二维泊松方程的有限元法

合集下载

多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用

ｎｅｗＧＳ在细网格上更新狌即狌这一过程叫狌＝狌ｆ，ｆ．ｆｆ＋Δ
１多重网格方法
多重网格法最初来源于差分方程的迭代求解数值解与差分方程精确解之间的误差与傅立．叶分析中不同频率分量有关，不同的频率分量具有
［４１］
犕狌犾狋犻狉犻犱犳犻狀犻狋犲犲犾犲犿犲狀狋犪狀犪犾狊犻狊犳狅狉２犇犿狅犱犲犾犻狀犳狆狅犻狊狊狅狀犲狌犪狋犻狅狀犵狔犵狅狇
，，ＷＡＮＧＱｉｎｉｎＡＩＷｕｍｉｎｏｎｌｉａｎＢＷＡＮＧＨｇｐｇｇｇｇ
ＧＳＧＳ狉狌ｆ－犃ｆｆ，ｆ＝犫ＧＳ然后，将残差狉）矩阵犚转换到Ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｆ通过限制（ＧＳ即狉而在粗网格上求解犃粗网格上，狉狌ｃ＝犚ｆ．ｃｃ＝
．
多重网格方法通常建立在有限差分方法的基础本文将多重网格方法引入到．有限元方法中，并以二维的泊松方程为例，对单重网
多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用
王青平，白武明，王洪亮
（中国科学院地质与地球物理研究所，北京１）０００２９
摘要本文简要介绍多重网格（算法的基本原理及基本步骤，然后将多重网格算法引入有限单元中，对二维泊ＭＧ）松方程进行求解．单元数尺度从８×８逐次增加至１并与单重网格中高斯赛德尔迭代法（、共轭梯度法０２４×１０２４，ＧＳ）（结果表明ＭＧ在计算速度和迭代次数都明显优于ＧＣＧ）在程序运行时间以及迭代次数方面进行比较．Ｓ、ＣＧ方法．在１比Ｃ而且与理论解的误差更小．０２４×１０２４网格中，ＭＧ不仅比ＧＳ快５００多倍，Ｇ快６０多倍，关键词多重网格，共轭梯度法，高斯赛德尔迭代法，泊松方程，有限元分析：／．ｉｓｓｎ．１００４２９０３．２０１０．０４．０３９中图分类号ＰＤＯＩ１０．３９６９６３１文献标识码Ａｊ

椭圆型方程新解法

3.边界元法：对于二维泊松方程，我们可以将其转化为边界上的积分方程，并且仅在边界上进行计算。这种方法的优点在于它只需要处理边界上的数据，不需要对内部区域进行离散化，因此计算时间和内存消耗较小。但是，该方法不适用于处理内部奇点的问题。
4.特殊函数方法：对于二维泊松方程，我们可以采用复变函数的方法，引入调和函数和调和多项式，使用适当的变换和积分来得到精确解。这种方法的优点在于它可以提供一些有用的分析工具和结论，但是它不适用于大部分非线性问题。
以上这些方法都是对椭圆型方程进行求解的常见方法，对于不同的问题，可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
我们可以以二维泊松方程为例，介绍如何使用这些方法来解决椭圆型方程的求解问题：
1.有限元方法：对于二维泊松方程，我们可以采用网格划分的方法将求解域离散化，然后构建稀疏矩阵来解决线性系统。这种方法的优点在于它适用于各种形状的求解域，并且对于非线性方程也能有效求解。但是，计算时间和内存消耗可能会比较大。
2.障碍泛函方法：对于二维泊松方程，我们可以构建一个能量泛函，并通过变分方法求解其最小值。该方法在求解高维些理论保证。但是，它需要一定的数学理论和分析基础。

偏微(20)二维有限元法

ai bi
aj bj
am （2.15） bm
三、单元上的线性插值多项式 Ni ( x, y)ui N j ( x, y)u j N m ( x, y)um （2.9） uh ( x, y )
uh uh ( x, y) Nue
（2.13）
（2.9）式和（2.13）式就是e上根据三角形的
Bue
（2.14）
三、单元上的线性插值多项式
uh uh uh ( x, y) Nue x Bue uh uh uh ( x, y )的梯度向量可以表示为 y （2.14）
N i x B N i y N j x N j y N m x 1 N m 2 e y
1 (ai ui a j u j am um ), a 2 e 1 (bi ui b j u j bm um ), b 2 e 1 (ci ui c j u j cm um ). c 2 e
，
axi byi c ui , ax j by j c u j , axm bym c um .
写成了第一个式子，例如，(2.10)式中N i ( x , y ) 则其他的式子（N j ( x, y)和N m ( x, y) 式）可以即将第一式的脚标通过 i , j , m 的脚标轮换得到。
， i换为 j，j 换为 m m 换为 i 就可得到第二式。
再换一次得第三式。
三、单元上的线性插值多项式 uh ( x, y ) Ni ( x, y)ui N j ( x, y)u j Nm ( x, y)um
设单元en为Pi Pj Pm 在其三个顶点上，

泊松方程的有限差分方法及快速实现

收稿日期：2021-04-09作者简介：刘昊（1995-），男，宁夏吴忠人，硕士研究生。

泊松方程的有限差分方法及快速实现刘昊，张荣培，霍俊蓉（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳110136）摘要：针对d 维（d =1,2,3）带有Dirichlet 边界的泊松方程，设计一类快速求解方法。

