计算机图形学10-曲线曲面参数表示的基础知识PPT课件
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02第二讲曲线参数表示的基础知识(二)PPT课件
与一阶导数值分别为: y0, y1, y0, y1可在两个端点之间
构作一段三次曲线。该曲线的方程为：
y(u )a 0 a 1 u a 2 u 2 a 3 u 3
对u求导后得：
y(u)a 12a2u3a3u2
r(u)
18
将上述得四个已知条件代入，即可求得四个系数，从而有：
y ( u ) ( 2 y 0 2 y 1 y 0 y 1 ) u 3 ( 3 y 1 3 y 0 2 y 0 y 1 ) u 2 y 0 u y 0
弯矩在这段梁内是线性函数。
按照欧拉公式有：曲率=k(x)= 1 =M(x)
ρ(x) EJ
平面曲线的曲率为：k(x)=ρ1 (x)=(1+yy2)32
因此有：
y (1+y2
)3
2
=
M(x) EJ
对于“小挠度”曲线，即：y(x) 1 上述方程可以近似为
假设条件
y(x) = M(x)
EJ
13
由于在两个压铁之间M(x)是线性函数，因此,每小
第二讲 曲线参数表示的基础知识（二）
1
曲线参数表示的基础知识
• 参数曲线的插值、逼近 • Hermite插值曲线 • 曲线拼接及连续性、几何连续性 • 数据点的参数化，Hermite插值样条 • 平面点列的插值（光滑及二阶几何连续）
2
• 工业产品的表面几何形状大致可分为两类：
– 一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面、 圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达。
是一阶连续的； 3）样条在压铁处左右两段的曲率相同，相当于函数是
二阶连续的。
14
样条函数的本质是：一致通 过型值点的 二阶连续可导的 三 次 分段函数。
构作一段三次曲线。该曲线的方程为：
y(u )a 0 a 1 u a 2 u 2 a 3 u 3
对u求导后得：
y(u)a 12a2u3a3u2
r(u)
18
将上述得四个已知条件代入，即可求得四个系数，从而有：
y ( u ) ( 2 y 0 2 y 1 y 0 y 1 ) u 3 ( 3 y 1 3 y 0 2 y 0 y 1 ) u 2 y 0 u y 0
弯矩在这段梁内是线性函数。
按照欧拉公式有：曲率=k(x)= 1 =M(x)
ρ(x) EJ
平面曲线的曲率为：k(x)=ρ1 (x)=(1+yy2)32
因此有：
y (1+y2
)3
2
=
M(x) EJ
对于“小挠度”曲线，即：y(x) 1 上述方程可以近似为
假设条件
y(x) = M(x)
EJ
13
由于在两个压铁之间M(x)是线性函数，因此,每小
第二讲 曲线参数表示的基础知识（二）
1
曲线参数表示的基础知识
• 参数曲线的插值、逼近 • Hermite插值曲线 • 曲线拼接及连续性、几何连续性 • 数据点的参数化，Hermite插值样条 • 平面点列的插值（光滑及二阶几何连续）
2
• 工业产品的表面几何形状大致可分为两类：
– 一类由初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥面、球面、 圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达。
是一阶连续的； 3）样条在压铁处左右两段的曲率相同，相当于函数是
二阶连续的。
14
样条函数的本质是：一致通 过型值点的 二阶连续可导的 三 次 分段函数。
参数曲线曲面基础演示文稿
i0 j0
第8页，共51页。
8.1.2 曲线曲面的表示要求
1.唯一性:由给定的有限信息决定唯一的形状。
2.几何不变性:由给定的有限信息所确定的形状，不随所取 得坐标系不同而改变。 3.易于定界：几何形状数学描述易于定界. 4.统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况.
