数学一题多解应用题教学案例
数学一题多解应用题教学案例
数学一题多解应用题教学案例在数学教学中，让学生学会一题多解，有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题；有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧。
而采用一题多变的形式，可以训练学生积极思维，触类旁通。
提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性。
两者都有利于学生提高解决综合问题的能力，有利于培养学生的探索精神；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法。
一、课堂教学中合理引导学生从多个角度解决问题案例一：两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。
一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？【分析1】先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法1】一辆汽车行驶了多少千米？55×5=275（千米）另一辆汽车行驶了多少千米？45×5=225（千米）甲、乙两地相距多少千米？275+225=500（千米）综合算式：55×5+45×5=275+225=500（千米）师评价：这种方法好。
【分析2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法2】两车每小时共行驶多少千米？55+45=100（千米）甲、乙两地相距多少千米？100×5=500（千米）综合算式：（55+45）×5=100×5=500（千米）。
师评价：这种解法妙。
【分析3】甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。
由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。
【解法3】设甲乙两地相距x千米。
x÷5=55+45x=100×5x=500师评价：此种解法真优美【分析4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列方程解答。
【解法4】设甲乙两地相距x千米。
x-55×5=45×5师评价：此种解法真新颖。
三年级上册奥数(教案)第15讲：一题多解
（三年级）备课教员：×××第15讲一题多解一、教学目标： 1. 充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；多角度的思考能力。
2. 锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧。
3. 开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
二、教学重点：综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧。
三、教学难点：引导学生灵活地掌握知识的纵横联系。
四、教学准备：PPT课件五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：同学们，大家听过“树上有10只鸟，猎人开枪打死了1只，还剩几只？”的问题吗？生：……（可能回答听过，也可能回答没听过）师：那我们再来一起听一下吧？（PPT出示）师：同学们你们觉得这位同学说的怎么样？生：太聪明了。
师：那么，大家想想，这位同学为什么会问这么多的问题呢？难道他真的是故意要给老师捣乱吗？生：不是……（各抒己见，有理即可）师：你们说得真好！因为有时候一个问题就是会出现很多情况，需要我们去解答的。
他的脑筋急转弯真是太厉害了吧！生：是的。
师：同学们我们有时候也要向这位同学学习，遇到问题要积极思考，从多种情况，多种角度去解决问题哦。
老师期待着大家能用很多的解题方法和思路来制造一个大大的惊喜！师：好了，下面我们就开始进入今天的正式学习阶段吧，今天我们来学习的是一题多解，考验大家脑筋的时候来了哦。
加油，看看谁想到的解题方法最多！【板书课题：一题多解】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）从阿派家经卡尔家和欧拉家到学校有460米，从阿派家到欧拉家有370米，从学校到卡尔家有330米。
从卡尔家到欧拉家有多少米？(所有位置在同一直线上）师：大家看一下，这是一题什么类型的问题？生:路程、距离。
师：我们能一下子看明白题意吗？生:不能，有点乱，想不过来。
师：那么我们可以运用什么数学方法来帮助思考和看清题意呢？生:画线段图。
《一题多解》教学案例
《一题多解》教学案例
一、教学背景
1、教材分析：本次教学以《一题多解》为教学内容，教材贴近学生生活，包含了根据条件计算出方案、计算出结果、比较各种方案的优缺点、做出最优决策等国家教学大纲所提出的学习内容。
2、教学目标：结合实际生活，让学生学会解决一些多角度复杂的问题，利用不同的解决方式探索出一个比较最优的解决方案，形成根据不同
的实际条件来进行解决问题的思维习惯。
二、教学过程
1、导入：以姐妹居住在不同省份，有话费套餐的优惠为例展开教学，
激发学生的学习兴趣，引出教学重点。
2、理论知识：让学生了解什么是一题多解，并板书出关于一题多解的
定义，帮助学生把握教学主题，加深教学印象。
3、练习：让学生分组练习如何解决一题多解的问题，让学生学会脱离
条件、进行综合分析，发现最优的解决方案；帮助学生训练如何解决
类似问题的能力。
4、复习：检查学生练习的结果，总结学习成果，引导学生把一题多解
归纳为一种分析问题，即分析实际情况，比较各种方案、决策出最优结果的能力。
