人教版数学必修四：3.1.1课题两角和与差的余弦学案(教师版)
高中数学两角和与差的余弦学案新人教A版必修4
3.1.1两角差的余弦公式学案【学习目标】1.知识目标：理解两角差的余弦公式的推导过程，熟记两角差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。
2能力目标：培养自己严密而准确的数学表达能力；培养自己逆向思维和发散思维能力；培养自己的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3.情感目标：通过观察、培养良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
【学习重点】两角差的余弦公式的理解与灵活运用。
【学习难点】两角差的余弦公式的推导。
一. 自主探究，引发思考层层深入，得出结论1.独立思考以下问题怎样利用单位圆中的三角函数线探究两角差的余弦（试画出图像加以说明）2.继续探究怎样利用向量数量积概念的计算公式探究两角差的余弦。
（试画出图像加以说明）两角差的余弦公式：_____________________)cos(公式特点二．互相交流小组活动公式应用闯关1.请用特殊角（可以是30°60°45°等）分别代替α、β你有几种方法求0cos 15(1) ______________________________15cos 0(2) ______________________________15cos 02.若β固定，分别用2,代替α，你将会发现什么结论呢？(1)cos()_________________________(2)cos()._________________________23(3)cos()._________________________23.倘若让你对C (α±β)公式中的α、β自由赋值，你又将发现什么结论呢？(1)cos （-）_________________________4 (2)cos （-）_________________________(3)____)____)sin(______sin(_cos(_____)(_____)cos cos ）（(4)___)___)sin(______sin(__cos(_____)cos(_____)cos ）（）（4.如何应用两角差的余弦公式化简求值（1）cos80°cos20°+sin80°sin20°（3）cos80°cos35°+cos10°cos55°三. 师生共同活动数学运用例1．已知4sin 5，5,,cos ,213是第三象限角，求cos 的值.13(2)cos15sin1522的值。
人教版数学必修四：3.1.1课题两角和与差的余弦学案(教师版)
课题：§3.1.1两角和与差的余弦【学习目标】1．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系。
2．用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。
3．能用余弦的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
【重点难点】学习重点：理解并熟记两角和与差的余弦公式。
学习难点：两角差的余弦公式的推导，灵活应用几个公式来进行三角恒等变换【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题1 设向量)75sin ,75(cos =a ，),15sin ,15(cos =b 试分别计算θb a =⋅及2121y y x x b a +=⋅，比较两次计算结果，你能发现什么？ 问题2 ()βα-cos 能否用α的三角函数和β的三角函数来表示？问题3 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示)cos(βα+？二、知识建构与应用：两角差的余弦公式：)(βα-C两角和的余弦公式：)(βα+C 问题4：用“β-代替β”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？三、例题例1 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：（1）ααπsin )2cos(=-； （2）ααπcos )2sin(=-。
例2 （1）利用两角和（差）的余弦公式，求 75cos ， 15cos ， 15sin , 15tan ；（2）求值：)18sin()27sin()18cos()27cos( -++-+x x x x例3 （1）已知32sin =α，),2(ππα∈，53cos -=β，)23,(ππβ∈求)cos(βα+的值（2）已知：βα,为锐角，且54cos =α，6516)cos(-=+βα ，求βcos 的值例4 设βα,为锐角，且55sin =α，1010sin =β，求βα+的值四、巩固练习1．利用两角和（差）的余弦公式证明：（1）ααπsin )23cos(-=- （2）ααπcos )23sin(-=-2．利用两角和（差）的余弦公式化简：（1） 37sin 58sin 37cos 58cos +=（2）)60cos()60cos(θθ--+ =（3）)60cos()60cos(θθ-++ =（4）cos()cos sin()sin αββαββ---=3．利用两角和（差）的余弦公式，求cos1054．化简（1）cos100cos 40sin80sin 40+ =（2）cos80cos55sin10sin35+ =（3 =（4）22-=5．已知53cos -=θ，),2(ππθ∈，求)3cos(θπ-的值6．已知1sin 3α=，(,)2παπ∈，求cos()4πα+和cos()4πα-的值五、回顾反思六、作业批改情况记录及分析。
高中数学 必修四 (3.1.1 两角差的余弦公式)教案 新人教A版必修4
第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式整体设计教学分析本节是以一个实际问题做引子,目的在于从中提出问题,引入本章的研究课题.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.以实例引入课题也有利于体现数学与实际问题的联系,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性,同时也让学生体会数学知识产生、发展的过程.本节首先引导学生对cos(α-β)的结果进行探究,让学生充分发挥想象力,进行猜想,给出所有可能的结果,然后再去验证其真假.这也展示了数学知识的发生、发展的具体过程,最后提出了两种推导证明“两角差的余弦公式”的方案.方案一,利用单位圆上的三角函数线进行探索、推导,让学生动手画图,构造出α-β角,利用学过的三角函数知识探索存在一定的难度,教师要作恰当的引导.方案二,利用向量知识探索两角差的余弦公式时,要注意推导的层次性:①在回顾求角的余弦有哪些方法时,联系向量知识,体会向量方法的作用;②结合有关图形,完成运用向量方法推导公式的必要准备;③探索过程不应追求一步到位,应先不去理会其中的细节,抓住主要问题及其线索进行探索,然后再反思,予以完善;④补充完善的过程,既要运用分类讨论的思想,又要用到诱导公式.本节是数学公式的教学,教师要遵循公式教学的规律,应注意以下几方面:①要使学生了解公式的由来;②使学生认识公式的结构特征,加以记忆;③使学生掌握公式的推导和证明;④通过例子使学生熟悉公式的应用,灵活运用公式进行解答有关问题.三维目标1.通过让学生探索、猜想、发现并推导“两角差的余弦公式”,了解单角与复角的三角函数之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对两角差的余弦公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,提高学生的数学素质.2.通过两角差的余弦公式的运用,会进行简单的求值、化简、证明,体会化归思想在数学当中的运用,使学生进一步掌握联系的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节的学习,使学生体会探究的乐趣,认识到世间万物的联系与转化,养成用辩证与联系的观点看问题.