【开题报告】最小生成树算法及其应用
最小生成树 实验报告
最小生成树实验报告最小生成树实验报告一、引言最小生成树是图论中的一个重要概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
本次实验旨在通过编程实现最小生成树算法，并通过实验数据对算法进行分析和评估。
二、算法介绍最小生成树算法的目标是在给定的带权无向图中找到一棵生成树，使得树上所有边的权重之和最小。
本次实验我们选择了两种经典的最小生成树算法：Prim 算法和Kruskal算法。
1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，它从一个顶点开始，逐步扩展生成树的规模，直到包含所有顶点为止。
算法的具体步骤如下：（1）选择一个起始顶点，将其加入生成树中。
（2）从与生成树相邻的顶点中选择一个权重最小的边，将其加入生成树中。
（3）重复上述步骤，直到生成树包含所有顶点。
2. Kruskal算法Kruskal算法是一种基于并查集的贪心算法，它首先将图中的边按权重从小到大进行排序，然后逐个加入生成树中，直到生成树包含所有顶点为止。
算法的具体步骤如下：（1）将图中的边按权重从小到大进行排序。
（2）逐个加入边，如果该边的两个顶点不在同一个连通分量中，则将其加入生成树中。
（3）重复上述步骤，直到生成树包含所有顶点。
三、实验过程本次实验我们使用C++语言实现了Prim算法和Kruskal算法，并通过随机生成的图数据进行了测试。
1. Prim算法的实现我们首先使用邻接矩阵表示图的结构，然后利用优先队列来选择权重最小的边。
具体实现过程如下：（1）创建一个优先队列，用于存储生成树的候选边。
（2）选择一个起始顶点，将其加入生成树中。
（3）将与生成树相邻的顶点及其边加入优先队列。
（4）从优先队列中选择权重最小的边，将其加入生成树中，并更新优先队列。
（5）重复上述步骤，直到生成树包含所有顶点。
2. Kruskal算法的实现我们使用并查集来维护顶点之间的连通关系，通过排序后的边序列来逐个加入生成树中。
具体实现过程如下：（1）将图中的边按权重从小到大进行排序。
最小生成树 实验报告
最小生成树（Minimum Spanning Tree）实验报告1. 实验目的本实验旨在通过实践掌握最小生成树算法的基本原理和实现方法。
最小生成树是图论中的一个重要概念，用于解决具有权重的连通图的最优路径问题。
通过本实验，我们将学习如何使用最小生成树算法找到一棵连接图的所有节点且总权重最小的树。
2. 实验原理最小生成树是一个连通图的一种生成树，它的所有边的权重之和最小。
最小生成树的求解算法有多种，其中两种常用的算法是 Prim 算法和 Kruskal 算法。
2.1 Prim 算法Prim 算法是一种贪心算法，从一个节点开始，逐步扩展最小生成树的边。
具体步骤如下： 1. 选择一个起始节点作为最小生成树的根节点。
2. 在当前最小生成树的所有节点中选择一个与该树相连接的权重最小的边，将其加入最小生成树。
3. 将该节点标记为已访问。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直到所有节点都被访问。
2.2 Kruskal 算法Kruskal 算法也是一种贪心算法，通过不断选择权重最小的边来构建最小生成树。
具体步骤如下： 1. 对所有边按照权重进行排序。
2. 依次选择权重最小的边，如果该边的两个端点不在同一个连通分量中，则将该边加入最小生成树，并将这两个端点合并到同一个连通分量中。
3. 重复步骤 2，直到所有节点都在同一个连通分量中，即最小生成树构建完成。
3. 实验步骤本实验将使用 Prim 算法和 Kruskal 算法分别求解给定图的最小生成树。
3.1 数据准备首先，我们需要准备一个具有权重的连通图作为实验数据。
假设该图有 n 个节点和 m 条边，我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示这个图。
3.2 Prim 算法求解最小生成树1.首先，选择一个起始节点作为最小生成树的根节点，并将该节点标记为已访问。
2.初始化一个空的最小生成树，用于存储最终的结果。
3.重复以下步骤，直到所有节点都被访问：1.在当前最小生成树的所有节点中选择一个与该树相连接的权重最小的边，将其加入最小生成树。
最小生成树算法实验报告
最小生成树算法实验报告【实验报告】最小生成树算法实验一、实验目的本次实验旨在研究最小生成树算法，通过对比不同的算法，并对实验结果进行分析，探索最小生成树算法的优劣势和适应场景。
二、实验过程1.算法介绍本次实验中我们将使用两种最小生成树算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
- 普里姆算法（Prim算法）：从一个顶点开始，不断在剩下的顶点中选择到当前已有的最小生成树的距离最小的边，将该边的另一个顶点加入树中，直到所有的顶点都加入树中。
- 克鲁斯卡尔算法（Kruskal算法）：首先将所有边按照权值从小到大进行排序，然后以最小权值的边开始，依次选择权值最小且不会形成环路的边，直到找到n-1条边为止，其中n为顶点数。
2.实验步骤首先，我们使用Python语言实现了普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
然后，我们构造了一些测试用例，包括不同规模的图和不同权值分布的图。
最后，我们对实验结果进行对比分析。
三、实验结果1.测试用例设计我们设计了三个测试用例，分别为小规模图、中规模图和大规模图，具体如下：-小规模图：顶点数为5的图，权值随机分布。
-中规模图：顶点数为50的图，权值随机分布。
-大规模图：顶点数为100的图，权值随机分布。
2.实验结果分析我们的实验结果如下表所示：算法，小规模图，中规模图，大规模图:-------:，:------:，:------:，:------:普里姆算法，13，455，703从实验结果可以看出，对于小规模图和中规模图，普里姆算法的运行时间明显低于克鲁斯卡尔算法。
但是对于大规模图，克鲁斯卡尔算法的运行时间与普里姆算法的运行时间差距不大，甚至略小于普里姆算法。
这是因为克鲁斯卡尔算法中排序边的时间复杂度为O(ElogE)，而普里姆算法中筛选最小距离的边的时间复杂度为O(V^2)。
综上所述，普里姆算法适用于较小规模的图，而克鲁斯卡尔算法适用于较大规模的图。
四、实验总结本次实验研究了最小生成树算法，通过对比实验结果，我们发现不同算法在不同规模的图上的表现有所差异。
最小生成树算法及其应用
①
中地 区 用 图 的 顶 点 表 示 ， 区 间 的 路 径 用 边 表 示 ， 地 相 应 的 代 价 用 赋 于 边 的 权 值 表 示 。 ｎ个 顶 点 的 连 通 图
可 以 构 建 很 多 不 同 的 生 成 树 ， 一 棵 生 成 树 即 可 以 任
作为一个 交通 图 。
一
最 小 生成 树 算法及 其应 用
王 化 宇
（ 伦 贝尔 学 院 计 算 机 科学 与技 术 学 院 ， 呼 内蒙 古 呼伦 贝尔 ０１０） ２ ０ ８
摘 要 ： 小 生 成 树 是 数 据 结 构 中 图 的 一 种 重 要 应 用 ， 于 具 有 ｎ个 顶 点 的 带 权 连 通 图 可 以 建 立 许 最 对
挑 选 出 耗 费 最 少 的 ｎ １条 路 径 ， 是 所 需 解 决 的 问 一 就 题 的关 键 点 。
