【人教必修二A版】平面向量及其应用 章末复习提升课
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第六章 平面向量及其应用
(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量 a，
b 的夹角为23π，且 a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )
A． 3
B．2 3
C．3
D．4
解析：选 D.因为 a·(a－b)＝8，
所以 a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，
所以|A→D|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝
4×3－2×2×
3×cos
π6＋4＝4，则|A→D|＝2.
【答案】 A
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第六章 平面向量及其应用
解决向量模的问题常用的策略 (1)应用公式：|a|＝ x2＋y2(其中 a＝(x，y))． (2)应用三角形法则或平行四边形法则． (3)应用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (4)研究模的平方|a±b|2＝(a±b)2.
D.14A→B＋34A→C
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第六章 平面向量及其应用
(2)如图所示，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中
点，若A→C＝λA→M＋μB→D，则 λ＋μ＝( )
4
5
A.3
B.3
15
C. 8
D.2
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第六章 平面向量及其应用
【解析】 (1)法一：如图所示，E→B＝E→D＋D→B＝ 12A→D＋12C→B＝12×12(A→B＋A→C)＋12(A→B－A→C)＝34A→B －14A→C，故选 A. 法二：E→B＝A→B－A→E＝A→B－12A→D＝A→B－12×12(A→B＋A→C)＝34A→B－ 14A→C，故选 A.
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第六章 平面向量及其应用
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c.若△ABC
的面积为a2＋b2－c2，则 4
C＝(
)
π
π
A.2
B.3
π
π
C.4
D.6
解析：选 C.根据题意及三角形的面积公式知12absin C＝a2＋b42－c2，
所以 sin C＝a2＋2ba2b－c2＝cos C，所以在△ABC 中，C＝π4.
所以 cos θ＝12，又 0°≤θ≤180°，所以 a 与 b 的夹角为 60°. 【答案】 (1)B (2)C
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第六章 平面向量及其应用
解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积 为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角 坐标系)，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．
章末复习提升课
第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
平面向量的线性运算
(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的
中线，E 为 AD 的中点，则E→B＝( )
A.34A→B－14A→C
B.14A→B－34A→C
C.34A→B＋14A→C
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第六章 平面向量及其应用
2．(2019·东北三省三校检测)已知非零向量 a，b 满足|a－b|＝|a|， a·(a－b)＝0，则 a－b 与 b 夹角的大小为________． 解析：因为非零向量 a，b 满足 a·(a－b)＝0，所以 a2＝a·b，由|a －b|＝|a|可得 a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝ 2|a|，设 a－b 与 b 的 夹角为 θ，则 cos θ＝（|aa－－bb|）|b|·b＝a·b|a－||b||b|2＝|a|2－2|a2||2a|2＝－ 22， 又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝135°. 答案：135°
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第六章 平面向量及其应用
因为 E 在 CD 上，所以 23≤y≤
3，由C→E∥D→C，得(x－1)
3－
3
2
＝32(y－ 3)，即 x＝ 3y－2，因为A→E＝(x，y)，B→E＝(x－1，y)，
所以A→E·B→E＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝( 3y－2)2－ 3y＋
因为 0°＜C＜120°，
所以 sin(C＋60°)＝ 22，故
sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°
＝
6＋ 4
2 .
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第六章 平面向量及其应用
判断三角形的形状 在△ABC 中，若已知 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C， 试判断三角形的形状．
1)．若(a＋kb)∥c，则实数 k 的值为( )
A．2
B．12
C．141
D．－141
解析：选 B.由题意知，a＋kb＝(2，－1)＋k(1，1)＝(k＋2，k－1)，
由(a＋kb)∥c，得－5(k－1)＝k＋2，解得 k＝12，故选 B.
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第六章 平面向量及其应用
平面向量数量积的运算
如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，
C．60°
D．以上都不对
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第六章 平面向量及其应用
【解析】 (1)因为 m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，(m ＋n)⊥(m－n)， 所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得 λ＝－3. (2)设向量 a 与 b 的夹角为 θ，因为 a＋b＋c＝0， 所以 c＝－(a＋b)，所以 c2＝(a＋b)2， 即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ， 所以 19＝4＋9＋12cos θ，
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第六章 平面向量及其应用
向量的长度(模)与距离的问题
已知平面向量 a，b 的夹角为π6，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC
中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
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第六章 平面向量及其应用
【解析】 因为A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
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第六章 平面向量及其应用
1．设向量 a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若 a⊥(ma－b)，则 m＝________． 解析：因为 a＝(1，0)，b＝(－1，m)，所以 ma－b＝ (m＋1，－m)． 由 a⊥(ma－b)得 a·(ma－b)＝0， 即 m＋1＝0，得 m＝－1. 答案：－1
所以 4＋2|b|×12＝8，解得|b|＝4.