5.易于实现光滑连接:在表达复杂形状时，经常需要将曲线段进行 连接，或曲面片进行连接。
6. 曲面上点的类型划分
§1.8* 曲面的曲率
峰 脊
阱 谷
三角网格模型
鞍形脊
鞍形谷
平面
极小曲面
Besl通过高斯曲率K和平均曲率M 的组合，将点附近的曲面形状分为 八种基本特征类型
曲率类型标识
区域分割
第26页，共51页。
§1.8* 曲面的曲率
手动工具的平均曲率图
悬链面的高斯曲率
第27页，共51页。
设已知曲线的矢量方程为：
p p(t) [x(t), y(t), z(t)] 根据弧长微分公式： ds 2 (dx)2 (dy)2 (dz)2
第15页，共51页。
§1.3 曲线的自然参数方程
ds
(dx)2 (dy)2 (dz)2
( x'(t ))2 ( y'(t ))2 (z'(t ))2
u 以n为轴转动平面PL，则相应的法曲率随之变化 。
第23页，共51页。
§1.8* 曲面的曲率
2.主曲率、高斯曲率、平均曲率
法曲率的极值k1、 k2
主曲率
K 1 2
高斯曲率
M
1 2
(
1
2
)
平均曲率
第24页，共51页。
§1.8* 曲面的曲率
《曲线与曲面》PPT课件
精选ppt
3
二、曲线的投影
画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确 地表示曲线，一般应画出曲线上特Hale Waihona Puke 点的投影，以便控制好曲线 的形状。
曲线的投影性质：
1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能 退化成直线；
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4
2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的 投影相切，而且切点的投影仍为切点；
直母线绕一条与它交叉的 直线 OO 旋转，这样形成的曲 面称为旋转单叶双曲面，直线 OO称为旋转轴。
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42
投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨 迹的投影，以及素线的包络线。
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43
2. 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
精选ppt
44
旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。 母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。
曲导线曲导线cc是空间曲线是空间曲线称为切线面的称为切线面的脊线三切线面29工程中弯曲坡道两侧的边坡往往设计成切线面并且使切线面的所有切线与地面成同一角度这样设计成的切线面称为同坡曲30直母线直母线ll沿着两条交叉直导沿着两条交叉直导ababcdcd运动且始终平行于某一导运动且始终平行于某一导平面平面qq这样形成的曲面称为这样形成的曲面称为双曲抛物双曲抛物面面工程上也称双曲抛物面的投影图中只双曲抛物面的投影图中只需画出两条直导线和若干素线的投影需画出两条直导线和若干素线的投影而不必画出导平面
精选ppt
34
五、锥状面
直母线 l 沿着一条直导线 EF 和一条曲导线ABC 运动，且始终 平行于导平面P（P 平行于两条导 线端点的连线AE 和CF ），这样 形成的曲面称为锥状面。
计算机图形学10_曲线曲面参数表示的基础知识PPT课件
.
假如我们采用矢量表达式 来表示参数化的二次曲线，那 么可以把抛物线的表达式写成 如下的一般形式为：
P2
P1 P3
图 过三点的二次曲线
P（t）= A1 + A2t + A3t2 （0 ≤t≤1）
(6-1)
抛物线是一条二次曲线，所以表达式中参数t的最高次 数为2，同时让参数t在0—l之间取值。
这就是说，只要确定了式(6–1)中的三个系数：A1,A2 和A3，那么就确定了抛物线的表达式，随之抛物线的曲线 图形也就可以确定。所以，我们的工作是要通过设定一些
Si(ti)=(2ti2–3ti+1)Pi+(4ti–4ti2)Pi+1+(2ti2–ti)Pi+2 (0≤ti≤1) (6-7)
同理，第i+1条抛物线段为经Pi+1，Pi+2和Pi+3三点，所以它的 表达式为：
.
▪ 二阶参数连续性，记作C2，指相邻 两个曲线段在交点处具有相同的一阶 和二阶导数。如图所示。
.
目录
▪ 曲线曲面概述 ▪ 参数曲线基础 ▪ 曲线构造方法 ▪ 二次插值样条曲线 ▪ 三次样条参数曲线(Hermite，Cardinal样条
曲线) ▪ Beizer曲线 ▪ B样条曲线
.
二次插值样条曲线
曲线构造方法
▪ 插值法
➢ 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1 和x2的值，用线形函数 y=ax+b，近似代替f(x)， 称为的线性插值函数。
.
插值法
抛物线插值(二次插值): 已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造
函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
假如我们采用矢量表达式 来表示参数化的二次曲线，那 么可以把抛物线的表达式写成 如下的一般形式为：
P2
P1 P3
图 过三点的二次曲线
P（t）= A1 + A2t + A3t2 （0 ≤t≤1）
(6-1)
抛物线是一条二次曲线，所以表达式中参数t的最高次 数为2，同时让参数t在0—l之间取值。
这就是说，只要确定了式(6–1)中的三个系数：A1,A2 和A3，那么就确定了抛物线的表达式，随之抛物线的曲线 图形也就可以确定。所以，我们的工作是要通过设定一些
Si(ti)=(2ti2–3ti+1)Pi+(4ti–4ti2)Pi+1+(2ti2–ti)Pi+2 (0≤ti≤1) (6-7)
同理，第i+1条抛物线段为经Pi+1，Pi+2和Pi+3三点，所以它的 表达式为：
.
