高斯小学奥数四年级下册含答案第01讲_从洛书到幻方

第一讲 从洛书到幻方
大家仔细观察一下右侧这个3行3列的数阵图，很快就会发现一个有趣的现象：它的每行、每列以及每条对角线上3个数之和都等于15！像这样行和、列和以及对角线和都相等的方形数阵图就称为幻方．这些相等的和我们就称为幻和．
幻方有大有小，刚才的这个幻方是3行3列的，因此也叫做三阶幻方；如果幻方是4行4列的，我们就称之为四阶幻方；至于五阶、六阶幻方的含义依此类推．
右图是一个基本三阶幻方，其实任意一个三阶幻方都是可以由它变化而来的．比如用2至10构建一个三阶幻方，那么只需要把基本三阶幻方中的每一个数都加1即可；又如用2，4，6，…，16，18构建一个三阶幻方，那么只需要把基本三阶幻方中的每一个数都乘2即可．
因此，学会构建三阶幻方的方法，我们就可以很轻松地构建无数个三阶幻方． 我们先来学习一种很快构建三阶幻方的方法．我国古代的数学家概括其构建方法为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出”．如下图所示：
例题1
用3，6，9，…，24，27这9个数构建一个三阶幻方．
「分析」用3，6，9，…，24，27构建三阶幻方与用1~9构建三阶幻方有什么联系呢？ 练习1
用7，14，21，…，56，63这9个数构建一个三阶幻方．
下面我们来学习一般幻方的填法，包括三阶、四阶、五阶或更高阶幻方． 例题2
如下图，在44 的方格表中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的所填数之和都相等．
「分析」每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等，你能算出这个和是多少吗？
1和9对调 3和7对调
1
2
3
4
5 6 7
8
9
9
2
7
4
5
6 3
8
1 4、2、8、6 分别往外拉
9 2 7 4 5 6
3 8
1
练习2
在右图44⨯的方格表中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的所填数之和都相等．那么“&”处所填的数是多少？
有些时候一开始幻和是求不出来的，这个时候需要利用一类基本的数学思想——比较法来推导．如右图三阶幻方，我们取出有公共格（★）的一行一列．由于行和与列和相同，因此去掉“★”公共格后，剩下数的和仍然相同．也就是说，因此A 就等于6．这种方法我们称之为比较法，
通过对有公共格的两条直线进行比较分析，可以确定一些未知的空格．比较法是解决幻方问题非常重要的一种方法．
例题3
请完成图中的三阶幻方：
「分析」利用题目中已填的数是无法直接算出幻和的，可以利用“比较法”填出一些数，进而计算幻和吗？
练习3
请完成图中的三阶幻方：
三阶幻方是结构最简单的幻方，它还有三个常用的重要性质：
（1）幻和等于幻方中心方格内所填数的3倍，如右图所示，即幻和3A =⨯
（2）所有经过中心方格的行、列或对角线上的三个数，均构成等差数列；
（3）位置如a 、b 、c 所示的三个格子满足如下关系：2b c a +=⨯．
例如：右面的幻方中，有：
（1）幻和等于3515⨯=； （2）4、5、6，2、5、8，9、5
、1，3、5、7均成等差数列；
（3）2417⨯=+，2879⨯=+，2639⨯=+，2213⨯=+．
利用以上的几个性质，就可以非常快捷地填出有空缺的三阶幻方．
587A +=+
（1）请完成左下图中的三阶幻方．
（2）在右下图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于27．
「分析」尝试用一下三阶幻方重要性质解决问题吧！ 练习4
（1）请完成左下图中的三阶幻方．
（2）已知右下图这个幻方的幻和等于30，这个幻方中最大的数字是多少？
在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的5个方格中的各数之和都相等．
「分析」试着找一下交叉的两个幻和，能否应用“比较法”填出一些格子，进而计算出幻和呢？
比较法就是通过对两条有公共部分的直线进行幻和的比较，从而求出幻方中的一些未知数．这个方法不仅适用于幻方，也适用于一些与幻方类似（相等和数）的数阵图问题．所以比较法在数学学习中是一种很重要的数学思想和解题方法． 例题6
将1、2、3、5、6、7、9、10、11填入图中的小圆圈内，使得每条直线上三个圆圈中的数字之和都相等．
「分析」在填写幻方时，我们常常找有公共方格的两条直线进行比较分析，本题我们也可以用类似的方法． 课堂内外
神秘的洛书
相传在我国远古的伏羲氏时代，有一匹龙马游于黄河，马背上负有一幅奇妙的图案，这就是所谓的《河图》．有一只神龟出没于洛水，龟壳上有一些神秘的符号，这就是所谓的《洛书》．伏羲氏知道后，就按照《河图》、《洛书》编制八卦，用以推算历法，预测吉凶等．