首先采用有限差分方法将方程离散，利用Kronecker 积的性质将离散后的方程进行矩阵分解，进而应用快速离散正弦变换（DST ）方法进行有效求解。

数值实验结果表明，该方法可快速求解d 维泊松方程，并验证了其准确性和有效性。

关键词：泊松方程；有限差分；Crank -Nicolson 方法；离散正弦变换中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1673-1603（2021）04-0091-06DOI ：10.13888/ki.jsie （ns ）.2021.04.018第17卷第4期2021年10月Vol.17No.4Oct.2021沈阳工程学院学报（自然科学版）Journal of Shenyang Institute of Engineering （Natural Science ）泊松方程是常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，在无引力源的情况下，ΔΦ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，ΔΦ=f （f 为引力场的质量分布）。

该方程通常用格林函数法求解，也可以采用分离变量法和特征线法求解［1］。

带有规则区域Dirichlet 边界条件的泊松方程：ìíîïï-Δu =f (x )u|∂Ω=g (x )（1）式中，Δ表示拉普拉斯算子；x ∈Ω；Ω⊂R d ；当d =1时，Δu =u xx ；当d =2时，Δu =u xx +u yy ；当d =3时，Δu =u xx +u yy +u zz 。

由于带有Dirichlet 边界的泊松方程的解析解不容易求出，一般情况下采用有限差分法、有限元法和有限体积方法的数值方法进行求解［2-4］。

有限元法求解二维Poisson方程的MATLAB实现

(x,y) e 9 0 ,
其中
— ax ay
e i 2(/3), 为 i?2 中的
有界凸区域，区域 / 3 = { ( * ，；K) U2 + y2 < l }.
1 二维 P oisson方程的有限元法
l .i 有限元方法的基本原理和步骤有限元法是基于变分原理和剖分技术的一种数
值计算方法，把微分方法的定解问题转化为求解一
摘要：文章讨论了圆形区域上的三角形单元剖分、有限元空间，通过变分形式离散得到有限元方程 .用 M A T L A B 编程求得数值解，并进行了误差分析. 关键词：Poisson方程；有限元方法；M A T L A B 编程；三角形单元剖分
U e l f +2( n , R m).
定理[7]1 (有限元近似解的炉模估计）假设满足引理的条件，则对 V f/ E 妒+1(/3,i T ) ，存在与 A 无关的常数C , 使得
W u - u . w, ^ chk \ u \ M
定理[7]2 (有限元近似解的 i 2 模估计）假设
1
0
0
0
2
3
0
0
細 !1[8]:
4
560ຫໍສະໝຸດ 中图分类号：0241.8
文献标识码：A
文章编号：1009 - 4 9 7 0 ( 2 0 1 8 ) 0 5 - 0015 - 04
0 引言
热学、流体力学、电磁学、声学等学科中的相
关过程，都可以用椭圆型方程来描述 .最为典型的

36-二维泊松方程的有限元法

9
工程电磁场
主讲人：王泽忠
2．单元网格划分在二维情况下，以三角形单元为例网格划分就是把求解区域划分成有限个三角形。具体要求是，三角形顶点连着顶点，三角形三条边长或三个内角大小尽量接近。图显示了网格的一部分。图表示一个三角形的三个顶点，
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
相应的待定常数为
u1, u2 , , un , unn
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
3
工程电磁场
主讲人：王泽忠
以 n 表示基函数序列通项的序号， nn 表示总项数。 u 的近似解（试探函数）表示为
nn
u M n (x, y)un
n 1
在伽辽金加权余量法中，权函数序列：
5
工程电磁场
主讲人：王泽忠
代入第二类边界条件，得
aM m ud bM md M m f d

（ m 1, 2, , nn ）
将近似函数（试探函数）代入，得
nn
aM m ( M nun )d bMmd Mm f d

n 1
Ae ，Re ， Reb
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
14
工程电磁场
主讲人：王泽忠
单元系数矩阵和单元右端项的元素为
Ae,i, j (aNi N j )de

（ m 1, 2, , nn ）
以下为了书写方便，将 Mm (x, y) 写为 M m 。
对上述方程组应用格林公式，得
u
aM m

ud

M ma n d M m f d

二维抛物方程的有限差分法

二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。

有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。

本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。

首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。

讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。

其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。

进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。

并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。

通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。

关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method for two-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme目录摘要 (I)Abstract (II)1绪论 (1)1.1课题背景 (1)1.2发展概况 (1)1.2.1抛物型方程的常见数值解法 (1)1.2.2有限差分方法的发展 (2)1.3差分格式建立的基础 (3)1.3.1区域剖分 (3)1.3.2差商代替微商 (3)1.3.3差商代替微商格式的误差分析 (4)1.4本文主要研究容 (5)2显式差分格式 (7)2.1常系数热传导方程的古典显式格式 (7)2.1.1古典显式格式格式的推导 (7)2.1.3古典显式格式的算法步骤 (8)3隐式差分格式 (10)3.1古典隐式格式 (10)3.2 Crank-Nicolson隐式格式 (12)3.3 Douglas差分格式 (13)3.4加权六点隐式格式 (14)3.5交替方向隐式格式 (15)3.5.1 Peaceman-Rachford格式 (15)3.5.2 Rachford-Mitchell格式 (15)3.5.3 Mitchell-Fairweather格式 (15)3.5.4交替方向隐式格式的算法步骤 (16)4实例分析与结果分析 (17)4.1算例 (17)4.1.1已知有精确解的热传导问题 (17)4.1.2未知精确解的热传导问题 (19)4.2结果分析 (20)5稳定性探究与分析 (21)5.1稳定性问题的提出 (21)5.2 几种分析稳定性的方法 (21)5.3 r变化对稳定性的探究 (23)5.3.1 古典显式格式的稳定性 (23)5.3.2 P-R格式格式的稳定性 (24)结语 (26)参考文献 (27)附录P-R格式的C++实现代码 (28)致谢 (30)1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t∂=∂ (1-1) 其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y∂∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂ 120,0,0a a C >>≥。

