第七章 曲线与曲面
高数第七章7-4
2 2
( x − x 0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z 0 )
2
=R
2
(球面方程的标准式 球面方程的标准式) 球面方程的标准式
2 2 2 2 特殊地： 特殊地：球心在原点时方程为 x + y + z = R
将方程（1）展开得 将方程（
2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x0 x − 2 y0 y − 2 z0 z + x0 + y0 + z0 − R = 0
例1
求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为 1 : 2 是曲面上任一点， 设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点， 根据题意有
的点的全体所组成的曲面方程. 的点的全体所组成的曲面方程. 解
| MO | 1 = , | MM 0 | 2
( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4)
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 同理： 同理：
轴旋转一周的旋转曲面方程为 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程
f y, ± x2 + z2 = 0. xoy 坐标面上的已知曲线 f ( x , y ) = 0 绕 y 轴旋转
一周的旋转曲面方程为 一周的旋转曲面方程为
o
x
z
(3) 旋转曲面 定义 一条平面曲线 绕其所在平面上的一条定 直线旋转一周所成的曲面 称为旋转曲面 旋转曲面. 称为旋转曲面. 这条定直 线这条定直线叫旋转曲 ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转一周所得 的旋转面方程。 的旋转面方程。 设旋转面上任意一点 M ( x , y , z ) 是由 yOz 平 面的曲线 f ( y , z ) = 0 上 一点 M1 (0, y1 , z1 ) 绕 z 轴旋转而得的， 则 轴旋转而得的，
曲线与曲面的参数方程
曲线与曲面的参数方程曲线与曲面是数学中的基本概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中有着重要的应用。
本文将介绍曲线与曲面的参数方程，以及它们在实际问题中的应用。
一、曲线的参数方程曲线是平面或空间中的一条连续的线段，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲线上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于二维平面曲线，参数方程通常形式为：x = f(t)y = g(t)其中，t为参数，f(t)和g(t)是与参数t有关的函数。
通过不同的参数t取值，可以得到曲线上的各个点，从而描述整个曲线。
举个例子，考虑单位圆的参数方程。
圆的方程为x² + y² = 1，而参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)其中，参数t的取值范围为0到2π。
当t取0时，x = cos(0) = 1，y= sin(0) = 0，即得到圆的右端点；当t取π/2时，x = cos(π/2) = 0，y =sin(π/2) = 1，即得到圆的上端点；依此类推，当t取2π时，又得到圆的右端点，从而完成了整个圆的参数方程描述。
二、曲面的参数方程曲面是空间中的一片连续的平面区域，它可以用参数方程来表示。
参数方程是指将曲面上的点的坐标用参数表示，而不是直接用坐标表示。
对于三维空间中的曲面，参数方程通常形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，u和v为参数，f(u, v)、g(u, v)和h(u, v)是与参数u和v有关的函数。
通过不同的参数u和v的取值，可以得到曲面上的各个点，从而描述整个曲面。
举个例子，考虑球面的参数方程。
球面的方程为x² + y² + z² = r²，而参数方程为：x = r sinθ cosφy = r sinθ sinφz = r c osθ其中，r为球的半径，θ为极角，范围是0到π，φ为方位角，范围是0到2π。
微分几何的曲线与曲面
微分几何的曲线与曲面微分几何是数学中的一个分支，它研究的是曲线与曲面以及其在空间中的性质和变形。
曲线与曲面是微分几何的基本概念，它们在几何学、物理学和工程学等领域中都具有重要的应用价值。
一、曲线曲线是空间中一条连续的轨迹，可以用参数方程或者向量值函数表示。
对于参数方程，通常使用参数t来表示曲线上的点的位置，而向量值函数则将参数t映射到空间中的点。
在微分几何中，我们通常关注曲线的切向量、弧长、曲率和挠率等性质。
曲线的切向量表示曲线在某一点处的方向，它的大小与曲线在该点的速率有关。
弧长表示曲线上两点之间的距离，它是曲线长度的度量。
曲率是衡量曲线的弯曲程度的量，它描述了曲线在某点附近的几何性质。
挠率则刻画了曲线弯曲的方向。
二、曲面曲面是空间中的一个二维对象，它可以用参数方程、隐函数方程或者显函数方程表示。
参数方程和向量值函数类似，将两个参数u和v 映射到空间中的点。
隐函数方程将曲面表示为一个方程，其中的变量与坐标之间存在一定的关系。
显函数方程则直接给出了曲面的形式。
曲面的法向量、切平面、曲率和高斯曲率等性质是微分几何中研究的重点。
曲面的法向量垂直于曲面上每一点的切平面，它的方向和切平面的变化率有关。
切平面是通过曲面上一点并与该点的切向量垂直的平面。
曲率是衡量曲面的弯曲程度的量，它描述了曲面在某点附近的几何性质。
高斯曲率是刻画曲面弯曲方向的指标，它可以判断曲面上某点处的性质。
三、微分几何的应用微分几何在几何学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