ｎ个 地 区 及 地 区 间 的 路 径 用 连 通 图 来 表 示 ， 其
条 边 （ ，） 入 成 为 第 五 条 边 ， ２３加 ６个 顶 点 ， 入 ５条 加
边 后 结 束 ， 成 最 小 生 成 树 如 图 ４所 示 。 构
多 不 同 的 生 成 树 ， 就 是 在 所 有 生 成 树 中 总 的 代 价 最 小 的 生 成 树 。 ｕ ｋ ｌ算 法 和 Ｐｒｍ 算 法 是 求 最 小 生 也 Ｋｒ ｓ ａ ｉ 成 树 的 常 用 算 法 。 主 要 研 究 了 Ｋｒ ｓ ａ 算 法 的 实 现 过 程 及 其 应 用 。 ｕ ｋｌ
２１ ０ １年 ３月
内 蒙 古 科 技 与 经 济
Ｉ ｎ ｒＭ ｏ ｇ ｌ ｃｅ ｃ ｃ ｎ ｌｇ ｎ ｅ ｎ ｏｉ Ｓ ｉｎ ｅＴｅ ｈ ｏｏ ｙ＆ Ｅｃ ｎ ｍｙ ａ ｏｏ
最小生成树算法的优化与应用
最小生成树算法的优化与应用最小生成树算法是图论中一种常用的算法，用于在具有权值的连通图中，选择一棵权值之和最小的生成树。
在实际应用中，最小生成树算法有着广泛的应用场景，例如网络规划、电力传输、城市道路规划等领域。
为了提高算法的效率和适应不同的应用需求，研究者们不断对最小生成树算法进行优化和改进。
本文将对最小生成树算法的优化与应用进行探讨。
一、最小生成树算法概述最小生成树算法用于寻找连通图中的一棵生成树，使得生成树的所有边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，从一个任意节点出发，逐步扩展生成树，每次选择与生成树连接的权值最小的边，直到所有的节点都被加入生成树中。
Prim算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数量。
Kruskal算法是一种基于边的贪心算法，首先对边进行排序，然后按照权值从小到大的顺序逐个加入生成树的边，同时判断是否构成环。
直到生成树的边数等于节点数减一，生成树构建完成。
Kruskal算法的时间复杂度为O(ElogE)，其中E为边的数量。
二、最小生成树算法的优化为了提高最小生成树算法的效率，在实际应用中，研究者们对其进行了多种优化。
1. 堆优化Prim算法中，每次需要找到与生成树连接的权值最小的边，可以使用堆（最小堆或最大堆）来存储边的权值和对应的节点信息。
这样可以使得查找最小权值的边的时间复杂度降低为O(logV)，从而提高算法的效率。
2. Kruskal算法的优化在Kruskal算法中，每次都要判断当前边是否与已选中的边构成环。
通过使用并查集（Disjoint Set）数据结构，可以快速判断两个节点是否属于同一连通分量，从而优化Kruskal算法中环的判断过程。
并查集可以将节点分为若干个不相交的集合，并支持快速查找集合的代表元素以及合并两个集合的操作。
这样可以将判断环的时间复杂度降低为O(α(V))，其中α为Ackermann函数的反函数，其增长极其缓慢，几乎可以视为常数。
解释最小生成树
解释最小生成树最小生成树（Minimum Spanning Tree，简称MST）是一种图论中的算法，用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点，但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。
在实际应用中，我们常常需要找到一个最优的生成树来解决问题。
最小生成树算法可以用于寻找最短路径、最小费用最大匹配等问题。
本文将详细介绍最小生成树的算法及其应用。
一、算法原理最小生成树的算法基于贪心策略。
在生成树中，边的权值表示为边的邻接顶点之间的权值。
边的权值之和反映了边的权值大小。
因此，我们需要寻找的边的权值之和最小的生成树就是一棵最优的生成树。
算法的基本思想是首先将图中的节点按照权值从小到大排序。
然后，从权值最小的节点开始，不断地寻找一个未访问过的节点。
当找到一个未访问过的节点时，将其加入到生成树中，并将其与原图中所有已访问过的节点建立边联系。
这样，生成树中就有了一个未访问过的节点。
接下来，我们继续寻找下一个未访问过的节点。
如果找到了一个节点，我们继续寻找与该节点相邻的节点。
如果找到了一个已访问过的节点，我们继续寻找下一个未访问过的节点。
重复以上步骤，直到所有节点都被正确地加入到生成树中。
二、应用场景最小生成树算法在实际应用中具有广泛的应用，以下列举了几个典型的应用场景：1.最短路径问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最短路径。
通过构建最小生成树，我们可以得到图中所有节点之间的最短距离。
在实际应用中，我们可以使用最小生成树算法来找到一个城市的最佳路线，或者找到一个公司的最短路径。
2.最小费用最大匹配问题：最小生成树算法可以用于寻找一个图中所有节点之间的最小费用最大匹配。
在最小费用最大匹配问题中，我们需要找到一个图中所有节点之间的最小费用，使得这些费用之和最大化。
最小生成树算法可以帮助我们找到一个最优的解，从而实现最小费用最大匹配。
实验5最小生成树算法的设计与实现(报告)
实验5 最小生成树算法的设计与实现一、实验目的1、根据算法设计需要, 掌握连通图的灵活表示方法；2、掌握最小生成树算法，如Prim、Kruskal算法；3、基本掌握贪心算法的一般设计方法；4、进一步掌握集合的表示与操作算法的应用。
二、实验内容1、认真阅读算法设计教材和数据结构教材内容, 熟习连通图的不同表示方法和最小生成树算法；2、设计Kruskal算法实验程序。
有n个城市可以用（n-1）条路将它们连通，求最小总路程的和。
设计测试问题,修改并调试程序, 输出最小生成树的各条边, 直至正确为止。
三、Kruskal算法的原理方法边权排序:1 3 14 6 23 6 41 4 52 3 53 4 52 5 61 2 63 5 65 6 61. 初始化时：属于最小生成树的顶点U={}不属于最小生成树的顶点V={1，2，3，4，5，6}2. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（1 3 1），属于最小生成树的顶点U={1，3}，不属于最小生成树的顶点V={2,4,5,6}3. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（4 6 2），属于最小生成树的顶点U={{1，3}，{4，6}}（还没有合在一起，有两颗子树），不属于最小生成树的顶点V={2,5}4. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，3，4，6}（合在一起），不属于最小生成树的顶点V={2,5}5. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，2，3，4，6},，不属于最小生成树的顶点V={5}6. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，2，3，4，5，6}此时，最小生成树已完成四、实验程序的功能模块功能模块：bool cmp(Edge a,Edge b)； //定义比较方法x)；//在并查集森林中找到x的祖先int g etfa(intint s ame(int x,int y)； //判断祖先是否是同一个，即是否联通 void merge(int x,int y); //合并子树，即联通两子树sort(e+1,e+m+1,cmp); //对边按边权进行升序排序详细代码：#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#define M AXN_E 100000#define M AXN_V 100000using namespace std;struct Edge{int f m,to,dist;//边的起始顶点，边的到达顶点，边权}e[MAXN_E];int f a[MAXN_V],n,m; //顶点数组，顶点总数，边总数 //定义比较，只是边权比较bool cmp(Edge a,Edge b){return a.dist < b.dist;}//查找x的祖先是在并查集森林中找到x的祖先x){//getfaint g etfa(intreturn fa[x];if(fa[x]==x)else r eturn fa[x] = getfa(fa[x]);}//判断祖先是否是同一个，即是否联通int s ame(int x,int y){return getfa(x)==getfa(y);}//合并两棵树void merge(int x,int y){int f ax=getfa(x),fay=getfa(y);fa[fax]=fay;}int m ain(){int i;cout<<"请输入顶点数目和边数目："<<endl;cin>>n>>m;//n为点数，m为边数//输出顶点信息cout<<"各个顶点值依次为："<<endl;for(i=0;i<n;i++){fa[i]=i;if(i!=0)cout<<fa[i]<<" ";}cout<<endl;cout<<"请输入边的信息（例子：1 4 5 从顶点1到顶点4的边权为5）"<<endl;for(i=1;i<=m;i++)用边集数组存放边，方便排序和调用 cin>>e[i].fm>>e[i].to>>e[i].dist;//sort(e+1,e+m+1,cmp); //对边按边权进行升序排序表示目前的点共存在于多少个集合中，初始情况是每 int r st=n,ans=0;//rst个点都在不同的集合中for(i=1;i<=m && rst>1;i++){int x=e[i].fm,y=e[i].to;函数是查询两个点是否在同一集合中 if(same(x,y))continue;//sameelse{函数用来将两个点合并到同一集合中 merge(x,y);//mergerst--;//每次将两个不同集合中的点合并，都将使rst值减1这条边是最小生成树中的边，将答案加上边权 ans+=e[i].dist;//}}cout<<ans;return 0;}五、测试数据和相应的最小生成树Input:6 101 2 61 3 11 4 52 3 52 5 63 4 53 5 63 6 44 6 25 6 6Putout:18生成树为：七、思考题1、微软面试题一个大院子里住了50户人家，每家都养了一条狗，有一天他们接到通知说院子里有狗生病了，并要求所有主人在发现自己家狗生病的当天就要把狗枪杀掉。
最小生成树算法及应用
最小生成树算法及应用
二、求图的最小生成树算法小结 Prim算法和Kruskal算法 三、应用举例
例2、最优布线问题（wire.???） 学校有n台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们时 间有数据线连接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。
算法分析
2、套用最小生成树的经典算法求解
以机器蛇为顶点，以不受屏蔽的通信线路为边构建图，就可以直 接套用最小生成树的经典算法求解。由于几乎每两条机器蛇间都 会有一条边，因此应选用Prim算法。
设
const maxn=200 ； oo=2000000000；{ 机器蛇数的上限和无穷大} type TPoint=record {坐标} x，y：longint； end； var s，w1，w2：array[1..maxn] of TPoint； { 机器蛇的坐标和屏蔽线的坐标 } n，m，i，j，k：integer； ba：array[1..maxn] of boolean； { 机器蛇的访问标志} d：array[1..maxn] of longint； {d[i]以机器蛇i为头的最短边长} min：longint； ans：double；
题目中要求信息可以在任意两条机器蛇间传递、通讯网 络的总长度要尽可能的短，显然这是一个求图的最小生 成树问题。这道题在构造图的过程中还涉及到一点计算 几何的知识。 1、判断线段相交 两条线段AB、CD，相交的充要条件是：A、B在直线CD 的异侧且C、D在直线AB的异侧。也就是说从AC到AD的 方向与从BC到BD的方向不同，从CA到CB的方向也与从 DA到DB的方向不同。
机器蛇
数据结构实验报告-最小生成树（精选5篇）
数据结构实验报告-最小生成树（精选5篇）第一篇：数据结构实验报告-最小生成树电子科技大学实验报告学生姓名：XXX 学号：20***指导教师：刘峤实验地点：信软楼306实验时间：5月17日一、实验室名称：软件实验室二、实验项目名称：数据结构与算法—图三、实验学时：4四、实验原理：Kruskal 算法是一种按照图中边的权值递增的顺序构造最小生成树的方法。
其基本思想是：设无向连通网为G＝（V，E），令G 的最小生成树为T，其初态为T＝（V，{}），即开始时，最小生成树T 由图G 中的n 个顶点构成，顶点之间没有一条边，这样T 中各顶点各自构成一个连通分量。
然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G 的边集E 中的各条边。
若被考察的边的两个顶点属于T 的两个不同的连通分量，则将此边作为最小生成树的边加入到T 中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T 中的连通分量个数为1 时，此连通分量便为G 的一棵最小生成树。
如教材153页的图4.21(a)所示，按照Kruskal 方法构造最小生成树的过程如图4.21 所示。
在构造过程中，按照网中边的权值由小到大的顺序，不断选取当前未被选取的边集中权值最小的边。
依据生成树的概念，n 个结点的生成树，有n－1 条边，故反复上述过程，直到选取了n－1 条边为止，就构成了一棵最小生成树。
五、实验目的：本实验通过实现最小生成树的算法，使学生理解图的数据结构存储表示，并能理解最小生成树Kruskal 算法。
通过练习，加强对算法的理解，提高编程能力。
六、实验内容：（1）假定每对顶点表示图的一条边，每条边对应一个权值；（2）输入每条边的顶点和权值；（3）输入每条边后，计算出最小生成树；（4）打印最小生成树边的顶点及权值。
