苏北四市2018届高三一模数学试卷+答案

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江苏省苏北四市2018届高三第一次模拟考试

江苏省苏北四市2018 届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {-1,0,1}2. 13. (0,1]4. 135. 7506.78549.410.11.11 ..12. [ -1,+1] 13 . [-2,2]14. -15 . (1) 在△ABC中 ,由 cos A= ,得A为锐角 ,所以 sin A=-= ,所以 tan A== ,(2 分)所以 tan B=tan[( B-A)+A]= --(4 分) -==3.(6 分) -(2)在△ABC 中,由tan B=3,得 sin B=,cos B=,(8 分)所以 sin C=sin( A+B)=sin A cos B+ cos A sin B=.(10 分)由正弦定理=,得 b===15,(12 分)所以△ABC 的面积为 S= bc sin A= ×15×13×=78 .(14 分)16 . (1) 如图 , 取AB的中点P, 连接PM,PB1.因为 M,P 分别是 AB,AC 的中点,所以 PM∥BC,且 PM= BC.在直三棱柱 ABC- A1B1C1中,BC∥B1C1,BC=B 1C1,又因为N 是 1 1的中点,B C所以 PM∥B1N,且 PM=B1 N,(2 分)所以四边形 PMNB 1是平行四边形,所以∥ 1.(4分 ) MN PB因为 MN?平面 ABB1A1,PB1?平面 ABB1A1,所以 MN∥平面ABB1A1.(6分 )(2)因为三棱柱 ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以 BB1⊥平面 A1B1C1,(第 16 题)又因为 BB1?平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1⊥平面 A1 B1C1 .(8 分)因为∠ABC=90°,所以 B1C1⊥B1A1,平面11∩平面1111A1, 1 1?平面111,ABB A ABC=B B C A B C所以 B1 C1⊥平面ABB1 A1 .(10 分)又因为 A1B?平面 ABB1A1,所以 B1 C1⊥A1B,即 NB 1⊥A1 B.如图 ,连接AB1,因为在平行四边形 ABB1 A1中,AB=AA1,所以 AB1⊥A1 B.又因为 NB 1∩AB1=B 1,且 AB1,NB 1?平面 AB1 N,所以 1 ⊥平面 1 ,(12 分)A B AB N因为 AN?平面 AB1N,所以 A1 B⊥AN.(14 分)(第 17题)17 . (1)如图 ,设AO交BC于点D,过点O作OE⊥AB,垂足为 E.在△AOE 中,AE=10cosθ,AB=2 AE=20cosθ,(2 分)在△ABD 中,BD=AB ·sinθ=20cosθ·sinθ,(4 分)所以S=· 2π·20sin ·cos ·20cos400π·sin cos 2θ.(6 分)θ θθ=θ(2)要使侧面积最大 ,由 (1)得 ,S=θθ=θ-θ.(8 分)400π sin cos 2400π(sin sin 3)设 f(x)=x-x3(0 <x<1),则 f' (x)=1 -3 x2,由 f' (x)=1-3x2=0,得 x= .当 x∈时,f'(x)>0;当 x∈时,f'(x)<0,所以 f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以 f(x)在 x=时取得极大值,也是最大值,所以当 sin θ=时 ,侧面积S取得最大值.此时等腰三角形的腰长AB=20cos20 -=20 -=.θ=答: 侧面积S取得最大值时 ,等腰三角形的腰AB 的长度为cm .18 . (1) 设椭圆的方程为+ =1( a>b>0),由题意知解得所以椭圆的方程为+=1 .(2) 若AF=FC,由椭圆的对称性 , 知A,所以B--,此时直线BF的方程为 34 3 0.x- y-=--得 7 x2-6 x-13 =0,由解得 x=( x=-1 舍去 ),- -故== .-(3)设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0),直线 AF 的方程为 y=-(x-1),代入椭圆的方程+ =1,2-8-15+24 x =0 .得(15 -6 x ) x00因为0 是该方程的一个解,所以C 点的横坐标C-.x=x x =-又 C( x C,y C)在直线 y=-(x-1) 上 ,(11 分)(14 分)(2 分)(4 分)(6 分)(8 分)(10 分)(12 分)-所以 y C= -( x C-1) = -.同理 ,点D的坐标为,(14分 )--所以2=-= 1 ,k-= k--即存在 m= ,使得 k2 = k1 .(16分 ) 19 . (1) 函数h( x)的定义域为 (0,+∞).当 a= 1时, h(x)=f(x)-g(x)=x2 +x-ln x+2,所以 ()2 1-,(2 分) h' x = x+ - =所以当 0 <x<时 ,h'(x)<0;当 x> 时,h'(x)>0,所以函数h(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,函数()取得极小值ln2, 无极大值.(4 分)h x+(2)设函数 f(x)上点( x1,f(x1))与函数 g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同, 则(1)(2)-,f' x=g' x=-所以 2x1+a==--(6 分) -,所以 x1=-,代入-=11(ln2-a), +ax +- x得 - +ln x2+ -a-2=0 .(*)(8 分)设 F (x)= - +ln x+ -a- 2,则 F'( x)=- + + =- .不妨设 2+ax0-1=0( x0>0),则当 0<x<x0时 ,F'(x)<0;当 x>x 0时,F'(x) >0,所以 F(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,(10 分)代入 a= - = -2x 0 ,得 F (x )min =F ( x 0)= +2x 0 - +ln x 0-2 .设 G (x )=x 2 +2 x- +ln x-2, 则 G'(x ) =2 x+2+ + >0 对 x>0 恒成立 ,所以 ( )在区间 (0,)上单调递增 . 又G (1)=0,G x+∞所以当 0 <x ≤1 时 , G ( x )≤0,即当 0 0≤1 时, ( 0)≤0 .(12 分)<xF x又当 x=e a+2 时,F (x )= -+lne a+2 + -a-2 =- ≥0.(14 分)因此当 0 <x 0≤1 时,函数 F (x )必有零点 ,即当 0 <x 0≤1 时 ,必存在 x 2 使得 ( *)成立 ,即存在 x 1 ,x 2 使得函数 f (x )上点 (x 1 ,f (x 1))与函数 g (x )上点 (x 2, g ( x 2)) 处切线相同 .又由 2 x , 得y'=- 2 0,y= -- <所以 y= -2 x 在(0,1) 上单调递减 ,因此 a= -= -2x 0 ∈[-1,+∞),所以实数 a 的取值范围是 [-1,+∞).(16 分)20 .(1) 若 0, 4,则 n 4 n- 1( ≥2),λ=μ= S = a n所以 a n+1=S n+1 -S n =4( a n -a n- 1),即 a n+1-2a n =2(a n -2a n-1 ), 所以 b =2 b 1.(2 分)n n-又由12, 1 24 1,a = a +a = a得 a 2=3 a 1=6,a 2 -2 a 1 =2 ≠0, 即 b n ≠0,所以2,故数列 {n }是等比数列.(4 分)=b-(2) 若{a n }是等比数列 , 设其公比为 q (q ≠0),当 n= 2 时, S 2 =2λa 2+μa 1,即 a 1 +a 2=2λa 2+μa 1,得1+q=2λ q+μ; ①22当 n= 3 时, S 3 =3λa 3+μa 2,即 a 1 +a 2+a 3 =3 λa 3+μa 2,得 1+q+q =3λq +μq ; ②当 n= 4时, 4 4 43,即 1 2 3 4 4 43 ,得 1 23 4 32③S =λa +μaa +a +a +a= λa +μa +q+q +q = λq +μq .2②-①×q ,得 1 =λq ,③-②×q ,得 13 ,=λq解得 q=1,λ=1.代入① 式 ,得 0(8 分)μ=.此时 S n =na n (n ≥2),所以n1 2,数列 { n }是公比为 1的等比数列 ,a=a =a故 λ=1,μ=0.(10 分)(3) 若 a 2=3,由 a 1+a 2+2λa 2+μa 1, 得 5 =6λ+2μ,又,解得 , 1 (12 分)λ +μ= λ=μ=.由 a 1=2,a 2 =3,λ=,μ=1,代入 S n =λ na+μa n-1 ,得 a 3=4, 所以 a 1,a 2 ,a 3 成等差数列 .由 S n = a n +a n-1 ,得 S n+1 = a n+1 +a n ,两式相减 ,得 an+1 = an+1 - a +a -a n- 1 ,n n即( n-1)a n+1 -( n-2)a n -2a n-1 =0, 所以 na n+2 -(n-1) a n+1 -2a n =0,相减 ,得na n+ 2 2( 1) a n+1 ( 2) n 2 n 2n-10,- n- + n- a - a + a =所以 n (a n+2-2 a n+ 1 +a n )+2( a n+1-2a n +a n- 1) =0,- -所以 (a n+2-2a n+1 +a n ) =- (a n+1-2a n +a n-1 )=(a n -2 a n-1+a n-2 )= =·(a 3-2a 2+a 1 ).(14 分 )--因为1 2 2+a 3 0,所以an+ 2 2 n+1n0,a - a = - a+a =故数列 { a } 是等差数列 .(16 分 )n江苏省苏北四市 2018 届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21 . A. 连接 AD. 因为 AB 为圆的直径 ,所以 AD ⊥BD , 又 EF ⊥AB ,则 A ,D ,E ,F 四点共圆 ,所以· ·(5 分)BD BE=BA BF.又△∽△,ABCAEF所以 = ,即 AB ·AF=AE ·AC ,所以· · · ··( ) 2. (10 分 )BE BD-AE AC=BA BF-AB AF=AB BF-AF=ABB. 因为 M=BA= =-(5 分 )- ,-所以 M - 1=.(10 分)- -C. 把直线方程 l :化成普通方程为 x+y= 2.(3 分)-2ρcos θ-2 ρsin θ=0 2 2-2 y=0,将圆 C :ρ+2 化成普通方程为 x +2x+y即( x+1) 2+( y-1) 2=2.(6 分)圆心 C 到直线 l 的距离为 d==,所以直线 l 与圆 C 相切 . (10 分 )D.因为 [(1 +a)+(1+b)+(1+c )+(1 +d)]·≥=(a+b+c+d )2=1,(5 分)又(1 +a)+(1 +b) +(1 +c)+(1 +d)=5,所以+++≥ .(10 分) 22 . (1)因为 AB=1,AA1=2,则 F(0,0,0), A,C -,B,E,所以=(-1,0,0),= -. (2分)记直线 AC 和 BE 所成的角为α,则 cos cos<,>|α =|=-=, -所以直线 AC 和 BE 所成角的余弦值为.(4 分) (2)设平面 BFC1的法向量为 m=(x1,y1, z1),因为=,=-,则-取 x1=4,得 m=(4,0,1) .(6 分)设平面BCC 1 的法向量为(2, 2, 2 ),n= x y z因为=,=(0,0,2),则取 x2=,得n=(,-1,0) .(8 分) -所以 cos <m, n>=-=.根据图形可知二面角 F -BC 1-C 为锐二面角,所以二面角-1-的余弦值为.(10 分)F BC C23 . (1) 因为抛物线 C 的方程为 y2 =4x,所以 F 的坐标为(1,0),设 M(m, n),因为圆 M 与 x 轴、直线 l 都相切,l 平行于 x 轴,所以圆M 的半径为|n|,点(2,2),P n n则直线 PF 的方程为= --,即 2 n(x-1) -y(n2-1) =0,(2 分)所以---=|n|,又,≠0,-m n所以22121,即n2-m+10,|m-n - |=n +=所以 E 的方程为 y2=x- 1( y≠0).(4 分) (2) 设Q(t2+1, t), A(0,y1 ),B(0,y2),由(1) 知, 点Q处的切线l1的斜率存在 ,由对称性不妨设t>0,由 y'=,所以k AQ=-=-- ,,k BQ==-2--所以1= -, 2233,(6 分)y y =t +t所以 AB=-=2t3+ t+ (t>0) .(8 分)令 f(t)=2t3+ t+ ,t>0,则 f' (t)=6 t2 + -=-,由 f' (t)>0,得 t>-;由 f' (t)<0,得0<t<所以 f(t)在区间-,-上单调递减 ,在-上单调递增 ,所以当-时 , ()取得极小值也是最小值,即AB 取得最小值 ,t= f t此时 s=t2 +1=.(10 分)。

2018届江苏高考数学模拟试卷(1)(含答案)

