西南交通大学2016大物作业10

μ ωr
0
σ
R
ω
3．一线圈由半径为 0.2m 的1 4 圆弧和相互垂直的二直线组成，通以
电v流 2A ，把它放在磁感应强度为 0 .5 T 的均匀磁场中（磁感应强度 B 的方向如图所示）。求：
I
（１）线圈平面与磁场垂直时，圆弧
∩
AB
所受的磁力。
（２）线圈平面与磁场成 60° 角时，线圈所受的磁力矩。
L
[ F ] 2．通有电流的线圈在磁场中受磁力矩作用，则不受磁力作用。
解：也要受到磁场力的作用，如果是均匀磁场，那么闭合线圈所受的合力为零，如果是
非均匀场，那么合力不为零。
[解：F根]据3．fv =带q电vv粒× 子Bv ，匀如速果穿带过电某粒空子间的而运不动偏方转向，与则磁该场区方域向内平无行磁，场那。么它受力为 0，一
=
μI 。 2π r
三、计算题
1.如图，一半径为 R 的带电塑料圆盘，其中有一半径为 r 的阴影部分均
匀带正电荷，面电荷密度为 + σ ，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度
dξ
为 − σ ，当圆盘以角速度ω 旋转时，测得圆盘中心 O 点的磁感应强度为
零，问 R 与 r 满足什么关系？
ξR
Or
解：带电圆盘转动时，可看作无数圆电流的磁场在 O 点的叠加。
互间隔，但不超出积分回路，则
[B]
∑r
(A) 回路 L 内的 I 不变，L 上各点的 B 不变
∑r
(B) 回路 L 内的 I 不变，L 上各点的 B 改变
∑ (C) 回路 L 内的
I
改变，L
上各点的
r B
不变
∑ (D) 回路 L 内的
I
改变，L
上各点的
r B
改变
∑解：因改变三根导线之间的相互间隔，但不超出积分回路，则安培回路r 内电流的代数和
与 vj 平行半圆形刚性线圈所受磁力矩为 M = 1 πR 2 I × B sin 0o = 0 2
由安培定律与 vj 平行半圆形刚性线圈直边和弯曲边所受力大小相等，方向相反，为 与 vj 平行半圆形刚性线圈受力为 0。
c
4. 如图所示，在真空中有一半径为 ar的 3/4 圆弧r 形的导线，其中通 以稳恒电流 I，导线置于均匀外磁场 B 中，且 B 与导线所在平面垂 I
R r
1 2
μ 0σωdξ
=
1 2
μ 0σω (R
−
r)
而题设 B+ = B− ，故得 R=2 r
2．如图所示，一半径为 R 的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为 σ ，该筒以角速度ω
绕其轴线匀速旋转，试求圆筒内部的磁感应强度。
解：带电圆筒旋转相当于圆筒表面有面电流，单位长度上电
ω
流为；
σR
i = 2πRσ ⋅ ω = Rσω 2π
圆与匀筒长磁外直场通 ，BvB电v=的螺0 。方线作向管如与内图磁ωv所场一示分致的（布安若类培σ似环。<0圆路，筒则L内，相为由反均安）。
ω
∫ 培环路定理：
Bv
⋅
d
v l
L
=
B ⋅ ab
=
μ 0 ab ⋅ i
得圆筒内磁感应强度大小为：
σR
源自文库
a
bi
d
c
L
B r 写成矢量式： B
= =
μ μ
0i 0σ
= R
L1
∫ ⋅ ∫ ⋅ (B)
v L1 B
v dl
≠
v L2 B
v dl ,
BP1 = BP2 ．
L1
L2
I1⊙I⊙2 (a)
P1 I1⊙I⊙2 L2 (b)
P2⊙ I3
∫ ⋅ ∫ ⋅ (C)
v B
v dl
=
v B
v dl ,
BP1 ≠ BP2 ．
∫ ⋅ ∫ ⋅ (D)
v L1 B
v dl
≠
L2
Bv
v dl ,
确；若闭合曲线上各点
v H
均为零，那么
Hv
的环流为
0，必然穿过该曲线的传导电流代数
和要为零。所以选 D
5．有一半径为 R 的单匝圆线圈，通以电流 I，若将该导线弯成匝数 N = 2 的平面圆线圈，
导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的
[ B ] (A) 4 倍和 1/8
