浙江高三2020年4月稽阳联考数学科试题卷(含答案)

2020年4月稽阳联考数学科试题卷一、选择题：本大题10小题，每小题4分，共40分1．已知全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,0,1}A =-，{1,0}B =-，则()U C A B U = A ．{2,1,1,2}-- B ．{2} C ．{1,2} D ．{0}2． 已知i 为虚数单位，其中(12)z i i +=-，则该复数的共轭复数是A ．2155i + B ．2155i - C ．2155i -+ D ．2155i --3．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积等于A ．323πB ．16643π-C ．6416π-D ．163π4．若,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =-的最大值是A ．0B ．2C ．4D ．55．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()log ()a f x x b =-+的图象是 A ． B ． C ． 6．设0,0a b >>，则“2a b +≥”是“222a b +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．设 10a <<，随机变量X 的分布列为 X -2-112P1 a1a - 1 O y x1-1O y x -1O y x -1O yx-1O yx-1242242正视图俯视图则当a 在1(0,)3增大时，A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大8．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，12,F F 为椭圆的左,右焦点，过2F 的直线交椭圆与,A B 两点，190AF B ∠=o，2223AF F B =u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率是A 25B 5C 310D 109．如图：ABC ∆中，AB BC ⊥，60ACB ︒∠=，D 为AC 中点，ABD ∆沿BD 边翻折过程中，直线AB 与直线BC 所成的最大角，最小角分别记为11,αβ，直线AD 与直线BC所成的最大角，最小角分别记为22,αβ，则有A ．1212,ααββ<≤B ．1212,ααββ<>C ．1212,ααββ≥≤D ．1212,ααββ≥>10．已知数列{}n a 满足：2111n n n n a a a a +=+-+ ，1a a =，则一定存在a ，使数列中： A ．存在*n N ∈，有120n n a a ++<B ．存在*n N ∈，有12(1)(1)0n n a a ++--<C ．存在*n N ∈，有1255()()044n n a a ++--<D ．存在*n N ∈，有1233()()022n n a a ++--<二、填空题：本大题共7小题，多空题6分，单空题每题4分，共36分11．双曲线2213y x -=的焦距是 _________，渐近线方程是____________． 12．已知角α的终边过点(1,2)-，则 tan α=_____________，sin 2α=____________．13．53()2x x展开式中常数项是___________，最大的系数．．是___________． 14．已知ABC ∆中，3,5AB BC ==，D 为线段AC 上一点,AB BD ⊥ ，34AD CD =，则AC = ____________，ABC ∆的面积是___________ ．15．已知函数2()2(0)f x x x a a =++< ，若函数(())y f f x = 有三个零点，则 a =__________．A DCBADCBA16．某学校高一学生2人，高二学生2人，高三学生1人，参加,,A B C 三个志愿点的活动，每个活动点至少1人，最多2人参与，要求同年级学生不去同一志愿点，高三学生不去A 志愿点，则不同的安排方法有__________________种（用数字作答）． 17．如图：已知矩形ABCD 中，1,2AD AB ==，E 为边AB 的中点，P 为边DC 上的动点（不包括端点），DP DC λ=u u u v u u u v（01λ<<），设线段AP 与DE 的交点为G ，则 AG AP ⋅u u u v u u u v的最小值是__________________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）已知函数()sin sin()3f x x x π=++．（Ⅰ）求函数()f x 的周期与()2f π的值；（Ⅱ）若[0,]2x π∈，求函数2()y f x =的取值范围．19．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆为等边三角形，122AB AD CD ===，90BAD ADC ∠=∠=o ，60PDC ∠=o ，E 为BC 中点． （Ⅰ）证明：AD PE ⊥；（Ⅱ）求直线PA 与平面PDE 所成角的大小．20．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足：2132n n n a a a ++=-，121,3a a ==，记1311n n n b a ++=+ ，记nS 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）求证：1{}n n a a +-为等比数列，并求n a ；（Ⅱ）求证：173722n n n S ++≤- ． P GEDCBA21．