2018届江苏高考数学模拟试卷（1）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合{02},{11}A x x B x x =<<=-<<，则A B U = ▲ ．2. 设复数1a +=-i z i（i 是虚数单位，a ∈R ）．若z 的虚部为3，则a 的值为 ▲ ．3．一组数据5，4，6，5，3，7的方差等于 ▲ ．4.右图是一个算法的伪代码，输出结果是 ▲ ．5.某校有B A ,两个学生食堂，若甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则此三人不在同一食堂用餐的概率为 ▲ ．6. 长方体1111ABCD A B C D -中，111,2,3AB AA AC ===，则它的体积等于 ▲ ．7．若双曲线2213x y a -=的焦距等于4，则它的两准线之间的距离等于 ▲ ．8. 若函数()22xx af x =+是偶函数，则实数a 等于 ▲ ．9. 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若f (π3)＝0，f (π2)＝2，则实数ω的最小值为 ▲ ．S ←0 a ←1 For I From 1 to 3a ←2×a S ←S ＋a End For Print S （第4题）10. 如图，在梯形ABCD 中，,2,234,//CD AD AB CD AB ====，，如果 ⋅-=⋅则,3= ▲ .11.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .12．若数列12{}(21)(21)n n n +--的前k 项的和不小于20172018，则k 的最小值为 ▲ ．13. 已知24παπ<<，24πβπ<<，且22sin sin sin()cos cos αβαβαβ=+，则tan()αβ+的最大值为▲ ．14. 设,0a b >，关于x 的不等式3232x xx xa N Mb ⋅-<<⋅+在区间（0，1）上恒成立，其中M , N 是与x 无关的实数，且M N >，M N -的最小值为1. 则ab的最小值为___▲___.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在ABC ∆中，已知7,45AC B =∠=o，D 是边AB 上的一点，3,120AD ADC =∠=o . 求：（1）CD 的长；（2）ABC ∆的面积.16.如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是AB ，SC 的中点. （1）求证：EF ∥平面SAD ； A D CB（2）若SA=AD ，平面SAD ⊥平面SCD ，求证：EF ⊥AB .17.如图，有一椭圆形花坛，O 是其中心，AB 是椭圆的长轴，C 是短轴的一个端点. 现欲铺设灌溉管道，拟在AB 上选两点E ，F ，使OE =OF ，沿CE 、CF 、F A 铺设管道，设θ=∠CFO ，若OA =20m ，OC =10m ，（1）求管道长度u 关于角θ的函数；（2）求管道长度u 的最大值.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:C x y r +=和直线:l x a =（其中r 和a 均为常数，且0r a <<），M 为l 上一动点，1A ，2A 为圆C 与x 轴的两个交点，直线1MA ，2MA 与圆C 的另一个交点分别为,P Q .（1）若2r =，M 点的坐标为(4,2)，求直线PQ 方程；（2）求证：直线PQ 过定点，并求定点的坐标.19.设R k ∈，函数2()ln 1f x x x kx =+--，求：（1）1=k 时，不等式()1f x >-的解集；（2）函数()x f 的单调递增区间；（3）函数()x f 在定义域内的零点个数.20.设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列. （1）已知06,12321=+-=b b b b ，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（2）已知数列{}n a 的公差为d (0)d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）；（3）求所有满足：11n n n na b b a ++=+对一切的*N n ∈成立的数列{}n a ，{}n b .数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，在△ABC 中，90BAC ∠=，延长BA 到D ，使得AD =12AB ，E ，F 分别为BC ，AC 的中点，求证：DF =BE ．B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知曲线1C ：221x y +=，对它先作矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，再作矩阵010m B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换（其中0≠m ），得到曲线2C ：2214x y +=，求实数m 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知圆C的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，，（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，，（t 为参数，0 ααπ<<π≠2，且），若圆C 被直线lα的值．D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）对任给的实数a 0a ≠()和b ，不等式()12a b a b a x x ++-⋅-+-≥恒成立，求实数x 的取值范围.【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A A 1=AB =AC =1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是棱CC 1，BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上．（1）求直线PN 与平面ABC 所成的角最大时，线段1A P 的长度；（2）是否存在这样的点P ，使平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为6π. 如果存在，试确定点P 的位置；如果不存在，请说明理由.（第21—A 题）BECFDA123．（本小题满分10分）设函数()sin cos n n f θθθ=+，其中n 为常数，n ∈*N ，（1）当(0,)2πθ∈时， ()f θ是否存在极值？如果存在，是极大值还是极小值？（2）若sin cos a θθ+=，其中常数a 为区间[内的有理数．求证：对任意的正整数n ，()f θ为有理数．2018高考数学模拟试卷（1）数学Ⅰ答案一、填空题答案：1. {12}x x -<<2. 5 3．53 4． 14 5． 43 6.4 7． 1 8. 1 9． 3 10．2311. 111(,)(,1)322⋃.解：422111232c a c e e c a>-⎧⇒<<≠⎨≠⎩且，故离心率范围为111(,)(,1)322⋃.12． 10解：因为对任意的正整数n ，都有1212)12)(12(211--=--++n n n n n 1-1，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+)12)(12(21n n n的前k 项和为 1)1)(2(221)1)(2(221)1)(2(221322211--++--+--+k kk12112112112112112113221---++---+---=+k k 12111--=+k 使2018201712111≥--+k ，即2018121≥-+k ，解得10≥k ，因此k 的最小值为10.13. -4解：因为24ππ<<βα,，所以βαβαsin sin cos cos ,,,均不为0.由βαβαβαcos cos )sin(sin sin 22+=，得βαβαβαβαsin cos cos sin tan tan sin sin +=，于是αββαtan 1tan 1tan tan +=，即βαβαβαtan tan tan tan tan tan +=，也就是βαβα22tan tan tan tan =+，其中βαtan tan ,均大于1. 由βαβαβαtan tan 2tan tan tan tan22⋅≥+=⋅，所以34tan tan ≥βα.令()341tan tan 1-,--∞∈=βαt ， βαβαβαβαβαtan tan 1tan tan tan tan 1tan tan )tan(22-=-+=+21-+=tt 4-≤，当且仅当1-=t 时取等号.14．4+解：32()32xxx x a f x b ⋅-=⋅+，则23()6l n2()0(32)xx x a b f x b +'=>⋅+恒成立，所以()f x 在（0，1）上单调递增， 132(0),(1)132a a f f b b --==++，∴()f x 在（0, 1)上的值域为132(,)132a ab b --++，M x f N <<)( 在（0,1）上恒成立，故mi n 321()1321(32)(1)a a ab M N b b b b --+-=-==++++，所以2342a b b =++，所以2344a b b b=++≥.所以min ()4ab=+.二、解答题答案15.解：（1）在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠，2227323cos120CD CD =+-⨯⋅o ，解得5CD =.（2）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BD CD BCD B =∠，5sin 75sin 45BD =o o，解得BD = 所以BDC BD CD ADC CD AD S S S BCD ACD ABC ∠⋅+∠⋅=+=∆∆∆sin 21sin 2111535sin120560222+=⨯⨯+⨯⨯oo 758+=.16. 解（1）取SD 的中点G ，连AG ，FG .在SCD ∆中，因为F ，G 分别是SC ，SD 的中点，所以FG ∥CD ，12FG CD =. 因为四边形ABCD 是平行四边形，E 是AB 的中点，所以1122AE AB CD ==，AE ∥CD . 所以FG ∥AE ，FG=AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以EF ∥AG .因为AG ⊂平面SAD ，EF ⊄平面SAD ，所以EF ∥平面SAD . （2）由（1）及SA=AD 得，AG SD ⊥.因为平面SAD ⊥平面SCD ，平面SAD ⋂平面SCD =SD ，AG ⊂平面SAD , 所以AG ⊥平面SCD ，又因为SCD CD 面⊂，所以AG ⊥CD . 因为EF ∥AG ，所以EF ⊥CD ，又因为CD AB //，所以EF ⊥AB .17. 解：（1）因为θsin 01=CF ，θtan 10=OF ，θtan 10-20=AF ，所以θθθθsin cos 102020tan 1002sin 02-+=-+=++=AF CF CE u ， AE DCS FG其中，552cos 0<<θ. （2）由 θθsin cos 102020-+=u ，得θθ2'sin cos 0201-=u ，令21cos 0'==θ，u ，当 21cos 0<<θ时，0'>u ，函数）（θu 为增函数；当552c o s 21<<θ时，0'<u ，函数）（θu 为减函数. 所以，当21cos =θ，即3πθ=时，310203sin21102020max +=⨯-+=πu （m ）所以，管道长度u 的最大值为）（31020+m.18. 解：（1）当2r =，(4,2)M 时，则1(2,0)A -，2(2,0)A ，直线1MA 的方程：320x y -+=，解224320x y x y ⎧+=⎨-+=⎩得86(,)55P .直线2MA 的方程：20x y --=，解22420x y x y ⎧+=⎨--=⎩得(0,2)Q -.所以PQ 方程为220x y --=.（2）由题设得1(,0)A r -，2(,0)A r ，设(,)M a t ，直线1MA 的方程是()ty x r a r =++，与圆C 的交点11(,)P x y ，直线2MA 的方程是()ty x r a r=--，与圆C 的交点22(,)Q x y ，则点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在曲线[()()][()()]0a r y t x r a r y t x r +-+---=上，化简得2222222()2()()0a r y ty ax r t x r ---+-=， ①又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在圆C 上，圆C ：2220x y r +-=， ②①－2t ×②得22222222222()2()()()0a r y ty ax r t x r t x y r ---+--+-=，化简得2222()2()0a r y t ax r t y ----=.所以直线PQ 方程为2222()2()0a r y t ax r t y ----=.令0y =得2r x a =，所以直线PQ 过定点2(,0)r a.19.解（1）k =1时，不等式()1f x >-即2ln 0x x x +->，设2()l n g x x x x =+-，因为2121()210x x g x x x x-+'=+-=>在定义域(0,)+∞上恒成立，所以g (x )在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =，所以()1f x >-的解集为(1,)+∞.（2）2121()2(0)x kx f x x k x x x-+'=+-=>，由()0f x '≥得2210x kx -+≥……（*）. （ⅰ）当280k ∆=-≤，即k -≤≤（*）在R 上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. （ⅱ）当k >时，280k ∆=->，此时方程2210x kx -+=的相异实根分别为12x x ==，因为12120,2102k x x x x ⎧+=>⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，所以120x x <<，所以()0f x '≥的解集为(0,[)44k k -+∞U ，故函数f (x )的单调递增区间为)+∞和.（ⅲ）当k <-时，同理可得：,0,21,020212121<<∴⎩⎨⎧<=+>=x x kx x x x ()f x 的单调递增区间为(0,)+∞.综上所述，当k >()f x的单调递增区间为)+∞和；当k ≤()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. （3）据（2）知①当k ≤时，函数()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增，令210,0x kx x ⎧-->⎨>⎩得2k x +>，取}m =，则当x >m 时，2()10f x x kx >-->.设01x <<，21max{1,}x kx k λ--<--=，所以()l n f x x λ<+，当0x e λ-<<时，()0f x <，取m i n {1,}n e λ-=，则当(0,)x n ∈时，()0f x <，又函数()f x 在定义域(0,)+∞上连续不间断，所以函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点.②当22>k 时，()f x 在12(0,)(,)x x +∞和上递增，在12(,)x x 上递减，其中012,0122211=+-=+-kx x kx x则2221111111()ln 1ln (21)1f x x x kx x x x =+--=+-+-211ln 2x x =--.下面先证明ln (0)x x x <>：设x x x h -=ln )(），由1()xh x x-'=>0得01x <<，所以h (x )在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，01)1()(m a x <-==h x h ，所以()0h x <)0(>x ，即 ln (0)x x x <>.因此，047)21(2)(212111<---=--<x x x x f ，又因为)(x f 在12(,)x x 上递减，所以21()()0f x f x <<，所以()f x 在区间2(0,)x 不存在零点.由①知，当x m >时，()0f x >，()f x 的图象连续不间断，所以()f x 在区间2(,)x +∞上有且仅有一个零点. 综上所述，函数()f x 在定义域内有且仅有一个零点.20.解（1）设{}n b 的公比为q ，则有063=+-q q ，即2(2)(23)0q q q +-+=，所以2q =-，从而1(2)3nn S --=.（2）由11122(1)22n n n a b a b a b n +++⋅⋅⋅+=-+得112211(2)22nn n a b a b a b n --++⋅⋅⋅+=-+，两式两边分别相减得2(2)nn n a b n n =⋅≥.由条件112a b =，所以*2(N )n n n a b n n =⋅∈，因此111(1)2(2)n n n a b n n ---=-⋅≥，两式两边分别相除得12(2)1n n a n q n a n -⋅=≥-，其中q 是数列{}n b 的公比.所以122(1)(3)2n n a n q n a n ---⋅=≥-，上面两式两边分别相除得2221(2)(3)(1)n n n a a n n n a n ---=≥-.所以312234a a a =，即1121(2)3()4a d a a d +=+，解得113a d a d ==-或，若d a 31-=，则04=a ，有024444==⋅b a 矛盾，所以1a d =满足条件，所以2,nn n a dn b d==.（3）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，当q =1时，112n n b b b ++=，所以112n na b a +=，所以数列{}n a 是等比数列，又数列{}n a 是等差数列，从而数列{}n a 是各项不为0的常数列，因此112b =，经验证，110,2n n a a b =≠=满足条件.当1q ≠时，由11n n n n a b b a ++=+得1111(1)n dn a b q q dn a d-+=++-……（*） ①当d>0时，则1d a n d ->时，10n n a a +>>，所以111dn a dn a d +>+-此时令112dn a dn a d +<+-得12d a n d->，因为112d a d a d d -->所以，当12d a n d ->时，1112dn a dn a d +<<+-. 由（*）知，10,0b q >>. （ⅰ）当q >1时，令11(1)2n b q q-+>得121log (1)qn b q >++，取11122max{,1log }(1)q d a M d b q -=++，则当1n M >时，（*）不成立. （ⅱ）当0<q <1时，令11(1)1n b q q -+<得111log (1)qn b q >++，取12121max{,1log }(1)q d a M d b q -=++，则当2n M >时，（*）不成立. 因此，没有满足条件的数列{}n a ，{}n b .②同理可证：当d <0时，也没有满足条件的数列{}n a ，{}n b .综上所述，所有满足条件的数列{}n a ，{}n b 的通项公式为110,2n n a a b =≠=（*N n ∈）.数学Ⅱ（附加题）答案21．【选做题】答案A ．选修4—1：几何证明选讲解：取AB 中点G ，连结GF ，12AD AB =，AD AG ∴=，又90BAC ∠=, 即AC 为DG 的垂直平分线, ∴ DF = FG ………………① ，又E 、F 分别为BC 、AC 中点, 1//2EF AB BG EF BG ==∴ 四边形BEFG 为平行四边形, ∴ FG = BE …………② 由①②得BE =DF .B ．选修4—2：矩阵与变换解:010********m m BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设P ()00,x y 是曲线1C 上的任一点，它在矩阵BA 变换作用下变成点(),P x y '''，则000020210x my x m y x y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则002x my y x '=⎧⎨'=⎩，即0012x y y x m'=⎧⎪⎨'=⎪⎩，又点P 在曲线1C 上，则22214x y m''+=，'p 在曲线2C 上，则14''22=+x y ，故21m =，所以，1m =±.C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：圆的直角坐标方程为()(2214x y -+-=，直线的直角坐标方程为()1y k x =-()tan k α=，因为圆C 被直线l，∴=k =，即tan α=，又0πα≤<,∴α=π3或2π3.D ．选修4—5：不等式选讲解：由题知，aba b a x x ++-≤-+-21恒成立，故|1||2|x x -+-不大于aba b a ++-的最小值，∵||||2|||≥|a b a b a b a b a -++++-=，当且仅当()()0≥a b a b +-时取等号, ∴aba b a ++-的最小值等于2.∴x 的范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解，解不等式得1522≤≤x .【必做题】答案22. 解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A 1（0，0，1），B 1（1，0，1）， M （0，1，12），N （12，12，0）设10),1,0,(<<=λλp .则)0,0,(1λ=A ，)1,0,(11λ=+=A ；)1,21,21(--=λ，（1）∵()0,0,1=m 是平面ABC 的一个法向量．=><=∴|,cos |sin m θ45)21(1141)21(|100|22+-=++--+λλ∴当12λ=时，θ取得最大值，此时sin θ=，tan 2θ=即：当12λ=时， θ取得最大值，此时tan 2θ=．故P A 1的长度为21.（2）=)21,21,21(-，由（1）)1,21,21(--=λ，设(),,x y z =n 是平面PMN 的一个法向量．则111022211()022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎨⎪-+-=⎩得123223y x z x λλ+⎧=⎪⎨-⎪=⎩令x =3，得y =1+2λ，z=2-2λ, ∴()3,12,22λλ=+-n ， ∴|cos ,|<>=m n 4210130λλ++=（*）∵△＝100－4⨯4⨯13＝－108＜0，∴方程（*）无解∴不存在点P 使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为30º． 23. 解：（1）当(0,)2πθ∈时，设22()sin cos (sin cos )0n n f n θθθθθ--'=->，等价于0cos sin 22>---θθn n .（ⅰ）n =1时，令，＞0)('f θ得110sin cos θθ->，解得04πθ<<，所以()f θ在(0,)4π上单调递增，在(,)42ππ上单调递减，所以()f θ存在极大值，无极小值.（ⅱ）n =2时，()f θ=1，()f θ既无极大值，也无极小值. （ⅲ）3n ≥时，令，＞0)('f θ得sin cos θθ>，所以42ππθ<<，所以()f θ在(0,)4π上单调递减，在(,)42ππ上单调递增，所以()f θ存在极小值，无极大值.（3）由22sin cos sin cos 1a θθθθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得：21sin cos 2a θθ-= ，所以sin θ，cos θ是方程22102a x ax --+=的两根， x =，∴()((2nnnnna a f θ+=+=⎝⎭⎝⎭，当k n 2=为偶数时，()()()()()()()()]222222[(2]222222[(2222222244222224244222222kn n n n n kn nn nnnna a C a C a a C a C a a-++-+-+=-++-+-+=--+-+----当12+=k n 为奇数时，()()()()()()()()]2222222[(22222222(222222122442222214244222222kn n n n n n n knn nn nn n nnna C a C a C a C a C a C a a -++-+-+=-++-+-+=--+-+------∵a为[内的有理数，m n C，2n为正整数，∴()fθ为有理数．。

