阿波罗尼斯圆及其应用 PPT
最值问题阿氏圆ppt课件
BC
3值 42 4 2 4 10
3
3
3
过关检测
学习从来无捷径，循序渐进登高峰
三角形相似 • 得到去除系数k的线段,结合两点之间线段最短进行求解
解析： 连接CP，在CB上取点D使CD=1 则△PCD∽△BCP AP+½BP=AP+PD 当A、P、D三点共线时,AP+PD的值最小 最小值= AC2 CD2 37
2 37 3
∵AC = 4，CD = 3,在CB上取一点M，使得CM = 2 CD = 4
阿氏圆结论与证明
当P在在圆上运动时,PA、PB的的比值始终保持不变 构造子母型相似
P
O
P2
A
P1
B
模型使用步骤
P
P2
O
A
P1
B
确定模型五步骤：
①圆心
②圆上动点 ③圆外固定点
④以圆心所在角为公共角
⑤子交点（位置需要自己找）在圆心与圆外固定点连线上
• 确定动点的运动轨迹,以及轨迹的圆心和半径 • 找到比例为k的边,构成母三角形,标出两边的夹角 • 利用标出两边的夹角,构造一个线段,长度比半径成比例k,构造出子三角形，母子
阿氏圆
• 一动点P到两定点A、B的距 离之比等于定比m:n,则P点的 轨迹是以定比m:n内分和外分 定线段AB的两个分点的连线 为直径的圆，称为阿波罗尼 斯圆,简称阿氏圆
• 专门解决（AP+mBP，m≠1）最小值问题
• 与胡不归模型区别： 胡不归（动点在直线上）；阿氏圆（动点在圆上)
内分点：当点P在线段AB上时，P就是AB的内分点 外分点：当点P在线段AB的延长线上时，P就是AB的外 分点
阿波罗尼斯圆性质及其应用探究
阿波罗尼斯圆性质及其应用探究背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。
1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PBPA当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明..角坐标系中点为原点建立平面直轴，所在的直线为证明：以AB x AB ()()()，不妨设y x P a B a A ,,0,,0,-()()22222222,,,,PA PA PB PA PB x a y x a y PBλλλ⎡⎤=∴==∴++=-+⎣⎦()()()()0112112222222=-++--+-∴a ax y x λλλλ()()2222222222221211,01112⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴=-+-+-+∴λλλλλλλa y a x a ax y x λλλλλ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∴PB PA a y a x 的解都满足又以上过程均可逆，2222221211 .120,11222为半径的圆上运动为圆心，以在以综上，动点-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+λλλλa r a C P 3.阿波罗尼斯圆的性质.性质1点A 、点B 在圆心C 的同侧；当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外； 当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。
().,11,012111122222的右侧当然也在点的右侧，在点点所示，时，如图证明：当A B C a a a a a ∴>-+∴>-=--+>λλλλλλ.,1212112222222的内部在圆点的关系与圆、下面讨论点C B a a a a C A B ∴⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλλ.,12121122222222的外部在圆点C A a a a a ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--λλλλλλ()().,11,01211210222222的左侧当然也在点的左侧，在点点所示，时，如图当B A C a a a a a ∴-<-+∴<-=---+<<λλλλλλλ .,1212112222222的外部在圆点的关系与圆、下面讨论点C B a a a a C A B ∴⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-λλλλλ .,12121122222222的内部在圆点C A a a a a ∴⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--λλλλλλ.的同侧在圆心、综上可得定点C B A当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外； 当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个具有独特魅力和重要应用价值的概念。
它不仅在理论上丰富了我们对几何图形的理解，还在实际问题的解决中发挥着重要作用。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为常数（不为 1）的点的轨迹。
简单来说，如果有两个固定的点 A 和 B，一个动点 P 到 A 和 B 的距离之比始终是一个定值 k（k 不等于 1），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。
那么，如何来确定这个圆呢？假设两个定点 A 和 B 的坐标分别为（x1, y1) 和（x2, y2)，距离之比为 k，我们可以通过一系列的代数运算来找到这个圆的方程。
这其中涉及到距离公式以及一些代数变形，虽然过程可能稍显复杂，但最终得出的结果却能清晰地描述这个圆的特征。
阿波罗尼斯圆有着许多有趣的性质。
比如说，圆心一定在线段 AB的中垂线上。
而且，当两个定点之间的距离固定，比值 k 变化时，圆的大小和位置也会相应地改变。
接下来，让我们看看阿波罗尼斯圆在实际中的应用。
在物理学中，它可以用来研究带电粒子在电场中的运动轨迹。
当电场强度的分布满足一定条件时，粒子的运动轨迹可能就会是一个阿波罗尼斯圆。
这为我们分析粒子的运动规律提供了有力的工具。
在工程设计中，阿波罗尼斯圆也能大显身手。
例如在道路规划中，如果要设计一条曲线道路，使得车辆从一个固定点出发，到另一个固定点的行驶时间与距离之比保持恒定，就可以利用阿波罗尼斯圆的原理来进行规划。
在数学竞赛和高考中，阿波罗尼斯圆也常常作为考点出现。
它可能会隐藏在一些看似复杂的几何问题中，需要我们敏锐地发现并运用其相关知识来求解。
例如，给出一些点的位置关系和距离条件，让我们判断某个点是否在特定的阿波罗尼斯圆上，或者求与阿波罗尼斯圆相关的最值问题。
再举一个具体的例子，假设在一个平面直角坐标系中，有两点 A(－3, 0) 和 B(3, 0)，动点 P 满足｜PA| ＝ 2|PB|，我们可以通过计算得出点P 的轨迹方程，进而分析其性质和相关应用。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中，阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。
它以古希腊数学家阿波罗尼斯的名字命名，展现了几何图形与数学原理之间的精妙联系。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义入手。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（不为 1）的点的轨迹。
也就是说，如果有两个定点 A 和 B，点 P 满足｜PA|／｜PB| ＝ k（k 为非 1 的常数），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。
为了更直观地感受阿波罗尼斯圆，我们不妨通过一个简单的例子来看看它是如何形成的。
假设定点 A 的坐标为(－1, 0)，定点 B 的坐标为(1, 0)，且比值 k ＝ 2。
我们可以通过距离公式和等式｜PA|／｜PB| ＝2 来列出方程，经过一番计算和化简，就能得到点 P 的轨迹方程，从而描绘出这个阿波罗尼斯圆的图形。
那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？一个常见的应用是在物理学中的带电粒子在电场和磁场中的运动问题。
比如，当带电粒子在特定的电场和磁场中运动时，其轨迹可能会符合阿波罗尼斯圆的特征。
通过对阿波罗尼斯圆性质的深入理解，我们可以更好地分析带电粒子的运动路径、速度变化等关键信息，从而为相关的物理研究和实际应用提供有力的理论支持。
在工程领域，阿波罗尼斯圆也有着不可小觑的作用。
比如在建筑设计中，当需要规划一些具有特定比例关系的布局时，阿波罗尼斯圆的概念可以帮助设计师巧妙地安排空间，实现美观与实用的完美结合。
又比如在道路规划中，为了使车辆行驶更加流畅和安全，有时需要根据不同地点之间的距离比例关系来设计路线，阿波罗尼斯圆的原理就能在其中发挥指导作用。
在数学解题中，阿波罗尼斯圆更是常常成为巧妙解题的关键。
例如，在一些涉及到距离比值的几何问题中，如果能够敏锐地发现其隐藏的阿波罗尼斯圆结构，往往能够化繁为简，迅速找到解题的突破口。
我们来看一个具体的数学问题。
已知三角形 ABC 中，AB ＝ 4，AC ＝ 2，且点 P 满足｜PA| ＝ 2|PB|，求点 P 的轨迹。
直线与圆 圆中鬼魅,阿波罗尼斯圆
