一道题的多种解法

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一道求值域问题的多种解法

一道求值域问题的多种解法数学是一个有机的整体，所有感觉是分开的知识其实相互之间是有紧密的联系的。

即大家在学习每一部分内容时，要注意横向联系，把相互关系结成一张网，这样就可覆盖全部内容，使之融会贯通。

这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。

通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。

从而培养创新精神和创造能力。

下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则x2+y2= x2+（1-x）2=2x2－2x+1=2（x－12）2+12由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=12时，x2+y2取最小值12；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。

评注：函数思想是中学阶段基本的数学思想之一，揭示了一种变量之间的联系，往往用函数观点来探求变量的最值。

对于二元或多元函数的最值问题，往往是通过变量替换转化为一元函数来解决，这是一种基本的数学思想方法。

解法二：（三角换元思想）由于x+y=1，x、y≥0，则可设x=cos2θ，y=sin2θ其中θ∈[0，π2 ]则x2+y2= cos4θ+sin4θ=（cos2θ+sin2θ）2－2 cos2θsin2θ=1－12（2sinθcosθ）2=1－12sin22θ=1－12×1－cos4θ2=34+14cos4θ于是，当cos4θ=－1时，x2+y2取最小值12；当cos4θ=1时，x2+y2取最小值1。

评注：三角换元思想也是高中数学的基本思想方法之一，通过三角换元就将问题转化为三角恒等式变形后来解决，而三角恒等变形却有着一系列的三角公式，所以运用三角换元解决某些问题往往比较方便。

解法三：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x+y=1则 xy≤（x+y）24=14，从而0≤xy≤14于是，x2+y2=（x+y）2－2xy=1－2xy所以，当xy=0时，x2+y2取最大值1；当xy=14时，x2+y2取最小值12。

一道多人相遇问题的多种解法

风雨数学老师谈行程问题一道多人相遇问题的多种解法【题目】甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。

甲乙二人在A地，丙在B地与甲乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又经过2分钟和甲相遇。

A、B两地相距多少米？【解答】这题经常出现在竞赛中，解法也是非常多的，现在将我的一些方法整理如下：【解法一】当乙丙相遇时，甲在乙后面2×（100+60）=320米，也就是说乙丙相遇时，乙比甲多行了320米，所以乙丙相遇用了320÷（80-60）=16分钟，由此可以得到两地相距（100+80）×16=2880米。

【解法二】乙丙合行100+80=180米，甲乙就相差80-60=20米，甲乙相差（100+60）×2=320，那么乙丙合行320÷20×180=2880米。

【解法三】甲丙合行100+60=160米，乙丙就比甲丙多行80-60=20米，当甲丙相遇时，乙丙又行了（100+80）×2=360米，所以两地之间的距离是360÷20×160=2880米。

【解法四】乙丙相遇时，乙走了全程的80÷（80+100）=4/9，甲丙相遇时，甲走了全程的60÷（60+100）=3/8，此时乙行了全程的3/8×80/60=1/2，所以乙2分钟行的80×2=160米占全程的1/2-4/9=1/18，因此两地之间的距离是160÷1/18=2880米。

【解法五】乙丙相遇时，乙行了全程的80÷（80+100）=4/9，甲行了全程的4/9×60/80=1/3，当甲丙相遇时，甲行了全程的60÷（60+100）=3/8，所以甲2分钟行的60×2=120米占全程的3/8-1/3=1/24，因此两地之间的距离是120÷1/24=2880米。

【解法六】乙丙相遇时，丙行了全程的100÷（80+100）=5/9，甲丙相遇时，丙行了全程的100÷（100+60）=5/8，从乙丙相遇到甲丙相遇，丙行了2×100=200米，丙行的这200米占全程的5/8-5/9=5/72，所以两地之间的距离是200÷5/72=2880米。

对一道求最值题的五种解法

对一道求最值题的五种解法题目：已知， ,，求的最大值。

解法一：基本不等式法转化为关于的不等关系，通过解不等式进而求出分析：借助基本不等式可将条件中的的取值范围。

解：∵∴∵∴当且仅当时，等号成立∴∴∴当且仅当时，等号成立由可得或，当时，取最大值 .∴评注：基本不等式是高中求最值的基本方法之一，能够灵活的将与联系起来，是求解最值问题最优选择。

解法二：解三角形法分析：将题中所给条件放在三角形ABC中，利用余弦定理求出角C,然后利用正弦定理将边化为角，进而将问题转化为三角函数求最值问题。

解：在中，，，分别是内角A、B、C的对边，不妨设，则即在中，由余弦定理及可得∵∴∴ ,∴在中，由正弦定理可得即∴,∴∵∴∴∴∴当，即时，取最大值 .评注:本解法将所给条件巧妙的放在三角形中，利用正余弦定理，实现边角互化，将问题转化为三角函数求最值问题。