创设问题情境,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识,从而培养学生分析问题、解决问题的能力和代换、演绎、数形结合等数学思想方法.重点难点教学重点:通过探究得到两角差的余弦公式.教学难点:探索过程的组织和适当引导.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(问题导入)播放多媒体,出示问题,让学生认真阅读课本引例.在用方程的思想分析题意,用解直角三角形的知识布列方程的过程中,提出了两个问题:①实际问题中存在研究像tan(45°+α)这样的包含两个角的三角函数的需要;②实际问题中存在研究像sinα与tan(45°+α)这样的包含两角和的三角函数与α、45°单角的三角函数的关系的需要.在此基础上,再一般化而提出本节的研究课题进入新课.思路2.(复习导入)我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.这是全章公式的基础.推进新课新知探究提出问题①请学生猜想cos(α-β)=?②利用前面学过的单位圆上的三角函数线,如何用α、β的三角函数来表示cos(α-β)呢？ ③利用向量的知识,又能如何推导发现cos(α-β)=?④细心观察C (α-β)公式的结构,它有哪些特征？其中α、β角的取值范围如何？⑤如何正用、逆用、灵活运用C (α-β)公式进行求值计算？活动:问题①,出示问题后,教师让学生充分发挥想象能力尝试一下,大胆猜想,有的同学可能就首先想到cos(α-β)=cos α-cos β的结论,此时教师适当的点拨,然后让学生由特殊角来验证它的正确性.如α=60°,β=30°,则cos(α-β)=cos30°=23,而cos α-cos β=cos60°-cos30°=231 ,这一反例足以说明cos(α-β)≠cos α-cos β. 让学生明白,要想说明猜想正确,需进行严格证明,而要想说明猜想错误,只需一个反例即可.问题②,既然cos(α-β)≠cos α-cos β,那么cos(α-β)究竟等于什么呢？由于这里涉及的是三角函数的问题,是α-β这个角的余弦问题,我们能否利用单位圆上的三角函数线来探究呢？图1如图1,设角α的终边与单位圆的交点为P 1,∠P OP 1=β,则∠POx=α-β.过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M,那么OM 就是角α-β的余弦线,即OM=cos(α-β),这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P 作PA 垂直于OP 1,垂足为A,过点A 作AB 垂直于x 轴,垂足为B,过点P 作PC 垂直于AB,垂足为 C.那么,OA 表示cos β,AP 表示sin β,并且∠P AC =∠P 1Ox=α.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=cos βcos α+sin βsin α,所以,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.教师引导学生进一步思考,以上的推理过程中,角α、β、α-β是有条件限制的,即α、β、α-β均为锐角,且α>β,如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立,还要做不少推广工作,并且这项推广工作的过程比较繁琐,由同学们课后动手试一试.图2问题③,教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图2,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O,以Ox 为始边作角α、β,它们的终边与单位圆O 的交点分别为A 、B,则=(cos α,sin α),=(cos β,sin β),∠A OB=α-β.由向量数量积的定义有·=||||·cos(α-β)=cos(α-β),由向量数量积的坐标表示有 ·=(cos α,sin α)(cos β,sin β)=cos αcos β+sin αsin β,于是,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,由于α、β都是任意角,α-β也是任意角,因此就是研究当α-β是任意角时,以上公式是否正确的问题.当α-β是任意角时,由诱导公式,总可以找到一个角θ∈［0,2π),使cos θ=cos(α-β),若θ∈［0,π］,则·=cos θ=cos(α-β).若θ∈［π,2π］,则2π-θ∈［0,π］,且OA ·OB =cos(2π-θ)=cos θ=cos(α-β).由此可知,对于任意角α、β都有此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记为C (α-β).有了公式C (α-β)以后,我们只要知道cos α、cos β、sin α、sin β的值,就可以求得cos(α-β)的值了.问题④,教师引导学生细心观察公式C (α-β)的结构特征,让学生自己发现公式左边是“两角差的余弦”,右边是“这两角的余弦积与正弦积的和”,可让学生结合推导过程及结构特征进行记忆,特别是运算符号,左“-”右“+”.或让学生进行简单填空,如:cos(A-B)=__________,cos(θ-φ)=__________等.因此,只要知道了sin α、cos α、sin β、cos β的值就可以求得cos(α-β)的值了.问题⑤,对于公式的正用是比较容易的,关键在于“拆角”的技巧,而公式的逆用则需要学生的逆向思维的灵活性,特别是变形应用,这就需要学生具有较强的观察能力和熟练的运算技巧.如cos75°cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=23,cos α=cos ［(α+β)-β］=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.讨论结果:①—⑤略.应用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.活动:先让学生自己探究,对有困难的学生教师可点拨学生思考题目中的角15°,它可以拆分为哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,从而就可以直接套用公式C (α-β)计算求值.教师不要包办,充分让学生自己独立完成,在学生的具体操作下,体会公式的结构,公式的用法以及把未知转化为已知的数学思想方法.对于很快就完成的同学,教师鼓励其换个角度继续探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ 方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°＋sin60°sin45° =21×.426232222+=⨯+ 点评:本题是指定方法求cos15°的值,属于套用公式型的,这样可以使学生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需要学生将这个非特殊角拆分成两个特殊角的差的形式,灵活运用公式求值.本例也说明了差角余弦公式也适用于形式上不是差角,但可以拆分成两角差的情形.至于如何拆分,让学生在应用中仔细体会.变式训练1.不查表求sin75°,sin15°的值解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°=.42621322322+=⨯+⨯ sin15°= 15cos 12-=2)426(1+-=.426162628-=⨯- 点评:本题是例题的变式,比例题有一定的难度,但学生只要细心分析,利用相关的诱导公式,不难得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.