圆中鬼魅，阿波罗尼斯圆8.1 定义=2PA PB a=的探究，可参见后续圆2PB a8.2 调和点列vs阿波罗尼斯圆如图，①A、C、B、D为调和点列；②PC、PD分别为∠APB的内、外角平分线；③PC ⊥PD；以上三个条件中，知道任意两个都可以推得第三个！2OA OB r=（反演）同时，OAr2OA OB r=，利用定比分点求内外分点的坐标，即AD DBλ=±，D包括点B 和定比λ的位置？注 圆心O 在线段的延长线上！！有些粗心的同学在数形结合画草图的时候，肯定会犯模糊？例 已知动点P 与两定点(0,0)A 、(3,0)B 的距离之比为12，则动点P 的轨迹方程为 ．法一 直译法设点(,)P x y 是曲线上任意一点，12=，化简整理可得：22(1)4x y ++=． 法二 利用定比分点，确定内外分点法设D 为分点，则12AD DB =±，可得：(1,0)D 内，(3,0)D -外，由于内外分点也是圆直径的两个端点，易得圆心坐标为(1,0)-，半径为2．法三 设圆心为C ，半径为r ，则321122AB r λλ===--，又12PA CA r PB r CB ===，即1CA =，由定比可知圆心C 在定点A 的左侧，故(1,0)C -．例 (1)(2006四川文理)已知两定点(2,0)A -，(1,0)B ，如果动点P 满足条件2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )．A ．πB ．4πC ．8πD ．9π(2)在平面直角坐标系中，圆221x y +=交x 轴于A 、B 两点，且点A 在点B 左边，若直线0x m +=上存在点P ，使得2PA PB =，则m 的取值范围为 ．解 (1)选B ；321122AB r λλ===--；(2)13,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．例 (1)(2008江苏)满足条件2AB =，AC =的ABC △的面积的最大值是______． (2) ______． 解(1)法一 易知C 的轨迹为圆O，且半径211AB r λλ===-当且仅当CO ⊥AB 时，面积取最大，即为法二 作高法；作CD ⊥AB 于点D ，设AD x =，CD h =，则2BD x =-，由AC =可得：22222((2))x h x h +=-+，即2288h x x =-+-，故28h ≤，易知面积最大为(2)法一 如图所示，AB AC =，中线BD 2ABC ABD S S =△△，又2AB AD =，A 的轨迹是以B 、D为定点的菠萝圆，其半径122BD r λλ===--，故△ABC 最大值为1222BD r ⨯⨯⨯=． 法二 借助重心的性质：如图所示，设重心为G ，则23CG BG BD ==，故21433sin 229ABC BGC S S BD BGC ==⨯⨯∠≤△△，当且仅当2BGC π∠=时取等号．例 (2014湖北文压轴)已知圆221O x y +=：和点(2,0)A -，若定点(,0)(2)B b b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有MB MA λ=，则(1) b = ；(2) λ= ．解 此题的背景是阿波罗尼斯圆，熟悉背景的话，此题可以直接口算，是送分题！由于2A B x x r =，故12b =-，结合图形可知MB MA <，即1λ<，即12B A x r x r λ===． 例 在平面坐标系xOy 中，已知圆222(0)x y r r +=>，两个定点,03r A ⎛⎫⎪⎝⎭和(,0)3r B a a ⎛⎫≠⎪⎝⎭，且P 为圆上任意一点，若PA PB为定值k ，则a = ，k = ． 解 结合草图必有0a >且01k <<，由2OA OB r =，即233ra r a r =⇒=，3r OB k OA r===．AB C DEGABC D例(2015湖北理压轴)如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点A、B（B在A的上方），且2AB=．(1)圆C的标准．．方程为；(2)过点A任作一条直线与圆221O x y+=：相交于M、N两点，下列三个结论：①NA MANB MB=；②2NB MANA MB-=；③NB MANA MB+=其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）解(1)22(1)(2x y-+=；(2)显然圆O是以A、B为定点的阿波罗尼斯圆，易得(0,1)A，(01)B，阿波罗尼斯圆的半径1r=，故1NA MA OA rNB MB r OB====，1NBNA=，因此，①②③都正确．例(1)已知点P在边长为2的正方形ABCD的内切圆上运动，则AP+的最小值是_______．(2)已知P在边长为2的正三角形ABC的内切圆上运动，则2AP BP+的最小值是_______．解(1)有圆O和一个定点（A或B），由于OA OB=，故不妨取A为定点，设另一个定点为A'，定比为λ（结合图形，必有1λ>），则2OAOA OA rλ⎧'=⎪'=⇒⎨⎪=⎩则PAPAλ=='因此，)AP AP BP B''=+≥，又A B'=，故AP+≥(2)和上题分析类似，22OA OA OA r λ⎧'=⎪'=⇒⎨⎪=⎩22()2AP BP AP BP A B ''+=+≥=例 (1) 已知A 、B 分别为x 、y 轴上的两个动点，且10AB =， M 为AB 的中点，(10,0)P ，13,32Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则12PM QM +的最小值为 ．(2) 设点M 在圆22(4)(4)8C x y -+-=：上运动，点(6,1)A -，O 为原点，则2MO MA +的最小值为 ．(3) 如图所示，直角扇形AOB 的半径为6，C 、D 分别为OA 、OB 上的点，其中3OC =，5OD =，点P 为弧AB 上任意一点，则2PC PD +的最小值为 ．解 (1) 易知M 的轨迹方程为：2225x y +=，即5r =；根据“12PM QM +”可以确定菠萝圆的定比必为2或12，又10OP =，2OPr=，显然菠萝圆的一个定点必定可以是P ，设另一个定点为(,0)N n ，利用252OP ON r ON =⇒=，即5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭；结合图形可知2MPMN=，故152PM QM MN QM QN +=+≥=．AB CPA 'OBCD(2) 根据“2MO MA +”可以确定菠萝圆的定比必为2或12，又r =，OC =，2OCr=，显然菠萝圆的一个定点必定可以是原点O ，设另一个定点为P ，利用2CP CO r CP =⇒=，点P 在直线y x =上，易得()3,3P ，结合图形可知2MOMP=，故222210MO MA MP MA PA +=+≥=．(3) 13；方法类似，具体过程略．8.3 角平分线vs 阿波罗尼斯圆例 (1)(2016台州一模)已知C 是线段AB 上的一点，2AC CB =，MA MC MB MCMA MB=，则2MA MB AB的最小值范围为 ．(2)(2016杭州一模)已知OA OB 、是非零不共线的向量，设111r OC OA OB r r =+++，定义点集,KA KC KB KC M K KA KB KA KB λ⎧⎫⎪⎪==≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭，当12K K M ∈、时，若对于任意的2r ≥，不等式12K K c AB <恒成立，则实数c 的最小值为 ．解 (1) 29-；MA MC MB MC BMC AMC MA MB=⇒∠=∠，故点M 轨迹是以A 、B 为定点的菠萝圆．设AB 的中点为D ，利用极化恒等式：22222222222629AB AB MA MB MD AD CD AD AB AB AB AB---=≥==-． (2)43；111r OC OA OB AC rCB r r =+⇒=++，KA KC KB KC AKC BKC KA KB=⇒∠=∠，故点K 的轨迹为圆，又不等式12K K c AB <恒成立，故12maxK K c AB⎛⎫⎪>⎪⎝⎭， 显然，当12K K 为圆的直径时取得最大值，故121AB K K r r=-，即1211411322K K AB r r =≥=--．例 在△ABC 中，2AC =，(1)AB mBC m =>，若恰好当3B π=时，△ABC 面积最大，则m = ．答案 2；如图所示，点B 的轨迹为菠萝圆O ，因此，当△ABC 面积最大时，OB r =，由于3ABC π∠=，故6ABM CBM π∠=∠=，又4BMC π∠=，则 tan tan752BA OA r OBm OCB BC r OC OC=====∠=︒=．例 P 、Q 是两个定点，点M 为平面内的动点，且MP MQλ=(0λ>且1λ≠)，点M 的轨迹围成的平面区域的面积为S ，设()S f λ=，则以下判断正确的是( )．A ．()f λ在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数B ．()f λ在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是减函数C ．()f λ在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数D ．()f λ在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数解 设PQ d =，则1dr λλ=-，故2222()12d S f r λλλπ==π=+-，结合对勾函数的性质，显然选A ．例 已知点(0,1)A ，(1,0)B ，(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若2AD BD ≤恒成立，则实数t 的取值范围是___________．解 对2AD BD ≤直译可得点D 的轨迹是：22418339x y ⎛⎫⎛⎫-++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题意，只须直线1x AC y t +=：与圆22418339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭相切或相离即可，即≥2t ≤2t ≥+例 过△ABC 的重心G 作直线MN 分别交边AB 、AC 于点M 、N ，若ABAC =，则当△ABC 的面积最大时，四边形MNCB 面积的最大值为( )．ABCD解 选D ；由“AB =，AC ”可知点C 的轨迹为圆，且半径1AB r λλ==- 当△ABC 的面积最大时，则此时的点C 到AB 的距离为半径r ，此时132ABC S AB r ==△．