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第六章 平面向量及其应用
利用正、余弦定理解三角形 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， asin A＋csin C－ 2asin C＝bsin B. (1)求角 B 的大小； (2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点 E 为边
CD 上的动点，则A→E·B→E的最小值为( )
A.2116
B.32
C.2156
D.3
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第六章 平面向量及其应用
【解析】 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，
建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形 ABCD 中，AB＝AD＝1，∠BAD
2＋y2＝4y2－5
3y＋6，令 f(y)＝4y2－5
3y＋6，y∈
23，
3.
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第六章 平面向量及其应用
因为函数
f(y) ＝ 4y2 － 5
3y＋6
在
23，5
8
3
上
单
调
递
减
，
在
5
8
3，
3上单调递增，所以
f(y)min＝4×5
8
32－5
3×5 8 3＋6
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第六章 平面向量及其应用
(2)因为A→C＝λA→M＋μB→D＝λ(A→B＋B→M)＋μ(B→A＋A→D)＝λ(A→B
＋12A→D)＋μ(－A→B＋A→D)＝(λ－μ)
→ AB
＋
12λ＋μA→D，且A→C
＝A→B＋A→D，所以λ12－λ＋μμ＝＝1， 1 得λμ＝＝4313，，所以 λ＋μ＝53，故选
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第六章 平面向量及其应用
向量的夹角及垂直问题
(1)已知向量 m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m
－n)，则 λ＝( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
(2)已知 a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝ 19，则向量 a 与 b 的
夹角为( )
A．30°
B．45°
B.
【答案】 (1)A (2)B
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第六章 平面向量及其应用
向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线 性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律 的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
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第六章 平面向量及其应用
已知平面向量 a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，
＝2116.
所以A→E·B→E的最小值为2116，故选 A. 【答案】 A
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第六章 平面向量及其应用
向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角 θ 时，可利用定义法求解，即 a·b＝ |a||b|cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2.
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第六章 平面向量及其应用
1．已知向量 a，b 的夹角为34π，|a|＝ 2，|b|＝2，则 a·(a－2b) ＝________．
解析：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2×
2×2×－
Baidu Nhomakorabea
22＝6.
答案：6
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第六章 平面向量及其应用
2．设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4，若点 M， N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于________． 解析：A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋34A→D， N→M＝C→M－C→N＝－14A→D＋13A→B， 所以A→M·N→M＝14(4A→B＋3A→D)·112(4A→B－3A→D)＝418(16A→B2－9A→D2) ＝418(16×62－9×42)＝9. 答案：9
＝120°，所以 A(0，0)，B(1，0)，D－12， 23，设
C(1，m)，E(x，y)，所以D→C＝32，m－
23，A→D＝－12，
3， 2
因为 AD⊥CD，所以32，m－ 23·－12， 23＝0，即32×－12＋
23m－ 23＝0，解得 m＝ 3，即 C(1， 3)，
6 .
故 a＝bssiinnBA＝1＋ 3.
又 C＝180°－45°－75°＝60°，
所以 c＝bssiinnBC＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.
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第六章 平面向量及其应用
解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知 A，B 和 c，由 A＋B＋C＝π 求 C， 由正弦定理求 a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a，b 和 C，应先用余弦定 理求 c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A＋B ＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知 a，b 和 A，应先用正弦 定理求 B，由 A＋B＋C＝π 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c， 要注意解可能有多种情况． (4)已知三边 a，b，c，可应用余弦定理求 A，B，C.
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第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)由正弦定理得 a2＋c2－ 2ac＝b2.
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝ 22，所以 B＝45°.
(2)因为 sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋
cos 30°·sin 45°＝
2＋ 4
因为 0°＜A＜180°，所以 A＝60°.
(2) 由 (1) 知 B ＝ 120 ° － C ， 由 题 设 及 正 弦 定 理 得 2 sin A ＋
sin(120°－C)＝2sin
C，即
26＋
3 2 cos
C＋12sin
C＝2sin
C，可得
cos(C＋60°)＝－ 22.
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求 A； (2)若 2a＋b＝2c，求 sin C.
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第六章 平面向量及其应用
解：(1)由已知得 sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理 得 b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12.
第六章 平面向量及其应用
(2019·河南八市重点高中质检)已知平面向量 a，
b 的夹角为23π，且 a·(a－b)＝8，|a|＝2，则|b|等于( )
A． 3
B．2 3
C．3
D．4
解析：选 D.因为 a·(a－b)＝8，
所以 a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，
所以|A→D|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝
4×3－2×2×
3×cos
π6＋4＝4，则|A→D|＝2.