在几何学中，微分几何可以研究曲线和曲面的性质，进而推导出一些几何定理和结论。
在物理学中，微分几何可以描述空间中物体的运动轨迹和性质，以及引力场等物理现象。
在工程学中，微分几何可以应用于地图绘制、计算机图形学和机械设计等领域，用来分析和描述实际问题的几何性质。
总结微分几何研究曲线与曲面在空间中的性质和变形，涉及到曲线的切向量、弧长、曲率和挠率，以及曲面的法向量、切平面、曲率和高斯曲率等概念。
第七章 B样条曲线
V2k、V3k和V4k四个点， 该四点构成u向的一个特
d1
征多边形，定义一条新 2
的曲线P(u,vk)；
d11
v
d14
d13
C1 d22
d23
C2 d32
d21
d31
u
d24 d33 C3 d4
2
d41
d34
d44 d43
C4
v
C1
C2 C3
V1k
V2k V3k
u
C4
V4k
✓当参数vk在[0,1] 之间取不同值时， P(u,vk)沿箭头方向扫描，即得到由 给定特征网格dij(i=1,2,3,4 j=1,2,3,4) 定义的双三次均匀B样条曲面片 P(u,v)。
t [0,1]
1
2
3
4
5
t
四段二次(三阶)均匀B样条基函数
曲线的起点和终点值：
pi
(0)
1 2
(Pi
Pi 1 ),
pi
(1)
1 2
(Pi1
Pi2 )
均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：
pi(0) Pi1 Pi , pi(1) Pi2 Pi1
P1
P2
P0
P3
四个控制点的二次周期性B样条曲线
第七章 B样条曲线曲面
Bezier曲线有许多优越性，但有几点不足： 一、控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的
阶次； 二、不能作局部修改； 三 、Bezier曲线的拼接比较复杂。
• 1972年，Gordon、Riesenfeld等人发展了 1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出 了B样条方法，在保留Bezier方法的优点， 克服了Bezier方法的弱点。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
曲线与曲面方程
曲线与曲面方程曲线和曲面方程是数学中重要的概念，在几何学和微积分等领域有着广泛的应用。
本文将介绍曲线和曲面的定义、方程表示以及一些常见的曲线和曲面方程。
一、曲线的定义与方程表示在数学中，曲线可以简单地理解为平面或者空间中的一条连续路径。
曲线可以曲折、弯曲，也可以是直线。
曲线方程的表示方法有多种，下面将介绍常见的几种方式。
1. 参数方程参数方程是曲线方程的一种表示方法，通过指定一个或多个参数来描述曲线上的点。
例如，一个二维平面上的曲线可以用参数 t 来表示：x = x(t), y = y(t)。
通过改变参数 t 的取值范围，可以得到曲线上的各个点。
2. 一般方程一般方程是将曲线上的点的坐标表示为自变量的方程。
例如，平面上的一般曲线方程可以写成 F(x, y) = 0 的形式，其中 F(x, y) 是一个多项式函数。
该方程表示了所有满足条件 F(x, y) = 0 的点构成的曲线。
3. 极坐标方程极坐标方程是一种用极坐标来表示曲线的方程。
在极坐标系中，点的位置由距离和角度来确定。
例如，极坐标方程r = f(θ) 可以表示一个极坐标下的曲线。
二、常见的曲线方程在数学中，有许多重要的曲线方程，这里将介绍几个常见的曲线。
1. 直线方程直线是最简单的曲线形式，其方程可以用一般方程表示为 Ax + By+ C = 0，其中 A、B、C 是常数。
2. 抛物线方程抛物线是一类曲线，其方程可以用一般方程表示为 y = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数。
3. 椭圆方程椭圆是一个闭合曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是椭圆的中心坐标， a、b 分别是椭圆的长短半轴。
4. 双曲线方程双曲线也是一个开口的曲线，其方程可以用一般方程表示为 (x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1，其中 (h, k) 是双曲线的中心坐标， a、b 分别是双曲线的长短半轴。
第七章 曲线与曲面积分导学答案13-16(第一、二类曲面积分联系及高斯公式)
第七章 曲线与曲面积分7.2.6 第二类曲面积分及一、二类曲面积分的联系（计算）7.2.7 Gauss 公式（导学解答）一、相关知识1．高斯公式的两种表示方法答：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成, 函数P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x ,y , z )在Ω上具有一阶连续偏导数, 则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z Ry Q x P )(, 或 dS R Q P dv z R y Q xP )cos cos cos ()(⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂γβα二、对坐标的曲面积分及应用高斯公式时的有关问题1．坐标曲面积分的实质是什么?答：其实质是将曲面积分中的曲面，进行有向投影，进而转化为平面上的二重积分. 2．坐标曲面积分过程中对称性的应用?(1)设分片光滑的曲面∑关于xoy 坐标面对称，且∑在xoy 上半空间的部分曲面1∑取定上 侧，在xoy 下半空间的部分曲面2∑取定下侧，则()()()()10,,,,,d d 2,,d d ,,,R x y z z R x y z x y R x y z x y R x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰关于是偶函数,关于是奇函数. 