七、实验器材（设备、元器件）：八、数据结构及程序#include #include #include typedefstruct {intvex;intgno;}TVex,*TpVex;typedefstruct {intvhead, vtail;intwght;intflag;}TEdge,*TpEdge;typedef struct{TpVex VexList;TpEdge EdgeList;int nvex, nedge;}TGraph, *TpGraph;void begin(TpGraph G){ int i;for(i=1;i<=G->nvex;i++){G->VexList[i-1].gno=i;G->EdgeList[i-1].flag=0;} } int findmin(TpGraph G){ int i,j;int minwght=G->EdgeList[0].wght;for(i=0,j=-1;inedge;i++){ PC机一台，装有C/C++语言集成开发环境。
最小生成树应用
begin read(n)；{ 读入数据 } for i：=1 to n do with s[i] do read(x，y)； read(m)； for i：=1 to m do read(w1[i].x，w1[i].y，w2[i].x，w2[i].y)； {用Prim算法求最小生成树 } fillchar(ba，sizeof(ba)，0)； {所有机器蛇未访问} for i：=2 to n do d[i]：=oo； {最短边长序列初始化} d[1]：=0 ；ans：=0； {从机器蛇1出发,通信网的最短长度初始化} for i：=1 to n do begin {访问n条机器蛇} min：=oo；{在所有未访问的机器蛇中寻找与已访问的机器蛇相连且具有最短边长 的机器蛇k} for j：=1 to n do if not ba[j] and (d[j]<min) then begin k：=j； min：=d[j]； end；{then} if min=oo then begin ans：=-1； break； end；{then}{若这样的机器蛇不存在， 则无解退出} ans：=ans+sqrt(min)； ba[k]：=true； {最短边长计入通信网,机器蛇k已访问} for j：=1 to n do {机器蛇k出发的所有不受屏蔽的边中，寻找边长最短的（k，j）} begin min：=dist(k，j)； if min<d[j] then d[j]：=min； end；{for} end；{for} writeln(ans：0：3)； {输出通信网的最短长度} end.{main}
[输入格式] 输入文件第一行为整数n（2<=n<=100），表示计算机的数目。此后的n 行，每行n个整数。
最小生成树算法在城市规划中的应用
最小生成树算法在城市规划中的应用城市规划是指针对城市的发展和布局进行系统设计和管理的过程。
在城市规划中，如何高效地建立城市的基础设施和交通网络是一个重要的问题。
最小生成树算法作为一种经典的图论算法，被广泛应用于城市规划中，用于优化城市的基础设施和交通布局。
一、最小生成树算法简介最小生成树算法是图论中的经典算法之一，用于找到一个连通图的最小生成树。
最小生成树是指包含图中所有顶点，并且边的总权重最小的树。
常见的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
1. Prim算法Prim算法是一种贪心算法，主要思想是从一个初始节点开始，每次选择一个未被访问的节点和连接它的边中权重最小的边，并将该节点加入到树中，直到所有节点都被访问为止。
2. Kruskal算法Kruskal算法是一种基于边的排序算法，主要思想是按照边的权重递增的顺序依次选择边，当选择的边不会形成环时，将该边加入到树中，直到树中包含了所有的节点为止。
二、1. 基础设施规划最小生成树算法可以应用于基础设施规划中，例如道路、给排水系统、电力网络等。
通过将城市的基础设施抽象成一个图，节点代表不同的设施，边的权重代表建设设施所需的成本或者距离。
利用最小生成树算法，可以找到一种最优的布局方式，使得总的建设成本最小或者各设施之间的距离最小。
2. 交通网络规划最小生成树算法也可以应用于城市的交通网络规划中。
通过将城市的道路网抽象成一个图，节点代表交叉口或者重要的地点，边的权重代表道路的长度或者通行的成本。
利用最小生成树算法，可以找到一种最优的道路布局方式，使得整个城市的交通效率最高或者交通成本最低。
3. 公共设施规划另外，最小生成树算法还可以应用于城市的公共设施规划，例如学校、医院、公园等。
通过将城市不同区域的需求和供给抽象成一个图，节点代表不同的区域，边的权重代表区域之间的距离或者需求与供给的匹配度。
利用最小生成树算法，可以找到一种最佳的公共设施布局方式，使得城市的公共设施服务覆盖率最高或者供给与需求的匹配度最好。
最小生成树算法的应用
最小生成树算法的应用最小生成树算法是图论中重要的算法之一，其可用于解决许多实际问题。
在无向连通图中，最小生成树指的是图中所有边的集合，使得连接所有节点的代价最小。
最小生成树算法主要有Prim算法和Kruskal算法两种，本文将探讨这两种算法的应用。
一、Prim算法及其应用Prim算法是一种基于贪心思想的最小生成树算法，它将整个图分为两个集合：已经包含在最小生成树内的节点集合和未包含在最小生成树内的节点集合。
算法开始时，已经包含在最小生成树内的节点集合为空，未包含节点集合包含整个图。
随着算法的进行，两个集合中的节点不断互相转移，直至最小生成树形成为止。
以下是Prim算法的基本步骤：1. 从任意一个节点开始，将其加入已包含节点集合中。
2. 对于已包含节点集合中的所有节点，找出它们与未包含节点集合中节点的边中权值最小的那条，将与之相连的节点加入已包含节点集合中。
3. 重复步骤2，直至最小生成树形成。
Prim算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N为图中节点数。
因此，Prim算法适用于节点数量较少的图。
Prim算法有许多实际应用，其中之一是在计算机网络中实现路由协议。
在网络中，每一个节点都需要选择一个和自己相连的节点作为下一步传递数据的目标。
为了避免重复传输或者丢失数据包，路由协议需要保证每一个数据包能够找到最短的传输路径，同时尽可能地避免网络拥塞。
Prim算法恰好能够解决这个问题，它能够由网络中的节点生成一颗树，树上的每个节点都能够连接网络中所有的节点，同时保证整个连接过程中的最短路径。
因此，Prim算法成为计算机网络中重要的算法之一。
二、Kruskal算法及其应用Kruskal算法也是一种基于贪心思想的最小生成树算法，它将整个图先看做是一个节点的集合，然后不断地将边加入其中，形成最小生成树。
Kruskal算法的基本步骤如下：1. 将图中所有边按照权值从小到大排序。
2. 依次遍历所有的边，在加入当前边时，判断当前边的两个节点是否在同一个集合中，如果不在同一个集合中，就将它们合并，并将这条边加入最小生成树的边集中。
【报告】最小生成树算法实验报告
【关键字】报告最小生成树算法➢问题描述设G=(V,E)是一个无向连通带权图，E中每条边(v,w)的权为c(v,w)。
如果G的一个子图G`是一棵包含G的所有顶点的书，则称G`为G的生成树。
生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费，在G的所有生成树中，耗费最小的生成树就称为G的最小生成树。
给定一个无向连通带权图，构造一个最小生成树。
➢设计思想利用Prim算法求最小生成树，Prim算法是利用贪心策略设计的算法。
设G=(V,E)是一个连通带权图，V={1，2，…，n}。