【答案】 A
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第六章 平面向量及其应用
解决向量模的问题常用的策略 (1)应用公式：|a|＝ x2＋y2(其中 a＝(x，y))． (2)应用三角形法则或平行四边形法则． (3)应用向量不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. (4)研究模的平方|a±b|2＝(a±b)2.
D.14A→B＋34A→C
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第六章 平面向量及其应用
(2)如图所示，在正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中
点，若A→C＝λA→M＋μB→D，则 λ＋μ＝( )
4
5
A.3
B.3
15
C. 8
D.2
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第六章 平面向量及其应用
【解析】 (1)法一：如图所示，E→B＝E→D＋D→B＝ 12A→D＋12C→B＝12×12(A→B＋A→C)＋12(A→B－A→C)＝34A→B －14A→C，故选 A. 法二：E→B＝A→B－A→E＝A→B－12A→D＝A→B－12×12(A→B＋A→C)＝34A→B－ 14A→C，故选 A.
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第六章 平面向量及其应用
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，
b，c.若△ABC
的面积为a2＋b2－c2，则 4
C＝(
)
π
π
A.2
B.3
π
π
C.4
D.6
解析：选 C.根据题意及三角形的面积公式知12absin C＝a2＋b42－c2，
所以 sin C＝a2＋2ba2b－c2＝cos C，所以在△ABC 中，C＝π4.
所以 cos θ＝12，又 0°≤θ≤180°，所以 a 与 b 的夹角为 60°. 【答案】 (1)B (2)C
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第六章 平面向量及其应用
解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积 为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角 坐标系)，将它转化为“x1x2＋y1y2＝0”较为简单．
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
平面向量的线性运算
(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的
中线，E 为 AD 的中点，则E→B＝( )
A.34A→B－14A→C
B.14A→B－34A→C
C.34A→B＋14A→C
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第六章 平面向量及其应用
2．(2019·东北三省三校检测)已知非零向量 a，b 满足|a－b|＝|a|， a·(a－b)＝0，则 a－b 与 b 夹角的大小为________． 解析：因为非零向量 a，b 满足 a·(a－b)＝0，所以 a2＝a·b，由|a －b|＝|a|可得 a2－2a·b＋b2＝a2，解得|b|＝ 2|a|，设 a－b 与 b 的 夹角为 θ，则 cos θ＝（|aa－－bb|）|b|·b＝a·b|a－||b||b|2＝|a|2－2|a2||2a|2＝－ 22， 又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝135°. 答案：135°
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第六章 平面向量及其应用
因为 E 在 CD 上，所以 23≤y≤
3，由C→E∥D→C，得(x－1)
3－
3
2
＝32(y－ 3)，即 x＝ 3y－2，因为A→E＝(x，y)，B→E＝(x－1，y)，
所以A→E·B→E＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝( 3y－2)2－ 3y＋
因为 0°＜C＜120°，
所以 sin(C＋60°)＝ 22，故
sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°
＝
6＋ 4
2 .
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第六章 平面向量及其应用
判断三角形的形状 在△ABC 中，若已知 b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C， 试判断三角形的形状．
1)．若(a＋kb)∥c，则实数 k 的值为( )
A．2
B．12
C．141
D．－141
解析：选 B.由题意知，a＋kb＝(2，－1)＋k(1，1)＝(k＋2，k－1)，
由(a＋kb)∥c，得－5(k－1)＝k＋2，解得 k＝12，故选 B.
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第六章 平面向量及其应用
平面向量数量积的运算
如图，在平面四边形 ABCD 中，AB⊥BC，
C．60°
D．以上都不对
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第六章 平面向量及其应用
【解析】 (1)因为 m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，(m ＋n)⊥(m－n)， 所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得 λ＝－3. (2)设向量 a 与 b 的夹角为 θ，因为 a＋b＋c＝0， 所以 c＝－(a＋b)，所以 c2＝(a＋b)2， 即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ， 所以 19＝4＋9＋12cos θ，
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第六章 平面向量及其应用
向量的长度(模)与距离的问题
已知平面向量 a，b 的夹角为π6，且|a|＝ 3，|b|＝2，在△ABC
中，A→B＝2a＋2b，A→C＝2a－6b，D 为 BC 的中点，则|A→D|等于( )
A．2
B．4
C．6
D．8
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第六章 平面向量及其应用
【解析】 因为A→D＝12(A→B＋A→C)＝12(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，
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第六章 平面向量及其应用
1．设向量 a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若 a⊥(ma－b)，则 m＝________． 解析：因为 a＝(1，0)，b＝(－1，m)，所以 ma－b＝ (m＋1，－m)． 由 a⊥(ma－b)得 a·(ma－b)＝0， 即 m＋1＝0，得 m＝－1. 答案：－1
所以 4＋2|b|×12＝8，解得|b|＝4.
