三角形相关计算与证明练习题
中考数学专题《相似三角形的证明与计算专项训练》(沪科版)原卷
专题22.7 相似三角形的证明与计算专项训练（60道）【沪科版】考卷信息：本套训练卷共60题，针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对相似三角形的证明与计算的理解！一．解答题（共30小题）1．（2022·辽宁·大连市第三十四中学九年级阶段练习）如图，在ΔABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD.（1）求证：ΔABC∽ΔACD；（2）若AD=4,AB=9求AC的长.2．（2022·广西贺州·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，求FC的长．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．求证：△ACD∽△ABC．4．（2022·上海·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．（1）求HD的长；（2）设△BEG的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）5．（2022·湖南省岳阳开发区长岭中学九年级阶段练习）已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB．6．（2022·全国·九年级专题练习）已知，如图，⊥ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：⊥ABD⊥⊥CBA．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，⊥1=⊥2，ABAE =ACAD，求证：⊥C=⊥D．8．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，⊥MPN=90°，将⊥MPN绕点P从PB处开始顺时针方向旋转，PM交边AB于点E，PN交边AD于点F，当PE旋转至PA处时，⊥MPN 的旋转随即停止.（1）如图2，在旋转中发现当PM经过点A时，PN也经过点D，求证：⊥ABP ⊥⊥PCD（2）如图3，在旋转过程中，PEPF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由（3）设AE=m，连结EF，则在旋转过程中，当m为何值时，⊥BPE与⊥PEF相似.9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=30°，求证：△ABD∽△DCE．10．（2022·全国·九年级专题练习）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB= BC，AD=DE，连接BD，CE，求CE的值．BD11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊥ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE=∠B．(1)证明：ΔADB∼ΔAED；(2)若AE=3，AD=5，求AB的长．12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，⊥ABC与⊥ADE中，⊥C＝⊥E，⊥1＝⊥2；（1）证明：⊥ABC⊥⊥ADE．（2）请你再添加一个条件，使⊥ABC⊥⊥ADE．你补充的条件为：．13．（2022·全国·九年级单元测试）如图，BD、CE是△ABC的高．（1）求证：△ACE∽△ABD；（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB//EF//CD，E为AD与BC的交点，F在BD上，求证：1AB +1CD=1EF．15．（2022·全国·九年级课时练习）（1）如图1，将直角三角板的直角顶点放在正方形ABCD上，使直角顶点与D重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．则DP DQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）将（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他条件不变．①如图2，若PQ＝5，求AP长．②如图3，若BD平分⊥PDQ．则DP的长为．16．（2022·全国·九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到BC=______．我们把这个模型称为“一线AC三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD=∠B．①求证：△ABP∽△PCD；②当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．17．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且⊥ADE＝60°．求证：⊥ADC⊥⊥DEB．18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，平行四边形ABCD中，点E是BC上一线，连接AE，连接DE，F为线段DE上一点，且⊥AFE=⊥B．求证：⊥ADF⊥⊥DEC；19．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，DC与BE相交于点O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3．求证：△DOE∽△COB．20．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，⊥DME＝⊥A＝⊥B，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.写出图中的所有相似三角形，并选择一对加以证明．21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC,CA,AB的中点．求证：△DEF∽△ABC．22．（2022·福建·厦门市第五中学八年级期中）定义：若一个三角形最长边是最短边的2倍，我们把这样的三角形叫做“和谐三角形”．在⊥ABC中，点F在边AC上，D是边BC上的一点，AB＝BD，点A，D关于直线l对称，且直线l经过点F．（1）如图1，求作点F；（用直尺和圆规作图保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，⊥ABC是“和谐三角形”，三边长BC，AC，AB分别a，b，c，且满足下列两个条件：a≠2b，和a2＋4c2＝4ac＋a﹣b﹣1．①求a，b之间的等量关系；②若AE是⊥ABD的中线．求证：⊥ACE是“和谐三角形”．23．（2022·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE⊥BC，点F 在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在Rt⊥ABC中，⊥A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）求BC边上的高；（2）求正方形EFGH的边长．25．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF⊥△DCF．26．（2022·全国·九年级课时练习）如图，F为四边形ABCD边CD上一点，连接AF并延长交BC延长线于点E，已知∠D=∠DCE．（1）求证：△ADF∽△ECF；（2）若ABCD为平行四边形，AB=6，EF=2AF，求FD的长度．27．（2022·安徽安庆·九年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC 上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当CEEB =13时，求S△CEFS△CDF的值；（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=12BG．28．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，点E、F在边BC上，满足∠EAF=∠C求证：（1）BF⋅CE=AB2（2）AE 2AF2=CEBF．29．（2022·山东泰安·中考真题）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC=∠CDE=90°，连接BD，AB=BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB=6,CE=9，求AD的长．30．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，⊥ABC＝2⊥C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF⊥⊥ABC．31．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在⊥ABC和⊥ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且⊥BAC＝⊥DAE．点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN．（1）求证：⊥CAE⊥⊥BAD；（2）求证：⊥AMN⊥⊥ABC；（3）若AC＝6，AE＝4，⊥EAC＝60°，求AN的长．32．（2022·全国·九年级课时练习）在①DP⋅PB=CP⋅PA，②∠BAP=∠CDP，③DP⋅AB=CD⋅PB这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．问题：如图，四边形ABCD的两条对角线交于P点，若（填序号）求证：△ABP∼△DCP．33．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，且AB是AD，BC的比例中项，求证：BD⊥AC．34．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF(1)求证：四边形AFCD是平行四边形．(2)若GB=3，BC=6，BF=3，求AB的长．235．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，DF⊥AE于点F．(1)求证：AFBE =ADAE．(2)已知AB=8,BC=12，求AF的长．36．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊥ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC 交BD于点N，ON＝1．(1)求证：⊥DMN⊥⊥BCN；(2)求BD的长；(3)若⊥DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．37．（2022·全国·九年级课时练习）在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点E、F分别是边AB、AD上两点，满足AE=DF，BF与DE相交于点G．（1）如图1，连接BD．求证：△DAE≌△BDF；（2）如图2，连接CG．①求证：BG+DG=CG；②若FG=m，GC=n，求线段DG的长（用含m、n的代数式表示）．38．（2022·全国·九年级课时练习）将一副三角尺如图1放置，其中AD 为Rt ⊥ABC 中BC 边上的高，DE ，DF 分别交AB ，AC 于点M 和N ．(1)求证：⊥AMD ⊥⊥CND ；(2)如图2，将Rt ⊥DEF 绕点D 旋转，此时EF ⊥BC ，且E ，A ，F 共线，判断AE AD＝AM AN是否成立，并给出证明．39．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD ，AC 平分⊥BAD ，点P 是AC 延长线上一点，且PD⊥AD ． （1）证明：⊥BDC=⊥PDC ；（2）若AC 与BD 相交于点E ，AB=1，CE ：CP=2：3，求AE 的长．40．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点， （1）若BK ＝73KC ，求CDAB 的值；（2）联结BE ，若BE 平分⊥ABC ，则当AE ＝12AD 时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；（3）试探究：当BE 平分⊥ABC ，且AE ＝1n AD （n ＞2）时，线段AB 、BC ，CD 三者之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．41．（2022·山东济宁·中考真题）如图,在⊥ABC中,AB=AC，点P在BC上．(1)求作:⊥PCD,使点D在AC上，且⊥PCD⊥⊥ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若⊥APC=2⊥ABC，求证:PD//AB．42．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，⊥EAF=⊥GAC．（1）求证：△ADE⊥⊥ABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG的值．43．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在⊥ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE⊥AC，EF⊥AB．（1）求证：⊥BDE⊥⊥EFC．（2）设AFFC =12，①若BC＝12，求线段BE的长；②若⊥EFC的面积是20，求⊥ABC的面积．44．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．(1)求证：⊥BGC⊥⊥DGF；(2)求证：GD⋅AB=DF⋅BG；的值．(3)若点G是DC中点，求GFCE45．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt⊥ABC中，⊥C＝90°，AC＝4 cm，BC＝5 cm，点D在BC上，且CD＝3 cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C 运动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C运动，过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为t s（t＞0）．(1)CP＝________，CQ＝________．（用含t的代数式表示）(2)连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？BC将线46．（2022·河南洛阳·九年级期中）在⊥ABC中，⊥BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BD=13段DB绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．(1)如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；(2)当0°＜α＜180°时，①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，当B，E，F三点共线时，连接AE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．47．（2022·全国·九年级课时练习）如图所示，在正方形ABCD中，E是BC上的点连接AE.作BF⊥AE垂足为H，交CD于F作CG//AE，交BF于G.求证：(1)CG=BH；(2)FC2=BF⋅GF．48．（2022·山东淄博·八年级期末）如图1，已知矩形ABCD对角线AC和BD相交于点O，点E是边AB上一点，CE与BD相交于点F，连结OE．(1)若点E为AB的中点，求OF的值．FB(2)如图2，若点F为OB中点，求证：AE＝2BE．(3)如图2，若OE⊥AC，BE＝1，且OF＝k·BF，请用k的代数式表示AC2．49．（2022·全国·九年级课时练习）【操作发现】如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN．【实践探究】（1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是．（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展】（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN ＝45°，BN＝1，求DM的长．50．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上动点(不与B,C重合)．连接AE,过点E作EF⊥AE,交DC于点F．(1)求证：△ABE∼△ECF；(2)连接AF，试探究当点E在BC什么位置时，∠BAE=∠EAF，请证明你的结论．51．（2022·全国·九年级课时练习）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．(1)操作发现：如图①，当AC=BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．①∠CBE的度数为______；②探究发现AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；(2)探究证明：如图2，当BC=2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；②若AC=2，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．52．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于E，F，连接DE，DF．(1)求证：△OCE∽△OFD．(2)当AE=7，BF=24时，求线段EF的长．53．（2022·河南驻马店·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，⊥C＝90°，AC＝BC＝2√2，点D、E分别在边AB，连接DE．将△ADE绕点A顺时针方向旋转，记旋转角为θ．AC、AB上，AD＝DE＝12（1）[问题发现]①当θ＝0°时，BECD ＝；②当θ＝180°时，BECD＝；（2）[拓展研究]试判断：当0°≤θ＜360°时，BECD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）[问题解决]在旋转过程中，BE的最大值为．54．（2022·福建泉州·九年级期中）如图1，设D为锐角⊥ABC内一点，⊥ADB=⊥ACB+90°．（1）求证：⊥CAD+⊥CBD=90°；（2）如图2，过点B作BE⊥BD，BE=BD，连接EC，若AC•BD=AD•BC，①求证：⊥ACD⊥⊥BCE；②求AB⋅CDAC⋅BD的值．55．（2022·全国·九年级专题练习）所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中较长部分对于全部之比，等于较短部分对于该部分之比，其比值是√5−12．(1)如图①，在△ABC中，⊥A＝36°，AB=AC，⊥ACB的平分线CD交腰AB于点D．请你根据所学知识证明：点D为腰AB的黄金分割点：(2)如图②，在Rt△ABC中，⊥ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，AD>BD，AB=√5+1，若点D是AB的黄金分割点，求BC的长，56．（2022·山东·淄博市临淄区教学研究室八年级期末）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD，如图（1），证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图（2），求证：AE⋅AB=DE⋅AP．57．（2022·湖南衡阳·九年级期末）如图，在ΔABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE=BD．（1）求证：ΔABE∽ΔACD；的值．（2）若BD=1，CD=2，求AEAD58．（2022·全国·九年级专题练习）[教材呈现]下面是华师大九年级上最数学教材第76页的部分内容．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1，证明∠AFD⊥∠DCE，并计算点A到直线DE的距离（结果保留根号）．结合图①，完成解答过程．[拓展]（1）在图①的基础上，延长线段AF交边CD于点G，如图②，则FG的长为；（2）如图③，E、F是矩形ABCD的边AB、CD上的点，连接EF，将矩形ABCD沿EF翻折，使点D的对称点D'与点B重合，点A的对称点为点A'．若AB=4，AD=3，则EF的长为．59．（2022·江苏苏州·九年级专题练习）( 定义：长宽比为√n⊥1（n为正整数）的矩形称为√n矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个√2矩形，如图a所示．操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD 为√2矩形．(1)证明：四边形ABCD为√2矩形；(2)点M是边AB上一动点．①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求ON：OM的值；②若AM＝AD，点N在边BC上，当⊥DMN的周长最小时，求NB：CN的值；③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2√2，则DR的最小值＝60．（2022·四川广元·二模）（1）如图1，正方形ABCD与调研直角⊥AEF有公共顶点A，⊥EAF＝90°，连＝________；β＝接BE、DF，将⊥AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则BEDF________；（2）如图2，矩形ABCD与Rt⊥AEF有公共顶点A，⊥EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt⊥AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出BE的值及β的度数，并结DF合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与⊥AEF有公共项点A，且⊥BAD＝⊥EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将⊥AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：＝________；①BEDF②请直接写出α和β之间的关系式．。