点评:此题学生一看就有似曾相识而又无从下手的感觉,需要教师加以引导,让学生细心观察,再结合公式C (α-β)的右边的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).这就是公式逆用的典例,从而培养了学生思维的灵活性.例2 已知sin α=54,α∈(2π,π),cos β=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 活动:教师引导学生观察题目的结构特征,联想到刚刚推导的余弦公式,学生不难发现,欲求cos(α-β)的值,必先知道sin α、cos α、sin β、cos β的值,然后利用公式C (α-β)即可求解.从已知条件看,还少cos α与sin β的值,根据诱导公式不难求出,但是这里必须让学生注意利用同角的平方和关系式时,角α、β所在的象限,准确判断它们的三角函数值的符号.本例可由学生自己独立完成.解:由sin α=54,α∈(2π,π),得 cos α=.53)54(1sin 122-=--=--a又由cos β=135-,β是第三象限角,得 sin β=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯- 点评:本题是直接运用公式C (α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯.变式训练已知sin α=54,α∈(0,π),cos β=135-,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 解:①当α∈［2π,π)时,且sin α=54,得cos α=53)54(1sin 122-=--=--a , 又由cos β=135-,β是第三象限角,得 sin β=22)135(1cos 1---=--β=1312-. 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =.6533)1312(54)135()53(-=-⨯+-⨯-. ②当α∈(0,2π)时,且sin α=54,得 cos α=53)54(1sin 122=-=-a , 又由cos β=135-,β是第三象限角,得 sin β=.1312)135(1cos 122-=---=--β 所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =.6563)1312(54)135(53-=-⨯+-⨯点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0,π),这样cos α的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.思路2例1 计算:(1)cos(-15°);(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°;(3)sinxsin(x+y)＋cosxcos(x+y).活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15°,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15°)=cos15°再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式C (α-β)的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数.解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =.42621222322+=⨯+⨯ (2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0.(3)原式=cos ［x-(x+y)］=cos(-y)=cosy.点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础. 例2 已知cos α=71,cos(α+β)=1411-,且α、β∈(0, 2π),求cos β的值. 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究α、α+β、β之间的关系,也就是寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到β=(α+β)-α的关系式,然后利用公式C (α-β)求值即可.但还应提醒学生注意由α、β的取值范围求出α+β的取值范围,这是很关键的一点,从而判断sin(α+β)的符号进而求出cos β.解:∵α、β∈(0,2π),∴α+β∈(0,π). 又∵cos α=71,cos(α+β)=1411-, ∴sin α=,734cos 12=-a sin(α+β)=.1435)(cos 12=+-βa 又∵β=(α+β)-α,∴cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =.21734143571)1411(=⨯+⨯- 点评:本题相对于例1难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到β=(α+β)-α的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是α+β的取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题.变式训练1.求值:cos15°+sin15°.解:原式=22(2cos15°+22sin15°)=2(cos45°cos15°+sin45°sin15°) =2cos(45°-15°)= 2cos30°=26. 2.已知sin α+sin β=53,cos α+cos β=54,求cos(α-β)的值. 解:∵(sin α+sin β)2=(53)2,(cos α+cos β)2=(54)2, 以上两式展开两边分别相加得2+2cos(α-β)=1,∴cos(α-β)=21-. 点评:本题又是公式C (α-β)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到公式C (α-β)中cos αcos β和sin αsin β的值,即可求得cos(α-β)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.3.已知锐角α、β满足cos α=54,tan(α-β)=31-,求cos β. 解:∵α为锐角,且cos α=54,得sin α=53. 又∵0<α<2π,0<β<2π, ∴-2π<α-β<2π. 又∵tan(α-β)= 31-<0, ∴cos(α-β)=103.从而sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=101-.∴cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) =54×).101(53103-⨯+ =50109. 知能训练课本本节练习.解答:1.(1)cos(2π-α)=cos 2πcos α+sin 2πsin α=sin α. (2)cos(2π-α)=cos2πcos α+sin2πsin α=cos α. 2.102. 3..348315- 4.125372-. 课堂小结1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.作业课本习题3.1 A 组2、3、4、5.。
【B版】人教课标版高中数学必修四《两角和与差的余弦》教案1-新版
3.1.1两角和与差的余弦（一）教学目标1、知识目标（1）利用向量的数量积去发现两角差的余弦公式（2）灵活正反运用两角差的余弦2、能力目标（1）通过求两个向量的夹角，发现两角差的余弦，培养学生融会贯通的能力。
（2）培养学生注重知识的形成过程。
3、情感目标：通过公式的推导，更进一步发现“向量”的强大作用。