2018届高三苏北四市第一次期末调研考试数学

连云港市2017-2018学年度高三第一次质量检测数学I 参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1} 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．54 9．4 1011．11 12．1] 13．[2,2] 14．277二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（1）在ABC △中，由3cos 5A ，得A为锐角，所以4sin 5A ，所以sin 4tan cos 3A A A ，………………………………………………………………2分所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A. ………………………………4分1433314133…………………………………………………………6分（2）在三角形ABC 中,由tan 3B ，所以sin B B， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B ，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C,得13sin sin c B b C ，………………………12分所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A . …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC在直三棱柱111ABC A B C 中，11//BC B C ，11BC B C ，又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N . …………………………………………2分所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分而MN 平面11ABB A ，1PB 平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C 为直三棱柱，所以1BB 面111A B C ，又因为1BB 面11ABB A ，所以面11ABB A 面111A B C ， …………………8分又因为90ABC，所以1111B C B A ，面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C 平面，所以11B C 面11ABB A ， ………………………10分又因为1A B 面11ABB A ，所以111B C A B ，即11NB A B ，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ，所以11AB A B ，又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB 面1AB N ，所以1A B 面1AB N ，……………………………………………………………………12分而AN 面1AB N ，所以1A B AN .……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ，垂足为E ，在AOE 中，10cos AE ，220cos AB AE ， …………………………………………………………2分在ABD 中，sin 20cos sin BD AB ，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S2400sin cos ，(0)2……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S …………8分设3(),(01)f x x x x 则2()13f x x ，由2()130f x x得：x当x 时，()0f x，当x 时，()0f x 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以()f x在x 时取得极大值，也是最大值；所以当sin 时，侧面积S 取得最大值，…………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB（第16题）1答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分 18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b ，由题意知：22121914c a a b ……………2分解之得：2a b ，所以椭圆方程为：22143x y ……………………………4分（2）若AF FC ，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B ，此时直线BF 方程为3430x y ， ……………………………………………6分由223430,1,43x y x y，得276130x x ，解得137x （1x 舍去），…………8分故1(1)713317BF FD ．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y ，直线AF 的方程为00(1)1y y x x ，代入椭圆方程22143x y，得 2220000(156)815240x x y x x ，因为0x x 是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x ，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x 上，所以00003(1)152C c y y y x x x ，同理，D 点坐标为0085(52x x ，0352y x ， ……………………………………………14分所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x，即存在53m ，使得2153k k ． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)当1a 时，2()()()ln 2h x f x g x x x x ，所以1(21)(1)()21x x h x x x x………………………………………………2分所以当102x 时，()0h x ，当12x 时，()0h x ，所以函数()h x 在区间1(0,2单调递减，在区间1(,)2单调递增，所以当12x 时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；…………………4分（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x……………………………………6分所以12122ax x ，代入21211221(ln )x x x ax x a x 得：222221ln 20(*)424a a x a x x ………………………………………………8分设221()ln 2424a a F x x a x x ，则23231121()222a x ax F x x x x x 不妨设2000210(0)x ax x 则当00x x 时，()0F x ，当0x x 时，()0F x 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x 上单调递增，……………10分代入20000121=2x a x x x 可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x设21()2ln 2G x x x x x ，则211()220G x x x x对0x 恒成立，所以()G x 在区间(0,) 上单调递增，又(1)=0G所以当01x ≤时()0G x ≤，即当001x ≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e2211()04a a e≥ ……………………………………14分因此当001x ≤时，函数()F x 必有零点；即当001x ≤时，必存在2x 使得(*)成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x 得：2120y x所以12(0,1)y x x在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x ，所以实数a 的取值范围是[1,) ．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 ，则当14n n S a (2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ，即1122(2)n n n n a a a a ，所以12n n b b ， ……………………………………………………………2分又由12a ，1214a a a ，得2136a a ，21220a a ，即0n b ，所以12n n bb ，故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分（2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ），当2n 时，2212S a a ，即12212a a a a ，得12q q ， ① 当3n 时，3323S a a ，即123323a a a a a ，得 2213q q q q ， ② 当4n 时，4434S a a ，即1234434a a a a a a ，得 233214+q q q q q ， ③ ② ① q ，得21q ，③ ② q ，得31q ，解得1,1 q ．代入①式，得0 ．…………………………………………………………………8分此时n n S na (2n ≥)，所以12n a a ，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ，． ……………………………………………………………………10分（3）证明：若23a ，由12212a a a a ，得562 ，又32，解得112，．…………………………………………………12分由12a ，23a ，12 ，1 ，代入1n n n S na a 得34a ，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a ，得：1112n n n n S a a ，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a 即11(1)(2)20n n n n a n a a 所以21(1)20n n n na n a a相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n1321(2)(2)(1)2n a a a n n ， ……………………………………14分因为12320a a a ，所以2120n n n a a a ，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分。

江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题有答案

江苏南京、盐城市2018届高三数学一模试题（有答案）南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：，其中为底面积,为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合，，则▲．2．设复数为虚数单位），若为纯虚数，则的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若，则输出的的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为▲．7．设函数的值域为，若，则实数的取值范围是▲．8．已知锐角满足，则的值为▲．9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲．10．设为等差数列的前项和，若的前2017项中的奇数项和为2018，则的值为▲．11．设函数是偶函数，当x≥0时，=，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若四点均位于图中的“晶格点”处，且的位置所图所示，则的最大值为▲．14．若不等式对任意都成立，则实数的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱中，，点分别是的中点.（1）求证：∥平面；（2）若，求证：.16．(本小题满分14分)在中，角的对边分别为已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中是以为圆心、的扇形，且弧,分别与边,相切于点,．（1）当长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．19．(本小题满分16分)设数列满足，其中，且，为常数.（1）若是等差数列，且公差，求的值；（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立.求所有满足条件的数列中的最小值.20．(本小题满分16分)设函数，（）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于两点．求证：.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A.（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知为⊙的直径，直线与⊙相切于点，垂直于点.若，求切点到直径的距离．B.（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，求圆在矩阵的变换下所得的曲线方程. C．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线与曲线()相切，求的值.D．(选修4-5：不等式选讲）已知实数满足，求当取最大值时的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）如图，四棱锥的底面是菱形，与交于点，底面，点为中点，.（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知，．（1）求的值；（2）试猜想的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．2．13．12004．15．6．67．8．9．10．403411．12．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为是直三棱柱，所以，且，又点分别是的中点，所以，且．所以四边形是平行四边形，从而．……………4分又平面，平面，所以∥面．……………6分（2）因为是直三棱柱，所以底面，而侧面，所以侧面底面．又，且是的中点，所以．则由侧面底面，侧面底面，，且底面，得侧面．……………8分又侧面，所以．……………10分又，平面，且，所以平面．……………12分又平面，所以．……………14分16．解：（1）因为，则由正弦定理，得． (2)分又，所以，即．……………4分又是的内角，所以，故．……………6分（2）因为，所以，则由余弦定理，得，得．……………10分从而，……………12分又，所以．从而．……………14分17．解：（1）在图甲中，连接交于点．设，在中，因为，所以，则．从而，即.……………2分故所得柱体的底面积.……………4分又所得柱体的高，所以.答：当长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为立方分米.…………………6分（2）设，则，所以所得柱体的底面积.又所得柱体的高，所以，其中.…………………10分令，则由，解得.…………………12分列表如下：＋0－增极大值减所以当时，取得最大值.答：当的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由，得直线的方程为． (2)分令，得点的坐标为．所以椭圆的方程为．…………………4分将点的坐标代入，得，解得．所以椭圆的标准方程为．…………………8分（2）方法一：设直线的斜率为，则直线的方程为．在中，令，得，而点是线段的中点，所以．所以直线的斜率．………………10分联立，消去，得，解得．用代，得．………………12分又，所以，得．………………14分故，又，解得．所以直线的方程为．………………16分方法二：设点的坐标分别为．由，得直线的方程为，令，得．同理，得．而点是线段的中点，所以，故．…………………10分又，所以，得，从而，解得．…………………12分将代入到椭圆C的方程中，得．又，所以，即，解得（舍）或．又，所以点的坐标为．……………14分故直线的方程为．…………………16分19．解：（1）由题意，可得，化简得，又，所以.………………4分（2）将代入条件，可得，解得，所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以.……6分欲存在，使得，即对任意都成立，则，所以对任意都成立.………………8分令，则，所以当时，；当时，；当时，．所以的最大值为，所以的最小值为.………………10分（3）因为数列不是常数列，所以．①若，则恒成立，从而，，所以，所以，又，所以，可得是常数列．矛盾．所以不合题意.………………12分②若，取（*），满足恒成立．………………14分由，得．则条件式变为．由，知；由，知；由，知．所以，数列（*）适合题意．所以的最小值为.………………16分20．解：（1）由，得，又，所以，.当时，，所以，所以.………………2分因为函数与的图象在处有相同的切线，所以，即，解得.………………4分（2）当时，则，又，设，则题意可转化为方程在上有相异两实根． (6)分即关于的方程在上有相异两实根．所以，得，所以对恒成立．………………8分因为，所以（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是，所以．故的最小值为.………………10分（3）当时，因为函数与的图象交于两点，所以，两式相减，得.………………12分要证明，即证，即证，即证.………………14分令，则，此时即证．令，所以，所以当时，函数单调递增．又，所以，即成立；再令，所以，所以当时，函数单调递减，又，所以，即也成立．综上所述，实数满足.………………16分附加题答案21．（A）解：如图，连接，，因为直线与⊙相切于点，所以，又因为垂直于，所以，所以，①在⊙中，所以，②………………5分由①②得，即，又，，所以，所以，又，所以，即到直径的距离为4.………………10分（B）解：设是圆上任意一点，则，设点在矩阵对应的变换下所得的点为，则，即，解得，………………5分代入，得，即为所求的曲线方程.………………10分（C）解：以极点O为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系，由，得，得直线的直角坐标方程为．………………5分曲线，即圆，所以圆心到直线的距离为．因为直线与曲线（）相切，所以，即.……………10分（D）解：由柯西不等式，得，即．而，所以，所以，………………5分由，得，所以当且仅当时，．所以当取最大值时的值为.………………10分22．解：（1）因为是菱形，所以．又底面，以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系．则,,,,．所以，，，，．则．故直线与所成角的余弦值为.………5分（2），．设平面的一个法向量为，则，得，令，得，．得平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为，所以，，．则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 (10)分23．解：（1）由条件，①，在①中令，得．………………1分在①中令，得，得．………………2分在①中令，得，得．………………3分（2）猜想=（或=）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式成立．方法一：当时，等式显然成立，当时，因为，故．故只需证明．即证．而，故即证②．由等式可得，左边的系数为．而右边，所以的系数为．由恒成立可得②成立.综上，成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有个小球，其中n个是编号为1，2，…，n的白球，其余n－1个是编号为1，2，…，n－1的黑球，现从袋中任意摸出n个小球，一方面，由分步计数原理其中含有个黑球（个白球）的n个小球的组合的个数为，，由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为．另一方面，从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为．故，即②成立.余下同方法一.………………10分方法三：由二项式定理，得③．两边求导，得④．③×④，得⑤．左边的系数为．右边的系数为．由⑤恒成立，可得．故成立.………………10分。