欲使得四边形MNCB 面积最大，则等价于△AMN 的面积最小， 直线MN 过△ABC 的重心G ，设AM xAB =，AN yAC =，其中01x y <<、， 则()1133AM AN AG AB AC x y ⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭，M 、N 、G 三点共线可得：113x y =+， 由于1132x yxy=+≥，故49xy ≥，49AMN ABC ABC S xy S S =≥△△△，因此，四边形MNCB 面积的最大值为5918ABC S =△，此时的直线MN 恰好和直线BC 平行．例 已知△ABC 的面积为1，∠A 的平分线交对边BC 于D ，2AB AC =，且AD kAC =，k ∈R ，则当k = 时，边BC 的长度最短．解 由2AB AC =可知：点A 的轨迹为阿氏圆，设其半径为R ，则12OC R R OB ==，故2ROC =，2OB R =，如图所示，作出相应的几何图形． 由于△ABC 的面积为定值，欲使得边BC 的长度最短，则BC 边上的高必须最大，即为半径R ，即在阿氏圆与y 轴的交点处，此时22222AD OD R R =+=，222254AC OC R R =+=．例 在△ABC 中，点D 在边BC 上，且2DC BD =，31AB AD AC k =：：：：，则实数k 的取值范围为 ．法一 根据题意有2DC BD =，即2133AD AB AC =+，两边平方整理得：23712cos 99k θ=+，其中θ为AB 和AC 的夹角，故(0,)θ∈π，注意到0k >，易解得57,33k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．法二 由于31AB AC =，如图所示，构造菠萝圆模型，设菠萝圆的半径为R ，则3OB RR OC==，即3R OC =，3OB R =，21639CD BC R ==． 不妨令9R =，则菠萝圆方程为：2281x y +=，(3,0)C ，(19,0)D ，故AD k AC =，(9,9)x ∈-， 注意到15(9,9)∉-，故k 在区间端点处取得最值，易得57,33k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．注 法一中的向量手法，可以积累一下，在解三角形中，与线段分点有关的题，可以尝试使用！法二利用了阿氏圆的背景，相对法一，思路也很简单，就是计算量是硬伤！！例 已知共面向量a 、b 、c 满足3=a ，2+=b c a ，且=-b b c ．若对每一个确定的向量b ，记()t t -∈b a R 的最小值为min d ，则当b 变化时，min d 的最大值为( )．A ．43B ．2C ．4D ．6答案 选B ．C解 如图所示，易知点B 的轨迹为阿氏圆，min d 的最大值即为阿氏圆的半径32122r ==-．例 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，A 、F 是其左顶点和左焦点，P 是圆222x y b +=上的动点，若PA PFλ=（λ为常数），则此椭圆的离心率为 ． 解 点P 的轨迹是菠萝圆，故2OA OF r =，即2ac b =，解得e = 例 (2013江苏)如图，在平面直角坐标系中，已知点(0,3)A ，直线24l y x =-：，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1) 若圆心C 在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程．(2) 若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1) 圆心C 为直线24y x =-和1y x =-的交点，解得(3,2)C ，易知切线的斜率必存在，故设切线为3y kx =+，1=，解得0k =或34k =-，故切线的方程为3y =或34120x y +-=． (2) 圆心C 在直线24y x =-上，故圆C 的方程为：[]22()2(2)1x a y a -+--=， 设(,)M x y ，由2MA MO =22(1)4x y ++=，因此，点M 的轨迹是以圆心(0,1)D -，半径为2的圆．由题意可知点M 也在圆C 上，因此，只需要圆C 和圆D 有公共点即可，故2121CD -≤≤+，即13≤， 解得1205a ≤≤，故圆心C 的横坐标a 的取值范围为120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．例 (2002全国文)已知点P 到两定点(1,0)M -、(1,0)N N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．解 设P 的坐标为(,)x y，由题意有PM PN=整理得22610x y x +-+=，因为点N 到PM 的距离为1，2MN =，所以30PMN =︒，直线PM的斜率为，直线PM的方程为1)y x =+，将1)y x =+代入22610x y x +-+=整理得2410x x -+=解得2x =，2x =，则点P 坐标为(2或(21-，(21-或(2，直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+．例 在x 轴正半轴上是否存在两个定点A 、B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数12？如果存在，求出点A 、B 坐标；如果不存在，请说明理由． 分析 设点P 为圆O 上任一点，半径2r =，假设A 在B 的左侧，则12PA OA r PB r OB ===，即1OA =、4OB =，即(1,0)A 、(4,0)B ，显然，利用背景很简单，不过，对于解答题，需要转化为恒成立的问题．解 假设在x 轴正半轴上是否存在两个定点A 、B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数12，设(,)P x y 、1(,0)A x 、2(,0)B x ，其中210x x >>．12=对满足224x y +=的任何实数对(,)x y 恒成立，整理得： 222212212(4)43()x x x x x x y -+-=+， 将224x y +=代入上式得：2212212(4)412x x x x x -+-=，欲使得这个式子对任意[2,2]x ∈-恒成立，所以一定有：12222140412x x x x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，因为210x x >>，所以解得：11x =、24x =． 因此，在x 轴正半轴上存在两个定点(1,0)A 、(4,0)B ，使得圆224x y +=上任意一点到A 、B 两点的距离之比为常数12．例 有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地的运费的3倍．已知A 、B 两地距离为10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．分析：该题不论是问题的背景或生活实际的贴近程度上都具有深刻的实际意义和较强的应用意识，启示我们在学习中要注意联系实际，要重视数学在生产、生活以及相关学科的应用．解题时要明确题意，掌握建立数学模型的方法．解 以A 、B 所确定的直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵10=AB ，∴)0,5(-A ，)0,5(B ．设某地P 的坐标为),(y x ，且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为3a 元/公里，B 地的运费为a 元/公里．因为P 地居民购货总费用满足条件：价格＋A 地运费≤价格＋B 地的运费 即2222)5()5(3y x a y x a +-≤++．∵0>a ，∴2222)5()5(3y x y x +-≤++ 化简整理得：222)415()425(≤++y x ，∴以点)0,425(-为圆心415为半径的圆是两地购货的分界线．圆内的居民从A 地购货便宜，圆外的居民从B 地购货便宜，圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等．因此可随意从A 、B 两地之一购货．说明：实际应用题要明确题意，建议数学模型．。
江苏省2019高考数学二轮复习专题五解析几何商考提能圆的第二定义__阿波罗尼斯圆课件
解析
因为AB＝2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x－
3)2＋y2＝4(y≠0).
设C(x，y)，由AC边的中点为D(2,0)，知A(4－x，－y)，所以C的轨迹方程为
(4－x－3)2＋(－y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所求的面积为4π.
1 2 3 4 5 6
解析
答案
2λm 2 为半径的圆. λ －1
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.
三、阿波罗尼斯圆的性质
1.满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB和外分 AB所得的两个分点.
2.直线CM平分∠ACB，直线CN平分∠ACB的外角.
AM AN 3. ＝ . BM BN
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
解答
(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.
解答
例4
在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x2＋y2＝4上任意一 1 点到A，B两点的距离之比为常数 ？如果存在，求出点A，B坐标；如果 2 不存在，请说明理由.
5.如图，已知平面α⊥平面β，A，B是平面α与平面β的交线上的两个定点， DA⊂β ， CB⊂β ，且 DA⊥α ， CB⊥α ， AD ＝ 4 ， BC ＝ 8 ， AB ＝ 6 ，在平面 α 上 有一个动点P，使得∠APD＝∠BPC，求△PAB的面积的最大值.
