逻辑运算 充要条件

逻辑运算与充要条件● 知点 考点 答点（1）“非”——逻辑从这里开始“非”运算比“且”运算、“或”运算更基础，因为后者涉及两个运算对象（命题p 和q ），而前者只涉及一个运算对象（命题p ）。

任何一个数学问题，它都是“p ”与“非p ”的“并”，且“p ”与“非p ”的“交”为“空”。

因此，“p ”与“非p ”构成一真一假的对立统一。

于是，论证“p ”为真，可以转证“非p ”为假。

【例1】 A 、B 是两个集合，试判断命题P ：A （A ∪B ）的真假。

【分析】 一般的定义或定理都是“正面”的，这里的命题P 是个“反面”形式。

如果将其否定，则成“正面“形式。

【解答】 因为P ：A （A ∪B ）则有非P ：A ⊆（A ∪B ）易知非P 为真，从而知P 为假。

（答案）【说明】 逻辑联词中的“非”与日常语言中的非有点不同，后者不管“非的对立面”，而前者等价于将“对立面”肯定。

（2）“且”与“并”——基本逻辑运算“p 且q ”的真值表“三真合一”：p 真、q 真，则“p 且q ”真，其他情况为假。

“p 或q ”的真值表“三假合一”：p 假、q 假，则“p 或q ”假，其他情况为真。

【例2】 a 、b 为实数，已知两个真命题P ：a ∉{x ∈Z |022<--x x }；q ：b ∉{ x ∈R |022=-+x x }。

当命题“非p 或非q ”为假时，试用不等式组表示不等式：.0121)1(2<-+++ax bx bx a【分析】 问题在于求出a 、b 的值。

可利用“或”“且”“非”的逻辑运算而得。

【解答】 真命题p 化简为P ：a ∉{0，1}真命题q 化简为q ：b ∉{－2，1}由此得假命题非p ：a ∈{0，1}，非q ：b ∈{－2，1}。

又“非p 或非q ”为假命题，所以必须且只须非p 且非q 为假命题，于是有a =0或1且b =－2或1。

所以不等式0121)1(2<-+++ax bx bx a 有以下四种情况（1）a =0，b = －2时，012422>+-x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+<-⎪⎩⎪⎨⎧>+>-01204201204222x x ••x x 或 （2）a =0，b =1时，01212<-+x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-<+⎪⎩⎪⎨⎧<->+010*********x x ••x x 或 （下略） 【说明】 本题为或、且、非的混合运算：“非．p 或非．．q ”为假，即非．p 假且非．．q 假。

逻辑联词中的“且”与日常语言的“和”不同，后者有“并”的含义，而前者是“交”（公共部分）；逻辑联词中的“或”与日常语言中的或有点不同，后者有“选”的含义，而前者是“并”（合成整体）。

（3）充要条件——等价转换的依据方程3x －6=0的解还是一个方程x =2；不等式3x －6>0的解还是一个不等式x >2。

所有数学解题，就是把复杂的问题用简单的、等价的问题进行替代。

这种替代的依据是：它们互为充要条件。

【例3】 求证：关于x 的一元二次不等式02≤++q px x 的解集只含一元元素的充要条件是q p 42=。

【分析】 视q p 42=为条件A ，视不等式02≤++q px x 的解集只一个元素为结论B 。

按充要条件的定义进行证明。

【解答】 0442222≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++p q p x q px x ⇔44222q p p x -≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 证充分性：A ⇒B当q p 42=时，不等式化为22⎪⎭⎫ ⎝⎛+p x 0≤此不等式有唯一解x = －2p 。

证必要性：B A ⇒若q p 42≠，则q ••p q •p 4422><或。

当q •p 42<，则有22⎪⎭⎫ ⎝⎛+p x 0<，原不等式无解； 当q •p 42>，则原不等式解为242422qp p x qp p -+-≤<---则原不等式的解集不只一个元素。

综上所述：q p 42=是02≤++q px x 解集只一个元素的充要条件。

● 通法 特法 妙法（1）真值表——判定复合命题的真假复合命题有三种基本形式：“p 且q ”， “p 或q ”，“非p ”。

它们的真和假，由p 、q 的真假经过真值表而确定。

【例4】 已知复合命题“p 或q ”为真，“非p ”为假，则必有 （ ）A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 真，q 可真可假【分析】 已知复合命题的真假，判定对应的简单命题的真假。