江苏省苏北四市高三年级第一次质量检测数学试卷含附加题

数学Ⅰ一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，合计 70 分．请把答案填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．．1.已知会合 A{ x | 0 x2} ， B { x | 1 x 1} ，则A U B_____.2.已知复数 z知足 z2 4 ，且z的虚部小于0，则z_____.3.若一组数据 7, x,6,8,8 的均匀数为7，则该组数据的方差是_____.4.履行如下图的伪代码，则输出的结果为 _____.5.函数 f ( x)log 2 x 2 的定义域为_____.6.某学校高三年级有 A, B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择此中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为 ______.7. 若对于x 的不等式x2mx30 的解集是(1,3) ，则实数m 的值为______.8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线2xy2 1 的右准线与渐近线的交点在抛物线3y2 2 px 上，则实数p的值为______.9. 已知等差数列{ a n}的前n项和为S n，a2a98，S5 5 ，则S15的值为_____.10. 已知函数A, B,C ，则y3sin 2 x 的图象与函数ABC 的面积为_____.y cos2 x的图象相邻的三个交点分别是11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M : x2y24x8 y 120 ，圆N 与圆M 外切与点 (0, m) ，且过点 (0, 2) ，则圆N的标准方程为______.12. 已知函数 f (x)是定义在R上的奇函数，其图象对于直线x 1对称，当x(0,1]时， f (x)e ax（此中e 是自然对数的底数），若 f (2020ln 2)8 ，则实数 a 的值为_____.13. 如图，在uuur uuur uuur uuur ABC 中， D, E 是 BC 上的两个三平分点，AB AD2AC AE ，则cos ADE 的最小值为____.14. 设函数f ( x)| xax b | ，x[ 1,1] ，此中a,b R.若 f ( x)M 恒成立，则当M取3得最小值时， a b 的值为______.二、解答题：本大题共 6 小题，合计90 分．请在答题卡指定地区内作答．解答时应写出文．．．．．．．字说明、证明过程或演算步骤15.（本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 P ABC 中， AP AB ， M ,N 分别为棱 PB, PC 的中点，平面 PAB 平面 PBC .（1）求证：BC∥平面AMN；（2）求证：平面AMN平面PBC .16.（本小题满分14分）在 ABC 中，角A, B,C的对边分别为a, b, c，且cos A 5 .5（ 1）若a 5 ，c 2 5，求 b 的值；（2）若B，求 tan2C 的值.417.（本小题满分 14 分）如图，在圆锥 SO中，底面半径 R 为3，母线长 l 为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为O1，半径为 r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为极点挖去一个倒立的小圆锥OO1，记圆锥 OO1的体积为V.（1）将V表示成r的函数；（2）求V得最大值 .18.（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2y2C : 22 1 (a b 0) 的右极点为A,过点Aa b作直线 l 与圆O : x2y2b2相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q .设直线 l 的斜率为 k .（ 1）用k表示椭圆C的离心率；uuur uuur（2）若OP OQ0 ,求椭圆C的离心率.19.（本小题满分 16 分）已知函数 f ( x)1( a)ln x ( a R) .x（ 1）若曲线y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x y 1 0，求 a 的值；（ 2）若f ( x)的导函数f '(x)存在两个不相等的零点，务实数 a 的取值范围；（ 3）当a2时，能否存在整数，使得对于x的不等式f ( x)恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明原因 .20.（本小题满分 16 分）已知数列 { a n } 的首项 a1 3 ，对随意的n N * ,都有a n 1ka n 1 (k 0) ，数列 { a n1}是公比不为 1 的等比数列 .（ 1）务实数k的值；（ 2）设b n 4n, n为奇数a n1,n为偶数，数列 { b n } 的前n 项和为S n，求全部正整数m 的值，使得S2 m恰巧为数列 { b n } 中的项.S2m 1徐州市 2019-2020 学年度高三年级第一次质量检测数学Ⅱ（附带题）21．【选做题】此题包括 A 、 B 、C 小题，请选定此中两题，并在答题卡相应的答题地区内作答. 若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ． [ 选修 4— 2：矩阵与变换 ] （本小题满分 10 分）已知矩阵 M23的一个特点值为 4，求矩阵 M 的逆矩阵 M 1 .t 1B ． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为(cos sin ) 12 ，曲线 C 的参数方程为x 2 3 cos y2sin（为参数，R ）. 在曲线 C 上点 M , 使点 M 到 l 的距离最小，并求出最小值 .C ． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （本小题满分 10 分）已知正数 x, y, z 知足 x y z 1 ，求1 1 1x 2yy 2 z+z 2 x的最小值 .第 22 题、第 23 题，每题 10 分，合计 20 分，请在答题卡指定地区内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分 10 分）如图，在三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 中，侧面 AA 1B 1B 为正方形，侧面 BB 1C 1C 为菱形，BB 1C 1 60o ，平面 AA 1 B 1 B 平面 BB 1C 1C.（ 1）求直线AC 1与平面AA 1B 1B所成角的正弦值；（ 2）求二面角 B AC 1 C 的余弦值 .23. （本小题满分 10 分）已知 n 为给定的正整数，设 ( 2 x)n a 0 a 1 x a 2 x2La n x n ， x R .3（ 1）若 n 4 ，求 a 0 ， a 1 的值；（ 2）若 x 1 n(n k )a k x k的值 .，求3k。

南京市、盐城市2018年高三年级第一次模拟考试数学试题与答案

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则AB = ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．时间(单位:分钟) 组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图 Read x If 0x > Then ln y x ← Else x y e ← End If Print y 第4题图11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．A第13题图ABCA 1B 1C 1MN第15题图有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N 运动到点2处时，点Q的坐标为(,0)3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第17题-图甲 FH 第17题-图乙设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.A B E D F O · 第21(A)图[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M A BC D O P 第22题图南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞ 8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412．3- 13．24 14．100 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A MMC M =，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． ……………14分 16．解：（1）因为5c =，则由正弦定理，得5sin C B =． ……………2分又2C B =，所以5sin 22B B =，即4sin cos 5B B B =． ……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而2222()35cos 25c c c a c b B ac +-+-===， ……………12分又0B π<<，所以24sin 1cos 5B B =-=．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2R MT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=- ……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分列表如下：所以当x =答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由2NQ ，得直线NQ的方程为32y x = (2)分令0x =，得点B 的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分将点N 的坐标2213=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P x =，而点Q 是线段OP的中点，所以Q x = 所以直线BN 的斜率2BN BQk k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得M x =．用2k 代k，得2316N x k =+． ………………12分又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM的方程为2y x =． ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =0y =，得P x =同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==…………………10分又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=，解得2143y y =． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y +=．又22114(1)3y x =-，所以214(1)319y -+=21120y +=，解得1y =1y =．又10x >，所以点M的坐标为(3M ．……………14分故直线BM的方程为y x =-． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-，即12n r n m --⋅对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅，所以172n n m--对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n n n n n n n n b b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T ．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以)2(3a +⨯=（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，ABE DF O · 第21(A)图设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1(](133x x ++≥⨯+⨯，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩26x y ==时，max ()x y += 所以当x y +取最大值时x的值为2x =. ………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分（2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，C第22题图则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则4cos ,||||29n OBn OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC ………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n nnn n n n n n n C C x C x C x C C x C x C x ------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n n n n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立. ………………10分。

18届江苏南京盐城高三第一次模拟考试数学试题及答案

南京市、盐城市2018届高三第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为▲．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为▲．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为▲．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为▲．7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是▲．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为▲．时间(单位:分钟)频率组距50607080901000.035a 0.0200.0100.005第3题图Read xIf 0x >Thenln y x←Elsexy e ←End If Print y第4题图9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是▲．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为▲．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m=-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是▲．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为▲．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为▲．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB A C ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知52c =.（1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅ ，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个AB第13题图ACA 1B 1C 1MN第15题图底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点)2处时，点Q的坐标为(,0)3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.xy O BN M PQ D第18题图ADCB EG FOM N H第17题-图甲NEFG第17题-图乙（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅- m 对任意的*n N ∈都成立，求m m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立.求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D .若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）22．（本小题满分10分）ABEDF O ·第21(A)图如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===.（1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.MABCDOP第22题图1．{}12．13．12004．15．236．67．(,2]-∞8．34π9．1(0,]410．403411．9[1,)412．13．2414．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ．……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ．…………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ．……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥．……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M = ，所以1AB ⊥平面1A MC ．……………12分又1A C ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥．……………14分16．解：（1）因为52c b =，则由正弦定理，得5sin sin 2C B=．……………2分又2C B =，所以sin 2sin 2B B=，即4sin cos B B B =．……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以sin 0B >，故5cos 4B =．……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =．……………10分从而2223cos 25a c b B ac +-===，……………12分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而32422cos()cos cos sin sin 444525210B B B πππ+=-=⨯-⨯=-．……14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RMT OM OT =-=．从而2RBE MT ==，即22R BE ==.……………2分故所得柱体的底面积OEFOEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=-.……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-.…………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<.………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =.…………………12分列表如下：x (0,2)2(2,3)()f x '＋0－()f x 增极大值减所以当2x =时，()f x 取得最大值.答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分18．解：（1）由32N Q，得直线NQ 的方程为32y x =-．………2分令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=．…………………4分将点N 的坐标2代入，得222((3)213a+=，解得24a =．ADCB EG FO MNHT所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM的方程为y kx =-在y kx =0y =，得P xk =，而点Q 是线段OP的中点，所以2Q x k =．所以直线BN 的斜率22BN BQk k k k===．………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)0k x +-=，解得234M x k =+．用2k 代k ，得2316N x k =+．………………12分又2DN NM =，所以2()N M N xx x =-，得23M N x x =．………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM 的方程为62y x =．………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)xy x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =-，令0y =，得P x =同理，得Qx =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x ==．………10分又2DN NM = ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>43=，解得21433y y =+．………12分将212123433x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C 的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3yx=-，所以21214(1)(431927yy-+=21120y+=，解得1y=（舍）或13y=．又1x>，所以点M的坐标为(,33M．……………14分故直线BM的方程为2y x=．…………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n na a d a d dλ=+-+，化简得2(1)0dλ-=，又0d≠，所以1λ=.………………4分（2）将1231,2,4a a a===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n na a a+-=，所以数列{}n a是首项为1，公比2q=的等比数列，所以12nna-=…6分欲存在[3,7]r∈，使得12nm n r-⋅-，即12nr n m--⋅对任意*n N∈都成立，则172nn m--⋅，所以172nnm--对任意*n N∈都成立.………………8分令172n nnb--=，则11678222n n n n nn n nb b+-----=-=，所以当8n>时，1n nb b+<；当8n=时，98b b=；当8n<时，1n nb b+>．所以n b的最大值为981128b b==，所以m的最小值为1128.………………10分（3）因为数列{}n a不是常数列，所以2T ．①若2T=，则2n na a+=恒成立，从而31a a=，42a a=，所以22221212221221()()a a a aa a a aλλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a aλ-=，又0λ≠，所以21a a=，可得{}n a是常数列．矛盾．所以2T=不合题意.………………12分②若3T=，取*1,322,31()3,3nn ka n k k Nn k=-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n na a+=恒成立．……14分由2221321()a a a a aλ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n na a a+-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k ka a a a aλ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k ka a a a aλ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k ka a a a aλ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3.………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x '=，所以(1)1f '=，.当0c =时，()b g x ax x =+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-.…2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x -+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t >对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立．………………8分因为03a <<，所以3=2（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3.………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--.……………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-.………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t -<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t -<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，①在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，②………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4.………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程.………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos(13πρθ+=，得(cos cos sin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x --=．………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．ABE DF O ·第21(A)图因为直线cos(13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =.10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](133x x ++≥⨯+⨯，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤，………5分由133x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当,26x y ==时，max ()x y +=．所以当x y +取最大值时x的值为2x =.………………10分22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =- ，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||AP =，||BM =．则cos ,6||||AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM所成角的余弦值为6.………5分（2）(2,1,0)AB =- ，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB = ，所以n 4OB ⋅=，||n = ||1OB = ．则cos ,||||n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC……………10分23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+①，MABCDOP第22题图xyz在①中令1n =，得()011111f C C ==．………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =．…………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =．……3分（2）猜想()f n =21n n C -（或()f n =121n n C --）．………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C xC C x C x C x ------=++++++++ ，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21n n f n C -=成立.………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n r n n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++ ．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++ ，即②成立.余下同方法一.…………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x+=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21n n f n C -=成立.………………10分。

