高二数学空间向量苏教版(文)
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.4 空间向量的坐标表示含答案解析
3．1.4空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标． (2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标． 2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57][例1] 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC )＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD )＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点． ∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同， 则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB ＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE ＝(2,2,1)． 又∵DF ＝e 2， ∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D ) ＝－[1OO ＋12(OA ＋OB )]＝－1OO －12OA －12OB .又|1OO |＝4，|OA |＝4，|OB |＝2， ∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝OB －1OA ＝OB －(OA ＋1AA ) ＝OB －OA －1AA .又|OB |＝2，|OA |＝4，|1AA |＝4， ∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标． 解：由已知p ＝2a ＋3b －c ， 设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c ) ＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c . 由向量分解的惟一性， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1.∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1).[例2] 已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)， 求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似． [精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)． a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． 3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4) ＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)． 求：(1)a －(b ＋c )； (2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)． (2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4) ＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)OP ＝2(AB －AC )； (2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝CB ＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)， ∴OP ＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)， ∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)， 又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)， ∴AB －DC ＝(9,8，－3)， ∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2).[例3] 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥CD 且AD 不平行BC ，或证AB ∥CD 且|AB |≠|CD |即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD ＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与CD 共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行． ∴四边形ABCD 为梯形． [一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是： (1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标； (2)写出相应向量的坐标； (3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值． 解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2) ＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k －7，∴k ＝－13.7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)． ∵P A ＝2P A 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23＝RS .∴PQ ∥RS . ∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤： (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标； (4)结合公式进行论证、计算； (5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ， 故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________. 解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)， 又∵a ∥b ，显然y ≠0， ∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32.答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝⎛⎭⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73)6．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．所以可设AD ＝e 1，解：如图，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A -xyz . 因为DC ＝AB ＝e 2，MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC )＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3.所以MN ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使： (1)OP ＝12(AB －AC )；(2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)． (1)OP ＝12(6,3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点， ∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)． 由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3.∴λ＝12.此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。
单元复习第6章空间向量与立体几何高二数学单元复习(苏教版选择性必修第二册)课件
设=t=(-3t,4t,0),其中 0≤t≤1.
则 E(3-3t,4t,0),1 =(3-3t,4t-4,-4),1 =(0,-4,-4).
又因为1 =m1 +n1 成立,
1
所以 m(3-3t)=-3,m(4t-4)-4n=0,-4m-4n=4,解得 t=2.
π
≤π，若〈a，b〉＝2，则称 a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b．
②两向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的
数量积，记作a·
b，即a·
b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·
b)；
②交换律：a·
b＝b·
a；
A. + + + =0
B. + − − =0
C. − + − =0
D. · = ·
)
答案 CD
解析 因为 − + − = + =0,所以 C 正确;又因为底面 ABCD
是边长为 1 的正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以 ·=2×2×cos∠ASB, ·
唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}
叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
→
→
已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，
则∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉
，其范围是 0≤〈a，b〉
=2×2×cos∠CSD,而∠ASB=∠CSD,于是 · = ·,因此 D 正确,其
高二下学期数学苏教版选择性必修第二册6.2.2空间向量的坐标表示课件PPT
上运动，则当Q→A·Q→B取得最小值时，点 Q 的坐标为( )
A. 1，23，43
B. 43，43，83
C. 53，1，83
D. 23，53，83
【解析】 设 Q(x，y，z)，则O→Q＝(x，y，z)．因为点 Q 在直线 OP 上运动，所以O→P
∥O→Q，所以1x＝1y＝2z，即 y＝x，z＝2x，所以O→Q＝(x，x,2x)，所以Q→A·Q→B＝(O→A－O→Q)·(O→B
【答案】 2
解析 答案
例 2 已知 A(3,1,3)，B(1,5,0)，求：
(1) 线段 AB 的中点坐标和 AB 的长度；
(2) 到 A，B 两点距离相等的点 P(x，y，z)的坐标 x，y，z 满足的条件．
【解析】 (1) 设 M 是 AB 的中点，O 是坐标原点，
则O→A＝(3,1,3)，O→B＝(1,5,0)，
C. 90°
D. 120°
【解析】 因为向量 a＝(1,1,1)，b＝(0,1,－1)，所以 a·b＝1×0＋1×1＋1×(－1)＝0， 所以 a⊥b，则 a，b 的夹角为 90°.
解析 答案
2. 已知 O 为坐标原点，O→A＝(1,2,3)，O→B＝(2,1,2)，O→P＝(1,1,2)，点 Q 在直线 OP
(2) 因为点 A 的坐标为 23，12，0，B(0，－1,0)，
所以A→D＝－ 23，－1， 23，B→C＝(0,2,0)，
所以A→D与B→C夹角的余弦值为
cos〈A→D，B→C〉＝
→→ AD·BC →→
＝－
510.
|AD|·|BC|
解析
解析
活动二 空间向量的数量积的坐标运算及其应用
例 1 (1) 设 a＝(1,－1,1)，b＝(－2,0,1)，则 cos〈a，b〉＝________；
苏教版高中数学选修2-1：空间向量的应用_课件3
则nn11··AA→→AC1＝＝00
⇒z－＝20x，＋2y＝0.
令 x＝1，得 y＝1，∴n1＝(1,1,0)． 设平面 AEC1 的一个法向量为 n2＝(x，y，z)，
则nn22··AA→→CE1＝＝00
－2x＋2y＋z＝0， ⇒－2x＋12z＝0.
令 z＝4，得 x＝1，y＝－1，∴n2＝(1，－1,4)． ∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
则D→1E＝(0，a，－2a)，D→A1＝(a,0,2a)，D→B＝(a，a,0)．
又(0，a，－2a)＝(a，a,0)－(a,0,2a)， 所以D→1E＝D→B－D→A1，所以D→1E、D→B、D→A1共面． 因为 DA1、DB⊂平面 A1BD，D1E⊄平面 A1BD，
故 D1E∥平面 A1BD.
即r2－12rt＋12r2－12rt＋12rt－t2＝0， 12r2－12rt＋r2－12rt＋12rt－t2＝0，
得32r2－12rt－t2＝0，∴r＝t. 因此，当CCCD1＝1 时，A1C⊥平面 C1BD.
【名师点评】 当空间图形不适合建立空间 直角坐标系时，一般选用基向量法．
θ＝
1 3.
【名师点评】 用向量法求二面角的大小时， 可以转化为求两平面的法向量的夹角，但应 注意二面角与该角的关系是相等还是互补， 应根据图形进行选择．
(2)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：作 SO⊥BC，垂足为 O， 连结 AO. 由侧面 SBC⊥底面 ABCD，得 SO⊥平面 ABCD. 因为 SA＝SB，所以 AO＝BO.又∠ABC＝45°， 故△AOB 为等腰直角三角形，且 AO⊥OB.
如图，以 O 为坐标原点，O→A方向为 x 轴正向，O→B 方向为 y 轴正向，O→S方向为 z 轴正向，建立空间 直角坐标系 O－xyz，则 A( 2，0,0)、B(0， 2， 0)、C(0，－ 2，0)、S(0,0,1)，
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1学案 第三章 空间向量与立体几何 总结
第11课时本章复习教学过程一、数学运用【例1】如图,在▱ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60°角,求B,D间的距离.(见学生用书P71)(例1)[规范板书]解因为∠ACD=90°,所以·=0.同理·=0.因为AB和CD成60°角,所以<·>=60°或120°.因为=++,所以2=+2++2·+2·+2·=+++2·=3+2×1×cos<,>,所以||=2或,即B,D间的距离为2或.[题后反思]用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求两条异面直线所成的角,求两点间的距离或线段的长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.(1)求向量m和n所成的角:首先应选择合适的基底,将目标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度,最后利用公式cos<m,n>=.(2)由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化,是常见的思维障碍.向量性质中的|a|2=a·a提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可将线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题.变式如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.(变式)(1)求证:C1C⊥BD;(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?(见学生用书P71)[处理建议]用基向量法解此类问题的关键是找出合适的基底,本题可以用{,,}作为一个基底.[规范板书]解(1)设=a,=b,=c,|a|=|b|=r,|c|=t,则a·b=r2,a·c=rt,b·c=rt.而·=·(-)=-c·(b-a)=a·c-b·c=rt-rt=0,∴C1C⊥BD.(2)=++=---=-(a+b+c),=-=a-c,=-=b-c.∵A1C⊥平面C1BD,∴即∴即得r2-rt-t2=0,解得r=t.因此,当=1时,A1C⊥平面C1BD.[题后反思]当空间图形不适合建立空间直角坐标系时,一般选用基向量法.【例2】如图(1),在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.(例2(1))(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)求二面角C-PB-D的大小.(见学生用书P71)[规范板书]解(1)连结AC,交BD于点G,连结EG.以D为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz.设DC=a,则A(a,0,0,),P(0,0,a),E,G,(例2(2))所以=(a,0,-a),=,所以=2,则PA∥EG.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a,a,0),所以=(a,a,-a).又=,故·=0+-=0,所以PB⊥DE.又EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.(3)设点F的坐标为(x0,y0,z0),=λ,则(x0,y0,z0-a)=λ(a,a,-a),从而x0=λa,y0=λa,z0=(1-λ)a,所以==.由EF⊥PB知,·=0,即-λa2+a2-a2=0,解得λ=,所以点F的坐标为,且=,=-,-,-,所以·=--+=0,即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.因为·=-+=,且||==a,||==a,所以cos∠EFD===,所以∠EFD=60°,即二面角C-PB-D的大小为60°.[题后反思](1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明平面内某条直线的方向向量与已知直线的方向向量共线;③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法:①转化为线线平行、线面平行处理;②证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量的数量积为0.(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法:①转化为线线垂直、线面垂直处理;②证明两个平面的法向量互相垂直.变式如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(变式(1))(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由.(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.(见学生用书P72)[规范板书]解(1)以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图(2)).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=(0,1,1),=,=(a,0,1),=.(变式(2))∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z).由n⊥,n⊥,得令x=1,则n=.要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,故有-az0=0,解得z0=.又DP⊄平面B1AE,∴在棱AA1上存在一点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP=.(3)连结A1D,B1C.由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,∴AD1⊥平面DCB1A1,∴是平面A1B1E的一个法向量.