5、归纳概括：将学习内容组织性地归纳概括，以图表、口述等形式奠定本次学习基础，培养学生归纳吸收知识的习惯。
三、教学资料
1、教学教具：白板、投影仪等
2、教学资料：收集的一些实际问题，如可供学生练习的例题等。
第21讲 一题多解
【例4 】一筐苹果连筐共重45千克，卖出苹果的一 半后，剩下的苹果连筐共重24千克，求原来有苹果 多少千克？
思路点拨： 解法1:卖出的苹果有多少千克？ 原来有苹果多少千克？
45-24=21（千克） 21×2=42（千克）
解法2:两个筐和原来苹果共多少？ 24×2=48（千克） 一个筐的重量是多少千克？ 48-45=3（千克） 原来有苹果多少千克？ 45-3=42（千克）
【例2】学校操场原来的长是60米，宽是50米， 扩建后长增加了20米，宽增加了15米，学校操场 的面积比原来增加了多少平方米？
思路点拨：解法一： 图中空白部分为原长方形操场，阴影部分即增加部分， 扩建后操场增加的面积就等于扩建后新长方形的面积 减去原长方形面积： （60＋20）×（50＋15）－60×50 =80×65－3000 =5200－3000 =2200（平方米）。
第二十一讲一题多解一题多解是指有些习题往往不止一种解法可以从不同角度通过不同的思维方式运用多种方法来解答同一道题
第二十一讲 一题多解
一题多解是指有些习题往往不止一种解法， 可以从不同角度，通过不同的思维方式，运 用多种方法来解答同一道题。一题多解的训 练有利于开拓孩子的思路，异中求同，同中 求异，培养孩子的创新思维和概括能力。
【例5 】甲、乙两列火ຫໍສະໝຸດ 从相距630千米的两地 相对行驶，6小时相遇，甲车每小时比乙车快5 千米，求两车的速度各是多少？
思路点拨： 方法一：630÷6=105千米 则速度和是105千米。根据 和差问题得到： 甲速度：（105+5）÷2=55千米 乙速度：105-55=50千米 方法二： 1）相遇时甲一共比乙多行了多少千米：5×6=30千米 2）乙车一共行了多少千米：（630-30）÷2=300千米 3）乙速度：300÷6=50千米 甲速度：50+5=55千米
小学数学“一题多解”的教学分析
小学数学“一题多解”的教学分析小学数学教学中，常常会遇到一题多解的情况。
即使是相同的问题，学生们可能会有不同的解题思路和方法。
这种情况给教师带来了一定的挑战，因为教师需要在尊重学生个体差异的基础上，引导他们正确地理解和解决问题。
本文将分析小学数学“一题多解”的教学情况，并提出相应的教学策略。
一、一题多解的教学现象在小学数学教学中经常会遇到一题多解的情况。
这里举一个简单的例子：小明有5元的零花钱，他想用完这笔钱买一些巧克力和一些糖果，每个巧克力的价格是1元，每个糖果的价格是0.5元。
请问小明最多可以买几个巧克力和几个糖果？对于这个问题，学生可能会有不同的解法。
有的学生可能会采用列式计算的方法，求出所有可能的组合。
有的学生可能会采用图示法，画出巧克力和糖果的组合图，通过分析得出结论。
还有的学生可能会采用逆向思维，从5元的总金额开始逐步减去巧克力和糖果的价格，推断出最多可以购买的数量。
这些都是合理的解题思路，但最终的答案可能会有所不同。
一题多解的教学现象，实际上反映了学生的思维活跃和多样化。
不同的学生可能会根据自己的认知水平、思维习惯和知识结构选择不同的解题方法，这对于培养学生的创新能力和解决问题的能力是有益的。
一题多解也可以帮助学生更好地理解数学概念和方法。
通过比较不同解题方法之间的异同，可以加深学生对于数学问题本质的理解，促进他们形成灵活的思维方式。
一题多解也能够提高学生的学习兴趣和参与度。
当学生发现自己的解题方法得到认可，感到自己的思维得到尊重，他们会更加积极主动地参与到教学活动中，提高学习积极性和主动性。
三、教师如何引导一题多解的情况对于教师来说，如何引导一题多解的情况是一个关键问题。
教师需要尊重不同的解题方法和思路，不能仅仅肯定一种解法，而忽视其他解法。
对于不同的解题方法，教师可以根据学生的情况给予适当的展示和评价，让学生感受到多样性在数学学习中的重要性。
教师需要及时指导学生总结不同解题方法的特点和优缺点。
案例分析《小学数学的一题多解》
案例分析《小学数学的一题多解》数学是小学阶段一门基础学科,并且在小学阶段占主体地位.入学之初,学生所接触到的数学知识,都是比较形象化,直观化的数数及简单的计算,随着数学知识的加深,小学高年级的数学出现了抽象化复杂性的应用题.许多学生一碰到这样的应用题就头痛,不晓得如何下手解答.如何引导学生打开思路,找到解题的最佳方法,培养学生大胆创新的解题方法及不断尝试解答的精神,是我们为师者必须思考的教学问题.我以一道应用题为例,通过画图,分析等方法,引导学生转变思路,化难为易的解题方法,激发学生的学习兴趣.例 1 甲乙两人绕圆形跑道竞走,他们同时同地相背而行,6分后第一次钟相遇,相遇后继续前进4 分钟,这时甲回到出发点,乙离出发点还差300米,这个圆形跑道的周长应是多少米?分析与解答:这是一道行程方面的应用题,数量关系虽不是很复杂,但却不直观.如何把这个圆形跑道转变成我们平常的直线式的行程问题?我通过让学生操作演示,把圆形跑道转变成直线式的跑道.如图:此题这样转变,学生就能按常规问题去思考,要求这个圆形跑道多长?第一种分析及解法:当甲再次到达出发点时,乙还离出发点300米,只须求出乙走完这300米还须多少分钟?然后可求出乙走的速度,继而求出这个跑道的全程有多长.从题意还知甲4分钟走的路程等于乙6分钟走的路程,那么走相等的路程,乙甲所用的时间比是6÷4= ，这样可求出乙佘下的工作时间6×3/2=9（分钟），已知乙此时已走了4分钟，那么乙要走完这300米的时间是9-4=5（分钟），300÷5=60（米），全程为60×(9+6)=900（米）第二种解法是：甲4 分钟走的路程等于乙6分钟走的路程，那么走相同的路程，乙和甲的时间比是6÷4= ，这样可以求出乙要走300米的时间是6×3/2 =9（分钟），300÷（9-6）=60（米），60×（9+6）=900（米）。