1
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6
解答
6.已知⊙O：x2＋y2＝1和点M(4,2). (1)过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程； 解 直线l的斜率存在， 设切线l方程为y－2＝k(x－4)，
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用内江六中 陈廷勇【定义1】阿波罗尼斯圆：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆(定值为1时是直线，定值不是1时为圆)．【定义2】已知平面上两点A、B ，则所有满足P APB ＝k (k ≠1)的点P 的轨迹是一个以定比k 内分和外分定线段AB 的两个分点M 、N 的连线为直径的圆． 下面证明k ＞1的情况．〖证明〗〔几何法〕连接PM ,PN ，在直线AP 上取点C ,D ，使PC ＝PD ＝PB (如图)，连接BC ,BD ．则∠PBC ＝∠PCB ，∠PBD ＝∠PDB ．∵AM MB ＝P A PB ＝APPC，∴MP ∥BC ，∴∠APM ＝∠ACB ，∠BPM ＝∠PBC ． ∴∠APM ＝∠BPM ＝12∠APB ．同理，∠BPN ＝∠CPN ＝12∠BPC ．∴∠BPM ＋∠BPN ＝12∠APB ＋12∠BPC ＝π2．∴点P 的轨迹是以MN 为直径的圆．证毕．AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系． 设AB ＝2c ，P (x ,y )，则A (－c ,0)，B (c ,0)．由|P A ||PB |＝k (k ＞1)，得(x ＋c )2＋y 2(x －c )2＋y 2＝k ⇒(k 2－1)x 2＋(k 2－1)y 2－2c (k 2＋1)x ＋c 2(k 2－1)＝0⇒[x －c (k 2＋1)k 2－1]2＋y 2＝(2kc k 2－1)2．∴点P 的轨迹是以点(c (k 2＋1)k 2－1,0)为圆心，以2kck 2－1为半径的圆．【定义3】圆的反演点：已知⊙O 的半径为r ，从圆心O 出发任作一射线，在射线上任取两点A 、B ，若OA •OB ＝r 2，则称A ,B 是关于⊙O 的反演点．【方法1】圆的反演点的获取：①若A 在⊙O 外，过A 作⊙O 的两条切线，两切点的连线与OA 的交点B 就是点A 的反演点；②若A 在⊙O 内，连接OA ，过A 作OA 的垂线与圆交点处的两切线的交点B 即为点A 的反演点．【性质1】已知平面上两点A 、B ，则所有满足P APB ＝k (k ≠1)的点P 的轨迹是一个以定比k 内分和外分定线段AB 的两个分点M 、N 的连线为直径的圆．①当k ＞1时，点A 在圆外，点B 在圆内；②当0＜k ＜1时，点A 在圆内，点B 在圆外．【性质2】已知⊙O 的直径为MN ＝2r ，在直线MN 上有两点A ,B 满足OA •OB ＝r 2，则⊙O 是以A ,B 为定点，MA MB 或NANB为比值的阿波罗尼斯圆，反之也成立．〖证明〗MA MB ＝NA NB ⇔OA －OM OM －OB ＝OA ＋ON OB ＋ON ⇔OA －r r －OB ＝OA ＋rOB ＋r⇔(OA －r )(OB ＋r )＝(OA ＋r )(r －OB )⇔OA •OB ＝r 2．证毕．【性质3】MN 是⊙O 的一条直径，A 是直线MN 上异于O 的一定点，过A 任作一条异于MN 的直线交⊙O 于P ,Q 两点，点P 关于直线的对称点为P ′，直线P ′Q 与MN 交于B ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点．特别地，过A 作⊙O 的两条切线，两切点分别为P ,Q ，连接PQ 与MN 相交于点B ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点，过B 垂直于OA 的直线l 称为点A 对⊙O 的极线，A 称为l 的极点．〖证明〗连接QO 交⊙O 于R ，连接P ′R ，则∠QP ′R ＝90°，及P ,Q ,P ′,R 四点共圆． ∴∠QPP ′＝∠QRP ′．又∠P AD ＋∠APD ＝∠P ′QR ＋∠QRP ′＝90°， ∴∠OAQ ＝∠OQB ，又∠AOQ ＝∠BOQ ，∴ΔOAQ ∽ΔOQB ．∴OA OQ ＝OQOBOA •OB ＝r 2．证毕． 【性质4】已知B ,A 是过半径为r 的⊙O 的圆心直线上一内一外两点(圆心除外)，PQ 是过B 的任意一弦，且∠P AB ＝∠QAB ，则A ,B 是⊙O 的一对反演点．〖证明〗只考虑MN 不垂直AB 和重合的情况． 设AQ 与⊙O 的另一交点为P ′，∵∠P AB ＝∠QAB ，由圆的对称性知，P ,P ′关于AB 对称，∴PP ′⊥AB ． 由性质2的证明方法，可得OA •OB ＝r 2．证毕．【性质5】MN 是以A ,B 为反演点的阿波罗尼斯圆在直线AB 上直径，P 是圆上异于M ,N 一点，则PM ,PN 分别为∠APB 内角平分线和外角平分线．〖证明〗在直线AP 上取点C ,D ，使PC ＝PD ＝PB (如图)，连接BC ,BD ． 则∠PBC ＝∠PCB ，∠PBD ＝∠PDB ．∵MA MB ＝P A PB ＝P APC，∴MP ∥BC ，∴∠APM ＝∠ACB ，∠BPM ＝∠PBC ． ∴∠APM ＝∠BPM ．∴PM 是∠APB 的平分线． 同理，PN 是∠APB 的外角平分线．证毕．【性质6】过⊙O 外一点A 作其切线AP ,AQ ，OA 与⊙O 和PQ 分别交于I ,B ，MN 是过B 的任意弦，则I 为ΔAMN 的内心．〖证明〗连接OP ，∵AP ,AQ 是⊙O 的切线，∴PQ ⊥OA ，OP ⊥AP ． ∴OA •OB ＝r 2，∴A ,B 是⊙O 的一对反演点．连接MI ,NI ，由性质5得，MI ,NI 分别为∠AMN , ∠ANM 的平分线．故I 为ΔAMN 的内心．【性质7】已知A ,B 是半径为r 的⊙O 的一对反演点(A 在⊙O 外)，MN 是过B 的任意弦，则AB 平分∠MAN ．〖证明〗同性质6的证明方法．【性质8】已知A ,B 是半径为r 的⊙O 的一对反演点(A 在⊙O 外)，且AB ＝m ，⊙O 上任意一点P 到A ,B 的距离之比为λ，则m λ＋1＋mλ－1＝2r ．〖证明〗设MB ＝x ，NB ＝y ，则x ＋y ＝2r ．由MA MB ＝NA NB ＝λ，得m －x x ＝m ＋y y ＝λ⇒x ＝m λ＋1，y ＝m λ－1．∴m λ＋1＋mλ－1＝2r ． 〖注〗若A 在⊙O 内，则λm 1＋λ＋λm 1－λ＝2r ．【性质9】将通过伸缩变换为椭圆，可得如下结论：设A 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)长轴MN 上异于中心O 的一个定点，过点A 任作一条异于MN 的直线交椭圆O 于P ,Q 两点，点P 关于直线MN 的对称点为P ′，直线P ′Q 与MN 交于B ，则OA •OB ＝a 2．【题型】①已知两条线段长度之比为定值；②过某动点向两定圆作切线，若切线张角相等；③向量的定比分点公式结合角平分线；④线段的倍数转化．〖注〗问题主要围绕两个反演点坐标，阿氏圆方程，阿氏圆上点到两反演点距离比四个方面设置，其中测度主要涉及两个反演点间距离，阿氏圆的半径，阿氏圆上点到两反演点距离比．1．阿波罗尼斯(约公元前262－190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k ＞0且k ≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比满足：P A ＝3PB ，当P 、A 、B 三点不共线时，ΔP AB 面积的最大值是( ) A ．2 2 B ．2 C ． 3 D ． 2 〖解析〗〔法一〕设A (－1,0)，B (－1,0)，P (x ,y )，则由P A ＝3PB ，得(x ＋1)2＋y 2＝3•(x －1)2＋y 2⇒(x －2)2＋y 2＝3． 当点P 到AB 的距离最大，即等于3时，ΔP AB 的面积取得最大． ∴(S ΔPAB )max ＝12×|AB |×r ＝3．故选C ．〔法二〕设以A ,B 为反演点的阿氏圆的半径为r ，则2r ＝23＋1＋23－1＝23⇒r ＝3．∴(S ΔPAB )max ＝12×|AB |×r ＝3．故选C ．2．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0），与y 轴正半轴交于两点A ,B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2．过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点，下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2． 