（二）教学重点、难点重点：（1）两角差的余弦（2）灵活应用两角差的公式解决问题难点：（1）两角差的余弦的推导（2）两角差的余弦的灵活应用（三）教学方法本节主要是采用数形结合的思路，由代数的精密推导和几何的直观性，推导出两角差的余弦，使学生养成数形结合的习惯；另外，整体上是由特殊到一般，再由一般回归特殊应用的辩证唯物思想的方法。
这样学生易接受；在公式的应用上采用练习讲解法。
（四）教学内容安排教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习向量的数量积以及它的主要作用：求两个向量夹角的余弦值。
正板书：例1：已知向量)45sin,45(cos ooa=，)30sin,30(cos oob=，求<ba,>的余弦学生回答，老师写副板书；写出向量的数量积以及它的变形（求夹角的余弦值）师：求向量夹角的余弦值，应具备哪些条件？生：应该求出两个向量的数量积以及它们各自的模师：回答很好。
我们先来求以旧带新，注意创设问题的情境，为引出新课程打基础。
通过这道题一来巩固向量积，二解：o o a 45sin 45cos ||22+==1oo b 30sin 30cos ||22+==1)30sin ,30(cos )45sin ,45(cos o o o o b a ⋅=⋅=o o o o 30sin 45sin 30cos 45cos ⋅+⋅ =426+ ><b a ,cos =||||b a b a ⋅⋅=426+即：cos15o=o o o o 30sin 45sin 30cos 45cos ⋅+⋅ =426+ 这两个向量的模以及它们的数量积。
高中数学人教版必修四学案：3.1.1 两角和与差的余弦
3．1 和角公式3．1.1 两角和与差的余弦[学习目标] 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法推导出公式的主要步骤.3.熟记两角和、差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．[知识链接]1．当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β成立．那么当α、β∈R 时，cos(α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗(举例说明)?答 不恒成立，如α＝π3，β＝π6时． 2．请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想．①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝1＝cos_0°；②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝32＝cos 30°； ③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0＝cos(－90°)；④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝12＝cos(－60°)． 猜想：cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)；即：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.[预习导引]1．两角差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β，其中α、β为任意角．2．两角和的余弦公式在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即C α＋β：cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝cos_αcos(－β)＋sin_α·sin(－β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.要点一运用公式求值例1计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 解(1)方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋2 4.方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋2 4.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.规律方法利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值．跟踪演练1计算：(1)sin 75°；(2)sin x sin(x＋y)＋cos x cos(x＋y)．解(1)sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. (2)原式＝cos[x －(x ＋y )]＝cos(－y )＝cos y .要点二 给值求值例2 设cos (α－β2)＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2. 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 规律方法 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[](α＋β)＋(α－β)，α＝12[](β＋α)－(β－α)等． 跟踪演练2 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值． 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． 又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314. 又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. 要点三 已知三角函数值求角例3 已知α、β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值． 解 ∵α、β均为锐角，∴sin α＝55，sin β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β，∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4. 规律方法 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图象就易求出角的值．跟踪演练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513. 由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴2β∈⎝⎛⎭⎫π2，32π，∴2β＝π，则β＝π2.1．cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )A.12B.13C.32D.33答案 A解析 cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12，故选A. 2．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是( ) A.32 B.12 C ．－32 D ．－12答案 B解析 sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12. 3．计算：12sin 60°＋32cos 60°＝________. 答案 32解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 4．已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010，求α＋β. 解 ∵α、β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， ∴cos α＝1－sin 2α＝ 1－15＝255， sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255·31010－55·1010＝22. 由0<α<π2，0<β<π2得0<α＋β<π， 又cos(α＋β)>0，∴α＋β为锐角，∴α＋β＝π4.1.公式C α－β与C α＋β都是三角恒等式，既可正用，也可逆用．要注意公式的结构特征． 如：cos αcos β±sin αsin β＝cos(α∓β)．2．要注意充分利用已知角与未知角之间的联系，通过恰当的角的变换，创造出应用公式的条件进行求解．3．注意角的拆分技巧的积累，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝α＋β2＋α－β2等．。