南京、盐城2018届高三一模数学试卷及答案(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh=，其中S为底面积,h为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}|(4)0A x x x=-<，{}0,1,5B=，则A B=▲ ．2．设复数(,z a i a R i=+∈为虚数单位），若(1)i z+⋅为纯虚数，则a的值为▲ ．3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为▲ ．频率组距0.035a0.020 Read xIf 0x>Thenlny x←Elsex4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ． 5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x x y e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ．10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ． 11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =- 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(33)y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB AC ⊥.16．(本小题满分14分)A 第13题图ABC A 1B 1C 1 MN第15题图在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧EF ,GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？第17题-图甲 F第17题-图乙18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n ，且n N ∈，λ为常数.（1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()b g x ax c x=+-（,,a b c R ∈）.（1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞ 8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412．13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM 是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A MC ，1A M ⊂平面1A MC ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =，所以1AB ⊥平面1A MC ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC ，所以11AB A C ⊥． ……………14分16．解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sin C B=．……………2分又2C B=，所以sin22B B=，即4sin cosB B B=．……………4分又B是ABC∆的内角，所以sin0B>，故cos B=．……………6分（2）因为AB AC CA CB⋅=⋅，所以cos coscb A ba C=，则由余弦定理，得222222b c a b a c+-=+-，得a c=． (10)分从而2223cos25a c bBac+-===，……………12分又0Bπ<<，所以4sin5B==．从而34cos()cos cos sin sin444525210B B Bπππ+=-=⨯-⨯=-．……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE OF OM R===，在Rt OET∆中，因为1602EOT EOF∠=∠=︒，所以2ROT=，则2RMT OM OT=-=．从而2RBE MT==，即22R BE==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=. (4)又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1为163π-. （2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S EG =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<.…………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分列表如下：2x =()f x 答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分 18．解：（1）由N Q ，得直线NQ的方程为32y x =…………………2分令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分将点N的坐标2(213=，解得24a =．所以椭圆C的标准方程为22143x y +=． …………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM的方程为y kx =在y kx =0y =，得P x k=，而点Q 是线段OP 的中点，所以Q x =所以直线BN的斜率2BN BQ k k k ===．………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)0k x +-=，解得M x =用2k代k，得N x =． ………………12分又2DN NM =，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故222334316k k ⨯=⨯++，又0k >，解得2k =．所以直线BM的方程为y x =-． ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为1y x =，令0y =，得P x =同理，得Q x =．而点Q是线段OP 的中点，所以2P Qx x =，故23y =+ …………………10分又2DN NM=，所以2122()x x x =-，得21203x x =>，从而4= 解得21433y y =+．…………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y ++=．又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -++=，21120y +=，解得1y =（舍）或1y =．又10x >，所以点M 的坐标为(33M ．……………14分故直线BM的方程为y x =-． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-，即12n r n m --⋅对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅，所以172n n m--对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n nn n n n n nb b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以nb 的最大值为981128b b ==，所以m的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T ．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意.………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3.………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，.当0c =时，()bg x ax x=+，所以2()b g x a x '=-，所以(1)g a b '=-.………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以c t>对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以2(3a +⨯=（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c ．故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x cx b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--.………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，①在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， A BED F O · 第21(A)图即2x x y y =⎧⎨=⎩，解得012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入2201x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当,26x y ==时，max ()x y +=所以当x y+取最大值时x的值为x =………………10分22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，AP BM ⋅||25AP =，||6BM =．则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===故直线AP 与BM （2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===故平面ABM 与平面PAC所成锐二面角的余弦值为………………10分23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分C第22题图在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21n n C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n n n n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n 时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!r r n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边n x 的系数为21n n C -．而右边1(1)(1)n n x x -++()()01221101221111n n n n n n n n n n n n C C x C x C x C C x C x C x ------=++++++++，所以n x 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立.综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n r n n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21n n C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n n n nn n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n nn n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④． ③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n nn n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++ ⑤．左边n x 的系数为21n n nC -．右边n x 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。

苏北四市2018届高三上期末模拟考试数学试卷 (含答案)

2 , x 2, x 0,1 13．已知定义在 R 上的函数 f x 满足： f x 且f x 2 f x ， 2 , 2 x , x 1,0 2x 5 ，则方程 f x g x 在区间 5,1 上的所有实根之和为 ▲ ． g x x2 14．已知 m, n 为正整数，实数 x, y 满足 x y 4 x m y n ，若 x y 的最大值为
C B．选修 4—2 矩阵与变换
·
O
P
已知矩阵 M =
2 3
1 4
（１）求矩阵 M 的逆矩阵；（２）求矩阵 M 的特征值及特征向量；
C．选修 4—4
参数方程与极坐标
在极坐标系中， A 为曲线
2 2 cos 3 0 上的动点， B 为直线 cos sin 7 0
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19．（本小题满分 16 分）已知数列 (1)求数列满足 a1 a(a 0, a N * ) , a1 a2 an pan1 0 ( p 0, p 1, n N ) .
*
的通项公式 an ；
(2) 若对每一个正整数 k ,若将 ak 1 , ak 2 , ak 3 按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列, 且公差为 d k . ①求 p 的值及对应的数列 ②记 S k 为数列．
π 6
π 3
π 6
π π ( x )] 2 6
π π π 2sin( x ) cos( x ) sin(2 x ) ， ………………………………………4 分 6 6 3
所以函数 f ( x) 的最小正周期为（2）由（Ⅰ）得， f ( 由已知， sin C

江苏省苏北四市2018届高三一模数学试题

江苏省苏北四市2018届高三一模数学试题参考公式：1.柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面面积，h 是高． 2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．2．已知复数2i2iz +=-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．3．函数y =的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．8．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy中，曲线:C xy =P到直线:0l x =的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.（1）求tan B 的值；（2）若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：（1）//MN 平面11ABB A ；（2）1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若AF FC =，求BFFD的值；（3）设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，．（1）当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值；（3）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.附加题21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD,CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：2AB BE BD AE AC=⋅-⋅B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，若矩阵=M BA，求矩阵M的逆矩阵1-M．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11A C 的中点．以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．（1）求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；（2）求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．【参考答案】一、填空题1．{1,0,1}-2．13．(0,1]4．135．750 67．598．54 9．410．1112．1]13．[2,2]-14．277- 二、解答题15．解：（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A =，所以sin 4tan cos 3A A A ==，所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A -+=-+=--⋅1433314133+==-⨯. （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin 1010B B ==，由sin sin()sin cos cos sin 50C A B A B A B =+=+=，由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. 16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB 因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =，又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ，而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A .（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ，又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ，又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥，面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ，又因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ，所以11AB A B ⊥，又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.17．解：（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==，在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<< （2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-设3(),(01)f x x x x =-<<则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '<所以()f x 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以()f x 在3x =时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长20cosABθ===答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB．18．解：（1）设椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由题意知：22121914caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解之得：2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y+=.（2）若AF FC=，由椭圆对称性，知3(1,)2A，所以3(1,)2B--，此时直线BF方程为3430x y--=，由223430,1,43x yx y--=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x--=，解得137x=（1x=-舍去），故1(1)713317BFFD--==-．（3）设00,)A x y（，则00(,)B x y--，直线AF的方程为0(1)1yy xx=--，代入椭圆方程22143x y+=，得2220000(156)815240x x y x x---+=，因为x x=是该方程的一个解，所以C点的横坐标08552Cxxx-=-，又(,)c CC x y在直线0(1)1yy xx=--上，所以00003(1)152C cy yy xx x-=-=--，同理，D点坐标为085(52xx++，03)52yx+，所以00002100000335552528585335252y yyx xk kx x xx x--+-===+--+-，即存在53m=，使得2153k k=．19．解：（1）函数()h x的定义域为(0,)+∞，当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-=，所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-，所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--=，设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x+-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-，设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立，所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G ，所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, 又当2ea x +=时222421()ln e 24e 2e 4a a a a a F x a +++=-++--2211()04ea a +=-≥，因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--< 所以12(0,1)y x x =-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-，即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=，又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12nn b b -=，故数列{}n b 是等比数列．（2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ①当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得2213q q q q ++=+λμ， ②当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得233214+q q q q q ++=+λμ， ③②-①×q ，得21q =λ， ③-②×q ，得31q =λ，解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ==，λμ．（3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ．由12a =，23a =，12λ=，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-，因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅．又△ABC ∽△AEF ，所以AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． B ．解：因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．C.把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2xy ++-=．圆心C 到直线l 的距离d ==，所以直线l 与圆C 相切.D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d ab c d ++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=，又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．22．解：（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -，所以(1,0,0)=-AC，1(,2=BE ，记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,|α-⨯=<>==AC BE ，所以直线AC 和BE．（2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，因为(0,FB =，11(,0,2)2FC =-，则1111301202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ，设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ，因为1(22CB =，1(0,0,2)CC =，则221210220CB x y CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，取2x =1,0)=-n ，cos ,∴<>==m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角，所以二面角1F BC C --23．解：（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠.（2）设2(1,)+Q t t ，1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'y ，所以121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ，所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．令351()222f t t t t=++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t '>得t >，由()0f t '<得0t <<所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t =()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值，此时21s t =+=。