高中数学“一题多解”的案例剖析-最新教育文档
高中数学“一题多解”的案例剖析对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解.在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法，同时拓展思维，达到触类旁通的目的.本文旨在通过易懂的实例说明一题多解在培养思维方面的积极意义. 中学数学的一题多解主要体现在： （1）一题的多种解法 例如，已知复数z满足|z|=1，求|z-i|的最大值.我们可以考虑用下面几种方法来解决：①运用复数的代数形式；②运用复数的三角形式；③运用复数的几何意义； ④运用复数模的性质（三角不等式）‖z1|-|z2‖≤|z1-z2|≤|z1|+|z2|； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系|z|2=z?z；⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆|z|=1与|z-i|=r有公共点时，r的最大值. （2）一题的多种解释例如，函数式y=12ax2可以有以下几种解释：①可以看成自由落体公式s=12gt2. ②可以看成动能公式E=12mv2. ③可以看成热量公式Q=12RI2.又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷.“1”可以变换为：logaa，xx，sin2x+cos2x，（l ogab）?（logba），sec2x-tan2x，等等. 以下是高中数学常见的较为典型的多解问题： 例1已知a2+b2=1，x2+y2=1.求证：ax+by≤1. 分析1用比较法.只要证1-（ax+by）≥0为了同[JP3]时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决.分析2运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论.从而证明原结论正确.分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件.因此，证明过程必须步步可逆，并注意书写规范.分析3运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法） 简证∵ax≤a2+x22，by≤b2+y22， ∴ax+by≤a2+x22+b2+y22=1.分析4三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便.可设a=sinα，b=cosα，x=sinβ，y=cosβ. 进而ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α-β）≤1.分析5数形结合法：由于条件x2+y2=1可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而ax+by=ax+bya2+b2联系到点到直线距离公式，[HJ1.18mm]圆上任意一点M（x，y）到直线ax+by=0的距离都小于或等于圆半径1，即d= |ax+by|a2+b2=|ax+by|≤1ax+by≤1.简评五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法.除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法.可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择. 例2如果（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求证：x、y、z成等差数列. 分析1要证x、y、z成等差数列，必须有x-y=y-z成立才行.此条件应从已知条件中得出.故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换. 对条件展开整理可得x-y=y-z，即x、y、z成等差数列. 分析2由于已知条件具有x-y，y-z，z-x轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利.可设x-y=a，y-z=b，则x-z=a+b.于是，已知条件可化为：（a+b）2-4ab=0（a-b）2=0a=bx-y=y-z. 分析3已知条件呈现二次方程判别式Δ=b2-4ac的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会.即有当x-y=0时，由已知条件知z-x=0，∴x=y=z，即x、y、z成等差数列.当x-y≠0时，关于t的一元二次方程：（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0，其判别式[JP3]Δ=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，故方程有等根，显然t=1为方程的一个根，从而方程的两根均为1，再由韦达定理易得.简评证法1是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠.证法2简单明了，是最好的解法，其换元的技巧有较大的参考价值.证[JP3]法3引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发. 例3已知x+y=1，求x2+y2的最小值.分析1虽然所求函数的结构式具有两个字母x、y，但已知条件恰有x、y的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题.