八年级数学专题2_与全等三角形有关的线段和角的证明及计算 练习测试
必刷题专题2 与全等三角形有关的线段和角的证明及计算刷难关知识点一求角度和线段的长度1. [2019四川成都中考，中]如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为.2. [中]正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF 的度数.3. [2018江苏常州一模，较难]如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC.（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数.知识点二角度和线段之间关系的证明4. [2020辽宁鞍山立山区月考，中]如图，在△ABC中，P是∠BAC的平分线上一点，且AC>AB，则PB，PC，AB，AC之间有什么数量关系？5. [中]在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D.求证：∠2=∠1+∠C.6. [较难]如图（1），△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.（1）当△DEF旋转至如图（2）位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA的数量关系是（2）当△DEF继续旋转至如图（3）位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.知识点三线段位置关系7. [2020浙江湖州校级月考，中]如图，已知AB∥CD，OA=OD，AE=DF，请问EB 与CF有什么样的位置关系？8. [2020甘肃兰州月考，中]如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE，求证：（1）BE= DC；（2）BE⊥DC9. [2020河南漯河校级月考，较难]如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC，AD=AE，则AM与CD有什么样的位置关系？参考答案1. 答案：9解析：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠B=∠C.在△BAD和△CAE中，BAD=CAE AB=ACB=C∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，，，∴△BAD≌△CAE（ASA），∴BD=CE=9.2.答案：【解】如图，延长EB到点G，使得BG=DF，连接AG.在正方形ABCD中，∠D=∠ABC=90°，AB=AD，∴∠ABG=∠ADF=90°.在△ABG和△ADF中，AB=ADABG=ADFBG=DF⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠DAF=∠BAG，AF=AG. 又∵EF=DF+BE=BG+BE=EG，∴在△AEG和△AEF中，AE=AEGE=FEAG=AF⎧⎪⎨⎪⎩，，，∴△AEG≌△AEF（SSS），∴∠EAG =∠EAF.∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°，∴∠EAG+∠EAF=90°，∴∠EAF=45°.解析：3.答案：（1）【证明】∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC，即∠BAE=∠CAD.在△ABE和△ACD中，∵AB=ACBAE=CADAE=AD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABE≌△ACD.∴∠ABD=∠ACD.（2）【解】∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC.∵∠ABD=∠ACD，∴∠BAC=∠BDC.∵∠ACB=65°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-65°=50°，∴∠BDC=∠BAC=50°.4. 答案：【解】如图，在AC 上取点G ，使AG=AB ，连接PG.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAP=∠GAP.在△ABP 和△AGP 中，AB=AG BAP=GAP AP=AP ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABP ≌△AGP （SAS ），∴PB=PG.在△PGC 中，由三边关系定理得PC-PG<CG<PC+PG.∵CG=AC-AG=AC-AB ，∴PC-PB<AC-AB<PC+PB.5. 答案：【证明】如图，延长AD 交BC 于E.∵AD ⊥BD ，∴∠BDA=∠BDE=90°.∵∠ABD=∠EBD ，BD=BD ，∴△BDA ≌△BDE （ASA ），∴∠2=∠BEA.∵∠BEA=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.6. 答案：【解】（1）∵△ABC ≌△DEF ，∴∠A=∠D.又∵∠AOD=∠A+∠AFD ，∠AOD=∠D+∠DCA ，∴∠AFD=∠DCA.（2）（1）中的结论成立.理由如下：∵△ABC ≌△DEF ，∴AB=DE ，BC=EF ，∠ABC=∠DEF ，∠BAC=∠EDF ，∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC ，即∠ABF= ∠DEC .在△ABF 与△DEC 中，AB=DE ABF=DEC BF=EC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABF ≌△DEC （SAS ），∴∠BAF=∠EDC ，∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC ，即∠FAC=∠CDF. 又∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA ，∴∠AFD=∠DCA.7.答案：【解】如图.∵AB∥CD，∴∠3=∠4.在△ABO和△DCO中，2=1AO=DO4=3∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩，，，∴△ABO≌△DCO（ASA），∴OB=OC. 又∵OA=OD，AE=DF，∴EO=FO.在△EBO和△FCO中，EO=FO2=1BO=CO⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△EBO≌△FCO（SAS），∴∠EBO=∠FCO，∴EB∥CF.8.答案：【证明】（1）∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠DAE=∠CAB=90°，∴∠DAC=∠BAE.在△DAC和△EAB中，AD=AEDAC=EABAC=AB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴BE=CD.（2）设AC与BE交于点M.∵△DAC≌△EAB，∴∠ACD=∠ABE.∵∠BAC=90°，∴∠ABM+∠AMB=90°.∵∠AMB=∠QMC，∴∠QMC+∠ACQ=90°，∴∠MQC=90°，即BE⊥DC.9.答案：【解】如图，延长AM到点F，使MF=AM，交CD于点N，连接BF，EF.在△ABM和△FEM中，AM=FMAMB=FMEBM=EM⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△ABM≌△FEM（SAS）.∴AB=FE=AC，∠ABM=∠FEM，∠BAM=∠EFM，∴AB∥EF，∴∠AEF+∠BAE=180°.∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAD+∠BAE=180°，∴∠AEF=∠CAD，在△FEA和△CAD中，FE=CAAEF=DACAE=DA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，，，∴△FEA≌△CAD（SAS），∴∠EFA=∠ACD=∠BAF.∵∠BAC=90°，∴∠BAF+∠CAF=90°，∴∠ACD+∠CAF=90°，即∠ANC=90°，∴AM⊥CD.。
中考数学考点专题(六) 与三角形有关的计算与证明
中考数学复习专题(六) 与三角形有关的计算与证明1．(2016·河北)如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上(F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在l 异侧，测得AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC.(1)求证：△ABC ≌△DEF ；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋FC ，即BC ＝EF.又∵AB ＝DE ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF.(2)AB ∥DE ，AC ∥DF.理由：∵△ABC ≌△DEF ，∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE.∴AB ∥DE ，AC ∥DF.2．(2017·苏州)如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O.(1)求证：△AEC ≌△BED ；(2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数．解：(1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD ＝∠BOE.又∵∠A ＝∠B ，∴∠BEO ＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠AEC ＝∠BED.在△AEC 和△BED 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED ，∴△AEC ≌△BED(ASA )．(2)∵△AEC ≌△BED ，∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE.在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝42°，∴∠C ＝∠EDC ＝69°.∴∠BDE ＝∠C ＝69°.3．(2016·襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝23，∠DAC ＝30°，求AC 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.又∵BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF.∴∠B ＝∠C.∴AB ＝AC.(2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝30°，AD ＝23，∴AC ＝AD cos 30°＝4.4．(2017·重庆)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点E 是AC 上一点，连接BE.(1)如图1，若AB ＝42，BE ＝5，求AE 的长；(2)如图2，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD ，CF ，当AF ＝DF 时，求证：DC ＝BC.解：(1)∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴AC ＝BC ＝22AB ＝4. ∵BE ＝5，∴CE ＝BE 2－BC 2＝3.∴AE ＝4－3＝1.(2)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝45°.∵AF ⊥BD ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°.∴A ，F ，C ，B 四点共圆．∴∠CFB ＝∠CAB ＝45°，∴∠DFC ＝∠AFC ＝135°.在△ACF 和△DCF 中， ⎩⎨⎧AF ＝DF ，∠AFC ＝∠DFC ，CF ＝CF ，∴△ACF ≌△DCF.∴AC ＝DC.又∵AC ＝BC ，∴DC ＝BC.5．(2017·北京)在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，P 是线段BC 上一动点(与点B ，C 不重合)，连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ ＝CP ，过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AB 于点M.(1)若∠PAC ＝α，求∠AMQ 的大小；(用含α的式子表示)(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明．解：(1)∵∠PAC ＝α，△ACB 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠B ＝45°，∠PAB ＝45°－α.∵QH ⊥AP ，∴∠AHM ＝90°.∴∠AMQ ＝180°－∠AHM －∠PAB ＝45°＋α.(2)PQ ＝2MB.理由如下：连接AQ ，作ME ⊥QB 于点E ，∵∠PAC ＋∠APC ＝∠MQE ＋∠APC ＝90°，∴∠PAC ＝∠MQE.∵AC ⊥QP ，CQ ＝CP ，∴∠QAC ＝∠PAC ＝α.∴∠QAM ＝45°＋α＝∠AMQ.∴AP ＝AQ ＝QM.在△APC 和△QME 中，⎩⎨⎧∠PAC ＝∠MQE ，∠ACP ＝∠QEM ，AP ＝QM ，∴△APC ≌△QME(AAS )．∴PC ＝ME.∵△MEB 是等腰直角三角形，∴MB ＝2ME ＝2PC ＝22PQ ， 即PQ ＝2MB.6．如图，已知∠ABC ＝90°，D 是直线AB 上的点，AD ＝BC.(1)如图1，过点A 作AF ⊥AB ，并截取AF ＝BD ，连接DC ，DF ，CF ，判断△CDF 的形状并证明；(2)如图2，E 是直线BC 上一点，且CE ＝BD ，直线AE ，CD 相交于点P ，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．解：(1)△CDF 是等腰直角三角形．理由如下：∵AF ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴∠FAD ＝∠DBC.在△FAD 和△DBC 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠FAD ＝∠DBC ，AF ＝BD ，∴△FAD ≌△DBC(SAS )．∴FD ＝DC.∴△CDF 是等腰三角形．∵△FAD ≌△DBC ，∴∠FDA ＝∠DCB.∵∠BDC ＋∠DCB ＝90°，∴∠BDC ＋∠FDA ＝90°，即∠CDF ＝90°. ∴△CDF 是等腰直角三角形．(2)∠APD 的度数是固定值．作AF ⊥AB 于A ，使AF ＝BD ，连接DF ，CF. ∵AF ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴∠FAD ＝∠DBC ，AF ∥CE. 在△FAD 和△DBC 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠FAD ＝∠DBC ，AF ＝BD ， ∴△FAD ≌△DBC(SAS )．∴FD ＝DC.∴△CDF 是等腰三角形．∵△FAD ≌△DBC ，∴∠FDA ＝∠DCB.∵∠BDC ＋∠DCB ＝90°，∴∠BDC ＋∠FDA ＝90°，即∠CDF ＝90°. ∴△CDF 是等腰直角三角形．∴∠FCD ＝45°.∵AF ∥CE ，且AF ＝BD ＝CE ，∴四边形AFCE 是平行四边形．∴AE ∥CF.∴∠APD ＝∠FCD ＝45°.。
专题 等腰三角形的证明及计算大题
专题2.9等腰三角形的证明及计算大题一．解答题（共50小题）1．（2022秋•开福区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作AF∥BC交CD于F，延长AB、DC交于点E．（1）求证：AC平分∠EAF；（2）求证：∠FAD＝∠E；（3）若∠EAD＝90°，AE＝5，AF＝3，求CF的长．2．（2022秋•铁西区期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，延长线交OM于点G．（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝度；（2）若∠MON＝n°，则∠ACG＝度；（用含n的代数式表示）（3）如图2，若∠MON＝72°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．3．（2022秋•单县期末）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE 的平分线与AD交于点D，连接CD．求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．4．（2022秋•巴彦县期末）如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，点E在边AC上，且BD＝CE，∠BAD ＝∠CDE，∠ADE＝∠C．（1）如图1，求证：△ADE是等腰三角形；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠CDE相等的角（∠CDE 除外）．5．（2022秋•石家庄期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为AC上一点，且满足AD＝BD＝BC．点E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．（1）求∠BAC和∠ACB的度数；（2）求证：△ACF是等腰三角形．6．（2022秋•思明区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE=12（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．7．（2022秋•赛罕区校级期中）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线分别交AB、AC于点M、N．（1）求证：MO＝MB；（2）若AB＝7，AC＝6，求△AMN的周长．8．（2022秋•建阳区期中）如图所示，已知点A，C分别在∠GBE的边BG，BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线BD与AD交于点D，连接CD．（1）求证：AC＝AD；（2）猜想：∠BAC与∠BDC之间有何数量关系，并对你的猜想加以证明．9．（2022秋•微山县期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，AC⊥BC于点C．（1）若∠B＝75°，求∠D的度数；（2）求证：AB＝2CD．10．（2022秋•高港区期中）如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．（1）求证：DC＝BE；（2）若∠AEC＝75°，求∠BCE的度数．11．（2022秋•播州区期末）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．12．（2022春•汉阳区校级期中）如图，已知在△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF于点F，BE平分△ABC 的一个外角，且AE⊥BE于点E．（1）求证：EF∥BC．（2）若BC＝5，AC＝4，EF＝4，求AB的长．13．（2022春•桓台县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．（1）如图1，若∠BAC＝40AFE的度数．（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．14．