2018届江苏省高三高考模拟专家卷 (1)数学试题及答案精品推荐

2018年江苏高考数学模拟试题（一）数学Ⅰ 必做题部分一、填空题：本大题共18小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答．题卡相应位置上．．．．．．．． 1．已知集合{}0,1A =，集合{}1,0,B x =-, 且A B ⊆，则实数x 的值为． 1．答案：1，解析：根据子集的定义知x 的值为1．2．已知复数(1)(1)i bi +⋅+为纯虚数，则实数b 的值为． 2．答案：1，解析：(1)(1)(1)(1)i bi b b i +⋅+=-++ ，(1)(1)i bi +⋅+是纯虚数，10b ∴-=，且10b +≠ ，1b ∴=．3．一个算法的流程图如下图所示，则输出s 的结果为．3．答案：11，解析：第一次循环后，3Y =，第二次循环后，5Y =，第三次循环后，7Y =，⋅⋅⋅，所以输出11Y =．4．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶图，则甲、乙得分的中位数分别是,a b ，则a b += ．4．答案：57.5，解析：由茎叶图知甲的中位数为32a =，乙的中位数为25.5a =，．57.5a b ∴+=．5．一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球，编号分别为1，2，3，4，5，6，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是．5．答案：56，解析：设“编号不相同”为事件B ，则“编号相同”为其对立事件B ，事件B 包含的基本事件为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），61()366P B ==，所以 15()1()166P B P B =-=-=，编号不同的概率为56．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A c Bb+=，则角A 的大小为．6．答案：π3，解析：tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C BbB AB+=⇒+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B AB+=，∴sin()2sin sin cos sin A B C B AB+=， ∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．7．已知质点P 在半径为10cm圆周运动，角速度是1rad/s ，设(10,0)A 为起始点，记点在y 轴上的射影为M ，则18π秒时点M 的速度cm/s ．7．答案：10，解析：运动t s 后，(10cos ,10sin ),P t t 则M 的位移()10sin S t t =，10cos v S t '∴==，则18π秒时点M 的速度是18cm/s ．瞬时变化率就是导数是解题的关键．8．如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴为AB ，短轴为CD ，E 是椭圆弧BD 上的一点，AE 交CD 于K ，CE 交AB 于L ，则22EK EL AK CL ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 .8．答案：1，解析：利用投影将斜距离之比转化为水平的距离或竖直的距离之比，将线段之比转化为坐标的绝对值之比，体现坐标法解决问题的思想.如图所示，设点00(,)E x y ，过点E 分别向x 、y 轴引垂线，垂足分别为N 、M ，由△MKE ∽△OKA ，故x EK ME AK AO a==，同理0yEL CL b=，则22220022x y EK EL AK CL a b ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又点00(,)E x y 在椭圆上，故有2200221x y a b +=，即221EK EL AK CL ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 9．各项均为正数的等比数列{}n a 满足1764,8a a a ==，若函数231012310()f x a x a x a x a x =++++的导数为()f x '，则1()2f '的值为． 9．答案：554，解析：由等比数列的性质知24174a a a ==，又因为各项均为正数，所以42a =．因为68a =，所以112,4q a ==，所以32-=n n a ，又91210()210f x a a x a x '=+++，其通项公式为1n n na x -，将21=x 代入得114n n na x n -=，所以1155()(1210)244f '=+++=．18．已知ABC ∆的三边,,a b c 满足1349c b a ≤≤≤≤≤≤，则ABC ∆的面积S 最大值为．18．答案：6，解析： 11sin 34sin 90622S bc A =≤⨯⨯⋅=，当2224,3,b c a b c ===+时，等号取得，即当5,4,3a b c ===时，ABC ∆的面积S 的最大值为6．18．用[]x 表示不超过x 的最大整数．已知()[]f x x x =+的定义域为[1,1)-，则函数()f x 的值域为．18．答案：[2,1)[0,1)--，解析：根据[]x 的定义分类讨论．当[1,0)x ∈-时，1y x =-，21y -≤<-；当[0,1)x ∈时，y x =，01y ≤<；所以函数()f x 的值域为[2,1)[0,1)--． 18．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若4,6AC AB ==，则HG BC ⋅的值为． 18．答案：203-，解析：1()()()3HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅- 22120()33AC AB =-=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案．18．设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是． 18．答案：14，解析：设2x s +=，1y t +=，则4s t +=．所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t --+=-++-+41()()6s t s t =+++-． 41()2s t =+-．因为41141149()()(5)444t s s t s t s t s t +=++=++≥，等号当且仅当4,4t ss t s t =+=取得，84,33s t ==，即当且仅当21,33x y ==时，2221x y x y +++的取得最小值14．18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC +=的点P 的个数为．18．解析：方法1：利用椭圆的定义．一方面点P 在以1,A C 为焦点，长轴长为2的椭圆上；另一方面，P 可能在AB ，AD ，1AA ，11C B ，11C D ，1C C 上，或者在111111,,,,,BB DD CD A B BC AD 上．因为112BA BC +=>，故点B 在以,A C 为焦点，长轴长为2的椭圆外，所以椭圆必与线段AB 相交，同理在AD ，1AA ，11C B ，11C D ，1C C 上各有一点满足条件．又若点P 在1BB上，则12PA PC +=>．11D 1故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上不存在满足条件的点P ．故满足题设条件的点P 的个数为6．方法2：若P 在AB 上，设AP x =，有12,PA PC x +=+=解得12x =．故AB 上有一点P （AB 的中点）满足条件．同理在AD ，1AA ，11C B ，11C D ，1C C 上各有一点满足条件．又若点P 在1BB 上，则12PA PC +=>．故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上不存在满足条件的点P ．故满足题设条件的点P 的个数为6．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18．（本小题满分18分）如图2，点P 在ABC ∆内，23AB CP BC ===, , πP B ∠+∠=，记B α∠=．（1）试用α表示AP 的长；（2）求四边形ABCP 的面积的最大值，并求出此时α的值．18．解：（1）△ABC 与△APC 中，由余弦定理得，22223223cos AC α=+-⨯⨯， ①()222222cos AC AP AP α=+-⋅⋅π-， ②由①②得()24cos 12cos 90 0 AP AP ααα++-=∈π，，，解得34cos AP α=-；（2）()()1123sin 2sin 0 ABC APC S S S AP ααα∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯π-∈π, ，由（1）得4sin cos S αα=⋅2sin2 α=，()0 α∈π，，所以当4απ=时，max 2S =． 18．（本小题满分18分）已知PA ⊥菱形ABCD 所在平面，点E 、F 分别为线段BC 、PA 的中点．（1）求证：BD PC ⊥；（2）求证：BF ∥平面PDE ． 18．证明：（1）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，又,PA AC ⊂平面PAC ，PA AC A =，BD ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ， ∴BD PC ⊥．（2）取线段PD 的中点G ，连结,EG FG ，则FG ∥AD ，且12FG AD =，又BE ∥AD ，且12BE AD =，FG ∴∥BE ，FG BE =，∴四边形BEGF 是平行四边形， BF∴∥EG ，又BF ⊄平面PDE ，EG ⊂平面PDE ，BF∴∥平面PDE ．18．（本小题满分18分）某商场分别投入x 万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得利润1y 、2y 万元，利润曲线分别为1C ：1=x y m a b ⋅+，2C ：2=y cx ，其中,,,m a b c 都为常数．如图所示：（1）分别求函数1y 、2y 的解析式；高考资源网（2）若该商场一共投资18万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值．（可能要用的数ln 20.7≈）18．解（1）由函数1=x y m a b ⋅+过点525(0,0),(2,),(4,)1616可得 2405162516m b m a b m a b ⎧⎪+=⎪⎪⋅+=⎨⎪⎪⋅+=⎪⎩，可得2548548a b m ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，15524848x y ∴=⋅- 由函数2=y cx 过点7(3,)4可得712c =，27=12y x ∴ （2）设该商场经销甲商品投入x 万元，乙商品投入12x -万元，该商场所获利润为y 万元则12557573312(12)2484812481248x x y y y x x =+=⋅-+-=⋅-+57577772ln 22248124810129612x x x y '=⋅-=⋅⋅-=⋅-令0y '=可得3x =，（18分）y '在(0,3)单调递增，∴当(0,3),0,x y '∈<y 在(0,3)单调递减，当(3,)0,x y '∈+∞>，y 在(3,)+∞单调递增，当3x =时，利润y 有最小值28748．答：该商场所获利润的最小值28748．18．（本小题满分18分）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=．（1）过圆心1C 作倾斜角为θ的直线l 交圆2C 于,A B 两点，且A 为1C B 的中点，求sin θ；（2）过点(,1)P m 引圆2C 的两条割线1l 和2l ，直线1l 和2l 被圆2C 截得的弦的中点分别为,M N .试问过点2,,,P M N C 的圆是否过定点（异于点2C ）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由；（3）过圆2C 上任一点00(,)Q x y 作圆1C 的两条切线，设两切线分别与y 轴交于点S 和T ，求线段ST 长度的取值范围．18．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，则圆心2C 到直线l的距离d =设AB 的中点为R，则11123AR AB C R ==== 则2118d =，所以在12Rt C RC ∆中，212sin 520C R d C C θ===．（2）依题意，过点2,,,P M N C 的圆即为以2PC 为直径的圆，所以(4)()(1)(0)0x x m y y --+--=，即22(4)40x m x m y y -+++-= 整理成关于实数m 的等式22(4)40x m x x y y -+-+-=恒成立则224040x x x y y -=⎧⎨-+-=⎩，所以40x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩ 即存在定点(4,1).（3）设过00(,)Q x y 的直线与圆1C 切线，则1d ==，即2200()1k kx y k +-=+，整理成关于k 的方程222000000(2)(22)10x x k y x y k y +-++-=，（☆）判别式22222000000000(22)4(1)(2)448y x y y x x x y x ∆=+--+=++，所以00k =直线00()y y k x x -=-与y 轴的交点为00(0,)y kx -，不妨设010(0,)S y k x -，020(0,)T y k x -，则210||ST k k x =-．而12,k k 是（☆）方程的两根，则2100||ST k k x =-=2200(4)4x y -+=，所以000ST ===．(t t =∈，则251616t ST t t t==++，考察关于t的函数16()([2,f t t t t=+∈，函数()f t 在区间[]2.4是单调递减，在区间4,⎡⎣上单调递增，所以max (())10f t =，min (())8f t =．所以ST ∈⎦．19．（本小题满分18分）数列{}n a 满足,2,021==a a ,,3,2,1,2sin 4)2cos 1(222 =++=+n n a n a n n ππ （1）求3456,,,a a a a ；（2）设1321k k S a a a -=+++，k k a a a T 242+++= ，分别求,k k S T 关于k 的表达式；（3）设22kk kS W T =+，求使1>k W 的所有k 的值，并说明理由． 19．解：（1）∵2,021==a a ，∴42sin 4)2cos 1(2123=++=ππa a ，422sin 4)22cos 1(2224=++=ππa a ，225333(1cos )4sin 822a a ππ=++=， 226444(1cos )4sin 822a a ππ=++=．（2）当)(12*N k k n ∈-=时，4212sin 4)212cos 1(12212212+=-+-+=--+k k k a k a k a ππ， ∴{}12-k a 是以0为首项，4为公差的等差数列，则)1(412-=-k a k ，当)(2*N k k n ∈=时，k k k a ka k a 222222222sin 4)22cos 1(=++=+ππ， ∴{}k a 2是以2为首项，2为公比的等比数列，则k k a 22=，∴{}n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈-=-=)(2,2)(12),1(2*2*N k k n N k k n n a n n ．)1(2)1(4401231-=-+++=+++=-k k k a a a S k k ，2222212242-=+++=+++=+k k k k a a a T ，（3）112)1(2)1(422-+-=-=+=k k k k k k k k k T S W ，于是1615,45,23,23,1,0654321======W W W W W W ．下面证明：当6≥k 时，1<k W ．事实上，当6≥k 时，-+=-+k k k k k W W 2)1(102)3(2)1(1<-=--kk k k k k ，即k k W W <+1，又16<W ，∴当6≥k 时，1<k W ．故满足1>k W 的k 的值为5,4,3．20．（本题满分18分）已知函数||)(3a x ax x f -+=（R a ∈）．（1）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增？请说明理由；（2）若10<<a ，求函数)(x f 在]1,1[-上的最大值；（3）求证：对任意的实数a ，存在0x ，恒有0)(0≠x f ，并求出符合该特征的0x 的取值范围．20．解：（1）当0≠a 时，)()()(33a x a x ax ax ax ax x f ≥<⎩⎨⎧-++-=，令a x ax x g +-=3)(（a x <），a x ax x h -+=3)(（a x >），13)(2-='ax x g ，13)(2+='ax x h ，无论0>a 还是0<a 均不符合要求；（2）若10<<a ，)()()(33a x a x ax ax a x ax x f ≥<⎩⎨⎧-++-=，当a x <时，13)(2-='ax x f ，ax ax x f 31013)(2±=⇒=-='，当a x >时，13)(2+='ax x f ， ①当310≤<a ，131≥a，此时)(x f 在],1[a -上单调减，在]1,[a 上单调增，则在]1,1[-上1)1()1()(max ==-=f f x f ； ②当33131≤<a ，此时a a ≥31，此时)(x f 在]31,1[a--上单调增，在],31[a a-上单调减，在]1,[a 上单调增，由于)1()1()31(f f af =->-，则在]1,1[-上aa a f x f 3132)31()(max +=-=； ③当1313<<a ，此时a a <31，则此时)(x f 在]31,1[a --上单调增，在]31,31[a a -上单调减，在],31[a a-上单调增，在]1,[a 上单调P增，则在]1,1[-上aa a f x f 3132)31()(max +=-=；综合①②③有当310≤<a 时，1)(max =x f ；当131<<a 时，aaa a a x f 9323132)(max +=+=．（3） ①当0=a 时，||)(x x f =，方程0||)(==x x f 只有0根；②当0>a 时，方程0||)(3=-+=a x ax x f 没有0根和正根，当0>a ，0<x 时，a x ax x f +-=3)(，由方程0)(3=+-=a x ax x f 得13+=x xa ，则0101033<+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+=<x x x a x ，得1-<x ； ③当0<a 时，方程0||)(3=-+=a x ax x f 没有0根和负根，当0<a ，0>x 时，a x ax x f -+=3)(，由方程0)(3=-+=a x ax x f 得13--=x xa ，则0101033>-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--=>x x x a x ，得1>x ；综上可知，对任意的实数a ，存在]1,0()0,1[0 -∈x ，恒有0)(0≠x f ．数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题18分，共计20说分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．．．作答．明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点，过点D 割线交⊙O 于B 、C 两点．求证: DPB DCP ∠=∠．A ．证明：因为PA 与圆相切于A ，所以2DA DB DC =⋅，因为D 为PA 中点，所以DP =DA ，所以DP 2=DB ·DC ，即PD DB DCPD= ．因为BDP PDC ∠=∠，所以BDP ∆∽PDC ∆，所以DPB DCP ∠=∠． B ．选修4—2：矩阵与变换已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B , 求矩阵B .B ．解：设 , a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 则1 01 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ，故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l的参数方程为,1x y t⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t∈R)．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大． C ．解：曲线C的普通方程是2213x y +=．直线l的普通方程是0x ．设点M的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是d ==．因为)4+≤πθ，所以当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z)，即3π2π(4k k θ=-∈Z)时，d 取得最大值．==θθ．综上，点M 的极坐标为7π)6或点M 的直角坐标为(时，该点到直线l的距离最大． D ．选修4—5：不等式选讲设函数()f x =（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围． D ．解：（1）由题设知：1250x x ++--≥，如图，在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的图象（如图所示）,知定义域为(][,23,-∞-（2）由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++-+≥，即12x x a ++-≥- 由（1）123x x ++-≥，∴3,3a a-≤∴≥-.【必做题】第22题、第23题，每题18分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．求证：对于任意的正整数n，(2n其中s N *∈. 22．解：由二项式定理可知，121122(22222nn n n n n n n n n C C C C --+=++++,设(2n x==，而若有(2n =,a b N *∈，则(2n ，,a b N *∈，∵(2(21n n⋅=⋅=，∴令,a s s N *=∈，则必有1b s =-． ∴(2n s N *∈．注：本题也可用数学归纳法证明，证明正确的也给相应的分数．23．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 在抛物线C 上，设以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交准线l 于,M N 两点．（1）若90MFN ∠=︒，且AMN ∆的面积为24，求p 的值；（2）若,,A F M 三点共线于直线m ，设直线m 与抛物线C 的另一个交点为B ，记A 和B 两点间的距离为()f p ，求()f p 关于p 的表达式．23．解：（1）由对称性可知，MFN ∆为等腰直角三角形，则斜边2MN p =，且点A 到准线l的距离d FA FM ===．11222AMN S MN d p ∆=⋅=⋅=2p =．（2）由对称性可设2000(,)(0)2y A y y p >，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭．由点A ，M 关于点F 对称，得200,2y M p y p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2022y p p p -=-，解得0y，即32p A ⎛⎫⎪⎝⎭．直线m的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线方程联列222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩得220y py p --=，解得1y，2y p =．所以,6p B p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．这样8()3f p AB p ===．。