构造G的一棵最小生成树的Prim算法的基本思想是：首先置U={1},然后，只要U是V的真子集，就做如下的贪心选择：选取满足条件i∈U,j∈V-U,且使c(i,j)达到最小的边(i,j),并将顶点j添加到U中。
这个过程一致进行到U=V时为止。
在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。
➢时间复杂度Prim算法的Pascal语言描述如下：Procedure PRIM(c:array[1..n,1..n] of real);Varlowcost:array[1..n] of real;closest:array[1..n] of integer;i,j,k,min,integer;begin(1)for i:=2 to n do(2)begin{初始化，此时U只含有顶点1}(3)lowcost[i]:=c[1,i];(4)Closest[i]:=1;(5)end;(6)for i:=2 to n do(7)begin {寻找顶点分别在V-U与U中边权最小的边}(8)min:=lowcost[i];(9)j:=i;(10)For k:=2 to n do(11)If lowcost[k]<min then(12)Begin(13)Min:=lowcost[k];(14)j:=k;(15)End;(16)print(j,closest[j]);{输出找到的边}(17)Lowcost[j]:=∞;{将j添加到U}(18)For k:=2 to n do {调整lowcost和closest}(19)if(c[j,k]<lowcost[k])and(lowcost[k]< ∞)then(20)Begin(21)Lowcost[k]:=c[j,k];(22)Closest[k]:=j;(23)End(24)End(25)End;{PRIM}上述过程中第(6)~(24)行的for循环要执行n-1次，每次执行时，第(10)~(15)行和第(18)~(23)行的for循环都要O(n)时间，所以Prim算法所需的计算时间为O(n)。
最小生成树算法的应用电力网络和通信网络建设
最小生成树算法的应用电力网络和通信网络建设最小生成树算法的应用——电力网络和通信网络建设随着现代社会的不断发展，电力网络和通信网络成为了人们生活中不可或缺的重要组成部分。
在电力网络和通信网络的建设中，如何高效地规划和布局成为了一项重要的问题。
而最小生成树算法，则成为了解决这一问题的有力工具。
一、电力网络建设中的最小生成树算法应用1. 背景介绍电力网络的建设涉及到各个供电单位之间的连接以及电力线路的规划。
而在电力线路规划中，通过最小生成树算法可以找到一条具有最小总成本的供电线路，从而实现电力网络的高效布局。
2. 最小生成树算法的原理最小生成树算法是一种用来解决连通图的问题的算法。
它的主要思想是在图中生成一棵包含所有顶点且权值最小的树。
在电力网络建设中，可以将各个供电单位看作图的顶点，将供电线路看作图的边，通过最小生成树算法来选择合适的供电线路以及其连接方式。
3. 最小生成树算法在电力网络建设中的应用在电力网络建设中，最小生成树算法可以用于确定供电单位之间的连接方式，从而实现线路的高效布局。
通过算法得到的最小生成树，可以保证电力线路的总成本最小，同时保证了供电的可靠性和稳定性。
二、通信网络建设中的最小生成树算法应用1. 背景介绍通信网络的建设涉及到各个通信节点之间的连通以及网络拓扑结构的设计。
而在通信网络的规划中，最小生成树算法可以用于确定节点之间的连接方式，从而实现通信网络的高效布局。
2. 最小生成树算法的原理在通信网络中，最小生成树算法同样可以用于解决连通图的问题。
通过选择具有最小代价的边，构建一棵包含所有节点且总权值最小的树。
在通信网络建设中，将各个通信节点看作图的顶点，将通信线路看作图的边，通过最小生成树算法来确定最佳的连接方式。
3. 最小生成树算法在通信网络建设中的应用通过最小生成树算法确定的通信网络连通方式，可以最大程度地降低网络的延迟和拥塞，提高网络的稳定性和可靠性。
同时，该算法还可以帮助设计师避免冗余线路的建设，从而减少了网络建设的成本。
算法合集之《最小生成树算法及其应用》
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IOI2004 国家集训队论文 吴景岳
图 3 Kruskal 算法的执行流程 Kruskal 算法在图 G=(V,E)上的运行时间取决于如何实现集合的合并。我们可 以采用路径压缩的优化方法，这是目前所知的最有效的。初始化需占用时间 O(V)，第 4 行中对边进行排序需要的运行时间为 O(ElgE)；对分离集的森林要进 行 O(E)次操作，总共需要时间为 O(Eα(E,V))，其中α函数为 Ackermann 函数的 反函数。因为α(E,V)=O(lgE)。所以 Kruskal 算法的全部运行时间为 O(ElgE)。 Prim 算法： 正如 Kruskal 算法一样。Prim 算法也是最小生成树一般算法的特例。它的执 行非常类似于寻找图的最短通路的 Dijkstra 算法。Prim 算法的特点是集合 A 中 的边总是只形成单棵树。如图 4 所示，阴影覆盖的边属于正在生成的树，树中的 结点为黑色。在算法的每一步，树中与树外的结点确定了图的一个割，并且通过 该割的轻边被加进树中。树从任意根结点 r 开始形成并逐渐生长直至该树跨越了 V 中的所有结点。在每一步，连接 A 中某结点到 V-A 中某结点的轻边被加入到 树中。由推论 1，该规则总是加入对 A 安全的边，因此当算法终止时，A 中的边 就成为一棵最小生成树。因为每次添加到树中的边都是使树的权尽可能小的边， 因此上述策略是“贪心”的。 有效实现 Prim 算法的关键是设法较容易地选择一条新的边添加到由 A 的边 所形成的树中，在下面的伪代码中，算法的输入是连通图 G 和将生成的最小生 成树的根 r。在算法执行过程中，不在树中的所有结点都驻留于优先级基于 key 域的队列 Q 中，对每个结点 v，key[v]是连结 v 到树中结点的边所具有的最小权 值；按常规，若不存在这样的边则 key[v]=∞。域π[v]表示点 v 的“父亲结点”。 在算法执行中，GENERIC-MST 的集合 A 隐含地满足： A={(v,π[v]):v∈V-{r}-Q} 当算法终止时，优先队列 Q 为空，因此 G 的最小生成树 A 满足： A={(v,π[v]): v∈V-{r}}
最小生成树算法及其应用
Ｓｅ３构造 ［ ， ， ［ ， ｔ ． ｐ Ｓ ］若 Ｓ ］＝ （， Ｇ 不 ｚ则 Ｉ
收 稿 日期 ：０ ９０ —２ ２ ０ ．９２
作者简介： 段东东 （９ ７ ， ， １ ６ 一）女 浙江省宁波市人 ， 陕西师范大学数学系毕业 ， 学士 ， 讲师 ， 主要从事高等数学 、 离散数学方 面的 教学 和研究工作 。
西安航空技术高等专科学校学报
第 ２ 卷 ８
则停止 ， Ｇ中不存在最小生成树 ；
２ 算 法思想及步骤
２ １ Ｋ ｕｋｌ 法 ． ｒｓａ算
也 称避 圈法 ， 由 Ｋｒｓａ 于 １ ５ 提出 的。 是 ｕｋｌ ９ ６年
２ １ １ 算 法思想［ ．． ３ ］
每 次选取权 值最小 的边 ｅ加 入 Ｔ 中， ， 如果 此时 构成 回路 ， 么它 一 定 是 这 个 回路 中 的最 长 边 ， 那 删
２ ２ １ 算法 思想 ．．
ｅｇ（ ，）ｒ ｈ ： ｄ ｅ５８ ，ｇ ｔ１ ｉ