（2022秋•新兴县期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．（1）求证：∠2＝∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．15．（2022秋•浦城县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线AF交CD于点E，交BC于F，CM⊥AF于M，CM的延长线交AB于点N．（1）求证：EM＝FM；（2）求证：AC＝AN．16．（2022春•凤翔县期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD ∥AB，PE∥AC．（1）求△PDE的周长；（2）若∠A＝50°，求∠BPC的度数．17．（2022春•宣汉县期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．18．（2022春•未央区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．19．（2022秋•雨花区校级月考）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE平分∠ADC，DE∥BC．（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝10，求DE的长；（2）在（1）的条件下，求证：△ADC是等腰三角形．（3）如图2，若∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝18，求DF的长．20．（2022秋•庄浪县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝10cm，若点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点N从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设M、N分别从点B、A同时出发，运动的时间为ts．（1）用含t的式子表示线段AM、AN的长；（2）当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？（3）当t为何值时，MN∥BC？并求出此时CN的长．21．（2022秋•兰陵县期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB＝5，BP＝2，AC＝9．试说明∠ABC＝3∠ACB．22．（2022春•浦东新区期末）已知△ABC中，∠A＝70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线．（1）如图1，求∠P的度数；（2）过点P作EF∥BC与边AB、AC分别交于点E、点F（如图2），判断线段BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．23．（2022秋•天心区校级期中）如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在AB边上运动（D不与A、B重合），连接CD．作∠CDE＝30°，DE交AC于点E．（1）当DE∥BC时，△ACD的形状按角分类是；（2）在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．24．（2022秋•香坊区校级月考）已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）如图1，求证：BE＝DE．（2）如图2，在过点D作DF∥AB，连接EF，过点E作EG⊥BC，若EG＝3，BF＝5，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积等于152的所有三角形．25．（2022春•莱州市期末）已知，如图，在△ABC中，过点A作AD平分∠BAC，交BC于点F，过点C作CD⊥AD，垂足为D，在AC上取一点E，使DE＝CE，求证：DE∥AB．26．（2022春•莲池区期中）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F．试说明：EO＝BE探究一：请写出图①中线段EF与BE、CF间的关系，并说明理由．探究二：如图②，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．这时EF与BE、CF的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由．27．（2022ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？28．（2022秋•莆田期末）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC 于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．29．（2022秋•黄埔区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，DE∥AC交AB于E，过E作EF ⊥AD，垂足为H，并交BC延长线于F．（1）求证：AE＝ED；（2）请猜想∠B与∠CAF的大小关系，并证明你的结论．30．（2022秋•涞水县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，△ABD、△AFD 关于AD所在的直线对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．（1）求∠DFG的度数．（2）设∠BAD＝θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？31．（2022秋•富源县校级期中）如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形．（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形；（3）在上述条件中，若∠A＝60°，BE平分∠B，CD平分∠C，则∠BOC的度数？32．如图1，DB为△ABC的角平分线，CE为∠ACB的外角平分线，过点A作AF⊥BD，交射线BD于点F，作AG⊥CE于G，连接EG．（1）求证：FG∥BC；（2）如图2，射线BD与CE相交于点M，若∠M＝45°，AB＝FG＝6，求AD的长．33．（2022秋•平定县期中）如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．（1）请说出AD＝BE的理由；（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；（3）试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．34．（2022秋•海淀区校级期中）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD 和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图①，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝；如图②，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝；如图③，若∠ACD＝120°，则∠AFB＝；（2）如图④，若∠ACD＝α，则∠AFB＝（用含α的式子表示）；（3）将图④中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图⑤所示的情形，若∠ACD＝α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明．35．（2022•承德县模拟）已知：在等边△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得△DGH是等边三角形”成立（如图①），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立．问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．36．（2022•徐州）如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D1、E1、F1分别是△ABC三边上的点，且AD1＝BE1＝CF1=12AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得△D1E1F1是等边三角形，此时△AD1F1的面积S1=14S，△D1E1F1的面积S1=14S．（1）当D2、E2、F2分别是等边△ABC三边上的点，且AD2＝BE2＝CF2=13AB时如图2，①求证：△D2E2F2是等边三角形；②若用S表示△AD2F2的面积S2，则S2＝；若用S表示△D2E2F2的面积S2′，则S2′＝．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当D n、E n、F n分别是等边△ABC三边上的点，AD n＝BE n＝CF n=1n+1AB时，（n为正整数）△D n E n F n是三角形；若用S表示△AD n F n的面积S n，则S n＝；若用S表示△D n E n F n的面积S n′，则S′n＝．37．（2022春•和平县期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD＝3，过点D作DE ∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求证：△CDE为等边三角形；（2）求EF的长．38．（2022秋•韶关期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．39．（2022秋•莱芜区期末）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD 于Q．求证：①△ADC≌△BEA；②BP＝2PQ．40．（2022秋•乌海期末）如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE ∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．41．（2022秋•桐城市期末）如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线．（1）若∠B＝60°，求∠C的值；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．42．（2022•阳城县模拟）数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．43．（2022秋•松山区校级月考）如图，点P在等边△ABC内，点D在△ABC外，且∠ABP＝∠ACD，BP＝CD，问：△APD是什么形状三角形，试说明理由．44．（2022春•江岸区校级期中）（1）如图1，△ADE为等边三角形，AD∥EB，且EB＝DC，求证：△ABC 为等边三角形．（2）相信你一定能从（1）中得到启示并在图2中作一个等边△ABC，使三角形的三个定点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，（l1∥l2∥l3且这三条平行线两两之间的距离不相等）．请你画出图形，并写出简要作法．（3）①如图3，当所作△ABC的三个定点A、B、C分别在直线l2、l3、l1上时，如图所示，请结合图形填空：a：先作等边△ADE，延长DE交l3于B点，在l1上截取EC＝，连AC、BC，则△ABC即为所求．b：证明△ABC为等边三角形时，可先证明≌从而为证明等边三角形创造条件．②若使等边△ABC的三个定点A、B、C分别在直线l3、l1、l2上时，请在图4中用类似的方法作出图形，并将构造的全等三角形用阴影标出．（只需画出图形，不要求写作法及证明过程）45．（2022秋•盘龙区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形外一点，且∠ABD＝60°，BD+DC ＝AB．求证：∠ACD＝60°．46．（2022秋•雨城区校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？47．（2022•饶平县校级模拟）已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）48．（2022秋•濠江区校级期中）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．49．（2022•浙江模拟）如图，等边△ABC的边长为10，点P是边AB的中点，Q为BC延长线上一点，CQ：BC＝1：2，过P作PE⊥AC于E，连PQ交AC边于D，求DE的长？50．（2022秋•东海县校级期中）为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．如图，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延长BC，使CE＝CD，连接DE，求证：BC+DC＝AC．思路点拨：（1）由已知条件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知：△ABD是三角形；（2）同理由已知条件∠BCD＝120°得到∠DCE＝，且CE＝CD，可知；（3）要证BC+DC＝AC，可将问题转化为两条线段相等，即＝；（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明…．请你完成证明过程：。
等腰三角形经典练习题及详细答案
等腰三角形练习题一、计算题：1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数3、AB 于⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数CFDA4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1,求∠ABC 的度数BBDC7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值二、证明题：8. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系9. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O求证：AE+CD=ACABCDAD FEABCDE12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=EDECA BDE1 2 ABCD15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FG16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BDABDFECBD18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FHBCDHADCEF一、计算题：1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数设∠ABD 为x,则∠A 为2x 由8x=180° 得∠A=2x=45°2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 设∠A 为x, 由5x=180° 得∠A=36°3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°， 求∠AFD 的度数 ∠AFD=160°CFDAB4. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠A的度数设∠A为x∠A=71805. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上, ∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD, 求∠EDC的度数设∠ADE为x∠EDC=∠AED－∠C=15°BB2xx－15°6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1,求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90°在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1所以∠F =∠1=30°7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AEDFABCDE由AC=AB+BD,得DE=EC,所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题：8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA 是等腰三角形9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 DF+AD=AE在AE 上取点B,使AB=AD10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC 在AC 上取点F,使AF=AE 易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF由∠B=60°，角平分线AD 、CE,CBAD EPAD FEBOABC DEF得∠AOC=120°所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60° 故△COD ≌△COF,得CF=CD 所以AE+CD=AC11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD延长BD 到点E,使BE=BC,连结CE 在BC 上取点F,使BF=BA 易证△ABD ≌△FBD,得AD=DF 再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF 故BE=BC=BD+AD也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF 在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可 12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD在AB 上取点E ，使BE=BD ， 在AC 上取点F ，使CF=CD得△BDE 与△CDF 均为等边三角形， 只需证△ADF ≌△AEDACFACEFABC DEF13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE延长CD 到点E,使DE=CD.连结AE 证明△ACE ≌△BCE14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED在CE 上取点F,使AB=AF 易证△ABD ≌△ADF, 得BD=DF,∠B=∠AFD由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180° 所以∠B=∠DEC 所以∠DEC=∠AFD 所以DE=DF,故BD=ED15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FGECA BDE1 2FF16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD 求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD由△AHE ≌△BCE,得BC=AH18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB,∠ABD=30° 求证：AD=DC作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于E 可证得∠DAF=DAE=15°, 所以△ADE ≌△ADF 得AF=AE,由AB=2AF=2AE=AC, 所以AE=EC,因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DCABDFE CBD19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED延长BD 到点F,使DF=BC, 可得等边△BEF,只需证明△BCE ≌△FDE 即可20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH 延长EH 交AF 于点G 由∠BAD+∠BCD=180°, ∠DCF+∠BCD=180° 得∠BAD=∠DCF, 由外角定理,得∠1=∠2, 故△FGM 是等腰三角形 由三线合一,得EH ⊥BCDFABDCEFHG 12 M。
三角形相似证明基础50题
33、如图,已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF∽BEC；（2）设△ABC的面积为S，求 证:AF·BE=2S.
45° A E F B C
34、如图，在ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连结AE,F为AE上一点,且 ∠BFE=∠C.（1）求证:△ABF∽△EAD；（2）若AB=4,∠BAE=30°，求AE 的长；（3）在（1）（2）的条件下,若AD=3,求BF的长.