2018届江苏省淮安市等四市高三上学期第一次模拟数学试题(解析版)

2018届江苏省淮安市等四市高三上学期第一次模拟数学试题一、填空题1．已知集合，，则____．【答案】【解析】，所以。

2．已知复数（为虚数单位），则的模为____．【答案】【解析】，所以。

3．函数的定义域为____．【答案】【解析】，解得定义域为。

4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的值为____．【答案】【解析】（1）；（2）；（3），所以输出的值为13.5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有____人．【答案】750【解析】因为，得，所以。

6．在平面直角坐标系中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____．【答案】【解析】，所以，得离心率。

7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____．【答案】【解析】总事件数为，目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有，共8种；当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种；所以目标事件共20中，所以。

8．已知正四棱柱的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是____．【答案】【解析】由题意，正四棱柱即底面为正方形的长方体，所以高为6，长和宽都为3，所以。

9．若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数的值为____．【答案】【解析】由三角函数的图象可知，直线与正弦函数图象交的三个相邻交点中，第一个点和第三个点之间正好一个周期，则，所以。

10．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为__________．【答案】【解析】，所以，得，由图象对称性，取点，所以。

11．已知等差数列满足，，则的值为____．【答案】【解析】由题意，，，，所以。

江苏省南京市、盐城市2018届高三第一次模拟考试数学

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1x xy e a e =+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图第4题图11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x -≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ． 13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则CD AB ⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点. （1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB AC ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？第13题图 ABC A 1B 1C 1 MN第15题图F18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数. （1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点E ，AD 垂直DE 于点D . 若4DE =，求切点E 到直径AB 的距离EF ．B .（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵 2 00 1⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，求圆221x y +=在矩阵M 的变换下所得的曲线方程.A B ED F O · 第21(A)图C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=(0r >)相切，求r 的值.D ．(选修4-5：不等式选讲）已知实数,x y 满足2231x y +=，求当x y +取最大值时x 的值.[必做题]（第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ，OP ⊥底面ABCD ，点M 为PC 中点，4,2,4AC BD OP ===. （1）求直线AP 与BM 所成角的余弦值；（2）求平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值．23．（本小题满分10分）已知n N *∈，()0112112r r n n n n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．（1）求()1,f ()2,f ()3f 的值；（2）试猜想()f n 的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．M A CD O P 第22题图南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A M C ，1A M ⊂平面1A M C ，所以BN∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC ，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1AM MC M =，所以1AB ⊥平面1A M C ． ……………12分又1AC ⊂平面1A M C ，所以11AB AC ⊥． ……………14分16．解：（1）因为2c =，则由正弦定理，得sin 2C B =． ……………2分又2C B=，所以s in 2s i n2B B =，即4sn c o s5s i nB B =． ……………4分又B是ABC ∆的内角，所以s i n B >，故co B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而223cos 25a c bB ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而3c o 44B Bππ+=． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RM T O MO T =-=．从而2R B EMT==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=. ……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分E（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=-.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分 18．解：（1）由2N Q ，得直线NQ 的方程为32y x =…………………2分令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分将点N 的坐标22213+=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．…………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM 的方程为y kx =在y kx =0y =，得P x k =，而点Q 是线段OP的中点，所以2Q x k=．所以直线BN 的斜率2BN BQ k k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得22(34)0k x +-=，解得M x =．用2k代k，得6316N x =． ………………12分又2DN NM =，所以2(N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故23=0k >，解得k =．所以直线BM 的方程为2y x =． ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP的中点，所以2P Qx x =，故=． …………………10分又2DN NM =，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=，解得21433y y =+． …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩C的方程中，得2119x =．又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -+=21120y +=，解得1y =（舍）或1y =．又10x >，所以点M 的坐标为M ．……………14分故直线BM 的方程为2y x =． …………………16分 19．解：（1）由题意，可得22()()n n n a a d a d d λ=+-+，化简得2(1)0d λ-=，又0d ≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a ===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n n a a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公比2q =的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-…，即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅…，所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n nn n n n n nb b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …． ①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T 的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当c =时，()bg x ax x=+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aa x c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以3)c a t >--对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． 8分因为03a <<，所以23=（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c …．故c最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分令21xt x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t -<<-．令1()ln 1t t tϕ=+-，所以22111()0t t t t t ϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122x x x b x x x-<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2x x y y =⎧⎨=⎩，解得012x x y y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线cos()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即ABE DF O ·第21(A)图1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y +≤， ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得6x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当x y ==时，max ()x y += 所以当x y +取最大值时x的值为2x =………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分（2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n 4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分C第22题图在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n nnC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!r r nn r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n nrC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n nnC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n nC C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)n n xx -++()()0111n nn nC C x------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n nC C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n 的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn n C C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n n n nC C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n nn nC C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n nn n n n n n n n nnC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。

江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟数学试题及答案

江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟数学试卷参考公式：1.柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面面积，h 是高．2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B =U ▲ ．2．已知复数2iz +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y =的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ． 8．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P 到直线:0l x +=的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=150 200 250 300 350 400450 （第5题）（第17题） 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ … （第4题）的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ． 13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ． 14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=o ，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．B （第14题） A DC E （第16题） 1A 1B NM1C C B A18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2km 的值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 1-，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R . ⑴若0λ=，4μ=，n b =}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求，的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列. （第18题）（第18题）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅B ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修 4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修 4 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1，AC 和11A C 的中点．以{,,}FA FB FG u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -． ⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值； ⑵求二面角1F BC C --的余弦值． A B C D E F(第21－A 题) O . A B C D E F (第21－A 题)O . A B CD E F (第21－A 题)O . A B CDE F (第21－A 题) O . BC1A1B 1C FEz G23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ． ⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．54 9．4 1011．11 12．1] 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ，所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分（2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B ==， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =，又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ，又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分又因为90ABC ∠=o ，所以1111B C B A ⊥，面11ABB A I 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分又因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ，所以11AB A B ⊥，又因为111=NB AB B I ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅ 2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<< ……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =（第16题）1A 1B NM 1C CB AP当(0,3x ∈时，()0f x '>，当(3x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以()f x在x 时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ=== 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分 18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22143x y += ……………………………4分（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--，同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分 19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-=………………………………………………2分所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；…………………4分（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立，所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e +=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-，即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12n n bb -=，故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分（2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得 2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ②-①⨯q ，得21q =λ ，③-②⨯q ，得31q =λ ，解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分（3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-L L L ， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分 B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分C .把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d == 所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分22．（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -，所以(1,0,0)=-u u u r AC，1(,2=u u u r BE ， ………………………………………2分记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,|4α-⨯=<>==u u u r u u u r AC BE ，所以直线AC 和BE所成角的余弦值为4． ………………………………………4分（2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，因为FB =u u u r ，11(,0,2)2FC =-u u u u r ，则111101202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u u r m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ……………………………6分设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ，因为1(2CB =u u u r ，1(0,0,2)CC =u u u u r ，则221210220CB x y CC z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩u u u r u u u u r n n，取2x =1,0)=-n ………………………8分cos ,∴<>=m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角，所以二面角1F BC C --……………………………………10分 23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴，所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ ………………………………………………4分（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'=y，所以121AQ t y k t -=+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．……………………………………8分令351()222f t t t t=++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t '>得t >，由()0f t '<得0t <<，所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t =时，()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时21s t =+=10分。

