函数与映射的概念主要知识梳理

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●函数的基本概念：

1、函数的定义：设B A ,是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个函数。 ①关键词：非空的数集、任意性、唯一性

②作用：判断一个对应是否是函数

2、函数的三要素： 定义域A 、值域(⊆B)、对应法则f （定义域和对应法则最为关键） 作用：判断两函数是否是同一函数的依据（只要判断定义域和对应法则是否相同即可） ●函数的表示方法： 解析式法，列表法，图像法

●分段函数与复合函数 分段函数：⎩

⎨⎧∈∈=)()()()()(21D x x h D x x g x f ，复合函数：))((x g f y = ●映射的概念

1、定义：设设B A ,是非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，

在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，则称B A f →:为从A 到B 的一个映射。 ①关键词：非空集合、任意性、唯一性

②作用：判断一个对应是否是映射

2、映射的三要素： 原象集A 、象集(⊆B)、对应法则f

作用：判断两映射是否是同一映射的依据（只要判断原象集和对应法则是否相同即可）

3、函数是特殊的映射；

●反函数

1、概念; 设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，由()y f x =求出()x y ϕ=.如果对于C 中 每个y 值，在A 中都有唯一的值和它对应，那么()x y ϕ=为以y 为自变量的函数，叫做()y f x =的反函数，记作1()y f x -=，（x C ∈）

2、存在反函数的条件：函数()y f x =在定义域内单调（一 一映射）

3、求反函数的一般步骤：

（1）求原函数的值域； （2）反解，由()y f x =解出)(y x ϕ=；

（3）写出反函数的解析式1()y f x -=（互换,x y ），并注明反函数的定义域（即原函数的值域）.

4、互为反函数的两个函数具有如下性质：

（1）反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域；

（2）互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性；它们的图象关于x y = 对称；

（3）⇔=b a f )(a b f =-)(1

●常见的思想方法

1、主要思想: ①数形结合:-------树形图

②分类讨论：①按象的个数分类；②按原象个数分类；

③按对应关系（一对一、多对一，不能一对多）分类.

2、易错易混点

①映射B A f →:与函数的定义).(x f y =-----A 中元素的任意性和B 中元素的唯一性? ②一个映射与某一对应的值.

③定义域与原象集以及与集合A 的关系. 值域与象集以及集合B 的关系.

3、主要题型:

①判断映射与函数；

②知原象、象、对应法则三者中的任意二个求余下一个；

③求映射与函数的个数.(注意分类讨论、注意和排列组合知识的综合应用)