类似的有分片光滑的曲面∑分别关于,xoz yoz 平面对称的结论. （2）若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：(,,)(,,)(,,)p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1(,,)(,,)(,,)3p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑++⎰⎰ 3.高斯公式的实质是什么？答：高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 4.高斯公式添加辅助面的技巧？答：辅助面一般取为坐标面或平行于坐标面的平面，并且应给出所选定的侧. 5. 两类曲面积分的联系其联系表达式为：(,,)(,,)cos R x y z dxdy R x y z dS γ∑∑=⎰⎰⎰⎰，(,,)(,,)cos P x y z dydz P x y z dS α∑∑=⎰⎰⎰⎰(,,)(,,)cos P x y z dydz P x y z dS β∑∑=⎰⎰⎰⎰其中 221cos yx xz z z ++-=α, 221cos yx yz z z ++-=β, 2211cos yx z z ++=γ,若有向曲面∑指定一侧的法向方向余弦为cos α、cos β、cos γ，则两类曲面积分的关系为：(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑++=++⎰⎰⎰⎰三、练习题1.计算sxdydz ydxdy zdxdy ++⎰⎰，其中S 是球面2222xy z R ++=的外侧解： ∵球面2222x y z R ++=关于x ,y ,z 具有对称性∴sssxdydz ydxdz zdxdy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰先计算sxdydz ⎰⎰为此应分别考虑前半球面（记为1S）及后半球面（记为2S ）上的曲面部分1S的方程为x =它在oyz 平面上的投影域y D 为圆域222y z R +≤，因此，若用1w S 表示前半球面的外侧 则有：1S wDyxdydz σ=⎰⎰=230023R d r R πθπ=⎰⎰对于在后半球面2S 上的曲面积分，由于2S的方程为：x =外侧，故关于后半球面外侧（记为2w S ）的曲面积分为：2S wxdydz =⎰⎰Dyσ=323R π因此Sxdydz =⎰⎰31243S w S wxdyxz xdydz R π+=⎰⎰⎰⎰ 3SSxdydz ydxdz zdxdy xdyxz ++=⎰⎰⎰⎰334343R R ππ=⋅=2.计算y x r z x z r y z y rx I d d d d d d 333++=⎰⎰∑，其中222z y x r ++=，∑为球面2222R z y x =++的外侧.解: 因为∑关于z y x ,,具有轮换对称性，所以y x rzI d d 33⎰⎰∑=,又因为∑关于xoy 面上下对称，上∑与下∑方向相反，且3r z 是z 的奇函数，则y x rzy x r z d d 2d d 33⎰⎰⎰⎰∑∑=上，故有 πθπ4d d 6d d 6d d 602220322233222=-=--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+∑a R y x r r r R R y x y x R R y x r z I 上3.利用高斯公式计算曲面积分⎰⎰∑-++=dxdy zdzdx y dydz x I )1(322233, 其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧。
微分几何中的曲线与曲面
微分几何中的曲线与曲面微分几何是现代数学的重要分支之一，研究的对象是曲线和曲面。
曲线与曲面是微分几何的基础概念，本文将通过介绍曲线和曲面的定义、性质和应用等方面，探讨微分几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义与性质在微分几何中，曲线是指一条连续的路径，可以用数学模型来描述。
常用的曲线方程有参数方程、隐式方程和显式方程等形式。
1. 参数方程曲线的参数方程形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中t是参数，f(t)、g(t)和h(t)是关于t的函数，描述了曲线在坐标系中的运动轨迹。
参数方程形式的优点是能够较清晰地表示曲线的几何特性。
2. 隐式方程曲线的隐式方程形式为：F(x, y, z) = 0其中F是关于x、y、z的函数。
隐式方程描述了曲线上的点满足的方程，通过求解该方程可以确定曲线的位置。
隐式方程形式的优点是能够在一定程度上简化计算。
3. 显式方程曲线的显式方程形式为：z = f(x, y)其中f是关于x、y的二元函数。
显式方程描述了曲线在平面上的投影，可直观地展示曲线的形状和特征。
曲线的性质包括长度、弧长、切线、曲率等。
长度是曲线上两点之间的距离，弧长是曲线上一部分的长度。
切线是曲线某一点处与曲线相切的直线，切线的方向与曲线在该点的切向量方向一致。
曲率是描述曲线的弯曲程度的量，曲率越大，曲线越弯曲。
二、曲面的定义与性质曲面是三维空间中的二维对象，可以用数学模型来描述。
常用的曲面方程有参数方程和隐式方程等形式。
1. 参数方程曲面的参数方程形式为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中u和v是参数，描述了曲面在坐标系中的位置。
参数方程形式的优点是能够较清晰地表示曲面的几何特性。
2. 隐式方程曲面的隐式方程形式为：F(x, y, z) = 0其中F是关于x、y、z的函数。
隐式方程描述了曲面上的点满足的方程，通过求解该方程可以确定曲面的位置。
隐式方程形式的优点是能够在一定程度上简化计算。
第7章创建NURBS曲线和曲面
END
图7-1 NURBS Curves命令面板
返回
图75nurbssurfaces命令面板在3dsmax6中还有一种创建nurbs曲面的方法在视图上创建一个三维几何体然后选择它单击鼠标右键就会出现如图710所示的菜单在其中选择convertnurbs选项该几何体就变成了nurbs曲面