设与n所成的角为θ,则cosθ==.又∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,∴|cosθ|=cos30°,即=,解得a=2,即AB的长为2.【例3】如图(1),已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面角A-BE-C的余弦值.(见学生用书P72)(例3(1))[规范板书]解(1)以O为坐标原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,(例3(2))则A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),所以=(2,-1,0),=(0,2,-1),所以cos<,>==-.由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,故其余弦值是.(2)=(2,0,-1),=(0,1,-1).设平面ABE的一个法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥,n1⊥,得令x=1,则n=(1,2,2).易知平面BEC的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos<n1,n2>===.由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角,所以其余弦值是-.[题后反思](1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得,即cosθ=|cos φ|;(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,即sinθ=|cosφ|;(3)二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角.变式如图(1),在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=90°,AB=AC=λAA',M,N分别为A'B和B'C'的中点.(变式(1))(1)求证:MN∥平面A'ACC';(2)若二面角A'-MN-C为直二面角,求λ的值.(见学生用书P72)[规范板书](1)证法一连结AB',AC'.由∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,所以M为AB'的中点.又因为N为B'C'的中点,所以MN∥AC'.又MN⊄平面A'ACC',AC'⊂平面A'ACC',因此MN∥平面A'ACC'.证法二取A'B'的中点P,连结MP,NP.而M,N分别为AB'与B'C'的中点,所以MP∥AA',PN∥A'C',所以MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A'ACC'.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A'ACC'.(2)解以A为坐标原点,AB,AC,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图(2)).(变式(2))设AA'=1,则AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A'(0,0,1),B'(λ,0,1),C'(0,λ,1),所以M,N.所以=,=,=.设m=(x1,y1,z1)是平面A'MN的一个法向量,由得令x1=1,则m=(1,-1,λ).设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的一个法向量,由得令x=-3,则n=(-3,-1,λ).因为A'-MN-C为直二面角,所以m·n=0.即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=(负值舍去).二、补充练习1.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.(第2题)2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.3.如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(第3题)(1)求证:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.提示以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线,AC,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)可得=(0,-3,3),=(-,1,1),故ME⊥BF;(2)可求出平面BEF的法向量为(,1,2),平面ABC的法向量为=(0,0,3),从而得到两个平面所成的锐二面角的余弦值为.三、课堂小结1.本节课我们复习了空间向量及其运算,并运用向量的方法解决了有关空间直线及平面的平行、垂直和夹角等问题.2.用空间向量解立体几何问题,其基本思路:先选择向量的基底或建立空间直角坐标系,再分析已知向量和需要求解向量之间的差异,最后运用向量的代数运算或坐标运算.从已知向求解转化,体现了数形结合的重要思想.。
苏教版数学高二-选修2-1名师导学 第三章 空间向量与立体几何
第3章空间向量与立体几何第1课时空间向量及其线性运算教学过程一、问题情境必修4教材第59页,有这样一个情境:湖面上有三个景点O ,A ,B ,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.问题1游客的实际位移是什么?可以用什么数学概念来表示?解是向量,即+=.(图1)(图2)问题2如果游客还要到景点B下100m深处的海底世界D处游玩,游客实际发生的位移是什么?还是向量吗?它与上面的位移向量相同吗?为什么?生:不同,因为O,A,B,D不在同一个平面内.师:这就是我们今天要学习研究的内容——空间向量.(点题)师:回忆一下平面向量的相关知识点,告诉我空间向量应该学习那些内容?用什么方法?二、数学建构问题3空间向量与平面向量的相同点与不同点有哪些?[1]1.概念梳理平面向量空间向量定义既有大小又有方向的量几何表示:表示法字母表示:a,向量的模向量的大小相等向量方向相同且大小相等的向量相反向量方向相反且大小相等的向量单位向量模长等于1的向量2.空间向量的线性运算(类比平面向量的线性运算)(图1)加法:a+b=+=;减法:a-b=-=;数乘:λa=(λ∈R).3.空间向量的运算律(类比平面向量的运算律)(图2)(1)加法交换律:a+b=b+a;(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb(λ∈R).4.共线(平行)向量(1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.记作:a∥b.规定:零向量与任意向量共线.(2)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa.三、数学运用【例1】(教材第82页例1)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量.(1)+;(2)++;(3)--.[2](见学生用书P49)(例1)[规范板书]解(1)+=.(2)因为M是BB1的中点,所以=.又=,所以++=+=.(3)--=-=.向量,,,如图所示.变式(1)++…+= ;(2)++…++=0.[题后反思]注意:若有多个向量参与运算,按照“尾首相接,首尾相联”的原则进行运算.【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是上底面A1B1C1D1的中心.若=m+n+,求m,n的值.[3](见学生用书P50)(例2)[处理建议]引导学生将问题转化为向量如何用向量,,表示,即可求得m,n的值.[规范板书]解因为点E是上底面A1B1C1D1的中心,所以=(+)=(+)=+.又因为+=,所以m=n=.[题后反思]逆向思维及转化思想是解决数学问题常用的方法.【例3】设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+k e2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D 三点共线,求实数k的值.(见学生用书P50) [处理建议]A,B,D三点共线即=λ,转化为向量共线问题进而求得k的值.[规范板书]解=5e1+4e2,=-e1-2e2,故=+=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.∵A,B,D三点共线,∴=λ,即e1+k e2=λ(6e1+6e2).∵e1,e2是不共线的向量,∴∴k=1.[题后反思]点共线问题可转化为向量共线问题来求解,再充分运用向量共线的充要条件“a=λb”和向量运算法则来解题.四、课堂练习1.化简:+++=0.2.下列等式中正确的有⑤.①0+a=a;②0·a=0;③3·0=0;④a-a=0;⑤|0|=0.3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,G为△A1BD的重心.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.(第3题)解=+=+(+)=+(-)+(-)=++=a+b+c.五、课堂小结1.本节课的主要学习内容为空间向量的基本概念、线性运算及其运算律.2.学习过程中运用类比的思想,掌握平面向量与空间向量的异同点.第2课时共面向量定理教学过程一、问题情境问题1在平面向量中,向量b与向量a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得b=λa.那么,空间中任意一个向量p与两个不共线向量a,b共面时,它们之间存在怎样的关系呢?问题2观察长方体,你能发现空间向量之间有什么关系?[1]二、数学建构如图1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=,=,而,,在同一平面内,此时,我们称,,是共面向量.(图1)1.共面向量:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.问题3你能从长方体中尝试找出几组共面向量?[2]问题4向量=+,向量=+,那么向量与向量,共面吗?若=x+y(x,y∈R),你能得到什么结论?[3]2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使p=x a+y b.证明(必要性)向量a,b不共线,当向量p与向量a,b共面时,它们可以平移到同一个平面内,根据平面向量的基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y),使得p=x a+y b.(充分性)对于空间的三个向量p,a,b,其中a,b不共线.如果存在有序实数组(x,y),使p=x a+y b,那么在空间任意取一点M,作=a,=b,=x a,过点A'作=y b(如图),则=+=x a+y b=p,于是点P在平面MAB内,从而,,共面,即向量p与向量a,b共面.(图2)与平面向量一样,p=x a+y b,这就是说,向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示.三、数学运用【例1】已知向量,分别在两条异面直线上,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,,共面.(见学生用书P51) [处理建议]根据共面向量定理,只需证明存在实数x,y,使得=x+y.[规范板书]证明=++,=++,两式相加得2=+++++.又∵+=0,+=0,∴2=+,即=+,∴,,共面.[题后反思]证明向量共面问题,只需找出向量之间的线性表示关系,即符合共面向量定理.【例2】(教材第85页例2)设空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若点P满足向量关系=x+y+z(其中x+y+z=1),试问:P,A,B,C四点是否共面?(见学生用书P52) [处理建议]通过分析,将判断P,A,B,C四点是否共面转化为空间向量是否共面.即要判断P,A,B,C 四点是否共面,可考察三个共起点的向量,,是否共面.[规范板书]解由x+y+z=1(不妨设x≠0),可得x=1-z-y,则=(1-z-y)+y+z=+y(-)+z(-),所以-=y(-)+z(-),即=y+z.由A,B,C三点不共线,可知和不共线,所以,,共面且具有公共起点A,从而P,A,B,C 四点共面.变式如果将x+y+z=1整体代入,由(x+y+z)=x+y+z出发,你能得到什么结论?[规范板书]解将x+y+z=1整体代入,得x+y+z=0,则P,A,B,C四点共面.[题后反思](1)联系平面向量,对于空间中任意一点O,满足向量关系=x+y(其中x+y=1)的三点P,A,B是否共线类比联想到空间四点共面的判断方法.(2)通过确定的数量关系来研究几何位置关系,体现了数形结合的思想.【例3】如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,E是PD的中点,求证:PB∥平面AEC.(见学生用书P52)(例3)[处理建议]本题要证PB∥平面AEC,可转化为证明向量与平面AEC内某一向量平行或两个不共线向量共面,且PB不在平面AEC内.[规范板书]证法一连结BD,交AC于点O,再连结EO.∵底面ABCD是菱形,∴O是BD的中点.又∵E是PD的中点,∴OE是△DBP的中位线,∴∥.又∵PB⊄平面AEC,EO⊂平面AEC,∴PB∥平面AEC.证法二∵底面ABCD是菱形,∴=.又∵E是PD的中点,∴=2,∴=++=2++=(+)+(+)=+.又与不共线,∴,,共面.而PB⊄平面AEC,∴PB∥平面AEC.[题后反思]可以通过添加辅助线(证法一),用综合法证明;也可以用向量的方法进行证明(证法二).通过比较这两种方法,让学生感知用空间向量的知识来求解立体几何问题,逐步认识空间向量的解题功能.四、课堂练习1.若点P与不共线的三点A,B,C共面,且对于空间任意一点O,都有=+2+λ,则λ=-.2.已知两个非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.证明因为+=5(e1+e2),所以=(+),所以,,共面且共起点,即A,B,C,D四点共面.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,A1D1的中点,问:,与是否共面?解=++=-+=(+)-=-.又,不共线,根据共面向量定理可知向量,,是共面向量.五、课堂小结1.本节课的主要学习内容是向量共面的基本概念及共面向量定理.2.运用共面向量定理证明线面平行及四点共面.第3课时空间向量基本定理教学过程一、问题情境1.在教材第83页例2中,若F是D'B'的三等分点或四等分点,则能否用i,j,k表示?若F是D'B'上的任意一点,则能否用i,j,k表示?2.空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?如何表示?二、数学建构由上例归纳,可得到一般性结论:1.空间向量基本定理如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=x e1+y e2+z e3.证明(存在性)如图,设e 1,e2,e3不共面,过点O作=e1,=e2,=e3,=p.(图1)过点P作直线PP'∥OC,交平面OAB于点P';在平面OAB内,过点P'作直线P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线OA,OB相交于点A',B'.于是,存在三个实数x,y,z,使=x=x e1,=y=y e2,=z=z e3,所以=++=x+y+z,所以p=x e1+y e2+z e3.(唯一性)假设还存在x',y',z'且x'≠x,使p=x'e1+y'e2+z'e3,即x e1+y e2+z e3=x'e1+y'e2+z'e3,所以(x-x')e1+(y-y')e2+(z-z')e3=0.因为x≠x',所以e1=·e2+·e3,所以e1,e2,e3共面,此与已知矛盾.所以有序实数组(x,y,z)是唯一的.推论设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x+y+z.2.基底如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么空间的每一个向量都可由e1,e2,e3线性表示,我们把{e1,e2,e3}称为空间的一个基底,向量e1,e2,e3叫做基向量.如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示.三、数学运用【例1】(教材第88页例1)如图,在正方体OADB-CA'D'B'中,E是AB与OD的交点,M是OD'与CE的交点,试分别用向量,,表示向量和.(见学生用书P53)(例1)[规范板书]解因为=+,所以=+=++.由△OME∽△D'MC,可得OM=MD'=OD',所以==++.[题后反思]重视平面几何知识在解题过程中的灵活应用.【例2】如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,用基底向量,,表示向量.(见学生用书P54)(例2)[规范板书]解因为M,N分别是对边OA,BC的中点,所以=,=+,则=+=+=+(-)=+=++.[题后反思]运用空间向量的线性运算,将空间向量转化为平面向量.【例3】已知向量{e1,e2,e3}为空间的一个基底,试问:向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面?并说明理由.(见学生用书P54) [处理建议]用反证法,先假设a,b,c共面,再根据共面向量定理看是否满足共面的条件.[规范板书]解假设a,b,c共面.由共面向量定理可知,存在三个不全为零的实数x,y,z,使得x a+y b+z c=0,即x(3e1+2e2+e3)+y(-e1+e2+3e3)+z(2e1-e2-4e3)=0,亦即(3x-y+2z)e1+(2x+y-z)e2+(x+3y-4z)e3=0.由e1,e2,e3不共面,得解得不妨令x=-1,则y=7,z=5.于是a=7b+5c,所以a,b,c三向量共面.[题后反思]以向量{e1,e2,e3}为空间的一个基底表示向量a,b,c,重点考查共面向量定理和线性运算.运用了方程的思想.四、课堂练习1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心.若=+x+y,则x-y=0.提示因为=+=+=+(+),所以x=y=,则x-y=0.2.“向量a,b,c不共面”是“{a,b,c}为基底”的充要条件.3.已知是空间的一个基底,给出下列四组向量:①;②;③{a+2b,2b+3c,3a-9c};④.其中能构成空间的一个基底的有①②④.提示③不能构成空间的一个基底,因为-3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0.4.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若p a+q b+c与a+p b+q c共线,则实数p=1,q=1.五、课堂小结1.本节课主要学习了空间向量的基本定理及其推论、基底的概念.2.运用代数的方法判断向量是否共面.第4课时空间向量的坐标表示教学过程一、问题情境问题1空间向量基本定理是什么?问题2我们如何选择基底?空间向量如何用坐标表示?二、数学建构(图1)问题3如图1,在房间(立体空间)内如何确定电灯位置?[1]问题4确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?问题5如何用一组实数来表示电灯的位置?解通过类比联想,容易知道需要三个数.在地面上建立直角坐标系xOy,则地面上任一点的位置只需两个数x,y就可确定.为了确定不在地面上的电灯的位置,需要用第三个数表示物体离地面的高度,即需第三个数z.因此,只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可.例如,若这个电灯在平面xOy上的射影的两个数分别为4和5,到地面的距离为3,则可以用有序数组(4,5,3)确定这个电灯的位置(如图2).(图2)问题6如何用坐标表示空间向量呢?能表示所有的空间向量吗?1.空间向量的坐标表示(图3)如图3,在空间直角坐标系O-xyz中,分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i,j,k作为基向量,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=x i+y j+z k.有序实数组(x,y,z)叫做向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(x,y,z).2.