2016抛物线全国高考题汇总

合集下载

抛物线标准方程

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( ) (2)抛物线的方程都是y 关于x 的二次函数．( ) (3)方程x 2＝2ay (a ≠0)是表示开口向上的抛物线．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．抛物线x ＝－18y 2的焦点坐标是( )A ．(－2，0)B ．(2，0)C ．⎝⎛⎭⎫0，132D ．⎝⎛⎭⎫0，－132 答案：A3．抛物线x 2＝4y 的准线方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．y ＝1 D ．y ＝－1 答案：D4．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x 答案：B5．以F ⎝⎛⎭⎫0，－34为焦点的抛物线的标准方程是________．答案：x 2＝－3y求抛物线的标准方程试求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上.【解】 (1)因为点(－3，2)在第二象限，所以抛物线的标准方程可设为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)．把点(－3，2)的坐标分别代入y 2＝－2px (p >0)和x 2＝2py (p >0)，得4＝－2p ×(－3)或9＝2p ·2，即2p ＝43或2p ＝92.所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝4. 故抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)．当焦点为(4，0)时，p2＝4，即2p ＝16，此时抛物线方程为y 2＝16x . 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，即2p ＝8，此时抛物线方程为x 2＝－8y .故所求的抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(1)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤(2)求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 ①把握开口方向与方程间的对应关系．②当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．③注意p 与p2的几何意义．分别根据下列条件求抛物线的标准方程．(1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在x 轴负半轴上，焦点到准线的距离是5.解：(1)因为抛物线的准线平行于x 轴，且在x 轴上面，且p 2＝23，则p ＝43.所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(2)由焦点到准线的距离为5，知p ＝5，又焦点在x 轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝－10x .抛物线定义的应用(1)若动圆M 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，求动圆圆心的轨迹方程．(2)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．【解】 (1)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，由已知可得定圆圆心为C (2，0)，半径r ＝1. 因为两圆外切，所以|MC |＝R ＋1. 又动圆M 与已知直线x ＋1＝0相切，所以圆心M 到直线x ＋1＝0的距离d ＝R . 所以|MC |＝d ＋1.即动点M 到定点C (2，0)的距离等于它到定直线x ＋2＝0的距离．由抛物线的定义可知，点M 的轨迹是以C 为焦点，x ＋2＝0为准线的抛物线，且p2＝2，p ＝4，故其方程为y 2＝8x .(2)由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点、(0，2)点和抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋（2－0）2＝172.1．[变条件]若将本例(2)中的点(0，2)改为点A (3，2)，求|PA |＋|PF |的最小值．解：将x ＝3代入y 2＝2x ，得y ＝±6.所以A 在抛物线内部．设P 为其上一点，P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d ，则|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值是72.即|PA |＋|PF |的最小值是72.2．[变条件]若将本例(2)中的点(0，2)换为直线l 1：3x －4y ＋72＝0，求点P 到直线3x －4y ＋72＝0的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值．解：如图．作PQ 垂直于准线l 于点Q ，|PA 1|＋|PQ |＝|PA 1|＋|PF |≥|A 1F |min .A 1F 的最小值为F 到直线3x －4y ＋72＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪3×12＋7232＋（－4）2＝1.即所求最小值为1.抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．若抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9，且点M 到焦点F 的距离为10，求点M 的坐标．解：由抛物线方程y 2＝－2px (p >0)，得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p2.设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，得p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x .设点M的纵坐标为y 0，由点M (－9，y 0)在抛物线上，得y 0＝±6，故点M 的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．抛物线的实际应用如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若|CD |＝9米，那么|DE |不超过多少米才能使货船通过拱桥？【解】如图所示，以点O 为原点，过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则B (9，－8)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．因为B 点在抛物线上，所以81＝－2p ·(－8)，所以p ＝8116，所以抛物线的方程为x 2＝－818y .当x ＝92时，y ＝－2，即|DE |＝8－2＝6.所以|DE |不超过6米才能使货船通过拱桥．求解抛物线实际应用题的五个步骤喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？【解】如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y，点A(－4，y0)在抛物线上，所以16＝－5y0，即y0＝－165，所以OA的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA的长为1.8 m.抛物线的四种标准方程记忆方法(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右．1．(2016·高考四川卷)抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0，2)B．(0，1)C．(2，0) D．(1，0)解析：选D.由题意得2p＝4，p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1，0)．2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是() A．4 B．6C．8 D．12解析：选B.由抛物线的方程得p2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.3．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，F为抛物线的焦点，若|PF|＝8，则点F到抛物线准线的距离等于()A．2 B．1C．4 D．8解析：选C.抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－p2，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，得p＝4，故点F到抛物线准线的距离等于4.4．根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)焦点坐标是F (0，6)；(2)焦点在x 轴的负半轴上，焦点到准线的距离是6；(3)焦点在y 轴上，且抛物线上一点P (m ，1)到焦点F 的距离为6. 解：(1)因为焦点坐标是F (0，6)，所以p2＝6，则p ＝12，所以抛物线的标准方程为x 2＝24y . (2)由焦点到准线的距离为6，知p ＝6.又焦点在x 轴的负半轴上，所以抛物线的标准方程为y 2＝－12x . (3)点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故1－⎝⎛⎭⎫－p2＝6，解得p ＝10，所以抛物线的标准方程为x 2＝20y ., [A 基础达标]1．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝x 或x 2＝－8y B ．y 2＝x 或y 2＝8x C ．y 2＝－8x D ．x 2＝－8y解析：选A.因为点P 在第四象限，所以抛物线开口向右或向下．当开口向右时，设抛物线方程为y 2＝2p 1x (p 1>0)，则(－2)2＝8p 1，所以p 1＝12，所以抛物线方程为y 2＝x .当开口向下时，设抛物线方程为x 2＝－2p 2y (p 2>0)，则42＝4p 2，p 2＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y .2．(2017·沈阳高二检测)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C.因为点A 在抛物线的准线上，所以－p2＝－2，所以该抛物线的焦点为F (2，0)，所以k AF ＝3－0－2－2＝－34.3．(2017·合肥高二检测)已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A.由题意知抛物线的准线方程为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，所以根据抛物线的定义可得x0＋14＝|AF|＝54x0，解得x0＝1.4．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A． 3 B． 5C．2 D．5－1解析：选D.由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为|2＋3|22＋（－1）2＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.5．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是()解析：选D.a2x2＋b2y2＝1其标准方程为x21a2＋y21b2＝1，因为a>b>0，所以1a2<1b2，表示焦点在y轴上的椭圆；ax＋by2＝0其标准方程为y2＝－ab x，表示焦点在x的负半轴的抛物线．6．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________．解析：由题意知圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，抛物线的准线为x＝－p2，由题意知3＋p2＝4，所以p＝2.答案：27．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．解析：由方程y2＝－12x，知焦点F(－3，0)，准线l：x＝3.设所求点为P(x，y)，则由定义知|PF|＝3－x.又|PF|＝9，所以3－x＝9，x＝－6，代入y2＝－12x，得y＝±6 2.所以所求点的坐标为(－6，62)，(－6，－62)．答案：(－6，62)，(－6，－62)8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB 的中点到y轴的距离为________．解析：因为|AF|＋|BF|＝x A＋x B＋12＝3，所以x A＋x B＝5 2.所以线段AB的中点到y轴的距离为x A＋x B2＝54.答案：5 49．根据下列条件写出抛物线的标准方程．(1)焦点到准线的距离是5；(2)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.解：(1)由题意知p ＝5，则2p ＝10，因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故方程为y 2＝10x 或y 2＝－10x 或x 2＝10y 或x 2＝－10y . (2)由题意可设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)．由|AF |＝3，得p2＋2＝3，所以p ＝2，所以抛物线的标准方程为x 2＝－4y .10.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意得A (4，4)，B (0，4)，M (0，2)．又F (1，0)，所以k AF ＝43，则FA 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34，则MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝－34x ＋2，y ＝43（x －1），得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝⎛⎭⎫85，45.[B 能力提升]11．若动点P 与定点F (1，1)和直线l ：3x ＋y －4＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．直线解析：选D.法一：设动点P 的坐标为(x ，y )．则（x －1）2＋（y －1）2＝|3x ＋y －4|10. 整理，得x 2＋9y 2＋4x －12y －6xy ＋4＝0，即(x －3y ＋2)2＝0，所以x －3y ＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线．法二：显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P 的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．12．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．解析：如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝33p，所以B点坐标为⎝⎛⎭⎫33p，－p2.又点B在双曲线上，故13p23－p243＝1，解得p＝6.答案：613.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水位下降1 m后，水面宽是多少米？解：以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线过点(2，－2)，代入方程得p＝1，则抛物线的方程为x2＝－2y，当水面下降1米时，为y＝－3，代入抛物线方程得x＝±6，所以此时水面宽为2 6 m.14．(选做题)已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，动圆M和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心M的轨迹方程．解：如图，作MK垂直于直线x＝1，垂足为K，延长MK与直线x＝2交于点H，则|KH|＝1，设圆M的半径为r，则|MH|＝r＋1.又动圆M和圆A外切，所以|MA|＝r＋1，所以|MH|＝|MA|，故点M到圆心A(－2，0)的距离和到直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知点M的轨迹是以A(－2，0)为焦点的抛物线，故－p2＝－2，即p＝4，所以点M的轨迹方程为y2＝－8x.。