第7章 章 创建NURBS曲线和曲面 创建 曲线和曲面
本章导读
NURBS是创建具有光滑表面的理想工具，它提供了无缝结合，在曲面扭曲时仍 能保持平滑，功能十分强大。
图7-10 转换为NURBS曲面
7.3 编辑NURBS
创建完NURBS曲线或曲面后，在Modify面板的堆栈中，点击前面的“＋”就会 出现NURBS的次对象，如图7-11所示。同样，NURBS的次对象也可进行编辑，但 是不同的次对象有着不同的编辑工具，这可利用NURBS工具箱来完成。
图7-11 NURBS Curve和Surface的次对象
本章主要知识点
NURBS曲线和曲面 NURBS编辑
7.1 创建NURBS曲线
NURBS模型是由曲线和曲面组成的，NURBS建模也就是创建NURBS曲线和NURBS曲面 的过程。NURBS是Non-Uniform Rational B-Splires的缩写，使用它可以使以前实体 建模难以达到的圆滑曲面的构建变得简单、方便。我们可通过在视窗中交互地调整构 成曲面的点来完成复杂曲面造型的构建。NURBS模型大大扩展了3ds max 6的建模功能。 在前面所讲的建模中，只能通过增加面数、段数的方法使构建对象的表面看起来尽量 平滑。它们的缺点是难于创建复杂的曲面对象。另外由于对象是由一些小的平面为基 础而构建的，在渲染时可以看到面的边界；要得到平滑的曲线边缘则需增加面数，这 样就会影响计算速度。而NURBS建模是解析生成的，计算速度相对快一些，并且渲染 结果也是令你绝对满意的平滑曲面。 单击Shapes命令面板，在下拉列表中选择NURBS Curves，就会出现如图7-1所示 的命令面板。 在NURBS Curves命令面板中有两种NURBS曲线。 Point Curve（点曲线）：是一种用点来控制的光滑曲线，与直线类似，但它是 光滑的。 CV Curve（可控曲线）：是由带控制柄的点创建的曲线，其中控制柄可以影响 曲线的弯曲程度。
计算机图形学第七章自由曲线与曲面
x(t)
y(t)
axt3 ayt3
bxt 2 byt 2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t)
azt3
bzt
2
czt
dz
矢量表示：
p(t) at 3 bt 2 ct d
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,1d 〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
1
p(t) Pi Bi,1 (t) (1 t) P0 t P1 i0
可以看出，一次Bezier曲线是一段直线。
2.二次Bezier曲线
当n＝2时，Bezier曲线的控制多边形有 三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线 是二次多项式。
2
p(t) Pi Bi,2 (t) (1 t) 2 P0 2t(1 t) P1 t 2 P2 i0 (t 2 - 2t 1) P0 (2t 2 2t) P1 t 2 P2
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物 线。
3.三次Bezier曲线
当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形 有四个控制点P0、P1、P2和P3， Bezier曲线是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0
齿轮啮合原理-第七章
式中
、
Frenet-Serret方程
t s K0 m 0 m b K t s 0 K0 b s m 0
K0 0
0 t c mc 0 b c
1.1密切面和基本三棱形
以曲线的流动点为起点标出三个相互正交的矢量：如图所示，切线矢量 、 主法线矢量 和副法线矢量 。这些矢量在固定坐标系中的方向随M点的 位置不同而变化。由曲线的三个基本矢量 、 、 中的任意两个基本矢 量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本矢 量和上面三个平面所构成的空间图形叫做曲线的基本三棱形
6 Gauss曲率和曲面上点的三种型式
3.抛物点——当两个曲率之一为零时（下图上的方向Ⅰ）
7.Dupin标线、短程线和曲面挠率
Dupin标线是平面曲线，它用图形说明曲线上点M领域内的法曲率变化。 这样的曲线上点的位置矢量用标记。Dupin标线在坐标系（η ，ζ ）表 示如下
7.Dupin标线、短程线和曲面挠率
6 Gauss曲率和曲面上点的三种型式
曲面上一点处的Gauss曲率K可由下式表示
6 Gauss曲率和曲面上点的三种型式
曲面上的点有三种型式 1.椭圆点——当主曲率具有相同的符号，而Gauss曲率K>0时。 如下图所示。
6 Gauss曲率和曲面上点的三种型式
2.双曲点——当主曲率具有不同的符号，而Gauss曲率K<0 时。曲面在所考察处的点M附近呈现马鞍状。
2.4 短程曲率
位于密切面内的曲线曲率可以用两个分量 和 表示，它们与曲率 的关 系如下
式中矢量 称为曲线的短程曲率
空间几何中的曲线与曲面
空间几何中的曲线与曲面在空间几何中，曲线与曲面是两种重要的几何对象，它们在数学和物理学等领域中起着至关重要的作用。
本文将从定义、性质和应用等方面，探讨空间几何中的曲线与曲面。
一、曲线的定义与性质曲线是平面或空间中的一条连续有限点集。
在三维空间中，我们常见的曲线有直线、圆、椭圆等。
根据曲线的性质，可以将曲线分为开放曲线和闭合曲线两种。
开放曲线是指起点和终点不重合的曲线，例如直线。
闭合曲线是指起点和终点相重合的曲线，例如圆。
曲线的性质还包括曲率、切线、法线等。
曲线的曲率描述了曲线在某一点上的弯曲程度，切线是曲线在该点的切线方向，法线是曲线在该点的垂直于切线的方向。
二、曲线的应用曲线在现实生活中有着广泛的应用。
在物理学中，曲线被用于描述物体的运动轨迹。
例如，当我们研究一个抛体运动时，可以利用曲线来描述物体的运动轨迹，并通过曲线的方程来计算物体在不同时刻的位置和速度。
另外，在工程学和建筑学中，曲线也被广泛应用。