（本题满分15分）已知抛物线)0(:2>=a ax y C 上的点)1,(b P 到焦点的距离为45． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）如图，已知动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，现过A 作C 的切线，取左边的切点M ，过B 作C 的切线，取右边的切点为N ，当AB MN //，求A 点的横坐标t 的值．22．（本题满分15分）已知函数()23f x x x =--()axg x ke =，a R ∈，k R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 单调区间；（Ⅱ）若12a ≤≤，()1()f x g x -≤对3[,)2x ∈+∞恒成立，求k 的取值范围． （e=2.71828…为自然对数的底数） NMB AO yx参考答案1． B {2,1,0,1}A B =--U ，所以()U C A B U ={2}2． C 211255i z i i -==--+ 3．A 2224322433V πππ⋅⋅=⋅⋅-= 4．D 322zy x =-，有图像知取(1,1)-，最大值为55．D 因01,10a b <<-<<，有图像变换可知6．A 因为 2a b +≥可知2()22a b +≥，而222()2a b a b ++≥，7．C 计算可知2211()3(2)4()336D X a a =--=--+8．B 设22113,2,23,22F A x F B x F A a x F B a x ===-=-，则222(5)(23)(22)x a x a x =-+-，可知3a x =，15,3AB a AF a ==，13cos 5F AB ∠=，15sin 25F AB ∠=，因A 为顶点，则55e = 9．D 翻折到180o 时，,AB BC 所成角最小，可知130β=o ，,AD BC 所成角最小，20β=o ，翻折0o时，,AB BC 所成角最大，可知190α=o ，翻折过程中，可知AD 的投影可与BC 垂直，所以,AD BC 所成最大角290α=o ，所以 1190,30αβ︒︒==，2290,0αβ︒︒==10．C 图像211y x x x =+-+与y x =有两个交点(0,0),(1,1)，利用蛛网图，可知当10a <，则数列递减，所以0n a <，当101a <<，则数列递增，并且n a 趋向1，可知当11a >，则数列递减，并且n a 趋向1，则可知A ，B 错误，又当1x >，221313111()1()2422y x x x x x x x =+-+=+--+<+--=，则当11a >，2a 一定小于32，则之后均小于32，所以D 错 ，对于C 可取132a =，满足要求 11．4,3y x =, 因1,3,2,abc === 12．42,5--由定义知tan 2α=-，sin 55αα==4sin 22sin cos 5ααα==-3211Oyx13．55,42 3234535((42T C x x== ，23T T =的系数最大为5214．5892 设3,4AD x CD x == 在ABC ∆中，由余弦定理可知2125499237x x x=+-⋅⋅⋅，可知587x =,758AC x ==，sin 58A ∠=，193582258S =⋅= 15．15a --=222(1)1t x x a x a =++=++- ()0f t = 可知 11t a =-±-因 ()t f x = ，可 知 11()a f x -±-=有三解，有图像知111a a --=- 解得 15a --=另解：可知((1))0f f -=，2(1)2(1)0a a a -+-+=，0a <，可知152a -=16．40 分高三学生单独去志愿点，或与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，共有111222(2)22C C C +⋅⋅⋅⋅种1731 因AGE ∆与PGD ∆相似，12AG AE GP DP λ==则2211(12)1212AG AP AP λλλ⋅==+++u u u v u u u v u u u v ，令12(13)t t λ=+<<，则22313()13122t t AG AP t t t-+⋅==+-≥u u u v u u u v ，当且仅当，3t =，即31(0,1)λ-=取到 18．（本题满分14分） （Ⅰ）33()sin 3)26f x x x x π==+（3分） 所以函数()f x 的周期为2π，23()3232f ππ== （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ），则()21cos(2)332x y f x π-+==⋅，（10分） 因[0,]2x π∈， 42[,]333x πππ+∈，1cos(2)[1,]32x π+∈-（12分） 则()2y f x =的取值范围为3[,3]4（14分）（Ⅱ）另解：因[0,]2x π∈， 2[,]663x πππ+∈33)3]62x π+∈（11分）则()23[,3]4y f x =∈（14分） 19．（本题满分15分）解法（1）：（Ⅰ）证：取AD 的中点O ，连结,,PO EO 由,,PO AD EO AD PO EO O ⊥⊥=I 可知AD ⊥面,PEO 且PE ⊂面,PEO 则AD PE ⊥.