解法三：三角换元法分析：通过变形已知条件，根据变形的结构特征，引进三角代换，利用三角函数知识解决此题。

解：由可得设则∴∵∴即最大值为 .∴评注:通过变形，构造平方和关系，引入三角代换，利用三角函数知识解决问题。

解法四：判别式法分析：通过代数换元法，将问题转化为关于的一元二次方程有解来处理。

解：设，则，代入将可得整理可得∵关于的一元二次方程有解，∴即，解得，∴，∴的最大值为，即的最大值为.评注:通过换元法将问题转化成关于的一元二次方程，利用判别式△求解。

解法五：齐次消元法分析：由可知分子分母具有齐次结构，分子分母同除以，令，则，问题转化为分式函数求值域，利用判别式法对分式函数求值域。

解：设 ,则，设，则当时.当时，有∴，即，解得且∴的最大值为∴的最大值为∴的最大值为.评注：通过对的等价转化，将问题转化为分式函数求值域，利用判别式法对分式函数求值域。

这道题可以使用多种求最值方法求解，关键在于能够根据题目特点做适当变形，巧妙地和所学知识及相应解题方法结合起来。

化难为易，找到解决问题的途径，需要平时学习中勤于思考，多加积累。

1道积分题的多种解法

1道积分题的多种解法积分（Integral）是微积分学的核心概念，是衡量曲线下面积的技术之一。

这里我们考虑如下一道积分题：$$\int_2^8 (x^2-x+2)dx.$$对于这道积分题，我们可以分析，要解决这道题，需要用到积分公式、换元法以及积分变参法等方法。

首先，我们可以把不定积分重新定义，转换为有关x的一元求和：$$\int_2^8 (x^2-x+2)dx = \int_2^8 y dt = \left.yt\right|_2^8 - \int_2^ 8t dy.$$然后，将$y$代换为$x^2-x+2$，即可得出有关$t$的一元积分$$\int_2^8 t dy = \int_2^8 \left(x^2-x+2\right) dt.$$将伯努利公式$\int (x^2 - x +c)dx=\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + cx + c_ {1}$应用到这里，将其化简得：$$\int_2^8 (x^2-x+2)dx=\frac{8^3}{3} - \frac{8^2}{2} +16 - \frac{2^3}{3} +\frac{2^2}{2} - 4 ,$$计算得到：$$\int_2^8 (x^2-x+2)dx=97.$$此外，我们还可以采用积分变参法对积分进行计算：$$\int_2^8 (x^2-x+2)dx =\int_2^8 udv = \left.uv\right|_2^8 - \int_2^8 v du.$$可以将$u$代换为$x^2-x+2$，同时将$dv$代换为$dx$，得到：\begin{align}\int_2^8 udv &= \int_2^8 (x^2-x+2) dx\\&= \left. (x^2-x+2) x \right|_2^8 - \int_2^8 x \times dx\\&=\frac{8^3}{3} - \frac{8^2}{2} +16 - \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 4 - \left. \frac {x^2}{2} \right|_2^8\\&= 97.\\\end{align}综上，本题总结出了多种解法，分别是积分公式法，换元法，以及积分变参法。

鸡兔同笼问题几种不同解法

鸡兔同笼问题几种不一样的解法一、鸡兔同笼问题例 1 笼中有若干只鸡和兔，它们共有 50 个头和 140 只脚，问鸡兔各有多少只解法 1 假设法假设一个未知数是已知的，比方假设 50 个头全部是兔，则共有脚（ 4×50=） 200 （只），这与题中已知 140 只不符，多出（ 200-140=）60（只），多的原由是鸡当兔后每只鸡多算了 2 只脚，所以鸡的只数是（ 60÷2=）30（只），则兔的只数为（ 50-30 ＝） 20（只）。

这类解法，思路清楚，但较复杂，不便操作。

能不可以形象地画个图呢让我们试一试。

解法 2 图形法从图中看 ACDF的面积＝ 4×50＝200（只脚），比实质多出GHEF的面积＝ 200-140 ＝60（只脚），AB=GH=60÷ 2=30（只鸡），BC=AC-AB=50-30＝ 20（只兔）解法 2 比解法 1 高级，算理是相同的。

这里答案是图上算出的，明显这两种解法都要用纸和笔。

不用纸和笔一定是用口诀或易记的公式，这是老公公的传家宝。

解法 3 公式法老公公讲：只要用哨子一吹，并喊一声口令：“全体肃立”。

这时每只鸡呈金鸡独立之状，每只兔呈玉兔拜月状，着地的脚数之和有（ 140÷2＝） 70（只），此中鸡的头数与脚数相等，因为每只兔的脚比头数多 1，所以兔的头数为（ 70－50＝）20（个），即兔有 20 只，则鸡有（ 50－20＝） 30（只）。

