【高中数学】单元《复数》知识点归纳

【高中数学】单元《复数》知识点归纳

一、选择题

1．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）

A ．10101010i --

B ．10111010i --

C ．10111012i --

D ．10111010i -

【答案】B

【解析】

【分析】

利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.

【详解】

解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,

可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，

则24201923020(1)22020i S i i i i i i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i

--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2

(1)(1)(1)20202020202112

i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++=

==---， 故选：B.

【点睛】

本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.

2．若复数21z i i =

+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）

A

B C D ．5

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可.

【详解】 22(1)

12

1(1)(1)

i z i i i i i i +=+=+=+--+，||z ==故选C. 【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.

3．已知复数(2)z i i =-，其中i 是虚数单位，则z 的模z = ( )

A B C ．3 D ．5

【解析】

(2)2z i i i i =-=-==B ．

4．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．9 【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值.

【详解】 因为342z i ++≤，

故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，

故该距离的最大值为222AB +==，

最小值为22AB -=，故4M m -=.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.

5．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ）

A ．1

B ．i

C ．1-

D ．i -

【答案】A

【解析】 ()12i z i +=22(1)112

i i i z i i -⇒=

==++，所以z 的虚部是1，选A. 6．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）

A ．3

B ．3i -

C ．3i

D ．3-

【答案】D

【分析】

首先化简复数z，然后结合复数的定义确定其虚部即可.【详解】

由题意可得：

()()

()()

362

361151

3 22255

i i

i i

z i

i i i

--

---

====--++-

，

据此可知，复数z的虚部为3

-.

本题选择D选项.

【点睛】

复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．

7．已知复数z，则|z|＝( )

A．1

4

B．

1

2

C．1 D．2

【答案】B 【解析】【分析】【详解】

解：因为===，因此|z|＝1 2

8．已知

2

a i

b i

i

+

=+，,a b∈R，其中i为虚数单位，则+a b=（）

A．-1 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i

-=+，再利用复数相等列方程求出,a b的值，从而可得结果.

【详解】

因为

2

2

22

2

a i ai i

ai b i

i i

+--

==-=+

-

，,a b∈R，

所以

22

11

b b

a a

==

⎧⎧

⇒

⎨⎨

-==-

⎩⎩

，则+1

a b=，故选B.

【点睛】