在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点A(x,y,z),向量是确定的,容易得到=x i+y j+z k,因此,向量的坐标为=(x,y,z).这就是说,当空间向量a的起点移至坐标原点时,其终点的坐标就是向量a的坐标.3.空间向量坐标运算法则(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R;(2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).(例1)4.空间向量平行的坐标表示a∥b(a≠0)⇔b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3(λ∈R).三、数学运用【例1】如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,DB的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系,求向量和的坐标.(见学生用书P55) [处理建议]求向量的坐标应先求出向量的起点和终点的坐标.[规范板书]解由已知可得E,F,C1(0,1,1),G.∵H是C1G的中点,∴H.故=,=.[题后反思]求向量的坐标,应先建立恰当的空间直角坐标系,然后得到起点和终点的坐标,最后得出向量的坐标.【例2】(教材第90页例1)已知a=(1,-3,8),b=(3,10,-4),求a+b,a-b,3a.(见学生用书P56) [处理建议]引导学生根据空间向量的坐标表示及运算法则解题.[规范板书]解a+b=(1,-3,8)+(3,10,-4)=(1+3,-3+10,8-4)=(4,7,4).a-b=(1,-3,8)-(3,10,-4)=(1-3,-3-10,8+4)=(-2,-13,12).3a=3×(1,-3,8)=(3,-9,24).[题后反思]空间向量的坐标运算,需要准确、熟练,为后续学习奠定基础.【例3】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点,试建立适当的空间直角坐标系,求证:平面MNP∥平面A1BD.(见学生用书P56) [处理建议]先建立适当的直角坐标系,再寻求相关空间向量的坐标,从而确定它们之间的关系,以算代证.(例3)[规范板书]证明如图,以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,0),B(1,1,1),D(0,0,1),N,M,P0,,0,于是=(0,1,1),=(-1,0,1),=,=,显然有=,=,所以∥,∥.又因为MN⊂平面MNP,A1D⊄平面MNP,所以A1D∥平面MNP.同理A1B∥平面MNP.又因为A1D∩A1B=A1,所以平面MNP∥平面A1BD.[题后反思]同平面向量的坐标法解题一样,关键是如何建立适当的直角坐标系,从而运用代数的方法论证,体现了空间向量的基本思想.当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明.四、课堂练习1.已知点A(2,3,4),B(1,3,5),则=(-1,0,1).2.若向量a=(1,-2,2),b=(3,1,-1),c=(-1,0,4),则2a+b-2c=(7,-3,-5).3.已知{i,j,k}为空间的一个单位正交基底,且向量a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a-2b用坐标形式表示为(-5,7,7).提示因为a=(-1,1,3),b=(2,-3,-2),所以a-2b=(-5,7,7).4.已知a=(1,6,-3),b=(1,-2,9),c=(4,0,24),求证:a,b,c共面.解因为a=(1,6,-3),b=(1,-2,9),所以a与b不共线.设c=x a+y b,则解得即c=a+3b,所以a,b,c共面.五、课堂小结1.空间向量的坐标表示及线性运算.2.通过空间向量的坐标表示,运用代数的方法求解空间向量的问题.第5课时空间向量的数量积(1)教学过程一、问题情境1.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积(内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为零.2.两个向量的夹角对于两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(图1)当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.3.向量数量积的运算律设向量a,b,c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律:(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.4.向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.问题1我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义,那么类比平面向量知识,空间向量的夹角和数量积又是怎么定义的?[3]二、数学建构问题2任意两个空间向量都是共面向量吗?解是的.由于此性质,两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义.问题3类比平面向量夹角的定义,如何定义空间向量的夹角及其表示?解如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b 的夹角,记作<a,b>;范围:0≤<a,b>≤π.在这种规定下,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且有<a,b>=<b,a>.(图2)若<a,b>=0,则向量a与b同向;若<a,b>=π,则向量a与b反向;若<a,b>=,则向量a与b互相垂直,记作a⊥b.问题4类比平面向量数量积的定义,空间向量的数量积是怎样定义的?解已知a,b是空间两个非零向量,则|a|·|b|·cos<a,b>叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a|·|b|·cos<a,b>.规定:0向量与任何向量的数量积为0.概念理解①两个向量的数量积是数量,而不是向量,符号由cosθ的符号所决定.②由空间向量数量积定义可知,空间两个非零向量a·b的夹角<a,b>可以由cos<a,b>=求得.问题5空间向量数量积有哪些性质?解(1)a⊥b⇔a·b=0(a,b是两个非零向量);(2)|a|2=a·a=a2.性质理解①性质(1)是证明两向量垂直的依据;②性质(2)是求向量的长度(模)的依据.问题6空间向量数量积运算律是什么?如何验证?解(1)交换律:a·b=b·a.证明设a,b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|·cosθ,b·a=|b|·|a|·cosθ,所以a·b=b·a.(2)与实数相乘的结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).证明若λ>0,(λa)·b=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a·(λb)=λ|a||b|cosθ;若λ<0,(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|·(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,所以(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.问题7数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c),为什么?问题80·a是零向量吗?0a是零向量吗?解0·a表示零向量与向量a的数量积,它的值为0,而不是零向量;0a表示实数0与向量a的积,其结果是零向量.三、数学运用【例1】(教材第92页例1)已知|a|=4,|b|=3,a·b=12,求a与b的夹角<a,b>.[4](见学生用书P57)[规范板书]解cos<a,b>====,因为0≤<a,b>≤π,所以<a·b>=.变式1已知|a|=4,|b|=3,a·b=-12,则a与b的夹角<a,b>= π.提示cos<a,b>=-,由<a,b>的范围得<a,b>的值为.变式2已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为.[题后反思]紧扣数量积定义及其运算律、向量的夹角公式是解决此类问题的关键,注意由<a,b>的范围得<a,b>的值.【例2】(教材第92页例2)如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.[5](见学生用书P57)(例2)[处理建议]引导学生用向量的思想方法解决此类几何问题.要求AC1的长就是要求||,再根据已知条件求解.[规范板书]解由题意可得·=0,·=4×5×cos60°=10,·=3×5×cos60°=7.5.因为=++=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=42+32+52+2×(0+10+7.5)=85,从而得到AC 1的长为.变式已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1与BD所成角的余弦值为.[题后反思]用向量解几何问题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量计算或证明.【例3】如图(1),正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点N在BB1上,且=,求证:D1N⊥AC.(见学生用书P58)(例3(1))[处理建议]可建立适当的空间直角坐标系,用与的数量积为0来证明垂直.[规范板书]证明如图(2),以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),N.∴=1,1,-,=(-1,1,0),∴·=·(-1,1,0 )=-1+1+0=0,∴⊥,即D1N⊥AC.(例3(2))[题后反思]对于求立体几何的线段长、垂直与夹角等有关问题,可通过建立适当的空间直角坐标系,运用向量数量积的坐标运算及数量积的性质求解.这是解立体几何问题的一种重要方法.【例4】(教材第98页习题3.1第19题)在空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.*[处理建议]引导学生用向量的方法即a⊥b⇔a·b=0(a,b是两个非零向量)进行证明,巩固本节知识的应用.[规范板书]证法一·=(+)·(-)=·+·--·=·(--)=·(-)=·=0,所以AD⊥BC.证法二选取一组基底,设=a,=b,=c.因为AB⊥CD,所以a·(c-b)=0,即a·c=b·a.同理a·b=b·c.所以a·c=b·c,所以c·(b-a)=0,所以·=0,即AD⊥BC.[题后反思]向量a,b的数量积a·b=0表示a⊥b,这是向量中的一个最重要的应用,而且我们还可以利用这一结论证明线面、面面垂直.这类问题也可以通过选择一组适当的基底求解.四、课堂练习1.判断下列命题是否正确:①若a·b=a·c,则b=c;②若a·b=0,则a⊥b;③(a·b)·c=a·(b·c);④0·a=0.解①②③④均不正确.2.已知a⊥b,<a,c>=,<b,c>=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c的模.解|a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=17+6,所以|a+b+c|=.3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,E,F分别是AB,A1C1上的点,且AE=AB,A1F=A1C1,求线段EF的长.解|==,所以||=.五、课堂小结1.由平面向量类比出空间的两个向量的数量积的定义、性质及其运算律.2.会用向量的方法求线段的长度,求两异面直线所成的角,以及求证空间中的两条直线垂直.第6课时空间向量的数量积(2)教学过程一、问题情境1.平面向量数量积的坐标表示及一些应用(1)对于平面内两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(2)长度、夹角、垂直的坐标表示①长度:a=(x,y)⇒|a|2=x2+y2⇒|a|=;②两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=;③夹角:cosθ==;④垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0,即x1x2+y1y2=0.(注意与向量共线的坐标表示的区别)[2]2.类比平面向量数量积的坐标表示,思考对于空间两个非零向量,它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢?二、数学建构问题1对于单位正交基底{i,j,k},有i·i=j·j=k·k=1,i·j=i·k=j·k=0.设空间两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),请同学们根据向量数量积的运算律推导a·b的坐标表示.解若{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,则a=(x1,y1,z1)=x1i+y1j+z1k,b=(x2,y2,z2)=x2i+y2j+z2k,所以a·b=(x1i+y1j+z1k)·(x2i+y2j+z2k)=x1x2i2+y1y2j2+z1z2k2+x1y2i·j+x1z2i·k+y1x2j·i+y1z2j·k+z1x2k·i+z1yk·j=x1x2+y1y2+z1z2.2从而得两个空间向量数量积的坐标表示公式:a·b=x1x2+y1y2+z1z2.即两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和.问题2我们知道|a|2=a·a,即|a|=.如果a=(x 1,y1,z1),那么|a|的值为多少?解模长公式:若a=(x 1,y1,z1),则|a|==.问题3设空间两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),它们的夹角为<a,b>,你能用坐标表示cos<a,b>吗?解由向量数量积的定义,可得cos<a·b>==.特别地,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.问题4请同学们使用向量方法推导A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离公式.解由=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)及模长公式得||=.两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则d A,B=.三、数学运用【例1】已知向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8).(1)求a·b;(2)若λ1a+λ2b与z轴垂直,求λ1,λ2满足的关系式.[3](见学生用书P59)[处理建议]问题(1),引导学生根据向量数量积的坐标表示求解;问题(2),引导学生用坐标表示z 轴(不唯一),再根据题设条件解题.[规范板书]解(1)a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=3×2+5×1+(-4)×8=6+5-32=-21.(2)因为(λ1a+λ2b)·(0,0,1)=(3λ1+2λ2,5λ1+λ2,-4λ1+8λ2)·(0,0,1)=-4λ1+8λ2=0,所以λ1-2λ2=0.[题后反思]z轴可以用(0,0,1)表示,也可以用(0,0,2)等表示,这是无关紧要的,因为垂直只体现方向性,与长度无关.问题(2)为例2的理解作铺垫.变式已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2).若|a|=6且a⊥b,求x+y的值.[规范板书]解因为a⊥b且|a|=6,所以解得或所以x+y=1或x+y=-3.[题后反思]利用向量平行与垂直条件来确定向量坐标也是向量平行与垂直题目中重要的一部分,用定义列式后进行运算是需要经常训练的.【例2】(教材第94页例3)已知A(3,1,3),B(1,5,0).(1)求线段AB的中点坐标和长度;(2)求到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.[4](见学生用书P60)[处理建议]问题(2),引导学生根据两点间的距离公式列出等量关系式后,教师可进一步引导学生探究空间轨迹问题.[规范板书]解(1)设M是AB的中点,O是坐标原点,则=(+)=[(3,1,3)+(1,5,0)]=,所以线段AB的中点坐标是.因为=(-2,4,-3),所以线段AB的长度为||==.(2)设P(x,y,z)到A,B两点距离相等,则=,化简得4x-8y+6z+7=0.所以到A,B两点距离相等的点P的坐标x,y,z满足的条件是4x-8y+6z+7=0.[题后反思]平面内到A,B两点距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线,空间内到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面.若将点P的坐标满足的条件4x-8y+6z+7=0的系数构成一个向量a=(4,-8,6),与=(-2,4,-3)共线.变式写出到点C(1,-2,3)的距离等于4的点M(x,y,z)的坐标x,y,z满足的关系式,并说出点M的轨迹图形.[处理建议]引导学生写出x,y,z满足的关系式,然后启发学生类比例2及平面中的相关知识,共同探讨轨迹图形.[规范板书]解(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=16,点M的轨迹是以点C为球心、4为半径的球面.【例3】已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在OP(O为坐标原点)上运动,当·取得最小值时,求点Q的坐标.(见学生用书P60) [处理建议]根据题意可设出点Q的坐标,再由数量积的意义将·转化为函数问题,最后利用函数知识求解.[规范板书]解设=λ=(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10 =6-,∴当λ=时,·取得最小值-,此时Q.[题后反思]利用空间向量数量积的坐标表示,常可将一些综合性问题化归为函数或方程问题,从而用函数或方程知识来研究、解决问题.*【例4】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,点G在棱CD 上,CG=CD,H是C1G的中点.(1)求证:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值;(3)求FH的长.[处理建议]先引导学生建立空间直角坐标系,再将几何问题转化为代数运算.[规范板书]解以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则B1(1,1,1),C(1,0,0),E,F,G,C1(1,0,1),H.(例4)(1)因为=,=(0,-1,-1),所以·=·(0,-1,-1)=0,所以EF⊥B1C.(2)因为=,所以·=·=,||==,||==,所以cos<,>==,所以EF与C1G所成角的余弦值为.(3)因为=,所以||==.[题后反思]如果建立空间直角坐标系比较容易,我们可以考虑采用坐标法求解几何问题.*【例5】已知三角形的三个顶点分别是A(1,-1,1),B(2,1,-1),C(-1,-1,-2),试求这个三角形的面积.[处理建议]可用公式S=||·||·sin A来求面积.[规范板书]解因为=(1,2,-2),=(-2,0,-3),所以||==3,||==,·=(1,2,-2)·(-2,0,-3)=-2+6=4,所以cos A=cos<,>===,所以sin A=sin<,>==,所以S△ABC=||·||·sin A=.四、课堂练习1.已知向量a=(-2,1,2),b=(-6,3,-2),求a·b,|b|及(4a+3b)·(2a-3b).解a·b=-2×(-6)+1×3+2×(-2)=11;|b|==7;4a+3b=(-26,13,2),2a-3b=(14,-7,10),所以(4a+3b)·(2a-3b)=-26×14+13×(-7)+2×10=-435.2.已知向量a,b,c满足2a-b=(0,7,-4),c=(-1,-1,-1),且b·c=-1,则a·c=-2.3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ=-2或.4.若点P(x,y,z)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是2x+2y-2z-3=0.五、课堂小结1.在计算和证明立体几何问题时,如果能够在原图中建立适当的空间直角坐标系,将图形中有关量用坐标来表示,利用空间向量的坐标运算来处理,那么往往可以在很大程度上降低对空间想象的要求.2.求向量坐标的常用方法:先设出向量坐标,再求待定系数.第7课时直线的方向向量与平面的法向量教学过程一、问题情境为了用向量来研究空间的线面位置关系,首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”.如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢?二、数学建构问题1过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线,在《平面解析几何初步》中如何用数学语言刻画直线的方向的?解直线的倾斜角、直线的斜率,并用直线的倾斜角和斜率研究了两条直线平行和垂直关系.问题2必修4《平面向量》这一章中是用什么数学语言刻画直线的方向的?解直线的方向向量,并用直线的方向向量研究了两条直线平行和垂直关系.直线l的方向向量:我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.问题3平面有“方向”吗?通过展示平面的不同位置,使学生通过观察知道平面也有“方向”.问题4如何用向量来刻画平面的“方向”?通过模型观察、类比研究、共同讨论寻找出“平面的法向量”来刻画平面的方向.。