这个故事实质上老公公用了以下的公式。

脚数和÷ 2- 头数和 =兔子数。

小孙子们听了兴趣为之大增，纷纷叫老公公再出几道题。

老公公又出了（1） 30 个头， 80 只脚。

（兔 10，鸡 20）。

（2） 100 只脚， 40 个头。

（兔 10，鸡 30）。

（3） 80 个头， 200 只脚。

（兔 20，鸡 60）小孙子们个个都快乐地答出来了。

这个公式简洁好用，它是祖代传下来的还是老公公想出来的呢我们中华文化广博精湛，这两种可能性都是有的。

关于一道平面几何问题的多种解法及思考

关于一道平面几何问题的多种解法及思考问题描述：如图，在平面直角坐标系中，若 $\triangle ABC$ 的坐标分别为 $A(0,0)$，$B(5,0)$，$C(2,6)$，$P$ 为第 $x$ 轴上一点，且满足 $AP+BP+CP$ 最小，求 $x$ 取值。

解法一：几何法1.显然可以发现 $\triangle ABC$ 是个等腰三角形，且底边 $BC$ 是第 $x$ 轴。

2.设 $AP=x$，则 $\overrightarrow{AP}=(x,0)$。

3.设 $H$ 为 $\triangle ABC$ 的垂心，则 $CH$ 是 $\triangle ABC$ 的高，$CH=3$。

5.根据余弦定理可得：$$\cos\angle BPC=\frac{(5-x)^2+36-25}{2(5-x)\cdot 3}=\frac{(x-5)^2+9}{6(x-5)}$$6.根据三角形三边和公式可得：$AP+BP+CP=AP+BP+CH$。

7.设 $F$ 为线段 $BP$ 上一点使得 $PF\perp BC$，则 $BF=5-x$，$FP=h$。

8.则 $AP+BP+CH=AP+BF+FP+CH=x+(5-x)+\sqrt{h^2+9}=5+\sqrt{h^2+9}$。

9.由勾股定理可知 $BF^2+FH^2=BH^2$，即 $(5-x)^2+h^2=36$。

10.代入式子中可得：11.观察式子后可得 $AP+BP+CP$ 的最小值为 $2\sqrt{21}$，此时 $x=3$。

解法二：解析法1.设线段 $AP$ 的方程为 $y=mx$。

4.通过求两条直线之间的距离可得 $AP$ 与 $BP$ 的交点为$(\frac{5m}{1+m^2},\frac{5m^2}{1+m^2})$。

6.根据距离公式可得 $AP+BP+CP=\sqrt{m^2+1}(\frac{5}{\sqrt{m^2+1}}+\sqrt{(5-\frac{5m}{1+m^2})^2+(3-\frac{5m^2}{1+m^2})^2}+\sqrt{(2-\frac{6m}{1+m^2})^2+(6-\frac{6m^2}{1+m^2})^2})$。

一道工程题的八种解法

一道工程题的八种解法例题：A、B两个工程队合作修一条公路，A队每天修这条公路的1/20，B队每天修600米，两队合修8天完成任务。

问A队每天修多少米？（方法一）分析：设全长为x米，有： 1/20x+600=1/8x 解得：x=8000 则A 队一天修8000×1/20=400米。

（方法二）设设全长为x米，有：（1/20x+600）×8=x 解得：x=8000 则A 队一天修8000×1/20=400米。

（方法三）分析：设A对每天修x米，有：（x+600）×8×1/20=x 解得：x=400（方法四））分析：设A对每天修x米，有： x÷1/20÷8-600=x 解得：x=400（方法五）分析：以公路的总长为单位“1”，两队合修8天完成任务，说明两队的工效和为1/8，而A队每天修这条公路的1/20，所以B队每天修1/8-1/20=3/40，600÷3/40=8000米，则A队一天修8000×1/20=400米。

（方法六）分析：以公路的总长为单位“1”，A队8天修了1/20×8=2/5，说明B队修了1-2/5=3/5，而B队实际修了600×8=4800米，4800÷3/5=8000,8000×1/20=400米。

（方法七）分析：以公路的总长为单位“1”，600÷(1/8-1/20)÷8-600=400米（方法八）以公路的总长为单位“1”，两队合修8天完成任务，说明两队的工效和为1/8，而A队每天修这条公路的1/20，所以B队每天修1/8-1/20=3/40，所以A、B两队的工效之比为1/20:3/40=2:3,相同的时间内，工作量之比也为2:3，所以A队每天修600×2/3=400。

每日一题062：一道典型正方形问题的多种解法

每日一题062一道正方形经典问题的一题多解武穴市百汇学校徐国纲本题是课本上的一道经典问题。

问题：正方形ABCD中，M是BC边上异于B、C的一点，E是BC的延长线上的一点，=．∠的平分线于N．求证：AM MN⊥且交DCEAM MN一题多解：（一）旋转法构造全等解法一：常规解法。