二维波动方程泊松公式

二维波动方程泊松公式二维波动方程泊松公式（Two-Dimensional Wave Equation Poisson Formula）是一种描述物理过程的灵活且有效的工具，可用于模拟数值计算机模拟和理论研究。

它可以应用于气象学、化学反应、化学动力学、等离子体动力学以及热力学和流体力学等领域，用于计算平面的平均温度或压力，以及近似解决具有更复杂的热或流体现象的物理问题。

一、二维波动方程泊松公式的定义二维波动方程泊松公式（Two-Dimensional Wave Equation Poisson Formula）是在有限差分法和计算机模拟中应用的一个偏微分方程式，它描述了物理现象的局部温度或压力变化，主要是假定一定空间变化和一定形状波动时，一定时间变化的物理现象。

它可以用来模拟两维热或流体中本征方程的稳定参数，从而求出局部的温度或压力的变化。

二、二维波动方程泊松公式的误差二维波动方程泊松公式的近似误差是主要由于数值模拟的结果和真实物理现象之间存在差异造成的。

这是因为当运用数学方法来模拟物理现象时，它们描述的有限元件不能和完全精确再现真实现象，必然会有一定的误差。

尽管有这样的误差，二维波动方程泊松公式仍然被经常用于数值计算机中，因为它使计算迅速、简洁。

三、应用（1）气象领域：二维波动方程泊松公式可以用于模拟湍流气象情况，如风速、风向、风湍等，以便更好地预报天气。

（2）热力学领域：二维波动方程泊松公式可以用于模拟非绝热多相过程物理现象。

比如在结构图像该反应化学过程中，使用该方程可以得到局部的温度变化，从而进一步推导出整个反应所需要的条件。

（3）等离子体动力学领域：二维波动方程泊松公式也可以用于计算不同物理量在等离子体动力学现象中的变化，比如电流密度、电场强度、电子速度以及电子温度等。

（4）流体力学领域：二维波动方程泊松公式可以用来研究流体的实际效应，如液体的流变、湍流、传热等。

四、优势（1）具有很好的灵活性：根据需要调整边界条件，可以计算出不同情况下物理量的变化。

二维泊松方程的通解

二维泊松方程的通解泊松方程是一个非常重要的分析工具，它用来研究许多概念，例如热力学、电磁学和量子力学中的模型。

尤其是二维（2D）泊松方程的通解，更是许多理论中的重要模型之一。

一、什么是二维泊松方程二维泊松方程是一个常微分方程，用来描述自由表面水平上的温度分布，它可以用来模拟地表污染、温度场、山谷冷却等复杂现象。

它由两个变量组成，分别是温度因子T和坐标系的横纵坐标x和y，方程的表达式为：（1）T(x,y)=2 T(x,y)其中，2表示二阶泊松算子，它是求两个变量温度因子T(x,y)梯度平方和的函数：（2）2 T(x,y)=[2 T/x2] +[2 T/y2]二、二维泊松方程的通解通解是求解方程的最简单方法，而二维泊松方程的通解有以下两种形式：1、线性形式：（3）T(x,y)=∑Amn sin[(mπx/a)+(nπy/b)]其中，Amn是常数，a和b分别是x和y轴上空间的长度，m和n 分别表示x轴和y轴的波数，π是圆周率。

2、非线性形式：（4）T(x,y)=f(x,y)g(x,y)其中，f(x,y)和g(x,y)分别表示x和y轴上的两个函数。

三、应用二维泊松方程的通解可以用来对许多物理现象进行数学建模，例如用来研究地表温度场、流体传播和扩散、太阳能的分布等现象。

它还可以用来研究电磁场的分布形式和波动性，这对研究和设计电磁兼容性电子器件特别重要。

此外，应用此方法可以研究量子力学中的谐振态，以及热力学中的热对流问题。

四、结论二维泊松方程的通解是用来描述自由表面水平上温度分布的方法，它常用来研究物理现象和量子力学中的模型，它还可以用来研究电磁场和热力学中的概念。

特别是非线性形式的通解，可以让我们更全面地理解和应用泊松方程。

二维泊松方程的有限元法

忠
2．单元网格划分
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。
具体要求是，三角形顶点连着顶点，
三角形的三条边长尽量接近
或三个内角尽量接近。
图示三角形的三个顶点，
i, j, k 的顺序按逆时针。
18／4／25
华北电力大学电气与电子工程学院
4
工程电磁场
主讲人：王泽忠
18／4／25
华北电力大学电气与电子工程学院
18／4／25
华北电力大学电气与电子工程学院
7
工程电磁场
主讲人：王泽忠
将 1 、 2 、 3 作为未知数，
求解上述方程组，并令
aaij
x j yk xk yi
xk yj xi yk
a
k
xi y j
x jyi
18／4／25
华北电力大学电气与电子工程学院
8
工程电磁场
1 xi
11 2
设第k 个节点是第一类边界上的节点，
其电位已知k k 0。
18／4／25
华北电力大学电气与电子工程学院
45
工程电磁场
主讲人：王泽
忠
在总体系数矩阵和右端向量中，做如下处理：
（1） Akk 1；
（2） Ri Ri Aikk 0 （ i 1,2, , n ）；
（3） Rk k 0 ；
（4） Akj 0 （ i 1,2, , n ）；
N j • d N j ( )d N jd
e1 e
es1 es
e1 e
ne
nes
ne
Nk • d Nk ( )d Nk d
e1 e
es1 es
e1 e
18／4／25