CD的中点，△ADQ与△QCP是否相似？为什么？
5、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交 BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。
6、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交 AB、
7、已知：如图，D是△ABC的边AC上一点，且CD=2AD，AE⊥BC于E, 若BC=13, △BDC的面积是39, 求AE的长。
8、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E， DC⊥BC，与AD交于点D． 求证：AC2＝AE·AD．
B C D A E
9、已知：如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E是 AC边的中点，ED的延长线与AB的延长线交于点F． 求证：△AFD ∽△DFB．
B C D M N E A
40、如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上 点,且满足AB2=DB·CE. （1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数
A B C E D
45、如图ΔABC中,∠C=900, BC = 8cm, AC = 6cm,点P从B出发,沿BC方 向以2cm/s的速度移动,点Q从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若P、 Q分别同时从B、C出发,经过多少时间以C、P、Q为顶点的三角形与以C、 B、A为顶点的三角形相似? 9分
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。
证明：=。
当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。
2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。
证明：AC^2=AF•AD。
联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。
3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。
证明：△APC∽△ACB。
若AP=2，PC=6，求AC的长。
4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。
证明：△ABF∽△EAD。
若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。
5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。
证明：AB•BC=AC•CD。
6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。
说明AF•BE=2S的理由。
7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。
若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。
若AE=2，试求AP•AF的值。
若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。
8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。
证明。
9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。
证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。
10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。
12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。
专练06 三角形中有关角的计算与证明-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练06三角形中有关角的计算与证明1.已知△ABC ，点P 为其内部一点，连结PA 、PB 、PC ，在△PAB ，△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，那么就称点P 为△ABC 的等角点.（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真”；反之，则写“假”. ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点；________命题； ②任意的三角形都存在等角点；________命题.（2）如图 ①，点P 是△ABC 的等角点，若∠BAC=∠PBC ，探究图 ①中∠BPC ，∠ABC ，∠ACP 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，在△ABC 中，∠BAC<∠ABC<∠ACB ，若△ABC 的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，直接写出△ABC 三个内角的度数.【答案】 （1） ①内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：1、真，2、假.（2）解：如图①，∵△ABC 中， ∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP ， ∠BAC=∠PBC ，∴∠BPC=∠ABP+∠PBC+∠ACP =∠ABC+∠ACP. （3）∵P 为三角形内角平分线的交点， ∵∠PBC=12∠ABC ，∠PCB=12∠ACB ， ∵P 为△ABC 的等角点，∴∠PBC=∠A，∴∠ABC=2∠PBC=2∠A，∴∠BCP=∠ABC=2∠A，∴∠ACB=2∠BCP=4∠A，又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠A+4∠A=180°，∴∠A=180°7，∴该三角形的三个内角的度数分别为：180°7，360°7，720°7.故答案为：180°7，360°7，720°7.2.将一块直角三角板XYZ放置在AABC上，使得该三角板的两条直角边XY，XZ恰好分别经过点B，C.（1）如图1，当∠A=45°时，∠ABC+∠ACB=________度，∠ABX+∠ACX=________度.（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使该三角板的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明，若没有变化，请探究∠ABX+∠ACX与∠A的关系.【答案】（1）在三角形ABC中，∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-45°=135°∵∠YXZ=90°∴∠XBC+∠XCB=90°∴∠ABX+∠ACX=135°-90°=45°（2）解：不变化，∠ABX+∠ACX =90°-∠A，理由如下∵∠x =90°,∴∠XBC+∠XCB =90°∵∠A+∠ABC+∠ACB =180°,∴∠ABX+∠ACX =(∠ABC-∠XBC)+(∠ACB-∠XCB)=(∠ABC+∠ACB)-(∠XBC+∠XCB)=180°-∠A-90°=90°-∠A3.如图（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明.【答案】（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，∵BA∥CE，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2，又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（3）解：如图3，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，∴2∠P＝180°+∠D+∠B，∴∠P＝90°+ 1（∠B+∠D）；2（4）解：②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确.理由如下：作PQ∥AB，如图4，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，由PQ∥CD得∠5＝∠2，∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°.4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.（1）当D在线段BC上时，①求证：△BAD≌△CAE.②请判断点D在何处时，AC⊥DE，并说明理由.（2）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为26°，求∠ADB的度数.【答案】（1）解：①∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠DAB=∠EACAD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；②如图，连接DE，若AC⊥DE，又∵AD＝AE，∴AC平分∠DAE，∴∠DAB＝∠CAE＝∠CAD，∴AD平分∠CAB，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴当点D在BC中点时，AC⊥DE；（2）解：当CE∥AB时，则有∠ABC＝∠ACE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，①如图1：此时∠BAD＝26°，∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠B＝180°﹣26°﹣60°＝94°.②如图2，此时∠ADB＝26°，③如图3，此时∠BAD＝26°，∠ADB＝60°﹣26°＝34°.④如图4，此时∠ADB＝26°.综上所述，满足条件的∠ADB的度数为26°或34°或94°5.如图，P是等腰△ABC内一点，AB=BC，连接PA，PB，PC．图1 图2（1）如图1，当∠ABC=90°时，PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB．（2）如图2，当∠ABC=60°时，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB．【答案】（1）解：将△APB沿点B顺时针旋转90°，得到△BCP′，连接PP′，可得∠P′BP=90°，且BP=BP′=4，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P=45°，PP′=4√2，在△PP′C中，PC2=62=36，P′C2+P′P2=22+(4√2)2=4+32=36，∴PC2=P′C2+P′P2，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠BP′C=45°+90°=135°，又∵旋转，∴∠APB=∠BP′C=135°（2）解：将△APB沿点B顺时针旋转60°得到△BCP′，连接PP′，可得：BP′=BP=4，∠PBP′=60°∴△PBP′为等边三角形，∴∠BP′P=60°，PP′=4，在△PP′C中，PP′2+P′C2=42+32=25，CP2=52=25，∴△PP′C为直角三角形且∠PP′C=90°，∴∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=60°+90°=150°，∴∠APB=∠BP′C=150°6.如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°，AD、BE交于点H，连接CH．（1）求证：ΔACD≌ΔBCE；（2）求证：CH 平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数．【答案】（1）证明；∵∠ACB=∠DCE＝40°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，{CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）（2）证明；过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，{∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°AC=BC，∴△ACM≌△BCN（AAS），∴CM=CN，∴CH平分∠AHE（3）解；∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=40°，∴∠AHE=180°-40°＝140°，∠AHE=70º∴∠CHE= 127.我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B=∠C+∠D．（1）性质理解：如图2，在“对顶三角形” △AOB与△COD中，∠EAO=∠C，∠D=2∠B，求证：∠EAB=∠B；（2）性质应用：①如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为；②如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠BOD=∠A．若∠ECD比∠DBE大20∘，求∠BDO的度数；（3）拓展提高：如图5，已知BE，CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A=α，求∠P的度数（用α表示∠P）．【答案】（1）证明：据题意，得∠BAO+∠B=∠C+∠D，∴∠BAO−∠C=∠D−∠B，∵∠EAO=∠C，∠D=2∠B，∴∠BAE=∠B（2）解：①∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠B+∠E+∠D=∠FGD+∠GFD+∠D=180°；故答案为：180°；②由题意得∠ECD−∠DBE=20°，由（1）得∠EBD+∠BDO=∠ECO+∠OEC，∴∠BDO−∠OEC=20°，∵∠BOD=∠A，∴∠A+∠DOE=180°，故∠ADO+∠AEO=180°，∵∠AEO+∠CEO=∠BDO+∠ADO=180°，∴∠BDO=∠AEO，∴∠BDO+∠CEO=180°，∵∠BDO−∠OEC=20°，∴∠BDO=100°；（3）解：∠P=180∘−α4，理由如下：∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠BDP=∠CDP，∠BEP=∠CEP，由（1）得∠BDP+∠DBE=∠BEP+∠P①，∠CDP+∠P=∠CEP+∠DCE②，由①−②得∠DBE−∠P=∠P−∠DCE，∴∠P=12(∠DBE+∠DCE)，即∠P=14(∠ABC+∠ACB)，∴∠P=14(180°−∠A)=180°−α48.已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，（1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=________；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=________；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=________；（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=________（用含α的式子表示）；（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明.【答案】（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°，所以△ACD是等边三角形.∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，所以△ECB是等边三角形.∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，又∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=DC，CE=BC，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∠AFB是△ADF的外角.∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°.如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠AEC=∠DBC，又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，∴∠EFD=90°.∴∠AFB=90°.如图3，∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB.∴∠EAC=∠BDC.∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°，∴∠FAB+∠FBA=120°.∴∠AFB=60°.故答案为：120°，90°，60°；（2）∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE.∴∠ACE=∠DCB.∴∠CAE=∠CDB.∴∠DFA=∠ACD.∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α.故答案为：180°﹣α；（3）解：∠AFB=180°﹣α；证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB.在△ACE和△DCB中{AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，则△ACE≌△DCB（SAS）.则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α.∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α.9.己知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQPC=AQAB(如图1所示)（1）当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP，当AD= 32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，S△APQS△PBC=y，其中S△APQ表示S△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当AD<AB，且点Q在线段AB的延长线上时(如图3所示)，求∠QPC的大小【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，当AD=2时，AD=AB，∴∠D=∠ABD=45°，∴∠PQC=∠D=45°，∵PQPC =AQAB，∴PQ=PC，∴∠C=∠PQC=45°，∴∠BPC=90°，∴PC=BC·sin45°=3√22（2）解：如图，作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，∵∠ABC=90°， ∴四边形EBFP 是矩形， ∴PF=BE ， 又∵∠BAD=90°， ∴PE ∥AD ，∴Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ， ∴BEEP =BAAD =232=43， 设BE=4k ，则PE=3k ， ∴PF=BE=4k ，∵BQ=x ，AQ=AB-BQ=2-x ，∴S △APQ =12AQ·PE=12（2-x ）·3k ，S △PBC =12BC·PF=12×3×4k=6k ， ∵S △APQS △PBC=y ，∴12（2−x ）·3k 6k =y ，∴y=2−x 4（0≤x ≤78）；（3）解：∵Rt △BEP ∽Rt △BAD ， ∴BE BA =EPAD ，∴BEEP =BAAD ∴PFEP =BAAD ， ∵PCPQ =BAAD ， ∴PFEP =PCPQ ， ∴Rt △PCF ∽Rt △PQE ， ∴∠FPC=∠EPQ ，∵∠EPQ+∠QPF=∠EPF=90°，∴∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°。
中考数学打基础系列 三角形的基本计算与证明 专题
备战中考数学打基础专题练习系列（三角形的基本计算与证明）专题总分：120分建议用时：100分钟一、选择题（30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10选项1. 下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A. 2cm，3cm，4cmB.1cm，2cm，3cmC. 3cm， 4cm，5cmD. 4cm，5cm， 6cm2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）4.如图，已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB－BC的长是（）.A.6B.7C.8D.95. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是( )A.4B.5C.6D.76. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,√3),B(-2,-√3),△ABC 是等边三角形,AD 是BC 边上的高,则点C 的坐标是 ( )A.(2,-√3)B.(-2,√3)C.(2,-2)D.(-2,2)7. 如图,D,E,F 分别是等边三角形ABC 各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF 的形状是( )A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形8.如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A′处，折痕为DE ，如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA′=γ，那么下列式子中正确的是（ ）A ．γ=2α+βB ．γ=α+2βC ．γ=α+βD ．γ=180°-α-β12AB C9.一个多边形割去一个角后，得到的多边形的内角和为1440°，则这个多边形原来的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．以上都有可能10. 如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC ，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF-S△BEF=( )A.1B.2C.3D.4二、填空题（32分）11. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则底边BC的长为_________．12. 某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为_________．13. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E.若∠AED＝50°，则∠D的度数为 .14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____．15.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且 S △ABC =4 cm 2，那么阴影部分的面积是_________．16. 如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝10，△ABC 的高AD 与CE 的比是 .17.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE ．图中，∠BAC ＝ 度．18. 如图,在等边△ABC 中,D 是边AC 上一点,连接BD.将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED.若BC=10,BD=9,则△AED 的周长是________.三、解答题（58分）A BC DEF19. 已知△ABC 中，DE ∥BC ，∠AED=50°，CD 平分∠ACB ，求∠CDE 的度数．20. 如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。
三角形的证明与计算训练题
三角形的证明与计算训练题一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）（2021秋•靖江市期末）已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定2．（4分）（2021秋•衢江区期末）已知△ABC中，AC＝3，AB＝5，∠C＝90°，则△ABC 的周长等于（）A．11B．8+C．12D．133．（4分）（2021秋•忠县期末）如图，在△ABC中，若点D使得BD＝DC，则AD是△ABC 的（）A．高B．中线C．角平分线D．中垂线4．（4分）（2021秋•涡阳县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（）A．三个角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点5．（4分）（2021秋•龙口市期末）甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三边中线的交点D．三边上高的交点6．（4分）（2021秋•徐汇区期末）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角之比为3：4：5B．三边长的平方之比为1：2：3C．三边长之比为7：24：25D．三内角之比为1：2：37．（4分）（2021秋•郎溪县期末）已知实数x，y满足|x﹣5|+（y﹣10）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20B．25C．20或25D．以上答案均不对8．（4分）（2021秋•郎溪县期末）等腰三角形的周长是28cm，腰长y（cm）是底边长x（cm）的函数，此函数解析式和自变量取值范围正确的是（）A．y＝﹣0.5x+14（0＜x＜14）B．y＝﹣0.5x+14（7＜x＜14）C．y＝﹣2x+14（0＜x＜14）D．y＝﹣2x+28（7＜x＜14）9．（4分）（2021秋•微山县期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，CE⊥BD，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（）结论①∠ADE＝20°；结论②BC＝BE．A．结论①②都正确B．结论①②都错误C．只有结论①正确D．只有结论②正确10．（4分）（2022•江北区开学）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（2，0），以线段OC为边在第一象限内作等边△OBC，点D为x轴正半轴上一动点（OD＞2），连结BD，以线段BD为边在第一象限内作等边△BDE，直线CE与y轴交于点A，则点A的坐标为（）A．B．C．（0，﹣2）D．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．（5分）（2021秋•太原期末）已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，则△ABC 的面积是cm2．12．（5分）（2021秋•阳江期末）已知有一个角为60°的等腰三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的周长为．13．（5分）（2021秋•仁寿县期末）用反证法证明“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，第一步应先假设．14．（5分）（2021秋•滑县期末）若直角三角形的两锐角之差为34°，则较大一个锐角的度数是度．15．（5分）（2021秋•高新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为（﹣，0），点P的纵坐标为﹣1，则P点的坐标为．16．（5分）（2021秋•怀柔区期末）如图，∠MOP＝60°，OM＝5，动点N从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OP运动．设点N的运动时间为t秒，当△MON是锐角三角形时，t满足的条件是．三．解答题（共5小题，满分50分）17．（8分）（2021秋•宝应县期中）如图，阴影部分是一个长方形，求它的面积．18．（10分）（2022•鼓楼区校级开学）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，∠A＝60°．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若AB＝5，直接写出△ABD的面积．19．（10分）（2021秋•红桥区期末）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．20．（10分）（2021秋•九龙坡区期中）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，PQ经过点O，与AB、AC分别相交于点P、Q．（1）若∠A＝70°，求∠BOC的度数；（2）若△ABC的周长为32，BC＝13，且PQ∥BC，求△APQ的周长．21．（12分）（2021秋•岳麓区校级期末）如图，点D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AC＝AB（请将下面的证明过程补充完整）证明：连接BC∵点D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，BE⊥AC，（已知）∴BE垂直平分AC，CD垂直平分AB（线段垂直平分线的定义）∴AB＝BC，AC＝（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）∴AC＝AB（）．（2）若△ACD的面积为，求CD的长．。
专题12.1 全等三角形的证明及计算大题(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年八年级数学上册真