高中数学3.1.1两角和与差的余弦(二)教案(新人教A版必修4)
§3.1.1两角和与差的余弦（二）
（一）教学目标
1、知识目标
（1）利用两角差的余弦得到两角和的余弦
（2）灵活正反运用两角和与差的余弦
2、能力目标
（1）通过两角差的余弦会转化成两角和的余弦，发现区别，转化区别，培养学生化未知为已知的能力。
（2）培养学生灵活应用公式的能力。
3、情感目标：通过对公式的灵活应用，培养学生融会贯通的能力。
（二）教学重点、难点
重点：两角和与差的余弦公式的灵活应用
难点：（1）两角差的余弦过渡成两角和的余弦
（2）两角和与差的灵活应用
（三）教学方法
练习讲解法
的和
（60o+45o）
o
o45
sin⋅
60
sin。
312两角和与差的正弦、余弦、正切公式(教、学案).docx
3. 1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、 教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣, 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变 换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、 教学目标1. 掌握两角和与差公式的推导过程；2•培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力； 3.发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
三、 教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina-kbCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、 学情分析 五、 教学方法1. 温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2. 学案导学：见后面的学案。
3. 新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑一情境导入、展示目标一合作探究、精 讲点拨一反思总结、当堂检测一发导学案、布置预习六、 课前准备 多媒体课件 七、 课时安排：1课时 八、 教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：cos （a + 0） = COSGCOS 0-sinosin 0 ； cos （a-0） = cosacos/? + sinasin 0 .这是两角和与差的余弦公式，下而大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决 今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.=sin a cos + cos sin 0 ・sin (a - /?) = sin [a+{-/3)] = sin acos (-^) + cos a sin (-/?) = sin acos p - cos a sin 0让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学牛动手）sin (G + 0) = cos号-(。
数学 3.1.1两角和与差的余弦公式教学设计 新人教B版必修4 教案
两角和与差的余弦公式教学设计【教学三维目标】1.知识与技能目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题；培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；2过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。
3.情感、态度、价值观目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
【高考等级要求】C级【教学重点】两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。
【教学难点】两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。
【突破措施】先由特殊情形引入再向一般性过渡，充分挖掘学生的思考和探究能力，以达到对公式的深入理解和灵活运用。
【教材分析】这节内容是教材必修4的第三章《三角恒等变换》第一节，是高考的重点考点，历年高考必考内容，一般在填空或解答题第15题出现。
教材在学生掌握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数．“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆中的三角函数线，推出α，β，α－β均为锐角时成立．对于α，β为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究．同时，补充了用向量的方法推导过程中的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。
【学情分析】本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。
他们经过半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。
【学具准备】小黑板圆规【学法设计】独立思考，生生交流探究，小组合作【知识链接】诱导公式平面向量的数量积一、产生对公式的需求引入新课（1分钟）首先让学生通过具体实例消除对“cos(α-β)=cosα-cosβ”的误解，说明两角和（差）的三角函数不能按分配律展开。
数学3.1.1两角和与差的余弦教案(新人教B版必修4)
案例 3.1.1两角和与差的余弦
（一）教学目标
知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，
进而获取知识的能力．
情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质．
（二）教学重点，难点
本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式．难点是两角差的余弦公式的推导与证明．
（三）学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
复习：1。
余弦的定义
在第一章三角函数的学习当中我们知道，。
高一下学期数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