▪ 二阶参数连续性，记作C2，指相邻 两个曲线段在交点处具有相同的一阶 和二阶导数。如图所示。
.
目录
▪ 曲线曲面概述 ▪ 参数曲线基础 ▪ 曲线构造方法 ▪ 二次插值样条曲线 ▪ 三次样条参数曲线(Hermite，Cardinal样条
曲线) ▪ Beizer曲线 ▪ B样条曲线
.
二次插值样条曲线
曲线构造方法
▪ 插值法
➢ 线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1 和x2的值，用线形函数 y=ax+b，近似代替f(x)， 称为的线性插值函数。
.
插值法
抛物线插值(二次插值): 已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造
函数 ￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相 等。
第五章(曲线曲面)PPT课件
23
最小二乘法解决逼近问题
➢ 根据求极值问题的方法可知，使 (a j )达到极小的 a j (j=0,1…,m)必须满足下列方程组：
a i 2 kn 0d k jm 0a jx k j y k x k i 0 i 0 ,1 ,.m ....
n
n
➢ 若令 dkxk i Si , dkykxk i Ti；则可得方程组：
通过定义不同的方程系数a,b,c,d,e,f，即 可得到不同的圆锥曲线，如抛物线，双 曲线和椭圆等。
6
3) 参数表示
在平面曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标 均要表示成一个参数式。如用参数t表示，则曲 线上每一点坐标的参数形式是：
x x(t ) y y (t )
曲线上一点坐标的矢量表示是：
p(t)[x(t) y(t)]
在60～70年代，曲线与曲面表示在船体放样设计、汽车外形设计、飞 机的内外形设计中的应用，建立了基本理论与方法。
如今，曲线与曲面的应用更加广泛，在纺织服装，人体外形设计及色 彩处理；股市行情分析变化曲线表示；生产管理按月、季、年度变化曲线 表示，产品的外形及包装设计以及人的面部表情模拟等，极大地丰富了曲 线和曲面的表示方法。
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
1. 曲线、曲面研究的发展过程
曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容之一， 它们在实体造型技术、几何造型设计中有着广泛的 应用。近二十年来，曲线、曲面的发展层出不穷。
➢ 1963年，波音(Boeing)公司的佛格森(Ferguson)将曲线 曲面表示成参数矢量形式；
如用`表示对参数的求导，则参数曲线的切矢量 或导函数是：
最小二乘法解决逼近问题
➢ 根据求极值问题的方法可知，使 (a j )达到极小的 a j (j=0,1…,m)必须满足下列方程组：
a i 2 kn 0d k jm 0a jx k j y k x k i 0 i 0 ,1 ,.m ....
n
n
➢ 若令 dkxk i Si , dkykxk i Ti；则可得方程组：
通过定义不同的方程系数a,b,c,d,e,f，即 可得到不同的圆锥曲线，如抛物线，双 曲线和椭圆等。
6
3) 参数表示
在平面曲线的参数表示中，曲线上每一点的坐标 均要表示成一个参数式。如用参数t表示，则曲 线上每一点坐标的参数形式是：
x x(t ) y y (t )
曲线上一点坐标的矢量表示是：
p(t)[x(t) y(t)]
在60～70年代，曲线与曲面表示在船体放样设计、汽车外形设计、飞 机的内外形设计中的应用，建立了基本理论与方法。
如今，曲线与曲面的应用更加广泛，在纺织服装，人体外形设计及色 彩处理；股市行情分析变化曲线表示；生产管理按月、季、年度变化曲线 表示，产品的外形及包装设计以及人的面部表情模拟等，极大地丰富了曲 线和曲面的表示方法。
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
1. 曲线、曲面研究的发展过程
曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容之一， 它们在实体造型技术、几何造型设计中有着广泛的 应用。近二十年来，曲线、曲面的发展层出不穷。
➢ 1963年，波音(Boeing)公司的佛格森(Ferguson)将曲线 曲面表示成参数矢量形式；
如用`表示对参数的求导，则参数曲线的切矢量 或导函数是：
计算机图形学--第十讲 曲线的基本概念
12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面在工程上经常遇到的曲线和曲面有两种：◆简单曲线和曲面函数方程或参数方程直接给出；◆自由曲线用二次混合曲线或三次曲线。
曲线曲面描述方法的发展： 1963曲线曲面1971线形状1972条曲线曲面1975方法1991何形状的唯一数学方法☐非参数表示：显式表示，坐标变量之间一一对应隐式表示☐非参数表示存在问题：不具有几何不变性，形状与坐标轴相关斜率无穷大非平面曲线、曲面难以用常系数的非参数化函数表示 不便于计算与编程参数表示：曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数示，曲线上一点的笛卡尔坐标：曲线上一点坐标的矢量表示：p对参数变量规格化：例子：直线段的参数表示曲面的参数表示空间曲面xyzP☐参数表示法的优点◆曲线的形状与坐标系无关。