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第六章 平面向量及其应用
利用正、余弦定理解三角形 已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， asin A＋csin C－ 2asin C＝bsin B. (1)求角 B 的大小； (2)若 A＝75°，b＝2，求 a，c.
AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点 E 为边
CD 上的动点，则A→E·B→E的最小值为( )
A.2116
B.32
C.2156
D.3
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
【解析】 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，
建立如图的平面直角坐标系，
因为在平面四边形 ABCD 中，AB＝AD＝1，∠BAD
2＋y2＝4y2－5
3y＋6，令 f(y)＝4y2－5
3y＋6，y∈
23，
3.
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第六章 平面向量及其应用
因为函数
f(y) ＝ 4y2 － 5
3y＋6
在
23，5
8
3
上
单
调
递
减
，
在
5
8
3，
3上单调递增，所以
f(y)min＝4×5
8
32－5
3×5 8 3＋6
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第六章 平面向量及其应用
(2)因为A→C＝λA→M＋μB→D＝λ(A→B＋B→M)＋μ(B→A＋A→D)＝λ(A→B
＋12A→D)＋μ(－A→B＋A→D)＝(λ－μ)
→ AB
＋
12λ＋μA→D，且A→C
＝A→B＋A→D，所以λ12－λ＋μμ＝＝1， 1 得λμ＝＝4313，，所以 λ＋μ＝53，故选
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第六章 平面向量及其应用
向量的夹角及垂直问题
(1)已知向量 m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m
－n)，则 λ＝( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
(2)已知 a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝ 19，则向量 a 与 b 的
夹角为( )
A．30°
B．45°
B.
【答案】 (1)A (2)B
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第六章 平面向量及其应用
向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线 性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律 的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
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第六章 平面向量及其应用
已知平面向量 a＝(2，－1)，b＝(1，1)，c＝(－5，
＝2116.
所以A→E·B→E的最小值为2116，故选 A. 【答案】 A
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第六章 平面向量及其应用
向量数量积的两种计算方法 (1)当已知向量的模和夹角 θ 时，可利用定义法求解，即 a·b＝ |a||b|cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2.
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第六章 平面向量及其应用
1．已知向量 a，b 的夹角为34π，|a|＝ 2，|b|＝2，则 a·(a－2b) ＝________．
解析：a·(a－2b)＝a2－2a·b＝2－2×
2×2×－
Baidu Nhomakorabea
22＝6.
答案：6
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第六章 平面向量及其应用
2．设四边形 ABCD 为平行四边形，|A→B|＝6，|A→D|＝4，若点 M， N 满足B→M＝3M→C，D→N＝2N→C，则A→M·N→M等于________． 解析：A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋34A→D， N→M＝C→M－C→N＝－14A→D＋13A→B， 所以A→M·N→M＝14(4A→B＋3A→D)·112(4A→B－3A→D)＝418(16A→B2－9A→D2) ＝418(16×62－9×42)＝9. 答案：9
＝120°，所以 A(0，0)，B(1，0)，D－12， 23，设
C(1，m)，E(x，y)，所以D→C＝32，m－
23，A→D＝－12，
3， 2
因为 AD⊥CD，所以32，m－ 23·－12， 23＝0，即32×－12＋
23m－ 23＝0，解得 m＝ 3，即 C(1， 3)，
6 .
故 a＝bssiinnBA＝1＋ 3.
又 C＝180°－45°－75°＝60°，
所以 c＝bssiinnBC＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.
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第六章 平面向量及其应用
解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知 A，B 和 c，由 A＋B＋C＝π 求 C， 由正弦定理求 a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知 a，b 和 C，应先用余弦定 理求 c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A＋B ＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知 a，b 和 A，应先用正弦 定理求 B，由 A＋B＋C＝π 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c， 要注意解可能有多种情况． (4)已知三边 a，b，c，可应用余弦定理求 A，B，C.
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第六章 平面向量及其应用
【解】 (1)由正弦定理得 a2＋c2－ 2ac＝b2.
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B.
故 cos B＝ 22，所以 B＝45°.
(2)因为 sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋
cos 30°·sin 45°＝
2＋ 4
因为 0°＜A＜180°，所以 A＝60°.
(2) 由 (1) 知 B ＝ 120 ° － C ， 由 题 设 及 正 弦 定 理 得 2 sin A ＋
sin(120°－C)＝2sin
C，即
26＋
3 2 cos
C＋12sin
C＝2sin
C，可得
cos(C＋60°)＝－ 22.
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第六章 平面向量及其应用
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第六章 平面向量及其应用
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求 A； (2)若 2a＋b＝2c，求 sin C.
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第六章 平面向量及其应用
解：(1)由已知得 sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理 得 b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝12.