苏教版数学高二- 选修2-1素材 3.2如何利用向量确定点、线、面在空间的位置？
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高中数学 3.2 如何利用向量确定点、线、面在空间的位置？
答：立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形，用向量表示点、直线、平面在空间中的位置，是利用空间向量解决立体几何问题的基础和关键．
（1）利用向量确定点的位置
在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用OP 来表示．我 们把向量OP 称为点P 的位置向量．
（2）利用向量确定直线的位置
设点A 是直线l 上一点，向量a 是直线l 的方向向量，在直线l 上取=AB a ，那么对于 直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使得AP t AB =．这样，点A 和向量a 就可以确定直线l 的位置，同时还可以具体表示出l 上的任意一点．
（3）平面α的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量；给定一点A 和一个向量a ，那么，过点A ，以向量a 为法向量的平面是完全确定的．
如何求一个平面的法向量？
答：求法向量的步骤：（1）设出平面的法向量),,(z y x =；（2）找出平面内的两个不共线的向量的坐标),,(),,,(321321b b b a a a ==；（3）根据法向量的定义建立关于z y x ,,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0；（4）解方程组，取其中的一个解，即得一个法向量。
苏教版高中数学选修2-13.1.3 空间向量基本定理.docx
3.1.3 空间向量基本定理3.1.4 空间向量的坐标表示双基达标 (限时20分钟)1．有以下命题：①如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的关系是不共线；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c ，也是空间的一个基底．其中正确的命题序号是________．解析 对于①“如果向量a ，b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a ，b 的 关系一定共线”所以①错误；②③正确．答案 ②③2.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则CE →＝________.解析 ∵G 为△ABC 的重心，∴AG →＝23AM →＝23×12(AB →＋AC →) ＝13(AB →＋AC →)， ∵BE →＝3ED →∴BE →＝34BD →＝34(AD →－AB →) AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋34(AD →－AB →)＝14AB →＋34AD →， 故GE →＝AE →－AG →＝14AB →＋34AD →－13(AB →＋AC →) ＝－112AB →－13AC →＋34AD → 答案 －112AB →－13AC →＋34AD →3.已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，点M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →为________．解析 OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－12OA →] ＝12OA →＋13(OB →＋OC →)－13OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC →. 答案 16OA →＋13OB →＋13OC → 4．已知a ＝{3λ，6，λ＋6}，b ＝{λ＋1，3，2λ}，若a ∥b ，则λ＝________.解析 由a ∥b ，得3λλ＋1＝63＝λ＋62λ，解得λ＝2. 答案 25．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，若k a ＋b 与2a －b 平行，则实数k ＝________.解析 计算得k a ＋b ＝(k －1，k ，2)，2a －b ＝(3，2，－2)，由k a ＋b 与2a －b 平行得k －13＝k 2＝2－2，解得k ＝－2. 答案 －26．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，且P A ＝AD .建立适当坐标系求MN →的坐标．解 设AD →＝i ，AB →＝j ，AP →＝k ，以i ，j ，k 为坐标向量建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →①MN →＝MB →＋BC →＋CN →②又∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点由①＋②得2MN →＝AP →＋BC →＝k ＋i ，∴MN →＝12(k ＋i )＝12i ＋12k ，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12. 综合提高（限时25分钟）7．在△ABC 中，A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，BC →＝(3，－2，5)，则顶点B 、C 的坐标分别为________．解析 由A (2，－5，3)，AB →＝(4，1，2)，解得B (6，－4，5)，再由BC →＝(3，－2，5)，解得C (9，－6，10)．答案 B (6，－4，5)，C (9，－6，10)8.如图，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底，DM →＝xOA→＋yOC →＋zOD →，则实数对(x ，y ，z )＝________.解析 DM →＝OM →－OD →＝12OA →＋0OC →－OD →，所以实数对(x ，y ， z )＝(12，0，－1)． 答案 (12，0，－1) 9．已知a ＝2(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ的值为________．解析 有共面向量定理知存在实数x ，y 使得a ＝x b ＋y c ，即(4，－2，6)＝(－x ，4x ，－ 2x )＋(7y ，5y ，λy )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝－x ＋7y －2＝4x ＋5y ，6＝－2x ＋λy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3433y ＝1433λ＝657答案657 10．设点C (2a ＋1，a ＋1，3)在点P (2，0，0)，A (1，－3，2)，B (8，－1，4)确定的平面上，则实数a 的值为________．解析 P A →＝(－1，－3，2)，PB →＝(6，－1，4)，根据共面向量定理，可设PC →＝xP A →＋yPB →(x ，y ∈R )，则(2a －1，a ＋1，3)＝x (－1，－3，2)＋y (6，－1，4)，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y .3＝2x ＋4y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝214，a ＝834，即实数a 的值是834. 答案 834 11．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0，0，0)，(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求P 点坐标，分别满足：(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)． 解 AB →＝OB →－OA →＝(2，6，－3)，AC →＝OC →－OA →＝(－4，3，1)．(1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则OP →＝(x ，y ，z )，12(AB →－AC )＝(3，32，－2)， 所以OP →＝(3，32，－2)，即P 点坐标为(3，32，－2)； (2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝OP →－OA →＝(x －2，y ＋1，z －2)，12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，z ＝0，所以P 点坐标为(5，12，0)． 12．如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB→＝b ，OC →＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH →.解 GH →＝OH →－OG →，∵OH →＝23OD →，∴OH →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝13OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝13a ＋13(b ＋c )，∴GH →＝13(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ，即GH →＝－13a .13．(创新拓展)如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x 、y 、z 的值．解 (1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)∵EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB →＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →)＝23A 1A →＋12DA →＋12AB →＝12AB →－12AD →－23AA 1→.即：x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.。
苏教版高中数学选修2-1空间向量.docx
空间向量基础知识本单元是全章的重点，主要学习空间向量及其在立体几何中的初步应用，共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.本单元的重点是：空间向量的运算和运算律；空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式；空间向量基本定理及其推论；两个向量的数量积的计算方法及其应用；空间右手直角坐标系；向量的坐标运算和向量的夹角公式、距离公式.本单元的难点有：理解与运用空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式；空间作图；两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题；向量坐标的确定和向量夹角公式、距离公式的应用等.本单元把空间的平行(平移）性质转为向量表达式（共线、共面向量定理、向量数量积运算）和向量运算，使学习重点转到使用向量代数方法解决立体问题上来，这旨在培养使用向量代数方法解决立体几何问题的能力. 在第一单元空间平行（平移）概念的基础上，引入向量来解决立体几何问题，是综合推理训练转向代数推理训练，即用代数方法来研究解决立几问题，因此，要重视空间向量的概念、运算方法及其应用，侧重掌握向量这一工具的性质和用途.本单元所学的空间向量的知识容量大, 涉及的概念多, 公式多，因此，要抓住空间向量与平面向量之间存在的类似关系，能通过类比、比较，将所学的平面向量知识推广到空间，并通过应用逐步理解与掌握.本单元的主要知识有：1．共线向量共线向量定理：对空间任意两个向量a，b (b≠ 0 ), a∥b的充要条件是存在实数使a = λb.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充分条件是存在实数t，满足等式→--OP=→--OA+t a. 其中向量a叫做直线l的方向向量，等式→--OP=→--OA+t a称为空间直线的向量参数表示式，若在l上取→--AB= a，则等式可化为→--OP=（1 – t )→--OA+t→--OB.2．共面向量称平行于同一平面的向量为共面向量.共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x,y，使p = x a + y b.推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x, y，使→--MP=x→--MA+ y→--MB或对空间任一点O，有→--OP=→--OM+ x→--MA+ y→--MB.3．空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b ,C不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x, y , z, 使p = x a + y b + z c.该定理表明：在空间，任意一个向量都可以由三个不共面的向量表示（生成），{ a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫基向量.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x, y , z，使→--OP= x→--OA+ y→--OB+ z→--OC.4. 两个向量的数量积空间两个向量非零向量a，b的夹角定义与平面向量类似，但记作<a，b>，通常规定0 ≤ < a，b> ≤π.空间两个非零向量a，b的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同.a •b = |a ||b |cos<a , b >.当<a , b >= 2π时，称向量a 与 b 互相垂直，记作a ⊥ b . 空间两个向量的数量积有类似于平面向量数量积的性质与运算律.5．空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，引入空间向量的坐标运算.取空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫单位正交基底，常常用{ i ，j ，k }表示；在空间取右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向的右手直角坐标系，设原点为O ；在右手直角坐标系中，取一个单位正交基底{ i ，j ，k }，使基向量 i ，j ，k 的方向分别为x, y , z 轴的正方向，由空间向量的基本定理可得：给定空间任意向量a , 存在唯一的有序实数组( a 1 , a 2 , a 3）使a = a 1i + a 2 j + a 3k ，有序数组( a 1 , a 2 , a 3）叫做向量a 在空间直角坐标系中的坐标，可简记为a = ( a 1 , a 2 , a 3）. 对空间任一点A ，对应一个向量→--OA ，于是存在唯一的有序实数组x, y , z 使→--OA = x i + y j + z k . 在单位正交其底i ，j ，k 中与向量 →--OA 对应的有序实数组（ x , y , z )，叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A （x , y , z ), 其中x, y , z 分别叫做点A 的横坐标，纵坐标与坚坐标.设a = ( a 1 , a 2 , a 3）， b = ( b 1 , b 2 , b 3）, 则有a ±b = ( a 1±b 1 , a 2±b 2 , a 3±b 3 );λa = ( λa 1 , λa 2 , λa 3） (λ ∈ R ) ;a •b = a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3 ;a ∥b ⇔ a 1 = λb 1 , a 2= λb 2 , a 3 = λb 3(λ ∈R ), 或11b a =22b a =33b a ； a ⊥ b ⇔ a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3 = 0|a | = 232221a a a ++;cos< a ，b > =||||b a b a ⋅=222221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++. 在空间直角坐标系中，若设A ( a 1 , a 2 , a 3），B ( b 1 , b 2 , b 3），则AB 两点之间的距离d A, B =233222211)b a ()b a ()b a (-+-+-.7. 平面的法向量垂直于平面的向量称为平面的法向量，即若向量a ⊥平面α, 则a 称为α的法向量.例题解析例1 设O 为空间任意一点, 点G 是△ABC 的重心, 设→--OA = a , →--OB = b , →--OC = c , 求证: →--OG =31(a + b + c ). 证: 如图，设AM 是△ABC 的一条中线, 则→--AG = 32→--AM = 32•21(→--AB +→--AC )=31(b – a + c – a ). ∴ →--OG =→--OA +→--AG = a + →--AG = a +31(b – a + c – a ) =31(a + b + c ).说明 本题解决是空间问题, 但所用的则是平面向量的知识, 将空间问题分解为几个平面问题, 并在各个平面内分别使用平面向量知识，综合起来达到解决问题的目的，这是用向量知识解决空间问题的基本思路之一.例2 求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.已知 如图，AA`⊥α，BB`⊥β，A, B 分别为垂足，求证：AA`∥BB`证：在平面α内过点A 作互相垂直的向量→--AC ，→--AD ，作基底向量{→--AC ，→--AD ，→--`AA }，用基底表示→--`BB 得： →--`BB = x →--AC +y →--AD +z →--`AA （ x, y , z ∈ R ),（例1） （例2）∴→--`BB •→--AC = x →--AC •→--AC +y →--AD •→--AC +z →--`AA •→--AC (1),→--`BB •→--AD = x →--AC •→--AD +y →--AD •→--AD +z →--`AA •→--AD (2).∵ BB`⊥AC, BB`⊥AD, AA`⊥AC, AA`⊥AD,∴→--`BB •→--AC =0, →--`BB •→--AD = 0, →--`AA •→--AC = 0, →--`AA •→--AD = 0.代入（1）（2）得x = 0, y = 0, ∴→--`BB = z →--`AA , ∴AA`∥BB`.