◆容易确定曲线的边界。
参数规格化区间或为◆曲线的绘制简单。
当参数序列组成的连线就是方程代表的曲线。
◆易于变换。
对参数方程表示的曲线或曲面进行几何变换或投影变换，只需要对方程的系数变换即可◆易于处理斜率无穷大的情形。
◆易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算隐式表示的曲线称为隐式曲线 表示形式空间隐式曲线表示为联立方程组 注意参数表示与隐式表示的比较参数表示易于求值给定一个参数值，代入参数方程对应的参数曲线上的点；得到隐式曲线上的点则非常困难。
参数表示难于判断内外对于隐式曲线f(x线12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面☐参数曲线的表示参数的、连续的、单值的函数：x=x(t), y=y(t), z=z(t), 0<=t<=1 ☐位置矢量p(t)=[x(t), y(t), z(t)]曲率：数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。
计算机图形学曲线和曲面造型ppt课件
形状复杂的曲线常采用若干段曲线组合而成，相邻的曲线段 间的连接则满足某种连续性条件。
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
• 如果参数曲线有n阶连续的导矢，则称该曲线为Cn或n阶连续。
一般来说，如果曲线连续的阶数越高，那么曲线就越光滑。 在几何上，C0，C1，C2依次表示曲线的位置、切线方向，曲 率连续。
• 对于组合曲线，整条曲线的参数连续性取决于公共连接点的
连续性。如果在公共连接点达到k阶参数连续，则称该曲线
具有Ck或k阶参数连续性。
| | dpk (u)
duk
u u0
dpk (u) duk
u
u
0
k 0,1,, n
12
y
y(u, v)
z z(u, v)
曲面的范围通常用两个参数u和v的变化区间的矩形区域 u1 u u2 , v1 v v2 给出。这种曲面通常叫做矩形域曲面。参数u和v的变化区间一般规范为0，1，
10
矢量方程式为 s s(u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
计算机图形学
第专题
曲线和曲面造型
1
一. 曲面造型的发展
• 曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何
设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD) 和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要 内容，主要研究在计算机图形系统中对曲面的表 示、设计、显示和分析。
多样性 特殊性 拓扑结构复杂性 一体化 集成化 网络化
三维数据采样技术 及硬件设备完善
曲 基于网格细分 面 的离散造型 造 型 曲面变形 研 究 曲面重建 的 开 曲面简化 拓 创 曲面转换 新
计算机图形学ppt课件第八章自由曲线曲面
u
u
u
u
§8.1 曲线和曲面的表示
所以 c'(u) [x'(u), y'(u), z'(u)] 矢函数的导矢也 是一个矢函数，因此也有方向和模。u当 0 ,c(u)/ u 就转变为切线矢量，故又称导矢为切矢 。
• 曲线的自然参数方程 设在空间曲线c(u)上任取一点M0(x0,y0,z0)作为计 算弧长起点，曲线上其他点M(x,y,z)到M0的弧长s 作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然 参数方程，弧长则称为自然参数。
• Bezier曲线矩阵表示
➢ 三次Bezier曲线
P1
P2
C(u) (1 u)3 p0 3u(1 u)2 p1 3u2 (1 u) p2 u3 p3
1 3 3 1P0
C(u)
[u3,u2 ,u,1]
3Leabharlann 630P1
P(u)
3 3
1
0
0 0
0 0
P2 P3
P0
P3
图8.3 三次Bezier曲线
• 性质
1、端点
P0,0 S(0,0), P0,m S(0,1)
2、边界曲线Pn,0 S(1,0), Pn,m S(1,1)
S(0,v)， S(u,0)， S(1,v)， S(u,1)为四条Bezier 曲线
3、端点的切平面
4、端点的法线方向
5、凸包性
6、几何不变性
7、变差递减性
§8.3 贝叶斯（Bezier）曲面
当u为常数时，上式变成单参数v的矢函数，它是曲面上的空 间曲线，称它为v线，同理v为常数时，则称为u线。
将矢函数S(u,v)对u求导，得切矢量
S u
自由曲线和曲面 图形学 孔令德 计算机图形学基础教程 大学课件98页PPT文档
Hermite曲线段定义：给定曲线段的两个端点P i 和 P i+1和两端点处的一阶导数Ri和Ri+1构造而成。