可以看作是将△MCN绕AN的中点顺时针旋转90°。

解法二：可以看作是将△MCN绕M点顺时针旋转90°。

AMM N即可。

解法三：可以看作是将△MCN绕C点逆时针旋转90°，同时得到□''解法四：可以看作是将△MCN 绕C 点顺时针旋转90°，同时得到□''AMN M 即可。

解法五：可以看作是将△ABN 绕B 点顺时针旋转90°，同时得到□'MM CN 即可。

值得注意的是，将△ABN 绕B 点逆时针旋转90°，此种方法无法证明，原因是条件分散，无法有效应用已知条件！解法五：可以看作是将△ABN 绕AN 中点逆时针旋转90°，此种方法需先证ABM MFN △∽△,得到BM CF NF ==,再证全等即可。

（二）翻折法构造全等解法六：沿BE 将△M C N 翻折得到△'MCN ，得''N N MAN ==∠∠∠,得'AM MN MN ==.解法七：沿BE将△ABM翻折得到△'A BM，得等腰△'A MN.（三）构造直角三角形△,应用勾股定理解法八：构造Rt AMN（四）构造辅助圆、、、四点共圆解法九：A M C N多解归一：令人眼花缭乱的解法背后，到底有着什么样的规律呢？1、题目中存在边角的相等关系时可以应用全等模型；2、全等图形可用运动变换的方式进行构造；3、全等构造完成后会产生新的特殊图形。

如以上各种方法所作图形中出现了等腰三角形、平行四边形、圆等特殊图形；4、有的方法，目前的知识解决不了，在学习了更多的知识后，就可以解了，如相似法、四点共圆法。

多种方法解鸡兔同笼问题

【题目】鸡与兔共有100只，兔比鸡多190只脚，问鸡和兔各有多少只？解法一：画图。

首先画100个圆代表一共有100个头，再给每个圆添上两个竖线，表示每个头上有2条腿，这时候把所有的动物都看作是鸡，此时兔子比鸡少了200条腿，和实际相差200+190=390条。

因此要把鸡换成兔子，于是再把每只鸡添上2条腿就变成了一只兔子。

每换1次，鸡和兔子腿的差就减少6条，需换出390÷6=65（只）兔子才能符合题意，鸡就只有100-65=35（只）。

由于题里数字太大，这种方式画起来比较麻烦。

解法二：列表。

先假设鸡和兔子各有50只，再算出它们腿数的差，然后逐步调整，直到符合题意为止。

说明兔子有65只，鸡有35只。

解法三：假设都是兔子，兔子的脚就比鸡多100×4=400（只），与实际相差400-190=210（只），拿出1只兔子换成1只鸡，脚的只数差就减少4+2=6（只），就要有210÷6=35（只）兔子换成了鸡，兔子只能有100-35=65（只）。

解法四：假设都是鸡，鸡的脚数比兔子多2×100=200（只），与实际相差了200+190=390（只），拿出1只鸡换成1只兔子，则脚的差减少4+2=6（只），就要有390÷6=65（只）鸡换成了兔子，鸡只能是100-65=35（只）。

解法五：还可以列方程解答，设鸡有x 只，则兔子有（100-x ）只。

4（100-x ）-2x =190x =35
则兔子就有100-35=65（只）。

◎徐洪梅
兔只数
鸡只数
兔腿比鸡腿多的条数5050100554513060401606535190。

一题多解之五种方法解一道经典数学题

B一题多解之五种方法解一道经典数学题一题多解是我们学习数学的特好方法！通过一题多解，我们可以多角度、多方位地去思考解题的方案，这样不仅能加强知识间的联系，同时也增添新颖性和趣味性，优化我们的思维结构，提升我们的思维能力。

更重要的是，一题多解让我们不仅只满足解题目标的实现，而是让我们拥有了研究学问的态度！例题如图，在平面直角坐标系中，点A (－1，0)，B (0，3)，直线BC 交坐标轴于B ，C 两点，且∠CBA ＝45°.求直线BC 的解析式．【分析】要求BC 解析式，现在已经知道了B 点坐标，所以只要求到C 点坐标就好了。

这就要用到条件∠CBA ＝45°。

但这个条件如何用呢？这是本题的难点，也是关键点。

考虑到这个角是45°，我们可以尝试做垂线，构造等腰直角三角形。

如图①，作AD ⊥BC 于D ，由A 、B 的坐标可知1OA =，3OB =，根据勾股定理2210AB OA OB =+=，5BD AD ==AC x =，则1OC x =+，25DC x =-255BC x =-，在RT OBC ∆中，根据勾股定理得出222OC OB BC +=，即()222213(55)x x ++=-，解得152x =-（舍去），25x =，求得6OC =，得出C （﹣6，0），然后根据待定系数法即可求得BC 的解析式．解法一：如图①，作AD ⊥BC 于D ，②∵点A （﹣1，0），B （0，3），∴1OA =，3OB =，∴AB =， ∵∠CBA =45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴BD AD == 设AC x =，则1OC x =+， ∴25DC x =-，∴BC=+255BC x =-+，在152x =-中，222OC OB BC +=2，即()22213x ++=），解得x 1=﹣（舍去），25x =，∴5AC =，6OC =，∴C （﹣6，0），设直线BC 的解析式为3y kx =+，解得12k =，∴直线BC 的解析式为132y x =+．【点评】虽然这种解法思路比较清晰，但是用勾股定理得出的方程比较复杂，解方程很繁，很费时，很累。