I 不变；空间各点磁场与电流的位置(分布)有关，所以 L 上各点的 B 将改变。 选 B
3．如图所示，一固定的载流大平板，在其附近，有一载流小线框能自由转动或平动。线
框平面与大平板垂直，大平板的电流与线框中电流方向如图所示，
则通电线框的运动情况从大平板向外看是：
B
v
[ C ] (A)靠近大平板 AB (B)顺时针转动
∩
直，则该载流导线 bc 所受的磁力大小为
2aBI 。
a
O a bv B
解：在均匀磁场中，圆弧电流所受的磁力与通过同样电流的弧线 bc 所受的磁力相等，其
大小为由安培定律可得： F = BI 2a = 2aBI
5．长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体中有等值反向均匀电流 I
通过，其间充满磁导率为 μ 的均匀磁介质。则介质中离中心轴距离为 r 的某点处的磁场
Hv
v dl
=
Ii
L
都能成立，因此利用安培环路定理可以求出任何电流回路在空间任一处产生
的磁场强度。
解：安培环路定理的成立条件是：稳恒磁场，即稳恒电流产生的磁场。但是想用它来求
∫ ⋅ ∑ 解Hv磁d场lv，= 必I须i 中是的磁积场分分简布单具地有积某出种来对。称才性能，算这出样磁才场能强找度到矢合量适的的分安布培。环路，才能将
m)
B Bv
O
B v B
o
vB
(C)逆时针转动
(D)离开大平板向外运动。
I1
Pm
I2
解：因载流大平板产生的磁场平行于平板，方向如图所示。则线
圈在磁场中所受的磁力矩为：
r M
=
r Pm
r ×B
可知：磁力矩方向垂
A
直并指向载流大平板，所以从平板向外看，线圈逆时针转动。故选 C
量的A[解4．不均：H关vD正相H于v不确等稳是一；，] 恒总定穿若电场为过(闭(((ADCB流，以合))))0磁与，若以若闭曲Hv场空所闭闭闭合线仅的间以合合合曲内与磁所曲曲曲线没B传场有线线线Ｌ有也导强的内Ｌ上为传不电度电没为各边导正流流H有边点缘电确v有（，传缘的流；H关v包下导的任穿对均括列电任意过于为回几流意曲，稳零路种穿曲面只恒，内说过面的能电则外法，的说流H该v的中则明的H曲通v传哪曲磁H通线量导v个线场量中是电的是上，均穿不流环正各穿相过一和流确点过等的定磁为的的任传相化？0意H导等v，电封必电的闭流闭为流，合）曲所零代曲有面以数线关的和上C，为H各所不v 零点以通正
解：（１）在均匀磁场中，弦线
AB
所受的磁力与弧线
∩
AB
通一同样的
电流所受的磁力相等。
由安培定律得：
A
v FAB
F∩
AB
=
F AB
=
2RIB =
2 × 0.2 × 2 × 0.5 = 0.283(N)
∩
方向与 AB 弧线垂直，与 OB 夹角为 45° ，如图所示。
（２）线圈的磁矩：
nv
与
Bv
v Pm
=
I I
对于电流 I 的正负的规定为：电流的流向和环路绕向成右手螺旋为
正，成左手螺旋为负。
2．图为四个带电粒子在 O 点沿相同方向垂直于磁感线射入均匀磁
场后的偏转轨迹的照片．磁场方向垂直纸面向外，轨迹所对应的四
个粒子的质量相等，电荷大小也相等，则其中动能最大的带负电的
粒子的轨迹是
。
vb a B
O cd
ω
取半径为ξ ，宽为 dξ 的圆环，其上电流
d i = σ 2πξ dξ ⋅ ω = σωξ dξ 2π
它在中心 O 产生的磁感应强度为： dB
=
μ0d i 2ξ
=
1 2
μ 0σωdξ
∫ 正电荷部分产生的磁场为： B+ =
r 0
1 2
μ 0σω dξ
=
1 2
μ
0σω
r
∫ 负电荷部分产生的磁场为： B− =
BP1 ≠ BP2 ．
［C］
∫ ∑ ∫ ⋅ ∫ ⋅ L1
L2
解：根据安培环路定理
v B
⋅
d
v l
L
=
μ0
内
I
，可以判定
v B
L1
v dl
=
v B
L2
v d l ；而根据磁场
叠加原理（空间任一点的磁场等于所有电流在那点产生的磁场的矢量叠加）知，BP1 ≠ BP2
2．取一闭合积分回路 L，使三根载流导线穿过它所围成的面。现改变三根导线之间的相