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
下面用已知条件求出Hermite曲线段的参数方程
11
通常用三次参数方程描述空间一条自由曲 线：
x(t) y(t)
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈[0,1]
z(t) azt3 bzt2 czt dz
其中，t为参数，且0<=t<=1时，t=0对应曲线段的起点，t ＝1时，对应曲线段的终点。
以直线为例：已知直线的起点坐标P1（x1，y1） 和终点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方程：
yy1yx22 xy11(xx1)
9
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
直线的参数方程表示为：
yxyx11
(x2 (y2
d
t∈〔0,1〕；
13
7.1.3 拟合和逼近
• 型值点 指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述曲线或 曲面几何形状的数据点。
• 控制点
指用来控制或调整曲线(面）形状的特殊点（不一定在曲线上）
• 插值点 求给定型值点之间曲线（面）上的点 要求建立的曲线与曲面数学模型，严格通过已知的每一
自由曲线曲面——
无法用标准方程描述的曲线曲 面，通常由一系列实测数据点 确定。如汽车的外形曲线曲面、 等高线等。
3
图7-1 汽车的曲面
4
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
《曲面与曲线》课件
曲面与曲线在数学中有着悠久的历史，它们是几何学的重要研究对象。随着数学理论的 发展，曲面与曲线的性质和形态不断被深入研究和探索。
近年来，数学家们利用现代数学工具，如微分几何、拓扑学等，对曲面与曲线进行了更 深入的研究，发现了许多新的性质和定理。这些研究成果不仅丰富了数学理论，也为其
他学科提供了重要的数学工具。
曲面在建筑设计中的应用广泛，如桥梁 、建筑立面、屋顶等。曲面设计能够带 来流畅、自然的视觉效果，增强建筑的
现代感和艺术感。
曲面可以有效地解决建筑结构问题，如 受力、稳定性等。通过合理的曲面设计 ，可以优化建筑结构，提高建筑的稳定
性和安全性。
曲面设计能够创造出独特的空间效果， 如流动的空间、丰富的光影效果等。曲 面设计能够打破传统建筑的沉闷感，为 人们提供更加舒适、愉悦的居住和工作
曲线的定义与分类
总结词
描述曲线的定义，并按照不同的标准对其进行分类。
详细描述
曲线是二维空间中连续变化的点的集合，它可以由二维坐标系中的一个变量确定 。根据不同的标准，曲线可以分为多种类型，如直线、圆、抛物线等。
曲面与曲线的几何特性
总结词
描述曲面和曲线的几何特性，包括形状、方向、弯曲程度等 。
详细描述
曲面和曲线的几何特性包括它们的形状、方向和弯曲程度等 。例如，球面的几何特性是中心对称，其表面上的点都与球 心保持相同的距离；而直线的几何特性是无限长且没有弯曲 。
Part
02
曲面与曲线的数学表达
曲面的参数方程
曲面的参数方程定义
参数方程的应用
曲面由参数方程表示，通常包含三个 参数变量，如x(u,v)、y(u,v)和z(u,v) ，其中u和v是参数。
曲面与曲线的计算机渲染
近年来，数学家们利用现代数学工具，如微分几何、拓扑学等，对曲面与曲线进行了更 深入的研究，发现了许多新的性质和定理。这些研究成果不仅丰富了数学理论，也为其
他学科提供了重要的数学工具。
曲面在建筑设计中的应用广泛，如桥梁 、建筑立面、屋顶等。曲面设计能够带 来流畅、自然的视觉效果，增强建筑的
现代感和艺术感。
曲面可以有效地解决建筑结构问题，如 受力、稳定性等。通过合理的曲面设计 ，可以优化建筑结构，提高建筑的稳定
性和安全性。
曲面设计能够创造出独特的空间效果， 如流动的空间、丰富的光影效果等。曲 面设计能够打破传统建筑的沉闷感，为 人们提供更加舒适、愉悦的居住和工作
曲线的定义与分类
总结词
描述曲线的定义，并按照不同的标准对其进行分类。
详细描述
曲线是二维空间中连续变化的点的集合，它可以由二维坐标系中的一个变量确定 。根据不同的标准，曲线可以分为多种类型，如直线、圆、抛物线等。
曲面与曲线的几何特性
总结词
描述曲面和曲线的几何特性，包括形状、方向、弯曲程度等 。
详细描述
曲面和曲线的几何特性包括它们的形状、方向和弯曲程度等 。例如，球面的几何特性是中心对称，其表面上的点都与球 心保持相同的距离；而直线的几何特性是无限长且没有弯曲 。
Part
02
曲面与曲线的数学表达
曲面的参数方程
曲面的参数方程定义
参数方程的应用
曲面由参数方程表示，通常包含三个 参数变量，如x(u,v)、y(u,v)和z(u,v) ，其中u和v是参数。
曲面与曲线的计算机渲染
10、曲线曲面表示省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
n=3 由式（9-1），（9-2）可得：
P(t)
3 i0
Pi Ji,3 (t)
3 i0
Pi
3! t i (1 t)3i i!(3 i)!
