a ,,,,,,, 为实数；042<-q p ，…，042<-s r ；,,,βα μλ,, 为正整数，那末根据代数理论可知，真分式)()(x Q x P 总可以分解成如下部分分式之和，即βααα)()()()()(1121b x B a x A a x A a x A x Q x P -++-++-+-=-λββ)()(21112q px x N x M b x B b x B ++++-++-+-μλλλ)()(21121222s rx x S x R q px x N x M q px x N x M ++++++++++++++-srx x S x R s rx x S x R +++++++++-21222)(μμμ ． （2） 其中i i i i i i S R N M B A ,,,,,,, 都是待定常数，并且这样分解时，这些常数是唯一的．可见在实数围，任何有理真分式都可以分解成下面四类简单分式之和： （1）a x A - ， （2）k a x A )(- （k 是正整数，2≥k ）， （3）qpx x B Ax +++2（042<-q p ）， （4）kq px x B Ax )(2+++ （k 是正整数，04,22<-≥q p k ）．2. 有理函数的不定积分求有理函数的不定积分归结为求四类简单分式的积分．下面讨论这四类简单分式的积分．（1）C a x A a x d ax A dx a x A +-=--=-⎰⎰ln )(1，（2）C a x k A a x d a x A dx a x A k k k+-⋅--=--=---⎰⎰1)(11)()()(， （3）dx qpx x B Ax ⎰+++2（042<-q p ）． 将分母配方得)4()2(222p q p x q px x -++=++，作变量代换2px u +=，则du dx p u x =-=,2；由于04,0422>-<-p q q p ，记224a p q =-，于是 du a u B pu A dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰⎰++-=-+++=+++22222)2()4()2( du au ApB du a u Au ⎰⎰+-++=22222C au a Ap B a u A +-++=arctan 2)ln(222 C pq p x p q Ap B q px x A +-+--+++=22242arctan 42)ln(2．（4）dx q px x B Ax k⎰+++)(2 (04,22<-≥q p k )．作变量代换2px u +=，并记224a p q =-，于是⎰⎰⎰+-++=+++du a u ApB du a u Au dx q px x B Ax k k k )(2)()(22222． 其中第一个积分C a u k A a u d a u A du a u Au k k k ++⋅--=++=+--⎰⎰122222222)(1)1(2)()(2)(． 第二个积分可通过建立递推公式求得．记 ⎰+=kk a u du I )(22 利用分部积分法有⎰⎰++++=+=12222222)(2)()(k kk k a u du u k a u u a u du I du a u a a u k a u u k k ⎰++-+++=12222222)()(2)(122222)(+-++=k k kkI a kI a u u ．整理得 k k k I ka k a u u k a I 22221212)(21-++⋅=+． 于是可得递推公式]2232)()1(21[111222----++⋅-=k k k I k k a u u k a I ． （3）利用（3）式，逐步递推，最后可归结为不定积分C a u aa u du I +=+=⎰arctan 1221． 最后由2px u +=全部换回原积分变量，即可求出不定积分⎰+++dx q px x B Ax k )(2． 例1 求⎰++-dx x x x 22)32(1． 解⎰⎰++-+=++-dx x x dx x x x 2222]2)1[(21)32(1 ⎰⎰+-++=2222)2(2)2(1u du du u u x u]2212121[212)2(21222⎰+++⋅⨯⨯-+-=u du u u uC u u u +-++-=2arctan 221)2(212`C x x x x ++-+++-=21arctan 221)32(222．例2 求dx x x ⎰-2)1(1． 解 因为2)1(1-x x 可分解为1)1()1(122-+-+=-x C x B x A x x ． 其中A ，B ，C 为待定系数．可以用两种方法求出待定系数．第一种方法：两端去掉分母后，得)1()1(12-++-=x Cx Bx x A ． （4）即 A x C A B x C A +--++=)2()(12由于（4）式是恒等式，等式两端2x 和x 的系数及常数项必须分别相等，于是有⎪⎩⎪⎨⎧==--=+1020A C A B C A ， 从而解得 1=A ，1=B ，1-=C ．第二种方法：在恒等式（4）中，代入特殊的x 值，从而求出待定系数．