说明 由空间不共面的三个向量构成一个基底，则空间任意一个向量均可用这个基底表示（生成），这是空间向量基本定理的作用，也是解决本题的突破口.两条向量(直线)垂直对应向量数量积为零, 为运用这个条件，需要在等式→--`BB = x →--AC +y →--AD +z →--`AA 两边同时 “点乘”→--AC 、→--AD ，这一方法在高一推导余弦定理时曾经接触过，也是解决本题的关键.例3 已知向量 a = ( 2 , 2, –1)，求与a 平行的向量的单位向量.分析：设与a 平行的单位向量为a 0，则有 a = ±| a |a 0，∵ | a | =222)1(22-++= 3, ∴a 0 = (32,32,–31)或a 0 = (–32,–32,31). 注意 与向量a 平行的向量的方向有两个，故需要添“±”号.例4 已知向量a = ( 4 , –3 , 2 ), 向量b 与三坐标轴成相等的锐角, 求向量a 在向量b上的射影.解: 设向量b 与三坐标轴所成的角均为α, 由3cos 2 α= 1, 得cos α = ±33, ∵α为锐角, ∴cos α =33, ∴ b 的单位向量b 0 = (33, 33, 33). ∴ 向量a 在向量b 上的射影 a ·b 0 =334–3 + 332 = 3. 说明 设向量a 与b 的夹角为θ，则向量a 在向量b 上的射影等于| a |cos θ. 又设向量b 的单位向量为b 0，则有b = | b |b 0，则a ·b 0 = a ·||b b =||1b | a ||b |cos θ = | a |cos θ, 因此有“向量a 在向量b 上的射影为 a·b 0”的结论. 理解这个结论有助于提高解题速度.例5． 设点O 为空间任意一点，点A ，B ，C 是空间不共线的三点，又点P 满足等式：→--OP = x →--OA + y →--OB + z →--OC , 其中x, y , z ∈R , 求证： P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是x + y + z = 1.分析：需要分两方面来证，必要性即证: 若x + y + z = 1，则P ，A ，B ，C 四点共面，充分性即证: 若P, A, B, C 四点共面, 则有 x + y + z = 1.必要性证明考虑到x + y + z = 1可以减少一个变量, 而O 点可以通过向量减法消去,从而由向量共面定理获证.充分性只需证向量→--AP = λ→--AB +μ→--AC (λ , μ ∈R ), 注意到点O 的作用, 故有→--AP =→--OP – →--OA 等,证: 先证必要性: ∵x + y + z = 1, ∴ z = 1 – x – y ,∴→--OP = x →--OA + y →--OB + ( 1 – x – y )→--OC = x (→--OA – →--OC ) + y (→--OB – →--OC ) + →--OC = x →--CA + y →--CB + →--OC .即→--CP = x →--CA + y →--CB , 由共面向量定理知P, A, B , C 四点共面.再证充分性: 设x + y + z = k, 由条件 →--OP = x →--OA + y →--OB + z →--OC ,得: →--OP = x →--OA + y →--OB + ( k – x – y )→--OC = x(→--OA –→--OC ) + y(→--OB –→--OC ) + k →--OC = x(→--OA –→--OC ) + y(→--OB –→--OC ) + →--OC + (k – 1)→--OC .∴ →--OP –→--OC = x(→--OA –→--OC ) + y(→--OB –→--OC ) + (k – 1)→--OC ,即→--CP = x →--CA + y →--CB + (k – 1)→--OC ,∵ P, A, B , C 四点共面, 点O 为空间任意一点, ∴ 只能k = 1, 即x + y + z = 1.综合上述, 命题成立.说明 本例所证的是一个用空间向量解决立几问题时常用的结论.例6 设有一个质点位于P 1 ( 1 , 3, –2)处, 现有大小为200g, 方向向量为 (cos60︒, cos60︒, cos45︒)的力→-F 作用于该点. 求该质点由P 1位移到P 2 ( 3 , 4 , –2 + 22)时, 力→-F 所作的功(长度单位为cm).分析：设P 1到P 2的位移为→-S , 那么力→-F 所作的功为W = →-F ·→-S .解: ∵力→-F 的方向向量→-0F = ( cos60︒, cos60︒, cos45︒) = (21,21,22) ， 而 |→-F | = 200, 且有→-F = |→-F |→-0F = 200→-0F .∴→-F = (100, 100, 1002),又∵ →-S = ( 3 – 1 , 4 – 3 , –2 + 22 +2 ) = ( 2, 1 , 22).∴W = →-F ·→-S = 200 + 100 + 400 = 700 ( g · cm ) . 例7．设以空间直角坐标系的原点O 为始点的向量→--OA = a 与x 轴，y 轴，z 轴的交角分别为α，β，γ，称l = cos α , m = cos β , n = cos γ, 为向量a 的方向余弦，试证：l 2 + m 2 + n 2=1.分析：即证：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1, 因此如何表示出cos α, cos β, cos γ 是关键，注意到→--OA •I = = |→--OA || I |cos α, 若设→--OA = a =（a 1 , a 2 , a 3 ) , 则有a 1 ·1+ a 2·0+ a 3·0= |a |coa α ， 可得coa α = ||1a a 1 , 同理可得coa β， coa γ. 证：设x, y , z 上的单位向量分别为： I = (1,0,0) , j = ( 0,1,0 ) , k = (0 , 0 ,1)又设→--OA = a =（a 1 , a 2 , a 3 ) ，由→--OA ·i = |a | | i | cos α = |a |coa α,得 a 1 ·1+ a 2·0+ a 3·0= |a |coa α ,∴ a 1= |a |coa α , ∴ coa α = ||1a a 1 , 同理 coa β = ||1a a 2 , coa γ = ||1a a 3. (例7）∴ cos 2α + cos 2β + cos 2γ = ||1a ( a 12+ a 22+ a 32)= 22||||a a =1 即l 2 + m 2 + n 2=1. 请思考：若题设条件改为： 设以空间直角坐标系的原点O 为始点的向量→--OA = a 与x 轴，y 轴，z 轴的交角分别为α，β，γ，令l = pcos α , m = pcos β , n = pcos γ. 则可证得什么结论？课堂训练1．设a = ( 3, 2 , 4 ), b = ( 2 , 0 , 1 ), c = ( –1, –1, 2 ). 则 3a – 4b – 2c 等于 （ A ）(A) ( 3, 8 , 4 ). (B) (4, 1, 6 ) . (C) (3, 4, 4 ). (D) (–1, 8, 4).2．给定点A ( 3, –1, 0 )和向量→--AB = ( 2, 5 , –3), 则点B 的坐标是 ( B ).(A) ( 1, –6, 3). (B) ( 5 , 4 , –3) .(C) (–1, 6, –3) . (D) ( 2, 5, –3) .3．如图ABCD – A 1B 1C 1D 1是平行六面体，给出下列命题:(1) →--1AC = →--AD +→--DC +→--1CC . (2) →--1AC =→--AB +→--AD +→--1AA .(3) →--1AC = →--AC +→--CD +→--1DC . (4) →--1AC = →--1AB +→--D B 1+→--1AA . 其中真命题的个数是 ( A )(A)4 (B)3 (D)2 (D)14．在平行六面体ABCD – A 1B 1C 1D 1中, 必有 ( C )(A) →--1AC = →--1CA . (B) →--1AC + →--1CA = 0.(C) →--1AC + →--1CA = →--1BD +→--1DB . (D) →--1AC + →--1CA = →--1BD +→--D B 1 .5．如图：已知ABCD 是平行四边形，点O 为空间任意一点，设→--OA = a ，→--OB = b ，→--OC = c ， 则向量→--OD 用a 、b 、 c 表示为 （ A ）.（A ）a – b + c . （B ）a – b – c . (C) – a – b + c . (D) – a + b – c .（第3题）6．已知三个力→-1F = ( 1, 2 , 1 ), →-2F = (–1, –2, 3 ), →-3F = ( 2, 2, –1), 则这三个力的合力为( A ).(A) (2, 2, 3 ). (B) ( 0 , 0 , 0 ). (C) 17 . (D) 0.7．在下列给出的各组向量中, 向量a 与b 共线的一组是 ( C )(A) a = ( 1, –3, 2 ), b = (–3, 2 , 1 ). (B) a = ( 4, –12, 3 ), b = (–1, 3 , 1 ) .(C) a = ( –1, 1, 2 ), b = (–21,21, 1 ). (D) a = (–2,2, 32), b = (–21,21,21). 8．已知向量 a = ( –2, 5, –4 ), b = (6, 0 , –3 ) , 则< a , b >的值等于 ( B ) (A)32π. (B)2π. (C)3π . (D) 6π. 9．已知向量a = 8i + 3k ，b = –i + 5j – 4k , 则a •b 等于 ( A )(A) –20 . (B) 7 . (C) 11. (D) 23 .10．已知a =（1, 2, 3 ) , b = ( 3, 0 , – 1), c = (–51, 1, –53), 则在以下结论中： （1）| a + b + c |=| a –b –c | ； （2）（a + b + c 2)= a 2 + b 2+ c 2；（3）（a •b ）•c = a • （b ·c ）； （4）（a + b ）·c = a ·（b –c ）, 不正确的有（ A ）. （A ）4个. （B ）3个 . （C ）2个 . （D ）1个.11．已知向量a = ( 2, –4, 3 ), b = ( 7 , –1, – 2), 则a – b = ( 5, 3 , –5) .12．已知点O 是正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1的中心, 若→--AB = a ，→--AD = b , →--1AA = c ，则 →--AO = 21( a +b +c ) . 13．已知ABCD – A 1B 1C 1D 1是平行六面体, 若→--AB = a ，→--AD = b , →--1AA = c ，则→--1BD = b + c – a .14．已知向量a = ( 8, – 4, 1 ), b = (2 , 2 , 1 ),.则< a , b >的值等于arccos 277 .15．平行六面体ABCD – A 1B 1C 1D 1中，AB = AD = AA 1 = 1，∠BAD = ∠BAA` = ∠DAA` = 60°，则AC 1的长度等于 6 .16．已知点P ( 2, –5, 3), 求(1) 点P 在三坐标轴上射影的坐标;(2) 点P 在坐标面xOy, yOz, zOx 上射影的坐标.( (1) x 轴 ( 2, 0 , 0 ); y 轴( 0 , –5, 0 ); z 轴 ( 0 , 0 3 ). (2) xOy: ( 2 , –-5, 0 ); yOz : ( 0 , –5,3); zOx: ( 2 , 0 , 3 ). )17．用向量证明顶点为A (5 , 2 , –1), B ( 1 , –3. 4 ), C 9 –2 , 1 , 3 ), D ( 2 , 6 , –2)的四边形是平行四边形.18．空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG = 2GN ，用基底{→--OA ，→--OB ，→--OC }表示向量→--OG . （ →--OG =61→--OA +31→--OB +31→--OC ） 19．(1)已知|a | = 3, | b | = 2, <a , b > =3π, 求a · b . ( 3 ) (2) 已知a = ( 1, 3, 5 ), b = ( –1, –3, 4 ), 求a · b . ( 10 )课后练习1．已知a = ( 2, –1, 2 ), b = (2, 2 , 1 ), 则以a , b 为邻边的平行四边形的面积是 ( C )(A) 65. (B)265. (C) 4 . (D) 8. 2．在单位正交基底{ i ，j ，k }下, 点A ( –2, 3, 1), 且存在唯一的有序实数组( 7, –2, 3)使得向量→--OB = 7i – 2 j + 3k ，则向量→--AB = ( A )(A) ( 9 , –5 , 2 ). (B) (–9, 5 , –1 ). (C) (–2, 3, 1 ). (D) ( 7, –2, 3 ). 3．若向量a = ( 1, λ, 2 ), b = (2, –1, 2 ), cos< a ，b > =98, 则实数λ的值为 ( D ) (A) 2. (B) –2. (C)–2或552. (D) 2或 –552. 4．下列各组向量中, 向量a , b , c 共面的一组是 ( B )(A) a = ( 4, 2, 1 ), b = (–1, 2 , 2 ), c = ( –1, 1 ; 5 ). (B) a = ( 1, 2, –3 ), b = (–2, –4 , 6 ) , c = ( 1, 0 ; 5 ). (C) a = ( 0, 0, 1 ), b = (–1, 0 , 0 ), c = ( 0, –1 ; 0 ). (D) a = ( –2, 3, 1 ), b = (3, –2 , –2 ), c = ( –1, 0 ; 2 ).5．已知非零向量 m = ( a 2 , 2 , a 2 + c 2 ) , n = ( b 2, – a 2b, 1 ) , 则m ⊥n 的充要条件是 ( C ) (A) a = c = 0且b = 1. (B) a = 0或c = 0 且b = 1. (C) a = 0或b = 1且c = 0 . (D) c = 0或b = 1且a = 0.6．如图, ABCD – A 1B 1C 1D 1是平行六面体，则下列错误的一个命题是( B ) (A) 存在唯一的实数对(x, y )使得 →--1AC = x →--AB +y →--AD . (B) 存在唯一的实数对(x, y )使得 →--AC = x →--AB +y →--1AA . (C) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得→--1AC = x →--AB +y →--AD +z →--1AA .(D) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得→--AC = x →--AB +y →--AD +z →--1AA .7．已知向量a = (1 , 3 , 2 ), b = (1 , 0 , 1 ), p = k a – 2b , q = 3a + 4b , 若p ∥q , 则实数k = –49. 8. 空间三点A (1 , –1, a ) , B ( 2, a , 0 ) , C ( 1 , a , – 2 ) , 若(→--AB –2→--AC )与→--BC 垂直, 则实数a 等于 –29. 9．已知两空间向量 a = (cos θ, 1, sin θ), b = ( sin θ , 1 , cos θ ), 则a + b 与a – b 的夹角的度数是 90° .10. 在平行六面体ABCD – A 1B 1C 1D 1中, 以顶点A 为端点的三条棱长都等于1, 且两两夹角都为60°, 则|→--1AC | = 6 .11．已知向量2 a + b = (0,–5,10)，c = (1,–2,–2)，a·c = 4，|b |=13，求b·c . （– 18） 12．在正方体1111D C B A ABCD -中, M ∈ A 1D , A 1M = 2MD , N ∈ CD 1 , CN = 2ND 1. 求（第6题）证: MN D A 1⊥,MN C D 1⊥→--MN == (–31,31,31) ，→--D A 1=(1, 0 ,1 ) ，→--C D 1= (0 , 1,–1)，→--MN ·→--D A 1=,01310311)31(=⨯+⨯+⨯- →--MN ·→--C D 1=,0)1(311310)31(=-⨯+⨯+⨯-13．求同时垂直于向量a = ( 2，1，3 )，b = ( 0，–5，1 )的单位向量c 0 .( 设 c 0 = ( cos α. cos β, cos γ ) . ，由a·c 0 =0，且a·c 0 =0， 解得。
苏教版数学高二-选修2-1教案 -2 空间向量及其线性运算 共面向量定理
3．1.1-2空间向量及其线性运算共面向量定理●三维目标1．知识与技能(1)了解空间向量与平面向量的联系与区别．(2)理解空间向量的线性运算及其性质．(3)理解共面向量定理．2．过程与方法(1)学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．(2)通过类比平面向量基本定理，得出共面向量基本定理，并能利用共面向量基本定理证明向量共面，学会判定与证明向量共面及四点共面的方法．3．情感、态度与价值观逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力．●重点难点重点：了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质．难点：共面向量定理的理解及应用．先回顾平面向量的定义及线性运算法则，类比得出空间向量的有关定义及运算法则，并通过空间图形进行严格的理论验证，从而突出教学重点．对于共面向量定理，完全可由平面向量基本定理类比得出，重在应用其证明共面问题，通过例题，体现向量法证明线线平行、线面平行的方法与步骤，从而突破教学难点．●教学建议本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容．章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算．向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用．本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具．采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点．●教学流程回顾平面向量的定义，类比得出空间向量的定义、几何表示、符号表示；找出空间向量与平面向量的区别与联系．⇒回顾平面向量的线性运算法则，得出空间向量的线性运算法则，并通过空间图形加以验证，得出空间向量线性运算满足的运算律．理解单位向量、共线向量、平行向量等概念，理解共线向量定理成立的条件及作用．⇒理解共面向量的定义，区分向量共面与直线共面的区别，理解共面向量定理的内涵，会用共面向量定理证明向量共面，从而证明立体几何问题如共面问题、线面平行问题等．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算法则，在常见的立体图形中，灵活的应用三角形和平行四边形法则进行空间向量的运算，实现利用给定向量表示某一向量的目的．⇒通过例2及变式训练，使学生体会共线向量定理的两个应用，正向可用来证明线线平行，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过例3及变式训练，使学生体会共面向量定理的两个应用，正向可用来证明线面平行，四点共面，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过易错易误辨析，体会零向量的特殊性，在分析向量间关系及向量运算时，应注意零向量的特殊性．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质，理解共线向量定理．(重点)2．体会共面向量定理的推导过程，掌握共面向量定理，会用共面向量定理判定向量共面，会用共面向量定理，证明线面平行问题．(难点)3．向量共线与共面和直线共线与共面的区别．(易混点)空间向量在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．空间向量的线性运算已知空间四边形ABCD，则AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0还成立吗？【提示】成立．