P0 (1 t)3 3P1t(1 t)2 3P2t 2 (1 t) P3t3
0 t 1 （9-3）
用矩阵表达如下：
p(t) t 3 t 2 t
1 1 1 1P0
1
3
2
3 1
1
0
1 0 0
0 0 0
P1 P2 P3
（9-4）
Bezier曲线旳生成(3)
P(t)是空间点，用坐标形式表达为[x(t),y(t),z(t)] 由式（9-3）可知，实际坐标值可用下式分别计算：
P(t)旳三个分量
x(t) X 0 (1 t)3 3X1t(1 t)2 3X 2t 2 (1 t) X 3t3
现斜率无穷大情况；非平面曲线（面）难以常系数 函数表达；不便于计算和编程。
参数表达
点旳每一种坐标都表达成参数变量旳函数 参数整个变化范围相应整条曲线，但往往只
对某一部分感爱好，经过规格化使参数旳变 化范围限制在[0，1]中。
参数方程旳优越性
有更大旳自由度来控制曲线（面）旳形状。如一条 二维三次曲线显性表达：y=ax3+bx2+cx+d，只有四 个系数可用来控制曲线（面）形状，
P(t)在起点处与P0P1相切，在终点处与Pn-1Pn
相切
P1
由式(9-1),(9-2)可得：
Pn-1
P’(0)=n(P1-P0), p’(1)=n(Pn-Pn-1)
P0
Pn
Bezier曲线旳性质(2)
凸包性
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一般形式：f(x，y) = 0
注： 易判断某给定点是在曲线上还是曲线某一侧。
7
非参数表示形式（显示和隐式）存在如下问题： ① 与坐标有关 ② 出现斜率为无穷大的特殊情形 ③ 对于非平面曲线，曲面，难于用常系数的非参数化函
数表示 ④ 不便于计算机处理
8
（3）参数
一般形式： P(t)=[x(t),y(t)]
15
参数曲线相关术语
弧长
当n →∞，可以把弧长表示为无数段 p0p1,p1p2….的长度组成
而当p0与p1的△ t→0时，p0p1可以 近似的表示为
于是从0到t的弧长可以表示为：
16
参数曲线基础
▪ 参数曲线相关术语
➢ 法矢量 对于空间参数曲线上的任意一点，所有垂直切 矢量T的矢量有一束，且位于同一平面上，该平 面称为法平面。
注：曲线上任意一点都可表示为给定参数t的函数。
•
参数表示形式优点：
① 满足几何不变性要求
② 更多自由度参数控制曲线与曲面形状
例：二维三次曲线显示表示：
yax3bx2cxd
二维三次曲线参数表示：
P(t)aa21tt33 b b2 1tt2 2 c c1 2tt d d12,t[0,1]
9
最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的 直线段参数方程可表示为：
12
参数曲线相关术语
用参数表示的3维曲线是一个有界的点集，可以写成一个带 参数的、连续的、单值的数学函数，形式为：
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t) t [0,1]
位置矢量：曲线上任意一点的 位置矢量（即坐标），可以用 矢量p(t)表示，p(t)=[x(t),y(t),z(t)]
为什么选参数t呢,物理上 可以把3维空间的曲线理 解为一个动点的轨迹,表 示位置矢量p随时间变化
17
矢量积
是第三个单位矢量，它垂直于单位矢量
和单位矢量 。经该点与矢量 平等的法矢量称为曲
线在该 点的副法矢量，矢量 称为单位副法矢量。
（从切面） T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)
18
5.1参数曲线基础
▪ 参数曲线相关术语
➢ 曲率和曲率半径：曲率几何意义是曲线的单位 切矢对弧长的转动率，即P(s)到P(s+ds)这段 弧的弯曲程度。
曲线和曲面
1
目录
曲线曲面概述 曲线、曲面参数表示的基础
知识 曲线构造方法 三次样条参数曲线 Beizer曲线 B样条曲线
2
曲线曲面概述
▪ 图形学中一个很复杂的又非常重要的研究 领域。
➢ 曲线曲面才是造型的真正统治者，它占据了我 们生活和幻想中的造型的绝大部分。
➢ 但曲线曲面又是如此地难以理解，让人们在一 段很长很长的时间内无法征服它。
那么，它的一阶，二阶，K阶（如果存在）导数分别为
13
▪ 参数曲线相关术语
➢ 切矢量
曲线上R,Q两点参数分别是t和t+△t. 当Q趋向R,也就是△ t→0
导数
的方向P’(t)就代表了R
点的切线方向
导数
的大小就可以近似表示△P的长Biblioteka 也可以近似表示这一段弧长△ S
14
切矢量
如果选择弧长S作为参数，则 是单位矢量
（6）规格化的参数变量t∈[0，1]，使其相应的几何分量 是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。
（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。基 于这些优点，我们在以后将用参数表达式来讨论曲线问题。
11
▪ 5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。 因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一 象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：
其参数形式可表示为：
10
（3）对非参数表示的曲线和曲面进行变化时，必须对 所有点进行变化；对参数表示的曲线和曲面则可直接对 参数方程变化。
（4）便于处理斜率为无限大的问题，不会因此而中断 计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全 分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间 中的曲线扩展到高维空间去。