如令0=x ，得1=A ；令1=x ，得1=B ；把A ，B 的值代入（4）式，并令2=x ，得C 2211++=，即1-=C ．于是⎰⎰---+=-dx x x x dx x x )11)1(11()1(122 ⎰⎰⎰---+=dx x dx x dx x 11)1(112C x x x +----=1ln 11ln ． 例3 求⎰+-+dx x x x 22)1)(1(22． 解 因为1)1(1)1)(1(2222222++++++-=+-+x E Dx x C Bx x A x x x ， 两端去分母得)1)(1)(()1)(()1(22222+-++-+++=+x x E Dx x C Bx x A x234)2()()(x B E D A x D E x D A +-++-++=)()(C E A x C B E D --++-+-+．两端比较系数得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=+-+-=+-+=-=+220200C E A C B ED BE D A D E D A ，解方程组得1=A ，2-=B ，0=C ，1-=D ，1-=E ，故dx x x x x x dx x x x )11)1(211()1)(1(2222222⎰⎰++-+--=+-+ dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰++-+--=11)1(211222C x x x x +-+-++-=arctan )1ln(21111ln 22 C x x x x +-+++-=arctan 1111ln22． 例4 求⎰+-+dx x x x 6532． 解 因为32)3)(2(36532-+-=--+=+-+x B x A x x x x x x ，两端去分母得 )2()3(3-+-=+x B x A x ． 令2=x ，得5-=A ；令3=x ，得6=B ．于是Cx x dx x x dx x x x +---=---=+-+⎰⎰2ln 53ln 6)2536(6532C x x +--=56)2()3(ln ． 从理论上讲，多项式)(x Q 总可以在实数围分解成一次因式和二次质因式的乘积，从而把有理函数)()(x Q x P 分解为多项式与四类简单分式之和，而简单分式都可以积出．所以，任何有理函数的原函数都是初等函数．但我们同时也应该注意到，在具体使用此方法时会遇到困难．首先，用待定系数法求待定系数时，计算比较繁琐；其次，当分母的次数比较高时，因式分解相当困难．因此，在解题时要灵活使用各种方法．例5 求dx x x x x x ⎰+++++12232． 解dx x dx x dx x x x x dx x x x x x ⎰⎰⎰⎰+++=+++++=+++++1111)1)(1()1()1(12222232C x x +++=arctan 1ln ．例6 求dx x x x x ⎰+-+-)54)(44(122 ．解 dx x x x x x x x x dx x x x x ⎰⎰+-+-+--+-=+-+-)54)(44()44()54()54)(44(1222222dx x x dx x x ⎰⎰+--+-=54144122 ⎰⎰-+----=)2(1)2(1)2()2(122x d x x d xC x x +----=)2arctan(21．例7 求dx x ⎰+114． 解⎰⎰⎰+--++=+dx x x dx x x dx x 112111211142424dx x x x dx x x x ⎰⎰+--++=2222221112111121 )1(2)1(121)1(2)1(12122xx d xx x x d x x +-+--+-=⎰⎰C x x x x x x ++++---=1212ln 24121arctan 221222．二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式．因为所有三角函数都可以表示为x sin 和x cos 的有理函数，所以，下面只讨论)cos ,(sin x x R 型函数的不定积分．由三角学知道，x sin 和x cos 都可以用2tan x 的有理式表示，因此，作变量代换2tan x u =，则222122tan12tan22sec 2tan22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 22222222112tan 12tan 12sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x x x +-=+-=-=-=． 又由u x arctan 2=，得du u dx 212+=，于是 ⎰⎰++-+=du u u u u u R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ． 由此可见，在任何情况下，变换2tan x u =都可以把积分dx x x R )cos ,(sin ⎰有理化．所以，称变换2tan x u =为万能代换．例8 求dx xx ⎰++cos sin 11． 