其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③〖解析〗设⊙C 的半径为r ∴⊙C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2． 令x ＝0，得A (2－1,0)，B (2＋1,0)．∴|OA |＝2－1，|OB |＝2＋1． ∴|OA |•|OB |＝1＝r O 2，∴A ,B 是⊙O 的一对反演点． ∵M ,N 是⊙O 上点，∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |．故①正确．设|NB ||NA |＝k ，则由|AB |k ＋1＋|AB |k －1＝2r O ，得2k ＋1＋2k －1＝2⇒k ＝2＋1． ∴|MB ||MA |＝|NB ||NA |＝2＋1，|MA ||MB |＝|NA ||NB |＝12＋1＝2－1．∴|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2，|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝22．故选A ． 3．设A (－c ,0)，B (c ,0)(c ＞0)为两定点，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值a (a ＞0)，求点P 的轨迹．〖解析〗设P (x ,y )，由|P A ||PB |＝a (a ＞0)，得(x ＋c )2＋y 2(x －c )2＋y 2＝a⇒(a 2－1)x 2＋(a 2－1)y 2－2c (a 2＋1)x ＋c 2(a 2－1)＝0．当a ＝1时，方程化为x ＝0；当a ≠1时，方程化为[x －c (a 2＋1)a 2－1]2＋y 2＝(2aca 2－1)2．∴当a ＝1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点(c (a 2＋1)a 2－1,0)为圆心，以2ac|a 2－1|为半径的圆．4．在平面直角坐标系xOy 中，设圆C 的半径为1，圆心在直线l ：y ＝2x －4上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点B (2,4)作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆心C 的横坐标为a ，已知点A (0,3)，若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求a 的取值范围．〖解析〗(1)解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，∴⊙C 的圆心为C (3,2)，半径r ＝1． ①当切线斜率不存在时，切线方程为x ＝2，满足题意．②当切线斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0， 则|3k －2－2k ＋4|k 2＋1＝1⇒k ＝－34．此时切线方程为3x ＋4y －22＝0．综上，所求切线方程为x ＝2或3x ＋4y －22＝0．(2)设M (x ,y )，则由MA ＝2MO ，得x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，即x 2＋(y ＋1)2＝4． 记⊙D ：x 2＋(y ＋1)2＝4，则D (0,－1)，r D ＝2．又M 在⊙C 上，∴|r －r D |⩽|CD |⩽ r ＋r D ⇔1⩽|CD |⩽3． 又C (a ,2a －4)，∴1⩽a 2＋(2a －3)2⩽3⇒0⩽a ⩽125．【注】∵MA ＝2MO ，∴点M 的轨迹是以A ,O 为反演点的圆，且圆的圆心在AO 的延长线上．其半径r 满足：2r ＝32＋1＋32－1⇒r ＝2．设圆的圆心为D (0,b )(b ＜0)，则AD →＝(0,b －3)，OD →＝(0,b )．由AD →•OD →＝r 2，得b (b －3)＝4⇒b ＝－1或b ＝4．∴⊙D ：x 2＋(y ＋1)2＝4．5．如图，圆C ：x 2＋y 2－(1＋a )x －ay ＋a ＝0． (1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ,N (点M 在点N 的左侧)，过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ,B ，问：是否存在实数a ，使得∠ANM ＝∠BNM ?〖解析〗(1)∵⊙C ：(x －a ＋12)2＋(y －a 2)2＝2a 2－2a ＋14，∴C (a ＋12,)，r ＝2a 2－2a ＋12．∵⊙C 与x 轴相切，∴|a |2＝2a 2－2a ＋12⇒a ＝1．∴⊙C ：(x －1)2＋(y －12)2＝14．(2)令y ＝0，得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0⇒x ＝1或x ＝a (a ＞1)．∴M (1,0)，N (a ,0)．假设存在实数a ，使得∠ANM ＝∠BNM ． ①当直线AB 不重合于x 轴时，设l AB ：x ＝ty ＋1，A (ty 1＋1,y 1)，B (ty 2＋1,y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1x 2＋y 2＝4，得(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0．∴y 1＋y 2＝－2t t 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1．∵∠ANM ＝∠BNM ，∴k NA ＋k NB ＝0⇒y 1ty 1＋1－a ＋y 2ty 2＋1－a ＝0⇒2ty 1y 2＋(1－a )(y 1＋y 2)＝0⇒2t (a －4)t 2＋1＝0．又t ∈R ，∴a ＝4．②当直线AB 重合于x 轴时，恒有∠ANM ＝∠BNM ． 综上，存在实数a ＝4，使得∠ANM ＝∠BNM ．【注】令y ＝0，得x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0⇒x ＝1或x ＝a (a ＞1)．∴M (1,0)，N (a ,0)． ∵∠ANM ＝∠BNM ，∴M ,N 是⊙O 的一对反演点．∴OM •ON ＝r 2⇒a ＝4． 故存在实数a ＝4，使得∠ANM ＝∠BNM ．6．已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0． (1)求直线l 所过定点A 的坐标．(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长． (3)已知点M (－3，4),在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．〖解析〗(1)∵l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0⇔(3x －y )m ＋(x ＋y －4)＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3．∴l 过定点A (1,3)． (2)由平面几何知识知，当l ⊥AC 时，l 被⊙C 截得弦长最短．由题有C (0,4)，r ＝2，∴k AC ＝－1，∴k l ＝1⇒3m ＋1m －1＝1⇒m ＝－1．此时，C 到l 的距离为d ＝|AC |＝2．∴最短弦长为2r 2－d 2＝22． (3)由题知，l MC ：y ＝4．假设存在定点N (t ,4)满足题意．设P (x ,y )，则|PM |2|PN |2＝(x ＋3)2＋(y －4)2(x －t )2＋(y －4)2＝6x ＋9＋x 2＋(y －4)2－2tx ＋t 2＋x 2＋(y －4)2．又由P 在⊙C 上，得x 2＋(y －4)2＝4．∴|PM |2|PN |2＝6x ＋13－2tx ＋t 2＋4．若|PM ||PN |为常数，则需6－2t ＝13t 2＋4⇔t ＝－43或t ＝－3． 当t ＝－3时，N (－3,4)与M 重合，不符合题，舍去． 当t ＝－43时，N (－43,4)，此时|PM ||PN |＝32．综上可知，在直线MC 上存在定点N (－43,4)，使得|PM ||PN |为常数32．【注】由题知，l MC ：y ＝4．若|PM ||PN |为常数，则知N 是⊙C 的反演点中一点．设N (t ,4)(－3＜t ＜0)，则|MC |＝3，|NC |＝－t ．∴由|MC |•|NC |＝r 2，得－3t ＝4⇒ t ＝－43．∴N (－43,4)，|MN |＝53．设|PM ||PN |＝k ，则53k ＋1＋53k －1＝4⇒k ＝32或k ＝－23(舍)． 