▪ 插值法
➢ 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一 条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进 行插值，所构造的曲线称为插值曲线。
目录
▪ 曲线曲面概述 ▪ 曲线、曲面参数表示的
基础知识 ▪ 曲线构造方法 ▪ 三次参数曲线 ▪ Beizer曲线 ▪ B样条曲线
6
显式、隐式和参数表示
曲线和曲面都有非参数表示和参数表示之分 在非参数中又分为显式和隐式表示
（1）显式
一般形式： y = f(x)
注： x 与y一一对应，显示方程不能表示封闭和多值 曲线。 （2）隐式
19
参数曲线基础
▪ 参数曲线相关术语
➢ 挠率： 等于副法线方向(或密切平面)对于弧长 的转动率,反应了曲线的扭绕特性。
平面曲线中密切平面是曲线所在平面，所以副法矢 固定不变，所以绕率总是=0，非平面曲线副法矢变 化了，会对曲线产生扭动的效果。
T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)
20
曲线构造方法
3
4
曲线曲面概述
▪ 自由曲线和曲面发展过程 ➢ 自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线， 人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在 几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受 压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达 到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。 ➢ 1963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面 ➢ 1964-1967年，美国MIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲 面 ➢ 1971年，法国雷诺汽车，Bezier提出用控制多边形来定义曲线 和曲面 ➢ 1974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德, B样条理论用于形 状描述 ➢ 1975年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理B样条 ➢ 80年代，皮格尔和蒂勒, 将有理B样条发展成非均匀有理B样条， 5
注： 易判断某给定点是在曲线上还是曲线某一侧。
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非参数表示形式（显示和隐式）存在如下问题： ① 与坐标有关 ② 出现斜率为无穷大的特殊情形 ③ 对于非平面曲线，曲面，难于用常系数的非参数化函
数表示 ④ 不便于计算机处理
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（3）参数
一般形式： P(t)=[x(t),y(t)]
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参数曲线相关术语
弧长
当n →∞，可以把弧长表示为无数段 p0p1,p1p2….的长度组成
而当p0与p1的△ t→0时，p0p1可以 近似的表示为
于是从0到t的弧长可以表示为：
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参数曲线基础
▪ 参数曲线相关术语
➢ 法矢量 对于空间参数曲线上的任意一点，所有垂直切 矢量T的矢量有一束，且位于同一平面上，该平 面称为法平面。
注：曲线上任意一点都可表示为给定参数t的函数。
•
参数表示形式优点：
① 满足几何不变性要求
② 更多自由度参数控制曲线与曲面形状
例：二维三次曲线显示表示：
yax3bx2cxd
二维三次曲线参数表示：
P(t)aa21tt33 b b2 1tt2 2 c c1 2tt d d12,t[0,1]
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最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的 直线段参数方程可表示为：
12
参数曲线相关术语
用参数表示的3维曲线是一个有界的点集，可以写成一个带 参数的、连续的、单值的数学函数，形式为：
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t) t [0,1]
位置矢量：曲线上任意一点的 位置矢量（即坐标），可以用 矢量p(t)表示，p(t)=[x(t),y(t),z(t)]
为什么选参数t呢,物理上 可以把3维空间的曲线理 解为一个动点的轨迹,表 示位置矢量p随时间变化
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矢量积
是第三个单位矢量，它垂直于单位矢量
和单位矢量 。经该点与矢量 平等的法矢量称为曲
线在该 点的副法矢量，矢量 称为单位副法矢量。
（从切面） T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)
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5.1参数曲线基础
▪ 参数曲线相关术语