根据向量的加法法则，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，其和为从第一个向量的首指向最后一个向量的尾，故AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝AA→＝0.向量加法可以推广到有限个向量的和，并且可用口诀记忆：首尾首尾首指向尾．空间向量的线性运算定义(或法则)空间向量的数乘空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：大小：|λa|＝|λ||a|.方向：当λ＞0时，λa与a方向相同；当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.共线向量定理【问题导思】共线向量一定是同一直线上的向量吗？【提示】共线向量不一定是同一直线上的向量，而是表示向量的有向线段只要可以平移到同一直线上即可，因此共线向量也叫平行向量．对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.共面向量如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝x a＋y b.空间向量的线性运算图3－1－1如图3－1－1，在长方体ABCD －A′B′C′D′中，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：【思路探究】 观察各式涉及的向量在图形中的位置特点，将减法运算转化为加法运算，利用向量加法的三角形法则即可化简．【自主解答】(3)设M 是线段AC′的中点，则12AD →＋12AB →－12＝12AD →＋12AB →＋12＝12(AD →＋AB →＋)＝12＝AM →.向量，AM →如图所示．1．进行向量的线性运算，实质是进行向量求和，解题时应抓住两条主线：一是基本“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和；二是基于“数”，熟练掌握AB →＋BC →＝AC →及向量中点公式．2．用已知向量表示空间向量，实质是向量的线性运算的反复应用．图3－1－2如图3－1－2，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别为AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示：(1)AC 1→；(2)AP →； (3)A 1N →；(4)MP →＋NC 1→.【解】 (1)AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝b ＋c ＋a . (2)∵P 为D 1C 1→的中点， ∴D 1P →＝12D 1C 1→＝12AB →＝12b ，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(3)A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN → ＝－AA 1→＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(4)∵MP →＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝12AA 1→＋AD →＋12AB → ＝12a ＋c ＋12b . NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a .∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋c ＋12b )＋(12c ＋a )＝32a ＋12b ＋32c .共线向量定理的应用图3－1－3如图3－1－3，已知点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G 是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD.试判断四边形EFGH 的形状．【思路探究】 证明向量EH →∥FG →且模不相等． 【自主解答】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 又∵CF →＝2FB →，CG →＝2GD →， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →，∴FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴BD →＝32FG →，∴EH →＝34FG →，∴EH →∥FG →，|EH →|＝34|FG →|.又点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG ，且EH≠FG ， ∴四边形EFGH 是梯形．1．证明EFGH 为梯形，必须证明两点：①EH →∥FG →； ②|EH →|≠|FG →|.2．利用向量共线可证空间图形中的两直线平行，为向量法证明立体几何问题奠定了基础．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值．【解】 ∵BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2. ∴BD →＝BC →＋CD →＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB →＝λBD →.∴e 1＋k e 2＝λ(6e 1＋6e 2)．∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ ，k ＝6λ ，∴k ＝1.共面向量定理的应用如图3－1－4，直三棱柱ABC －A′B′C′，点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点．证明：MN ∥平面A′ACC′.图3－1－4【思路探究】 利用向量的线性运算得到向量MN →可以由平面A′ACC′内两个不共线的向量表示即可．【自主解答】 因为MN →＝MA′→＋A′N →，且点M ，N 分别为A′B 和B′C′的中点，所以MN →＝12BA′→＋12(A′B′→＋A′C′→)＝12(B′A′→＋AA′→)＋12(A′B′→＋A′C′→)＝12AA′→＋12A′C′→. 因为MN ⊄平面A′ACC′，所以MN ∥平面A′ACC′.1．判断三个向量共面，即利用向量的线性运算实现其中一个向量能用另外两个向量惟一表示．2．利用向量判断线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量．两种方法中注意说明直线不在平面内．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．【证明】 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋ν(3e 1－3e 2)＝0， 则(λ＋2μ＋3ν)e 1＋(λ＋8μ－3ν)e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3ν＝0，λ＋8μ－3ν＝0，解得λ＝－5，μ＝1，ν＝1是其中一组解，则AB →＝15AC →＋15AD →，∴A 、B 、C 、D 四点共面.忽略零向量导致错误下列命题：①空间任意两个向量a ，b 不一定是共面的； ②a ，b 为空间两个向量，则|a |＝|b |⇔a ＝b ； ③若a ∥b ，则a 与b 所在直线一定平行； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误命题的序号是________． 【错解】 ②【错因分析】 ①空间任意两个向量都是共面的．②向量的模相等时，两个向量不一定相等，还要看向量的方向．③当a ∥b 时，它们所在直线平行或重合．④当b ＝0时，a 与c 不一定平行．【防范措施】 向量的平行(共线)不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，不一定有a ∥c ，但当b 为非零向量时，向量平行(共线)具备传递性，即若b ≠0，则当a ∥b ，b ∥c 时，有a ∥c .【正解】 ①②③④1．空间向量是平面向量的拓广和延伸，空间向量的线性运算法则和运算律与平面向量具有可类比性，但空间向量比平面向量应用范围更广泛．2．共线向量定理是判定两向量共线的充要条件，利用共线向量定理可以解决两方面的问题：(1)判定两向量共线；(2)由两向量共线，求待定字母的值．3．共面向量定理是判断三向量共面的理论依据，依此可以证明三向量共面，从而证明四点共面与线面平行问题．1．在空间四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝______. 【解析】 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0. 【答案】 02．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简式子：DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝________.【解析】 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 【答案】 BD 1→3．有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命题有________．【解析】 “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确． 【答案】 ①②③图3－1－54．如图3－1－5，在空间四边形ABCD 中，E 、F 为AB 、CD 的中点，试证EF →，BC →，AD →共面．【证明】 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，利用多边形加法法则可得⎭⎪⎬⎪⎫EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①中，两式相加得 2EF →＝AD →＋BC →. 所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．一、填空题1．下列命题中真命题的个数是________． ①空间中任两个单位向量必相等；②将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆； ③若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b ，则a ，b 同向； ④向量共面即它们所在的直线共面．【解析】 ①是假命题，单位向量模相等，但方向不一定相同，因此空间中任两个单位向量不一定相等；②是假命题，将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个球面； ③是假命题，当k>0时，a ，b 同向，当k<0时，a ，b 反向；④是假命题，表示共面向量的有向线段所在的直线可以“平移”(平行移动)到同一平面，但不一定共面．【答案】 02．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝________.【解析】 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝c ＋12BD →＝c ＋12B 1D 1→＝c ＋12b －12a ＝－12a ＋12b ＋c .【答案】 －12a ＋12b ＋c3．非零向量e 1、e 2不共线，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k ＝________. 【解析】 若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则 k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1. 【答案】 ±14．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)【解析】 如图， MN →＝ON →－OM → ＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .【答案】 －23a ＋12b ＋12c5．如图3－1－6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为BD 1→的是________．图3－1－6①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.【解析】 (A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→，(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→.【答案】 ①② 6．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题是________(填序号)．【解析】 由共面向量定理知，①真；若p 与a ，b 共面，当a 与b 共线且p 与a 和b 不共线时，就不存在实数组(x ，y)使p ＝x a ＋y b 成立，故②假．同理③真，④假．【答案】 ①③7．在下列各式中，使P ，A ，B ，C 四点共面的式子的序号为________． ①OP →＝OA →－OB →－OC →； ②OP →＝17OA →＋14OB →＋12OC →；③PA →＋PB →＋PC →＝0； ④OP →＋OA →＋OB →＋OC →＝0； ⑤OP →＝12OA →－OB →＋32OC →.【解析】 根据四点共面的充要条件，易知①②④不适合，③⑤适合． 【答案】 ③⑤8．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.【解析】 如图，取AB 的中点D ， OG →＝OC →＋CG → ＝OC →＋23CD →＝OC →＋23·12(CA →＋CB →)＝OC →＋13＝13OA →＋13OB →＋13OC →. ∴OA →＋OB →＋OC →＝3OG →. 【答案】 3二、解答题图3－1－79．如图3－1－7，已知平行六面体ABCD －A′B′C′D′，M 是线段CC′的中点，G 是线段AC′的三等分点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA′→； (3)AB →＋AD →＋12CC′→；(4)13(AB →＋AD →＋AA′→)．【解】 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA′→＝AC →＋AA′→＝AC →＋CC′→＝AC′→. (3)AB →＋AD →＋12CC′→＝AB →＋BC →＋CM →＝AC →＋CM →＝AM →.(4)13(AB →＋AD →＋AA′→)＝13AC′→＝AG →. 向量AC →，AC′→，AM →，AG →如图所示．10．如图3－1－8所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．图3－1－8【解】 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →，MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．图3－1－911．如图3－1－9，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB.【证明】 因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE →＋EB →＋ED →＋DC →)．因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB→＋12ED →. 因为EB →与ED →不共线，由共面向量定理知，FH →，EB →，ED →共面． 因为FH ⊄平面EDB ，所以FH ∥平面EDB.已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面．(1)OB →＋OM →＝3OP →－OA →； (2)OP →＝4OA →－OB →－OM →.【思路探究】 判断点P 是否在平面MAB 内，可先看MP →能否用向量MA →、MB →表示．当MP →能用MA →、MB →表示时，点P 位于平面MAB 内，否则点P 不在平面MAB 内．【自主解答】 (1)原式可变形为 OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋PA →＋PB →，∴OP →－OM →＝PA →＋PB →， ∴PM →＝－PA →－PB →，∴P 与M 、A 、B 共面． (2)原式可变形为OP →＝2OA →＋OA →－OB →＋OA →－OM →＝2OA →＋BA →＋MA →， ∴AP →＝－AO →－AB →－AM →，表达式中还含有AO →， ∴P 与A 、B 、M 不共面．1．解答本题中注意构造以P 、A 、B 、M 中某一点为起点，另三点为终点的三个向量来判断此三向量是否共面，若共面又共起点，此四点必共面，否则不共面．2．要证四点共面，可先作从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴13(OA →－OM →)＋13(OB →－OM →)＋13(OC →－OM →)＝0， ∴MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →，∴MA →、MB →、MC →三个向量是共面向量． (2)由(1)知MA →、MB →、MC →三个向量共面， 又有共同起点M ，所以M 、A 、B 、C 四点共面， 即点M 在平面ABC 内．。
苏教版高中数学选修2-1：空间向量的应用_课件2
专题五 向量法计算空间的距离
立体几何中的距离问题是高中数学的一个难点，也是一 个重点；若用向量来处理这些距离问题，则思路简单、解法 固定；如点到直线距离的求法，就是先求出该点与直线上某 点连线在直线上的射影，再用勾股定理求对应的距离． 【例5】如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别
是 BD、BC 的中点，CA＝CB＝CD＝BD ＝2，AB＝AD＝ 2. (1)求证：AO⊥平面BCD； (2)求点E到平面ACD的距离．
(2)以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，
0，0)，C(0， 3，0)，A(0，0，1)，E(12， 23，0)，
A→C＝(0， 3，－1)，A→D＝(－1，0，－1)，
设平面 ACD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
nn··AA→→CD＝＝（（xx，，yy，，zz））··（（0－，1，30，，－－11））＝＝00. ，∴x＋3yz－＝z0＝，0，
②平面的斜线的方向向量与平面法向量的夹角余弦的绝对值 等于该斜线与平面所成角的正弦，由此可求斜线与平面所成 的角． ③如图②，设n1，n2分别是二面角α－l－β中平面α，β的法向 量，则n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其补角． (4)求空间的距离
两平行平面间的距离、直线与平面的距离都可转化为点到平
∵O→G＝O→D＋D→G＝O→D＋13D→C＝O→D＋13(O→C－O→D)，
又∵平面 OAB 中，O→D＝12(O→A＋O→B)， ∴O→G＝23O→D＋13O→C＝13O→A＋13O→B＋13O→C. 即O→G＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
法二 建立空间直角坐标系，类比平面向量的线性表示，通过
图①
图②
图③
苏教版高中数学选修空间向量及其运算(3)(1)课件
∴ C→E
＝
→ CA
＋
2
→ AF
＋
F→B ＝
2(
→ MA
＋A→F
＋
F→N)．∴C→E＝2
→ MN.
∴C→E∥M→N，即C→E与M→N共线.14 分
• 【名师点评】 (1)判定两向量共线 就是找x使a＝xb，充分运用空间向 量运算法则并结合空间图形，化简得 出a＝xb，从而得出a∥b；
【思路点拨】 要判断C→E与M→N是否共线，由 共线向量定理就是判断是否存在实数 x 使C→E ＝x M→N.若存在，则C→E与M→N共线，否则C→E与 M→N不共线．
【规范解答】 ∵M、N 分别是 AC、BF 的中点，而 四边形 ABCD、ABEF 都是平行四边形， ∴M→N＝M→A＋A→F＋F→N＝12C→A＋A→F＋12F→B.6 分 又∵M→N＝M→C＋C→E＋E→B＋B→N＝－12C→A＋C→E－A→F－ 12F→B， ∴12C→A＋A→F＋12F→B
• (2)首尾相接的若干向量若构成一个 封闭图形，则它们的和为0.