分析2已知的一次式x+y=1两边平方后与所求的二次式x2+y2有密切关联，于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得.分析3配方法是解决求最值问题的一种常用手段，利用已知条件结合所求式子，配方后得两个实数平方和的形式，从而达到求最值的目的.分析4因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启发.x+y=1表示直线l，x2+y2表示原点到直线l上的点P（x，y）的距离的平方.显然其中以原点到直线l的距离最短，易求得其最小值为1/2.分析5如果设x2+y2=z则问题还可转化为直线x+y=1与圆x2+y2=z有交点时，半径z的最小值. 简评几种解法都有特点和代表性.解法1是基本方法，解法2、3、4都紧紧地抓住题设条件的特点，与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法4，形象直观，值得效仿. 例4设zR，z1+z2∈R.求证： |z|=1.分析1由已知条件z1+z2为实数这一特点，可提供设实系数二次方程的可能，在该二次方程有两个虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径.分析2由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到zz=|z|2这一重要性质，即可求出|z|的值.分析3因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式.再运用共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点.简评设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数问题的基本方法.但这些方法通常运算量大，较繁.现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处.证法3利用倒数的变换，十分巧妙是最好的方法.例5由圆x2+y2=9外一点P（5，12）引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程. 分析1（直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求出曲线方程.这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解法. 分析2（定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程. 分析3（交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题.因为动点M 可看作直线OM与割线PM的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法.分析4（参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数，再设法消去参数.由于动点M随直线的斜率变化而发生变化，所以动点M的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法. 分析5（代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程.设而不求，代点运算.从整体的角度看待问题.这里由于中点M的坐标（x，y）与两交点A（x1，y1）、B（x2，y2）通过中点公式联系起来，又点P、M、A、B构成4点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程.简评上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法.其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件，而解法4、5适用于一般的过定点P且与二次曲线C交于A、B两点，求AB中点M的轨迹问题.具有普遍意义，值得重视.对于解法5通常利用kPM=kAB可较简捷地求出轨迹方程，比解法4计算量要小，要简捷得多.数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系.我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的.通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的.从而培养创新精神和创造能力.。
一题多解教案
深本数学教案东小庄小学一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。
上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
怎样上一题多解训练课？下面仅就多步应用题教学过程中的一题多解训练课，初略地介绍一下我的基本做法：在实际教学中，我一般采用以下两种方法：1．一般的一题多解的练习。
题目是由浅入深，由易到难。
解法、时间、速度等要求逐步提高。
2．看谁的解法多。
我们知道，一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。
所以，在实际训练中，我们不能满足于学生会用几种一般的方法来分析解答应用题。
如果只以一般的几种解法为满足，对学生通过多向思维求得的其他解法特别是一些较为复杂的解法不提倡，不鼓励，甚至还挖苦、批评、责备学生，这样就会挫伤学生思维的积极性，影响学生的学习兴趣，不利于培养学生的创造能力。