3．1．1两角差的余弦公式一、 教材分析：《两角差的余弦公式》是人教A 版高中数学必修4第三章《三角恒等变换》第一节《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》第一节课的内容.本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参与，独立思索，自己得出相应的结论.本节承接必修4中单位圆中的三角函数线及诱导公式知识，并且通过两角差余弦公式的推导感受数学证明方法——算两次原理的妙用，为其他和差公式内容启下. 课时安排：1课时.二、 教学重点与难点重点：两角差的余弦公式的探索和简单应用难点：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导三、教学目标1.知识目标:（1）借助单位圆中的三角函数线和向量的方法推导两角差的余弦公式（2）掌握公式的结构和特点，能够简单运用公式，为以后公式的推导打好基础 2.能力目标：（1）培养学生从一个量出发算两次的逻辑推理的思维能力，树立创新意识（2）在探究过程中体会从特殊与一般、分类与整合、数形结合、化归与转化等多种数学思想 （3）通过公式的探究、灵活运用，培养学生分析问题、解决问题的能力 3.情感目标：（1）通过公式的推导论证过程，培养学生学习数学的严谨 、求实的科学态度 （2）通过鉴赏)(βα-C 公式，发现其和谐匀称结构，让学生感受数学公式的美感四、学习者的特征分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的，学生已有一定的单位圆中三角函数线、向量的坐标表示等知识，学生能熟练地特殊角的三角函数值及三角函数诱导公式，学生普遍思维活跃，能有一定逻辑思维能力，学生的合作学习的经验还不足，需要教师在一定程度上加以引导.五、教学策略的选择与设计Ⅰ教学方法：启发引导式：本教学设计总体采用设计情境问题串及变式训练实验猜想论证式：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导六、课前准备Ⅰ学生准备：预习课本中《两角差的余弦公式》的内容，理解两种方法的推理过程 Ⅱ教师准备：课前预学案、课内探究学案、课后拓展学案七、教学设计教学流程活动流程图活动内容和目的活动1. 创设情景，揭示课题由特例思考引入，创设情境，发现问题，猜想结论，引出课题。
高中数学3.1.1两角和与差的余弦(二)教案1(新人教A版必修4)
3.1.1两角和与差的余弦（二）
教学目标
1、知识目标：会用公式求值和证明。
2、能力目标：培养学生分析问题解决问题的能力，推理，联想能力。
3、情感目标：发展学生的正向，逆向思维能力，前后知识灌溉和呼应的能力，培养良好、严谨的数学思维品质。
教学重点，难点
重点是运用公式求值，证明，并建立与原有知识（诱导公式），方法（旋转变换）的联系。
难点是公式的变形和逆向应用。
教学方法
教师按照例题设计的思路适度引导学生自发地思考问题，通过提问，讨论等形式来促使学生自己思考，自发学习，获得解决问题的途径，同时构建基于旧有知识的更新结构体系。
同时，通过切身的尝试和参与来实现思维能力的提升，以达到对这一公式熟练掌握和灵活运用的目的。
教学过程
提是只要知道其正，余弦值。
看教材中的例2。
提问：
)sin(cos )βαββα+++上看是βα,两个角，但
备注：
（1）在教学安排上，注意了知识之间的前后联系和互相灌溉作用，可以布置较为开放性的题目，使学生自己建立科学又符合自身认知规律的知识体系网；
（2）在题目的设计上，如果能加入向量工具的思想应该更能强化学生对于知识模块间联系的理解。
在这个问题上似乎还需要更深入的探索。
高一数学人教A版必修4第三章3.1.1 两角差的余弦公式 教案
《两角差的余弦公式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修4课题：3.1.1 两角差的余弦公式课时：1课时一、教学内容分析三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇处，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力与运算能力的重要素材.由于和与差内在的联系性与统一性，教材选择两角差的余弦公式作为基础，使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握.教学没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果.这样安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、发展思维.因此，本节课的教学重点是：利用诱导公式发现两角差的余弦公式，并运用向量方法证明公式.二、教学目标1.掌握两角差的余弦公式，并能正确运用公式进行简单的求值运算；2.经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；3.在利用诱导公式进行两角差余弦公式的探究过程中，体会“特殊到一般”、“数形结合”、“归纳猜想”等数学思想方法和思维方法，能体会到数学思维的合理性与条理性.三、学生学情分析学生此前已经掌握了任意角三角函数的概念、诱导公式的推导、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标运算等知识.同时，学生多次经历了由特殊到一般，归纳猜想等数学思维方法，基本具备数形结合的能力，这些都为本节课的学习建立了良好的知识基础.教材根据一个实例提出本章所要研究的主要内容，然后直接提出研究两角差的余弦公式，学生会感到有些突然；教材中用几何方法研究两角差的余弦公式学生不易想到用“割补法”求正弦线、余弦线；用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式，学生容易犯思维不严谨、不严密的错误.因此，我将本节课的教学难点确定为：发现并证明两角差的余弦公式.四、教学过程设计1.创设情景【情境问题】如图，某城市的电视发射塔CB 建筑市郊的一座小山CD 上,从山脚A 测得AC=50m,塔顶B的仰角(DAB ∠)为60︒，从A 点观测塔顶B 的视角（CAB ∠）约为45︒，求：A,B 两点间的距离.（请学生思考求解过程，某生表述：AB=2AD=2×50×()cos 6045︒-︒=100cos15︒.教师引导说明15︒角的余弦值是未知的，而60︒角、45︒角的三角函数值是已知的，不妨用它们来求差角6045︒-︒的余弦值.）【设计意图】从实际问题出发,有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性，使其感受到实际问题中对研究差角公式的需要.【思考1】()cos 6045︒-︒如何求角60︒，45︒的正弦、余弦值来表示呢？ （请学生大胆尝试说明，并根据自己的结论计算验证.在这个过程中，可将问题一般化：两角差αβ-的余弦值与这两个角,αβ的三角函数值之间有怎样的关系呢？引入课题：两角差的余弦公式）【设计意图】让学生体验如何用反例进行反驳，明确常犯的直接性错误为什么是错的，提出本节课的研究内容，统一对探究目标中“恒等”要求的认识.2.新知探究【思考2】在已学过的知识中，有没有类似求两角差余弦的式子呢？（请学生思考说明：诱导公式()cos cos πββ-=-，cos sin 2πββ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.） ()()cos cos cos 2πβαβπβ--−−−→⎛⎫- ⎪⎝⎭特殊化 【说明】观察以上两式就是把角α用特殊角π、2π来替换.由于特殊中往往能反映一般规律，我们不妨从上述公式出发，建立研究思路，寻找两角差的余弦公式的一般性规律.【设计意图】从学生的学习实际出发，回想已有的关于两角差的余弦的式子，寻找新旧知识之间的联系，使两角差的余弦公式的发现与推导是用“随机、自然进入”的方式呈现给学生.【探究1】()cos πβ-如何用角π和β的正弦、余弦值来表示呢？本环节以教师引导探究为主，展现知识的生成过程.【问题1】根据三角函数的定义,你能写出点12,P P 的坐标吗?（请学生说明，点 ()()12cos ,sin ,cos ,sin P P ππββ.）【问题2】根据三角函数的定义，()cos πβ-是角πβ-的终边与单位圆交点的横坐标.