• 2．向量等式的证明，就是向量化简 的过程，可以由一端证到另一端，也 可以两端同时证到至“中间”向量表达 式，从而达到证明等式的目的．
• 3．共线向量定理包含两个命题，特 别是对于两个向量a、b，若存在实 数x，使a＝xb(b≠0)，则a∥b，可以 作为以后证明线线平行的依据，但必 须a(或b)上有一点不在b(或a)上．
_______.
知新益能
• 1．空间向量的概念 • 在空间，我们把既有大小又有方向的
量空间，向叫量做________． • 2．空间向量的线性运算 • 向量的加法、减法和数乘运算统称为
高二数学苏教版2019选择性必修第二册同步教学设计：空间向量基本定理
图1
问题 2-2：如图 2，点 G 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，能否用 AB ， AD 线性表示 AG ？为什么？
图2
问题 2-3：两个非零向量只能线性表示它们所在平面内的向量，不在这个平 面内的向量就不能线性表示了．那么一个非零向量只能线性表示什么样的向量？
尝试根据之前学习经验，完成下表：
向量与相关定理
表示某一方向上的 表示某一平面内的 表示某一空间内
任意向量
任意向量
的任意向量
依据
共线定理
平面向量基本定理
基向量的个数
一个基向量
两个基向量
基向量要求
非零向量
非零向量、 不共线
三、建构数学
空间向量的基本定理
如果三个向量
e1
，e2
，e3
不共面，那么对空间任一向量
OB 相交于点 A´，B´，于是，存在三个实数 x，y，z，使 OA＝xOA＝xe1 ， OB＝yOB＝ye2 ， PP＝zOC＝ze3 ， ∴ OP＝OA＋OB＋PP＝xOA＋yOB＋zOC ．
所以 p＝xe1＋ye2＋ze3 ．
（唯一性）假设还存在 x´，y´，z´使 p＝xe1＋ye2＋ze3 ．
正交基底，通常用｛ i ， j ， k ｝表示．
推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的
三个有序实数 x，y，z，使 OP＝xOA＋yOB＋zOC ．
四、数学运用 例 1 如图，在正方体 OADB-CA´D´B´中，点 E 是 AB 与 OD 的交点，M 是
OD 与 CE 的交点，试分别用向量 OA ， OB ， OC 表示 OD 和 OM ．
高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章3.13.1.5空间向量的数量积Word版含解析
F 1 F 2 F 31 F 1 F 2120 .2|F0| I F ||F 2 (F 1 F 2F 3)( F 1 F 2 F 3)(F 1 F 2 F 3)26|F 0I 2|F |6|F 0|.5 000 .62 50OV6 25 000x/6 |F0|610―310― (N)1a b OOA a OB bAOBabM ・a b[0° b2. a b 0a brrtTFi3 1.5摘象问髓情境牝，新知无师自通[ P59]5 000 kg60( g 10 N/kg)两个向量的数量积 ⑴定义：已知两个非零向量 a, b ,则a ||b |cos 〈a , b〉叫做a , b 的数量积，记作a b .即a b = |a ||b |cos 〈a , b 〉.① 零向量与任何向量的数量积为 0.a b② 两非零向量a , b 的夹角〈a , b 〉可以由下面的公式求得 cos 〈 a , b >=厂•二.|a ||b |③ a 丄b ? a b = 0(a , b 是两个非零向量). ④ |a |2= a _a = a^. (2)运算律： ① a b = b a ;② (扫)b = 2(a b )(氐 R ); ③ a (b + c ) = a b + a c .数量积的坐标运算/入n 很料在平面向量中，a =佝，a 2), b = (b i , b ?)，我们知道a b = a i a 2 + Sb 2，那么在空间向量 中，a = (a i , a 2, a 3), b = (b i , b ?, b 3).贝y a b 为多少？提示：a b = a i b i + a 2b 2 + a 3b 3.设空间两个非零向量 a = (x i , y i , z i ), b = (x 2, y 2, z ?)，贝yx i x ?+ y i y ?+ Z i Z 2 .x i + y2 + Z L'\；X 2 + y 2+ Z特别地，a 丄 b ? a b = 0? x i x 2 + y i y 2 + z -|Z 2= 0.［归纳*升华・领悟］1. 数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零.2.数量积的运算不满足消去律和结合律，即 ab = bc 推不出a = c ; (a b )c ^ a (b c ).3. 空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可以用来求解线段的长度和夹角问题.(3)cos 〈 a , b >⑵ |a |= .x i + y ：+ z i ;高频考点题组化.名师一点就通[ P60](1)OS[1]ABCD A 1B 1C 1D 1 AB AA 1 2 AD 4 E AA 1B 1B0.D 1(0,4,2)F(0,2,2)A(0,0,0) B 1(2,0,2)-1TTBC (0,4,0) ED,( 1,4,1) BF ( 2,2,2)AR (2,0,2)T T(1) BC ED , 0 ( 1)4 4 0 1 16T T(2) BF AB , 2 2 2 0 2 2 0.)A[ ]⑵ BF AB 1[ ]T 」T TBC ED , BF AB ,T T T T BC ED BF AB[ ] ( )TAA c|a | AB a AD|c | 2 |b | 4a b b c c a0.T TT T—1 (1) BC ED, BC (EA ,A D,)16.⑵ BF AB ,AA , ) [c a b • a c )|c |2 |a |2 2 22B(2,0,0) C(2,4,0) E(1,0,1)FA 1D 1(BA ,标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可.1•如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，点E, F, G分别为棱AB, AD , DC的中点，试计算下列各式的值:(1) AB -AC ；(2) AD ・DB ；T T T T(3) GF -AC ;⑷AD -BC .解：在棱长为1的正四面体ABCD中，T T T TAB |= | AC |= 1,〈AB , AC〉= 60 °⑴•- I••• AB -AC = | AB || AC |cos 60 = 1 X 1X 2 = 1 ；T T T T⑵•| AD |= | BD |= 1,〈AD , DB > = 180。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第八章立体几何第五节空间向量的运算及应用教案理解析版
１．空间向量及其有关概念概念语言描述共线向量（平行向量）表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量平行于同一个平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b（b≠0），a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使p＝x a＋y b空间向量基本定理定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P 都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!且x＋y＋z＝１２．数量积及坐标运算（１）两个向量的数量积：１a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；２a⊥b⇔a·b＝0（a，b为非零向量）；３|a|２＝a２，|a|＝错误!.（２）向量的坐标运算：a＝（a１，a２，a３），b＝（b１，b２，b３）向量和a＋b＝（a１＋b１，a２＋b２，a３＋b３）向量差a—b＝（a１—b１，a２—b２，a３—b３）数量积a·b＝a１b１＋a２b２＋a３b３共线a∥b⇒a１＝λb１，a２＝λb２，a３＝λb３（λ∈R，b≠0）垂直a⊥b⇔a１b１＋a２b２＋a３b３＝0夹角公式cos〈a，b〉＝错误![小题体验]１．已知a＝（２,３,１），b＝（—４,２，x），且a⊥b，则|b|＝________.答案：２错误!２．已知a＝（２，—１,３），b＝（—１,４，—２），c＝（7,５，λ），若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.答案：错误!３．已知直线l的方向向量s＝（—１,１,１），平面α的法向量n＝（２，x２＋x，—x），若直线l∥平面α，则x的值为________．解析：因为线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故—１×２＋１×（x２＋x）＋１×（—x）＝0，解得x＝±错误!.答案：±错误!１．共线向量定理中a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb易忽视b≠0．２．共面向量定理中，注意有序实数对（x，y）是唯一存在的．３．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误认为是共面向量．[小题纠偏]１．已知a＝（λ＋１,0,２），b＝（6,２μ—１,２λ），若a∥b，则λ＋μ＝________.解析：因为a∥b，所以b＝k a，即（6,２μ—１,２λ）＝k（λ＋１,0,２），所以错误!解得错误!或错误!所以λ＋μ＝±错误!.答案：±错误!２．若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．解析：因为错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以错误!，错误!，错误!共面，所以AB与平面CDE平行或在平面CDE内．答案：平行或直线AB在平面内３．（２0１9·无锡检测）已知平面α的法向量为n＝（１,２，—２），平面β的法向量为m＝（—２，—４，k），若α⊥β，则实数k的值为________．解析：由α⊥β，得m·n＝—２—8—２k＝0，解得k＝—５．答案：—５错误!错误![题组练透]如图所示，在平行六面体ABCDA１B１C１D１中，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，M，N，P分别是AA１，BC，C１D１的中点，试用a，b，c表示以下各向量：（１）错误!；（２）错误!；（３）错误!＋错误!.解：（１）因为P是C１D１的中点，所以错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝a＋错误!＋错误!错误!＝a＋c＋错误!错误!＝a＋c＋错误!b.（２）因为N是BC的中点，所以错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝—a＋b＋错误!错误!＝—a＋b＋错误!错误!＝—a＋b＋错误!c.（３）因为M是AA１的中点，所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝—错误!a＋错误!＝错误!a＋错误!b＋c，又错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!＝错误!c＋a，所以错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!a＋错误!b＋错误!c.[谨记通法]用已知向量表示未知向量的解题策略（１）用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．（２）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．（３）在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．考点二共线、共面向量定理的应用错误![典例引领]１．若A（—１,２,３），B（２,１,４），C（m，n,１）三点共线，求m＋n的值．解：错误!＝（３，—１,１），错误!＝（m＋１，n—２，—２）．因为A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得错误!＝λ错误!.即（m＋１，n—２，—２）＝λ（３，—１,１）＝（３λ，—λ，λ），所以错误!解得λ＝—２，m＝—7，n＝４．所以m＋n＝—３．２．如图所示，已知斜三棱柱ABCA１B１C１，点M，N分别在AC１和BC上，且满足错误!＝k错误!，错误!＝k错误!（0≤k≤１）．判断向量错误!是否与向量错误!，错误!共面．解：因为错误!＝k错误!，错误!＝k错误!，所以错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝k错误!＋错误!＋k错误!＝k（错误!＋错误!）＋错误!＝k（错误!＋错误!）＋错误!＝k错误!＋错误!＝错误!—k错误!＝错误!—k（错误!＋错误!）＝（１—k）错误!—k错误!，所以由共面向量定理知向量错误!与向量错误!，错误!共面．[由题悟法]应用共线（面）向量定理、证明点共线（面）的方法比较三点（P，A，B）共线空间四点（M，P，A，B）共面错误!＝λ错误!错误!＝x错误!＋y错误!对空间任一点O，错误!＝错误!＋t错误!对空间任一点O，错误!＝错误!＋x错误!＋y错误!对空间任一点O，错误!＝x错误!＋（１—x）错误!对空间任一点O，错误!＝x错误!＋y错误!＋（１—x—y）错误![即时应用]如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为３的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA ＝３．F在棱PA上，且AF＝１，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．解：取BC 的中点G，连结AG，因为四边形ABCD是∠ABC＝60°的菱形，所以AG⊥AD，又PA⊥平面ABCD，故以A为原点，分别以错误!，错误!，错误!为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则D（0,３,0），F（0,0,１），B错误!，P（0,0,３），C错误!，错误!＝（0，—３，１），错误!＝错误!，错误!＝（0,３，—３），错误!＝错误!，设平面BDF的一个法向量n＝（x，y，z），则错误!即错误!令y＝１，则x＝错误!，z＝３，所以n＝（错误!，１,３）．设错误!＝λ错误!＝（0,３λ，—３λ），则错误!＝错误!＋错误!＝错误!，因为CE∥平面BDF，所以n·错误!＝0，解得λ＝错误!.所以PE∶ED＝１．考点三利用向量证明平行与垂直问题错误![典例引领]在直三棱柱ABCA１B１C１中，∠ABC＝90°，BC＝２，CC１＝４，点E为BB１上的一点，且EB１＝１，点D，F，G分别为CC１，C１B１，C１A１的中点．求证：（１）B１D⊥平面ABD；（２）平面EGF∥平面ABD.证明：（１）以点B为坐标原点，BA，BC，BB１所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0,0,0），D（0,２,２），B１（0,0,４），设BA＝a，则A（a,0,0），所以错误!＝（a,0,0），错误!＝（0,２,２），错误!＝（0,２，—２），因为错误!·错误!＝0＋0＋0＝0，错误!·错误!＝0＋４—４＝0，所以B１D⊥BA，B１D⊥BD.又BA∩BD＝B，所以B１D⊥平面ABD.（２）由（１）知，E（0,0,３），G错误!，F（0,１,４），则错误!＝错误!，错误!＝（0,１,１），因为错误!·错误!＝0＋２—２＝0，错误!·错误!＝0＋２—２＝0，所以B１D⊥EG，B１D⊥EF.又EG∩EF＝E，所以B１D⊥平面EGF.由（１）可知，B１D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD.[由题悟法]１．利用向量法证明平行问题的类型及方法（１）证明线线平行：两条直线的方向向量平行．（２）证明线面平行：１该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；２证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；３证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示．（３）证明面面平行：两个平面的法向量平行．２．利用向量法证明垂直问题的类型及方法（１）证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0．（２）证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行．（３）证明面面垂直：１其中一个平面与另一个平面的法向量平行；２两个平面的法向量垂直．[即时应用]如图，四边形ABEF与四边形ABCD是两个全等的正方形，且平面ABEF与平面ABCD互相垂直，M，N分别是AC与BF上的点，且CM＝BN.求证：（１）MN⊥AB；（２）MN∥平面CBE.证明：（１）设正方形ABEF的边长为１．错误!＝λ错误!，则错误!＝λ错误!.取一组向量的基底为{错误!，错误!，错误!}，记为{a，b，c}．则|a|＝|b|＝|c|＝１，且a·b＝b·c＝c·a＝0．所以错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝—λ错误!＋错误!＋λ错误!＝—λ（a—c）—c＋λ（a＋b）＝λb＋（λ—１）c，所以错误!·错误!＝[λb＋（λ—１）c]·a，＝λ（b·a）＋（λ—１）（c·a）＝λ×0＋（λ—１）×0＝0．所以错误!⊥错误!，即MN⊥AB.（２）法一：由（１）知MN⊥AB.又AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B.所以AB⊥平面CBE.又MN⊄平面CBE.所以MN∥平面CBE.法二：由（１）知，错误!＝λb＋（λ—１）c＝λ错误!＋（λ—１）错误!.所以错误!与平面CBE共面．又MN⊄平面CBE.所以MN∥平面CBE.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．已知a＝（２,３，—４），b＝（—４，—３，—２），b＝错误!x—２a，则x＝________.解析：由b＝错误!x—２a，得x＝４a＋２b＝（8,１２，—１6）＋（—8，—6，—４）＝（0,6，—２0）．答案：（0,6，—２0）２．（２0１9·汇龙中学检测）若直线l的方向向量为a＝（１,0,２），平面α的法向量为n＝（—２,0，—４），则直线l和平面α的位置关系为________．解析：因为a＝（１,0,２），n＝（—２,0，—４），所以n＝—２a，即a∥n.所以l⊥α.答案：l⊥α３．（２0１8·睢宁中学检测）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，用a，b，c表示向量错误!＝________.解析：如图所示，连结ON，AN，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（b＋c），错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!—２错误!＋错误!）＝错误!（—２a＋b＋c）＝—a＋错误! b＋错误!c，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝—错误!a＋错误!b＋错误!c.