例如，在桥梁的设计中，曲线可用于描述桥梁的拱形结构，以提供更好的力学性能和美观性。
三、曲面的定义与性质曲面是空间中的一条连续无限点集，它可以由曲线沿某一方向无限延伸形成。
常见的曲面有球面、圆柱面、抛物面等。
曲面的性质包括曲率、切平面、法线等。
曲面的曲率描述了曲面在某一点上的弯曲程度，切平面是曲面在该点的切平面，法线是曲面在该点的垂直于切平面的方向。
四、曲面的应用曲面在科学研究和实际应用中也具有重要意义。
在物理学中，曲面被广泛应用于描述物体的形状和表面特性。
例如，在天文学中，天体的形状可以用曲面来描述，从而帮助我们研究它们的运动规律和属性。
另外，在工程学和设计领域，曲面也有广泛的应用。
例如，在造船工程中，曲面可以用于描述船体的外形，从而优化船体结构和流体力学性能。
总结空间几何中的曲线与曲面是空间中重要的几何对象，它们在数学和物理学等学科中具有广泛的应用价值。
通过对曲线与曲面的定义、性质和应用的讨论，我们可以更好地理解和应用空间几何中的曲线与曲面。
空间解析几何的曲线与曲面的性质
空间解析几何的曲线与曲面的性质空间解析几何是数学中的一个重要分支，用于研究几何学中的曲线和曲面。
曲线和曲面是空间中的基本图形，它们具有一些特殊的性质和特点。
本文将探讨空间解析几何中曲线和曲面的性质。
一、曲线的性质曲线是空间中的一条连续的线段，可以用参数方程或者一元二次方程来表示。
曲线的性质可以通过其方程的形式和曲线的形状来确定。
1. 参数方程表示的曲线参数方程是一组关于参数的方程，通过给定参数的取值范围，可以确定曲线上的各个点的坐标。
曲线的参数方程可以表示为：x = f(t), y = g(t), z = h(t)。
2. 一元二次方程表示的曲线一元二次方程是曲线的另一种常见表示形式，可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J都是常数。
曲线的性质包括弧长、切线、曲率等。
弧长是曲线上两点之间的距离，可以通过积分计算得到。
切线是曲线上某一点的切线，可以通过曲线的一阶导数求得。
曲率是指曲线在某一点处的弯曲程度，可以通过曲线的二阶导数计算。
二、曲面的性质曲面是空间中的一个二维图形，可以用一元二次方程或者二元二次方程来表示。
曲面的性质可以通过其方程的形式和曲面的形状来确定。
1. 一元二次方程表示的曲面一元二次方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。
其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J都是常数。
2. 二元二次方程表示的曲面二元二次方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + Jxy + Kxz + Lyz + Mx + Ny + Pz + Q = 0。
其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、P、Q都是常数。
第七章 曲线与曲面
4.2.3 双曲抛物
一直母线沿着两条相错的直导线运动， 一直母线沿着两条相错的直导线运动，并 始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面 始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面 。 双曲抛物面的相邻两素线为相错直线， 双曲抛物面的相邻两素线为相错直线， 所以是不可展曲面 所以是不可展曲面 。 双曲抛物面上有两个直素线族， 双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应 地有两个导平面 这两个导平面的交线（ 轴 两个导平面。 地有两个导平面。这两个导平面的交线（OZ轴） 轴线。 即为该曲面的轴线 若两个导平面相互垂直， 即为该曲面的轴线。若两个导平面相互垂直， 则称为正双曲抛物面 否则称为斜双曲抛物面 正双曲抛物面， 斜双曲抛物面。 则称为正双曲抛物面，否则称为斜双曲抛物面。
§4 直线面
4.1 可展直线面 4.1.1 柱 面 一直母线沿曲导线运动且始终平行 于另一直导线而形成的曲面称为柱面 柱面。 于另一直导线而形成的曲面称为柱面。 柱面的相邻两素线为平行直线， 柱面的相邻两素线为平行直线，位 可展曲面。 于同一平面内，所以是可展曲面 于同一平面内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 导线 必要时还要画出若干素线及其曲面的 面迹线。 若干素线及其曲面的H面迹线 必要时还要画出若干素线及其曲面的 面迹线
方法一： 方法一：利用平面上投影面平行线及最大 斜度线，确定长、 斜度线，确定长、短轴的方向与大小 。
方法二：利用投影变换法求椭圆长、 方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
§３ 曲面概述
3.1 曲面的形成
曲面可以看作是一条线 直线或曲线） 可以看作是一条线（ 曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 连续运动所形成的轨迹， 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合 。 如图所示曲面， 如图所示曲面， 是由AA 沿着曲线 是由 １沿着曲线 运动且在运动 ABC运动且在运动 中始终平行于直线 中始终平行于直线 MN所形成的。 所形成的。 所形成的 AA１称为母线。 称为母线。
第七章-3.-曲面方程
z
C
M1 (0, y1, z1 )
f ( y1, z1) = 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M(x, y, z) , 则有
M(x, y, z)
z = z1,
x + y = y1
2 2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( ± x2 + y2 , z) = 0
当曲线 C 绕 y 轴旋转时,方程如何?