实践证明，学生的解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。
学生能够根据题意和数量关系，运用所学习和掌握的知识不拘泥、不守旧，乐于打破一般的框框去进行广阔的思维，十分用心地去探求各种解题方法，就越有利于促进其思维的发展，提高创造能力。
我们就越应当给予肯定和鼓励。
对于学生“别出心裁”、“独辟蹊径”的解题方法，我总是给以表扬和鼓励。
这对激发学生的学习兴趣，调动一题多解的积极性是很有好处的。
第一课进行一题多解的实际练习1．一般的一题多解的练习。
题目是由浅入深，由易到难。
解法、时间、速度等要求逐步提高。
题1：南北两城的铁路长357公里，一列快车从北城开出，同时有一列慢车从南城开出，两车相向而行，经过3小时相遇，快车平均每小时行79公里，慢车平均每小时比快车少行多少公里？解法1 [357-(79×3)]÷3=[357-237]÷3=120÷3=40(公里)即慢车平均每小时行40公里，已知快车平均每小时行79公里，∴慢车平均每小时比快车少行多少公里就是79-40=39(公里)答：慢车平均每小时比快车少行39公里。
数学六年级下册第64课时《一题多解》教案
⑤解：设水有x克，则药有 x克 ⑥ 解：设药有x克，则水有 x克
X－ x=100 x－x=100
3.修路队计划24天修完720米长的一段路，实际6天就完成了3/10.照这样计算，完成这段路共需几天？（用四种方法解答）
①实际数量：720÷（720× ÷6） ②1÷（ ÷6） ③6÷
师：“喜欢野人谷的人数是观音洞的3倍”，这句话你能用不同的数学语言叙述吗？
预设：喜欢野人谷和观音洞的人数比为3︰1；
喜欢观音洞的人数是野人谷的 ；喜欢野人谷的和全班人数的比是3︰4；
喜欢观音洞的和全班人数的比是1︰4；
喜欢野人谷的人数占全班的 ；喜欢观音洞的人数占全班的 。
导入：从中我们可以发现：倍数，比，分数三者之间可以相互转化，所以同一个问题我们可以用不同的知识、从不同的角度来解答。（板书课题）
四、课堂小结：通过本节课的学习，你有什么想和大家交流的吗？
灵活运用所学知识，善用“转化”的思想。
个性化调整
课后反思：
补充问题，完整题目：六（1）班有60人，喜欢野人谷的人数是观音洞的3倍，喜欢野人谷和观音洞的各有多少人？（通过刚才的理解，用自己喜欢的一种方法解答此题。）
二、整理归纳，探索解法：
1.自主探究，尝试探疑
一辆汽车从甲地开往乙地，2小时行全程的40%，照这样计算，行完全程的80%，需几小时？（至少用4种方法）
实验小学数学集体备课
年级
六
设计者
课时
第64课时
研讨时间：6.9
课题
用不同的方法解决问题
印发教学目标
1、沟通倍数、分数、比等知识的内在联系，引导学生灵活运用已学的知识从不同的角度来解答同一问题。
一题多解在数学解题中的运用——以2010年高考数学(17)题为例
尹Ｂ ＝赢 由丢 ｓ詈 ｉ ｎ
‘
・
得。 ＇２ ＝ ５
ｄ
［ 解法 ６ 过 Ａ作 Ｂ ］ Ｃ的垂线 Ａ ，垂足为 Ｅ Ｅ 。
＝
，
而 ｓ Ｚ Ｄ ｓ ＺＡ Ｃ：｛。 ｉ Ａ Ｂ＝ ｉ Ｄ ｎ ｎ
、
由正 弦 定 理 得 ：
Ａ Ｂ
由 ｃｓ 。 ＺＡＤＣ＝ ，可 设 ＡＥ＝缸 ，Ｄ Ｅ＝３ ，Ａ ＝５ 。 ｘ Ｄ ｘ
１ ３ ５
：
翌
Ｄ Ｆ
＝２５。
ｃｓ Ｄ ｏＺＡ Ｃ＝导，求 Ａ 。 Ｄ
、
对这道高考题 ，可以采用如下多种解法 求解 ：
１ ｆＮ ＝ ） ＡＤ ￣
［ 解法 １ ］由题意可得 ：ｃ ｓ １ ｏＢ＝二 ｉＺＡ ７，ｓ ＝ ｎ ＤＣ＝ －。 ｉ －
从 而 ｓ Ｂ Ｄ ＝ｓ （ ＡＤＣ— ｉ ｎ Ａ ｉ ｎ Ｂ）
所 Ａ＝ Ａ 以Ｂ罢 。 。
１ ２
一 １ 。 ３
‘ｉ ｓｎＢ
Ｉ ． ｔｎＢ ‘ａ －
。
又 由余弦定理知 ｃ ｓ Ｂ Ｂ ｏＢ＝ Ａ Ｄ 一Ｄ
２ＡＢ ． ＢＤ
即
＝５
，
解 得 ：５ 。从 而 ＡＤ＝５ ＝５ ×５＝ ５ ２。
将 Ｂ 罢 Ｄ 人 式可 ：０Ａ １ ６Ａ Ａ： Ａ代 此 ，得２２Ｄ ０ ０Ｄ ７７ 一２ ０ ９
：
３ ×三 ：堕 ３
１ ３ １ ３
—
１ ３６ 一
学 园 ｌ Ｃ Ｄ ＭＹ ＡＥ Ａ
２１ ０ １年 ８月
高 中新课程 数学课 堂教 学 的思 考 与探索
吴伟 鸿 福 建 省晋 江 市 紫峰 中学
【 要】 摘 本文从问题驱动教学、数学建模教学、合理运用现代信息技术教学三方面，论述 了 高中新课程数学教学方法和ｉ
经济应用数学课程中的一题多解问题举例
经济应用数学课程中的一题多解问题举例
在经济应用数学的课程中，常常会出现一题多解的情况。
这时，学生需要灵活运用数学知识和经济学知识，从多个方面来解决问题。
下面举一个例子，说明一题多解问题的存在和解决方法。
例如，一家工厂会投资一项新的生产工艺，该工艺生产出的产品质量更好、更快，但是需要更高的固定成本和更低的可变成本。
现在要通过经济学的手段来比较新生产工艺与旧生产工艺的经济效益。
下面是学生可能会遇到的解题思路：
解法一：利润最大化方法
根据这个建议，我们需要评估每一种生产工艺对应的利润情况，然后比较哪一种工艺可以创造更多的利润。
财务经理可能会采用以下步骤来计算利润：首先计算每个产品种类的生产总成本，然后根据每个产品销售价格和数量估算销售总收入。
将销售总收入扣除生产总成本，就可以得到利润。
通过对比两个工艺的利润可以判断哪个工艺更经济实惠。
解法二：成本收益分析法
成本收益分析是经济学中的一种分析方法，通过比较不同方案的成本和收益，确定哪个方案比较合适。
具体来说，工厂可以首先计算旧生产工艺的总成本和总收益，然后计算新生产工艺的总成本和总收益。
然后将两个方案的成本和收益做成表格，对比哪个方案的利益最大。
解法三：机会成本法
通过以上三种方法中的任意一种都可以得到这个问题的解，但不同的解法可能会得出不同的结论。
因此，学生需要灵活掌握数学工具和经济学知识，以便在遇到一题多解问题时，能够从不同的角度来解决问题。