有限元解二维泊松方程

有限元解二维泊松方程有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于解决各种物理问题。

在本文中，我们将使用有限元方法来解决二维泊松方程。

泊松方程是一个偏微分方程，常用于描述电势、热传导等问题。

让我们先来了解一下有限元方法的基本原理。

有限元方法将求解区域划分为许多小的子区域，称为单元。

每个单元内的解可以用一组基函数来表示，这些基函数在整个区域上是连续的。

通过在每个单元上建立适当的方程，我们可以得到整个区域上的解。

在本文中，我们考虑一个简单的二维泊松方程，如下所示：∇²u = f其中，∇²表示拉普拉斯算子，u表示未知函数，f表示已知函数。

我们的目标是求解未知函数u。

为了使用有限元方法求解这个方程，我们需要首先将求解区域划分为许多小的单元。

然后，在每个单元上选择适当的基函数。

通常，我们会选择一些简单的基函数，如线性函数或二次函数。

接下来，我们需要在每个单元上建立适当的方程。

这些方程通常采用变分法来得到。

变分法是一种数学方法，用于处理泛函的极值问题。

通过对方程进行适当的变分处理，我们可以得到一组代数方程。

然后，我们将这些代数方程组合起来形成一个大型的线性方程组。

通过求解这个线性方程组，我们可以得到整个区域上的解。

我们需要对解进行后处理，以获得我们感兴趣的物理量。

例如，我们可以计算电场、温度等。

通过使用有限元方法，我们可以有效地求解各种复杂的物理问题。

该方法已经在许多领域得到广泛应用，如结构力学、流体力学、电磁场等。

总结起来，有限元方法是一种强大而灵活的数值计算方法，可以用来解决各种物理问题。

在本文中，我们使用有限元方法来解决二维泊松方程。

通过合理划分求解区域、选择适当的基函数和建立适当的方程，我们可以得到整个区域上的解。

通过求解线性方程组和后处理，我们可以计算出感兴趣的物理量。

有限元方法的广泛应用使得我们能够更好地理解和解决实际问题。

工程电磁场第7章二维泊松方程的有限元法

式中 wi 为权函数， w1, w2 , , wk , 为权函数序列，
权函数之间要求线性无关。权函数的不同选择导致不同的近似方法。
2、几种加权余量法
（1）配点法
在求解区域中选取 n 个点 P1, P2 , , Pn ，让方程的余量在这 n 个点上为零。
即选权函数为
K (e) jm

K (e) mm

Kim

ui

bi

K mj

u
j

b
j

Kmm um bm

b(e) i

f (e)
e
N (e) i
即权函数为
wi

R ci
（ i 1,2, , n ）
（4）伽辽金法
选取权函数序列与基函数序列相同。
wi ui
ui Rd 0

m
ui L u jd ui fd

j 1

（ i 1,2, , n ）
在上述几种加权余量法中，伽辽金法应用最广泛。有限元法基于伽辽金法
场域离散
二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。
单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是单一、均匀的。
节点：网格的交点，待求变量的设置点。该步骤需要记录的信息：节点编号、节点坐标节点属性(激励源、是否边界等) 单元编号单元节点编号单元介质
三角形单元内的基函数设三角形三个顶点处待求函数值分别为u1, u2, u3。如果单元足够小，可以采用线性近似，将单元内任意p点的u(x,y)表示为

有限体积法求解二维泊松方程

有限体积法求解二维泊松方程题目：探索有限体积法求解二维泊松方程在数学和计算科学领域中，求解偏微分方程是一个重要而复杂的问题。

其中，二维泊松方程是一个经典的偏微分方程，它在电磁学、热传导、流体力学等领域都有着重要的应用。

本文将探讨如何利用有限体积法（Finite Volume Method）来求解二维泊松方程，以及该方法的优势和局限性。

一、有限体积法概述有限体积法是一种离散化偏微分方程的方法，它将计算区域分割成有限个体积单元，并在每个单元上建立平衡方程。

在求解二维泊松方程时，我们首先需要将计算区域网格化，然后利用有限体积法建立离散方程，并通过迭代求解得到数值解。

1. 网格生成在利用有限体积法求解二维泊松方程时，首先需要对计算区域进行网格划分。

对于简单的矩形区域，常用的网格生成方法包括结构化网格和非结构化网格。

结构化网格适用于规则几何形状的区域，而非结构化网格则适用于复杂几何形状的区域。

2. 离散化方程在建立离散方程时，我们利用有限体积法将偏微分方程转化为代数方程。

以二维泊松方程为例，离散化方程可以表示为：\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -f(x, y) \]3. 求解方程利用有限体积法离散化后的代数方程可以转化为一个线性方程组，通过迭代方法（如迭代法、共轭梯度法等）求解，得到数值解。