➢ 曲率和曲率半径：曲率几何意义是曲线的单位 切矢对弧长的转动率，即P(s)到P(s+ds)这段 弧的弯曲程度。
曲线和曲面
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目录
曲线曲面概述 曲线、曲面参数表示的基础
知识 曲线构造方法 三次样条参数曲线 Beizer曲线 B样条曲线
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曲线曲面概述
▪ 图形学中一个很复杂的又非常重要的研究 领域。
➢ 曲线曲面才是造型的真正统治者，它占据了我 们生活和幻想中的造型的绝大部分。
➢ 但曲线曲面又是如此地难以理解，让人们在一 段很长很长的时间内无法征服它。
那么，它的一阶，二阶，K阶（如果存在）导数分别为
13
▪ 参数曲线相关术语
➢ 切矢量
曲线上R,Q两点参数分别是t和t+△t. 当Q趋向R,也就是△ t→0
导数
的方向P’(t)就代表了R
点的切线方向
导数
的大小就可以近似表示△P的长Biblioteka 也可以近似表示这一段弧长△ S
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切矢量
如果选择弧长S作为参数，则 是单位矢量
（6）规格化的参数变量t∈[0，1]，使其相应的几何分量 是有界的，而不必用另外的参数去定义其边界。
（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。基 于这些优点，我们在以后将用参数表达式来讨论曲线问题。
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▪ 5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。 这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于 建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有 可能引起曲线形状复杂的变化。 因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如： 二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一 象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：
其参数形式可表示为：
10
（3）对非参数表示的曲线和曲面进行变化时，必须对 所有点进行变化；对参数表示的曲线和曲面则可直接对 参数方程变化。
（4）便于处理斜率为无限大的问题，不会因此而中断 计算。 （5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全 分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间 中的曲线扩展到高维空间去。
▪ 插值法
➢ 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一 条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进 行插值，所构造的曲线称为插值曲线。
目录
▪ 曲线曲面概述 ▪ 曲线、曲面参数表示的
基础知识 ▪ 曲线构造方法 ▪ 三次参数曲线 ▪ Beizer曲线 ▪ B样条曲线
6
显式、隐式和参数表示
曲线和曲面都有非参数表示和参数表示之分 在非参数中又分为显式和隐式表示
（1）显式
一般形式： y = f(x)
注： x 与y一一对应，显示方程不能表示封闭和多值 曲线。 （2）隐式
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参数曲线基础
▪ 参数曲线相关术语
➢ 挠率： 等于副法线方向(或密切平面)对于弧长 的转动率,反应了曲线的扭绕特性。
平面曲线中密切平面是曲线所在平面，所以副法矢 固定不变，所以绕率总是=0，非平面曲线副法矢变 化了，会对曲线产生扭动的效果。
T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)
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曲线构造方法
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曲线曲面概述
▪ 自由曲线和曲面发展过程 ➢ 自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线， 人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在 几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受 压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达 到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。 ➢ 1963年，美国波音，弗格森提出使用参数三次方程来构造曲面 ➢ 1964-1967年，美国MIT，孔斯用封闭曲线的四条边界来定义曲 面 ➢ 1971年，法国雷诺汽车，Bezier提出用控制多边形来定义曲线 和曲面 ➢ 1974年，美国通用汽车，戈登和里森菲尔德, B样条理论用于形 状描述 ➢ 1975年，美国锡拉丘兹大学，佛斯普里尔提出有理B样条 ➢ 80年代，皮格尔和蒂勒, 将有理B样条发展成非均匀有理B样条， 5