只有综合考虑多种解法，才能得出准确的结论，为企业的决策提供实用性建议。
一题多解示范课教案
一题多解示范课教案教案标题：一题多解示范课教案教案目标：1. 帮助学生理解一题多解的概念，培养他们的创造性思维和解决问题的能力。
2. 引导学生学会通过不同的方法和角度解决问题，培养他们的多元化思维。
3. 提供示范和指导，让学生在实践中体验一题多解的乐趣和挑战。
教学时长：45分钟教学目标：1. 学生能够理解一题多解的概念，并能够举例说明。
2. 学生能够通过多种方法和角度解决给定的问题。
3. 学生能够展示和分享自己的解题思路和方法。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿或白板和标记工具。
2. 学生练习册或工作纸。
3. 问题解答示范材料。
教学过程：引入（5分钟）：1. 向学生解释一题多解的概念，即同一个问题可以有多种不同的解决方法和答案。
2. 引导学生思考和讨论一题多解的好处，例如培养创造性思维、提高问题解决能力等。
探究（15分钟）：1. 准备一个简单的问题，例如：5+3=？2. 鼓励学生以小组形式讨论和尝试不同的解题方法，并记录下来。
3. 指导学生使用不同的方法解决问题，例如：列竖式、使用计算器、将5和3分别拆分成更小的数等。
4. 鼓励学生尝试创造性的解题方法，例如：使用图形、故事等。
展示（15分钟）：1. 邀请学生展示他们的解题方法和答案，可以通过小组展示或个人演示的方式。
2. 引导学生互相评价和讨论不同解题方法的优缺点。
3. 引导学生思考和讨论为什么同一个问题可以有多种解决方法，培养他们的批判性思维和逻辑思维能力。
总结（10分钟）：1. 总结一题多解的概念和好处。
2. 鼓励学生在以后的学习中尝试多种解决问题的方法。
3. 提供反馈和指导，帮助学生进一步提高解题能力。
拓展活动：1. 给学生布置类似的问题，让他们继续探索一题多解的思维方式。
2. 鼓励学生在其他学科中寻找一题多解的例子，并分享给全班。
教学评估：1. 观察学生在小组讨论和展示中的积极参与程度。
2. 评估学生的解题思路和方法是否多样化。
发散性思维的培养—一题多解
发展学生思维的求异性——一题多解在平时的教学中，不但要训练学生的集中思维，同时也要给学生创设较多的训练发散性思维的机会，教师要鼓励学生从不同的角度去思考，用自己喜欢的方法去解答，从自身的生活背景中发现数学，创造数学，使用数学，使学生不但擅长单向思维，而且习惯于多向思维，发展学生求异思维。
案例1：在复习相遇问题时，向学生出示了这样一道应用题。
客车和火车同时从相距360千米的甲乙两地相对而行，经过3小时相遇，已知货车每小时行68千米，客车每小时行多少千米？师：大家认真分析题中的数量关系，看有哪些不同的解法。
解法1：（360-68×3）÷3＝（360-204）÷3＝156÷3=52(千米) 答：客车每小时行52千米。
解法2:360÷3-68=120-68=5 2（千米）答：客车每小时行52千米。
师：还能够用什么方法解答?解法3：解：设客车每小时行X千米68×3＋3X=3603X=360-204X=52（千米）答：客车每小时行52千米。
解法4：解：设客车每小时行X千米3（68+X）=36068+X=120X=52（千米）答：客车每小时行52千米。
案例2：学习了比的应用后，向学生出示了这样一道题。
福和希望小学五六年级学生参加植树活动，六年级植树的棵树比五年级多1／4，五六年级共植树180棵，五六年级各植树多少棵？师：同学们对于这道题，大家有哪些不同的解法？学生纷纷展示解法1:由题意可知五六年级植树的棵树比为4：5180×4／9＝80(棵)180×5/9=100（棵）答：五年级植树80棵，六年级植树100棵。
解法2:由题意可知六年级植树的棵树是五年级的5／4 180÷（1+5／4）=80（棵）80×5／4＝100（棵）答：五年级植树80棵，六年级植树100棵。
解法3：解：设五年级植树X棵X+5／4X=180或（1+5／4）X=180X=85／4X=100 答：五年级植树80棵，六年级植树100棵。
《一题多解》教学案例
课程教学 >>236《一题多解》教学案例王金花山西省汾阳市英雄街初级中学一、案例背景初中九年级学生在已有第24章第1节“圆的有关性质”的学习经历，第2节刚刚接触“点与圆位置关系”中的“三角形外接圆”后，运用还达不到灵活自如，考虑问题不周全，遇题找不到突破点，部分学生做不到对知识的分析、整合、反思、感悟，所以解决问题时因领悟不到方法而无从下手。
通过教师关键处的引导，教给学生如何有效利用已知条件找到求解问题的突破口，学生顿时柳暗花明，思维的碰撞激起灵感的火花。
二、案例展示与分析师：同学们，九上《问题导学》P117大家完成情况怎样，有棘手题目吗？生：有！（异口同声），第5题难，有的同学说“无从下手”、有的同学说“不敢肯定”。
师：（笑眯眯）哦，是吗？那我们就一起进入第5题（多媒体展示题目）。
如图，⊙0是△ABC的外接圆，且AB=AC=13,BC=24,求⊙0的半径。
师：能帮老师提炼出题目中已知、求证部分的关键词吗？生：已知等腰三角形的底和腰，求外接圆半径。
师：太棒了，概括能力够强，老师为你们点赞。
师：那能告诉老师图中有半径吗？根据上节经验已知弦时需借助什么图形求半径？生：没有。
垂径定理，勾股定理，需添加辅助线（几名学生兴奋地说）。
师：怎么添加？生：连接OA、OB、OC。
师：哦，这就构造了垂径定理，勾股定理基本图形了。
可老师没看见垂直或直角三角形，有吗？生：有！（很肯定的）师：你怎么知道的？能说明一下吗？请同学们利用所学知识试着解释。
学生积极思考，自主完成。
2分钟后，生甲：老师，能证出来，用三线合一。
先证∆ABO与∆ACO全等，得到角等后用三线合一。
（全班同学会心地点点头）师：同学们，行吧？老师非常欣赏你善于思考的好习惯。
生乙：老师我来说，还可以在∆CBO中用三线合一。
师：是吗？说说看。