一道和差问题的多种解法一道和差问题的多种解法

◎相晖【题目】小红和小明共有邮票120张，小红比小明的邮票少18张，问小红和小明各有邮票多少张？
解法一：假设小红和小明的邮票一样多。

小红就要加上18张邮票，因此这时的邮票总数是（120+18）张。

小明的邮票数就是（120+18）÷2=69（张），小红的邮票数是69-18=51（张）。

解法二：假设小明和小红的邮票一样多。

小明就要减去18张邮票，因此这时的邮票总数是（120-18）张。

小红的邮票数就是（120-18）÷2=51（张），小明的邮票数是51+18=69（张）。

解法三：移多补少。

因为小红比小明的邮票
少18张，从小明的邮票中拿出18÷2=9（张）给
小红，这时两人的邮票就一样多了，即每人有
120÷2=60（张）。

然后再把取出的9张还给小明，
小明的邮票数实际就是60+9=69（张），小红把9
张邮票取出来还给小明，所以这时小红的邮票数
实际就是60-9=51（张）。

还有两种列方程的解法，你能否
写出来呢？！）
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分数应用题目多种解题方法

分数应用题目多种解题方法一题多解：（最少4种解法）1、客车和货车同时从甲乙两地相向而行，在距中点6千米处相遇，已知货车速度是客车的4/5，甲乙两地相距多少千米？2、床单厂女工有360人，比男工多1/8，比男工多多少人？3、计划8天生产零件1000个，实际每天比原计划每天多生产60%，实际需要多少天？4、一项工程，甲乙两队合作15天完成，如果甲队做5天，乙队做3天，完成全工程的7/30，甲乙两队单独干全工程各用多少天？5、今年计划生产童鞋2。

4万双，结果上半年完成计划的60%，下半年计划完成的和上半年的同样多，今年实际可超过计划多少双？假设法：1、一个筐里有橘子和苹果共45千克，如果拿走橘子重量的1/3，在苹果中加入5千克的苹果，这时橘子和苹果的重量相等，原有橘子和苹果各多少千克？2、某学校六年级共有学生90人，其中男生人数的4/7与女生人数的2/3共56人，男女生各有多少人？3、两个书架共有140本，如果从甲架书上拿走8本，乙书架上取走1/6后，两个书架上的本数相同，原来两个书架上各有书多少本？4、牛羊一共有4500只，如果把牛羊卖出2/5，羊卖出1/4，剩下的牛羊只数相等，原来有牛羊各多少只？5、两箱苹果，第一箱是第二箱的4倍，如果从第一箱取出15千克，放入第二箱，第二箱还比第一箱多9千克，两箱原来各有苹果多少千克？图解法1、甲乙两个仓库个有一批大米，已知甲仓库的大米比乙仓库多18吨，若乙仓库给甲仓库6吨，这时乙仓库的大米是甲仓库的4/7，甲仓库原有大米多少吨？2、直角梯形，上底是下底的4/7，如果上底增加7米，下底增加1米，梯形变成正方形，原梯形的面积是多少平方米？3、甲乙两个车间，已知甲车间有职工250人，如果从甲车间调出30%的职工到乙车间，那么乙车间人数是甲车间剩下人数的8/7，乙车间原有职工多少人？4、用5千克盐配制含盐20%的盐水，需加水多少千克？5、第一袋大米比第二袋大米少12千克，若从第一袋在取出4千克放入第二袋，这时第一袋的大米正好是第二袋的4/9，两袋原来各有多少千克？转化法1、三天加工1200个零件，第一天加工了总数的1/3，第二天加工了余下的3/8，第三天加工了多少个？2、纺织厂一车间有男工120人，男工是女工人数的5/8，已知一车间人数战全厂人数的25%，这个厂有多少人？3、三个连续自然数，最小的数除最大的数，商是8/7，中间数是多少？4有360元，其中五元张数是二元张数的4/5，五元和二元各有多少张？5、把360分成两数，已知两数之差除他们的和，商是60，求两数各是多少？逆推法1、客车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的2/7，第二小时行了余下的2/5，第三小时行了余下的2/3，这时距乙地还有21千米，甲乙两地相距多少千米？。