那么，你能在图1中画出角πβ-的终边吗？（请学生说明自己画图的过程，可能会有两种做法：方法一：由角β的终边画出角β-的终边，然后将角β-旋转角π，得角πβ-的终边；方法二：以角π的终边为始边旋转角β，得角πβ-的终边.设角πβ-的终边与单位圆交于点3P ，则点3P 的坐标为()()()cos ,sin πβπβ--）【过渡】在已知各点坐标的情况下，我们不妨用向量知识来解决问题.【问题3】观察图1，有几组向量的夹角相等？（请学生说明：0312P OP POP ∠=∠，又向量的模相等，0312OP OP OP OP ∴⋅=⋅，由向量数量积的坐标运算得：()cos cos cos sin sin πβπβπβ-=+.）【活动】根据上述推导过程，请同学们整理研究思路，在学案（附后表1）β的终边y x π-β的终边1,0()π的终边P3P1P2O P0上完成图1对应的表格.【设计意图】根据三角函数的定义及任意角三角函数的定义，建立几何图形与点的坐标之间的联系——向量，加强新旧知识之间的关联性，使向量方法的引入自然、合理.本环节设计为引导探究的学习方式，将探究一拆分为三个问题，帮助学生建立研究思路.【探究2】根据上述做法， cos 2πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值如何用角,2πβ的正弦、余弦值来表示呢？（请学生根据学案中的图2，四人一组完成探究. 教师引导说明角2πβ-的终边的形成过程，学生类比()cos πβ-的推导过程，以向量为工具，根据向量的夹角相等，得：0312OP OP OP OP ⋅=⋅βπβπβπsin 2sin cos 2cos 2cos +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴【设计意图】再一次经历由图形对称得等量关系，运用向量数量积的坐标运算建立数与形的联系，推导两脚差余弦的一个表达式.使学生从知识、方法、策略上多层次的感受式子的推导过程.【思考3】观察上面两个式子，猜想：若,αβ是任意角，那么()cos αβ-= ？（学生观察上式，归纳说明.）【设计意图】有特殊到一般，猜想任意角两角差的余弦公式，使学生成为数学结论的发现者，这对增强学生学习数学的信心、学会学习数学是有意义的.【探究3】你能否证明自己的猜想？π（请学生类比上面两式的推导过程，在学案中自主探究完成，并与周围同学相互交流，解决自己存在的问题.其中，差角αβ-的形成过程教师可利用几何画板旋转得到，帮助学生认识图形间的内在联系.之后投影展示某生的证明过程，并请该生解说： 0312OP OP OP OP ⋅=⋅()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+）【设计意图】通过对猜想进行证明，体现数学知识的严谨性、合理性，使学生对公式的认识上升到理性高度.同时，体会向量方法的作用.【归纳】两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+【问题4】观察两角差的余弦公式，我们如记忆公式呢？（请学生尝试说明，教师从式子左右两边的三角函数名及符号给予归纳：余余正正异相连.）【设计意图】引导学生总结公式特点，帮助学生记忆公式.3.应用举例例.求cos15︒的值.（本例由情景问题提出，可引导学生采用不同的方法求值，认识到拆分角的多样性.）【设计意图】帮助学生掌握两角差的余弦公式的应用，拓展数学思维，体会拆分的多样性，决定变换的多样性.4.课堂小结【问题5】本节课你学到了哪些知识，有什么样的心得体会？（学生说明，师生共同归纳总结.）（1）两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；（2）向量作为工具性知识的运用；（3）解决数学问题的思路：由已知到未知、由特殊到一般.β的终边α)【设计意图】让学生对探究的过程、思路与方法有一个清晰的认识，获得知识和能力的共同进步.5.作业布置（1）课本127页，练习2,3题；（2）查一查“两角差的余弦公式”还有其他证明方法吗？【设计意图】巩固所学知识，拓展解决数学问题的思路.。
高中数学必修四3.1.1两角差的余弦公式(教、学案)公开课教案课件课时训练练习教案课件
2
，求
cos(
)
的值.
下课啦，咱们来听个小故事吧:
活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每 个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。 活动过程：
1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答： “愿意！” 主持人口述谜语：
“双手抓不起，一刀劈不开， 煮饭和洗衣，都要请它来。” 主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！” 一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处 可大了，是真的吗？” 主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。 水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。” 甲：如果没有水，我们人类就无法生存。 小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。 花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能 为美化环境做贡献了。 主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》 竹板一敲来说话，水的用处真叫大； 洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚， 煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。 栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸； 鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它； 采煤发电要靠它，京城美化更要它。 主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？ 甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。 乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。
（2） 过点 P 作 PM⊥X 轴于点 M，那么 OM 就是 的余弦线。
（3） 过点 P 作 PA⊥OP1 于 A，过点 A 作 AB⊥x 轴于 B，过点 P 作 PC⊥AB 于 C
那么
OA 表示 cos ，AP 表示 sin ，并且 PAC P1Ox .
于是
OM=OB+BM
人教A版高中数学必修4第三章3.1.1两角和差的余弦公式导学案
【自主学习】
阅读课本相关内容，经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法作用，并回答以下问题：
1.计算 与 的值,并比较大小
2.计算 与 的值,并比较大小
3.如何用任意角 的正弦余弦值来表示 ；
4.如何求出 和 的值
Hale Waihona Puke 5.总结公式：【合作探究】
探究一、两角差的余弦公式应用
第三章三角恒等变换
3.1.1两角差的余弦公式
【学习目标】
1.学会建立两角差的余弦公式。通过公式的简单应用，达到对公式的结构的理解
2.通过预习知道公式的来源及根据公式的结构特征学会运用已学的知道进行适当的整理。
3.在探究公式的过程中，学会分析问题、解决问题的能力，学会合作交流的能力。
【重点难点】
重点：两角差余弦公式的探索和简单应用
(2) (3)
(4)
5.(1) (2)
(3) (4)
【能力提升】
1. 是第四象限角，求 . 2. 是第三象限角，求 .