故在直线MC 上存在定点N (－43,4)，使得|PM ||PN |为常数32．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点Q (0,1)，过点P (0,4)的直线l 与圆O 交于不同的两点A ,B (不在y 轴上)．(1)若直线l 的斜率为3，求AB 的长度；(2)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1＋k 2为定值，并求出该定值； (3)设AB 的中点为M ，是否存在直线l ，使得MO ＝62MQ ?若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．〖解析〗(1)由题知，l ：y ＝3x ＋4．∴O 到l 的距离为d ＝432＋12＝410．∴|AB |＝2r 2－d 2＝22－(410)2＝4155．(2)设l ：y ＝kx ＋4，A (x 1,kx 1＋4)，B (x 2,kx 2＋4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4x 2＋y 2＝4，得(k 2＋1)x 2＋8kx ＋12＝0． ∴Δ＝64k 2－48(k 2＋1)＝16(k 2－3)＞0，x 1＋x 2＝－8k k 2＋1，x 1x 2＝12k 2＋1．∴k 1＋k 2＝kx 1＋3x 1＋kx 2＋3x 2＝2k ＋3(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －2k ＝0．∴k 1＋k 2为定值，定值为0．【注】由题知，l PQ ：x ＝0，|OP |＝4，|OQ |＝1，r ＝2． ∴|OP |•|OQ |＝r 2，∴P ,Q 是⊙O 的一对反演点．∴QA 与⊙O 的另交点B ′是B 关于y 轴的对称点，QB 与⊙O 的另交点A ′是A 关于y 轴的对称点． ∴QA 与QB 关于y 轴对称．∴k 1＋k 2＝0． (3)〔法一〕设M (x ,y )，则由MO ＝62MQ ， 得x 2＋y 2＝62x 2＋(y －1)2⇒x 2＋y 2－6y ＋3＝0⇒x 2＋(y －3)2＝6． 由(2)知，M (－4k k 2＋1,4k 2＋1)，∴(－4k k 2＋1)2＋(4k 2＋1)2－6×4k 2＋1＋3＝0⇒k ＝±153，与k 2＞3矛盾．∴满足条件的l 不存在． 〔法二〕设M (x ,y )，则由MO ＝62MQ ， 得x 2＋y 2＝62x 2＋(y －1)2⇒x 2＋y 2－6y ＋3＝0⇒x 2＋(y －3)2＝6． 又OM →＝(x ,y )，PM →＝(x ,y －4)，OM →⊥PM →，∴OM →•PM →＝x 2＋y (y －4)＝0⇒x 2＋y 2－4y ＝0⇒x 2＋(y －2)2＝4(0⩽y ＜1)．解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－6y ＋3＝0x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝±152y ＝32．又0⩽y ＜1，该方程组无解，即满足条件的M 不存在．∴满足条件的l 不存在．8．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．〖解析〗(1)设C (a ,0)(a ＞－52)，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．∴⊙C ：x 2＋y 2＝4．(2)①当l AB 的斜率为不为0时，设l AB ：x ＝my ＋1，A (my 1＋1,y 1)，B (my 2＋1,y 2)，N (t ,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 2＋y 2＝4，得(m 2＋1)y 2＋2my －3＝0．∴y 1＋y 2＝－2m m 2＋1，y 1y 2＝－3m 2＋1．若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＋k BN ＝0⇒y 1my 1＋1－t ＋y 2my 2＋1－t ＝0⇒2my 1y 2－(t －1)(y 1＋y 2)＝0⇒－6mm 2＋1＋2m (t －1)m 2＋1＝0⇒m (t －4)＝0，又m ∈R ，∴t ＝4．②当直线AB 重合于x 轴时，恒有∠ANM ＝∠BNM ． 综上，存在点N (4,0)，使得x 轴平分∠ANB ．【注】由题知，l OM ：y ＝0．∵∠ANO ＝∠BNO ，∴M ,N 是⊙O 的一对反演点，且N 在OM 的延长线上． 设N (t ,0)(t ＞1)，则OM ＝1，ON ＝t ．∴OM •ON ＝r 2⇒t ＝4． 故存在点N (4,0)，使得x 轴平分∠ANB ．。
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠，散发着独特的魅力。
它不仅是一个具有深刻理论内涵的几何图形，更在实际应用中展现出了强大的威力。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。
阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为定值（这个定值不为 1）的点的轨迹所形成的圆。
假设两个定点分别为 A、B，点 P 满足\（＼frac{PA}｛PB}＝ k\）（＼（k\neq 1\）），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。
让我们通过一个具体的例子来感受一下阿波罗尼斯圆的形成过程。
假设点 A 的坐标为\（（－1, 0)＼），点 B 的坐标为\（（1, 0)＼），且\（k ＝ 2\）。
那么，我们可以设点 P 的坐标为\（（x, y)＼）。
根据两点间的距离公式，＼（PA ＝＼sqrt{（x ＋ 1)＾2 ＋ y^2}＼），＼（PB ＝＼sqrt{（x 1)＾2 ＋ y^2}＼）。
因为\（＼frac{PA}｛PB} ＝ 2\），所以\（＼frac{＼sqrt{（x ＋ 1)＾2 ＋ y^2}｝｛＼sqrt{（x 1)＾2 ＋ y^2}｝＝ 2\），两边平方并化简可得\（（x ＼frac{5}｛3}）＾2 ＋ y^2 ＝＼frac{16}｛9}＼），这就是一个以\（（＼frac{5}｛3}， 0)＼）为圆心，以\（＼frac{4}｛3}＼）为半径的圆。
阿波罗尼斯圆具有许多有趣的性质。
比如，圆心在线段 AB 的中垂线上；当两个定点之间的距离固定时，比值\（k\）越大，圆的半径就越大；而且过两个定点的直线与阿波罗尼斯圆相交，交点到两个定点的距离之和等于圆的直径等等。
那么，阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢？在物理学中，它可以用来研究带电粒子在电场中的运动轨迹。
当电场强度的分布满足一定条件时，带电粒子的运动轨迹可能会形成阿波罗尼斯圆。
这有助于我们更好地理解和预测带电粒子的运动行为。
在工程设计中，阿波罗尼斯圆也能发挥作用。
微专题16 阿波罗尼斯圆问题梳理及其运用
在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 经过 A(0，2)，O(0，0)，D(t， 0)(t>0)三点，M 是线段 AD 上的动点，l1，l2 是过点 B(1，0)且互相垂直 的两条直线，其中 l1 交 y 轴于点 E，l2 交圆 C 于 P，Q 两点． (1)若 t＝PQ＝6，求直线 l2 的方程； (2)若 t 是使 AM≤2BM 恒成立的最小正整数，求三角形 EPQ 的面 积的最小值．
2
2
2
2
串讲 2 已知点 P 是圆 O：x2＋y2＝25 上任意一点，平面上有两个定点 13 1 M(10，0)，N( 2 ，3)，则 PN＋2PM 的最小值为
5
．
解析： 设 x 轴上一定点 Q(m， 0)， 记 PM∶PQ＝λ， P(x， y)， 由 PM∶PQ ＝λ 得(x－10)2＋y2＝λ2[(x－m)2＋y2]，化简得(λ2－1)x2＋(λ2－1)y2＋(20 －2mλ2)x＋(λ2m2－100)＝0，因为 x2＋y2＝25，所以
2 解析：依题意，PA2＝PO2－12，PB2＝PO2 － 2 ，因为 PB＝2PA，所 1 2 2 2 2 以 PB2＝4PA2，所以 PO2 － 4 ＝ 4( PO － 1 ) ， 可得 PO ＝ 4 PO ，设 P(x， 1 1
4 2 2 64 y)，可得(x－4 )＋y ＝4(x ＋y )化简得(x＋3) ＋y ＝ 9 .所以满足条件的
2 2 2 2
4 8 点 P 在以(－3，0)为圆心，3为半径的圆上，又因为点 P 在直线 x＋ 3y 4 |－3－b| 8 －b＝0 上，且恰有两个点，所以直线和圆应该相交，所以 <3， 1＋ 3 20 解得－ 3 <b<4.