2016年高考数学(文)五年真题考点分类汇编：考点43 抛物线

考点43 抛物线1．(D,辽宁，5分)已知点A(-2，3)在抛物线=2:y C Px 2的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )34.-A 1.-B 43.-C 21.-D 2．(D ，全国新课标，5分)已知抛物线x y C =2:的焦点为),(,00y x A F 是C 上一点，,45||0x AF =则 =0x ( )1.A2.B 4.C 8.D3．(D ，安徽，5分)抛物线241x y =的准线方程是 ( ) 1.-=y A 2.-=y B 1.-=x C 2.-=x D4．(A ，陕西，5分)设抛物线的顶点在原点，准线方程为,2-=x 则抛物线的方程是 ( )x y A 8.2-= x y B 4.2-= x y C 82=⋅ x y D 42=⋅5．(E ，陕西，5分)已知抛物线)0(22>=P Px y 的准线经过点(-1，1)，则该抛物线焦点坐标为 ( ))0,1.(-A )0,1.(B )1,0.(-C )1,0.(D6．(A ，全国新课标，5分)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点， P AB ,12||=为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为 ( )18.A 24.B 36.C 48.D7．(C ，江西，5分)已知点A(2，O)，抛物线y x C 4:2=的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则=||:||MN FM ( ) 52.⋅A 2:1.B 5:1.c 3:1.D8．(B,辽宁，5分)已知P ，Q 为抛物线y x 22=上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ( ) 1.A 3.B 4.-C 8.-D9．(A ，山东，5分)设),(00y x M 为抛物线y x C 8:2=上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、||FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是 ( ) )2,0.(A ]2,0.[B ),2.(+∞C ),2.[+∞D10．(D ，陕西，5分)抛物线x y 42=的准线方程为______11．(C ，北京，5分)若抛物线Px y 22=的焦点坐标为(1，O)，则P =______；准线方程为______12. (D ，上海，4分)若抛物线Px y 22=的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______13．(B ，安徽，5分)过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若,3||=AF 则=||BF14．(E ，福建，12分)已知点F 为抛物线2:2(E y Px P =>)0的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且.3||=AF（I ）求抛物线E 的方程；(Ⅱ)已知点G(-l ，O)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．15．(D ，浙江，14分)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线y x C 4:2=上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，.3FM PF =(I)若,3||=PF 求点M 的坐标；(Ⅱ)求△ABP 面积的最大值．16．(E,浙江，15分)如图，已知抛物线,41:21x y c =圆222:(1)1,C x y +-=过点)0)(0,(>t t P 作不过原点0的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点．(I) 求点A ，B 的坐标；(Ⅱ)求△PAB 的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．答案。

三年高考(2016_)高考数学试题分项版解析专题19抛物线理(含解析)

专题19 抛物线考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.抛物线的定义及其标准方程掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质掌握选择题解答题★★★2.抛物线的几何性质掌握选择题解答题★★★3.直线与抛物线的位置关系掌握选择题解答题★★★分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.2018年高考全景展示1．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.2．【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B 满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为，根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得，即得结论，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面积为，利用根与系数的关系可表示为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.详解：（Ⅰ）设，，．因为，的中点在抛物线上，所以，为方程，即的两个不同的实数根．所以．因此，垂直于轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，．因此，的面积．因为，所以．因此，面积的取值范围是．点睛：求范围问题，一般利用条件转化为对应一元函数问题，即通过题意将多元问题转化为一元问题，再根据函数形式，选用方法求值域，如二次型利用对称轴与定义区间位置关系，分式型可以利用基本不等式，复杂性或复合型可以利用导数先研究单调性，再根据单调性确定值域.3．【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)证明过程见解析详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直线PA的方程为y–2=．令x=0，得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐标为．由，得，．所以．所以为定值．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.2017年高考全景展示1.【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 方程为1(1)y k x =-联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号. 【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式、韦达定理是通法，需要重点掌握.考查到最值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||cos pAB α=，则2222||sin cos ()2p pDE παα==-，所以22222211||||4()cos sin cos sin p p AB DE αααα+=+=+ 2222222211sin cos 4()(cos sin )4(2)4(22)16cos sin cos sin αααααααα=++=++≥⋅+=2.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

2016高考全国3数学试卷及解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试（III）一．选择题（共12小题）1．设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．68．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8110．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三．解答题（共7小题）17．已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2018年04月22日fago的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得c osθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：A．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三．解答题（共7小题）17．已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+co sθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。

2016年高考数学理真题分类汇编：直线与圆锥曲线-----

直线与圆锥曲线一、选择题1. （辽宁卷理）3．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为A ．34B ．1C ．54D ．742. （全国大纲卷理）(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45-3. （全国新课标理）（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）35. （山东卷理）8.已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -= 6. （陕西理）2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是A ．28y x =- B ．28y x = C ．24y x =- D ．24y x =7. （四川理）10.在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-8. （浙江理）8．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则A ．2132a =B ．213a = C ．212b =D ．22b =9. （安徽理）（2）双曲线8222=-y x 的实轴长是（A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）4210. （福建理）7．设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 11. （湖北理）4．将两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则A ．n=0B ．n=1C ． n=2D ．n ≥312. （湖南理）5．设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题1. （北京理）14．曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数)1(2>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于21a 2。