南京、盐城2018年高三一模数学试题及答案解析

南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ．2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +⋅为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ．5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ．6．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035 a0.0200.0100.005第3题图第4题图7．设函数1x xy e a e=+-的值域为A ，若[0,)A ⊆+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ．9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 10．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若{}n a 的前2017项中的奇数项和为2018，则2017S 的值为 ▲ ．11．设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，()f x =(3),03,31,>3x x x x x-≤≤⎧⎪⎨-+⎪⎩，若函数()y f x m =-有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ▲ ．13．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处，且,A B 的位置所图所示，则⋅的最大值为 ▲ ．14．若不等式2sin sin sin 19sin sin k B A C B C +>对任意ABC ∆都成立，则实数k 的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，点,M N 分别是11,AB A B 的中点.（1）求证：BN ∥平面1A MC ；（2）若11A M AB ⊥，求证：11AB AC ⊥.16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知c =. （1）若2C B =，求cos B 的值；（2）若AB AC CA CB ⋅=⋅，求cos()4B π+的值．第13题图 ABCA 1B 1C 1MN第15题图17．(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，且弧»EF,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =时，求直线BM 的方程．第17题-图甲 F 第17题-图乙19．(本小题满分16分)设数列{}n a 满足221121()n n n a a a a a λ+-=+-，其中2n …，且n N ∈，λ为常数. （1）若{}n a 是等差数列，且公差0d ≠，求λ的值；（2）若1231,2,4a a a ===，且存在[3,7]r ∈，使得n m a n r ⋅-卪对任意的*n N ∈都成立，求m 的最小值；（3）若0λ≠，且数列{}n a 不是常数列，如果存在正整数T ，使得n T n a a +=对任意的*n N ∈均成立. 求所有满足条件的数列{}n a 中T 的最小值.20．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意0(1,)x ∈+∞和任意(0,3)a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得120()()()g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于11(,),A x y 2212(,)()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1．{}1 2．1 3．1200 4．1 5．236．6 7．(,2]-∞8．34π 9．1(0,]4 10．4034 11．9[1,)412． 13．24 14．100二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．证明：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以11//AB A B ，且11AB A B =，又点,M N 分别是11,AB A B 的中点，所以1MB A N =，且1//MB A N ．所以四边形1A NBM是平行四边形，从而1//A M BN ． ……………4分又BN ⊄平面1A M C，1A M ⊂平面1A M C ，所以BN ∥面1A MC ． ……………6分（2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA ⊥底面ABC ，而1AA ⊂侧面11ABB A ，所以侧面11ABB A ⊥底面ABC ．又CA CB =，且M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥．则由侧面11ABB A ⊥底面ABC ，侧面11ABB A 底面ABC AB =，CM AB ⊥，且CM ⊂底面ABC，得CM ⊥侧面11ABB A ． ……………8分又1AB ⊂侧面11ABB A ，所以1AB CM ⊥． ……………10分又11AB A M ⊥，1,A M MC ⊂平面1A MC ，且1A M MC M =，所以1AB ⊥平面1A M C ． ……………12分又1AC ⊂平面1A MC，所以11AB A C ⊥． ……………14分16．解：（1）因为2c b =，则由正弦定理，得sin C B =． ……………2分又2C B =，所以s i n 2s iB B =，即4sn c o s 5s i n B B =． ……………4分又B 是ABC ∆的内角，所以s i n B >，故c o s 4B =． ……………6分（2）因为AB AC CA CB ⋅=⋅，所以cos cos cb A ba C =，则由余弦定理，得222222b c a b a c +-=+-，得a c =． ……………10分从而2223cos 25a cb B ac+-===， (12)分又0B π<<，所以4sin 5B ==．从而3c o 4B Bπ+=． ……………14分17．解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=∠=︒，所以2ROT =，则2RM T O MO T =-=．从而2R B EMT==，即22R BE ==. ……………2分故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形22114sin120323R R ππ=-︒=. ……………4分又所得柱体的高4EG =，所以V S EG =⨯=163π-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积为163π-. …………………6分（2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形222114sin120(323R R x ππ=-︒=.又所得柱体的高62EG x =-，所以V S =⨯=328(3)3x x π--+，其中03x <<. …………………10分令32()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2()363(2)0f x x x x x '=-+=--=，解得2x =. …………………12分答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18．解：（1）由N Q，得直线NQ的方程为32y x=…………………2分令0x=，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x ya+=．…………………4分将点N的坐标)22(213+=，解得24a=．所以椭圆C的标准方程为22143x y+=．…………………8分（2）方法一：设直线BM的斜率为(0)k k>，则直线BM的方程为y kx=在y kx=0y=，得Pxk=，而点Q是线段OP的中点，所以2Qxk=．所以直线BN的斜率(3)2B B Qk k===．………………10分联立22143y kxx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x+-=，解得234Mxk=+．用2k代k，得6316Nx=．………………12分又2DN NM=，所以2()N M Nx x x=-，得23M Nx x=．………………14分故23=0k>，解得k=．所以直线BM的方程为方法二：设点,M N的坐标分别为1122(,),(,)x y x y．由(0,B，得直线BN的方程为1y x=0y=，得Px=．同理，得Qx=．而点Q是线段OP的中点，所以2P Qx x=，故=…………………10分又2DN NM=，所以2122()x x x=-，得2123x x=>4=解得2143y y=+ (12)分将21212343x xy y⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2211(41927x y++=．又22114(1)3yx=-，所以21214(1)(431927yy-+=2112y+=，解得1y=（舍）或1y=．又1x>，所以点M的坐标为M．……………14分故直线BM的方程为y x=-．…………………16分19．解：（1）由题意，可得22()()n n na a d a d dλ=+-+，化简得2(1)0dλ-=，又0d≠，所以1λ=. ………………4分（2）将1231,2,4a a a===代入条件，可得414λ=⨯+，解得0λ=，所以211n n na a a+-=，所以数列{}n a是首项为1，公比2q=的等比数列，所以12n n a -=. ……6分欲存在[3,7]r ∈，使得12n m n r -⋅-…，即12n r n m --⋅…对任意*n N ∈都成立，则172n n m --⋅…，所以172n n m --…对任意*n N ∈都成立. ………………8分令172n n n b --=，则11678222n n nn n n n nb b +-----=-=，所以当8n >时，1n n b b +<；当8n =时，98b b =；当8n <时，1n n b b +>．所以n b 的最大值为981128b b ==，所以m 的最小值为1128. ………………10分（3）因为数列{}n a 不是常数列，所以2T …．①若2T =，则2n n a a +=恒成立，从而31a a =，42a a =，所以22221212221221()()a a a a a a a a λλ⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩，所以221()0a a λ-=，又0λ≠，所以21a a =，可得{}n a 是常数列．矛盾．所以2T =不合题意. ………………12分②若3T =，取*1,322,31()3,3n n k a n k k N n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪-=⎩（*），满足3n n a a +=恒成立． ………………14分由2221321()a a a a a λ=+-，得7λ=．则条件式变为2117n n n a a a +-=+．由221(3)7=⨯-+，知223132321()k k k a a a a a λ--=+-；由2(3)217-=⨯+，知223313121()k k k a a a a a λ-+=+-；由21(3)27=-⨯+，知223133221()k k k a a a a a λ++=+-．所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3. ………………16分20．解：（1）由()ln f x x =，得(1)0f =，又1()f x x'=，所以(1)1f '=，. 当c =时，()b g x ax x=+，所以2()bg x a x'=-，所以(1)g a b '=-. ………………2分因为函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，所以(1)(1)(1)f g f g ''=⎧⎨=⎩，即10a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ………………4分（2）当01x >时，则0()0f x >，又3b a =-，设0()t f x =，则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ． ………………6分即关于x 的方程2()(3)0(0)ax c t x a t -++-=>在(0,)+∞上有相异两实根12,x x ．所以2121203()4(3)030a c t a a c t x x a ax x a <<⎧⎪∆=+-->⎪⎪+⎨+=>⎪⎪-=>⎪⎩，得203()4(3)0a c t a a c t <<⎧⎪+>-⎨⎪+>⎩，所以3)c a t >--对(0,),(0,3)t a ∈+∞∈恒成立． ………………8分因为03a <<，所以23=（当且仅当32a =时取等号），又0t -<，所以t 的取值范围是(,3)-∞，所以3c …．故c 的最小值为3. ………………10分（3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222ln ln b x x c x b x x cx ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式相减，得211221ln ln (1)x x b x x x x -=--. ………………12分要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln (1)x x x x x x x x x x x x --<-<--，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x xx x x -<<-. ………………14分令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-．令1()ln 1t t t ϕ=+-，所以22111()0t t t t tϕ-'=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增．又(1)0ϕ=，所以1()ln 10t t tϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以11()10tm t t t-'=-=<，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又(1)0m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立．综上所述，实数12,x x 满足122x x x b x x x -<<-. ………………16分附加题答案21．（A ）解：如图，连接AE ，OE ，因为直线DE 与⊙O 相切于点E ，所以DE OE ⊥，又因为AD 垂直DE 于D ，所以//AD OE ，所以DAE OEA ∠=∠，① 在⊙O 中OE OA =，所以OEA OAE ∠=∠，② ………………5分由①②得DAE ∠OAE =∠，即DAE ∠FAE =∠，又ADE AFE ∠=∠，AE AE =，所以ADE AFE ∆≅∆，所以DE FE =，又4DE =，所以4FE =，即E 到直径AB 的距离为4. ………………10分（B ）解：设()00,P x y 是圆221x y +=上任意一点，则22001x y +=，设点()00,P x y 在矩阵M 对应的变换下所得的点为(),Q x y ，则002 00 1x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即02x x y y =⎧⎨=⎩，解得0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩， ………………5分代入22001x y +=，得2214x y +=，即为所求的曲线方程. ………………10分（C ）解：以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴建立平面直角坐标系，ABE DF O · 第21(A)图由cos()13πρθ+=，得(cos cossin sin )133ππρθθ-=，得直线的直角坐标方程为20x -=． ………………5分曲线r ρ=，即圆222x y r +=，所以圆心到直线的距离为1d ==．因为直线c o s ()13πρθ+=与曲线r ρ=（0r >）相切，所以r d =，即1r =. ……………10分（D）解：由柯西不等式，得22222[)][1](1x x ++≥⨯+，即2224(3)()3x y x y +≥+．而2231x y +=，所以24()3x y +≤，所以x y ≤+≤ ………………5分由1x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以当且仅当26x y ==时，max ()x y += 所以当x y+取最大值时x 的值为x =………………10分 22．解：（1）因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又OP ⊥底面ABCD ，以O 为原点，直线,,OA OB OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．则(2,0,0)A ,(0,1,0)B ,(0,0,4)P ,(2,0,0)C -,(1,0,2)M -．所以(2,0,4)AP =-，(1,1,2)BM =--，10AP BM ⋅=，||25AP =，||6BM =．则cos ,6||||2AP BM AP BM AP BM ⋅<>===．故直线AP 与BM 所成角的余弦值为6. ………5分（2）(2,1,0)AB =-，(1,1,2)BM =--．C设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n AB n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2020x y x y z -+=⎧⎨--+=⎩，令2x =，得4y =，3z =．得平面ABM 的一个法向量为(2,4,3)n =．又平面PAC 的一个法向量为(0,1,0)OB =，所以n4OB ⋅=，||29n =，||1OB =．则cos ,||||29n OB n OB n OB ⋅<>===.故平面ABM 与平面PAC 所成锐二面角的余弦值为………………10分 23．解：（1）由条件，()0112112r r n nn n n n n n n n nf n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ①，在①中令1n =，得()011111f C C ==． ………………1分在①中令2n =，得()011222222226f C C C C =+=，得()23f =． ………………2分在①中令3n =，得()011223333333332330f C C C C C C =++=，得()310f =． ………………3分（2）猜想()f n =21nn C -（或()f n =121n n C --）． ………………5分欲证猜想成立，只要证等式011211212n r r n nn n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+成立．方法一：当1n =时，等式显然成立，当2n …时，因为11!!(1)!==!()!(1)!()!(1)!()!rr n n r n n n rC n nC r n r r n r r n r --⨯-=⨯=-----（），故11111()r r r r r r n n n n n n rC C rC C nC C -----==．故只需证明00111111211111n r r n n n n n n n n n n n nC nC C nC C nC C nC C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．即证00111111211111n r r n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．而11r n r n n C C --+=，故即证0111111211111n n n r n r n n n n n n n n n n C C C C C C C C C ---+------=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ②．由等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++可得，左边nx 的系数为21n n C -．而右边1(1)n nxx-++()()0111n nn n C C ------=++++++++，所以nx 的系数为01111111111n n r n r n n n n n n n n n C C C C C C C C ---+-----++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++恒成立可得②成立. 综上，()21nn f n C -=成立. ………………10分方法二：构造一个组合模型，一个袋中装有21n -个小球，其中n 个是编号为1，2，…，n的白球，其余n －1个是编号为1，2，…，n －1的黑球，现从袋中任意摸出n 个小球，一方面，由分步计数原理其中含有r 个黑球（n r -个白球）的n 个小球的组合的个数为1r n rn nC C --，01r n ≤≤-，由分类计数原理有从袋中任意摸出n 个小球的组合的总数为01111111n n n n n n nn n C C C C C C -----+++．另一方面，从袋中21n -个小球中任意摸出n 个小球的组合的个数为21nn C -．故0111121111n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------=++，即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三：由二项式定理，得0122(1)n n nn n n n x C C x C x C x +=++++ ③．两边求导，得112111(1)2n r r n n n n n n n x C C x rC x nC x ---+=+++++ ④．③×④，得21012212111(1)()(2)n n n r r n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C C x rC x nC x ---+=+++++++++⑤．左边n x 的系数为21nn nC -．右边nx 的系数为121112n n r n r n n n n n n n n n C C C C rC C nC C --+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 1021112r r n n n n n n n n n nC C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+0112112r r n nn n n n n n n n C C C C rC C nC C --=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．由⑤恒成立，可得011211212n r r n n n n n n n n n n n nC C C C C rC C nC C ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．故()21nn f n C -=成立. ………………10分。

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苏北四市2018届高三一模数学试卷2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B =U ▲ ．2．已知复数2iz +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．（第5题）（第17题） 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ … （第4题）8．已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy =P到直线:0l x +=的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=o ，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.B （第14题） ADC E （第16题）1A 1B NM1C CBA17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k求出m 的值；若不存在，请说明理由.图1 图2（第17题）19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅A B C D E F (第21－A 题)O .B ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修 4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修 45：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11A C 的中点．以{,,}FA FB FG u u u r u u u r u u u r为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -． ⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；⑵求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．A B C 1A 1B 1C F Exy z G数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．54 9．4 1011．11 12．1] 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A =，所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分（2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B =， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin 50C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==，………………………12分所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =，又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ，又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分又因为90ABC ∠=o，所以1111B C B A ⊥，面11ABB A I 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分又因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ，所以11AB A B ⊥，又因为111=NB AB B I ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅ 2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：3x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以()f x在x =时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分（第16题）1A 1B NM 1C CB AP此时等腰三角形的腰长20cosABθ===答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分18．（1）设椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由题意知：22121914caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y+=……………………………4分（2）若AF FC=，由椭圆对称性，知3(1,)2A，所以3(1,)2B--，此时直线BF方程为3430x y--=，……………………………………………6分由223430,1,43x yx y--=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x--=，解得137x=（1x=-舍去），…………8分故1(1)713317BFFD--==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y（，则00(,)B x y--，直线AF的方程为0(1)1yy xx=--，代入椭圆方程22143x y+=，得2220000(156)815240x x y x x---+=，因为x x=是该方程的一个解，所以C点的横坐标08552Cxxx-=-，…………………12分又(,)c CC x y在直线0(1)1yy xx=--上，所以00003(1)152C cy yy xx x-=-=--，同理，D点坐标为085(52xx++，03)52yx+，……………………………………………14分所以00002100000335552528585335252y yyx xk kx x xx x--+-===+--+-，即存在53m=，使得2153k k=．………………………………………………………16分19．（1）函数()h x的定义域为(0,)+∞当1a=时，2()()()ln2h x f x g x x x x=-=+-+，所以1(21)(1)()21x xh x xx x-+'=+-=………………………………………………2分所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值；…………………4分（2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立，所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++--2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立；即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x=-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-，即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12n n bb -=，故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分（2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得 2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③②①q ，得21q =λ ，③②q ，得31q =λ ，解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分（3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ，又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-L L L ， ……………………………………14分因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分所以131********M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分 C .把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d = 所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分 22．（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -，所以(1,0,0)=-u u u r AC，1(,2=u u u r BE ， ………………………………………2分记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos|cos,|4α-⨯=<>==u u u r u u u rAC BE，所以直线AC和BE所成角的余弦值为4．………………………………………4分（2）设平面1BFC的法向量为111(,,)x y z=m，因为FB=u u u r，11(,0,2)2FC=-u u u u r，则11111202FB yFC x z⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u ru u u u rmm，取14x=得：(4,0,1)=m……………………………6分设平面1BCC的一个法向量为222(,,)x y z=n，因为1(2CB=u u u r，1(0,0,2)CC=u u u u r，则22121220CB x yCC z⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩u u u ru u u u rnn，取2x=1,0)=-n………………………8分cos,∴<=m n根据图形可知二面角1F BC C--为锐二面角，所以二面角1F BC C--……………………………………10分23．（1）因为抛物线C的方程为24y x=，所以F的坐标为(1,0)，设(,)M m n，因为圆M与x轴、直线l都相切，l平行于x轴，所以圆M的半径为n，点P2(,2)n n，则直线PF的方程为2121y xn n-=-，即22(1)(1)0n x y n---=，………………………2分n=，又,0m n≠，所以22211m n n--=+，即210n m-+=，所以E的方程为2=1y x-(0)y≠………………………………………………4分（2）设2(1,)+Q t t，1(0,)A y，2(0,)B y，由（1）知，点Q处的切线1l的斜率存在，由对称性不妨设0>t，由'y，所以121AQt ykt-==+，221BQt ykt-==-+所以1122=-t y t，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．……………………………………8分令351()222f t t t t=++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t+-'=+-=，由()0f t '>得t >，由()0f t '<得0t <<，所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t 时，()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值此时21s t =+=．……………………………………………………………10分。