变式 2 已知点 A(－2，0)，B(4，0)，圆 C：(x＋4) ＋(y＋b) ＝16，点 P PA 是圆 C 上任意一点，若PB为定值，则 b 的值为 0 ．
阿氏圆作法及应用
阿氏圆几何画板作法及应用我们知道，到两定点F 1、F 2的距离之和为定值（大于F 1F 2）的点M 的轨迹为椭圆，而距离之差为定值（小于F 1F 2）的点M 的轨迹为双曲线，那么圆是否有相类似的结论呢？答案是肯定的，事实上满足到两定点F 1、F 2的距离之比为定值t(t>0且t ≠1)点M 的轨迹为圆，这个结论是阿波罗尼(Apollonius ，约前260～前190)发现的，所以往往称为阿波罗尼圆。
但圆的这一性质比较“隐晦”，为帮助学生直观理解需要我们创设“所见即所得”的教学情境，本文以几何画板5.0为例谈谈在画板环境中阿波罗尼圆的构造方式，并与读者分享画板中自定义工具功能的实现与应用。
一、阿波罗尼圆的画板实现1.几何构造法实现阿波罗尼圆步骤1、构造一直线上两点F 1、F 2，新建参数t ，其初值赋为2；步骤2、度量计算1t t +并标记为比值，双击点F 1标记为中心，选中F 2按标记比值缩放得到点P ；步骤3、度量计算1t t --+并标记为比值，双击点F 1标记为中心，选中F 2按标记比值缩放得到点得到点Q ； 步骤4、构造线段PQ 并构造线段PQ 的中点C ，以C 为圆心以P 为圆上一点构造圆C 。
试试效果如何？取圆C 上任意一点M 构造线段MF 1、MF 2，并先后选中两线段度量比值，拖动点M 会发现比值不变并且与参数t 值恒相等（如图1所示）。
2.解析构造法实现阿波罗尼圆步骤1、在x 轴上任取两点F 1、F 2，度量其横坐标将标签分别设为x 1、x 2，新建参数t 初值赋为3；步骤2、计算121x tx t++，选中后点击〖绘图〗菜单中的〖在轴上绘制点〗命令，在弹出窗口中选择“绘制”按纽得到点P ；步骤3、计算121x tx t--，重复步骤2可得到点Q ； 步骤4、同方法一，以PQ 为直径构造圆C 。
我们也可仿照方法一验证效果（如图2所示）。
3.实现方法构造详解及比较从以上构造过程我们可以发现，确实阿波罗尼圆关键在于找到圆与直线F 1F 2的交点P 、Q （因为圆C 以PQ 为直径）。
阿波罗尼斯圆定理及应用
x
l
A
O
y
例2、(08年江苏，13题)若AB=2，AC= √2 BC，则三角形ABC的面积的最大值是____。
变式：
在等腰三角形ABC中，如图，AB=AC，BD 是腰AC的中线，且BD= √3 ，则 三角形 ABC面积的最大值是________
A
D
B
C
课后巩固，检验定理
课后作业: 1、已知点P是圆O：x2+y2=25上任意一点， 平面上有两个定点M（10，0），N（13/2,3） 则PN+1/2PM的最小值为_____
特殊到一般，提出猜想
猜想：平面内到两个定点的距离之比为定值 的动点轨迹是圆。
总结提炼 ，得到定理
阿波罗尼斯圆定理：在平面上给定两点A,B 设点 P 在同一平面上，且满足 PA/PB= λ ， 当 λ>0且λ ≠1 时，点 P 的轨迹是一个圆。 称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。 （当 λ=1 时，点 P 的轨迹是线段AB的垂直平 分线）
2、一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方 向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东 30 °方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉 私艇立即追击。已知缉私艇的最大航速是走私船 最大航速的3倍。假设缉私艇和走私船均按直线 方向以最大航速航行。问：无论走私船沿何方向 逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说 明理由。
阿波罗尼斯圆定理及其应用
.
教材入手，奠定基础
问题1 （必修2 习题2.2（1）探究拓展第12题）已知 点M（x,y）与两点O（0,0），A（3,0） 的距离之比为 1/2 ，那么点M的坐标应满足什 么关系？
教材入手，奠定基础
问题2 （选修2-1.2.6.2求曲线的方程例2）求平面内 到两定点A，B的距离之比为2的动点M的轨迹 方程。
(新)中考数学二次函数阿氏圆问题专题讲解课件
（3）如图 2，在 x 轴上取点 D（4，0），连接 PD、CD ∴BD＝5﹣4＝1 ∵AB ＝4，BP＝2 ∴ ∵∠PBD＝∠ABP ∴△PBD∽△ABP ∴
∴PD＝ AP
∴PC+ PA＝PC+PD
∴当点 C、P、D 在同一直线上时，PC+ PA＝PC+PD＝CD 最小
∵CD＝
∴PC+ PA 的最小值为
2
2
2
y
P
A
M BO N x
思路 2：根据“阿氏圆”中的特殊位置． 当 P 点运动到 M 点位置时，有 MA：MB=3：1， 考虑到 A（-1，0）、M（2，0）， 可得 MB=1， 考虑到 A、M、B 共线且 B 点在 M 点右侧， 可得 B 点坐标为（3，0）．
补充：这里的圆 O 与点 A 及 PA：PB 的比值都是配套存在的，思路 2 虽有投机取巧之嫌， 却是根据“阿氏圆”定义求出的 B 点，还好用．
中考专题复习讲解课件
那么这个玩意和最值有什么关系呢？比如可以将练习 2 稍加修改，即可变成最值问题：
练习
2（改）：已知在坐标系中，点
A（-1，0），P
是以点
7 2
,
0
为圆心， 3 2
长为半径的圆，
Q（2，2），求 PQ+ 1 PA 的最小值．
3
y
【分析】
问题中的 PQ 暂时不用管，先处理好 1 PA ，考虑到 P 点轨迹是个圆，且要构造 1 PA ，大胆
中考专题复习讲解课件
练习 3：关于系数 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点 C 为圆心，2 为半径作圆，分别交 AC、BC 于 D、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则 1 PA PB 的最小值为__________．
阿波罗尼斯圆及其应用
阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中，阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。
它宛如一颗璀璨的明珠，闪耀着智慧的光芒，为解决众多几何问题提供了独特而有效的途径。
要理解阿波罗尼斯圆，首先得从它的定义说起。
阿波罗尼斯圆指的是：平面内到两个定点的距离之比为常数（不为 1）的点的轨迹是一个圆。
这个定义听起来或许有些抽象，但通过具体的例子就能清晰许多。
假设平面上有两个定点 A 和 B，点 P 满足｜PA|／｜PB| ＝ k（k 不为 1），那么点 P 的轨迹就是一个阿波罗尼斯圆。
当 k ＞ 1 时，点 P的轨迹是以线段 AB 的内分点为圆心的圆；当 0 ＜ k ＜ 1 时，点 P 的轨迹是以线段 AB 的外分点为圆心的圆。
那么，阿波罗尼斯圆有哪些独特的性质呢？其一，圆心一定在线段AB 的垂直平分线上。
这是因为圆的对称性，使得圆心必然位于这条对称轴上。
其二，圆与线段AB 的两个端点的连线所成的夹角是恒定的。
接下来，让我们看看阿波罗尼斯圆在实际问题中的应用。
在几何问题中，它常常能帮助我们快速找到满足特定条件的点的位置。
例如，已知三角形的两个顶点以及这两个顶点到第三个顶点的距离之比，我们就可以利用阿波罗尼斯圆来确定第三个顶点的可能位置。
在物理学中，阿波罗尼斯圆也有其用武之地。
比如在电场问题中，当两个等量同种电荷形成的电场中，等势线的形状就类似于阿波罗尼斯圆。
通过对阿波罗尼斯圆的理解和运用，我们能够更深入地分析电场的分布和性质。
在工程设计中，阿波罗尼斯圆也能发挥作用。
比如在道路规划中，如果需要设计一条弯道，使得车辆在通过时从两个特定点观察到的视线角度保持一定比例，就可以借助阿波罗尼斯圆来确定弯道的形状和位置。
在数学竞赛中，阿波罗尼斯圆更是常常成为解题的关键。
例如，在一些复杂的几何证明题中，巧妙地引入阿波罗尼斯圆的概念，能够化繁为简，找到解题的突破口。
再举一个具体的例子来说明。
假设有一个三角形 ABC，已知 A、B两点的坐标以及｜PA|／｜PB| ＝ 2，要求出点 P 的轨迹方程。
高考数学一轮专项复习ppt课件-阿波罗尼斯圆与蒙日圆(北师大版)
√D.若矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2
对于A，过点Q(a，b)可作椭圆的两条互相垂直的切线x＝a，y＝b， ∴点Q(a，b)在蒙日圆上， ∴蒙日圆方程为x2＋y2＝a2＋b2， 由 e＝ac＝ 1－ba22＝ 22得 a2＝2b2，
例2 (1)(2023·抚松模拟)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该
定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心 的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：a＋x2 2＋ya2＝1(a>0)的蒙日 圆的方程为x2＋y2＝4，则a等于
√A.1
B.2
C.3
D.4
∵椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上， 找两个特殊点分别为(0， a)，( 2＋a，0)， 则两条切线分别是 x＝ 2＋a，y＝ a， 这两条切线互相垂直，且两条直线的交点为 P( 2＋a， a)， 而 P 在蒙日圆上，∴( 2＋a)2＋( a)2＝4，解得 a＝1.