历年高考数学真题精选38 抛物线

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题38 抛物线（学生版）一．选择题（共16小题）1．（2016•新课标Ⅱ）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则(k = )A ．12B ．1C ．32D ．22．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =3．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则(FM FN = ) A ．5B ．6C ．7D ．84．（2017•新课标Ⅰ）已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为() A ．16B ．14C ．12D ．105．（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．86．（2016•四川）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||2||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为( )A B ．23C D ．17．（2014•新课标Ⅱ）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为( )A B C ．6332D ．948．（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，0(A x ，0)y 是C 上一点，05||4AF x =，则0(x = ) A ．1B ．2C ．4D ．89．（2014•新课标Ⅱ）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交于C 于A ，B 两点，则||(AB = )A B ．6 C ．12 D ．10．（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||(QF = ) A ．72B ．3C ．52D ．211．（2014•四川）已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB =（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是( )A ．2B ．3C D 12．（2013•江西）已知点(2,0)A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||(FM MN = )A ．2B ．1:2C ．D ．1:313．（2013•新课标Ⅰ）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =POF ∆的面积为( )A ．2B ．C ．D ．414．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为( )A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)y x =-或1)y x =-C ．1)y x =-或1)y x =-D ．1)y x =-或1)y x =- 15．（2011•辽宁）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A ．34B ．1C ．54D ．7416．（2011•山东）设0(M x ，0)y 为抛物线2:8C x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、||FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是( ) A ．(0,2)B ．[0，2]C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞二．填空题（共7小题）17．（2019•北京）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为．18．（2019•上海）过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A ，B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-，则λ= ．19．（2018•北京）已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．20．（2015•上海）抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 21．（2017•新课标Ⅱ）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．22．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为．23．（2016•天津）设抛物线22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数，0)p >的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(2C p ，0)，AF 与BC 相交于点E ．若||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为，则p 的值为．三．解答题（共7小题）24．（2013•福建）如图，抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，||CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）若点C 的纵坐标为2，求||MN ；（Ⅱ）若2||||||AF AM AN =，求圆C 的半径．25．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．26．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．27．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若||||4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求||AB ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题38 抛物线（教师版）一．选择题（共16小题）1．（2016•新课标Ⅱ）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则(k = )A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】抛物线2:4C y x =的焦点F 为(1,0)，曲线(0)ky k x=>与C 交于点P 在第一象限，由PF x ⊥轴得：P 点横坐标为1，代入C 得：P 点纵坐标为2，故2k =2．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( ) A ．24y x =或28y x = B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =【答案】C【解析】抛物线C 方程为22(0)y px p =>，∴焦点F 坐标为(2p，0)，可得||2p OF =，以MF 为直径的圆过点(0,2)，∴设(0,2)A ，可得AF AM ⊥， Rt AOF ∆中，||AF ==||sin ||pOF OAF AF ∴∠==，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于A 点，OAF AMF ∴∠=∠，可得Rt AMF ∆中，||sin ||p AF AMF MF ∠==||5MF =，||AF =p =25442p p+=，解之可得2p =或8p =因此，抛物线C 的方程为24y x =或216y x =．3．（2018•新课标Ⅰ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则(FM FN = ) A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，过点(2,0)-且斜率为23的直线为：324y x =+，联立直线与抛物线2:4C y x =，消去x 可得：2680y y -+=，解得12y =，24y =，不妨(1,2)M ，(4,4)N ，(0,2)FM =，(3,4)FN =．则(0FM FN =，2)(3，4)8=．4．（2017•新课标Ⅰ）已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为() A ．16 B ．14 C ．12 D ．10【答案】A【解析】12l l ⊥，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，由图象知要使||||AB DE +最小，则A 与D ，B 与E 关于x 轴对称，即直线DE 的斜率为1，又直线2l 过点(1,0)，则直线2l 的方程为1y x =-，联立方程组241y x y x ⎧=⎨=-⎩，则2440y y --=，124y y ∴+=，124y y =-，12||||8DE y y ∴=-=，||||AB DE ∴+的最小值为2||16DE =，5．（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知||AB =||DE =C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】设抛物线为22y px =，如图：||AB =||AM =||DE =||DN =||2pON =，4A x p ==，||||OD OA =，2216854p p +=+，解得：4p =．C 的焦点到准线的距离为：4．6．（2016•四川）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且||2||PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为( )AB ．23CD ．1【答案】C【解析】由题意可得(2pF ，0)，设20(2y P p ，0)y ，显然当00y <，0OM k <；当00y >，0OM k >．要求OM k 的最大值，设00y >，则11()33OM OF FM OF FP OF OP OF =+=+=+-2012(3363y p OP OF p =+=+，0)3y ，可得0200002322263OM y k y p y p y p y p p y ===++2202y p =，取得等号． 7．（2014•新课标Ⅱ）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为( )A B C ．6332D ．94【答案】D【解析】由22ypx =，得23p =，32p =，则3(4F ，0)． ∴过A ，B的直线方程为3)4y x =-，即34x +．联立2334y xx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2490y --=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则12y y +=1294y y =-．121339||2484OAB OAF OFB S S S y y ∆∆∆∴=+=⨯-．8．（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，0(A x ，0)y 是C 上一点，05||4AF x =，则0(x = ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】A【解析】抛物线2:C y x =的焦点为1(,0)4F ，0(A x ，0)y 是C 上一点，05||4AF x =，00x >．∴005144x x =+，解得01x =． 9．（2014•新课标Ⅱ）设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交于C 于A ，B 两点，则||(AB = )A B ．6 C ．12 D ．【答案】C【解析】由23y x =得其焦点3(4F ，0)，准线方程为34x =-．则过抛物线23y x =的焦点F 且倾斜角为30︒的直线方程为33tan30())44y x x =︒--．代入抛物线方程，消去y ，得21616890x x -+=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则1216821162x x +==，所以12333321||1244442AB x x =+++=++= 10．（2014•新课标Ⅰ）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||(QF = ) A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】设Q 到l 的距离为d ，则||QF d =，4FP FQ =，||3PQ d ∴=，∴不妨设直线PF 的斜率为=-，(2,0)F ，∴直线PF 的方程为2)y x =--，与28y x =联立可得1x =， ||123QF d ∴==+=11．（2014•四川）已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB =（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 CD【答案】B【解析】设直线AB 的方程为：x ty m =+，点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，直线AB 与x 轴的交点为(,0)M m ，由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，根据韦达定理有12y y m =-， 2OA OB =，12122x x y y ∴+=，结合211y x =及222y x =，得21212()20y y y y +-=，点A ，B 位于x 轴的两侧，122y y ∴=-，故2m =．不妨令点A 在x 轴上方，则10y >，又1(,0)4F ，1211112()224ABO AFO S S y y y ∆∆∴+==⨯⨯-+⨯111192922388y y y y =+=．当且仅当11928y y =，即143y =时，取“=”号，ABO ∴∆与AFO ∆面积之和的最小值是3，12．（2013•江西）已知点(2,0)A ，抛物线2:4C x y =的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则||:||(FM MN = ) A．2B ．1:2 C ．D ．1:3【答案】C【解析】抛物线2:4C x y =的焦点为(0,1)F ，点A 坐标为(2,0)∴抛物线的准线方程为:1l y =-，直线AF 的斜率为011202k -==--，过M 作MP l ⊥于P ，根据抛物线物定义得||||FM PM = Rt MPN ∆中，1tan 2MNP k ∠=-=， ∴||1||2PMPN =，可得||2||PN PM =，得|||MN PM ==因此，||||PM MN =，可得||:||||:||FM MN PM MN ==13．（2013•新课标Ⅰ）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =POF ∆的面积为( )A ．2B ．C ．D ．4【答案】C【解析】抛物线C 的方程为2y =2p ∴=，可得2p=F设(,)P m n 根据抛物线的定义，得||2pPF m =+=，即m =，解得m =点P 在抛物线C 上，得224n ==n ∴==±||OF = POF ∴∆的面积为11||||22S OF n =⨯==14．（2013•新课标Ⅱ）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为( )A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)y x =-或1)y x =-C ．1)y x =-或1)y x =-D ．1)y x =-或1)y x =- 【答案】C【解析】抛物线C 方程为24y x =，可得它的焦点为(1,0)F ，∴设直线l 方程为(1)y k x =-由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩消去x ，得204ky y k --=设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，可得124y y k+=，124(*)y y =-⋯ ||3||AF BF =，1230y y ∴+=，可得123y y =-，代入(*)得242y k-=且2234y -=-，消去2y 得23k =，解之得k =∴直线l 方程为1)y x =-或1)y x =-15．（2011•辽宁）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A ．34B ．1C ．54D ．74【答案】C 【解析】F 是抛物线2y x =的焦点，1(,0)4F 准线方程14x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离11||4AF x =+，21||4BF x =+，1211||||344AF BF x x ∴+=+++=解得1252x x +=，∴线段AB 的中点横坐标为54，∴线段AB 的中点到y 轴的距离为54． 16．（2011•山东）设0(M x ，0)y 为抛物线2:8C x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、||FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0y 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0，2]C ．(2,)+∞D ．[2，)+∞【答案】C【解析】由条件||4FM >，由抛物线的定义0||24FM y =+>，所以02y > 二．填空题（共7小题）17．（2019•北京）设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为．【答案】22(1)4x y -+=【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，所求圆的圆心F ，且与准线1x =-相切，∴圆的半径为2．则所求圆的方程为22(1)4x y -+=．18．（2019•上海）过曲线24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线24y x =交于A ，B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-，则λ= ．【答案】3【解析】过24y x =的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与24y x =交于A ，B ，A 在B 上方，依题意：得到：(1A ，2)(1B ，2)-，设点(,)M x y ，所以：M 为抛物线上一点，(2)OM OA OB λλ=+-，则：(x ，)(1y λ=，2)(2)(1λ+-，2)(22λ-=-，4)，代入24y x =，得到：3λ=． 19．（2018•北京）已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为．【答案】(1,0)【解析】直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，1x ∴=，代入到24y ax =，可得24y a =，显然0a >，y ∴=±，l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，4∴，解得1a =，24y x ∴=，∴抛物线的焦点坐标为(1,0)20．（2015•上海）抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ．【答案】2【解析】因为抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，所以12p=，所以2p =． 21．（2017•新课标Ⅱ）已知F 是抛物线2:8C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．【答案】6【解析】抛物线2:8C y x =的焦点(2,0)F ，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为：±||2||6FN FM ===．22．（2017•山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】y = 【解析】把22(0)x py p =>代入双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，可得：2222220a y pb y a b -+=，222A B pb y y a∴+=，||||4||AF BF OF +=，2422A B p py y ∴++⨯=⨯，∴222pb p a =，∴2b a =∴该双曲线的渐近线方程为：y =． 23．（2016•天津）设抛物线22(2x pt t y pt ⎧=⎨=⎩为参数，0)p >的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(2C p ，0)，AF 与BC 相交于点E ．若||2||CF AF =，且ACE ∆的面积为，则p 的值为．【解析】抛物线22(2x pt t y pt⎧=⎨=⎩为参数，0)p >的普通方程为：22y px =焦点为(2pF ，0)，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设7(2C p ，0)，AF 与BC 相交于点E ．||2||CF AF =，||3CF p =，3||||2AB AF p ==，()A p ，ACE ∆的面积为12AE AB EF CF ==，可得13AFC ACE S S ∆∆=．即：11332p ⨯⨯=p =三．解答题（共7小题）24．（2013•福建）如图，抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，||CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）若点C 的纵坐标为2，求||MN ；（Ⅱ）若2||||||AF AM AN =，求圆C 的半径．解：()I 抛物线2:4E y x =的准线:1l x =-，由点C 的纵坐标为2，得(1,2)C ，故C 到准线的距离2d =，又||5OC = 22||2||2542MN OC d ∴=--=．()II 设20(4y C ，0)y ，则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+，即22200202y x x y y y -+-=，由1x =-得22002102y y y y -++=，设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则222000201244(1)240212y y y y y y ⎧=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由2||||||AF AM AN =，得12||4y y =，2142y ∴+=，解得06y =0>∴圆心C 的坐标为3(2，6)±，233||4OC =，从而33||OC =．即圆C 33 25．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．（1）证明：设1(,)2D t -，1(A x ，1)y ，则2112x y =，由于y x '=，∴切线DA 的斜率为1x ，故11112y x xt+=-，整理得：112210tx y -+=．设2(B x ，2)y ，同理可得222210tx y -+=．故直线AB 的方程为2210tx y -+=．∴直线AB 过定点1(0,)2；（2）解：由（1）得直线AB 的方程12y tx =+．由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=．于是21212122,()121x x t y y t x x t +=+=++=+．设M 为线段AB 的中点，则21(,)2M t t +，由于EM AB ⊥，而2(,2)EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，2(2)0t t t ∴+-=，解得0t =或1t =±．当0t =时，||2EM =，所求圆的方程为225()42x y +-=；当1t =±时，||2EM =，所求圆的方程为225()22x y +-=．26．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）证明：直线AB 过定点；（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．解：（1）证明：22x y =的导数为y x '=，设切点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，即有2112x y =，2222x y =，切线DA 的方程为111()y y x x x -=-，即为2112x y x x =-，切线DB 的方程为2222x y x x =-，联立两切线方程可得121()2x x x =+，可得121122y x x ==-，即121x x =-，直线AB 的方程为2112112()2x y y y x x x x --=--，即为211211()()22x y x x x x -=+-，可化为1211()22y x x x =++，可得AB 恒过定点1(0,)2；（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=．于是122x x t +=，121x x =-，21212()121y y t x x t +=++=+，212|||2(1)AB x x t =-=+．设1d ，2d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则1d =2d =因此，四边形ADBE的面积2121||()(2S AB d d t =+=+．设M 为线段AB 的中点，则21(,)2M t t +．由于EM AB ⊥，而2(,2)EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以2(2)0t t t +-=．解得0t =或1t =±．当0t =时，3S =；当1t =±时，S = 综上，四边形ADBE 的面积为3或27．（2019•新课标Ⅰ）已知抛物线2:3C y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若||||4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求||AB ．解：（1）设直线l 的方程为3()2y x t =-，将其代入抛物线23y x =得：22999(3)0424x t x t -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1293422934t x x t ++==+，①，212x x t =②，由抛物线的定义可得：1243||||2432AF BF x x p t +=++=++=，解得712t =，直线l 的方程为3728y x =-．（2）若3AP PB =，则123y y =-，∴1233()3()22x t x t -=-⨯-，化简得1234x x t =-+，③ 由①②③解得1t =，13x =，213x =，||AB ∴==．。

