电路(第七章 二阶电路)讲解

iC (t)
C
duC dt
(2e2t
2e2t
4te2t )
4te2t A
(t 0)
临界阻尼响 uC
iL
应曲线
0
t
0
t
-1
物理过程：电感初始储能为0，电容放电，一部分能量变成磁 场能量，另一部分被电阻消耗；电感储能达到最大值后，电容 、电感都释放能量，这些能量全部消耗到电阻上，直至耗尽。
+
iL(0) = 0
uC_
uC(t)
U0
T
3T
4t4 t5 t6 t7 t8 4
T
o t1 t2 t3
T
t9 t10 t11 t12
U0 iL(t)
2
Im
T
T
3T
4
2
4
T
o t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12
Im
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iL CL
t
t
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+ _uL
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电路分析基础
难点 微分方程求解
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电路分析基础
关于二阶电路
二阶电路：包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电 感的动态电路。
这类电路可以用一个二阶微分方程来描述。 二阶电路的问题是求解二阶微分方程的问题。 有固定的步骤可以遵循，并不困难。
分析二阶电路的方法：
首先建立描述电路的二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电 路的响应。所以，必要的数学基础是必不可少的。
uC (t) (3cos 5t 1.4sin 5t) 3.31cos(5t 25o )V
(t 0)
iL (t)

C
dvC dt

0.04(15sin
5t
7 cos5t)

0.66 cos(5t
65o )A
(t 0)
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电路分析基础
波形图
物理过程
当电阻为0时，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总 能量不会减少，形成等振幅振荡。
电路分析基础
第七章 二阶电路
§7-1 LC电路中的正弦振荡 §7-2 RLC串联电路的零输入响应 §7-3 RLC串联电路的全响应 §7-4 GCL并联电路的分析
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电路分析基础
本章教学要求
1、了解二阶电路的基本概念； 2、了解二阶电路的一般分析方法。
重点 RLC串联二阶电路的全响应
若电路中存在电阻，振幅逐渐减小，最终趋于零。 储能终将被电阻消耗完 。称为阻尼振荡或衰减振荡。
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电路分析基础
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
+ uR- C i
含阻源 网+- u电 络OCR
+ uC-
+ uL
-
L
列KVL方程
i C d uC dt
uR

Ri

RC
d uC dt
上述过程将不断地重复进行。
电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成周而复始 的振荡，且幅值不变，称为等幅振荡。
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电路分析基础
设LuiCCC回路uiLL的L=u1CiLH、dddCdiut=LtC1F，uC(0)=1CV、i+-Lui(C0C)=0iL。 L
初始条件：uC(0)=1V，iL(0)=0。
2L LC
L时， C
s1、s2为不相等的负实数。过阻尼
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2 es2t
（2）当 R 2 1 时，即R 2 L时， s1、s2为相等的负实数。临界
2L LC
C
方程的解是： uC (t ) K1 es1t K 2t es2t
uC 0
d uC it i0
dt 0 C 0 C
为了得到电路的零输入响应，令uOC=0，得二阶齐次微分方程
LC
d2 d
uC t2
RC d uC dt
uC
0
根据一阶微分方程的求解 经验可假定齐次方程的解
d2 uC dt2

R d uC L dt

1 LC
uC
0
uC t Kest
uL

Ldi dt

LC
d2 uC dt2
uR uC uL uOC
LC
d2 d
uC t2
RC d uC dt
uC
uOC
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电路分析基础
LC
d2 d
uC t2
RC d uC dt
uC
uOC
这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。 求解该方程必须有条件：
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电路分析基础
欠阻尼响应
条件
R2 L
C
特征根s1,s2为两个共轭复数根，即：
s1，2


R 2L

R 2 1 2L LC
j
02 2
jd
其中


R 2L
0
衰减系数
0
1 LC
谐振角频率
d 02 2 衰减谐振角频率
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电路分析基础
例3 已知R=6Ω,L=1H, C=0.04F, uC(0+)=3V, iL(0+)=0.28A， 求电容电压和电感电流的零输入响应。
解：先求特征根
s1，2


R 2L

R 2 1 3 2L LC
32 52 3 j4
于是有 uC (t) e3t (K1 cos 4t K2 sin 4t) (t 0)
（2）当uc下降到零的瞬间，uL也为零，i的变化率也为零，i达 到最大值I，储能全部转入到电感中。
（3）uc=0时，但它的变化率不为零，i将从I逐渐减小，C又被 充电，但充电的方向与以前相反。
储能又从电感的磁场中转移到电容的电场中。
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电路分析基础
-
（4）当i下降到零瞬间，能量又再度
LC振荡回路的能量
LC回路的总瞬时储能
w(t) 1 Li2 (t) 1 Cu2 (t)
2
2
1 (sin 2 t cos2 t) 1 (J)
2
2
LC回路的初始储能
LC振荡回路
w(0) 1 Li2 (0) 1 Cu2 (0) 0 1 1 (J)
2
2
22
结论：无损耗LC回路所储存的能量，将以磁场和电场的形式 在电感和电容之间相互交换，永不消失。
iL (t)

iC (t) C
duC dt

3e2t
4e4t A
过阻尼响应曲线（波形图）
uC
在t>0以后，电感电流减少，电感放出它储存的磁 2
场能量，一部分为电阻消耗，另一部分转变为电场
能，使电容电压增加。到电感电流变为零时，电容 0
电压达到最大值，此时电感放出全部磁场能。
以后，电容放出电场能量，一部分为电阻消耗， iL