生乙：也可得到圆心角等后在∆CBO中用三线合一。
师：太棒了。
同学们，可以吗？能说说你用到的知识点吗？生：在同圆或等圆中，相等的弦所对圆心角相等。
高中一题多解教案设计模板
课程名称：高中数学课时：2课时教学目标：1. 让学生理解一题多解的概念，掌握多种解题思路和方法。
2. 培养学生的创新思维和逻辑思维能力，提高解题能力。
3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学生的自信心。
教学重点：1. 一题多解的概念和基本思路。
2. 不同解题方法的运用和比较。
教学难点：1. 解题方法的创新和优化。
2. 不同解题方法之间的联系和区别。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 典型的题目若干。
3. 解题技巧和方法的相关资料。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 引导学生回顾已学过的解题方法，提出一题多解的概念。
2. 强调一题多解在数学学习中的重要性。
二、新课讲解1. 举例说明一题多解的基本思路，如分析法、综合法、换元法等。
2. 讲解不同解题方法的运用，以具体题目为例，让学生体会一题多解的思路。
三、课堂练习1. 布置典型题目，要求学生运用一题多解的方法解题。
2. 学生分组讨论，教师巡视指导，帮助学生找到解题思路。
四、解题技巧分享1. 学生分享自己找到的解题方法，教师点评并总结。
2. 引导学生比较不同解题方法的优缺点，提高解题技巧。
五、课堂小结1. 总结一题多解的基本思路和解题方法。
2. 强调一题多解在数学学习中的重要性。
第二课时一、复习导入1. 复习上一节课的内容，回顾一题多解的基本思路和解题方法。
2. 引导学生思考如何优化解题方法。
二、新课讲解1. 讲解解题方法的创新和优化，如构造法、归纳法等。
2. 以具体题目为例，展示如何运用创新方法解题。
三、课堂练习1. 布置创新题目，要求学生运用创新方法解题。
2. 学生分组讨论，教师巡视指导，帮助学生找到创新解题思路。
四、解题技巧分享1. 学生分享自己找到的创新解题方法，教师点评并总结。
2. 引导学生分析不同解题方法的联系和区别，提高解题技巧。
五、课堂小结1. 总结一题多解的创新方法和优化技巧。
2. 强调创新思维在数学学习中的重要性。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，评价学生对一题多解的理解和掌握程度。
小学三年级奥数教案 第40讲 一题多解
第40讲一题多解一、专题简析：一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法，经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑更灵活。
在进行一题多解的练习时，要根据题目的具体情况，首先确定思维的起点，然后沿着不同的思考方向，就能找到不同的解题方法。
在寻求一题多解时，还应该特别选择解决问题的简便方法和最佳途径。
二、精讲精练例1：有一个正方形池塘，四周种树，每边种8棵，每个顶点种一棵，每两棵树之间距离都相等。
四周一共种了多少棵树？练习一1、在一个正方形的菜地四周围篱笆，每个顶点插一根，每两根篱笆之间的距离相等，每边有12根篱笆，四周一共围了多少根篱笆？2、有一个三角形花圃周围种松树，每个顶点种一棵，每边种10棵，每两棵之间距离相等，周围一共种了多少棵？例2：一瓶花生油连瓶一共重800克，吃掉一半油，连瓶一起称，还剩550克。
瓶里原有多少克油？空瓶重多少克？练习二1、一袋大米，连袋共重50千克。
吃掉一半后，连袋剩下26千克。
大米重多少千克？袋重多少千克？2、一筐苹果连筐共重85千克，倒去一半后，连筐共重45千克。
苹果和筐各重多少千克？例3：甲班有42人，乙班有35人，开学时来了25位新同学，怎样分才能使两班学生人数相等？练习三1、小明有18枝铅笔，小红有15枝铅笔，妈妈又买来13枝铅笔，怎样分，才能使两人铅笔一样多？2、甲仓库有粮食420吨，乙仓库有粮食370吨，又运来粮食180吨，怎样分，才能使两仓库粮食一样多？例4：从小青家经小红和小强家到学校有450米，从小青家到小强家有390米，从学校到小红家有320米。
从小红家到小强家有多少米？练习四1、亮亮经过小明、小丹家到电影院共500米，从亮亮家到小丹家是270米，从小明家到电影院是410米。
从小明家到小丹家多少米？2、小敏外出旅游乘车回家，从汽车站经医院、商店到家共1000米，从汽车站到商店是620米，从医院到家是690米。
那么医院到商店多少米？例5：小青以均匀的速度在公路上散步，从第1根电线杆走到第10根电线杆共用了12分钟，如果她走24分钟，应走到第几根电线杆？练习五1、玲玲上楼，从一楼到三楼用6分钟，如果她走12分钟，应走到几楼？2、路的一旁插着彩旗，如果从第一面旗走到第4面旗要用12分钟，那么走24分钟能从第一面走到第几面？三、课后作业1、少先队员表演节目，围成一个正方形，每个顶点站1人，已知每边站6人，一共站了多少人？2、一筐橘子，连筐共重45千克。
高中一题多解教案设计模板
一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）让学生掌握一题多解的基本概念和原则；（2）培养学生运用多种方法解决问题的能力；（3）提高学生的逻辑思维和创新能力。
2. 过程与方法目标：（1）通过引导学生分析问题，激发学生的探究兴趣；（2）通过小组合作，培养学生的团队协作能力；（3）通过实践操作，提高学生的动手能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）培养学生独立思考、勇于创新的精神；（2）激发学生对数学学科的兴趣和热爱；（3）培养学生团结互助、共同进步的品质。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）一题多解的基本概念和原则；（2）运用多种方法解决问题的能力。