历年高考抛物线精选题详解理科

历年高考抛物线真题详解理科1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．102.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点，且=2,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A ）（B ）（C ）（D ）13.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A （B ）23（C （D ）14.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)85.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）（A ）()13，（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24， 6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF∆的面积之比是（）A.11BFAF--B.2211BFAF--C.11BFAF++D.2211BFAF++7.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。

若M为FN的中点，则FN=8.【2016高考天津理数】设抛物线222x pty pt⎧=⎨=⎩，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（72p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为p的值为_________.10.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.11.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20l x y--=，抛物线2:y2(0)C px p=>（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2,).p p--；②求p的取值范围.12.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2xy =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 方程为1(1)y k x =-联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k +=同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++22122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号. 【考点】抛物线的简单性质2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段PF 上的点，且=2,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A ）（B ）（C ）（D ）1【答案】C【解析】试题分析：设（不妨设），则由已知得，，，，，故选C.考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．3.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A（B ）23（C（D ）1 【答案】C 【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则22,2.2p FP pt pt ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 由已知得13FM FP =u u u u r u u u r ，22,2362,3p p p x t pt y ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，22,332,3p p x t pt y ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，2211212OMt k t t t ∴==≤=++，()max OM k ∴=，故选C. 考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 【解析】考点：抛物线的性质。

历年高考抛物线真题详解理科

历年高考抛物线真题详解理科C : y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 11, 12与C 交于D 、E 两点，贝U |AB|+| DE 的最小值为 C. 12 D . 102. 【2016年高考理数】设 O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线「_ 一】；•⑴「"上任意一点，M 是线段PF 上的点，且\PM\=^MF\ ,则直线OM 的斜率的最大值为()23. 【2016年高考理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2px(p 0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|,则直线OM 的斜率的最大值为()4. 【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交 C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、 E 两点.已知| AB|= 4 2 ,| DE|= 2 5，则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)85. 【2015高考，理10】设直线I 与抛物线y24X 相交于A , B 两点，与圆2 2 2X 5 y r r 0相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线I 恰有4 条, 则r 的取值围是( )(A ) 1,3 (B ) 1,4 (C ) 2,3 (D ) 2,46. 【2015高考，理5】如图，设抛物线y 2 4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A , B , C ,其中点A , B 在抛物线上，点C 在y 轴上，贝y BCF 与 ACF 的面积之比是()1.【2017课标1,理10】已知F 为抛物线12,直线11与C 交于A 、B 两点，直线 A . 16B . 14(A)(B ) 3(C)(D ) 12(A )3(B ) 233 (C )(D ) 1延长线交轴于点N 。