z
C : f ( y, z) = 0
=1
z = z1
同样 y = y1 ( y1 ≤ b ) 及 的截痕 也为椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面与平面 z = z1 的交线为椭圆
x y + 2 =1 a2 b 2 2 2 2 (c z1 ) 2 (c z1 ) 2 c c z = z1 | z1 |< c
f (± x + y , z) = 0
2 2
柱面 如,曲面F(x, y) = 0表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面 椭球面 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 + =z 2 p 2q 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 x2 y2 x2 y2 + 2 + 2 =1 = 1 2 2 a b a b 2 2 x y 椭圆锥面: + 2 = z2 a2 b
当 z1 变动时,这种圆 的中心都在 z 轴上.
x y + = z ( p 与 q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面(马鞍面) 用截痕法讨论: 设 p > 0, q > 0 图形如下:
解析几何中的曲线与曲面的性质
解析几何中的曲线与曲面的性质在解析几何中，曲线与曲面是重要的概念。
曲线是由一系列点组成的连续的曲线，而曲面是由一系列曲线组成的连续的曲面。
曲线与曲面的性质对于理解几何图形的特征和性质至关重要。
本文将从曲线和曲面的定义、性质和应用等方面进行探讨。
一、曲线的性质曲线的性质是指某一曲线所具备的特征和规律。
曲线的性质可以从不同的角度进行分类和描述。
下面将从几何性质和数学性质两个方面对曲线的性质进行探讨。
（1）几何性质在几何学中，曲线的性质主要包括弯曲程度、曲率、斜率和切线方程等。
曲线的弯曲程度可以通过曲率来描述，曲率越大则曲线越弯曲。
斜率则表示曲线上某一点的切线与水平线之间的夹角，可以用来判断曲线的斜率情况。
切线方程则是通过求解曲线上一点的切线斜率和切点坐标得到的一条直线方程，可以用来描述曲线在该点附近的几何特征。
（2）数学性质在数学中，曲线的性质主要包括方程、参数方程和极坐标方程等。
方程是指以曲线上的点满足某种关系的数学式子，可以用于描述曲线的几何特征。
参数方程是通过引入参数来表示曲线上的点，可以方便地表示曲线的形状和位置。
极坐标方程是以极坐标系中的点满足某种关系的数学式子，可以用来描述曲线在极坐标系中的几何特征。
二、曲面的性质曲面是由一系列曲线组成的连续的曲面。
曲面的性质可以从不同的角度进行分类和描述。
下面将从几何性质和数学性质两个方面对曲面的性质进行探讨。
（1）几何性质在几何学中，曲面的性质主要包括形状、曲率、切平面和法向量等。
曲面的形状可以通过曲率和曲率半径来描述，曲率越大则曲面越弯曲。
切平面是指曲面上的一个点与该点的切线所确定的平面，可以用于判断曲面的取向和切平面的性质。
法向量是指曲面上某一点的法线与该点的位置有关的向量，可以用来描述曲面在该点附近的几何特征。
（2）数学性质在数学中，曲面的性质主要包括方程、参数方程和隐函数方程等。
方程是指以曲面上的点满足某种关系的数学式子，可以用于描述曲面的几何特征。
CATIAV5-6R2013中文版曲面设计教程第七章曲线曲面分析
第7章曲线曲面分析本章导读：完成曲面模型之后，进行曲线曲面的分析，便于查找设计中的矛盾和不符合要求的地方。
曲线曲面分析包括曲线连续性和曲率分析、距离、截面曲率、反射、曲率、拐点曲线、高亮、环境和斑马线分析这些命令，本章主要对这些内容进行介绍。
1967.1 曲线分析曲线分析包括曲线连续性分析和曲线曲率梳分析，在曲线分析当中要经常用到这两种方法。
7.1.1 曲线连续性分析单击【形状分析】工具栏上的【连接检查器分析】按钮，系统弹出如图7-1所示的【连接检查器】对话框。
单击【元素】选项组中的【源】和【目标】文本框，从绘图区中选择分析元素。
从【类型】选项组中选择分析类型，分别是【曲线-曲线连接】、【曲面-曲面连接】、【曲面-曲线连接】、【边界】、【投影】。
在【快速】选项卡中设置简单分析条件，分别是G0、G1、G2、G3、【交叠缺陷】，在其后的微调框中输入分析的最小数值。
图7-1 【连接检查器】对话框单击【显示】选项组中的【有限色标】按钮，系统弹出如图7-2所示的【连接检查器分析】对话框。
单击【完整色标】按钮，系统弹出如图7-3所示的【连接检查器分析】对话框。
按下【梳】开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-4所示。
