角动量

力对O点的力矩τ在通过O点的任一轴线如z轴上的分量，叫做力对轴线z的力矩，用τz表示，这就是中学物理课中给出的力矩的定义．正如上一节中对于角动量的讨论一样，力F对于轴线z上任一点的力矩τ在该轴线上的分量的数值τz是与所选参考点无关的．
3.1.3质点的角动量定理及角动量守恒定律
力可以引起质点动量的改变，质点所受的合力等于质点动量对时间的变化率．下面我们讨论力矩与质点角动量改变之间的关系．
L=-mvdk
由例2可以看出，并非质点仅在圆周运动时才具有角动量，质点作直线运动时，对于不在此直线上的参考点也具有的动量．另外，还可以看出，如果把参考点选在该直线上，则sinφ=0，质点对该点的角动量永远等于零．因此，当谈到的动量时，必须指明是对哪个参考点而言的，否则没有意义．
例3计算氢原子中电子绕原子核运动的角动量．
开普勒第二定律由此得到证明．
由行星角动量守恒还可以得出行星运动的又一特点．根据角动量定义，行星对太阳的角动量L应垂直于它对太阳的位置矢量r和动量mv所决定的平面．因为角动量是矢量，所以角动量守恒时，不仅L的大小不变，而且L的方向也应保持一定，所以行星运动的整个过程中，r和mv始终在同一平面内，也就是说，行星绕太阳的运动必然是平面运动．
如图3-4所示，O是空间一点，F是作用力，A表示受力点，受力点相对于参考点O的位置矢量r与力F矢量的矢量积τ叫做力F对参考点O的力矩．其数学表达式为
τ=r×F．
（3.4）
由矢量积的定义可知，力矩τ的大小等于r和F作邻边的平行四边形的面积，
τ=|rFsinφ|
（3.5）
式中φ是r与F的夹角．力矩τ的方向与r和F所在的平面垂直，且r、F和τ构成一右手螺旋系统．
质点角动量定理及角动量守恒定律
3.1.1质点的角动量
设一质量为m的质点相对于参考系中某参考点O的位置矢量为r，其瞬时速度为v，如图3-1a所示．则定义质点相对于O点的角动量L为
L=r×mv
（3.1）
上式表明：质点相对于O位置矢量r与其动量mv的矢量积称为质点相对于O点的角动量．由矢量积的定义可知，质点相对于某参考点的角动量是一个矢量，L的方向与r和mv所在的平面垂直，且r、mv和L构成一右手螺旋系统．L的大小等于以r和mv作邻边的平行四边形面积，即
此数值是物理学中最重要的常量之一，用h表示，微观粒子的角动
·m2·s-1．
在宏观现象中，物体的角动量可以取连续的数值．例如，对于一个绕轴转动的轮子，可以使其转速连续的增大或减小；但对于微观粒子则角动量（自旋角动量或轨道角动量）只能在一些确定的离散数列中取值，外部的作用只能使这Βιβλιοθήκη Baidu角动量的值从某一数值跃变为另一数值，而不能连续变化，这种现象叫做角动量的量子化．角动量的量子化现象与角动量守恒并行不悖，只是显示出微观粒子的角动量还有其特殊属性．
M=lmgsinθ
方向垂直纸面向外．
根据质点的角动量定理
得
即
这正是决定这一瞬时摆锤的切向加速度的关系式．
如果把摆锤的运动看作是绕通过O点且垂直于纸面的轴线（取为z
2．质点角动量守恒定律
根据质点角动量定理
如果τ=0，则
L=常量
（3.8）
即作用于质点的合力对参考点O的力矩始终为零，则质点对该点的角动量保持不变，称为质点对参考点O的角动量守恒定律．
L=|rmvsinφ|
（3.2）
式中φ是r与mv两矢量之间的夹角．
按以上定义，角动量L含有动量mv因子，因此L与参考系有关；L还含有r因子，r又依赖于参考点的位置，所以质点对某一点的角动量也依赖于参考点的位置．例如，在图3-1b中，参考点为O点时的角动量L与参考点为O′点时的角动量L′是不同的．
应当指出的是，虽然质点相对于任一直线（例如z轴）上的不同参考点的角动量是不相等的，但这些角动量在该直线上的投影却是相等的．如图3-1b所示，取S平面与z轴垂直，则质点对于O点及O′点的角动量分别为L与L′，L和L′分别等于以r及mv为邻边及以r′及mv为邻边的平行四边形的面积，L与L′在z轴上的投影分别是Lz=Lcosα和L′z=L′cosα′（α与α′分别是L与L′和z轴间的夹角），由图3-1b可见，Lz和L′z分别是相应的两个平行四边形在S面上的投影面积，两者是相同的，故Lz=L′z．