解 设2tan x u =，则du u du u u u u u dx x x ⎰⎰⎰+=+⋅+-+++=++1112111211cos sin 112222C xC u ++=++=2tan1ln 1ln ． 例9 求dx xx ⎰-+cos 1sin 1．解 设2tan x u =，则du u u u u du u u u u u dx xx ⎰⎰⎰+++=+⋅+--++=-+)1(2)1(12111121cos 1sin 12222222du u u du u ⎰⎰++=)1(2122du u u u u du u ⎰⎰+-++=)1()1(212222⎰⎰⎰+-+=du u u du u du u 2212121C u u u ++-+-=)1ln(ln 212 C x x x +--=)2ln(sec 2cot 2tan ln 22．虽然利用代换2tan x u =可以把三角函数有理式的积分化为有理函数的积分，但是，经代换后得出的有理函数积分一般比较麻烦．因此，这种代换不一定是最简捷的代换．例10 求dx xx ⎰+sin 1sin ． 解 dx x x x dx xx x dx x x ⎰⎰⎰-=--=+222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin dx xx dx x x ⎰⎰--=222cos cos 1cos sin ⎰⎰⎰+--=dx dx x x d x 22cos 1cos cos 1C x x x ++-=tan cos 1． 例11 求dx x ⎰+2cos 311． 解x d x dx x x dx xtan 4tan 13sec sec cos 3112222⎰⎰⎰+=+=+ C x +=)2tan arctan(21．三、简单无理函数的积分（一）),(nb ax x R +型函数的积分),(u x R 表示x 和u 两个变量的有理式．其中a ，b 为常数．对于这种类型函数的积分，作变量代换u b ax n=+，则a b u x n -=，du anu dx n 1-=，于是 du a nuu a b u R dx b ax x R n n n 1),(),(-⋅-=+⎰⎰ ． （5）（5）式右端是一个有理函数的积分．例12 求⎰++dx x 3211． 解 令u x =+32，则23-=u x ，du u dx 23=，于是⎰⎰⎰++-=+=++du u u du u u dx x 111313211223 C u u u du u u +++-=++-=⎰)1ln 2(3)111(32C x x x +++++-+=333221ln 323)2(23．例13 求dx xx ⎰+31．解 为了同时去掉被积函数中的两个根式，取3和2的最小公倍数6，并作变量代换u x =6，则6u x =，du u dx 56=，23u x =，3u x =，于是du u u du u u dx xx⎰⎰⎰+=+=+1616128283u d uu u u ⎰++-+-=)111(62246 C u u u u u ++-+-=arctan 6625676357 C x x x x x x ++-+-=66656arctan 6625676．（二）),(ndcx b ax x R ++型函数的积分 这里),(u x R 仍然表示x 和u 两个变量的有理式．其中d c b a ,,,为常数．对于这种类型函数的不定积分，作变量代换u d cx b ax n=++，则nn cu a b du x --=，du cu a bc ad nu dx n n 21)()(--=-，于是du cu a bc ad nu u cu a b du R dx d cx b ax x R n n n nn21)()(),(),(--⋅--=++-⎰⎰． （6） （6）式右端是一个有理函数的积分．例14 求dx xx x ⎰+11． 解 令u x x =+1, 则112-=u x ，du u u dx 22)1(2--=，于是 duu u du u u du u u u u dx x x x ⎰⎰⎰⎰-+--=--=--⋅-=+111212)1(2)1(112222222C u u u du u ++---=-+-=⎰11ln 2)111(22C u u u +--++-=1ln )1ln(222 C x x xx x++++++-=ln )11ln(212．例15 求dx x x ⎰-+342)1()1(1．解 ⎰⎰+--+=-+dx x x x x dx x x 334211)1)(1(1)1()1(1，令ux x =+-311，则311u x x =+-，3311u u x -+=，du u u dx 232)1(6-=， 于是du u dx x x x dx x x ⎰⎰⎰=+--=-+23234212311)1(1)1()1(1C x x C u +-+-=+-=3112323．。
几种特殊类型函数的积分
2
．
解 设 3 x 2 u ．于是xu22，dx3u2d u ，从而
1
dx 3x
2
1
1 u
·3u2d u
3
u2 1
1du u
3 (u
1 1 )du 1 u
3(
u2 2
uln|1u|)C
3 3 (x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | +C． 2