2. 教学难点：（1）如何引导学生发现一题多解的方法；（2）如何培养学生的创新思维。
三、教学过程1. 导入新课（1）创设情境，提出问题，激发学生的兴趣；（2）引导学生回顾已学知识，为新课做好铺垫。
2. 新课讲解（1）讲解一题多解的基本概念和原则；（2）分析一题多解的典型例题，引导学生发现解题方法；（3）组织学生分组讨论，尝试运用多种方法解决问题。
3. 小组合作（1）每组选择一个典型问题，进行一题多解的讨论；（2）每组汇报讨论成果，展示解题方法；（3）教师点评，总结各组的优点和不足。
4. 实践操作（1）学生自主选择问题，进行一题多解的练习；（2）教师巡视指导，解答学生的疑问；（3）学生分享自己的解题经验，互相学习。
5. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，总结一题多解的基本概念和原则；（2）强调一题多解的重要性，鼓励学生在日常生活中运用所学知识。
四、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识；2. 选择一个实际问题，尝试运用一题多解的方法解决；3. 撰写一篇关于一题多解的心得体会。
五、教学反思1. 教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教；2. 引导学生积极参与课堂活动，培养学生的团队协作能力；3. 注重培养学生的创新思维，激发学生对数学学科的兴趣；4. 及时总结教学经验，不断改进教学方法。
高中数学小题一题多解教案
高中数学小题一题多解教案
教学目标:
1. 学生能够运用不同的方法解决同一高中数学小题。
2. 学生能够灵活运用所学知识，提高解题能力和思维能力。
教学准备:
1. 黑板、粉笔或白板、马克笔
2. 环球雅思教育智能语音助手或其他在线智能语音助手
教学过程:
Step 1: （导入）
教师出一道高中数学小题，例如：已知直线y=2x+1与y=ax+b平行，且通过点（2，3），求a和b的值。
Step 2: （讨论）
让学生讨论并思考有哪些方法可以解决这道题目。
1. 方法一：利用平行线性质，两直线平行，斜率相等。
2. 方法二：通过代入法解方程组。
Step 3: （学生练习）
让学生分组练习解答这道题目，每组尝试不同的解题方法。
Step 4: （展示讨论）
让每组学生汇报他们的解题思路和答案，大家一起讨论不同方法的优劣以及解题过程中的
注意事项。
Step 5: （总结）
教师总结各种方法的优缺点，并引导学生总结出解题的一般方法。
Step 6: （拓展）
教师可以出几道类似的题目让学生练习，鼓励他们尝试不同的解题方法，提高解题灵活性
和思维能力。
Step 7: （作业）
布置作业，要求学生解答一道与本课题类似的多解题目，并要求写出解题过程。
教学反思:
本节课通过一道高中数学小题，引导学生学会不同方法解决同一问题，提高解题能力和思维能力。
同时，通过讨论和展示，促进学生间的合作和交流，提高学习效果。
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数学一题多解应用题教学案例
在数学教学中，让学生学会一题多解，有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题；有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧。
而采用一题多变的形式，可以训练学生积极思维，触类旁通。
提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性。
两者都有利于学生提高解决综合问题的能力，有利于培养学生的探索精神；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法。
一、课堂教学中合理引导学生从多个角度解决问题
案例一：两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。
一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？
【分析 1】先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法1】一辆汽车行驶了多少千米？55×5=275（千米）
另一辆汽车行驶了多少千米？45×5=225（千米）
甲、乙两地相距多少千米？275+225=500（千米）
综合算式： 55×5+45×5=275+225=500（千米）
师评价：这种方法好。
【分析2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法2】两车每小时共行驶多少千米？55+45=100（千米）
甲、乙两地相距多少千米？100×5=500（千米）
综合算式：（55+45）×5=100×5=500（千米）。
师评价：这种解法妙。
【分析 3】甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。
由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。
【解法3】设甲乙两地相距x千米。
x÷5=55+45
x=100×5
x=500
师评价：此种解法真优美
【分析4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列方程解答。
【解法4】设甲乙两地相距x千米。
x-55×5=45×5
x-275=225
x=275+225
x=500
答：甲、乙两地相距500千米。
师评价：此种解法真新颖。