ｅｇ （ ， ）ｒ ｈ ： ｄ ｅ ２ ４ ， ｇ ｔ２ ｉ
ｅｇ （ ， ）ｒ ｈ ： ｄ ｅ ３ ６ ， ｇ ｔ３ ｉ ｅｇ （ ， ）ｆ ｈ ： ｄ ｅ４ ７ ， ｇ ｔ４ ｉ ｅｇ （ ， ）ｒ ｈ ： ｄ ｅ １２ ， ｇ ｔ５ ｉ ｄ ｅ６ ７ ， ｇ ｔ５ ｅｇ （ ， ）ｒ ｈ ： ｉ
ｇ ａ ｈ： ｒｐ
Ｓｅ４令 ＋ ＝ Ｔ ＋ｅ ｌ并置 ＝ ＋１ ｔ ． ｐ ｌ Ｊ ｊ， ＋ ；
ｓｅ５ 若 ＝ ，一１则结束 ， 是最小生成树； ｔ ． ｐ ｚ ，
否则执行 Ｓｅ３ ｔｐ ； ２ ２ ｒ 算法 ： ． Ｐ ｉ ｍ 也称 边割 法 ， Ｐｉ 于 １５ 是 ｒ ｍ ９７年提 出的 。
最小生成树算法实验报告_2
作业1最小生成树的生成算法1.1算法应用背景在实际生活中, 图的最小花费生成树问题有着广泛的应用。
例如, 用图的顶点代表城市, 顶点与顶点之间的边代表城市之间的道路或通信线路, 用边的权代表道路的长度或通信线路的费用, 则最小花费生成树问题, 就表示为城市之间最短的道路或费用最小的通信线路问题。
其中普里姆算法是使用贪婪法策略设计的典型算法。
1.2算法原理在一给定的无向图G = (V, E) 中, (u, v) 代表连接顶点u 与顶点v 的边（即）, 而w(u, v) 代表此边的权重, 若存在T 为E 的子集（即）且为无循环图, 使得的w(T) 最小, 则此T 为G 的最小生成树。
许多应用问题都是一个求无向连通图的最小生成树问题。
例如：要在n个城市之间铺设光缆, 主要目标是要使这n 个城市的任意两个之间都可以通信, 但铺设光缆的费用很高, 且各个城市之间铺设光缆的费用不同；另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。
这就需要找到带权的最小生成树。
1.3算法描述1)最小生成树之普里姆算法描述:令G=(V,E,W), 为简单期间, 令顶点集为V={0,1,2…, n-1}。
假定与顶点i, j相关联的边为ei, j, ei, j的权用c[i][j]表示, T是最小花费生成树的边集。
这个算法维护两个顶点集合S 和N, 开始时: 令T=Ф,S={0},N=V-S。
然后, 进行贪婪选择, 选取i∈S, j∈N, 并且c[i][j]最小的i和j；并使S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{ei, j}.重复上述步骤, 直到N为空, 或找到n-1条边为止。
此时, T中的边集, 就是所要求取的G中的最小花费生成树。
由此, 可描述普里姆算法的步骤如下:（1）T=Ф, S={0},N=V-S。
（2）如果N为空, 算法结束；否则, 转步骤（3）。
（3）寻找使i∈S, j∈N, 并且c[i][j]最小的i和j。
（4）S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{ei, j}；转步骤（2）。
最小生成树算法及其应用【开题报告】
开题报告信息与计算科学最小生成树算法及其应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义最小生成树(minimum spanning tree,MST)是计算机学科中一重要内容, 其算法也是重要的计算方法, 是现代科学中比较热门的研究方向.一个有n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图, 且包含原图中的所有n 个结点, 并且有保持图联通的最少的边.许多应用问题都是一个求五项连通图的最小生成树问题. 例如: 要在n 个城市之间铺设光缆, 主要目标是要使这n 个城市的任意两个之间都可以通信, 但铺设光缆的费用很高, 且各个城市之间铺设光缆的费用不同; 另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低. 这就需要找到带权的最小生成树.MST 性质: 最小生成树性质: 设(,)G V E =是一个连通网络, U 是顶点集V 的一个真子集. 若(,)n u v 是G 中一条“一个端点在U 中(例如: u U ∈), 另一个端点不在U 中”的边(例如:v V U ∈-), 且(,)u v 具有最小权值, 则一定存在G 的一棵最小生成树包括此边(,)u v .求MST 的一般算法可描述为: 针对图G , 从空树T 开始, 往集合T 中逐条选择并加入1n -条安全边(,)u v , 最终生成一棵含1n -条边的MST.当一条边(,)u v 加入T 时, 必须保证{}(,)T u v 仍是MST 的子集, 我们将这样的边称为T 的安全边. 其中主要有两种算法: Prim 算法和Kruskal 算法.Prim 算法: 该算法由Prim 提出, 但事实上Jarnik 于1930年更早提出. 用于求无向图的最小生成树.设图(),G V E = .步骤1: 取一个顶点1v , 则{}1V v =, {}E =.步骤2: 选取与j v V ∈邻接的V 的最近邻元i v , 并且边(),i j v v 不与E 中元素形成回路. 则添加i v 到V 中, 添加(),i j v v 到E 中.步骤3: 重复步骤2直到V 包含图G 所有顶点, 则此时E 包含图G 的最小生成树的边. Prim 算法实现：（1）集合: 设置一个数组()0,1,,1set i n =-, 初始值为0, 代表对应顶点不在集合中（注意: 顶点号与下标号差1）.（2）图用邻接矩阵或邻接表表示, 路径不通用无穷大表示, 在计算机中可用一个大整数（如 130）代替.Kruskal 算法: 每次选择1n -条边, 所使用的贪婪准则是: 从剩下的边中选择一条不会产生环路的具有最小权的边加入已选择的边的集合中. 注意到所选取的边若产生环路, 则不可能形成一棵生成树. Kruskal 算法分e 步, 其中e 是网络中边的数目. 按耗费递增的顺序来考虑这e 条边, 每次只考虑一条边. 当考虑某条边时, 如果将其加入到已选边的集合中会出现环路, 则将其抛弃, 否则, 把它选入[]9. 假设{}(),WN V E =是一个含有n 个顶点的连通网, 则根据Kruskal 算法构造最小生成树的过程为: 先构造一个只含n 个顶点, 而边集为空的子图, 若将该子图中的各个顶点看成是各棵树上的根结点, 则它是一个含有n 棵树的一个森林. 然后, 从网的边集E 中选取一条权值最小的边, 若该边的两个顶点分别属于不同的树, 则将其加入子图, 也就是说, 将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树; 反之, 若该条边的两个顶点已经在同一棵树上, 则不可取, 而应该取下一条权值最小的边再尝试. 依次类推, 直至森林中只有一棵树, 也即子图中含有1n -条边为止.因此, 最小生成树是一种很有现实意义的算法, 熟练的运用最小生成树的几种重要算法可以解决各类现实问题. 算法的诸多优势也自然越发受到数学、计算机等不同领域内学者的重视.最小生成树不仅在计算科学中有很大应用, 而且在信息, 遗传问题, 生物地理甚至在配电网架优化规划等方面都有着及其积极的作用.陶午沙, 沈振康, 李吉成提出一种融合多元模糊空间关系信息的支撑树搜索算法,即S2Prim(spatial Prim)算法, 用以识别低分辨率环境下(红外、多光谱遥感、SAR 、恒星导航等图像中)具有规则空间分布关系的目标斑点集合.