（6分）（Ⅱ）法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（ 8分）作,,PQ CD PH OE ⊥⊥连HQ ，因PH ABCD ⊥平面，知HQ CD ⊥，由60PDC ∠=o 知1DQ =，1OH DQ ==，由3PO =,在Rt PHO ∆中，可知2PH =,则()1,0,2P （10分）()0,1,0A -，()0,1,0D ，()3,0,0E ,则()()()1,1,2,3,1,0,1,1,2PD DE PA =--=-=---u u u r u u u r u u u r设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r，则30--2z=0x y x y -=⎧⎪⎨+⎪⎩得()1,3,2n =r 为其中一个法向量，（12分）设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则3sin cos ,,PA n PA n PA nθ⋅===⋅u u u r ru u u r r u u u r r （14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 法二：（体积法）设点A 到面PDE 的距离为h ，法一中已知点P 到面ABCD 的距离PH 为2，则6PE =（9分）PDE ∆中，2,10,6PD DE PE ===,所以PDE ∆为直角三角形，由A PDE P ADE V V --=可知111126223233322PDE ADE S h S h h ∆∆⋅=⋅⇒⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⇒=，（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则3sin h PA θ==,（14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 20．（本题满分15分）（Ⅰ）因为2112()n n n n a a a a +++-=- ，所以数列1{}n n a a +-是公比为2的等比数列，（3分）则11222n n n n a a -+-=⋅=， 121211()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L =21n- （7分）（Ⅱ）法1：因34373431n n n n +++>+++，所以34373431n n n n <++++++则3734343133n n n n ++++<3137234n n n +++10分）又31313737234373437n n n n n n n n n b ++++-++-+++==<= （13分） 71010133437737(((n n n n S +++≤+++=K （15分） 法（2）（数学归纳法）31n n b +=，737n n S +≤ ①当1n =时，14S =71041027<只要证：22410)(27)<407<，所以1n =成立（9分）②假设n k =成立，即173722k k k S ++<-， 则当1n k =+，121234737342222k k k k k k k k S S +++++++=+<-+，要证：12731022k k k S +++<-，只要3431037k k k +++<34310237k k k +++ 只要证：234310614k k k ++<+成立，所以当1n k =+成立（14分）由①②可知，737n n S +≤对*n N ∈成立（15分）21．（本题满分15分）（1）抛物线2:ax y C =即y a x 12=，准线方程为：a y 41-=，Θ点)1,(b P 到焦点的距离为45，1,45411=∴=+∴a a ∴抛物线C 的方程为2x y =（4分） （Ⅱ）解1：设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分）由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ，22)2(442221+--=---=∴t t t t t t x ，同理可得212)1()1(1222++++=++-+++=t t t t t t x ，（10分）21122122x x x x x x k MN+=--=Θ，当AB MN //时，1=MN k ，得121=+x x （12分）22+--∴t t t 1212=+++++t t t ，22222++-+-=∴t t t t t ，222222++++--=∴t t t t tt 得0=t 或22+-∴t t 122-=+++t t （舍去）0=∴t （15分）解法2：设设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴ ∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分） 由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ，（11分）同理：2222(1)10x t x t -++-=，两式相减，可知22121222()+210x x t x x x ----=，因为121=+x x ，所以122()0t x x --=，则0t =（15分）22．（本题满分15分）（1）()23f x x x =--23()12323x f x x x -'==--，所以当0a ≤， ()0f x '≥，则3[,)2+∞上递增，当0a >，()0f x '=，232a x +=，所以233[,)22a +递减，23[,)2a ++∞递增（6分） （Ⅱ）()1()f x g x -≤，可知123axx a x ke ---≤，对3[,)x ∈+∞恒成立，取3x =，NMB AOyxNMBAO yx可知32102a k e≥>（7分）因1a ≥，则2323,ax x x x ke ke -≥-≥，则1231230ax x x a x ke x x ke ---≤--≤， 123x x x ke ---≤，（10分）123x x k ---≤，（11分）设123()x x x h x e ---=，(2)(232)()23xx x h x e x ---'=-， ()0h x '=可知2x =，72x =，则函数在3[,2)2递减，7[2,)2递增，7[,)2+∞递减， 所以max 37322237111()max{(),()}max{,}22222h x h h ee e===，所以3212k e≥（15分）2020年5月稽阳联考数学答案解析1． B {2,1,0,1}A B =--U ，所以()U C A B U ={2}2． C 211255i z i i -==--+ 3．