二、有限体积法求解二维泊松方程的优势1. 适用于不规则区域由于有限体积法不依赖于网格的规则性，因此适用于不规则几何形状的计算区域。

2. 能量守恒有限体积法在离散化过程中保持了能量守恒的性质，因此在一些物理问题的模拟中具有一定的优势。

3. 数值稳定性好相比有限差分法等其他数值方法，有限体积法的数值稳定性更好，对于一些复杂的偏微分方程求解具有较好的表现。

三、有限体积法求解二维泊松方程的局限性1. 计算效率较低有限体积法需要对整个计算区域进行网格划分，对于大规模问题，网格生成和方程求解的计算成本较高。

用MATLAB实现二维以内Poisson方程的有限元方法求解器

目录第一章绪论 (1)1.1 有限元的应用及本文的意义 (1)1.2 有限元方法的背景知识 (1)1.2.1 有限元方法概述 (1)1.2.2 应用有限元方法求解实际问题的步骤 (2)1.3 本文的主要工作 (3)1.4 本文的组织结构 (4)第二章对物理模型应用有限元方法 (5)2.1 物理模型 (5)2.1.1虚拟功 (5)2.1.2最小势能 (6)2.2 Ritz方法和Galerkin方法 (7)2.2.1 Ritz方法 (8)2.2.2 Galerkin方法 (9)2.3边界条件 (10)2.3.1通过构造限定绝对边界条件 (10)2.3.2在得出结果后限定绝对边界条件 (11)2.4对模型问题应用有限元方法 (12)第三章MATLAB软件工具的使用 (15)3.1 MATLAB概述 (15)3.1.1 Matlab的发展和特点 (15)3.1.2 Matlab的强大功能 (16)3.2 MATLAB系统简介 (19)3.2.1 MATLAB系统组成 (19)3.2.2 MATLAB的语言特点 (20)3.2.3 MATLAB的安装及用户界面 (21)第四章数学问题的提出和求解 (23)4.1 简单的一维常微分方程的有限元方法求解 (23)4.1.1 问题的提出 (23)4.1.2 求解过程 (23)4.2 二维微分方程的有限元求解 (25)4.2.1 问题的提出 (25)4.2.2求解过程 (26)第五章算法的实现、应用及结果 (36)5.1 一维问题的实现及结果 (36)5.1.1 对一维微分方程的实现 (36)5.1.2结果及分析 (36)5.2 二维问题的实现、应用及结果 (38)5.2.1 对二维Poisson方程的实现以及系统结构 (38)5.2.2 对给定函数k和f的应用和结果 (40)5.2.3 对一个具体物理问题的应用及结果 (49)第六章总结与展望 (52)参考文献 (53)摘要 (1)Abstract (2)致谢 (3)第一章绪论1.1 有限元的应用及本文的意义有限元分析技术是最重要的工程分析技术之一。