2024-2025学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题12.1 全等三角形的证明及计算大题（专项拔高30题）试题说明：精选最新2022-2023年名校真题30题，主要考察全等三角形的证明方法，强化学生解题模型的掌握以及计算能力！难度由易到难，循序渐进，逐步探索，精准拿分！1．（2022秋•宝安区期末）如图，在△ABC中，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于点E，延长BD，CE相交于点F，BF＝AC＝．（1）求证：△BEF≌△CEA；（2）若CE＝2，求BD的长．2．（2023春•漳州期末）某同学制作了一个简易的T形分角仪来二等分任意一个角．如图，该T形分角仪是由相互垂直的两根细棍EF，GD组成，D是EF的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点O在GD上，同时保证T形分角仪的E，F两点正好落在所分角的两条边OA，OB上，此时OD就会平分∠AOB．为说明制作原理，请结合如图图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，，．求证：．3．（2022秋•龙岩期末）阅读下题及证明过程．已知：如图，AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，求证：∠BAP＝∠CAP．证明：∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACP，PA＝PA，∴△PAB≌△PAC第一步，∴∠BAP＝∠CAP第二步．上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．4．（2022秋•葫芦岛期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为CD的中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长．（2）如图2，F为AC上一点，连接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求证：BD+CF＝AB．5．（2022秋•千山区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，AE⊥AB交BD延长线于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．（1）求证：AE＝AD；（2）写出与线段CD相等的线段，并证明．6．（2023春•大埔县期末）如图，在△ABC中，GD＝DC，过点G作FG∥BC交BD的延长线于点F，交AB于点E．（1）△DFG与△DBC全等吗？说明理由；（2）当∠C＝90°，DE⊥BD，CD＝2时，求点D到AB边的距离．7．（2023春•贵州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝40°．点D在边BC上运动（D不与B、C重合），连结AD作∠ADE＝40°，DE交边AC于点E．（1）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（2）在点D的运动过程中，当△ADE是等腰三角形时，求∠BAD的度数．8．（2023春•渭南期末）如图，点E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，试说明：点O是AC的中点．请你在横线上补充其推理过程或理由．解：因为BF＝DE所以BF﹣EF＝DE﹣EF，即，因为AB＝CD，AE＝CF，所以（理由：SSS）．所以∠B＝∠D（理由：）．因为∠AOB＝∠COD（理由：），所以△ABO≌△CDO（理由：）．所以（理由：全等三角形对应边相等）．所以点O是AC的中点．9．（2023春•埇桥区期末）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由．10．（2023春•巴州区期中）如图，点O是直线EF上一点，射线OA，OB，OC在直线EF的上方，射线OD在直线EF的下方，且OF平分∠COD，OA⊥OC，OB⊥OD．（1）若∠DOF＝40°，求∠AOB的度数；（2）若OA平分∠BOE，求∠DOF的度数．11．（2023•芙蓉区校级三模）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．12．（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）运动秒时，AE＝DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，则∠ADE＝（用含α的式子表示）．13．（2022秋•青神县期末）如图，△ABC和△DEF都是等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E 在AB上，点F在射线AC上，连结AD，若AD＝AB．求证：（1）∠AED＝∠AFD．（2）AF＝AE+BC．14．（2023•碑林区校级模拟）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E．AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF．15．（2023春•六盘水期中）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO＝AO，DO＝BO，连接DC，测出DC的长即可；乙：如图2，先确定直线AB，过点B作直线BE⊥AB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DC＝DA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可．甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．16．（2022秋•通川区期末）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE．（1）如图，当∠ACB＝90°时；①求证：△BCM≌△ACN；②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB＝α，其它条件不变时，∠BDE的度数是．（用含α的代数式表示）17．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为cm．（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．18．（2023•黄石模拟）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD＝CD．（1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．19．（2022秋•莱州市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE＝AD，且∠DAE＝∠BAC＝α．（1）如图1，若α＝60°，连接CE，DE．则∠ADE的度数为；BD与CE的数量关系是．（2）如图2，若α＝90°，连接EC、BE．试判断△BCE的形状，并说明理由．20．（2023春•扶风县期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：．21．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．22．（2023•武陵区一模）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM＝∠ABC，点D是直线BC上的动点，过点D作直线CM的垂线，垂足为E，交直线AC于F．（1）如图1所示，当点D与点B重合时，延长BA，CM交点N，证明：DF＝2EC；（2）当点D在直线BC上运动时，DF和EC是否始终保持上述数量关系呢？请你在图2中画出点D运动到CB延长线上某一点时的图形，并证明此时DF与EC的数量关系．23．（2022秋•西宁期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：CF＝AD；（2）连接BE，若BE⊥AF，AD＝2，AB＝6，求BC的长．24．（2023春•贵港期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A （4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．25．（2023春•鄠邑区期末）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．26．（2023•岳阳县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠AED＝°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．27．（2023•肥城市校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．28．（2023春•惠民县期末）如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上．①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，证明BE＝CF．②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由．（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．29．（2023春•沈北新区期末）如图，AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的延长线交AP于D．（1）思考AE与BE的位置关系并加以说明；（2）说明AB＝AD+BC；（3）若BE＝6，AE＝6.5，求四边形ABCD的面积？30．（2022秋•兴隆县期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．。
三角形全等证明题目60题目(有详解)
全等三角形证明题专项练习60 题（有答案）1．已知如图，△ABC≌△ ADE，∠ B=30°，∠ E=20°，∠ BAE=105°，求∠ BAC的度数．∠ BAC= _________．2．已知：如图，四边形ABCD中， AB∥CD， AD∥BC．求证：△ ABD≌△ CDB．3．如图，点 E 在△ ABC外面，点 D 在边 BC上， DE交 AC于 F．若∠ 1=∠ 2=∠ 3， AC=AE，请说明△ ABC≌△ ADE的道理．4．如图，△ ABC的两条高AD， BE订交于 H，且 AD=BD．试说明以下结论成立的原由．（1）∠ DBH=∠ DAC；（2）△ BDH≌△ ADC．5．如图，在△ABC中， D 是 BC边的中点， DE⊥ AB， DF⊥ AC，垂足分别为E、 F，且 DE=DF，则 AB=AC，并说明原由．6．如图， AE是∠ BAC的均分线， AB=AC， D 是 AE反向延长线的一点，则△ABD与△ ACD全等吗？为什么？第1页共28页7．以下列图，A、 D、 F、 B 在同素来线上，A F=BD， AE=BC，且 AE∥BC．求证：△ AEF≌△ BCD．8．如图，已知AB=AC， AD=AE， BE 与 CD订交于 O，△ ABE与△ ACD全等吗？说明你的原由．9．如图，在△ ABC中， AB=AC， D 是 BC的中点，点 E 在 AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的．10．以下列图， CD=CA，∠ 1=∠ 2， EC=BC，求证：△ ABC≌△ DEC．11．已知 AC=FE， BC=DE，点 A、 D、 B、F 在一条直线上，要使△ ABC≌△ FDE，应增加什么条件？并依照你所增加的条件证明：△ ABC≌△ FDE．12．如图，已知AB=AC， BD=CE，请说明△ ABE≌△ ACD．13．如图，△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC，将△ ABC绕点 C 逆时针旋转角α（ 0°＜α＜ 90°）获取△ A1B1C，连接BB1．设 CB1交 AB于 D， A1B1分别交 AB， AC于 E， F，在图中不再增加其他任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明．（△ ABC与△ A1B1 C1全等除外）14．如图， AB∥ DE，AC∥ DF，BE=CF．求证：△ ABC≌△ DEF．15．如图， AB=AC， AD=AE， AB，DC订交于点M， AC， BE订交于点N，∠ DAB=∠EAC．求证：△ADM≌△ AEN．16．将两个大小不同样的含 45°角的直角三角板如图 1 所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2）， B、 C、E 三点在同一条直线上，连接DC．求证：△ ABE≌△ ACD．优秀文档17．如图，已知△ ABC是等边三角形， D、E 分别在边 BC、AC上，且 CD=CE，连接 DE并延长至点 F，使 EF=AE，连接AF、 BE和 CF．请在图中找出所有全等的三角形，用符号“≌”表示，并选择一对加以证明．18．如图，已知∠1=∠ 2，∠ 3=∠ 4， EC=AD．（1）求证：△ ABD≌△ EBC．（2）你能够从中得出哪些结论？请写出两个．19．等边△ ABC边长为 8， D为 AB边上一动点，过点 D 作 DE⊥ BC于点 E，过点 E 作 EF⊥ AC于点 F．（1）若 AD=2，求 AF的长；（2）求当 AD取何值时， DE=EF．20．巳知：如图，AB=AC， D、E 分别是 AB、 AC上的点， AD=AE， BE与 CD订交于 G．（Ⅰ）问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来．（Ⅱ）请你选出一对三角形，说明它们全等的原由（根椐所选三角形说理难易不同样给分，即难的说对给分高，易的说对给分低）21．已知：如图，AB=DC， AC=BD， AC、BD订交于点E，过 E 点作 EF∥ BC，交 CD于 F，（1）依照给出的条件，能够直接证明哪两个三角形全等？并加以证明．（2） EF 均分∠ DEC吗？为什么？22．如图，己知∠1=∠ 2，∠ ABC=∠ DCB，那么△ ABC与△ DCB全等吗？为什么？23．如图， B， F， E， D 在一条直线上，AB=CD，∠ B=∠ D，BF=DE．试证明：（1）△ DFC≌△ BEA；（2）△ AFE≌△ CEF．24．如图， AC=AE，∠ BAF=∠BGD=∠ EAC，图中可否存在与△ABE全等的三角形？并证明．25．如图， D 是△ ABC的边 BC的中点， CE∥ AB，E 在 AD的延长线上．试证明：△ ABD≌△ ECD．26．如图，已知AB=CD，∠ B=∠C， AC和 BD订交于点O，E 是 AD的中点，连接OE．（1）求证：△ AOB≌△ DOC；（2）求∠ AEO的度数．27．如图，已知AB∥ DE， AB=DE， AF=DC．（1）求证：△ ABF≌△ DEC；（2）请你找出图中还有的其他几对全等三角形．（只要直接写出结果，不要证明）28．如图：在△ ABC中， BE、CF分别是 AC、AB 两边上的高，在 BE 上截取 BD=AC，在 CF的延长线上截取CG=AB，连接 AD、 AG．（1）求证：△ ABD≌△ GCA；（2）请你确定△ ADG的形状，并证明你的结论．29．如图，点D、 F、 E 分别在△ ABC的三边上，∠ 1=∠ 2=∠ 3， DE=DF，请你说明△ ADE≌△ CFD的原由．30．如图，在△ ABC中，∠ ABC=90°， BE⊥ AC于点 E，点 F 在线段 BE 上，∠ 1=∠ 2，点 D在线段 EC上，给出两个条件：① DF∥BC；② BF=DF．请你从中选择一个作为条件，证明：△AFD≌△ AFB．31．如图，在△ ABC中，点 D在 AB 上，点 E 在 BC上， AB=BC， BD=BE，EA=DC，求证：△ BEA≌△ BDC．32．阅读并填空：如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， BE⊥ CE于点 E，AD⊥ CE于点 D．请说明△ ADC≌△ CEB的原由．解：∵ BE⊥CE于点 E（已知），∴∠ E=90°_________，同理∠ ADC=90°，∴∠ E=∠ ADC（等量代换）．在△ ADC中，∵∠ 1+∠ 2+∠ ADC=180°_________，∴∠ 1+∠ 2=90°_________．∵∠ ACB=90°（已知），∴∠ 3+∠ 2=90°，∴_________ ．在△ ADC和△ CEB中， .∴△ ADC≌△ CEB （ A． A． S）33．已知：以下列图，AB∥ DE，AB=DE， AF=DC．（ 1）写出图中你认为全等的三角形（不再增加辅助线）；（ 2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．34．如图，点 E 在△ ABC外面，点 D在 BC边上， DE交 AC于点 F，若∠ 1=∠ 2=∠ 3， AC=AE．试说明以下结论正确的原由：（1）∠ C=∠ E；（2）△ ABC≌△ ADE．35．如图，在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，D 是斜边 AB上的一点， AE⊥ CD于 E，BF⊥ CD交 CD的延长线于F．求证：△ ACE≌△ CBF．36．如图，在△ ABC中， D 是 BC的中点， DE∥ CA交 AB 于 E，点 P 是线段 AC上的一动点，连接PE．研究：当动点P 运动到 AC边上什么地址时，△APE≌△ EDB？请你画出图形并证明△APE≌△ EDB．37．已知：如图，AD∥ BC， AD=BC， E 为 BC上一点，且AE=AB．求证：（ 1）∠ DAE=∠B；（2）△ ABC≌△ EAD．38．如图， D 为 AB边上一点，△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形，∠ ACB=∠ DCE=90°， CA=CB， CD=CE，图中有全等三角形吗？指出来并说明原由．39．如图， AB=AC， AD=AE，∠ BAC=∠ DAE．求证：△ ABD≌△ ACE．40．如图，已知D是△ ABC的边 BC的中点，过D 作两条互相垂直的射线，分别交AB于 E，交 AC于 F，求证： BE+CF ＞EF．41．以下列图，在△MNP中， H是高 MQ与 NE的交点，且QN=QM，猜想 PM与 HN有什么关系？试说明原由．42．如图，在△ ABC中， D 是 BC的中点，过 D 点的直线 GF交 AC于 F，交 AC的平行线 BG于 G点， DE⊥ GF，交 AB于点 E，连接 EG．（1）求证： BG=CF；（2）请你判断 BE+CF与 EF 的大小关系，并证明你的结论．43．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， BE⊥ CE于 E， AD⊥ CE于 D，，，求 BE 的长．44．