答案：—错误!a＋错误!b＋错误!c４．若点C（４a＋１,２a＋１,２）在点P（１,0,0），A（１，—３,２），B（8，—１, ４）所确定的平面上，则a＝________.解析：由题意得错误!＝（0，—３,２），错误!＝（7，—１,４），错误!＝（４a,２a＋１,２），根据共面向量定理，设错误!＝x错误!＋y错误!，则（４a,２a＋１,２）＝x（0，—３,２）＋y（7，—１,４）＝（7y，—３x—y，２x＋４y），所以错误!解得x＝—错误!，y＝错误!，a＝错误!.答案：错误!５．若平面α的一个法向量为u１＝（—３，y,２），平面β的一个法向量为u２＝（6，—２，z），且α∥β，则y＋z＝________.解析：因为α∥β，所以u１∥u２，所以错误!＝错误!＝错误!，所以y＝１，z＝—４，所以y＋z＝—３．答案：—３6．（２0１9·滨海检测）已知空间三点A（0,２,３），B（２,５,２），C（—２,３,6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为________．解析：∵错误!＝（２,３，—１），错误!＝（—２,１,３）．∴错误!·错误!＝—４＋３—３＝—４，|错误!|＝错误!＝错误!，|错误!|＝错误!＝错误!.∴cos∠BAC＝错误!＝错误!＝—错误!.∴sin∠BAC＝错误!＝错误!.故以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝|错误!|·|错误!|·sin∠BAC＝错误!×错误!×错误!＝6错误!.答案：6错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点．若错误!＝（２，—１，—４），错误!＝（４,２,0），错误!＝（—１,２，—１），则给出下列结论：１AP⊥AB；２AP⊥AD；３错误!是平面ABCD的一个法向量；４错误!∥错误!.其中正确的是________．（填序号）解析：∵错误!·错误!＝２×（—１）＋（—１）×２＋（—４）×（—１）＝—２—２＋４＝0，∴错误!⊥错误!，即AP⊥AB，故１正确．∵错误!·错误!＝（—１）×４＋２×２＋0＝0，∴错误!⊥错误!，即AP⊥AD，故２正确．又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故错误!是平面ABCD的一个法向量，故３正确．∵错误!＝错误!—错误!＝（２,３,４），错误!＝（—１,２，—１），∴错误!≠错误!≠错误!，∴错误!与错误!不平行，故４错误．答案：１２３２．已知a＝（１,0,１），b＝（x,１,２），且a·b＝３，则向量a与b的夹角为________．解析：因为a·b＝x＋２＝３，所以x＝１，所以b＝（１,１,２）．所以cos〈a，b〉＝错误!＝错误!＝错误!.所以a与b的夹角为错误!.答案：错误!３．（２0１9·盐城中学检测）已知平面α内的三点A（0,0,１），B（0，１,0），C（１,0,0），平面β的一个法向量n＝（—１，—１，—１），则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：设平面α的法向量为m＝（x，y，z），因为错误!＝（0,１，—１），错误!＝（１,0，—１），则错误!令x＝１，得m＝（１,１,１）．因为m＝—n，所以m∥n，所以α∥β.答案：α∥β４．已知正三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将此三角形沿DE翻折，当AE⊥BD时，二面角ADEF的余弦值等于________．解析：不妨设GD＝GE＝１，则GA＝GF＝错误!，AE＝BD＝２，由已知得∠AGF即为二面角ADEF 的平面角，设其为θ.则错误!·错误!＝（错误!—错误!）·（错误!＋错误!＋错误!）＝（错误!—错误!）·（２错误!—错误!—错误!）＝（错误!—错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!·错误!—错误!·错误!＋错误!·错误!＝１—0—0＋错误!·错误!cos θ＝１＋３cos θ＝0，所以cos θ＝—错误!，即当AE⊥BD时，二面角ADEF的余弦值等于—错误!.答案：—错误!５．（２0１9·南京调研）如图，在平行六面体ABCDA１B１C１D１中，AB＝４，AD＝３，AA１＝５，∠BAD＝90°，∠BAA１＝∠DAA１＝60°，则对角线AC１的长度等于________．解析：错误!２＝（错误!＋错误!＋错误!）２＝错误!２＋错误!２＋错误!２＋２错误!·错误!＋２错误!·错误!＋２错误!·错误!＝１6＋9＋２５＋２×４×３×cos 90°＋２×４×５×cos 60°＋２×３×５×cos 60°＝５0＋２0＋１５＝8５，即|错误!|＝错误!.答案：错误!6．在空间直角坐标系中，以点A（４,１,9），B（１0，—１,6），C（x,４,３）为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．解析：由题意知错误!·错误!＝0，|错误!|＝|错误!|，又错误!＝（6，—２，—３），错误!＝（x—４,３，—6），所以错误!解得x＝２．答案：２7．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝１．在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝________.解析：连结PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝错误!PD，又P（0,0,１），D（0,１,0），所以PD＝错误!＝错误!，所以MN＝错误!.答案：错误!8．已知向量错误!＝（１,５，—２），错误!＝（３,１,２），错误!＝（x，—３,6）．若DE∥平面ABC，则x的值是________．解析：∵DE∥平面ABC，∴存在实数m，n，使得错误!＝m错误!＋n错误!，即错误!解得x＝５．答案：５9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝１，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD 折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离．解：因为∠ACD＝90°，所以错误!·错误!＝0．同理可得错误!·错误!＝0．因为AB与CD成60°角，所以〈错误!，错误!〉＝60°或〈错误!，错误!〉＝１２0°，又错误!＝错误!＋错误!＋错误!，所以|错误!|２＝|错误!|２＋|错误!|２＋|错误!|２＋２错误!·错误!＋２错误!·错误!＋２错误!·错误!＝３＋２×１×１×cos〈错误!，错误!〉．所以当〈错误!，错误!〉＝60°时，|错误!|２＝４，此时B，D间的距离为２；当〈错误!，错误!〉＝１２0°时，|错误!|２＝２，此时B，D间的距离为错误!.１0．如图，在多面体ABCA１B１C１中，四边形A１ABB１是正方形，AB＝AC，BC＝错误!AB，B１C１綊错误!BC，二面角A１ABC是直二面角．求证：（１）A １B１⊥平面AA１C；（２）AB１∥平面A１C１C.证明：因为二面角A１ABC是直二面角，四边形A１ABB１为正方形，所以AA１⊥平面ABC.又因为AB＝AC，BC＝错误!AB，所以∠CAB＝90°，即CA⊥AB，所以AB，AC，AA１两两互相垂直．建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设AB＝２，则A（0,0,0），B１（0,２,２），A１（0,0,２），C（２,0,0），C１（１,１,２）．（１）错误!＝（0,２,0），错误!＝（0,0，—２），错误!＝（２,0,0），设平面AA１C的一个法向量n＝（x，y，z），则错误!即错误!即错误!取y＝１，则n＝（0,１,0）．所以错误!＝２n，即错误!∥n.所以A１B１⊥平面AA１C.（２）易知错误!＝（0,２,２），错误!＝（１,１,0），错误!＝（２,0，—２），设平面A１C１C的一个法向量m＝（x１，y１，z１），则错误!即错误!令x１＝１，则y１＝—１，z１＝１，即m＝（１，—１,１）．所以错误!·m＝0×１＋２×（—１）＋２×１＝0，所以错误!⊥m.又AB１⊄平面A１C１C，所以AB１∥平面A１C１C.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知长方体ABCDA１B１C１D１中，AB＝３，BC＝２，CC１＝５，E是棱CC１上不同于端点的点，且错误!＝λ错误!.当∠BEA１为钝角时，则实数λ的取值范围为________．解析：以D为原点，DA，DC，DD１所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0,３,0），C１（0，３,５），B（２,３,0），A１（２,0,５）．因为错误!＝λ错误!，所以E（0,３,５λ）．从而错误!＝（２,0，—５λ），错误!＝（２，—３,５—５λ）．当∠BEA １为钝角时，cos∠BEA１＜0，所以错误!·错误!＜0，即２×２—５λ（５—５λ）＜0，解得错误!＜λ＜错误!.答案：错误!２．（２0１9·海门中学检测）如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝错误!，AF＝１，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为________．解析：由题意知CD，CB，CE两两垂直，所以以C为原点，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设M点的坐标为（x，y,１），AC∩BD＝O，连结OE，则O错误!，又E（0,0,１），A（错误!，错误!，0），所以错误!＝错误!，错误!＝（x—错误!，y—错误!，１），因为AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面BDE∩平面ACEF＝OE，所以OE∥AM，所以错误!即错误!所以M错误!.答案：错误!３．如图，在三棱锥PABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝４，AO＝３，OD＝２．（１）证明：AP⊥BC；（２）若点M是线段AP上一点，且AM＝３．试证明平面AMC⊥平面BMC.证明：（１）以O为坐标原点，以射线OD为y轴正半轴，射线OP为z轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则O（0,0,0），A（0，—３,0），B（４,２,0），C（—４,２,0），P（0,0,４）．于是错误!＝（0,３,４），错误!＝（—8，0,0），所以错误!·错误!＝（0,３,４）·（—8,0,0）＝0，所以错误!⊥错误!，即AP⊥BC.（２）由（１）知AP＝５，又AM＝３，且点M在线段AP上，所以错误!＝错误!错误!＝错误!，又错误!＝（—４，—５,0），所以错误!＝错误!＋错误!＝错误!，则错误!·错误!＝（0,３,４）·错误!＝0，所以错误!⊥错误!，即AP⊥BM，又根据（１）的结论知AP⊥BC，且BC∩BM＝B，所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.。
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高二数学空间向量苏教版（文）【本讲教育信息】一. 教学内容：空间向量二. 本周教学目标：1. 运用类比的方法，经历向量及运算由平面向空间推广的过程。
2. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质.理解空间向量共线的条件。
3. 了解向量共面的含义，理解共面向量定理，能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题。
4. 掌握空间向量基本定理及推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的。
5. 能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算，会根据向量的坐标判断两个空间向量的平行。
6. 掌握空间向量夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算率。
了解空间向量的几何意义;掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题。
三. 本周知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。
当我们说向量a ρ、b ρ共线（或a ρ//b ρ）时，表示a ρ、b ρ的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
若三向量,,a b c r r r不共面，我们把{,,}a b c r r r 叫做空间的一个基底，,,a b c r r r 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r。
6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k r r r表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r ，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++r r， 112233(,,)a b a b a b a b -=---r r ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈r， 112233a b a b a b a b ⋅=++r r，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈r r， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=r r。
②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---u u u r。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（4）模长公式：若123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r，则||a ==r||b ==r（5）夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅rr r r r 。
（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB ==u u u r ，或,A B d =7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b r r ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r 与b r的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r r r r ；若,2a b π<>=r r ，则称a r 与b r互相垂直，记作：a b ⊥r r 。
（2）向量的模：设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r的长度或模，记作：||a r 。
（3）向量的数量积：已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r r r r 叫做,a b rr 的数量积，记作a b ⋅r r ，即a b ⋅=r r ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r rr r 。
（4）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r。
②0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r 。
③2||a a a =⋅r r r 。
（5）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r。
②a b b a ⋅=⋅r r r r （交换律）。
③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r（分配律）。
【典型例题】例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴AB BC +u u u r u u u r ； ⑵AB AD AA '++u u u r u u u r u u u r ；⑶12AB AD CC '++u u u r u u u r u u u u r ； ⑷1()3AB AD AA '++u u ur u u u r u u u r 。
解：如图：⑴AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r；⑵ AB AD AA '++u u u r u u u r u u u r =AC AA AC ''+=u u ur u u u r u u u u r ；⑶设M 是线段C C '的中点，则12AB AD CC AC CM AM '++=+=u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r；⑷设G 是线段C A '的三等分点，则11()33AB AD AA AC AG ''++==u u ur u u u r u u u r u u u u r u u u r 。
向量,,,AC AC AM AG 'u u u r u u u u r u u u u r u u u r如图所示。
例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式：OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？ 解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AP y AB z AC =+u u u r u u u r u u u r，∴点P 与点,,A B C 共面。
例3. 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r表示向量OG u u u r 。
解：OG OM MG =+u u u r u u u u r u u u u r 23OM MN =+u u u u r u u u u r 12()23OA ON OM =+-u u u r u u u r u u u u r 。
1211[()]2322OA OB OC OA =++-u u ur u u u r u u u r u u u r 111()233OA OB OC OA =++-u u ur u u u r u u u r u u u r 111633OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r ∴111633OG OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r 。
例 4. 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值。
OB C解：∵BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r， ∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 。
||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r。