解如图3-7所示．因为卫星所受地球引力的作用线通过地球中心，所以卫星对地球中心的角动量守恒．已知在卫星轨道的近地点径矢的大小
在远地点径矢的大小
设卫星在远地点的速度为v2因远、近地点的速度与该处径矢垂直，放由的动量守恒定律可得
r1mv1=r2mv2
由此得
求卫星的运行周期T．由开普勒第二定律可知
由几何关系知，椭圆面积=πab，其中a、b分别为椭圆的半长、短轴，它们可由远、近地点的径矢求出
在国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米（N·m）．
由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩，因此讲到力矩时必须指明是相对于哪一点而言的．当力F不为零时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参考点O，此时位置矢量r=0；另一种是沿力的方向的延长线通过参考点O，此时sinφ=0．如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种力叫做有心力，该固定点称为力心．上述第二种情况，有心力相对于力心的力矩恒为零．
即周期约为1小时46分．
例6在光滑水平桌面上有一小孔O，一细绳穿过小孔，其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉住．设开始时令小球以速率v1绕孔O作半径为r1的匀速率圆周运动，如图3-8所示．现在向下缓慢拉绳，直到小球作半径为r2的圆周运动时停止．试求此时小球的速率v2．
解小球所受的力中，重力与桌面支持力抵消，只有绳的拉力影响小球的运动，这个力的作用线通过O点，对O点力矩为零，故小球在运动中对O点的角动量守恒．设小球的质量为m，则小球先后作圆周运动时的角动量大小分别为r1mv1和r2mv2，故
1．质点的角动量定理
角动量的定义为
L=r×mv
将角动量对时间求导，可得
因此上式可变为
所以
上式右方为质点所受合力对参考点的力矩，τ于是就得到
（3.6）
上式表明，在惯性系中，作用在质点上的合力对某参考点的力矩，等于质点对同一参考点角动量对时间的变化率．这个结论叫做质点的角动量定理．
把质点角动量定理在直角坐标系中表达，可得到三个分量方程：
解如图3-5所示，设摆锤质量为m，摆线长为l，摆线与铅直方向的夹角为θ，线中张力为T，摆锤在该位置的瞬时速度为v．
根据质点角动量的定义式
L=r×mv
由于|r|=l，且r⊥mv，因此摆锤对固定点O的角动量的大小为
L=lmv
方向垂直图面向外．
这时摆锤所受的力为重力及摆线拉力，由于拉力T的作用线通过O点，其力矩等于零，因此摆锤此时所受的对O点合力矩的大小为
3.1.2力矩
动量定理说明，引起动量改变的原因是力；下面将看到，引起角动量改变的原因是力矩．
对于力矩的概念，虽然在中学物理课中已作过初步介绍，例如，推门时作用力对门轴有力矩，用扳手拧螺帽时作用力对螺杆的轴有力矩等．但那里讨论的只是物体绕一定轴线转动，所遇到的力矩总是对轴的力矩，是力矩的一种特殊形式．力矩的普遍定义是对一定参考点的，对轴的力矩只是对点的力矩沿轴线的一个分量．下面将给出力矩的一般定义．
行星绕太阳沿椭圆形轨道运动，取一很短的时间间隔△t，设在△t时间内行星对太阳的位置矢量即径矢r扫过的面积是△A．△A可以近似认为是图3-6中画有斜线的三角形面积，即
或
故面积速度
由于行星所受太阳引力为有心力，它对于太阳中心的力矩为零，所以根据的动量守恒定律，行星在绕太阳的运动过程中，它对太阳中心的角动量是守恒的，即L=r×mv=常量，其中行星的质量m是常量，所以面积速度
3．行星绕太阳的运动
作为质点角动量守恒定律的应用，我们来讨论行星绕太阳的运动．16世纪末至17世纪初，开普勒仔细地分析整理了前人记录下的大量精确的有关行星运动的资料，总结出行星运动的规律、即开普勒三定律．