二维泊松方程边值问题有限差分方程的病态结构和最优预条件子

二维泊松方程边值问题有限差分方程的病态结构和最优预条件子张衡;郑汉垣【摘要】基于结构分析的思想,讨论大规模病态稀疏线性方程的病态机理和预处理原理,定义该方程组的病态结构、病态因子、去病因子.针对病态结构,设计去病因子,以去病因子为预条件子,并对预条件子的性能进行定量分析,结果表明去病因子是最优预条件子,该预条件子的使用,几乎不增加迭代的计算量,预处理后方程组的主体保持正定对称,条件数接近常数.【期刊名称】《福建师大福清分校学报》【年(卷),期】2018(000)005【总页数】6页(P1-6)【关键词】病态机理;病态结构;病态因子;去病因子;预处理【作者】张衡;郑汉垣【作者单位】福建师范大学福清分校无损检测技术福建省高校重点实验室,福建福清350300;福建师范大学福清分校电子与信息工程学院,福建福清350300;龙岩学院传播与设计学院,福建龙岩364012【正文语种】中文偏微分方程大规模数值求解问题，通常转化为大规模病态（高条件数）稀疏线性方程组的求解 [1].该方程组的条件数经常随着问题规模的增加而增加[2]，成为影响求解效率和精度的瓶颈因素.因此，在迭代求解之前，使用预处理方法来减少方程组的病态，成为提高求解效率和精度的必要措施.所谓“预处理技术”是指在求解方程组时，构造简单的可逆矩阵 M 1 , M 2，使得Cond( ) < <Cond(A )（Cond(A)是指矩阵A的条件数），, 容易计算，从而方程组（1）化成等价易解的方程组其中x ′ =M2 x，矩阵 M 1 M 2称为预条件子 [3-4]．如果 C ond( 1)与A的阶数无关，则称M1 M 2为最优预条件子[5]205-209.病态方程组的成功求解，常常以适当的预条件子作为前提.由于缺乏对病态机理和预处理原理的研究，目前关于预处理问题的理论仍然不完善.一是缺乏一般的预处理方法，没有通用的预条件子，只能针对具体问题，根据预条件子的基本要求，设计具体的预条件子[6-8]；二是对预处理的效果（条件数下降的程度，预处理后的条件数，对计算量的影响等）缺少科学的定量分析，多用实验结果说明[9-15].目前关于病态机理和预处理原理的研究鲜见有成果发表.本文讨论病态机理和预处理原理.定义方程组的病态结构、病态因子、去病因子，讨论他们的性质和作用. 使用有限差分方法，大规模求解二维泊松方程边值问题时，基于非均匀网格形成的有限差分方程，是稀疏病态方程组.基于结构分析的思想[16-19]，针对该方程，研究病态结构、病态因子、去病因子.将病态分为由病态因子表达的原发性病态和由具体问题和方法引起的继发性病态，更准确地说明了不同的因素对病态的影响；以去病因子为预条件子，对预处理的效果（条件数下降的程度，对计算量的影响）定量分析，结果说明去病因子是最优预条件子[5]205-209；该预条件子的使用，几乎不增加求解的计算量，预处理后方程组的主体保持正定对称，条件数接近常数（与问题规模无关）.1 矩阵的病态结构与去病因子1.1 矩阵的病态结构定义1 可逆矩阵的如下结构称为病态结构：其中是整数，，Y1C Y2 ,Y1Y2 均可逆，Cond(C )很小，C o nd(Y 1C Y2 )和 C ond(Y 1Y2)很大为A的病态主体，分别称 Y1 , Y2 为左、右病态因子.显然，在定义1中，C o nd(A) ≈Cond(Y 1C Y2)1.2 去病因子如果A有(3)式的病态结构，为减少或者消除病态，可针对病态因子，设计预条件子M1 , M 2，使得) < <Cond(Y 1C Y2 )，从而减少或者消除病态因子 1 2,Y Y 的致病作用.因为 1 2,Y Y 不是方阵，所以即使找到病态因子，也难以用逆矩阵的方法设计预条件子.特别地，有定义2 如果可逆矩阵 1 2,M M 满足：，或者，则称这样的 1 2,M M 为 1 2,Y Y 的去病因子.定义2中可认为去病因子 1 2,M M 消除了病态因子 1 2,Y Y 的致病作用.通常考虑寻找满足=I的可逆矩阵 1 2,M M.特别地，对于正定对称矩阵的情形，有命题 1：设C分别是阶正定对称矩阵，则有2)如果有α阶矩阵M满足则有证明：1)利用Rayleigh-Ritz定理[20]所以，即(4)成立.2)根据条件有 M -1 YYTT M-TT =，I是α α阶单位矩阵，利用结论1)有Cond(M -1 YCYTT M-TT )≤≤Cond(C ) Cond(M -1 YYTT M -TT )=Cond(C)，即(6)成立.根据命题1，如果 Y , 是病态因子，则满足(5)式的矩阵 M , 可以消除 Y , 的作用，因此有定义3 称满足(5)式的矩阵M为属于Y的去病因子.1.3 一个特别的病态因子及其去病因子阶正弦变换矩阵，有命题2：Z Z TT =HHTT命题3：3)对于任意 m ( n + 1 )+ n ( m + 1 )阶正定对称矩阵P，有证明：1)根据命题2 ，Z Z TT 的特征值为，1 ≤ i≤ n，1 ≤ j≤ m.所以即(7)成立.2)记，则容易验证：1 + 2min(x, y) ≥ g ( x, y) ≥ m in(x, y)，所以3)根据(4)可得.证毕.根据命题3和定义1，Z , Z T 是 Z PZT或者 Z Z T 的病态因子；根据命题2和定义3，矩阵H是属于Z的去病因子.2 二维泊松方程边值问题非均匀网格的有限差分方程使用有限差分方法，求解二维泊松方程边值问题[4]100-101其中f =f( x, y) ,(x, y) ∈ D = [ a, b] × [ c, d ] ⊂R2对D做非均匀网格剖分[5]59：在(xi, y j )，使用δ x x u i, j , δ y y u i, j , fi, j 分别代替u x x , u y y,f，得到非均匀差分格式其中0≤≤i≤n+1，0≤≤j≤≤ m +1.记则有命题4：问题(9)有如下的有限差分网格方程证明：容易验证根据上述记号的定义，有根据差分格式(10)，有 - δxx u -δyyu=f，所以(11)式成立.证毕.3 有限差分方程的病态结构与最优预条件子及其预处理效果显然，当 h i , x , h j , y都很小时，根据 P , Q, Z的定义，命题4的(11)式中，ZPZ T >>Q，在系数矩阵A中，Z P Z T是A的大范数部分，即主要部分，Co nd(A) ≈ Cond(Z PZ T )；根据定义1和命题3，有限差分方程(11)的系数A矩阵具有病态结构，Z P Z T是A的病态主体，Z, Z T是病态因子；根据命题2，矩阵H是属于Z的去病因子.根据命题3，A的病态大部分是由病态因子Z表达的，少部分是P表达的，Q对A的病态影响很小.病态因子Z表达的病态来自微分算子，是本质的，离散精度越高，A的阶数越大，Z表达的病态越严重；P表达的病态来自网格大小，几乎不受A的阶数影响，是非本质的，可以随着应用问题的不同而不同，在应用中可以调整. 定义4 称病态因子Z表达的病态为原生病态，P表达的病态为继发病态使用H作为预条件子，则方程(11)化成容易验证：Cond()P 几乎不受 ,m n的影响.根据命题1的结论2),有因此，H H T 是最优预条件子[5]205-209.H, H - 1都是离散傅里叶变换矩阵的直积与对角矩阵的积，有简单、确定的结构，因此预条件子的构造和预处理计算不需要增加大量成本，其中预处理需要的计算是H , H -1与向量的乘积，每次需要的计算操作数是O( m n l og2(n m )) ，即有限次离散快速傅里叶变换的计算量，所以每个迭代步的计算量没有显著增加.预处理后，方程(12)的系数矩阵的主体仍然是正定对称矩阵，所以仍然可以使用经典Krylov子空间方法—共轭梯度法求解，即为预处理共轭梯度法[4]139-151.4 结论1）二维泊松方程边值问题的有限差分网格方程，是稀疏病态方程组，它的结构中，隐藏着包含病态因子的病态结构，这是病态产生的根本原因.2）有限差分方程组的病态分为由病态因子表达的原发性病态和由具体方法引起的继发性病态，原发性病态是主要的、本质的.3）针对病态因子，可找到去病因子，将去病因子作为预条件子，可消除病态因子的致病作用，即消除原发性病态.预处理后，系数矩阵主体（大范数部分）的条件数降为接近常数，几乎不受方程阶数的影响，因此，去病因子是最优预条件子[5]205-209.4）将去病因子作为预条件子，预处理过程基本不增加计算操作数，并且预处理后矩阵主体保持正定对称.5）与经典的不完全LU分解法比较，本文的预条件子针对病态因子设计，有明显的针对性和标准，得到的预条件子与具体的问题的继发性病态没有关系，有一定的通用性.【相关文献】[1] JIA Z X. The convergence of krylov subspace methods for large nonsymmertric linear systems [J]. Acta Mathematical Sinica, 1988, 14(4): 507-518.[2] 吴勃英,王德明,丁效华,等.数值分析原理[M].北京：科学出版社，2003:71-101.[3] 张科.两类线性方程组的预处理技术及数值求解方法[D].上海：上海大学，2014:7-9.[4] 李荣华 . 偏微分方程数值解法 [M]. 2 版 .北京：高等教育出版社 , 2010.[5] 张文生. 科学计算中的偏微分方程有限差分法[M].北京：高等教育出版社，2006.[6] BAI Z Z, LI G Q. Restrictively preconditioned conjugate gradient methods for systemsof linear equations [J]. IMA Journal of Numerical Analysis, 2003 (23): 561–580.[7] WANG Z Q. Restrictively preconditioned chebyshev method for solving systems of linear equations [J]. Eng Math, 2015 (93):61-76.[8] BRU R, MARW J, MAS J, et al. Preconditioned iterative methods for solving linear least squares problems [J].SIAM J Sci Comput, 2014, 36(4):2002-2022.[9] 于春肖 , 苑润浩 , 穆运峰 . 新预处理 ILUCG 法求解稀疏病态线性方程组[J]. 数值计算与计算机应用,2014, 35(1): 21-27.[10] XUE Q F, GAO X B, LIU X G，Comparison theorems for a class of preconditioned AOR iterative methods[J].Journal of Mathematics, 2014, 34(3): 448-460[11] 潘春平,马成荣 ,曹文方,等 . 一类预条件AOR 迭代法的收敛性分析 [J]. 数学杂志 , 2013, 33(3): 479-484.[12] 罗芳.L-矩阵的多参数预条件AOR迭代法[J]. 数学的实践与认识 , 2013, 43(15): 277-282.[13] 吴建平,赵军,马怀发,等.一般稀疏线性方程组的因子组合型并行预条件研究[J]. 计算机应用与软件 , 2012, 29(5): 6-9+108.[14] 李继成,蒋耀林. 预条件IMGS迭代方法的比较定理 [J].数学物理学报 , 2011, 31A(4): 880-886.[15] PAN C P. A new effective preconditioned Gauss-Seidel iteration method[J]. Journal on Numerical Methods and Computer Applications, 2011, 32(4): 267-273[16] 张衡. 一维问题一次形函数有限元方程的条件数与预处理[J]. 福建师大福清分校学报,2016(2):1-3.[17] 张衡. 一维问题m次lagrange形函数有限元方程的条件数与预处理[J]. 石河子大学学报（自然科学版）, 2017, 35(4):518-521.[18] 张衡. 两点边值问题2次lagrange形函数有限元方程的条件数和预处理[J]. 福州大学学报（自然科学版）, 2017,45(5): 617-622[19] 张衡. 两点边值问题3次lagrange形函数有限元方程的条件数和预处理[J]. 计算力学学报, 2017,34(5): 672-676。

