二维泊松方程的有限元法

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工程电磁场
代入式得
主讲人： 王泽 忠
(x,
y)
1 2
(ai
bi x
ci
y)i
1 (a b x c y)
2 j j
j
j
1 (a b x c y)
2 k k
k
k
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令
主讲人： 王泽 忠
Ni
1 21
21
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主讲人： 王泽 忠
Ni N j Nk
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主讲人： 王泽 忠
18／4／25
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主讲人： 王泽 忠
18／4／25
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主讲人： 王泽 忠
18／4／25
将式代入上述三式，进一步离散化 。 对一个单元来说，
可以列出与i , j , k 有关的
三个方程的局部，称为对整体方程的贡献 ， 用单元系数矩阵和单元右端向量表示。
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单元系数矩阵为
Ae
Ni •Nid
e
N j •Nid
忠
2．单元网格划分
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。
具体要求是，三角形顶点连着顶点，
三角形的三条边长尽量接近
或三个内角尽量接近。
图示三角形的三个顶点，
i, j, k 的顺序按逆时针。
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e
Nk •Nid
e
Ni •N jd
e
N j •N jd
e
N j • d N j ( )d N jd
e1 e
es1 es
e1 e
ne
nes
ne
Nk • d Nk ( )d Nk d
e1 e
es1 es
e1 e
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忠
上述三式中， ne 表示单元总数，
nes 表示边界单元总数。
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主讲人： 王泽
将其称为单元形状函数。忠
代入插值公式，得
( x, y) Ni i N j j Nk k
求导数，得
Ni x
bi
2 ，
N j x
bj
2 ，
Nk x
bk
2
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(ai
bi x
ci y)
N j
N
k
2 1
2
(a j (ak
bj x bk x
c j y) ck y)
因 Ni , N , Nk 的具体表达式 j
与单元的几何形状有关，
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将 1 、 2 、 3 作为未知数，
求解上述方程组，并令
aaij
x j yk xk yi
xk yj xi yk
a
k
xi y j
x jyi
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1 xi
11 2
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忠
4．单元系数矩阵和右端向量
对式进行离散化处理，得
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ne
nes
ne
Ni • d Ni ( )d Ni d
e1 e
es1 es
e1 e
ne
nes
ne
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令
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bi y j yk
bj
Hale Waihona Puke Baidu
yk
yi
bk yi y j
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得
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1 i yi
1 j yj
2
1 1
k xi
yk yi
1 xj yj
1 xk yk
1 2
(bii
bj j
bk k
)
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xj
1 xk
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yi
yj
yk
为三角形单元的面积，得
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i xi yi 忠
j xj yj
1
k 1
xk xi
yk yi
1 xj yj
1 xk yk
1 2
(aii
aj
j
ak k
)
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Ni
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Nj
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Nk
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7 有限元法与边界元法
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7.2 有限元法
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忠
3．单元函数插值
在单元上构造线性插值函数
1 2 x 3 y
单元三个节点的函数值也应满足上式，有
i 1 2 xi 3 yi
j 1 2 x j 3 yj
k 1 2 xk 3 yk
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令
ci xk x j c j xi xk ck x j xi
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得
主讲人： 王泽 忠
1 xi i
1 xj j
3
1 1
xk xi
k yi
1 xj yj
1 xk yk
1 2
(cii
cj j
ck k
)
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