重庆大学线性代数期末A201501试卷答案

一、 填空题（每小题3分，共18分）

1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=*

A A 212n -

2. 若10022312A x -⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪

⎝⎭

与

03B y ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

相似，则(),x y = （1，-1） . 3. 设3阶矩阵A 的特征值为1,2,3，矩阵*

B E A =-，其中，*A 是A 的伴随矩阵，则B 的行列式B = -10 .

4设向量集合S 为n 维向量空间n

R 的一个子集，则集合S 构成向量空间的充要条件为该集合对向量的加法运算和数乘运算封闭 5. 二次型222

1231231213(,,)222f x x x x x x tx x x x =++-+正定时，t 应满足的条件

是 ||1t <

6. . 实对称阵A 的秩等于r ，又它有m 个负的特征值，则它的符号差为 r — 2m .

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1．设A 是三阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（ D ）

A. 010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.

B. 010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

. C. 010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. D. 011100001⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

. 2．若向量组,,αβγ

线性无关;

,,αβδ

线性相关,则(C )

A ．

α

必可由

,,βγδ线性表示. B.β必不可由,,αγδ

线性表示

C.δ必可由,,αβγ线性表示.

D.

δ必不可由,,αβγ线性表示.

3．设A 是任一(3)n n ≥阶方阵,*

A 是其伴随矩阵,又k 为常数,且0,1k

≠±,则必有

*()kA =（ B ）

A.*kA .

B.1*

n k

A -. C.*n k A . D.1*k A -. 4. 若

4

321ηηηη，，，是线性方程组

=Ax 的基础解系，则

4321ηηηη+++是0=Ax 的（ A ）

A. 解向量

B. 基础解系

C.通解

D. A 的行向量

5. . 3

R 空间中的3维向量（1,2,3）在一组基（3,0,0），（0,2,0），（0,0,1）下的坐标为（ C ）

A. )3,2,1(

B. )1,2,3(

C. )3,1,31(

D. )3

1,21,

1( 6. . 设A 是4阶方阵, 则下列条件中( D )与“秩(A ) = 3”等价. A. A 的列向量组线性无关,

B. 行列式

0=A ,

C. A 的3阶子式都不为零,

D. 齐次线性方程组0=X A 的基础解系中仅含有1个解向量. 三、判断题（每小题2分，共10分）（请在括号内填写“√”或者“×”）

1．设

12,,,m

ααα是

n

维向量组，向量空间

{}112212,,

m m m V R λαλαλαλλλ=++

+∈的维数等于12(,,,)m R ααα

(√ )

2．. 设{

}.n n T M A E A A A V ⨯∈==，对矩阵的数乘和加法，V 构成线性空间. ( × )

3 .任意实方阵对应于不同特征值的特征向量一定正交. ( × ) 4. 若任意矩阵,A B 满足()()R A R B =,则A 与B 等价 ( × )

5. 若实对称矩阵

A 是正定矩阵, 则它所有的特征值一定为正. ( √ )

四、计算题（一）（每小题8分，共16分）

1. 计算行列式行列式

1

111111111111

111x x x x ---+---+--的值

解 1124

1111111111111111111

111111

1

1

1

j

c c c x

j x

x x x x x D x

x x x x

+÷≤≤-----+--+-=

=--------

21

31

41

434210010

(1)

1.1001000

c c c c c c x x x

x x x x x x +⨯-+==⋅-⋅⋅⋅=

利用行列式性质从二阶降为三阶得5分，最后由三阶得到答案3分。答案错误方法正确的一半分数

2. 设,1000110001100011⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=B ⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=200012003120

4312

C 且矩阵X 满足关系式(),T X C B E -= 求X 。

解：()[]

()[]

分）（分），（分），（21210012100120001

41210

012100120001

12

3

401230012000

1)(21000

21003210

43

2

1

11⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-=⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢

⎢⎣⎡=-⎥⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=---T T T B C E X B C B C B C

五、计算题（二）（每小题12分，共24分）

1．问,a b 为何值时,线性方程组

123423423412340,221,(3)2,321

x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ 有唯一解,无解,有无穷多组解?并求出有无穷多组解时的通解.