7.2.4二维泊松方程的有限元法+-+教学案例6-ANSYS软件在工程电磁场教学中的典型应用

ANSYS 软件在工程电磁场教学中的典型应用齐磊1、案例说明导体表面电场计算、多导体系统部分电容参数计算、线圈电感计算是工程电磁场教学中的重要内容。

关于导体表面电场和多导体系统部分电容计算，其本质是静电场边值问题的求解，常用的计算方法包括解析法和数值法两大类：解析法主要有直接积分法、镜像法、分离变量法等，这几类方法只能解决一些特殊的工程问题，教学中也主要侧重于其基本原理的讲解和关键知识点的强化；数值法主要包括有限元法、边界元法、有限差分法、矩量法等，这几种方法各有利弊，实际应用中应结合具体工程问题选择合适的计算方法。

有限元法作为一种经典的数值计算方法，近年来随着计算机技术的发展，在工程实际中得到了广泛应用，并出现了成熟的商业软件如ANSYS可供使用。

本案例的第1部分主要讨论ANSYS软件在导体表面电场计算方面的应用，涉及的关键知识点包括静电场边值问题、恒定电流场计算、电准静态场定义、传导电流密度与位移电流密度、静电场与电流场耦合计算、虚拟媒质法等，通过该部分介绍可以深化对上述知识点的理解和掌握，并熟悉ANSYS软件的一般使用方法。

本案例的第2部分主要讨论ANSYS软件在电容参数计算方面的应用，涉及的关键知识点包括电容、静电独立系统、部分电容、静电屏蔽等，通过该部分介绍除深化相关知识点认识外，还可以拓展学生知识面，了解高压直流输电、换流阀系统、过电压分析与绝缘配合等相关知识。

本案例的第3部分主要讨论ANSYS软件在电感参数计算方面的应用，涉及的关键知识点包括恒定磁场边值问题、自感、互感、媒质磁化、镜像法等，通过该部分可以深化对上述知识点的理解，同时了解空心电抗器制造工艺以及可能存在的绕组发热、振动等相关问题。