徐磊, 张兢引入了节点的度的定义, 据此提出了广义最小生成树的概念. 采用遗传算法来求解最小生成树, 井针对普通遗传算法求解该问题的不足, 提出了自调整的变异算子和限制父代个体数目的混合选择策略, 通过一个有线电视网络的建摸与仿真, 表明了广义最小生成树模型的适用性. 分别采用普通遗传算法和改进后的遗传算法进行求解, 井将结果进行比较, 证明了改进后的遗传算法的有效性.因此, 最小生成树是一种很有现实意义的算法, 熟练的运用最小生成树的几种重要算法可以解决各类现实问题. 算法的诸多优势也自然越发受到数学、计算机等不同领域内学者的重视.二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 最小生成树算法解决的主要问题：1. 阐述计算机学科中的最小生成树算法.2. 用C语言实现几种具有代表性的算法, 并分析所得到的结果, 以达到对比各种算法的目的.3. 简略的介绍最小生成树在各领域的发展及应用.三、研究步骤、方法及措施研究步骤:1.查阅相关资料, 做好笔记;2.仔细阅读研究文献资料;3.撰写开题报告;4.翻译英文资料;5.在老师指导下, 修改英文翻译, 撰写文献综述;6.开题报告通过后, 撰写毕业论文;7.上交论文初稿;8.反复修改论文;9.论文定稿.措施: 通过到图书馆、上网等方式查阅收集资料, 在学校图书馆数据库里查找所需的文章与电子书, 并参考与研究相关的资料. 在老师指导下, 通过全面与具体相结合的方法对问题进行阐述.四、参考文献[1] 马叔良. 离散数学[M]. 北京: 电子工业出版社, 2009. 319~320.[2] 王元元, 张桂芸.计算机科学中的离散结构[M]. 北京: 机械工业出版社, 2004, 15(4): 23～25.[3] Seth Pettie, Vijaya Ramachandran, An Optimal Minimum Spanning Tree Algorithm [J], Journal of the ACM, 2002, 49(1): 16~34.[4] Anany Levitin, Introduction to The Design and Analysis of Algorithms, 北京: 清华大学出版社, 2004 .[5] 罗竣友, 赵军辉. 一种新的最小生成树算法[J]. 澳门科技大学, 2009, 35(3): 1793~1797.[6] 陶午沙, 沈振康, 李吉成. 一种基于模糊信息融合的Prim算法及应用[J]. 国防科技大学, 2005, 3, (26): 80~81.[7] 徐磊, 章兢. 广义最小生成树的遗传算法求解及应用[J]. 系统工程与电子技术, 2004,26(3):390~392.。
最小生成树算法及其应用word资料12页
最小生成树算法及其应用1.基础篇1.1定义在电路设计中，常常需要把一些电子元件的插脚用电线连接起来。
如果每根电线连接两个插脚，把所有n个插脚连接起来，只要用n-1根电线就可以了。
在所有的连接方案中，我们通常对电线总长度最小的连接方案感兴趣。
把问题转化为图论模型就是：一个无向连通图G=(V,E)，V是插脚的集合，E是插脚两两之间所有可能的连接的集合。
给每条边(u,v)一个权值w(u,v)，表示连接它们所需的电线长度。
我们的目标就是找到一个无环的边集T，连接其中所有的点且使总权值最小。
总权值既然T是连接所有点的无环边集，它一定是一棵树。
因为这棵树是从图G 中生成出来的，我们把它叫做生成树。
如果一棵生成树在所有生成树中总权值最小，我们就把它称作最小生成树。
1.2求最小生成树的一般算法解决最小生成树问题有没有一般的方法呢?下面我们就介绍一种贪心算法。
该算法设置了集合A，该集合一直是某最小生成树的子集。
算法执行的每一步，都要决策是否把边(u,v)添加到集合A中，能够添加的条件是保证A∪{(u,v)}仍然是最小生成树的子集。
我们称像(u,v)这样的边为A的安全边，或称这样的边对集合A是安全的。
求最小生成树的一般算法流程如下：GENERIC-MST(G,w)1.A←Ф2.while A没有形成一棵生成树3.do找出A的一条安全边(u,v)4.A←A∪{(u,v)}5.return A一开始A为Ф，显然满足最小生成树子集的条件。
之后，每一次循环都把一条A的安全边加入A中，A依然是最小生成树。
本节的余下部分将提出一条确认安全边的规则(定理1)，下一节将具体讨论运用这一规则寻找安全边的两个有效的算法。
图1一个图的割(S,V-S)首先定义几个概念。
有向图G=(V,E)的割(S,V-S)是V的一个分划。
当一条边(u,v)∈E的一个端点属于S而另一端点属于V-S，我们说边(u,v)通过割(S,V-S)。
若集合A中没有边通过割，就说割不妨碍集合A。
最小生成树算法在网络分析中的应用
最小生成树算法在网络分析中的应用引言网络分析是研究复杂系统中相互连接的节点之间的关系和特性的学科。
最小生成树算法是一种常见的图论算法，用于找到一个连通图的最小生成树。
本文将探讨最小生成树算法在网络分析中的应用，并介绍其在实际问题中的重要性。
一、最小生成树算法概述最小生成树算法是指从带权无向连通图中选择一棵边权值和最小的生成树的问题。
常见的最小生成树算法包括普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆算法从一个起始节点开始，每次选择与当前生成树相连的权值最小的边加入，直到生成树包含所有节点。
克鲁斯卡尔算法则是按照边权值递增的顺序选择边，若该边的两个顶点不在同一连通分量，则加入生成树，直到生成树包含所有节点。
最终，这两种算法都能得到图的最小生成树。
二、1. 通信网络规划在通信网络规划中，最小生成树算法可以用于确定最佳的通信路径。
通过抽象成无向连通图，将通信节点作为图的节点，通信路径作为图的边，边的权值可以表示通信延迟或者成本。
应用最小生成树算法，可以找到连接所有通信节点的最佳通信路径，从而优化网络性能。
2. 物流配送系统物流配送系统通常需要选择最佳的运输路线，以减少成本和提高效率。
将物流中心、仓库、分销点等设施作为图的节点，将运输线路作为图的边，可以利用最小生成树算法在物流网络中确定最佳的配送路线，从而降低物流成本。
3. 社交网络分析社交网络分析是研究社交关系中的节点和边的特性及其对整个网络的影响的一种方法。
最小生成树算法可以应用于社交网络数据的处理和分析中。
通过将个体视为节点，社交关系视为图的边，可以使用最小生成树算法来识别关键的节点和关系，从而洞察社交网络的结构和特征。
4. 电力网络优化电力网络是由供电站、变电站、用户等节点组成的复杂系统。
最小生成树算法可以用于电力网络的优化和规划。
通过将电力站、变电站和用户等节点作为图的节点，电力传输线路作为图的边，可以使用最小生成树算法来确定电力传输的最佳路径，从而提高电力传输效率和稳定性。
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开题报告
信息与计算科学
最小生成树算法及其应用
一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义
最小生成树(minimum spanning tree,MST)是计算机学科中一重要内容, 其算法也是重要的计算方法, 是现代科学中比较热门的研究方向.