若为FN 的中点，则 8. [ 2016高考理数】设抛物线X 2pt ，(t 为参数，p >0)的焦点为F ,准线为I•过抛物 y 2pt线上一点A 作I 的垂线，垂足为B •设C ( 7 p,0) , AF 与BC 相交于点E.若I CF=2| AF| , 2且△KCE 的面积为3J2,则p 的值为 ____________ . 10.【2017，理18】已知抛物线C : y 2=2px 过点P (1 , 1) •过点(0, 1)作直线I 与抛物 2线C 交于不同的两点 M , N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线 OP, ON 交于点A , B ,其中 O 为原点.(I)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (n)求证：A 为线段BM 的中点.7.【2017课标II ，理 16】已知F 是抛物线C ： y 28x 的焦点,M 是C 上一点， FM 的11. 【2016高考卷】(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l:x y 20，抛物线C : y 2 2px(p 0)(1) 若直线I 过抛物线C 的焦点，求抛物线 C 的方程；(2) 已知抛物线 C 上存在关于直线I 对称的相异两点 P 和Q.①求证：线段PQ 的中点坐标为(2 p, p).；②求p 的取值围.(I)求直线AP 斜率的取值围;(n)求| PA | |PQ |的最大值.12.【2017, 21】(本题满分215分)如图，已知抛物线 x y ，点A (1 13 92，4)，B (2 7，Q .B 作直线AP 的垂线，垂足为13.【2016高考新课标3理数】已知抛物线 C : y 2 2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A,B 两点，交C 的准线于P , Q 两点.(I )若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明A R FQ ;(II )若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.专飽19抛物线C : y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线 11, |2与C 交于D 、E 两点，贝U |AB|+| DE 的最小值为 C. 12 D . 10【答案】A1.【2017课标1,理10】已知F 为抛物线12,直线|1与C 交于A 、B 两点，直线 A . 16B . 142【解析】试题分析：设A(x「y1), B(X2, y2), D(X3, y3), E(X4, y4)，直线h方程为y «(x 1) 3(A )⑻（C ）（D ）i【答案】C【解析】【考点】抛物线的简单性质【名师点睛】对刊拗线弦长问题］要重点抓性抛物线走兀到定点的肚韶勲劃转化到准线上另外,直线与抛物线联立，求#闵」式、韦达定理杲通;去』霜要重点拿握一考查到屋值问题时要能想到用函数方法进行解决和基本不等式.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设觀詆斜角为a,则3=鵲'则= 4(^^ + ^^Xcos 1« + siii 3a} = 4(2 4-^U^ + ^t-^)>4 ^-K2) = 16 CQ C a sirTa cosher sin^ a2. 【20i6年高考理数】设 0为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线护三基乂心；•：；】•：上任意一点，M 是线段PF 上的点，且\PM\=^MF\,则直线0M 的斜率的最大值为（）联立方程 4xk i (x 1) 2 2 得k i x 2 22ki x 4x k i 0 x x 2 2k 2 4k i 2 2K 2 4 k i 2同理直线i 2与抛物线的交点满足 x 3 &4由抛物线定义可知| AB | | DE | x 1 X 2 X 3 X 4 2 p2k i 2 4 k i 2 2k ： 4 k ；4 k i 2 4 k ； 8 8 i6当且仅当kik2 i（或i ）时，取得等号込+2—二耳(二一十」^a sin^ a cos^ a sin^ a23(A )(B ) 2 ( C )3(D ) 1【答案】【解析】试题分析：设P 2pt 2,2 pt,M x, y (不妨设x p 2p t23 p2 6，?已知得FM3y2pt73t 0），贝胃P 2 pt 2；,2pt .由x2p t 2 p33， y 2 pt ">3试题分析：设户（2开（不妨设/>0），则丽=Ipt/ 3考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用.【名师点睛】本颗考查抛物^的性氐结合题轄求，剎用抛物线的势数方程表示出抛物线上点尸的坐标, 利用向童去求出点肱的坐标，是我们求点坐标的常用方法,由于要求最大值個此我们把上斛率用沁烁示出后』可根据表达式形式选用團数$或不尊式的知识求出最值『本题采用基本不等式束出最值-23. 【2016年高考理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2px （p 0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|,则直线OM 的斜率的最大值为（）332 ptIT，故选C.2X2t 1 1 s/2 k —2 ——， k OM2t 2 1 上 1 2 122t 2考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用.【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值.4. 【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交 C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、 E 两点.已知| AB|= 4 2 ,| DE|= 2 5，则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B 【解析】试題分析；如圍,设抽概戋方程为y 2= 2px ,0 DE 交x^C.F 点则/C 二2血即*点纵坐标为2忑. 则*点横坐标为土•即.由勾股走理^DF^OF 1=DO 1=r 2AC^OC^AO 1= r r 即P 戸侮 + (与=(20)： +(上尸解得^ = 4即C 的焦点到准线的距离为/故选BkOM 一2 max22，故选 C.2 p考点：抛物线的性质。