一道存在性问题的多种解法

比较强，可以先将条件弱化，找出可能的点，再验证．
引理：平面内动点Ｐ到两个定点的距离之比为常数（＞０且 ≠１），则动点Ｐ的轨迹为圆．推论：到定点Ａ（ｎ，ｂ），Ｂ（ａ，ｂ）的距离之比为常
数Ａ（＞０且 ≠ １）的动点Ｐ的轨迹方程为（ｚ一
ｌ｝２１ｔ６＝Ｏ解得．，
一ｓ２一ｔ２一ｏ，・
）ｚ＋（一年）ｚ：＝＝
蕉 ± 呈＿二（１
一
所以在平面上存在一点Ｐ（４，ｏ），使得器一丢恒成
ｒ
解法三：设Ｐ（ｓ，￡），Ｏ（Ｘｏ，。），则由ＧＦ一１
，
得
【ＧｚＰ２’ Ｉｖ厂
干２ ‘
１
：一
２ ” 即
，
解得一： ’ 即Ｐ为（４，０）．可以验证点Ｐ对圆ｃ上
任意一点Ｇ都满足一１
．
３（Ｘ￣ｏ＋）＋（１６＋２ｓ）ｘｏ＋２ｔｙ０＋１６－ｓ。一一Ｏ． ① 所以Ｃ：（ｚ。＋４）＋一１６，
故存在点Ｐ（４，Ｏ）．
点评： “ 对于圆ｃ上任意一点Ｇ，都有ＧＦ一１， ’ 条件
数学・解艇方法与技巧
一
道存在性问题的多种解法
河南濮阳市第一高级中学（４５７０００）赵百利
在数学教学中，题海战术在某种程度上确实能夯实学生的数学基础，提高学生的运算能力，但在大量重复性练习中学生势必会产生精神倦怠、思维疲劳，从而扼杀学生的创造性思维，降低学生的数学学习兴趣和积极性．适量的习题是培养学生思维的载体，诱导学生灵活选择解决问题的方法，合理应用数学的思维方式解决实际问题是培养学生数学创新思维的最佳途径．

一道工程问题的多种解法

据乙单做ｏ完知队天成件程击・队独。队独３天成，乙一完这工的乙单做２可天成件程击ｘ音，以队独天乙单做天完完这工的所甲单做８和队独２共２
成件程百＝。下件程１— 百，合一完这工的＋百余这工的一２两作天Ｉ１３导＝队成件程击＋音，的程要百＝天，从这工的击＝余工需告÷ １）此开下２（因
始ｌ完工共用了２＋８＝１天）＋１１（。
２２
巧思妙解
解法２如果设全部的工作量为３份，：０根据甲队单独做１天完成可０，
知甲队一天完成３Ｏ÷１＝０３份，甲队单独做８天完成３Ｘ８２。＝４份根据。乙队单独做３Ｏ天完成可知乙队一天完成３，Ｏ÷３＝份，队单独做２天完成１０１乙Ｘ
２２，＝份所以甲队单独做８和乙队单独做２天天共完成２２２份，４＋＝６余下的
工作量为３２＝０— ６４份。两队合作一天完成３＋１４份，＝余下的工程两队合作需要４÷４１天）因此从开始到完工共用了２＋８＿（。＝（，＋１１天）１
分析与解：这是一道工程问题，的解法。
解法１把—件工程看做单位。，：１根据。甲队单独做１０天完成可知甲，
队天成件程击，单做天成件程击× 根一完这工的甲独８完这工的８。队＝
做的工作量为３０—２２（，当于甲队要做２３９天）＝８天）相８÷ ＝（ ……１乙队要做（

一道imo试题的多种解法与推广

一道imo试题的多种解法与推广题目：给定正整数 n，求由 1，2，...，n 组成的所有递增序列的个数？解法与推广：1. 卡特兰数解法：由卡特兰数的定义可知，对于给定的正整数 n，由 1，2，...，n 组成的所有递增序列的个数等于 Cn,n-1。

2. 递归解法：假设F(n)表示由1，2，...，n组成的所有递增序列的个数，则有：F(n)=F(n-1)，n>1； F(1)=1；即可以通过递归求出F(n)的值。

3. 动态规划解法：定义数组dp[n]，dp[i]表示由1，2，...，i组成的所有递增序列的个数，则dp[n]的最终结果就是求解所求的结果。

则有:dp[i] = dp[i-1] + sum(dp[i-k-1]), i-k > 0, k=1，2，...，i-1其中，dp[0]=1。

4. 数学归纳法解法：用 S_n 表示由1，2，...，n组成的所有递增序列的个数，则有：S_n =S_{n-1} + (S_{n-1}-S_{n-2}) + (S_{n-2}-S_{n-3}) + ... + (S_1-S_0)而同时知道 S_1=1，S_2=2，故 S_n = n * S_{n-1}故求得 S_n = n!，即由1，2，...，n组成的所有递增序列的个数为 n!5. 推广：（1）若给定正整数 m 和 n，且 m < n，求由 m，m+1，...，n 组成的所有递增序列的个数？此时的答案可以分别用卡特兰数的定义、动态规划法、递归法和数学归纳法给出，其结果为 Cn,m。

（2）若给定正整数n，求由1，3，...，n 组成的所有递增序列的个数？令 F_n 表示由1，3，...，n组成的所有递增序列的个数，则有F(n)=F(n-2) + (F(n-3) - F(n-4)) + (F[n-4] - F[n-5]) + ... + (F[2] - F[0])，其中 F[0]=1，F[1]=1，最后求得 F_n = 2^(n/2)，其中 n 为偶数；若n为奇数，则 F_n=2^(n-1/2)。