如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD， BC=AD，请说明：∠ A=∠ C 的道理，小明着手测量了一下，发现∠A确实与∠ C相等，但他不能够说明其中的道理，你能帮助他说明这个道理吗？试一试看．45．如图， AD是△ ABC的中线， CE⊥ AD于 E， BF⊥AD，交 AD的延长线于F．求证： CE=BF．46．如图，已知 AB∥ CD，AD∥ BC，F 在 DC的延长线上， AM=CF，FM交 DA的延长线上于E．交 BC于 N，试说明：AE=CN．47．已知：如图，△ABC中，∠ C=90°， CM⊥ AB于 M， AT均分∠ BAC交 CM于 D，交 BC于 T，过 D 作 DE∥ AB交 BC 于 E，求证： CT=BE．48．如图，已知AB=AD， AC=AE，∠ BAE=∠ DAC．∠ B 与∠ D 相等吗？请你说明原由．49． D 是 AB上一点， DF交 AC于点 E， DE=EF， AE=CE，求证： AB∥CF．50．如图， M是△ ABC的边 BC上一点， BE∥ CF，且 BE=CF，求证： AM是△ ABC的中线．优秀文档合用标准文案51．如图，在△ ABC中， AC⊥BC， AC=BC， D 为 AB上一点， AF⊥ CD交于 CD的延长线于点F， BE⊥ CD于点 E，求证：EF=CF﹣ AF．52．如图，在△ ABC中，∠ BAC=90°， AB=AC，若 MN是经过点 A 的直线， BD⊥ MN于 D，EC⊥ MN于 E．（1）求证： BD=AE；（2）若将 MN绕点 A 旋转，使 MN与 BC订交于点 O，其他条件都不变， BD与 AE边相等吗？为什么？（3） BD、 CE与 DE有何关系？53．已知：如图，△ABC中， AB=AC， BD和 CE为△ ABC的高， BD和 CE订交于点O．求证： OB=OC．54．在△ ABC中，∠ ACB=90°， D 是 AB边的中点，点 F 在 AC边上， DE与 CF平行且相等．试说明AE=DF的原由．55．如图，在△ ABC中， D 是边 BC上一点， AD均分∠ BAC，在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，已知 DE=2cm， BD=3cm，求线段 BC的长．优秀文档56．如图：已知∠B=∠ C， AD=AE，则 AB=AC，请说明原由．57．如图△ ABC中，点 D 在 AC上， E 在 AB上，且 AB=AC，BC=CD， AD=DE=BE．（ 1）求证△ BCE≌△ DCE；（ 2）求∠ EDC的度数．58．已知：∠ A=90°， AB=AC， BD均分∠ ABC， CE⊥ BD，垂足为E．求证： BD=2CE．59．如图，已知：AB=CD， AD=BC，过 BD上一点 O的直线分别交DA、 BC的延长线于E、 F．（1）求证：∠ E=∠ F；（2） OE与 OF相等吗？若相等请证明，若不相等，需增加什么条件就能证得它们相等？请写出并证明你的想法．60．以以下列图， AD是∠ BAC的均分线， DE垂直 AB于点 E， DF垂直 AC于点 F，且 BD=DC．求证： BE=CF．全等三角形证明题专项练习60 题参照答案：1．∵△ ABC≌△ ADE 且∠ B≠∠ E，∴∠ C=∠ E，∠ B=∠ D；∴∠ BAC=180°﹣∠ B﹣∠ C=180°﹣ 30°﹣ 20° =130°．2．∵ AB∥ CD， AD∥ BC，∴∠ ABD=∠ CDB、∠ ADB=∠CBD．又 BD=DB，∴△ ABD≌△ CDB（ASA）．3．△ ADF与△ AEF中，∵∠ 2=∠ 3，∠ AFE=∠ CFD，∴∠ E=∠ C．∵∠ 1=∠ 2，∴∠ BAC=∠DAE．∵AC=AE，∴△ ABC≌△ ADE．4．（ 1）∵∠ BHD=∠ AHE，∠ BDH=∠ AEH=90°∴∠ DBH+∠BHD=∠ HAE+∠ AHE=90°∴∠ DBH=∠HAE∵∠ HAE=∠DAC∴∠ DBH=∠DAC；（2）∵ AD⊥ BC∴∠ ADB=∠ADC在△ BDH与△ ADC中，∴△ BDH≌△ ADC．5．∵ DE⊥ AB， DF⊥ AC，∴△ DBE与△ DCF是直角三角形，∵BD=CD， DE=DF，∴Rt △ DBE≌ Rt △ DCF（ HL），∴∠ B=∠ C，∴AB=AC．6．∵ AE 是∠ BAC的均分线，∴∠ BAE=∠CAE；∴180°﹣∠BAE=180°﹣∠CAE，即∠ DAB=∠DAC；又∵ AB=AC， AD=AD，∴在△ ABD和△ ACD中，∴△ ABD≌△ ACD（ SAS）7．∵ AE∥ BC，∴∠ B=∠ C．∵AF=BD， AE=BC，∴△ AEF≌△ BCD（ SAS）．8．△ ABE与△ ACD全等．原由：∵ AB=AC，∠ A=∠ A（公共角）， AE=AD，∴△ ABE≌△ ACD．9．图中的全等三角形有：△ABD≌△ ACD，△ABE≌△ ACE，△BDE≌△ CDE．原由：∵ D是 BC的中点，∴BD=DC， AB=AC， AD=AD∴△ ABD≌△ ACD（ SSS）；∵AE=AE，∠ BAE=∠ CAE， AB=AC，∴△ ABE≌△ ACE（ SAS）；∵BE=CE， BD=DC， DE=DE，∴△ BDE≌△ CDE（ SSS）．10．：∵∠ 1=∠ 2，∴∠ ACB=∠DCE，在△ ABC和△ DEC中，，∴△ ABC≌△ DEC（ SAS）11.增加AB=DF．在△ ABC和△ FDE中，∴△ ABC≌△ FDE（SSS）．12．∵ AB=AC， BD=CE，∴ AD=AE．又∵∠ A=∠ A，∴△ ABE≌△ ACD（SAS）．13．△ CBD≌△ CA1F 证明以下：∵AC=BC，∴∠A=∠ ABC．∵△ ABC绕点 C 逆时针旋转角α（ 0°＜α＜ 90°）获取△ A1B1C1，∴∠ A1 =∠ A， A1C=AC，∠ ACA1=∠ BCB1=α．∴∠ A1 =∠ ABC（1 分）， A1C=BC．∴△ CBD≌△ CAF（ ASA）114．∵ AB∥DE， AC∥DF，∴∠ B=∠ DEF，∠ F=∠ ACB．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+EC．∴BC=EF．∴△ ABC≌△ DEF （ ASA）．15．∵ AB=AC， AD=AE，∠ DAB=∠ EAC，∴∠ DAC=∠AEB，∴△ ACD≌△ ABE，∴∠ D=∠ E，又 AD=AE，∠ DAB=∠EAC，∴△ ADM≌△ AEN16．∵△ ABC和△ ADE均为等腰直角三角形，∴AB=AC， AD=AE，∠ BAC=∠DAE=90，即∠ BAC+∠CAE=∠DAE+∠ CAE，∴∠ BAE=∠CAD，在△ ABE和△ ACD中，，∴△ ABE≌△ ACD17．答：△ BDE≌△ FEC，△ BCE≌△ FDC，△ ABE≌△ ACF；证明：（以△ BDE≌△ FEC为例）∵△ ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ ACB=60°，∵CD=CE，∴△ EDC是等边三角形，∴∠ EDC=∠DEC=60°，∴∠ BDE=∠FEC=120°，∵CD=CE，∴BC﹣ CD=AC﹣ CE，∴BD=AE，又∵ EF=AE，∴B D=FE，在△ BDE与△ FEC中，∵，∴△ BDE≌△ FEC（ SAS）．18．（ 1）证明以下：∵∠ ABD=∠1+∠ EBC，∠ CBE=∠ 2+∠ EBC，∠ 1=∠2．∴∠ ABD=∠CBE．在△ ABD和△ EBC中∴△ ABD≌△ EBC（ AAS）；（2）从中还可获取 AB=BC，∠ BAD=∠ BEC19．（ 1）∵ AB=8， AD=2∴BD=AB﹣ AD=6在 Rt △ BDE中∠BDE=90°﹣∠B=30°∴ BE= BD=3∴CE=BC﹣ BE=5在 Rt △ CFE中∠CEF=90°﹣∠C=30°∴ CF= CE=∴AF=AC﹣ FC= ；（2）在△ BDE和△ EFC中，∴△ BDE≌△ CFE（ AAS）∴BE=CF∴BE=CF= EC∴BE= BC=∴BD=2BE=∴AD=AB﹣ BD=∴AD= 时， DE=EF20．（ 1）图中全等的三角形有四对，分别为：①△ DBG≌△ EGC，②△ ADG≌△ AEG，③△ ABG≌△ ACG，④△ABE≌△ ACD；（ 4 分）（Ⅱ）∵ AB=AC， AD=AE，∠ A 是公共角，∴△ ABE≌△ ACD（ SAS）④；∵AB=AC， AD=AE，∴AB﹣ AD=AC﹣ AE，即 BD=CE；由④得∠ B=∠ C，又∵∠ DGB=∠ EGC（对顶角相等）， BD=CE（已证），∴△ DBG≌△ EGC（ AAS）①；由①得 BG=CG，由④得∠ B=∠C，又∵ AB=AC，∴△ ABG≌△ ACG（ SAS）③；由①得 BG=CG，且 AD=AE， AG为公共边，∴△ ADG≌△ AEG（ SSS）②；21．（ 1）△ ABC≌△ DCB．证明：∵ AB=CD， AC=BD， BC=CB，∴△ ABC≌△ DCB．（ SSS）（2） EF 均分∠ DEC．原由：∵ EF∥ BC，∴∠ DEF=∠EBC，∠ FEC=∠ ECB；由（ 1）知：∠ EBC=∠ ECB；∴∠ DEF=∠FEC；∴ FE 均分∠ DEC22．△ ABC≌△ DCB．原由以下：∵∠ABC=∠ DCB，∠ 1=∠ 2，∴∠ DBC=∠ACB．∵BC=CB，∴△ ABC≌△ DCB23．（ 1）∵ BF=DE，∴BF+EF=DE+EF．即 BE=DF．在△ DFC和△ BEA中，∵，∴△ DFC≌△ BEA（ SAS）．（2）∵△ DFC≌△ BEA，∴CF=AE，∠ CFD=∠ AEB．∵在△ AFE与△ CEF中，∵，∴△ AFE≌△ CEF（ SAS）24．△ ABF与△ DFG中，∠ BAF=∠ BGD，∠ BFA=∠DFG，∴∠ B=∠ D，∵∠ BAF=∠EAC，∴∠ BAE=∠DAC，∵AC=AE，∠ BAE=∠ DAC，∠B=∠D，∴△ BAE≌△ DAC．答案：有．△ BAE≌△ DAC25．∵ CE∥AB，∴∠ ABD=∠ECD．在△ ABD和△ ECD中，，∴△ ABD≌△ ECD（ ASA）26．（ 1）证明：在△ AOB和△ COD中∵∴△ AOB≌△ COD（ AAS）（2）解：∵△ AOB≌△ COD，∴ AO=DO∵ E 是 AD的中点∴OE⊥ AD∴∠ AEO=90°27． 1）证明：∵ AB∥ DE，∴∠ A=∠ D．∵AB=DE， AF=DC，∴△ ABF≌△ DEC．（ 2）解：全等三角形有：△ ABC和△ DEF；△ CBF和△ FEC28．证明：（ 1）∵ BE、 CF分别是 AC、 AB两边上的高，∴∠ AFC=∠AEB=90°（垂直定义），∴∠ ACG=∠DBA（同角的余角相等），又∵ BD=CA，AB=GC，∴△ ABD≌△ GCA；（2）连接 DG，则△ ADG是等腰三角形．证明以下：∵△ ABD≌△ GCA，∴AG=AD，∴△ ADG是等腰三角形．29．解：∵∠ 4+∠ 6=180°﹣∠ 3，∠ 5+∠ 6=180°﹣∠ 2，∠ 3=∠2，∴∠ 4+∠ 6=∠ 5+∠ 6，∴∠ 4=∠ 5，∵在△ ADE和△ CFD中，，∴△ ADE≌△ CFD（ AAS）．30．① DF∥BC．证明：∵ BE⊥ AC，∴∠ BEC=90°，∴∠ C+∠ CBE=90°，∵∠ ABC=90°，∴∠ ABF+∠CBE=90°，∴∠ C=∠ ABF，∵DF∥ BC，∴∠C=∠ ADF，∴∠ABF=∠ADF，在△ AFD和△ AFB中∴△ AFD≌△ AFB（ AAS）．31．在△ BEA和△ BDC中：，故△ BEA≌△ BDC（SSS）．32．如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC， BE⊥ CE于点 E， AD⊥CE于点 D．请说明△ ADC≌△ CEB的原由．解：∵ BE⊥CE于点 E（已知），∴∠ E=90°（垂直的意义），同理∠ ADC=90°，∴∠ E=∠ ADC（等量代换）．在△ ADC中，∵∠ 1+∠ 2+∠ ADC=180°（三角形的内角和等于180°），∴∠ 1+∠ 2=90°（等式的性质）．∵∠ ACB=90°（已知），∴∠ 3+∠ 2=90°，∴∠ 1=∠3（同角的余角相等）．在△ ADC和△ CEB中， .∴△ ADC≌△ CEB （ A． A． S）33．（ 1）△ ABF≌△ DEC，△ ABC≌△ DEF，△ BCF≌△ EFC；（2 分）（2）△ ABF≌△ DEC，证明：∵ AB∥ DE，∴∠ A=∠ D，（ 3 分）在△ ABF和△ DEC中，（4 分）∴△ ABF≌△ DEC．（5 分）34．（ 1）△ ADF与△ AEF中，∵∠ 2=∠ 3，∠ AFE=∠ CFD，∴∠ C=∠ E；（2）∵∠ 1=∠ 2，∴∠BAC=∠DAE．∵AC=AE，又∠ C=∠ E，∴△ ABC≌△ ADE．35．∵ AE⊥CD，∴∠ AEC=90°，∴∠ ACE+∠CAE=90°，（直角三角形两个锐角互余）∵∠ ACE+∠BCF=90°，∴∠ CAE=∠BCF，（等角的余角相等）∵AE⊥ CD，BF⊥ CD，∴∠ AEC=∠BFC=90°，在△ ACE与△ CBF中，∠ CAE=∠ BCF，∠ AEC=∠ BFC，AC=BC，∴△ ACE≌△ CBF（ AAS）．优秀文档36．当动点 P 运动到 AC边上中点地址时，△APE≌△ EDB，∵DE∥ CA，∴△ BED∽△ BAC，∴= ，∵D是BC的中点，∴ = ，∴= ，∴E 是 AB中点，∴DE= AC， BE=AE，∵DE∥ AC，∴∠ A=∠ BED，要使△ APE≌△ EDB，还缺少一个条件DE=AP，又有 DE= AC，∴ P 必定是 AC中点．37．（ 1）∵ AE=AB，∴∠ B=∠ AEB，又∵ AD∥ BC，∴∠ AEB=∠DAE，∴∠ DAE=∠B；（2）∵∠ DAE=∠ B，AD=BC，AE=AB，∴△ ABC≌△ EAD．38．△ ACE≌△ BCD．∵△ ABC和△ ECD都是等腰直角三角形，∴∠ ECD=∠ACB=90°，∴∠ ACE=∠BCD（都是∠ ACD的余角），在△ ACE和△ BCD中，∵，∴△ ACE≌△ BCD．39．∵∠ BAC=∠ DAE，∴∠ BAC+∠CAD=∠ DAE+∠ CAD，即∠ BAD=∠EAC，在△ ABD和△ ACE中，∴△ ABD≌△ ACE．40．证明：延长FD到 M使 MD=DF，连接 BM，EM．∵D 为 BC中点，∴BD=DC．∵∠ FDC=∠BDM，∴△ BDM≌△ CDF．∴BM=FC．∵ED⊥ DF，∴EM=EF．∵BE+BM＞ EM，∴B E+FC＞ EF．41． PM=HN．原由：∵在△ MNP中， H是高 MQ与 NE的交点，∴∠ MEH=∠NQH=90°，∠ MQP=∠ NQH=90°∵∠ MHE=∠NHQ（对顶角相等），∴∠ EMH=∠QNH（等角的余角相等）在△ MPQ和△ NHQ中，，∴△ MPQ≌△ NHQ（ ASA），∴MP=NH．42．（ 1）∵ BG∥ AC，∴∠ DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴ BD=CD又∵∠ BDG=∠ CDF，在△ BGD与△ CFD中，∵∴△ BGD≌△ CFD（ ASA）．∴BG=CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD， BG=CF．又∵ DE⊥ FG，∴EG=EF（垂直均分线到线段端点的距离相等）．∴在△ EBG中， BE+BG＞ EG，即 BE+CF＞EF．43．∵ BE⊥CE于 E，AD⊥ CE于 D∴∠ E=∠ ADC=90°∵∠ BCE+∠ACE=∠ DAC+∠ ACE=90°∴∠ BCE=∠DAC∵AC=BC∴△ ACD≌△ CBE∴CE=AD，﹣ 1.7=0.8 （ cm）44．∵ AB=CD， BC=AD，又∵ BD=DB，在△ ABD和△ CDB中，∴△ ABD≌△ CDB，∴∠ A=∠ C．45．∵ AD是△ ABC中 BC边上的中线，∴BD=CD．∵CE⊥ AD于 E， BF⊥AD，∴∠ BFD=∠CED．在△ BFD和△ CED中，∴△ BFD≌△ CED（ AAS）．∴CE=BF46．∵ AD∥BC，∴∠ E=∠ ENB，∵∠ ENB=∠CNF，∴∠ E=∠ CNF，∵AB∥ CD，∴∠A=∠B，∵∠ C=∠ B，∴∠ EAB=∠DCB，∵AM=CF，∴△ AME≌△ CFN，优秀文档47．证明：过T 作 TF⊥ AB于 F，∵A T 均分∠ BAC，∠ ACB=90°，∴CT=TF（角均分线上的点到角两边的距离相等），∵∠ ACB=90°， CM⊥AB，∴∠ ADM+∠DAM=90°，∠ ATC+∠ CAT=90°，∵AT 均分∠ BAC，∴∠DAM=∠CAT，∴∠ ADM=∠ATC，∴∠ CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵ CT=TF（已证），∴C D=TF，∵CM⊥ AB，DE∥ AB，∴∠ CDE=90°，∠ B=∠ DEC，在△ CDE和△ TFB 中，，∴△ CDE≌△ TFB（ AAS），∴C E=TB，∴CE﹣ TE=TB﹣ TE，即 CT=BE．48．∵∠ BAE=∠ DAC∴∠ BAE+∠CAE=∠ DAC+∠ CAE即∠ BAC=∠DAE又∵ AB=AD， AC=AE，∴△ ABC≌△ ADE（ SAS）∴∠ B=∠ D（全等三角形的对应角相等）49．