按下【包络】开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-5所示。
在【连接】选项组中【最小间隔】和【最大间隔】微调框中输入分析的范围。
在【信息】选项组中设置显示内容，分别是【最大值】、【最小值】、【G1模式下的相切】、【G2模式下的凹面】。
在【离散化】选项组中设置显示离散程度，分别是【轻度离散化】、【粗糙离散化】、【中度离散化】、【精细离散化】。
在【最大偏差】选项组中显示G0、G1、G2、G3模式下的最大偏差值。
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第七章曲线与曲面
1）点在空间作连续变换方向的
运动轨迹
1 曲线概述
1.1 曲线的形成曲线的形成一般有下列三种方式：
2
）一条线（直线或曲线）运动过程中的包络线
3）平面与曲面或两曲面相交的交线
必须指出：同一曲线可以由几种不同的方法形成。
如二次平面曲线（椭圆、双曲线、抛物线）既可看成是点运动的轨迹，又可看成是平面和圆锥面的交线。
1.2 曲线的分类
1、按点的运动有无规律，曲线可分为规则曲线（如圆锥曲线、螺旋线等）和不规则曲线。
2、按曲线上点的分布可分为两类：
1）平面曲线曲线上所有点都在同一平面上，如二次曲线、渐伸线等；
2）空间曲线曲线上任一连续四个点不在同一平面上，如螺旋线等。
1.3 曲线的投影
一般情况下，曲线至少需要两个投影才能确定出它在空间的形状和位置。
按照曲线形成的方法，依次求出曲线上一系列点的各面投影，然后把各点的同面投影顺次光滑连接即得该曲线的投影。
为了提高作图准确性，应尽可能作出曲线上特殊点（如极限位置点、分界点等）的投影，最好把这些特殊点以及重影点用字母标注出来
Ａ、Ｃ、D、G均为特殊点B和F为对H面重影点
E为一般点
曲线的投影的基本性质
1）曲线的投影一般仍为曲线，只有当平面曲线所在平面平行于投射线时，投影为直线。
在正投影条件下，该平面垂直于投影面时，曲线投影为直线2）属于曲线的点，其投影属于曲线的投影，即点与曲线的从属关系为曲线投影的不变性
3）代数曲线的投影，其次数不变。
如二次曲线的投影仍为二次曲线
4）曲线切线的投影仍为其投影的切线
§２圆的投影
圆是最简单的平面曲线
根据圆所在平面相对于投影面的位置不同，其正投影有如下三种情况（这里仅讨论其Ｖ和Ｈ两面投影）：
2.1 圆所在平面为投影面平行面
2.2 圆所在平面为投影面垂直面
2.3 圆所在平面为一般位置平面
2.1 圆所在平面为投影面平行面
当圆所在平面为投
影面平行面时，圆在所
平行的投影面上的投影
反映该圆的实形。
在另
一投影面上的投影为直
线，线段的长度等于圆
的直径
2.2 圆所在平面为投影面垂直面
当圆所在的平面为投影面垂直面时，圆在所垂直的投影面上的投影为直线，线段的长度等于其直径。
在另一投影面上的投影则为椭圆。
2.3 圆所在平面为一般位置平面
当圆所在平面为一般位置平面时，圆的两个投
影均为椭圆，但两个椭圆的长、短轴是不同的，必
须分别求解。
椭圆的长轴应为平行于该投影面的直径的投影
短轴应为对该投影面成为最大斜度线的直径的投影
方法一：利用平面上投影面平行线及最大斜度线，确定长、短轴的方向与大小
方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
§３曲面概述
3.1 曲面的形成
曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹，或者说曲面是运动线所有位置的集合
如图所示曲面，是
由AA
１沿着曲线
ABC运动且在运动中始终平行于直线MN所形成的
AA
１
称为母线
母线形状可以是不变的，也可以是不断变化的
母线在曲面上的任一位置称为素线，无限接近的相邻两素线称为连续两素线
控制母线运动的点、线和面称为定点、导线和导面它们统称为导元素
母线由导元素控制按照一定规律运动所形成的曲面称为规则曲面
母线作不规则运动所形成的曲面称为不规则曲面同一曲面可以由多种方法形成，一般应采用最简单的母线来描述曲面的形成
3.2 曲面的投影
只要作出能够确定曲面的几何要素的必要投影，就可确定一个曲面，因为母线和导元素给定后，形成的曲面将唯一确定。
曲面的轮廓线就是在正投影条件下，包络已知曲面的投射柱面与曲面的切线
当曲面轮廓线与曲面的某些位置的素线重合时，这些母线称为界限素线
曲面的轮廓线对不同投影面各不相同。
如图所示，投射柱面与曲面的切线T称为曲面对H面的轮廓线，ｔ′为曲面轮廓线的H 投影。
3.3 曲面的分类
根据不同的分类标准，曲面可以有许多不同的分类方法。
如：
按母线的形状分类，曲面可分为直线面和曲线面；
按母线的运动方式分类，曲面可分为移动面和回转面；
按母线在运动中是否变化分类，曲面可分为定母线面和变母线面；
按母线运动是否有规律来分类，曲面可分为规则曲面和不规则曲面；