一道数学题，竟有6种不同的解法！

一道数学题，竟有6种不同的解法！
在做数学题的时候，我常告诉我的学生，请你学会举一反三，不要老师讲什么就死记硬背什么，要知道考场上你见到的任何一道数学题，都不会是老师在课堂上讲过的原题，要学会变通。

数学既要背，又不能“死记硬背”！
为什么说数学要背呢？家长们疑惑的问我，不是说数学靠背是最傻的方法吗？等一等，家长是否忽略了一些老师说得重点呢？
数学要背吗？肯定要！背什么呢？背公式和相关规律。

试想你在解题的时候，遇到一道题觉得很眼熟，老师好像在课堂上讲过，但是数字和问句稍微变动了一下，你知道应该怎么解答，可是突然做着做着需要一道公式来衔接时，你想不起来了！这时你会是什么感受呢？这就是为什么老师说数学要背的原因。

之所以不能死记硬背，是因为数学从来都不是文科科目，它考察的也从来不是书本上的“死知识”，它需要学生灵活一点，大脑运转得快一点，最好能够天马行空，相处更多更有趣的解法来，说起来数学的确需要一些智商。

不学会“举一反三”，拿什么挑战数学高分？
如果是基础题不能基本上拿满分的学生，我建议先把基础题部分好好练练，因为一张试卷里有80%的题目是在照顾大部分学生的答题水平，基础题拿了满分，对于之后拿高分非常有利。

那么接下来我要说的是关于数学高分部分，有些想法的学生答题，千万小心思维固化，一道题不要总以为只有一种解法，我们要跳出思维的圈子，也许有些解法连老师都没有想到呢？举一反三就是这么重要。

那么接下来，我们先一起来看一道题，这道题昨天给我的学生做，在不告诉答案的情况下，学生集思广益做出了六种解法！。

一道试题的多种解法与教学反思

一道试题的多种解法与教学反思试题描述：在一个圆形花坛中，有若干株花，每株花的周围都有一圈草。

如果将花坛的半径增加1米，花坛的面积将增加25平方米。

求花坛中花的数量。

解法一：几何法根据题意，我们可以得到以下信息：原花坛的半径为r，面积为πr²；增加花坛的半径为(r+1)，面积为π(r+1)²；两者面积之差为25平方米。

根据面积的计算公式，我们可以得到以下方程：π(r+1)² - πr² = 25化简上述方程，消去π，并展开平方项，得到：r² + 2r + 1 - r² = 25化简得到：2r + 1 = 25解得：r = 12因此，原花坛的半径为12米。

将半径代入面积的计算公式，可得到花坛的面积为π(12²) = 144π平方米。

解法二：代数法假设花坛中原本有n株花。

根据题意，我们可以得到以下信息：原花坛的面积为πr²；增加花坛的半径为(r+1)，面积为π(r+1)²；两者面积之差为25平方米。

根据面积的计算公式，我们可以得到以下方程：π(r+1)² - πr² = 25化简得到：π(r² + 2r + 1 - r²) = 25化简得到：π(2r + 1) = 25进一步化简可得：2r + 1 = 25/π解得：r = (25/π - 1) / 2 ≈ 3.98因为半径必须为正数，所以取最接近的整数值，即r ≈ 4。

代入原花坛的面积计算公式，可得到花坛的面积为π(4²) = 16π平方米。

解法三：逻辑推理法根据题意，增加花坛的半径1米后，面积增加25平方米。

我们可以通过逻辑推理来解决问题。

设原花坛的面积为A，花坛内花的数量为n。

当半径增加1米后，面积增加25平方米。

这意味着原本半径为r的花坛的面积A与增加后半径为(r+1)的花坛的面积相差25平方米。

则有：A + 25 = A + π((r+1)² - r²)化简可得：25 = π(2r + 1)通过观察可知，π(2r + 1)必须约等于25。

一道流体静力学题的多种解法

一道流体静力学题的多种解法一道流体静力学题通常需要运用多种不同的解法进行分析，这样可以更全面地理解问题并得到更准确的结果。

下面将以一道典型的流体静力学题为例，介绍多种解法的应用。

题目：一个高度为H、底面积为A的水桶里装满了水，水的密度为ρ。

水桶的底部有一个小孔，孔的面积为a，水流出的速度为v，则求水桶受到的压力。

解法一：基础计算法首先我们可以用流体的静力学原理来计算水桶受到的压力。

根据流体的静力学原理，处于静止状态的液体内每个元素都受到来自液体的垂直压力。

那么在水桶底部的一个小面积dA处，液体对这个面积的压力就是dF = ρgdA，其中g为重力加速度。

对整个底面积A 进行积分，则水桶受到的压力可以表示为F = ∫ρgdA = ρgA。

这就是通过基础的积分原理计算的结果，也是我们认为合理的解法。

解法二：Bernoulli方程法Bernoulli方程是流体力学中非常重要的方程之一，它可以描述流体在不同位置之间的压力、速度和高度等参数之间的关系。

根据Bernoulli方程，我们可以利用水桶内以及水流出口两个位置的压力、速度和高度之间的关系来计算水桶受到的压力。

具体而言，可以将Bernoulli方程写为P1 + 0.5ρv1^2 + ρgh1 = P2 + 0.5ρv2^2 + ρgh2，其中P1、P2分别为两个位置的压力，v1、v2为速度，h1、h2为高度。