练习
求积分：
(1)
2
dx cos
an bm
其中m和n都 是非负整数；a0 ，a1 ，a2 ，… ，an 及b0 ，b1 ，b2
，… ，bm都是实数，并且a00，b00．当n<m时，称这有理函数
是真分式；而当nm时，称这有理函数是假分式．假分式总可以
化成一个多项式与一个真分式之和的形式．例如
x3 x 1 x2 1
x
1 x2 1
．
例2 求
x
2
x
2 2x
3
dx
．
解
x2
x
2
2 x
3
dx
(1 2
x
2x 2 2 2x
3
3
x
2
1 2
x
)dx 3
1 2
x
2x 2 2 2x
dx 3
3
x
2
1 2
x
dx 3
1 2
d (x2 2x 3) x2 2x 3
3
d (x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln(x2 2x 3) 3 arctan x 1 C ．
2
dx.
解
x2
3x 1 3x
几种特殊类型函数的积分
x 2 tan 2
2u 1 u
2 du dx 1 u
2
2
1 u 1 u
2
2
2
2 tan
万能代换
sin x dx. 例7. 求(1) 1 sin x
1 dx. (2) 3 cos x
利用万能公式处理比较复杂，更多地是利 用三角恒等式化简被积函数
1 dx. 例8. 求 2 sec x sin x tan x
例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) dx 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
dx d( x 2 2 x 2) 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2) 2
2
1 arctan(x 1) 2 C x 2x 2
( m n)
例9. 求
和差化积公式
解:
1 1 ∴原式 = sin 4 x dx sin 2 x d x 2 2 1 1 sin 4 x d(4 x) sin 2 x d(2 x) 4 8
1 sin x cos3x (sin 4 x sin 2 x) 2
解: (1)用赋值法
1 A B C 1 1 1 2 2 x( x 1) x x 1 ( x 1) x x 1 ( x 1) 2
右端通分后比较两端分子得
1 A( x 1)2 Bx( x 1) Cx 令 x=0 得 A=1 令 x=1 得 C=1 令 x=2 得 B=-1
例2. 求 解: 原式 1
4 1 2x 1 dx dx 2 5 1 2x 5 1 x 2 d(1 2 x) 1 2 x dx 1 dx 1 x2 1 x2 5 5 5 1 2x 2 2 1 d ( 1 x ) 1 arctan x ln 1 2 x 5 5 5 1 x2
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二、三角函数有理式的积分
三角函数有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函
数，一般记为R(sin x,cos x).
因为
sin x
cos x
2sin cos2
x cos x 22 x sin2 2
其中Ai , Bi 都是常数 ( i ＝ 1 , 2 , ……)
定理1 有理函数的原函数都是初等函数.
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例1
x2
x3 5x 6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B x3
x 3 A( x 3) B( x 2)
(A B)x (3A 2B)
A (3
B A
A Bx C
1 2x
1
x2
1 A(1 x2 ) (Bx C)(1 2x)
( A 2B)x2 (B 2C)x (C A)
得 A 4, B 2,C 1,
5
5
5
(1
1 2 x )(1
x2)
4 2x1
5 1 2x
55 1 x2
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因此
(1
1 2 x )(1
dx ( x2 px q)k
Ak
2
d(x2 px q) (x2 px q)k
(Bk
Ak 2
p
)
d(x p) 2
((x p)2 (q p2 ))k
2
4
A1 2
1 1 k
(x2
1 px q)k1
用递推公式降次
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例2
1 x( x1)2
A x
B C x 1 (x 1)2
高等数学 (上)
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第四章 不定积分
高等数学（上）
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第四节 几种特殊函数的不定积分
一、有理函数的积分
有理函数：两个多项式的商表示的函数 .