“逆用”真值表。

【解答】 “p 或q ”为真的意义是：p 真q 假，或p 假q 真，或p 真q 真。

由“非p ”为假而得“p 真”。

于是否定了“p 假q 真”，而肯定了“p 真q 假”或“p 真q 真”。

故答案为D 。

（2）“非p ”法——利用补集求“非” 函数112-x 的值域对应命题p ：“012≠-x ”为真，即命题“1-≠x ，1”为真。

命题⌝p ：“x = －1，1”为假。

这就得到了函数112-x 的定义域（－x ，－1）∪（－1，1）∪（1，0），这种利用补集求“非”的办法就是“非p 法”。

【例5】 已知命题p ：存在x ∈R ，使0332≤+-x x ，则 （ ）A ．⌝p ：存在x ∈R ，使0332>+-x x ，且⌝p 为真B ．⌝p ：存在x ∈R ，使0332>+-x x ，且⌝p 为假C ．⌝p ：对任意的x ∈R ，都有0332>+-x x ，且⌝p 为真D ．⌝p ：对任意的x ∈R ，都有0332>+-x x ，且⌝p 为假【解答】 这是一个存在性命题，它的否定（非p ）是：R 中不存在这样的x ，使0332≤+-x x ，或者是：对所有的x ∈R ，都有0332>+-x x 为真。

故答案为C 。

【点评】 这里有命题p ：0332≤+-x x 为假，则⌝p ：0332>+-x x 为真，P 对应的解集为空集。

⌝p 对应的解集为空集的补R 。

（3）箭头“⇒”——将充要条件简化用推断符号“⇒”与 连结开语句或命题，可使“陈述语言”简化。

由p 真则q 真用“⇒”连结，得“p ⇒q ”；否则（否定）“p q ”。

由“p 真则q 真”且“q 真则p 真”，得“p ⇔q ”；否则（否定）“pq ”。

数学问题作等价转换时，常用符号“⇔”。

【例6】 关于x 的一元二次方程0422=-+-k kx x 有两个正根，求k 的取值范围。

【分析】 求k 的取值范围，即求k 值的集合。

要求k 值不假不漏。

即求方程有正根的充要条件。

【解答】 方程0422=-+-k kx x 的两根x 1、x 2都为正数⇔0)4(422≥--=∆k k 且x 1+x 2=k >0且x 1∙x 2=k 2－4>0⎪⎩⎪⎨⎧>->-≥⇔040)4(4222k k k •k ⇔3342≤<k （答案） 【点评】 本解行文中，没有一处提到“充要条件”，因其隐化到了符号“⇔”中。

若用充要条件的普通语言行文，其答案的篇幅将会翻番，而且还很难表述清楚。

（4）等价法——充要条件的逆用充要条件能判定等价命题。

反过来，等价命题也能判定充要条件。

例如，原命题与逆否命题等价，逆否命题与原命题之间，可互相用作充要条件。

【例7】 已知p ：x ≠2或y ≠3；q ：x+y ≠5。

判断p 是q 的什么条件。

【分析】 p 、q 都为“否”的形式，难寻直接证据。

转化为等价的逆否形式：非q ：x+y =5是非p ：x =2且y =3的什么条件？【解答】 因为x =2，y =3时，有x+y =5。

即⌝p q ⌝⇒。

但由 x+y =5推不出x =2且y =3，即q⌝p ⌝。

故⌝p 是q ⌝的充分不必要条件即q 是p 的充分不必要条件。

从而知p 是q 的必要不充分条件（5）反证法——原命题等价转换成逆否命题否定之否定等于肯定，第一个否定的是原结论；第二个否定的是假设。

既然假设被否，即是原结论被肯定，从而得证——这就是反证法原理。

反证法导出矛盾一环，分为三种情况：一、⌝p 为真——与已知矛盾二、q 为真——与假设矛盾三、恒假设命题——与公理、定理、公式、法则等一切已知结论矛盾。

【例8】 已知a 1a 2=2（b 1+b 2）求证：关于x 的一元二次方程（Ⅰ）0112=++b x a x 与（Ⅱ）0222=++b x a x 中，至少有一个方程有实根。

【分析】 原命题即：（Ⅰ）有实根而（Ⅱ）没有，或（Ⅰ）没有实根而（Ⅱ）有，或（Ⅰ）和（Ⅱ）都有实根。

这三种情况不仅复杂，而且难证。

考虑证它的迸否命题：若（Ⅰ），（Ⅱ）都无实根，则a 1a 2≠2（b 1+b 2）。

【证明】 假设方程（Ⅰ），（Ⅱ）都无实根，则有⎪⎩⎪⎨⎧<<22212144b a b a 212122212)(4a a b b a a =+<+⇒).(2.0)(2121221b b a a ••a a +≠⇒<+⇒这与已知条件矛盾。

故假设不成立，原结论正确。

【点评】 至多（或至少）问题，都是（都不是）问题，不超过（都超过）问题等等，它们都是反证法的拿手好戏。