按曲面是否能无皱折地摊平在一个平面上来分类，则可分为可展曲面和不可展曲面。
§4直线面
4.1 可展直线面
4.1.1 柱面
一直母线沿曲导线运动且始终平行于另一直导线而形成的曲面称为柱面。
柱面的相邻两素线为平行直线，位于同一平面内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及其曲面的H 面迹线
直圆柱面
●a'●a
●a"
几种柱面
直圆柱面斜圆柱面直椭圆柱面斜椭圆柱面
4.1.2 锥面
一直母线沿曲导线运动且始终通过一定点（锥顶）而形成的曲面称为锥面。
锥面的相邻两素线为过锥顶的相交直线，位于同一平面内，所以是可展曲面。
作图时，一般只画出锥顶、导线和曲面的轮廓线，必要时还要画出若干素线及曲面的H 面迹线
正圆锥面s "
●s '●●k 's
●k
●k "
过锥顶作一
条素线。
正圆锥面斜圆锥面正椭圆锥面斜椭圆锥面
4.1.3 切线面
一直母线在运动过程中始终与一空间曲导线相切而形成的曲面称为切线曲面
切线曲面是可展直线面
渐开线螺旋面
在作投影图时，首先应画出其导线——圆柱螺旋线的投影（画法详见§７），然后沿导线取若干点，在各点处作出导线的一系列切线，即可求出H投影面迹线，在V面投影上应保留轮廓线的投影。
4.2 不可展直线面
4.2.1 柱状面
一直母线沿两条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了柱状面
柱状面是不可展曲面
4.2.2 锥状面
一直母线同时沿着一条直导线和一条曲导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了锥状面锥状面是不可展曲面
4.2.3 双曲抛物
一直母线沿着两条相错的直导线运动，并始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面
双曲抛物面的相邻两素线为相错直线，所以是不可展曲面
双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应地有两个导平面。
这两个导平面的交线（OZ轴）即为该曲面的轴线。
若两个导平面相互垂直，则称为正双曲抛物面，否则称为斜双曲抛物面。
正双曲抛物面斜双曲抛物面
§5 回转曲面
母线绕一固定轴作回转运动所形成的曲面称
为回转曲面
固定轴称为回转轴
在旋转过程中，母线上任一点的轨迹都是圆，这些圆称为纬线圆。
其圆心在回转轴上，且该圆与回转轴垂直
在这些纬线圆中，比相邻两侧纬线圆都小的纬线圆称为喉圆，比相邻两侧都大的纬线圆称为赤道圆。
画回转曲面的投影
图时，通常使其轴线垂
直于某一投影面，以便
简化作图
由于母线可以是直线，也可以是曲线，故回转曲面可以分为：
直线回转面
曲线回转面
组合回转面
5.1 直线回转面
5.1.1 圆柱面
§４中介绍的直圆柱面可以认为是一直母线围绕与之平行的轴线作回转运动形成的，它是一般柱面的特殊形式。
若一个矩形面围绕其中一条边回转则形成圆柱体。
圆柱面上求点
●a'●a
●a"
5.1.2 圆锥面
§４中介绍的正圆锥面可以认为是一直母线围绕与之相交的轴线作回转运动形成的，它是一般锥面的特殊形式。
若一个直角三角形面围绕其中一条直角边回转则形成圆锥体。
圆锥面上求点有两种方法：素线法（§４介绍）
纬线圆法
纬线圆法s "
●s '● (n ')s ●
n (n ")
●
5.1.3 单叶双曲回转面
一直母线围
绕与之相错的轴
线作回转运动即
形成一单叶双曲
回转面
单叶双曲回转
面的相邻两素线为
相错直线，所以是
不可展曲面
5.2 曲线回转面
曲线回转面属于曲线面，所有的曲线面均为不可展曲面
5.2.1 球面
一圆母线绕其一条直径作回转运动，即形成球面球面的三个投影都是圆，但三个圆却分别是三个不同界线素线的投影。
球面各界线素线上的点，应在该界线素线对应的各投影上，已知点的一个投影，可直接求得另外两个投影。
5.2.2 圆环面
一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转运动，即形成圆环面
5.2.3 椭圆回转面、抛物回转面、双叶双曲回转面
5.3 组合回转面
以组合线段(包括曲线和直线)为母线，绕一轴线作回转运动，即形成组合回转面
§6螺旋线和螺旋面
6.1 螺旋线
6.1.1 圆柱螺旋线
一点沿圆柱面直母线
作等速直线运动，同时该
母线又绕圆柱面轴线作等
速回转运动，则该点在空
间的运动轨迹即为圆柱螺
旋线
圆柱螺旋线的三要素
1：圆柱的直径ｄ
2：导程P
h ：当动点所在直母线旋转一周时，点
沿该母线移动的距离称为螺旋线的导程
旋向：分为右旋、左旋两种右螺旋线的动点运动遵循右手定则，图上（a)可见部分右边高；
左螺旋线的动点运动遵循左手定则，图上(b)
可见部分左边高
作图步骤。