2016年全国高考数学试题分类汇编考点36曲线与方程圆锥曲线的综合应用

考点36 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、解答题1.(2016年全国卷Ⅰ高考理科·T20)设圆x 2＋y 2＋2x-15＝0的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合, l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值,并写出点E 的轨迹方程.(2)设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【试题解析】(1)圆A 整理为(x ＋1)2＋y 2＝16,点A 坐标为(-1,0),如图,∵BE ∥AC ,则∠ACB ＝∠EBD ,由|AC|＝|AD|,则∠ADC ＝∠ACD , ∴∠EBD ＝∠EDB ,则|EB|＝|ED|,∴|AE|＋|EB|＝|AE|＋|ED|＝|AD|＝4.所以E 的轨迹为一个椭圆,方程为2x 4＋2y 3＝1(y ≠0);(2)C 1: 2x 4 ＋2y 3＝1;设l :x ＝my ＋1,因为PQ ⊥l ,设PQ :y ＝-m (x-1),联立l 与椭圆C 1,22x my 1,x y 1,43⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得(3m 2＋4)y 2＋6my-9＝0; 则|MN|＝M -y N |＝3m 4+＝()2212m13m 4++;圆心A 到PQ 距离d ＝,所以|PQ|＝22＝,∴S MPNQ ＝12|MN|·|PQ|＝12·()2212m 13m 4+⋅+＝＝24[12,8. 2.(2016年全国卷Ⅰ高考文科·T20)在直角坐标系xOy 中,直线l :y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C :y 2＝2px (p ＞0)于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连接ON 并延长交C 于点H. (1)求OH ON.(2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由.【试题解析】(1)由已知得M (0,t ),P 2t ,t 2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,又N 为M 关于点P 的对称点,故N 2t ,t p ⎛⎫⎪⎝⎭,故直线ON 的方程为y ＝p t x ,将其代入y 2＝2px 整理得px 2-2t 2x ＝0,解得x 1＝0,x 2＝22t p ,因此H 22t ,2t p ⎛⎫⎪⎝⎭,所以N 为OH 的中点,即OH ON＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.理由如下: 直线MH 的方程为y-t ＝p2tx ,即x ＝2t p (y-t ).代入y 2＝2px 得y 2-4ty ＋4t 2＝0,解得y 1＝y 2＝2t ,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外,直线MH 与C 没有其他公共点.3.(2016年全国卷Ⅲ·理科·T20)(本小题满分12分)已知抛物线C :y 2＝2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR ∥FQ.(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【试题解析】(1)由题意可知F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭,设l 1:y ＝a ,l 2:y ＝b 且ab ≠0,A 2a ,a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 2b ,b 2⎛⎫ ⎪⎝⎭P 1,a 2⎛⎫-⎪⎝⎭,Q 1,b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,R 1a b ,22⎛⎫+- ⎪⎝⎭, 记过A ,B 两点的直线方程为l ,由点A ,B 可得直线方程为2x-(a ＋b )y ＋ab ＝0, 因为点F 在线段AB 上,所以ab ＋1＝0, 记直线AR 的斜率为k 1,直线FQ 的斜率为k 2, 所以k 1＝2a b1a -+,k 2＝b 1122--＝-b ,又因为ab ＋1＝0, 所以k 1＝22a b a b 1aba a 1a a abb ---====-+-,所以k 1＝k 2,即AR ∥FQ.(2)设直线AB 与x 轴的交点为D ()1x ,0, 所以S △ABF ＝1111a b FD a b x 222-=--, 又S △PQF ＝a b 2-,所以由题意可得S △PQF ＝2S △ABF 即:a b 2- ＝2×12·11x 2a b ⋅--, 解得x 1＝0(舍)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ,y ). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB ＝k DE 可得2y a b x 1=+-(x ≠1).而21a b y =+,所以y 2＝x-1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,所以,所求轨迹方程为y 2＝x-1.4.(2016年全国卷Ⅲ·文科·T20)(本小题满分12分)已知抛物线C :y 2＝2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明:AR ∥FQ.(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程. 【试题解析】(1)由题意知F 1,02⎛⎫⎪⎝⎭.设l 1:y ＝a ,l 2:y ＝b ,且ab ≠0,则A 2a ,a 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 2b ,b 2⎛⎫ ⎪⎝⎭,P 1,a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭,Q 1,b 2⎛⎫- ⎪⎝⎭, R 1a b ,22⎛⎫+-⎪⎝⎭. 记过A ,B 两点的直线方程为l ,则l 的直线方程为2x-(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上,故1＋ab ＝0. 记直线AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则 k 1＝222a b a b 1ab====-b=k aa 1a a ab ---+-.所以AR ∥FQ.(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0),则S △ABF ＝1111b a FD b a x 222-=--,S △PQF ＝a b 2-. 由题设可得2×1a b 11b a x 222---=.所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ,y ). 当AB 与x 轴不垂直时,由k AB ＝k DE 可得2ya b x 1=+-(x ≠1).而a b 2+＝y ,所以y 2＝x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D (1,0)重合,所以,所求轨迹方程为y 2＝x-1.5.(2016年四川高考文科·T20)已知椭圆E : 2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P 1 3,2⎫⎪⎭在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程.(2)设不过原点O 且斜率为12的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,线段AB 的中点为M ,直线OM 与椭圆E 交于C ,D ,证明:|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.【解题指南】(1)利用点在椭圆上,列出方程,解出b 的值,从而得到椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性质,数形结合,利用根与系数的关系,进行计算.【试题解析】(1)由已知,a ＝2b ,又椭圆2222x y a b +＝1(a ＞b ＞0)过点P 1 3,2⎫⎪⎭,故221344b b+＝1,解得b 2＝1,所以椭圆的方程为2x 4＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝12x ＋m ()m 0≠,A ()11x ,y ,B ()22x ,y ,由方程组22x y 1,41y x m,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得x 2＋2mx ＋2m 2-2＝0,①方程①的判别式为Δ＝4()22m -,由Δ＞0,即2-m 2＞0,解得-m＜由①得x 1＋x 2＝-2m ,x 1x 2＝2m 2-2,所以M 点坐标为m m,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线OM 的方程为y ＝-12x ,由22x y 1,41y x,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得C ⎛ ⎝⎭,D -⎝⎭, 所以MC MD ⋅＝((()25m m 2m 4-+⋅+=-, 所以21MA MB AB 4⋅= ＝()()2212121x x y y 4⎡--⎤+⎢⎥⎣⎦ ＝()()222121255x x 4x x 4m 42m 21616⎡⎤⎡⎤+-=--⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ＝54(2-m 2),所以MC MD MA MB ⋅=⋅.6.(2016年江苏高考T22)(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l :x-y-2＝0,抛物线C :y 2＝2px (p ＞0). (1)若直线l 过抛物线C 的焦点,求抛物线C 的方程.(2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q. ①求证:线段PQ 的中点坐标为(2-p ,-p ); ②求p 的取值范围.【解题指南】(1)求出直线与x 轴的交点坐标可得p 的值.(2)利用对称知识及PQ 的中点坐标构造关于y 的一元二次方程,利用判别式大于零求解. 【试题解析】(1)因为l :x-y-2＝0,所以l 与x 轴的交点坐标为(2,0), 即抛物线的焦点为(2,0),所以p 2＝2,所以y 2＝8x.(2)①设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则211222y 2px y 2px ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒211222y x ,2p y x ,2p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则 k PQ ＝12221212y y 2p=y y y y 2p 2p-+-,又因为P ,Q 关于直线l 对称, 所以k PQ ＝-1,即y 1＋y 2＝-2p , 所以12y y 2+＝-p ,又因为P ,Q 的中点一定在直线l 上, 所以1212x x y y =22++＋2＝2-p ,所以线段PQ 的中点坐标为(2-p ,-p ). ① 为中点坐标为(2-p ,-p ),12221212y y 2p,y y x x 42p,2p ⎧+=-⎪⎨++==-⎪⎩即1222212y y 2p,y y 8p 4p ,⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩ 所以12212y y 2p,y y 4p 4p,⎧+=-⎪⎨=-⎪⎩即方程y 2＋2py ＋4p 2-4p ＝0有两个不等实根. 所以Δ＞0,(2p )2-4(4p 2-4p )＞0⇒p ∈40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项专题19 抛物线(Word版)

专题19 抛物线考纲解读明方向分析解读 1.熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准方程形式.2.会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质,会由几何性质确定抛物线的标准方程.3.能够把直线与抛物线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求抛物线的方程和研究抛物线的性质为主,分值约为12分,属偏难题.2018年高考全景展示1．【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=( )A. 5B. 6C. 7D. 82．【2018年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B 满足P A，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△P AB面积的取值范围．3．【2018年理北京卷】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线P A交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，，，求证：为定值．2017年高考全景展示1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为( ) A ．16B ．14C ．12D ．102.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

若M 为FN 的中点，则FN = .3.【2017北京，理18】已知抛物线C ：y 2=2px 过点P （1，1）.过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. （Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.4.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．2016年高考全景展示1.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A （B ）23（C （D ）12.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A （B ）23（C （D ）1 3.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)84.【2016高考天津理数】设抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为p 的值为_________.5.【2016高考浙江理数】若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．6.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平7.于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两行点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.。

2016年高考全国数学卷二试题及答案解析

11.考点：三角恒等变换试题解析：因为时，取最大值 5，选 B. 答案：B
，而
，所以当
12.考点：周期性和对称性
试题解析：因为
都关于对称，所以它们交点
也关于对称，当为偶数时，其和为
，当为奇数时，其
和为
，因此选 B.
11
12
17.考点：数列综合应用试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，有
19.考点：立体几何综合
试题解析：（Ⅰ）
为菱形，
，为的中点
，又
，所以
，由
(Ⅱ)由已知可得
，所以
，所以
，故
易知
，故
，又在
中，
，可得
五棱锥
的体积为
答案：（Ⅰ）见解析(Ⅱ)
20.考点：导数的综合运用
试题解析：（Ⅰ）
则
，又
曲线在
处的切线方程为
整理得
(Ⅱ)令
，当时，
14
则
当
时，
恒成立
即在
上单调递增，
9
答案：A
5.考点：抛物线试题解析：，又因为曲线所以，所以，选 D. 答案：D
与交于点，
轴，
6.考点：直线与圆的位置关系试题解析：圆心为，半径，所以选 A. 答案：A
，解得
，故
7.考点：空间几何体的三视图与直观图
试题解析：因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其
表面积为
，故选 C.
答案：C
8.考点：几何概型
试题解析：至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 B. 答案：B
，故选
10
9.考点：算法和程序框图

2016届高考数学5年真题备考题库第八章第7节抛物线理(含解析)