性质 3 kOA·kPA＝－ba22，kOB·kPB＝－ba22(垂径定理的推广). 性质4 PO平分椭圆的切点弦AB. 性 质 5 延 长 PA ， PB 交 蒙 日 圆 O 于 两 点 C ， D ， 则 CD∥AB. 性质 6 S△AOB 的最大值为a2b，S△AOB 的最小值为aa2＋2b2b2. 性质 7 S△APB 的最大值为a2＋a4 b2，S△APB 的最小值为a2＋b4 b2.
由A知，a2＝2b2，则c2＝a2－b2＝b2，即c＝b， ∴F1 到直线 l 的距离 d′＝|－bca－2＋a2b－2 b2|＝|－b2－32bb2－b2|＝433b， ∴(d－|AF2|)min＝433b－2a，C 错误； 对于D，当矩形MNGH的四条边均与椭圆C相切时，蒙日圆为矩形 MNGH的外接圆，
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P 信息技术应用 140
引例 :已知点P(2, 0),Q(8, 0), 点M与点P的距离是它与点Q的 距离的 1 ,用《几何画板》探求M的轨迹,并给出轨迹方程.
5
1、几何画板演示
结论1 : M的轨迹是一个圆.
2、求动点轨迹方程的一般步骤
(1)建系 (2)设点, 动点坐标一般设为( x, y) (3)列式 (4)化简
M
上.
2
m 1,圆心在M2的右边, 0 m 1,圆心在M1的左边
3、当m 1时, 轨迹为线段的垂直平分线 M
M1
M2
三、阿波罗尼斯圆的方程推导
追本溯源：必修二P144复习参考题B组第2题
已知点M与两个定点M1
,
M
距离的比是一个
2
正数m ,求点M的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图
形(m 1时).
《圆锥曲线论》是一部经典巨作,书中蕴含坐标思想, 这给后世坐标的建立具有很大的启发 。
二、阿波罗尼斯圆的定义
平面内到两个定点的距离之比为常数m(m 0且m 1) 的点的轨迹是 圆.这个圆叫做阿波罗尼斯圆.
M
简称为阿氏圆.
温馨提示 :
1、m 0且m 1
M1
M2
2、圆心在两定点所在的直线上,
且不在线段M1
(去掉与x轴的交点)
所以点C到AB的距离的最大值为半径2 2
SABC
最大值为
1 2
2
2
2=2
2. 巧解高考难题
小结 :已知两定点和比值可以求阿氏圆的方程
例2、(2013年江苏高考)在平面直角坐标系xOy中, 点A(0, 3),
圆C的半径为1,圆心C在直线l：y＝2x 4上, 若圆C上存
在点M ,使得MA＝2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
分析：M 既在圆C 上, 也在以A, O为定点的阿氏圆上
转化为两圆有公共点 转化为圆心距与半径的关系
解 :由已知条件,圆心C的坐标为(a, 2a 4). y
圆C的方程为( x a)2 ( y 2a 4)2 1A
l
因为MA 2MO,可设M ( x, y),
则 x2 ( y 3)2 2 x2 y2 整理得x2 ( y 1)2 4,设为圆D
(1)建系
以线段M1
M2所在直线为x轴,
线段M1
M
的中垂线
2
为y轴建立平面直角坐标系, 如图所示.
设M1 M 2＝2a .
y
M
则M1(a, 0), M2(a, 0)
M1 O M 2 x
三、阿波罗尼斯圆的方程推导
yM
(2)设点 设M( x, y),
M1
a O
(3)列式
由 MM1 m 得
( x a)2 y2 m
一、问题引入
追本溯源：必修二P144复习参考题B组第2题
已知点M
与两个定点M
1
,
M
距离的比是一个
2
正数m ,求点M的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图
形(考虑m 1和m 1两种情形).
当m 1时, 表示线段M1M2的垂直平分线.
下面我们只考虑m 1时的情形
为了解决这个问题 ,我们先看一种具体情况.
)2
表示圆心为(
m m
2 2
1 1
a, 0), 半径为
2ma m2 1
的圆.
问题解决
已知点M
与两个定点M1
,
M
距离的比是一个
2
正数m ,求点M的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图
形(考虑m 1和m 1两种情形).
(以线段M
1
M
2所在直线.为x轴,
线段M1
M
的中垂线
2
为y轴建立平面直角坐标系, 设M1 M 2＝2a .)
分析：圆C是以A、B为定点的阿氏圆
Py
点B在x轴上, 且点A的右边 当点P运动到O点时,OA 2
4 2
CA O B x
OB 4
小结 :已知一定点、阿氏圆和比值可以求另一定点
作为一个填空题，我认为这样的解决方案是最快的， 下面我给出一个一般的解答过程
例3、已知A(2, 0), P为圆C : ( x 4)2 y2 =16上任意一 点,若点B满足2 PA ＝ PB ,则B的坐标为_B_(_4_,0_)_.
m 1,圆心在右边
0 m 1,圆心在左边
二、阿波罗尼斯圆的定义
平面内到两个定点的距离之比为常数m(m 0且m 1)
的点的轨迹是 圆.这个圆叫做阿波罗尼斯圆.
简称为阿氏圆.
M
人物介绍：
M1
M2
人物介绍
阿波罗尼奥斯(约公元前262 190年), 古希腊著名数学家 , 与欧几里得、阿基米 德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代世 界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网 罗殆尽, 几乎使后人没有插足的余地, 阿波 罗尼斯圆是他论著中的一个著名问题,也是 其研究成果之一。
MM 2
( x a)2 y2
(4)化简 ( x a)2 y2 m2 ( x a)2 m2 y2
M2
ax
即(m2 1)( x2 y2 ) 2a(m2 1)x (m2 1)a2 0
x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y2
2a(m2 1) (m2 1)
x
a2
0
(x
m2 m2
1 a)2 1
y2
(
2ma m2 1
(1)当m
1时,
轨迹方程：x
0,
表示线段M1
M
的中垂线.
2
(2)当m 1时,
轨迹方程：( x
m2 m2
1 1
a)2
y2
(
2ma m2 1
)2
表示以(
m m
2 2
1 a, 0)为圆心,以 1
2ma m2 1
为半径的圆.
四、阿波罗尼斯圆的应用
R 2am
例1(2008江苏卷13)若AB 2, AC 2BC,
P 信息技术应用 140
引例 :已知点P(2, 0),Q(8, 0), 点M与点P的距离是它与点Q的
距离的 1 ,用《几何画板》探求M的轨迹,并给出轨迹方程. 5
几何画 板演示
改变比值
结论1 : M的轨迹是一个圆.
M的轨迹方程为 : ( x 7)2 y2 (5)2
4
4
几何画 板演示
结论2 : (1)M的轨迹是一个圆. (2)圆心在线段的延长线上.
m2 1
则SABC最大值是__2__2__.
分析：C点在以A、B为定点的阿氏圆上
y
C
解 : 如图建系A(1, 0), B(1, 0),设C( x, y)
( x 1)2 y2 2( x 1)2 2 y2 A O B
x
化简得 ( x 3)2 y2 8( y 0)
于是C的轨迹是以(3, 0)为圆心, 2 2为半径的圆
O
C
D
x
点M既在圆C上又在圆D上,即圆C与圆D有公共点。
1 CD 3 1 a2 (2a 3)2 3
0 a 12 , 从而a的取值范围是[0, 12].
5
5
例3、已知A(2, 0), P为圆C : ( x 4)2 y2 =16上任意一 点,若点B满足2 PA ＝ PB ,则B的坐标为_B_(_4_,0_)_.