化工过程中模型的建立与计算

化工过程中模型的建立与计算

姓名：田保华

化工过程中模型的建立与计算

1.概述

过程的状态监控或过程的在线监测都需要建立合适的数学模型。

化工过程的数学模型主要有三大类方法，即机理模型，统计模型和混合模型。描述过程的方程组由过程机理出发，经推导得到，并且由实验验证，这样建立起来的模型就是机理模型。机理模型方法需要凭借可靠的规律及经验知识来建立原始微分方程式，这些规律和经验知识必须被表达为一般的形式。机理模型是对实际过程直接的数学描述，是过程本质的反映，因此结果可以外推。数学模型也可以根据实验装置、中型或者大型工业装置的实测数据，通过数据的回归分析得到的纯经验的数学关系式，这就是统计模型。统计模型和过程机理无关，是根据实验从输出和输入变量之间的关系，经分析整理得到的。它只是在实验范围内才是有效的，因而不宜外推或者以较大幅度外推。由于实验条件的限制，统计模型的局限性很大，所以总是希望尽可能建立机理模型。

对于化工过程来说，由于经验模型受到实际条件的限制，应用范围有限，机理模型求解又十分困难，这样就产生了第三种数学模型，即混合模型。混合模型是对实际过程进行抽象概括和合理简化，然后对简化的物理模型加以数学描述，混合模型主要是设法回避过程中一些不确定的和复杂的因素，代之以一些统计的结果和一定的当量关系，它是半经验半理论性质的。在化工过程的数学模拟中，混合模型是应用最广的一种模型。例如，混合模型用于粉仓中粉体流动数学模型分析等等。近年来，人们将人工神经网络方法用于化工建模，并取得较好的效果。

化工过程中数学建模的建立一般是基于流体的性质。流体的热力学性质主要是从状态方程（EOS）得到。至今，文献报道的EOS已有一百五十种之多，有的从理论分析得到的、有的从实验数据分析归纳而来、还有一些是理论分析和实验数据相结合推出来。比较经典的EOS有VDW方程，R-K方程，Soave方程，CS方程，33参数的MBWR方程。这些经验、半经验的EOS只能在一定的温度和密度范围内对于某些流体适应，应用的范围比较窄，理论基础不强[34]。随着计算机技术的迅速的发展，现代化学工程越来越要求EOS的精度高，应用范围广，可靠性好。因此，EOS的研究已逐步从经验、半经验型向理论型发展，它们的应用范围广而且具有较强的理论基础。近年来，研究的热点是从径向分布函数（Radial Distribution Function，简称RDF）来得到理论型EOS。

2. 径向分布函数理论

分布函数方法不以任何物理模型为依据，而从解决粒子间的相互作用势能

u(r)出发的统计热力学理论，该方法的特点是以求出少数几个RDF 去解决整个体系的构型积分，然后利用它计算流体的全部热力学量，该方法是现代流体理论的一个最为活跃的研究方向，分布函数理论是所有溶液理论中最为精确的部分。

2.1 径向分布函数的应用

径向分布函数是研究流体性质的基本内容之一。原则上,确定了径向分布函数，就可以求出流体的热力学性质。

（1）由径向分布函数求系统的位能

文献[2]指出，在系统中，每一个分子对的平均位能应为： ⎰⎰⎰⎰⎰∞

∞

===0202)(1202

121)2(124)()(14)()(1)(),()()(dr r r g r u V dr r r g r u dr V r u dr dr r r p r u r u V V ππ (2-1)

如设系统的位能为所有分子对的位能的总和，由于系统中各分子对的总合为N(N-1)/2或N 2/2，因此，系统的位能的平均值为： ⎰∞

==022

24)()(22)(dr r r g r u V N r u N E p π (2-2)

（2）径向分布函数导得状态方程

由方程： N T P V

kT P ,)ln (∂Φ∂= (2-3) 设流体装载在一边长为a 的立方容器中，V=a 3，位能配分函数为：

⎰⎰⎰⎰---∂∂-=∂Φ∂===∂Φ∂+Φ=∂Φ∂=

Φ1

010''/',,',,1,0111/011)(1)'(/',/',/')'(')(N P N P dz kTdx E x x P N T P i i i i i i N T P N P N N T P a N N N kT E a P e V

E kT V a

z z a y y a x x V V NV V dz dy dx dz dy dx e (2-4) ⎰⎰⎰∑∞∞∞>-=-Φ=∂Φ∂Φ-=∂Φ∂=∂∂03032,032,',']4)()()(611[]4)()()(611[)(4)()()(6)'()(31)(

1dr r r g dr

r d V N kT V NkT P dr r r g dr

r d V N kT V N V dr r r g dr r d V N kTV V r dr r d V V E P P P N T P P N P N T P j i ij ij ij P x x P N πεπεπεε (2-5)

（3）径向分布函数计算真实流体的P 、V 、T 性质

文献报道了用径向分布函数及L-J 位能模型计算真实流体的PVT 性质。文献用顺序解析平衡法，结合L-J 位能函数模型计算径向分布函数，然后直接代入统计热力学所给出的理论状态方程预测真实流体的PVT 性质。L-J 位能模型参数有临界温度T c 和临界压力P c 确定。此方法可以能够比较成功的预测非极性和弱极性纯流体的PVT 性质。当分子尺寸小于正已烷时，除临界温度附近之外，预测的饱和液体体积的平均相对误差小于5%，对于分子尺寸更大的流体，可以用象Kihara 模型这样的3参数模型来提高预测精度。具体公式如下：

在L-J 位能模型上应用分布函数理论的状态方程 ⎰∞-=032200)(32dr r g dr

dE r V N V kT N P P m m π (2-6) 其中N 0=6.02×1023，Vm 是摩尔体积，引入对比半径 dx x g x x

V RV k V RT P r x m b m )(12)(96/04102⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==εσ

(2-7) 其中)6/(30πσN V b =，由于σ5.0r ，则可认为1)(≈r g ，所以上式可以写成 ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⨯-⨯++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰5.35.0934102)5.3925.331()()12(96dx x g x x V RV k V RT P m b m ε (2-8) 上述方程中的积分项可由数值积分方法得出。令温度T 等于某流体的临界温度，调节σ和k /ε，直到上式计算出的等温线出现水平拐点，而且水平拐点处压力等于该流体的实测临界压力，此时对应的σ和k /ε值就是所需要确定的位能模型的参数值。当位能模型参数确定后，就可以预测该流体的PVT 关系。

2.2 RDF 的获得

目前RDF 主要通过实验法和计算法来获得。

2.2.1实验法

RDF 的实验方法主要有X 射线衍射、电子衍射和中子衍射。就国内的研究情况来说，一般采用θθ2型液体X 射线衍射仪来获得径向分布函数。

2.2.2计算法

目前径向分布函数（RDF ）的计算方法有计算机模拟法，积分法和微相平衡法。

（1）计算机模拟法：包括MD 法和MC 法。MD(Molecular Dynamics)法的关键是解力学方程以便对这些微观状态对应的力学量作适当的平均。而MC(Monte Carlo)法借助计算机做随机抽样获取，要求取样的数目必须是大量的，且样品必