A 2224322433V πππ⋅⋅=⋅⋅-= 4．D 322zy x =-，有图像知取(1,1)-，最大值为55．D 因01,10a b <<-<<，有图像变换可知6．A 因为 2a b +≥可知2()22a b +≥，而222()2a b a b ++≥，7．C 计算可知2211()3(2)4()336D X a a =--=--+8．B 设22113,2,23,22F A x F B x F A a x F B a x ===-=-，则222(5)(23)(22)x a x a x =-+-，可知3a x =，15,3AB a AF a ==，13cos 5F AB ∠=，15sin 25F AB ∠=，因A 为顶点，则55e = 9．D 翻折到180o 时，,AB BC 所成角最小，可知130β=o ，,AD BC 所成角最小，20β=o ，翻折0o时，,AB BC 所成角最大，可知190α=o ，翻折过程中，可知AD 的投影可与BC 垂直，所以,AD BC 所成最大角290α=o ，所以 1190,30αβ︒︒==，2290,0αβ︒︒==10．C 图像211y x x x =+-+与y x =有两个交点(0,0),(1,1)，利用蛛网图，可知当10a <，则数列递减，所以0n a <，当101a <<，则数列递增，并且n a 趋向1，可知当11a >，则数列递减，并且n a 趋向1，则可知A ，B 错误，又当1x >，221313111()1()2422y x x x x x x x =+-+=+--+<+--=，则当11a >，2a 一定小于32，则之后均小于32，所以D 错 ，对于C 可取132a =，满足要求 11．4,3y x =, 因1,3,2,abc === 12．42,5--由定义知tan 2α=-，sin 55αα==4sin 22sin cos 5ααα==-3211Oyx13．55,42 3234535((42T C x x== ，23T T =的系数最大为5214．5892 设3,4AD x CD x == 在ABC ∆中，由余弦定理可知2125499237x x x=+-⋅⋅⋅，可知587x =,758AC x ==，sin 58A ∠=，193582258S =⋅= 15．15a --=222(1)1t x x a x a =++=++- ()0f t = 可知 11t a =-±-因 ()t f x = ，可 知 11()a f x -±-=有三解，有图像知111a a --=- 解得 15a --=另解：可知((1))0f f -=，2(1)2(1)0a a a -+-+=，0a <，可知152a -=16．40 分高三学生单独去志愿点，或与其它年级学生合去志愿点，按先分组再分到志愿点的思路，共有111222(2)22C C C +⋅⋅⋅⋅种1731 因AGE ∆与PGD ∆相似，12AG AE GP DP λ==则2211(12)1212AG AP AP λλλ⋅==+++u u u v u u u v u u u v ，令12(13)t t λ=+<<，则22313()13122t t AG AP t t t-+⋅==+-≥u u u v u u u v ，当且仅当，3t =，即31(0,1)λ-=取到 18．（本题满分14分） （Ⅰ）33()sin 3)26f x x x x π==+（3分） 所以函数()f x 的周期为2π，23()3232f ππ== （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ），则()21cos(2)332x y f x π-+==⋅，（10分） 因[0,]2x π∈， 42[,]333x πππ+∈，1cos(2)[1,]32x π+∈-（12分） 则()2y f x =的取值范围为3[,3]4（14分）（Ⅱ）另解：因[0,]2x π∈， 2[,]663x πππ+∈33)3]62x π+∈（11分）则()23[,3]4y f x =∈（14分） 19．（本题满分15分）解法（1）：（Ⅰ）证：取AD 的中点O ，连结,,PO EO 由,,PO AD EO AD PO EO O ⊥⊥=I 可知AD ⊥面,PEO 且PE ⊂面,PEO 则AD PE ⊥.（6分）（Ⅱ）法一：以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，（ 8分）作,,PQ CD PH OE ⊥⊥连HQ ，因PH ABCD ⊥平面，知HQ CD ⊥，由60PDC ∠=o 知1DQ =，1OH DQ ==，由3PO =,在Rt PHO ∆中，可知2PH =,则()1,0,2P （10分）()0,1,0A -，()0,1,0D ，()3,0,0E ,则()()()1,1,2,3,1,0,1,1,2PD DE PA =--=-=---u u u r u u u r u u u r设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =r，则30--2z=0x y x y -=⎧⎪⎨+⎪⎩得()1,3,2n =r 为其中一个法向量，（12分）设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则3sin