在我国的古籍《周易》、《尚书》、《论语》中都有关于《河图》、《洛书》的记载．《周易》的系辞篇里是这样记载的：“河出图，洛出书，圣人则之．”这与上述传说颇相吻合．也许这一记载正是上述传说的来源或记录吧！
明朝的程大位也曾说：“数何肇自图书乎，伏羲氏得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物．”意思是说：“数起源于什么？它起源于河图、洛书吗？伏羲氏得到它后，用它绘制出八卦；大禹得到它后，用客观存在来规划田畴，其客观存在圣贤得到后，用来开发物产．”
那么，河图究竟是一个什么样的图案，洛书究竟是一些什么样的书写符号呢？这在《周易》、《论语》这些典籍中都没有记载．直到宋代，朱熹经解《周易》时，曾派他手下的学者蔡元定去四川，用高价才在民间收购到了华山道士搏传出的《太极图》、《河图》、《洛
书》等．其中《太极图》与现在流传的太极图相同，而《河图》《洛书》则是由一些圆圈点构成的图形，洛书的形状如左下图所示．这与公元前一世纪时我国汉代的《大戴礼》一书中的九宫图相合．所谓九宫，就是将一个正方形用两组与边平行的分割线，每组两条，分割成的九个小正方格．每个小方格分别填入从1到9这九个自然数中的其中一个，不同的方格填入的数不同，使得三横行中每一横行三个数的和（叫行和），三纵列中每一纵列三个数的和（叫列和），两条对角线中每一条对角线上三个数的和（叫对角和）都相等，等于
()123456789315++++++++÷=．
这样得到的图就叫九宫图．与洛书相应的九宫图如右下图所示．
作业
1. 用2、4、6、8、10、12、14、16、18这9个数构建一个三阶幻方．
2. 请将1~16填入图中16个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的各数之和都相等．现
在已经填入了一些数，请补全这个幻方． 3. 请补全下面的三阶幻方．
4. 已知下面这个幻方的幻和等于21，请补完这个三阶幻方．
5.将4、6、8、9、10、12、13、14、17填入图中的圆圈内，使得每条直线上的数之和都
相等．
第一讲 从洛书到幻方
1. 例题1
答案：
详解：这9个数由1~9这9个数乘3得到，因此可根据基本三阶幻方的构建方法，将每个数乘3即可（如右上图）．
2. 例题2
答案：
详解：由第1列可知幻和为7216934+++=，由于每行、每列、每条对角线上和相等，只要某行、某列、某条对角线有三个已知数，就可计算出另一个空格，如第1行第3个数为34712141---=，其他空格依次类推．
3. 例题3
答案：
详解：通过比较第1列和第2行，发现左上角的数是4，这时幻和就可以通过斜对角线求出来是18．
4. 例题4
详解：
（1）中间数是5，幻和就是15，接下来可根据幻和来填其它数．
（2）根据幻和是27，可填出幻方中心的数是9，其他可根据幻和依次填出．
×3
答案：
详
解：如右上图，粗线圈圈出的第二行和第五列有公共格，因此可知()()37826374a =+++-++=；细线圈圈出的第五行和第二列有公共格，因此()()97340878b =+++-++=，由此可知对角线上五个数为8、4、8、2、4，和
为26，因此幻和为26，可结合比较法和幻和填出剩下的空格．
6. 例题6
答案：
详解：使用比较法，右上图中，粗线圈圈出的两条直线有公共格，因此19a b +=+，可知a 比b 大8，则a 、b 可以是11、3，10、2，9、1，其中1、3、9都出现过，因此a 、b 只能是10、2．右上图中，细线圈出的两条直线也有公共格，因此31c d +=+，可知d 比c 大2，c 、d 不能是1、2、3、9、10，因此只能是5、7．剩下两个格也可通过比较法确定．
7. 练习1
答案：
详解：可根据基本三阶幻方的构建方法，将每个数乘7即可．
8. 练习2
答案：15
详解：通过对角线可知幻和为34，从而可依次填出其他数，如右图所示．
答案：
简答：通过比较第1行和斜对角线，发现中间数是18，这时幻和就可以通过斜对角线求出来是54．
10. 练习4
答案：
简答：
（1）中间数是9，幻和就是27，接下来可根据幻和来填其它数．
（2）根据幻和是30，可填出幻方中心的数是10，其他可根据幻和依次填出．
11. 作业1
答案：
简答：由1~9基本三阶幻方得来． 12. 作业2
答案：
简答：根据1~16的总和，能够算出幻和为()123416434+++++÷=，其它根据幻和可以一一填出．
13. 作业3
答案：
简答：根据三阶幻方性质求解．
14.作业4
简答：幻和为21，所以中间数字为7．然后应用三阶幻方的性质
就可以填出其他空格．
15.作业5
答案：
简答：左下角和右上角的两个圆圈中填的数差8，左下角填17，右上角填9．那么9的左边填12，左上角的数比右下角填的数大2，分别为10和8，最中间的圆圈填13．。