通过这个方程我们也可以得到水桶受到的压力。

解法三：流体动力学法除了静力学外，流体力学中还有一个动力学的分支，它描述了流体运动的规律以及与其它物体的相互作用等。

这里我们可以运用流体动力学的概念来计算水桶受到的压力。

通过脉动方程、雷诺方程等流体动力学的原理，我们可以得到水流出口的压力，再利用液相力学的基本原理，计算得到水桶受到的压力。

对于一道流体静力学题，我们可以运用多种不同的解法来进行计算并得到最终结果。

这些解法涉及了不同的流体力学知识点，通过综合运用这些知识点，我们可以更全面地理解问题并得到更准确的结果。

鸡兔同笼的十种解法

鸡兔同笼的十种解法鸡兔同笼是一道经典的数学问题，它的解法有很多种。

在这篇文章中，我们将介绍十种不同的解法。

解法一：代数法设鸡的数量为x，兔的数量为y，根据题意可得以下两个方程：x + y = n2x + 4y = m其中n表示笼子里的总数量，m表示笼子里的总腿数。

解这个方程组，即可得到鸡和兔的数量。

解法二：图像法将鸡和兔分别用不同的图形表示出来，如圆形和三角形。

然后将它们放在同一个笼子里，根据题意可得到它们的数量。

解法三：枚举法从1开始枚举鸡和兔的数量，直到找到符合题意的解为止。

解法四：递推法根据题意，可以得到以下递推公式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)其中f(n)表示笼子里的总数量，f(n-1)表示上一个状态的数量，f(n-2)表示上上个状态的数量。

通过递推，即可得到鸡和兔的数量。

解法五：二分法将鸡和兔的数量分别设为x和y，然后用二分法逐步逼近符合题意的解。

解法六：贪心法先假设所有的动物都是兔子，然后逐步将一些兔子变成鸡，直到符合题意为止。

解法七：暴力法将所有可能的情况都列出来，然后逐一验证，直到找到符合题意的解为止。

解法八：分治法将笼子分成两个部分，分别放鸡和兔，然后逐步逼近符合题意的解。

解法九：随机法随机生成一些鸡和兔的数量，然后逐步逼近符合题意的解。

解法十：遗传算法将鸡和兔的数量看作基因，然后用遗传算法逐步逼近符合题意的解。

以上就是十种不同的鸡兔同笼问题的解法。

每种解法都有其独特的优点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的解法来解决问题。

有多种解法的初一数学题

有多种解法的初一数学题1. 题目：小明有一堆苹果，他分给三个人，分完后还剩两个苹果，问他有多少个苹果？解法1：设有x个苹果，则x ≡ 2 (mod 3)，且x为自然数。

由于3的任何次幂的一般形式为 3k 或 3k + 1 或 3k + 2，因此可以列出以下方程式：x = 3a + 2 (a为自然数)x = 3b + 2 (b为自然数)x = 3c + 2 (c为自然数)然后通过尝试不同自然数来确定x。

例如，如果 a = 1，则 x =3a + 2 = 5；如果 b = 2，则 x = 3b + 2 = 8；如果 c = 3，则x =3c + 2 = 11。

因此，小明有11个苹果。

解法2：也可以利用反证法，假设小明有x个苹果。

将其分给三个人后，每人会得到 (x-2)/3 个苹果（由于是正整数，可以向下取整）。

因此，每人得到的苹果数一定是一个整数。

由于“分完后还剩两个苹果”，因此，必须满足 (x-2) % 3 = 0。

不难发现，如果x不是3的倍数，则无法满足该等式。

因此，假设不成立，推出小明有3n+2个苹果，其中n是一个自然数。

同样地，可以列出 (3n+2-2)/3 = n 个整数，因此，小明有3n+2个苹果。

2. 题目：一个三位数的个位数比百位数小1，十位数是个位数和百位数的和，这个数是多少？解法1：设这个三位数为xyz，则根据题目可得到两个方程式：y = x - 1z = x + y将方程式带入xyz中，得到：100x + 10y + z = 100x + 10(x-1) + (x-1+x)。

化简方程式得到z = 2x-1。

由于这是一个三位数，因此x最大只能等于5。

因此，可以将x从1到5枚举一遍，检验它们是否满足y = x-1 和z = 2x-1。

最后，得到这个三位数是429。

解法2：将xyz表示为100x + 10y + z，由题可得到:y = x-1;z = x+y = 2x-1;因此，将其带入100x + 10y + z中得到：100x + 10(x-1) + 2x-1= 112x-10。