应用牛顿定律的万有引力定律可以全面证明这三条由天文观察资料中总结出来的实验规律．而在本课程中，只限于讨论其中的第二条，即对任一行星，由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积．根据角动量守恒定律，我们可以推导出行星运动的开普勒第二定律．
解质点作圆周运动时，其速度v处处与位置矢量r垂直，r和mv
L的方向由右手螺旋法则确定，即将右手的四指由r的正向以小于π的角度转向mv的正向，则拇指所指即为L的方向．这里角动量L的方向垂直于圆平面向外．
设质点的角速度大小为ω，因v=rω，所以上式也可写作
L=mr2ω
（3.3）
如果写作矢量式，则有
L=mr2ω
r1mv1=r2mv2
倍．
(3.7)
即质点对轴的角动量随时间的变化率等于作用于质点的合力对同一轴的力矩，称做质点对轴的角动量定理．
对于绕z轴作圆周运动的质点来说，Lz=mr2ω，ω为质点转动的瞬时角速度，因此，由（3.7）式可知，质点对z轴的角动量定理可以写成
例4用质点的动量定理求出单摆摆锤的瞬时切向加速度与重力加速度的关系式．
质点在有心力作用下的运动是一种重要的运动形式．有心力运动的上述特征既不能用动量也不能用能量概念来说明，但利用角动量守恒却给出了简洁而中肯的描述．从这里我们也可以看到力学中引入角动量概念的必要性．
例5我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运动．已知卫星近地点高度为h1=266km，远地点高度为h2=1826km，卫星经过近地点时速率为v1=8.13km·s-1，试求卫星通过远地点时的速度和卫星运行周期．计算中取地球半径R=6.37×103km，空气阻力不计．
解已知氢原子中电子的质量为9.11×10-31kg，它绕原子核运动的平均半径为5.29×10-11m，角速度为4.13×1016s-1，所以它对原子核中心的角动量为
L=mr2ω=(9.11×10-31)×)5.29×10-11)2×(4.13×1016)kg·m2·s-1
=1.05×10-34kg·m2·s-1．
例2质量为m的质点在xy平面内以速度v作匀速直线运动，如图3-3所示．求此质点相对于原点O的角动量．
解根据角动量的定义式L=r×mv，设k为沿z轴的单位矢量，则质点的角动量为
L=r×mv=rmvsinφ（k）
即L指向z轴负方向．由图3-3可以看出，rsinφ正好等于O点与轨迹的垂直距离d，因此代入上式得
（3.4）
式中ω是角速度矢量，其方向与质点的绕向之间遵从右手螺旋法则，即垂直于圆平面向外，与L的方向一致．
若取z轴沿着L的方向，则质点对于z轴的角动量即等于Lz=mr2ω，ω是质点绕z轴的角速度，mr2称为质点绕z轴转动时的转动惯量．可见，质点绕轴转动时，它（对于该轴线）的角动量等于质点的转动惯量与角速度的乘积．
角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛顿第二定律不能适用的微观粒子的运动，它也适用．
如果质点在有心力作用下运动，由于力对力心的力矩为零，因此质点对该力心的角动量就一定守恒．例如行星在太阳引力下绕太阳的运动就是在有心力作用下的运动，日心即力心；地球卫星在地球引力作用下运动，地心即力心；电子在原子核静电力作用下运动，力心即原子核．在这些情况下，我们可得出结论：行星在绕太阳的运动中，对太阳的角动量守恒；人造地球卫星绕地球运行时，它对地心的角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核的角动量守恒．
我们把质点对z轴上任意一点的角动量L在z轴上的投影，叫做质点对于z轴的角动量，用Lx表示．上面已证明，Lz的数值是与参考点无关的．
在国际单位制中，角动量的单位为千克·米2／秒（kg·m2·s-1）．
例1如图3-2所示，质量为m的质点以速率v绕半径为r的圆轨道作匀速率运动．求此质点相对于圆心O点的角动量．