2、案例介绍2.1ANSYS 软件在导体表面电场计算中的应用ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换。

ANSYS软件共由前处理模块、分析计算模块及后处理模块三大模块组成，其分析计算电场分布的流程如图1所示。

有限元解二维泊松方程

有限元解二维泊松方程
在科学与工程领域中，泊松方程是一种重要的偏微分方程，描述了许多物理现象，如电势、热传导和流体力学中的压力分布等。

解决这些问题的数值方法之一是有限元法，它能够有效地近似求解泊松方程。

二维泊松方程可以用以下形式表示：
∇^2Φ = -ρ。

其中，Φ是待求解的标量场，ρ是给定的源项，∇^2是拉普拉斯算子。

有限元方法通过将求解域划分为离散的单元，然后在每个单元上建立适当的插值函数来近似解。

通过将单元上的局部方程组装成整体方程，可以得到一个大规模的代数方程组，通过求解这个方程组可以得到泊松方程的数值解。

有限元法的关键步骤包括：
1. 离散化，将求解域划分为有限个单元，并在每个单元上建立插值函数来逼近解的行为。

2. 建立局部方程，在每个单元上，根据插值函数和泊松方程，建立局部有限元方程。

3. 组装全局方程，将所有单元的局部方程组装成整体方程。

4. 施加边界条件，根据具体问题的边界条件，对整体方程施加边界条件。

5. 求解方程，通过数值方法求解得到数值解。

有限元法在解决二维泊松方程时，能够有效地处理复杂的几何形状和边界条件，并且可以灵活地适用于不规则网格。

它在工程领域中得到了广泛的应用，如电路设计、结构力学分析和地下水流模拟等领域。

总之，有限元解二维泊松方程是一种强大的数值方法，能够有效地近似求解复杂的偏微分方程，为科学与工程领域中的问题提供了重要的数值模拟手段。

matlaB程序的有限元法解泊松方程

基于matlaB 编程的有限元法一、待求问题：泛定方程：2=x ϕ-∇边界条件：以（0,-1），（0,1），（1,0）为顶点的三角形区域边界上=0ϕ二、编程思路及方法1、给节点和三角形单元编号，并设定节点坐标画出以（0,-1），（0,1），（1,0）为顶点的三角形区域figure1由于积分区域规则，故采用特殊剖分单元，将区域沿水平竖直方向分等份，此时所有单元都是等腰直角三角形，剖分单元个数由自己输入，但竖直方向份数（用Jmax 表示）必须是水平方向份数（Imax ）的两倍，所以用户只需输入水平方向的份数Imax 。

采用上述剖分方法，节点位置也比较规则。

然后利用循环从区域内部（非边界）的节点开始编号，格式为NN(i,j)=n1，i ，j 分别表示节点所在列数与行数，并将节点坐标存入相应矩阵X(n1)，Y(n1)。

由于区域上下两部分形状不同因此，分两个循环分别编号赋值，然后再对边界节点编号赋值。

然后再每个单元的节点进行局部编号，由于求解区域和剖分单元的特殊性，分别对内部节点对应左上角正方形的两个三角形单元，上左，左上，下斜边界节点要对应三个单元，上左，左上，左下，右顶点的左下、左上，右上边界的左上，分别编号以保证覆盖整个区域。

2、求解泊松方程首先一次获得每个单元节点的整体编号，然后根据其坐标求出每个三角形单元的面积。

利用有限元方法的原理，分别求出系数矩阵和右端项，并且由于边界，因此做积分时只需对场域单元积分而不必对边界单元积条件特殊，边界上=0分。

求的两个矩阵后很容易得到节点电位向量，即泊松方程的解。

3、画解函数的平面图和曲面图由节点单位向量得到，j行i列节点的电位，然后调用绘图函数imagesc(NNV)与surf(X1,Y1,NNV')分别得到解函数的平面图figure2和曲面图figure3。

4、将结果输出为文本文件输出节点编号，坐标，电位值三、计算结果1、积分区域：2、f=1，x 方向75份，y 方向150份时，解函数平面图和曲面图20406080100120140102030405060700.0050.010.0150.020.0250.0320.0050.010.0150.020.0250.03对比：当f=1时，界函数平面图20406080100120140102030405060700.010.020.030.040.050.060.073、输出文本文件由于节点多较大，列在本文最末四、结果简析由于三角形区域分布的是正电荷，因此必定电位最高点在区域中部，且沿x 轴对称，三角形边界电位最低等于零。

二维泊松方程的有限元法

多重网格在二维泊松方程有限元分析中的应用

椭圆型方程新解法

偏微(20)二维有限元法

泊松方程的有限差分方法及快速实现

有限元法求解二维Poisson方程的MATLAB实现

36-二维泊松方程的有限元法

二维抛物方程的有限差分法

二维波动方程泊松公式

二维泊松方程的通解

二维泊松方程的有限元法

有限元解二维泊松方程

工程电磁场 第7章 二维泊松方程的有限元法

有限体积法求解二维泊松方程

用MATLAB实现二维以内Poisson方程的有限元方法求解器

二维泊松方程边值问题有限差分方程的病态结构和最优预条件子

7.2.4二维泊松方程的有限元法+-+教学案例6-ANSYS软件在工程电磁场教学中的典型应用

有限元解二维泊松方程

matlaB程序的有限元法解泊松方程

工程电磁场第7章二维泊松方程的有限元法