第8章平面解析几何第7节抛物线1．（2014湖南，5分）如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b ), 原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a＝________.解析：由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2b a－1＝0，解得b a ＝1＋2或b a ＝1－2(舍去)，所以b a＝1＋ 2.答案：1＋ 22．（2014新课标全国Ⅰ，5分）已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ＝4FQ ，则|QF |＝( )A.72 B.52C ．3D ．2解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP ＝4FQ ，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.答案：C3．（2014新课标全国Ⅱ，5分）设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94解析：易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.答案：D4．（2014辽宁，5分）已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43解析：∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上，∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线AB的方程为x ＝k (y －3)－2 ①，将①与y 2＝8x 联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k y －－2，y 2＝8x 得y 2－8ky ＋24k ＋16＝0 ②，则Δ＝(－8k )2－4(24k ＋16)＝0，即2k 2－3k －2＝0，解得k ＝2或k＝－12(舍去)，将k ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝8，即B (8，8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝43，故选D.答案：D5．（2014山东，14分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0.设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)①由(1)知F (1,0)，设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)，因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)，所以直线AE 过定点F (1,0)．②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝x 0＋x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.6．（2014陕西，13分）如图，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y ＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1,0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2. ∴a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k(x －1)(k≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0. (*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由根与系数的关系，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，y ＝－x 2＋得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k)．∴AP ＝2kk 2＋4(k ，－4)，AQ ＝－k(1，k ＋2)． ∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，即－2k2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．7．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：本题考查抛物线与圆的有关知识，意在考查考生综合运用知识的能力．由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－2，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得， ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，故选C. 答案： C8．（2013北京，5分）若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析：本题主要考查抛物线的方程及其简单的几何性质，意在考查考生的运算求解能力．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－19．（2013江西，5分）抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：本题考查抛物线、双曲线的标准方程及简单的几何性质，意在考查考生的数形结合思想以及转化与化归的能力．由x 2＝2py (p >0)得焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线l 为y ＝－p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x 23－y 23＝1的交点A ⎝⎛⎭⎪⎫－12＋p 22，－p 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋p 22，－p 2，所以|AB |＝ 12＋p 2，则|AF |＝|AB |＝ 12＋p 2，所以p |AF |＝sin π3，即p 12＋p2＝32，解得p ＝6.答案：610．（2013湖南，13分）过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM ·FN <2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．解：本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及其几何意义，圆的方程及两圆的公共弦的求法，点到直线的距离公式，直线与圆锥曲线的位置关系，向量的数量积，基本不等式的应用，二次函数的最值的求法，考查运算求解能力和函数方程思想、转化化归思想和数形结合思想．属难题．(1)由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM ＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1.故FM ·FN <p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p . 故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2，化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0.于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为 (k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离 d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋142＋785.故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85.由题设，7p 85＝755，解得p ＝8.故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .11．（2012山东，5分）已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于ca ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋b a2＝2，所以ba＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为(0，p2)，所以p22＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .答案：D12．（2011新课标全国，5分）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为(p 2，0)，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，∴p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△PAB 的面积为12×6×12＝36. 答案：C13．（2011辽宁，5分）已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C14．（2012天津，5分）已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.解析：由题意知，抛物线的普通方程为y 2＝2px (p >0)，焦点F (p 2，0)，准线x ＝－p2，设准线与x 轴的交点为A .由抛物线定义可得|EM |＝|MF |，所以△MEF 是正三角形，在直角三角形EFA 中，|EF |＝2|FA |，即3＋p2＝2p ，得p ＝2.答案：215.（2012陕西，5分）右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽______米．解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y 轴建立直角坐标系，设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，所以水面宽为2 6.答案：2 616．（2010浙江，4分）设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点F 的坐标为(p 2，0)，线段FA 的中点B 的坐标为(p4，1)，代入抛物线方程得1＝2p ×p4，解得p ＝2，故点B 的坐标为(24，1)，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 答案：32417．(2011新课标全国，12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB ∥OA ，MA ·AB ＝MB ·BA ，M 点的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．解：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)，A (0，－1)．所以MA ＝(－x ，－1－y )，MB ＝(0，－3－y )，AB ＝(x ，－2)．再由题意可知(MA ＋MB )·AB ＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0 所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点，因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.因此直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.则O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以 d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12(x 20＋4＋4x 20＋4)≥2，当x 0＝0时取等号，所以O 点到l 距离的最小值为2.。

2016年高考总复习高中数学高考总复习抛物线习题及详解

高中数学圆锥曲线——抛物线一、选择题1．(2016·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2， ∴这个圆与y 轴相切．3．(2016·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ② ①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p2，∵k AB ＝1，∴，p ＝2 ∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线x 29－y 24＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4xC ．y 2＝41313xD ．y 2＝21313x[答案] C[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则y ＝±23x ，由|AF |＝2⇒(x －13)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝41313x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A.6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为31，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)[答案] D[解析] 如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S△AMFS△AOF＝12×|AF|×|AM|×sin∠MAF12×|OF|×|AF|×sin(π－∠MAF)＝3，∴|AM|＝3，设A⎝⎛⎭⎫y024，y0，∴y024＋1＝3，解得y0＝±22，∴y024＝2，∴点A的坐标是(2，±22)，故选D.7．(2016·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为()A．y2＝－2x B．y2＝－32xC．y2＝4x D．y2＝－4x[答案] D[解析]设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5)的直线上任一点Q(x，y)，则PQ→∥a，∴x＋32＝y－1－5，∴5x＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F⎝⎛⎭⎫m4，0，∴m＝－4，故选D.8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是()[答案] A[解析]若mn>0，则mx2＋ny2＝1应为椭圆，y2＝－mn x应开口向左，故排除C、D；∴mn<0，此时抛物线y2＝－mn x应开口向右，排除B，选A.9．(2016·山东聊城模考)已知A、B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若F A→＝－4FB→，则直线AB的斜率为()A．±23B．±32C．±34D．±43[答案] D[解析]∵F A→＝－4FB→，∴|F A→|＝4|FB→|，设|BF|＝t，则|AF|＝4t，∴|BM|＝|AA1|－|BB1|＝|AF|－|BF|＝3t，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝5t，∴|AM|＝4t，∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－4)和点B (t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x 2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得，2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t 2－32<0，∴t >22或t <－22，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝12y 相切的直线与抛物线切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，∴切线方程为y －4＝±42x －8，令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >22. 二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______． [答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2016·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|F A |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t 2，|MA |＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t2，∴p＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x . (理)(2016·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF |＋12|AF |＝p 2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．[答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝22|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＝2＋24|AB ||BB 1|＝2－24|AB |，∴|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|F A ||FB |＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________. [答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)(2016·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 过A 、B 、P 作准线的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0，由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →)，点C 在x 轴上移动．(1)求B 点的轨迹E 的方程；(2)过点F ⎝⎛⎭⎫0，－14的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2，∴2x 0·y 0－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0①M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)，所以M 是BC 的中点，可得 ⎩⎨⎧x 0＋x 2＝0y ＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ②y 0＝y2 ③把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎫0，－14，设满足条件的直线l 方程为： y ＝kx －14，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －14y ＝x 2消去y 得，x 2－kx ＋14＝0.Δ＝k 2－1>0⇒k 2>1，∵FH →＝12HG →，即⎝⎛⎭⎫x 1，y 1＋14＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x 1＝12x 2－12x 1⇒3x 1＝x 2.∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝14，∴k ＝±233，故满足条件的直线有两条，方程为：8x ＋43y ＋3＝0和8x －43y －3＝0.16．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：(x －1)2＋y 2－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )y 2＝4x ，得ky 2－4y －4km ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[点评] (1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .(理)已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝4，求直线AB 的方程．(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．[解析] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋4k 2，x 1x 2＝4k 2.y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－8k.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2－8k ＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±2.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－12，∴k ＝－1＋2，∴直线AB 的方程为(2－1)x －y －2＝0.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝2k ＋2k 2，y 0＝kx 0－2＝2k， ∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k ＋2k 2. 令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k 2＝2k 2＋2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋32.又由k >－12且k ≠0得1k <－2，或1k>0，∴n >2⎝⎛⎭⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0) (1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得 y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4① 直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)即y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎫x －y 224 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43，直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0. 从而y 2－y 1＝±(4m )2－4×4＝±437，故4y 2－y 1＝±37因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －192＋y 2＝49. (理)(2016·揭阳市模考)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连结CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |，由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 12＋y 12＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴4x 2＝x 12＋2x 1x 2＋x 22,4y 2＝y 12＋2y 1y 2＋y 22故4x 2＋4y 2＝(x 12＋y 12)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x 2－x ＋y 2＝4得，x 2＋3x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。

