第一讲 二次根式及一元二次方程

第一讲 二次根式及一元二次方程

【知识回顾】

1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2

⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a 5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算

术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积

的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍

作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

a≥0，b≥0）； =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项

式的乘法公式，都适用于二次根式的运算

6.分母有理化

(1)定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

(2)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这

两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

a =b

a -与

b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a a

分别互为有理化因式。

(3)分母有理化的方法与步骤：

（1）先将分子、分母化成最简二次根式；

（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

7、一元二次方程：

(1)定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2次的整式

方程叫做一元二次方程。

(2) 一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a≠0)。其中，a 称为二次项系数，ax 2称为二次

项；b 称为一次项系数，bx 称为一次项；c 称为常数项。（确定a,b ，c 必须先化为一般式）

（3）四种解法 ：

直接开平方法两个类型：()()()2

200x b b x a b b =≥-=≥和 （如果b < 0，方程就没有实数解。）

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十

字相乘法”。

用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数

一半的平方。用公式法的关键在于：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。

一元二次方程ax 2

+bx +c =0(a ≠0)的求根公式：).04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 8. 一元二次方程根的判别式：

关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .

（1）ac b 42

->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .

（2）ac b 42

-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .

（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 9．一元二次方程根与系数的关系：

若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，

那么=+21x x ，=⋅21x x .

（1）若方程的两根互为相反数，则 .（2）若方程的两根互为倒数，

则 .

（3）若方程其中一个根为0，则 .（4）若方程有两个正实根，

则 .

（5）若方程有两个负实根，则 （6）若方程有两根异号，则

推论1：如果方程x 2+px+q=0的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q.

推论2：以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2-( x 1+x 2)x+ x 1x 2=0

10．补充知识：

(1)二次三项式因式分解公式：ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)。其中x 1，x 2是一元二次方程

ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根。

(2)求一元二次方程两根x 1，x 2的对称式的值，常用公式：

①x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2； ②(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2

11．易错知识辨析：

（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上“二次项系数

0a ≠”这个限制条件.

（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意两个前提：① 根的判别式042

≥-ac b ；

② 二次项系数0a ≠。

【典型例题】

例1：将

根号外的a 移到根号内，得 ( ) A. ； B. －； C. －； D.

跟踪练习：把（a －b ）－1a －b 化成最简二次根式

例2：已知a>b>0，

的值为（ ）

A ．2

B ．2

C

D ．12 例3：若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围

（ ）

A 、k ＜1

B 、k ≠0

C 、k ＜1且k ≠0

D 、k ＞1

例4：如图，菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O 点，且AO 、BO 的长分别是关于x

的方程03)12(22=++-+m x m x 的根，则m 的值为（ ）

A ． -3

B ． 5

C ． 5 或-3

D ． -5或3

例5：设3819-的整数部分为x ,小数部分为y ,试求y

y x 1++的值.

例6：合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利

40元.为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减

少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均

每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少？