I
μI
强度大小 H =
2π r ，磁感应强度的大小 B =
2π r
。
∫ ∑ 解由：有磁以介轴质线为时圆安心培，环r路为定半律径L作HHvv一⋅⋅圆dd llvv形==回H内路⋅I，20π可r得=：I ∫L
于是 r 处磁场强度大小为： H = I 2π r
μ
I r
IL
又B
=
μH
，故 r 处磁感应强度大小为： B = μH
载流为 I 半径为 R 的半圆形刚性线圈，线圈平面与载流大平板垂
直，与 vj 平行线圈所受磁力矩为_____________________，受力
vj
II R
为________________。
解：均匀载流无限大平板附近磁场方向垂直半圆形刚性线圈向里，载流为 I 半径为 R 的
半圆形刚性线圈磁矩 pv m 垂直半圆形刚性线圈向里，由 Mv = pv m × Bv 有
解：当小磁针的 N 极指向纸内时，说明环形电流所产生的磁场是指向纸内，
根据右手螺旋定则判断出电流的方向是顺时针的。
二、选择题：
1．在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路 L1、
L2，圆周内有电流 I1、I2，其分布相同，且均在真
空中，但在(b)图中 L2 回路外有电流 I3，P1、P2 为
∫ ⋅ ∫ ⋅ 两圆形(A回) 路上Bv的d对lv应=点，Bv 则d：lv , BP1 = BP2
IS nv
=
2×
夹角为 (90° − 60°)
1 π × 0.22 nv = 2π ×10−2 nv 4 = 30° ，所受磁力大小为
I
A
R
M = Pm B sin 30°
= 2π ×10−2 × 0.5 × 1 2
v M
的方向将驱使线圈法线
nv
转向与 Bv 平= 1行.57
× 10 −2
(N
⋅
©西南交大物理系_2016_02
《大学物理 AI》作业 No.10 安培环路定律 磁力 磁介质
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、判断题：（用“T”和“F”表示）
∫ ⋅ ∑ [
F
]
1．在稳恒电流的磁场中，任意选取的闭合积分回路，安培环路定理
m
m
4 2m
所以选 B
三、填空题：
∫1．Bv 两⋅ d根lv分长别直等导于线：通有电流 I，在图示三种环路中，
_______ μ0 I ____（对于环路 a）。
_________0________（对于环路 b）。
∫∫∫ ∫ ∑ _解__：__对对对根__于 于 于据__安abc2：：：培μ0环I LLL_路B_BBvvv_定⋅⋅⋅_ddd_理（lllvvv，===对μμμ于L000Bv环(I(II⋅路d+−lvIIc)=)）。==μ200 μ内0
解：根据带电粒子在磁场中的受力：
v f
=
qvv
×
v B
，可判定带负电的是
oc,od;
根据粒子
在磁场中运动的半径为 R =| mv | ，半径越大的速率越大，而质量又相当，所以当然动能 qB
也越大。因而其中动能最大的带负电的粒子的轨迹是 oc。
3．如图，在面电流密度为 vj 的均匀载流无限大平板附近，有一
(B) 4 倍和 1/2
(C) 2 倍和 1/4
(D) 2 倍和 1/2
解：由于导线长度不变，那么： 2πR = 2πR'⇒ R' = R ,圆电流的在圆心处的磁场 2
为： B
=
μI 0
, B'=
N
μI 0
=
μI 20
= 4B
2R
2R' R
线圈的磁矩为： P = IS = IπR2 ， P ' = 2IS' = 2IπR'2 = 2Iπ R2 = 1 P
样不偏转，做匀速直线运动。
[
F
]
4.真空中电流元
I1d
v l1
与电流元
I
2
d
v l2
之间的相互作用是直接进行的，且服从牛
顿第三定律。
解：两个电流之间的相互作用是通过磁场进行的，不服从牛顿第三定律。
[ T ] 5.在右图中,小磁针位于环形电流的中心。当小磁针的 N 极指向纸 内时,则环形电流的方向是顺时针方向。