cos ,,PA n PA n PA nθ⋅===⋅u u u r ru u u r r u u u r r （14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 法二：（体积法）设点A 到面PDE 的距离为h ，法一中已知点P 到面ABCD 的距离PH 为2，则6PE =（9分）PDE ∆中，2,10,6PD DE PE ===,所以PDE ∆为直角三角形，由A PDE P ADE V V --=可知111126223233322PDE ADE S h S h h ∆∆⋅=⋅⇒⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⇒=，（12分） 设直线PA 与平面PDE 所成角为θ，则3sin h PA θ==,（14分） 则直线PA 与平面PDE 所成角为60o .（15分） 20．（本题满分15分）（Ⅰ）因为2112()n n n n a a a a +++-=- ，所以数列1{}n n a a +-是公比为2的等比数列，（3分）则11222n n n n a a -+-=⋅=， 121211()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L =21n- （7分）（Ⅱ）法1：因34373431n n n n +++>+++，所以34373431n n n n <++++++则3734343133n n n n ++++<3137234n n n +++10分）又31313737234373437n n n n n n n n n b ++++-++-+++==<= （13分） 71010133437737(((n n n n S +++≤+++=K （15分） 法（2）（数学归纳法）31n n b +=，737n n S +≤ ①当1n =时，14S =71041027<只要证：22410)(27)<407<，所以1n =成立（9分）②假设n k =成立，即173722k k k S ++<-， 则当1n k =+，121234737342222k k k k k k k k S S +++++++=+<-+，要证：12731022k k k S +++<-，只要3431037k k k +++<34310237k k k +++ 只要证：234310614k k k ++<+成立，所以当1n k =+成立（14分）由①②可知，737n n S +≤对*n N ∈成立（15分）21．（本题满分15分）（1）抛物线2:ax y C =即y a x 12=，准线方程为：a y 41-=，Θ点)1,(b P 到焦点的距离为45，1,45411=∴=+∴a a ∴抛物线C 的方程为2x y =（4分） （Ⅱ）解1：设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分）由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ，22)2(442221+--=---=∴t t t t t t x ，同理可得212)1()1(1222++++=++-+++=t t t t t t x ，（10分）21122122x x x x x x k MN+=--=Θ，当AB MN //时，1=MN k ，得121=+x x （12分）22+--∴t t t 1212=+++++t t t ，22222++-+-=∴t t t t t ，222222++++--=∴t t t t tt 得0=t 或22+-∴t t 122-=+++t t （舍去）0=∴t （15分）解法2：设设),(),,(222211x x N x x M ，Θ2x y =，x y 2='∴，,21x k AM =∴∴切线AM 的方程为：)(21121x x x x y -=-，即2112x x x y -=，同理可得切线BN 的方程为：2222x x x y -=（7分）由于动线段AB （B 在A 右边）在直线:l 2-=x y 上，且2||=AB ，故可设)2,(-t t A ，)1,1(-+t t B将)2,(-t t A 代入切线AM 的方程得21122x t x t -=-，即022121=-+-t tx x ，（11分）同理：2222(1)10x t x t -++-=，两式相减，可知22121222()+210x x t x x x ----=，因为121=+x x ，所以122()0t x x --=，则0t =（15分）22．（本题满分15分）（1）()23f x x a x =--，23()12323x af x x x --'=-=--，所以当0a ≤， ()0f x '≥，则3[,)2+∞上递增，当0a >，()0f x '=，232a x +=，所以233[,)22a +递减，23[,)2a ++∞递增（6分） （Ⅱ）()1()f x g x -≤，可知123axx a x ke ---≤，对3[,)2x ∈+∞恒成立，取32x =，可知32102a k e≥>（7分）因1a ≥，则2323,ax x x x ke ke -≥-≥，则1231230ax x x a x ke x x ke ---≤--≤， 123x x x ke ---≤，（10分）123x x k ---≤，（11分）设123()x x x h x e ---=，(2)(232)()23xx x h x e x ---'=-， ()0h x '=可知2x =，72x =，则函数在3[,2)2递减，7[2,)2递增，7[,)2+∞递减， 所以max 37322237111()max{(),()}max{,}22222h x h h ee e===，所以3212k e≥（15分）。