3. 已知 ＝ ＝ ，求
【小结】这节课你学到了什么？你想进一步探究的问题是什么？
【学习评价】
自我评价你完成本节导学案的情况为（）
A.很好B.较好C.一般D.较差
例1.利用差角余弦公式求 的值
变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式：
（1） ； （2）
探究二、两角差余弦公式综合运用
变式训练：
【课堂检测】
1. 的值为 （ ）
A. B. C. D.
2. 的值为 （ ）
A. B. C. D .
3.已知 ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
4.计算：
(1) 变式：
2013新人教A版必修四3.1.1《两角和与差的余弦》word教案
3.1两角和与差的三角函数第1课时【学习导航】学习要求1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、应用公式)(βα+C ，求三角函数值.3．培养探索和创新的能力和意识.【自学评价】1．探究βαβαcos cos )cos(+≠+反例：6cos 3cos )63cos(2cos πππππ+≠+=问题：βαβαcos ,cos ),cos(+的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2．探究：在坐标系中、角构造+角3．探究：作单位圆，构造全等三角形4．探究：写出4个点的坐标)0,1(1P ，)sin ,(cos 2ααP))sin(),(cos(3βαβα++P ，))sin(),(cos(4ββ--P ，5．计算31P P ，42P P31P P =42P P =6．探究 由31P P =42P P 导出公式[]22cos()1sin ()αβαβ+-++[][]22cos()cos sin()sin βαβα=--+--展开并整理得所以可记为 )(βα+C7．探究 特征①熟悉公式的结构和特点； ②此公式对任意、都适用 ③公式记号)(βα+C8．探究 cos()的公式 以代得：公式记号)(βα-C【精典范例】例1 计算① cos105②cos15 ③cos5πcos 103πsin 5πsin 103π 【解】例2已知sin =53，cos =1312求cos()的值. 【解】例3已知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π, 求cos(α+β)的值。
分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即(2α-β)-(α-2β)=α+β由α、β角的取值范围，分别求出2α-β、α-2β角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。
【解】例4不查表，求下列各式的值.（1）︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos（2）︒-︒15sin 15cos 22（3）︒︒+︒︒55cos 10cos 35cos 80cos在三角变换中，首先应考虑角的变换,如何变换角？一定要根据题目的条件与结论来变，简单地说就是“据果变形”，创造出使用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的.常用的变换角的方法有：α=(α+β)-β,α+2β=(α+β)+α,,22αβαβα+-=+22αβαββ+-=- 【追踪训练】： 1．sin sin =12，cos cos =12，(0, 2π),(0, 2π),求cos()的值。
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课题：§3.1.1两角和与差的余弦 总第____课时
班级_______________ 姓名_______________
【学习目标】
1．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的
过程，体会向量和三角函数间的联系。
2．用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。
3．能用余弦的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。
【重点难点】
学习重点：理解并熟记两角和与差的余弦公式。
学习难点：两角差的余弦公式的推导，灵活应用几个公式来进行三角恒等变换
【学习过程】
一、自主学习与交流反馈：
问题1 设向量)75sin ,75(cos =，),15sin ,15(cos =试分别计算
θb a =⋅及2121y y x x b a +=⋅，比较两次计算结果，你能发现什么？
问题2 ()βα-cos 能否用α的三角函数和β的三角函数来表示？
问题3 能否用α的三角函数与β的三角函数来表示)cos(βα+？
二、知识建构与应用：
两角差的余弦公式：)(βα-C
两角和的余弦公式：)(βα+C
问题4：用“β-代替β”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？
三、例题
例1 利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：
（1）ααπsin )2cos(
=-； （2）ααπcos )2sin(=-。
例2 （1）利用两角和（差）的余弦公式，求 75cos ， 15cos ， 15sin , 15tan ；
（2）求值：)18sin()27sin()18cos()27cos( -++-+x x x x
例3 （1）已知32sin =
α，),2(ππα∈，53cos -=β，)23,(ππβ∈ 求)cos(βα+的值
（2）已知：βα,为锐角，且54cos =
α，65
16)cos(-=+βα ，求βcos 的值
例4 设βα,为锐角，且55sin =
α，10
10sin =β，求βα+的值
四、巩固练习 1．利用两角和（差）的余弦公式证明：
（1）ααπsin )23cos(-=- （2）ααπcos )2
3sin(-=-
2．利用两角和（差）的余弦公式化简：
（1）
37sin 58sin 37cos 58cos +=
（2）)60cos()60cos(θθ--+ =
（3）)60cos()60cos(θθ-++ =
（4）cos()cos sin()sin αββαββ---=
3．利用两角和（差）的余弦公式，求cos105
4．化简
（1）cos100cos 40sin80sin 40+=
（2）cos80cos55sin10sin35+=
（32sin15+=
（42cos15-= 5．已知53cos -
=θ，),2(ππθ∈，求)3cos(θπ-的值
6．已知1sin 3α=
，(,)2παπ∈，求cos()4πα+和cos()4
πα-的值
五、回顾反思
六、作业批改情况记录及分析。