2020年全国各地中考题汇编

2020 年全国各地数学中考题汇编——压轴题

1

2

（黄冈市 2020 ）24．（14分）如图所示，过点F （0，1）的直线 y=kx ＋ b 与

抛物线 y x 2

4

交于

M （x

1，y 1）和 N （ x 2， y 2）两点（其中 x 1<0，x 2<0）．

⑴求 b 的值． ⑵求 x 1?x 2 的值

⑶分别过 M 、N 作直线 l ：y=－ 1 的垂线， 垂足分别是 M 1、N 1， 判断△ M 1FN 1 的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点 F 的任意直线 MN ，是否存在一条定直线 m ，使 m 与以 MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由．

1

x 2 kx 1 0 ，依据“根与系数关系”得

4

－4

⑶△ M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由题知 M 1的横坐标为 x 1， N 1的横坐标为 x 2，设 M 1N 1交y 轴于 F 1，

则 F 1M 1?F 1N 1=－x 1?x 2=4，而 FF1=2，所以 F 1M 1?F 1N 1=F 1F 2

，另有∠

M 1F 1F=∠FF 1N 1=90°，易证 Rt △M 1FF 1∽Rt △N 1FF 1，得∠M 1FF 1=∠ FN 1F 1，故∠M 1FN 1=∠M 1FF 1＋∠F 1FN 1= ∠FN 1F 1＋∠ F 1FN 1=90°，所

以△ M 1FN 1 是直角三角形．

⑷存在，该直线为 y=－ 1．理由如下： 直线 y=－1 即为直线 M 1N 1．

答案： 24．解：⑴ b=1⑵显然 x x 1 和

x x 2

是方程组

y y 1

y y 2 y

kx 1

1 2 的两组 x 4

解，解方程组消元得 x 1gx 2 =

第 22 题

第 22 题解答

如图，设 N 点横坐标为 m ，则

（黄石市 2020年）24. （本小题满分 9分）已知⊙ O 1与⊙ O 2相交于 A 、B 两

点，点 O 1 在⊙ O 2上， C 为⊙ O 2上一点（不与 A ， B ， O 1重合），直线 CB 与⊙ O 1交于另一点 D 。 （1）如图（ 8），若 AC 是⊙ O 2的直径，求证： AC CD ； （2）如图 （9） ，若 C 是⊙ O 1外一点，求证： O 1C AD ；

（ 3）如图（ 10），若 C 是⊙ O 1 内一点，判断（ 2）中的结论是否成立。

答

案：

24．（9分）证明：（1）如图（一），连接 AB ， CO 1

∵ AC 为⊙ O 2 的直径 ∴ DB AB ∴ AD 为⊙ O 1的直径

∴ O 1在 AD 上

又

CO 1 AD ， O 1为 AD 的中点

∴△ ACD 是以 AD 为底边的等腰三角形 ∴ AC

CD ···· · ····· · · ··· · ··· ·（3

分）

（2）如图（二） ，连接 AO 1 ，并延长 AO 1交⊙ O 1 与点 E ，连 ED ∵四边形

AEDB 内接于⊙ O 1 ∴ ABC E

又AE为⊙ O1 的

直径

∴ ED AD

∴ CO 1 AD

3）如图（三） ，连接 AO 1 ，并延长 AO 1交⊙ O 1 与点 E ，连

ED

∵

B EO 1

C 又 E B

∴ EO 1C E

∴ CO 1 AD

黄石市 2020 年） 25. （本小题满分 10 分）已知二次函数 y x 2

2mx 4m 8

1）当 x 2时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。

2

2）以抛物线 y x 2

2mx 4m 8的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角

形

AMN （ M ， N 两点在抛物线上） ，请问：△ AMN 的面积是与 m 无关的定

值吗？ 若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

2

x 2

2mx 4m 8与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的

值。

∴由题意得， m 2

根据抛物线和正三角形的对称性，可知 MN y 轴，设抛物线的

对

∴ BM a m(m a)

3 分）

∴ CO 1 //ED

又 ED AD

3 分）

3）若抛物线 y

答案： 25．（ 10 分）解： 3 分）

称轴与 MN 交于点 B ，则 AB 3BM 。设 M (a,b)

1)∵

y (x

2

)

又AB y B y A b (4m 8 m

a

2

2ma 4m 8 (4m 8 m 2)

2

a 2ma 2

m

(a m)2

(a

m)

2

3(a m)

a m3

BM

3， AB

3

S

VAM N

1

ABg2 BM 1

2 32

3 3 3 定值 ·

· ·(3

分)

3)令 y 0 ，即 x 2

2mx 4m 8 0 时，有

由题意， (m 2)2

4 为完全平方数，令 (m 2)2

4 n 2

即 (n m 2)(n m 2)

4

∵ m,n 为整

数，

n m 2,n m 2的奇偶性相

同

nm2

2 n m 2 2

或

nm2 2 n m 2 2

m2

m 2

解得 或

n2 n 2

综合得 m 2

2m 2 m 2

4m 8

2

m (m 2)2

4