P(x) Q( x)
a0 xn a1 xn1 b0 xm b1 xm1
an1 x an bm1 x bm
1
把有理函数的积分化成一个多项式和一个
真分式积分之和.
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关键：将真分式化为部分分式之和.
由代数学里的部分分式定理知：
1）分母中若有因式( x a)k，则分解后为
A1 A2 Ak
x a (x a)2
(x a)k
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
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C.
A1 x B1 x2 px
q
dx
D.
( Ak x Bk )dx (x2 px q)k
A1
2
(2x p)dx x2 px q
( B1
A1 p ) 2
dx x2 px q
A1
2
(
x2 px q)dx x2 px q
( 都是非负整数；a0 , a1 , , an 及 b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
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n m 称为真分式；
n m 称为假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2
1 1 x3
dx 1 x3 1
(1 x)(1
x
x2)
(1
1 x)(1
x
x2
)
1
A x
Bx C 1 x x2
可求得 A 1 , B 1 ,C 2
3
3
3
I 1 ln 1 x 1 ln( x2 x 1) 1 arctan 1 (2x 1) C
3
6
3
3
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注意 一般的方法不一定是最佳的方法, 故有理式
1 2B)
3
A B
5 6
x3 x2 5x 6
5 6 （待定系数法） x2 x3
x3 x2 5 x 6 dx 5ln x 2 6ln x 3 C
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1）分母中若有因式( x a)k，则分解后为
A1 xa
A2 ( x a)2
Ak ( x a)k
2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ,则分解为：
)
d(x p) 2
(x p)2 (q p2 )
A1
ln( x2
px q)
B1
A1 p 2
arctan
2
x
p
2
4
c
2
p2
p2
q
q
4
4 河海大学理学院《高等数学》
D.
( Ak x Bk )dx (x2 px q)k
Ak
2
(2x (x2
p)dx px q)k
( Bk
Ak p ) 2
A1 x B1 x2 px q
A2 x B2 (x2 px q)2
Ak x Bk (x2 px q)k
因此,只要求出四类积分.
A.
dx xa
ln(x
a)
c
dx
1
C .
A1 x B1 x2 px
dx q
1
D.
( Ak x Bk )dx (x2 px q)k
B. ( x a)k 1 k ( x a)k1 c
例如
x
2
x3 5x
6
(x
x3
2)( x 3)
A x2
B x
3
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2）分母中若有因式( x2 px q)k,其中
p2 4q 0 ,则分解后为：
A1x B1 A2 x B2 Ak x Bk
x2 px q (x2 px q)2
(x2 px q)k
x
2
dx )
1
4
5 2
x
2x 5 1 x2
1 5
dx
4 5
1
1 2
x
dx
1 5
2x 1 1 x2 dx
4 5
1
1 2x
dx
1 5
2x 1 x2
1
1 x2
dx
2 ln 1 2x 1 ln 1 x2 1 arctanx C
5
5
5
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例4 求 I
由 1 A(x 1)2 Bx(x 1) Cx
( A B)x2 (C 2A B)x A
得 A 1 ，B 1 ，C 1.
1 所以 x( x 1)2
11
1
x ( x 1)2 x 1
x(
1 x
1)2dx
ln
x
x
1
1
ln(
x
1)
C
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1 例3 (1 2x)(1 x2 )
的积分应先考虑其它方法, 不得已时才用一般方法
计算.
例5
1
x(
x16
dx 2)
x15dx x16( x16 2)
1
16
dx16
1 y x16
x16( x16 2)
16
dy y( y 2)
1 32
(
1 y
y
1
)dy 2
1 ln x 1 ln(x16 2) C 2 32
河海大学理学院《高等数学》