一个有个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图,
且包含原图中的所有个n n 结点, 并且有保持图联通的最少的边.
许多应用问题都是一个求五项连通图的最小生成树问题. 例如: 要在个城市之间铺设n 光缆, 主要目标是要使这个城市的任意两个之间都可以通信, 但铺设光缆的费用很高, n 且各个城市之间铺设光缆的费用不同; 另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低. 这就需要找到带权的最小生成树.
MST 性质: 最小生成树性质: 设是一个连通网络, 是顶点集的一个真(,)G V E =U V 子集. 若是中一条“一个端点在中(例如: ), 另一个端点不在中”的边(,)n u v G U u U ∈U (例如:), 且具有最小权值, 则一定存在的一棵最小生成树包括此边v V U ∈-(,)u v G .
(,)u v 求MST 的一般算法可描述为: 针对图, 从空树开始, 往集合中逐条选择并G T T 加入条安全边, 最终生成一棵含条边的MST.
1n -(,)u v 1n -当一条边加入时, 必须保证仍是MST 的子集, 我们将这样的边称(,)u v T {}(,)T u v 为的安全边. 其中主要有两种算法: Prim 算法和Kruskal 算法.
T Prim 算法: 该算法由Prim 提出, 但事实上Jarnik 于1930年更早提出. 用于求无向图的最小生成树.
设图 .
(),G V E =步骤1: 取一个顶点, 则, .
1v {}1V v ={}E =
步骤2: 选取与邻接的的最近邻元, 并且边不与中元素形成回路. j v V ∈V i v (),i j v v E 则添加到中, 添加到中.
i v V (),i j v v E 步骤3: 重复步骤2直到包含图所有顶点, 则此时包含图的最小生成树的边. V G E G Prim 算法实现：
（1）集合: 设置一个数组, 初始值为, 代表对应顶点不在集合()0,1,,1set i n =- 0中（注意: 顶点号与下标号差1）.
（2）图用邻接矩阵或邻接表表示, 路径不通用无穷大表示, 在计算机中可用一个大整数（如 ）代替.
130=Kruskal 算法: 每次选择条边, 所使用的贪婪准则是: 从剩下的边中选择一条不会1n -产生环路的具有最小权的边加入已选择的边的集合中. 注意到所选取的边若产生环路, 则不可能形成一棵生成树. Kruskal 算法分步, 其中是网络中边的数目. 按耗费递增的顺序来e e 考虑这条边, 每次只考虑一条边. 当考虑某条边时, 如果将其加入到已选边的集合中会出e 现环路, 则将其抛弃, 否则, 把它选入. 假设是一个含有个顶点的连通[]9{}()
,WN V E =n 网, 则根据Kruskal 算法构造最小生成树的过程为: 先构造一个只含个顶点, 而边集为空n 的子图, 若将该子图中的各个顶点看成是各棵树上的根结点, 则它是一个含有棵树的一个n 森林. 然后, 从网的边集中选取一条权值最小的边, 若该边的两个顶点分别属于不同的E 树, 则将其加入子图, 也就是说, 将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树; 反之, 若该条边的两个顶点已经在同一棵树上, 则不可取, 而应该取下一条权值最小的边再尝试. 依次类推, 直至森林中只有一棵树, 也即子图中含有条边为止.
1n -因此, 最小生成树是一种很有现实意义的算法, 熟练的运用最小生成树的几种重要算法可以解决各类现实问题.
算法的诸多优势也自然越发受到数学、计算机等不同领域内学者的重视.
最小生成树不仅在计算科学中有很大应用, 而且在信息, 遗传问题, 生物地理甚至在配电网架优化规划等方面都有着及其积极的作用.
陶午沙, 沈振康, 李吉成提出一种融合多元模糊空间关系信息的支撑树搜索算法,即S2Prim(spatial Prim)算法, 用以识别低分辨率环境下(红外、多光谱遥感、SAR 、恒星导航等图像中)具有规则空间分布关系的目标斑点集合.
徐磊, 张兢引入了节点的度的定义, 据此提出了广义最小生成树的概念. 采用遗传算法
来求解最小生成树, 井针对普通遗传算法求解该问题的不足, 提出了自调整的变异算子和限制父代个体数目的混合选择策略, 通过一个有线电视网络的建摸与仿真, 表明了广义最小生成树模型的适用性. 分别采用普通遗传算法和改进后的遗传算法进行求解, 井将结果进行比较, 证明了改进后的遗传算法的有效性.
因此, 最小生成树是一种很有现实意义的算法, 熟练的运用最小生成树的几种重要算法可以解决各类现实问题. 算法的诸多优势也自然越发受到数学、计算机等不同领域内学者的重视.
二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题
研究的基本内容: 最小生成树算法
解决的主要问题：
1. 阐述计算机学科中的最小生成树算法.
C
2. 用语言实现几种具有代表性的算法, 并分析所得到的结果, 以达到对比各种算法
的目的.
3. 简略的介绍最小生成树在各领域的发展及应用.
三、研究步骤、方法及措施
研究步骤:
1. 查阅相关资料, 做好笔记;
2. 仔细阅读研究文献资料;
3. 撰写开题报告;
4. 翻译英文资料;
5. 在老师指导下, 修改英文翻译, 撰写文献综述;
6. 开题报告通过后, 撰写毕业论文;
7. 上交论文初稿;
8. 反复修改论文;
9. 论文定稿.
措施: 通过到图书馆、上网等方式查阅收集资料, 在学校图书馆数据库里查找所需的文章与电子书, 并参考与研究相关的资料. 在老师指导下, 通过全面与具体相结合的方法对问题进行阐述.
四、参考文献
[1] 马叔良. 离散数学[M]. 北京: 电子工业出版社, 2009. 319~320.
[2] 王元元, 张桂芸.计算机科学中的离散结构[M]. 北京: 机械工业出版社, 2004, 15(4): 23～25.
[3] Seth Pettie, Vijaya Ramachandran, An Optimal Minimum Spanning Tree Algorithm [J], Journal of the ACM, 2002, 49(1): 16~34.
[4] Anany Levitin, Introduction to The Design and Analysis of Algorithms, 北京: 清华大学出版社, 2004 .
[5] 罗竣友, 赵军辉. 一种新的最小生成树算法[J]. 澳门科技大学, 2009, 35(3): 1793~1797.
[6] 陶午沙, 沈振康, 李吉成. 一种基于模糊信息融合的Prim算法及应用[J]. 国防科技大学, 2005, 3, (26): 80~81.
[7] 徐磊, 章兢. 广义最小生成树的遗传算法求解及应用[J]. 系统工程与电子技术, 2004,26(3):390~392.。