2016届高考数学(理)考点分类自测：第8讲+抛物线(人教版含解析)

2016 年高考理科数学考点分类自测：抛物线一、选择题1．已知抛物线 x 2＝ ay 的焦点恰巧为双曲线 y 2－ x 2＝ 2 的上焦点，则 a 等于 ()A ． 1B ． 4C ． 8D ． 162．抛物线 y ＝－ 4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是()1715 A ．－ 16B ．－ 16715C.D.16163．已知 F 是拋物线 y 2＝ x 的焦点， A ， B 是该拋物线上的两点， | AF | ＋ | BF | ＝ 3，则线段的中点到 y 轴的距离为()AB3B ． 1A.457 C. 4D. 44．已知抛物线 y 2＝ 2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的地点关系是 ()A ．相离B ．订交C ．相切D ．不确立5．已知F 为抛物线 2＝ 8 的焦点，过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于、两点，则yxA B|| FA | － | FB || 的值等于()A ． 4 2B ． 8C ． 8 2D ． 166．在 y ＝ 2 x 2 上有一点，它到 (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐P A标是()A ． ( －2,1)B ． (1,2)C ． (2,1)D ． ( －1,2)二、填空题 7．以抛物线 x 2＝ 16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．8．已知抛物线的极点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点 ( － 3， ) 到焦点的距离Q m是 5，则抛物线的方程为 ________．9．已知抛物线 y 2＝ 4x 与直线 2x ＋ y －4＝ 0 订交于 A 、B 两点，抛物线的焦点为 F ，那么| FA |＋|FB | ＝________.三、解答题10．依据以下条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16 x2－ 9y2＝ 144 的左极点；(2)过点 P(2，－4)．11．已知点A( －1,0) ，B(1 ，－ 1) ，抛物线C：y2＝ 4x，O为坐标原点，过点 A 的动直线l 交抛物线 C于 M，P 两点，直线 MB交抛物线 C于另一点 Q.若向量OM与OP的夹角为π4 ，求△ POM的面积．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点 A(0，－1)，B点在直线 y＝－3上，M点知足MB ∥ OA ，MA·AB ＝MB·BA ，M点的轨迹为曲线C.(1)求 C的方程；(2)P为 C上的动点， l 为 C在 P 点处的切线，求 O点到 l 距离的最小值．详解答案一、选择题a1．分析：依据抛物线方程可得其焦点坐标为(0 ，4) ，双曲线的上焦点为 (0,2) ，依题意则有a＝ 2, 解得 a ＝ 8.4答案： C2．分析：抛物线方程可化为x 2＝－ y，其准线方程为 y ＝ 1 . 设 M ( x 0，y 0) ，则由抛物线416115的定义，可知16－ y 0＝1? y 0＝－ 16.答案： B3．分析：依据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为： 1(| |2 AF1 3 1 5＋ | BF |) －4＝ 2－ 4＝ 4.答案： C4．分析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为 M ，准线 l ， A 1、 B 1 分别为 A 、B 在直线 l 上的11射影，则 | AA 1| ＝ | AF | ，| BB 1| ＝ | BF | ，于是 M 到 l 的距离 d ＝ 2(| AA 1| ＋ | BB 1|) ＝2(| AF | ＋ | BF |)1＝ | AB | ＝半径，故相切．2答案： C5．分析：依题意 F (2,0) y ＝ x － 2 由 y ＝ x －2，，所以直线方程为2，消去 y 得 x 2－y ＝ 8x12x ＋ 4＝ 0. 设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) ，则 || FA | － | FB || ＝ |( x 1＋ 2) － ( x 2＋ 2)| ＝ | x 1－ x 2| ＝x 1＋ x 22－4x 1x 2＝144－ 16＝8 2.答案： C6．分析：如下图，直线l 为抛物线 y ＝2 2的准线， F 为其焦点，xPN ⊥ l ， AN 1⊥ l ，由抛物线的定义知， | PF | ＝| PN | ，∴ | AP | ＋| PF | ＝| AP |＋| PN | ≥|AN 1| ，当且仅当 A 、P 、N 三点共线时取等号．∴ P 点的横坐标与A 点的横坐标同样即为1，则可清除 A 、C 、 D.答案： B二、填空题7．分析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为 y＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8.所以，圆的方程为x2＋( y－4)2＝64.答案： x2＋( y－4)2＝648．分析：设抛物线方程为x2＝ ay( a≠0)，a则准线为 y＝－4.∵Q(－3， m)在抛物线上，∴ 9＝am.而点 Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，a9∴ | m－( －4)| ＝ 5. 将m＝a代入，9a得 | a＋4| ＝ 5，解得，a＝± 2，或a＝± 18，∴所求抛物线的方程为x2＝±2y，或 x2＝±18 y.答案： x2＝±2y 或 x2＝±18yy2＝4x29．分析：由，消去y，得 x －5x＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A、 B 两点的横坐标，故x1＋ x2＝5，因为抛物线y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，所以|FA |＋|FB | ＝(x1＋ 1) ＋ ( x2＋ 1) ＝ 7答案： 7三、解答题x2y210．解：双曲线方程化为9 －16＝1，左极点为 ( － 3,0) ，由题意设抛物线方程为y 2 p＝－2 ( >0) ，则－＝－ 3，px p 2∴ p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x.(2) 因为P(2 ，－ 4) 在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2＝mx 或x2＝ny，代入 P 点坐标求得 m＝8， n＝－1，∴所求抛物线方程为y2＝8x 或 x2＝－ y.2 2y1 y2 ) ，11．解：设点 M( 4 ， y ) ， P( 4， y1 2∵P， M， A 三点共线，∴ k AM＝ k PM，即 2y 1y 1－ y 2＝2 2，y1＋ 1 y1y244 －4 即 2 y 11，＝y 1 ＋ 4 y 1＋ y 2 ∴ y 1y 2＝ 4.2 2∴ OM · OP ＝y 1· y 21 24 4 ＋ y y ＝ 5.∵向量 OM 与 OPπ的夹角为 4，∴ | OM OP| ·cos π＝ 5.| ·|4 ∴S △ ＝1 OM | ·|OP |π 52|·sin 4 ＝ 2.POM12．解： (1) 设 M ( x ， y ) 由已知得 B ( x ，－ 3) ， A (0 ，－ 1) ．所以 MA ＝ ( － x ，－ 1－ y ) ， MB ＝ (0 ，－ 3－ y ) ，AB ＝ ( x ，－ 2) ．再由题意可知 ( MA ＋MB ) · AB ＝ 0，即 ( － x ，－ 4－ 2y ) ·(x ，－ 2) ＝0.1 2所以曲线 C 的方程为 y ＝ 4x － 2.1(2) 设 P ( x 0， y 0) 为曲线 C ： y ＝ 4x 2－ 2 上一点，11 0因为 y ′＝ 2x ，所以 l 的斜率为 2x .1 2所以曲线 l 的方程为 y －y 0＝ 2x 0( x － x 0) ，即 x 0 x － 2y ＋ 2y 0－ x 0 ＝0. |2 2 1 2则 O 点到 l 的距离 d ＝ y 0 －x 0| ，2. 又 y 0＝ x 0－ 2 x 0＋ 4 41 22x 0＋ 41 24所以 d ＝2＝ ( x ＋ 4＋2)≥2，x 0 ＋42x 0 ＋4当 x 0＝ 0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.。