1

2L LC
52 j5
则： uC (t) (K1 cos5t K2 sin 5t) (t 0)
利用初始条件得： uC (0 ) K1 3
duC (t) 解得：K1=3和K2=1.4，dt
t 0
5K2

iL (0 ) C
7
得电容电压和电感电流的零输入响应
C +Uc
L
全部储于电容中，电容电压又达到U0，
i
只是极性相反而已。
（5）电容又开始放电，只是放电方向与 上一次电容放电的方向相反。
-
C +U0
L
当电容电压再次下降到零瞬间，能量又
i
全部储于电感中，电流又达到了最大值。
（6）电容又在电流的作用下充电，当电流为零瞬间，能量又 全部返回到电容中，电容电压的大小和极性又和初始时刻一样。
利用初始值uC(0+)=3V和iL(0+)=0.28A得:
uC (0 ) K1 3
duC (t) dt
t 0
3K1 4K2

iL (0 ) C
7
解得 K1=3和K2=4。
电容电压和电感电流的表达式分别为：
uC (t) e3t (3cos 4t 4sin 4t) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
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电路分析基础
电容电压和电感电流的表达式分别为：
uC (t) 5e3t cos(4t 53.1o )V (t 0)
iL
(t
)


C duC 0.04e3t (7 cos 4t
dt
e3t cos(
4t

73.74o
)A

24
sin
(t
4t)
0)
R=6Ω
R=6Ω
注意：
等效变换后，只含有一个电容（电感）的电路不属于二阶电路。
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电路分析基础
§7-1 LC电路中的正弦振荡
（1）在初始时刻，能量全部储于电容
中，电感中没有储能。
i

0，但uL

L
d d
i t
最大。
C
+
- U0
i
L
电流i开始增大，电容电压下降，原来存储于电容中能量逐渐转
移到电感的磁场中。
（3）当 R 2＜ 1 时，即R＜ 2 L时，
2L LC
C
s1、s2为共轭复数，欠阻尼
Rd 2
L 称为RLC电路的阻尼电阻。 C
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电路分析基础
例1 已知R=3,L=0.5H, C=0.25F,
uC(0+)=2V,iL(0+)=1A，求uC(t)和iL(t)的零+输u入R-响应C。 i
特征方程是：
s2 R s 1 0 L LC
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电路分析基础
特征方程的两个根称为特征根，又称固有频率。
s1,2


R 2L

R 2 1 2L LC
特征根决定电路的响应特点，其 实部决定电路能量衰减的快慢， 虚部决定电路振荡的频率。
（1）当 R 2＞ 1 时，即R＞2
电容电压和电感电流的相位差为90，当电容电压为零时，电场储能为 零，此时电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零时 ，磁场储能为零，此时电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。
解： Rd 2
L 1 C
R Rd
R + uC-
L
属于临界阻尼情况
先求特征根
s1，2


R 2L

R 2 1 2 2L LC
22

4

2

0


2 2
则有： uC (t) K1e2t K2te2t (t 0)
利用初始值uC(0+)=-1V,iL(0+)=0，得
解： Rd 2
L 2.83 R Rd C 属于过阻尼情况
由R,L,C的值，计算出特征根
R + uC- +
uL L
-
s1，2


R 2L

R 2 1 3 2L LC
32

8

3

1


2 4
则有：
uC (t)

K1e2t

K
e4t
2
(t 0)
iC
C d uC dt
猜想方程的解为： uC(t)=cost iL(t)=sint
d
uC (t ) dt

s in t

iL (t )
d iL(t ) dt

cost

uC
(t)
表明LC回路中的等幅振荡是按正弦规律随时间变化的。
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电路分析基础
LC电路中的正弦振荡
LC振荡波形 已知 uC(0) = U0
另一部分转变为磁场能。
1
到电感电流达到负的最大值后，电感和电容均放
出能量供给电阻消耗，直到电阻将电容和电感的初 0 始储能全部消耗完为止。
(t 0)
i
+ uL L
-
t
t
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电路分析基础
例2 已知R=1,L=0.25H,C=1F,
求电容电压和电感电流。
uC(0+)=+-u1RV- ,iL(C0+)=0i，
利用初始值uC(0+)=2V和iL(0+)=1A，得 ：
uC (0 ) K1 K2 2
duC (t) dt
t 0
2K1 4K2

iL (0 ) C
4
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电路分析基础
解得:K1=6和K2=-4 最后得到电路的零输入响应为
+ uR- C R + uC-
uC (t) (6e2t 4e4t )V (t 0)
uC (0 ) K1 1
duC (t) dt
t 0
2K1 K2

iL (0 ) C
0
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电路分析基础
求解以上两个方程得到常数K1=-1和K2=-2。
电容的电压为： uC (t) (e2t 2te2t )V
(t 0)
电感的电流为：iL (t)


R 2L
0
R=1Ω
R=1Ω
电阻越小，单位时间wenku.baidu.com 耗能量越少，曲线衰减 越慢。
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电路分析基础
例4 已知R = 0, L=1H, C=0.04F, uC(0+)=3V, iL(0+)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。
解：先求特征根：s1，2


R 2L


R
2
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电路分析基础
齐次微分方程的解为：(用欧拉公式)
uC (t) et (K1 cosdt K2 sin dt) Ket cos(dt )
式中
K
K12

K
2 2
arctg K2
K1
由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定常数K1,K2后，可以 得到电容电压的表达式，再利用KCL和VCR方程， 可以得到电感电流的表达式。