圆锥曲线综合练习题
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曲线方程及圆锥曲线典型例题解析
一.知识要点
1.曲线方程
步骤含义说明
1、“建”:建立坐标
系;“设”:设动点坐
标。
建立适当的直角坐标
系,用(x,y)表示曲线上任
意一点M的坐标。
(1)所研究的问题已给出坐标系,即可直接
设点。
(2)没有给出坐标系,首先要选取适当的坐
标系。
2、现(限):由限制条
件,列出几何等式。
写出适合条件P的点M
的集合P={M|P(M)}
这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析
题意,使写出的条件简明正确。
3、“代”:代换用坐标法表示条件
P(M),列出方程f(x,y)=0
常常用到一些公式。
4、“化”:化简化方程f(x,y)=0为最简
形式。
要注意同解变形。
5、证明证明化简以后的方程的
解为坐标的点都是曲线
上的点。
化简的过程若是方程的同解变形,可以不
要证明,变形过程中产生不增根或失根,
应在所得方程中删去或补上(即要注意方程
变量的取值范围)。
(2)求曲线方程的常见方法:
直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解。
几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。
参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标x,y 联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程。
2.圆锥曲线综合问题
(1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题
通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用,要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法:
设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为:
若弦AB过圆锥曲线的焦点F,则可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|.
在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围。
(2)对称、存在性问题,与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值问题的判断方法。
(3)实际应用题
数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。
涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系,合理选择曲线模型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断,解题的一般思想是:
实际问题
模型的解
数学模型方程 讨论方程的解
翻译回去
建立坐标系 转化成数学问题
(4)知识交汇题
圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。 二.典例解析 题型1:求轨迹方程
例1.(1)一动圆与圆2
2
650x y x +++=外切,同时与圆2
2
6910x y x +--=内切,求动圆圆心M 的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。
(2)双曲线2
219
x y -=有动点P ,12,F F 是曲线的两个焦点,求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。
解析:(1)(法一)设动圆圆心为(,)M x y ,半径为R ,设已知圆的圆心分别为1O 、2O ,
将圆方程分别配方得:2
2
(3)4x y ++=,2
2
(3)100x y -+=,
当
M 与1O 相切时,有1||2O M R =+ ① 当M 与2O 相切时,有2||10O M R =- ② 将①②两式的两边分别相加,得21||||12O M O M +=,
即2
2
2
2
(3)(3)12x y x y +++-+= ③ 移项再两边分别平方得:
222(3)12x y x ++=+ ④
两边再平方得:2
2
341080x y +-=,
整理得
22
13627
x y +=, 所以,动圆圆心的轨迹方程是
22
13627
x y +=,轨迹是椭圆。 (法二)由解法一可得方程2
2
2
2
(3)(3)12x y x y +++-+=,
x
y
1O
2O
P
由以上方程知,动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12,所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ,长轴长等于12的椭圆,并且椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,
∴26c =,212a =,∴3c =,6a =,
∴2
36927b =-=,
∴圆心轨迹方程为
22
13627
x y +=。 (2)如图,设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ,∴在已知双曲线方程中3,1a b ==,
∴c =
=
∴已知双曲线两焦点为12(F F , ∵12PF F ∆存在,∴10y ≠
由三角形重心坐标公式有11(300
3x x y y ⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩
,即1133x x y y =⎧⎨=⎩ 。
∵10y ≠,∴0y ≠。
已知点P 在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有2
2(3)(3)1(0)9
x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为:2
2
91(0)x y y -=≠。
点评:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤;“转移法”求轨迹方程的方法。
例2.(2001上海,3)设P 为双曲线-4
2x y 2
=1上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是 。
解析:(1)答案:x 2-4y 2=1 设P (x 0,y 0) ∴M (x ,y )
∴2
,200y
y x x ==
∴2x =x 0,2y =y 0 ∴4
42
x -4y 2=1⇒x 2-4y 2=1
点评:利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方法之一。 题型2:圆锥曲线中最值和范围问题
例3.(1)设AB 是过椭圆x a y b a b 222
210+=>>()中心的弦,椭圆的左焦点为
F c 10()-,,则△F 1AB 的面积最大为( )
A. bc
B. ab
C. ac
D. b 2