∵ DE=EF， AE=CE，∠ AED=∠ FEC，∴△ AED≌△ FEC．∴∠ ADE=∠CFE．∴AD∥ FC．∵D是AB上一点，∴ AB∥ CF50．∵ BE∥CF，∴∠ CMF=∠BME，∠ FCM=∠ EBM．又∵ BE=CF，即 AM是△ ABC的中线51．∵ AC⊥BC， BE⊥CD，∴∠ ACF+∠FCB=∠ FCB+∠ CBE=90°．∴∠ FCA=∠EBC．∵∠ BEC=∠CFA=90°， AC=BC，∴△ BEC≌△ CFA．∴CE=AF．∴EF=CF﹣ CE=CF﹣ AF52．解：（ 1）证明：由题意可知， BD⊥ MN与 D， EC⊥ MN与 E，∠BAC=90°，则△ ABD与△ CEA是直角三角形，∠ DAB=∠ ECA，在△ ABD与△ CEA中，∵，∴△ ABD≌△ CEA，∴B D=AE；（2）若将 MN绕点 A 旋转，与 BC订交于点 O，则 BD， CE与 MN垂直，∴△ABD与△CEA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，∴BD与 AE边仍相等；（3）∵△ ABD≌△ CEA，∴B D=AE， AD=EC，∴DE=BD+EC或 DE=CE﹣ BD或 DE=BD﹣ CE．53．∵ AB=AC，∴∠ ABC=∠ACB，∵BD、CE分别为△ABC的高，∴∠ BEC=∠BDC=90°，∴在△ BEC和△ CDB中，∴△ BEC≌△ CDB，∴∠ 1=∠ 2，∴OB=OC∵∠ ACB=90°， D 是 AB 边的中点∴CD=AD，∠ DAC=∠ DCF∵DE与 CF平行且相等∴∠ EDA=∠DAC∴∠ EDA=∠DCF在△ AED和△ CFD中CD=AD，∠ EDA=∠ DCF， DE=CF∴△ AED≌△ CFD∴A E=DF．55．∵ AD均分∠ BAC∴∠ BAD=∠CAD在△ ADE和△ ADC中∵∴△ ADE≌△ ADC（ SAS）∴DE=DC∴BC=BD+DC=BD+DE=2+3=5（cm）56．在△ AEB与△ ADC中，．∴△ AEB≌△ ADC（ AAS）．∴ AB=AC（全等三角形，对应边相等）57．（ 1）证明：在△ BCE和△ DCE中∴△ BCE≌△ DCE（ SSS）．（2）解：∵ AD=DE，∴∠ A=∠ AED；∴∠ EDC=∠A+∠ AED=2∠ A，设∠ A=x，依照题意得，5x=180°，解得x=36°∴∠ EDC=2∠ A=72°证明：延长CE、 BA 交于点 F．∵CE⊥ BD于 E，∠ BAC=90°，∴∠ ABD=∠ACF．又 AB=AC，∠ BAD=∠ CAF=90°，∴△ ABD≌△ ACF，∴B D=CF．∵BD均分∠ ABC，∴∠ CBE=∠FBE．有 BE=BE，∴△ BCE≌△ BFE，∴C E=EF，∴C E= BD，∴B D=2CE．59．（ 1）证明：在△ ABD和△ CDB中∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴△ ABD≌△ CDB（ SSS），∴∠ ADB=∠DBC，∴ DE∥ BF．∴∠ E=∠ F．（2）答：当 O是 BD中点时，OE=OF．证明以下：∵ O是 BD中点，∴OB=OD．又∵∠ ADB=∠ DBC，∠ E=∠ F，∴△ ODE≌△ OBF（ AAS）．∴OE=OF．（当 AE=CF时也可证得60．∵ DE⊥AB， DF⊥AC，∴∠ E=∠ DFC=90°．∵AD均分∠ EAC，∴ DE=DF．在 Rt △ DBE和 Rt △ DCF中，∴Rt △ DBE≌ Rt △ CDF（ HL）．∴BE=CF．。
几何证明练习题及答案
几何证明练习题及答案题目1：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD垂直于BC。
证明：三角形ABD与三角形ACD全等。
答案：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，角BAD等于角CAD。
又因为AD垂直于BC，所以角ADB和角ADC都是直角。
因此，我们有：- AD=AD（公共边）- ∠BAD=∠CAD（等腰三角形的性质）- ∠ADB=∠ADC=90°（直角）根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD与三角形ACD全等。
题目2：已知三角形ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC上，且BE=CF。
证明：三角形AEF是等腰三角形。
答案：由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，角ABC等于角ACB。
又因为BE=CF，我们可以得出：- AB=AC（已知）- BE=CF（已知）- ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的性质）根据SSS（边边边）全等条件，三角形BEC与三角形CFB全等。
因此，角BEC等于角CFB。
由于角AEF是三角形AEF的外角，根据外角定理，角AEF等于角BEC加角CFB。
因此：- ∠AEF=∠BEC+∠CFB- ∠AEF=2∠BEC（因为∠BEC=∠CFB）由于角AEF是三角形AEF的两个相等的角，所以三角形AEF是等腰三角形。
题目3：已知四边形ABCD中，AB平行于CD，BC平行于AD，且AB=CD。
证明：四边形ABCD是平行四边形。
答案：由于AB平行于CD且BC平行于AD，根据平行四边形的定义，我们可以推断出AD也平行于BC。
因此，四边形ABCD的对边都是平行的。
又因为AB=CD，根据平行四边形的判定条件，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。
题目4：已知三角形ABC中，角A等于角C，点D在BC上，且AD垂直于BC。
证明：三角形ABD与三角形CBD是等腰三角形。
答案：由于角A等于角C，根据三角形内角和定理，我们可以得出角A+角C+角B=180°。
奥数 专题 三角形证明题训练
奥数 专题?三角形?证明题专题训练1 第一组 简单角度计算1.如图，∠1=40°，∠2=25°，∠A=35°，求∠BDC 的度数。
2.如图，∠A=80°，∠B=25°，∠C=30°,求∠BDC 的度数。
3.如图，AB ∥CD ，∠BAE=∠DCE=45°，求∠E 的度数.4.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°,求∠EDF 的度数.第二组 折叠问题5.如图，将一长方形纸片按如图方法折叠，BC 、BD 为折痕，求∠CBD 的度数；6.如图，把△ABC 沿DE 折叠，请求出∠A 与∠1＋∠2之间的数量关系。
第三组 三角形内角外角平分线夹角7.如图，△ABC 的两条内角平分线交于点P ，求证：∠P=90°+ ∠A ；8.如图，△ABC 的两条外角平分线交于点P ，求证：∠P=90°+ ∠A ；9.如图，△ABC 的一条内角平分线与一条外角平分线交于点P ，求证：∠P= ∠A第四组 三角形边长大小比拟10.如图，点P 是△ABC 内任意一点，说明：PA+PB+PCA>21(AB+BC+AC) ； 11.如图，AC 和BD 相交于点O ，说明：AC+BD ＞AB+CD 。
第五组 三角形中线平分面积12.如图，CD 、DE 、EF 分别是△ABC 、△ACD 、△ADE 的中线，假设△AFE 的面积为12cm ，求ABC S ∆；13.如图，∠1=∠2=∠3，∠FDE=43°，∠DEF=64°，求△ABC 的各内角度数。
14.如图，AD=1,DC=2,AB=4，△ABC 的面积等于△DEC 的面积的2倍，求BE 的长。
15.如图，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，求四边形ABGD 面积。
第六组 多边形周长16.如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小5，求出AC 与AB 的边长的差。
全等三角形的证明及计算大题专项训练(30道)(含答案)
全等三角形的证明及计算大题专项训练（30道）考卷信息：本套训练卷共30题，培优篇15题，拔尖篇15题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可深化学生对全等三角形工具的应用及构造全等三角形！1．（2021春•道里区期末）如图，点A ，C 在EF 上，AD ∥BC ，DE ∥BF ，AE ＝CF ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）直接写出图中所有相等的线段（AE ＝CF 除外）．【解题思路】（1）利用ASA 证明△ADE ≌△CBF 即可；（2）根据△ADE ≌△CBF 即可得图中所有相等的线段．【解答过程】（1）证明：∵AD ∥BC∴∠DAC ＝∠BCA ，又∵∠DAC +∠EAD ＝180°，∠BCA +∠FCB ＝180°，∴∠EAD ＝∠FCB ，∵DE ∥BF ，∴∠E ＝∠F ，在△ADE 和△CBF 中，{∠EAD =∠FCB AE =CF ∠E =∠F，∴△ADE ≌△CBF （ASA ），（2）∵△ADE ≌△CBF ，∴ED ＝FB ，DA ＝BC ，EC ＝F A ．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠BCA ，在△ADC 和△CBA 中，{AD =CB ∠DAC =∠CBA AC =CA，∴△ADC ≌△CBA （SAS ），∴AB ＝CD ；∴图中所有相等的线段有：ED ＝FB ，DA ＝BC ，AB ＝CD ，EC ＝F A ．2．（2021春•宁德期末）如图，AB ，CD 交于点O ，AC ＝DB ，∠ACD ＝∠DBA ．（1）说明△AOC ≌△DOB 的理由；（2）若∠ACD ＝94°，∠CAO ＝28°，求∠OCB 的度数．【解题思路】（1）直接利用AAS 即可证明△AOC ≌△DOB ；（2）利用三角形外角的性质得到∠COB ，再根据△AOC ≌△DOB 得到OC ＝OB ，即可求得∠OCB ．【解答过程】解：（1）在△AOC 和△DOB 中，{∠AOC =∠DOB ∠ACO =∠DBO AC =DB，∴△AOC ≌△DOB （AAS ）；（2）∵∠ACD ＝94°，∠CAO ＝28°，∴∠COB ＝∠ACD +∠CAO ＝122°，∵△AOC ≌△DOB ，∴OC ＝OB ，∴∠OCB ＝（180°﹣122°）÷2＝29°．3．（2021春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 在AB 边上，点E 在BC 边上，连接CD ，DE ．已知∠ACD ＝∠BDE ，CD ＝DE ．（1）猜想AC 与BD 的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AD ＝3，BD ＝5，求CE 的长．【解题思路】（1）利用AAS 证明△ADC ≌△BED ，即可得结论；（2）结合△ADC ≌△BED ，可得AC ＝BD ＝5，BE ＝AD ＝3，进而可得CE 的长．【解答过程】解：（1）AC ＝BD ，理由如下：∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B ，在△ADC 和△BED 中，{∠A =∠B ∠ACD =∠BED CD =DE，∴△ADC ≌△BED （AAS ），∴AC ＝BD ；（2）由（1）知：△ADC ≌△BED ，∴AC ＝BD ＝5，BE ＝AD ＝3，∴BC ＝AC ＝5，∴CE ＝BC ﹣BE ＝2．4．（2021春•渝中区校级期末）如图，点E 在△ABC 的边AC 上，且∠ABE ＝∠C ，AF 平分∠BAE 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于点D ．（1）求证：△ABF ≌△ADF ；（2）若BE ＝7，AB ＝8，AE ＝5，求△EFD 的周长．【解题思路】（1）根据平行线的性质得到∠ADF ＝∠C ，等量代换得到∠ABF ＝∠ADF ，由角平分线的定义得到∠BAF ＝∠CAF ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AD ＝AB ＝8，BF ＝DF ，由线段的和差得到DE ＝AD ＝AE ＝8﹣5＝3，根据三角形的周长公式即可得到结论．【解答过程】解：（1）∵FD ∥BC ，∴∠ADF ＝∠C ，∵∠ABF ＝∠C ，∴∠ABF ＝∠ADF ，∵AF 平分∠BAE ，∴∠BAF ＝∠CAF ，在△ABF 和△ADF 中，{∠BAF =∠DAF ∠ABF =∠ADF AF =AF，∴△ABF ≌△ADF （AAS ）；（2）∵△ABF ≌△ADF ，∴AD ＝AB ＝8，BF ＝DF ，∵AE ＝5，∴DE ＝AD ﹣AE ＝8﹣5＝3，∴△EFD 的周长＝EF +DF +DE ＝EF +BF +DE ＝BE +DE ＝7+3＝10．5．（2021春•北碚区校级期末）如图，已知D 是AC 上一点，AB ＝DA ，AB +DC ＝ED ，AE ＝BC ．（1）求证：△ABC ≌△DAE ，（2）若∠BAE ＝125°，求∠DCB 的度数．【解题思路】（1）根据SSS 证明三角形全等即可．（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．【解答过程】（1）证明：∵DE ＝AB +DC ，AB ＝AD ，∴DE ＝AD +DC ＝AC ，在△ABC 和△DAE 中，{AB =AD AC =DE BA =AE，∴△ABC ≌△DAE （SSS ）．（2）解：∵△ABC ≌△DAE ，∴∠EAD ＝∠B ，∴∠B +∠BAC ＝∠EAD +∠BAC ＝∠EAB ＝125°，∴∠DCB ＝180°﹣（∠B +∠BAC ）＝180°﹣125°＝55°．6．（2021春•莱芜区期末）如图，已知AD 、BC 相交于点O ，AB ＝CD ，AM ⊥BC 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，BN ＝CM ．（1）求证：△ABM ≌△DCN ；（2）试猜想OA 与OD 的大小关系，并说明理由．【解题思路】（1）根据HL 可证明：△ABM ≌△DCN ；（2）根据AAS 证明△AMO ≌△DNO 可得结论．【解答过程】（1）证明：∵BN ＝CM ，∴BN +MN ＝MN +CM ，即CN ＝BM ，∵AM ⊥BC 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，∴∠AMB ＝∠DNC ＝90°，在Rt △ABM 和Rt △DCN 中，{AB =CD BM =CN， ∴Rt △ABM ≌Rt △DCN （HL ）；（2）解：OA ＝OD ，理由如下：∵Rt △ABM ≌Rt △DCN ，∴AM ＝DN ，在△AMO 和△DNO 中，{∠AOM =∠DNO ∠AMO =∠DNO AM =DN，∴△AMO ≌△DNO （AAS ），∴OA ＝OD ．7．（2021春•静安区期末）如图，已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ．E 为BD 上一点，且BE ＝AD ，∠DEF ＝∠ADC ，EF 交BC 的延长线于点F ．（1）AD 和BC 相等吗？为什么？（2）BF 和BD 相等吗？为什么？【解题思路】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△ABD 与△CDB 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；（2）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出△EFB 与△CDB 全等，进而解答即可．【解答过程】解：（1）AD ＝CB ，理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠ABD ＝∠CDB ，同理可得，∠ADB ＝∠CBD ，在△ABD 与△CDB 中，{∠ABD =∠CDB BD =DB ∠ADB =∠CBD，∴△ABD ≌△CDB （ASA ），∴AD ＝CB ；（2）BF ＝BD ，理由如下：∵AD ＝CB ，BE ＝AD ，∴BC ＝BE ，∵∠DEF ＝∠ADC ，∴∠DEF ﹣∠DBF ＝∠ADC ﹣∠ADB ，即∠EFB ＝∠CDB ，在△EFB 与△CDB 中，{∠EFB =∠CDB BC =BE ∠FBE =∠DBC，∴△EFB ≌△CDB （ASA ），∴FB ＝DB ．8．（2021春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ．BE ⊥AC ，垂足为G ，AB ＝CF ，BE ＝AC ．（1）求证：AE ＝AF ；（2）求∠EAF 的度数．【解题思路】（1）利用SAS 证明△AEB ≌△F AC 可证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠E ＝∠CAF ，由余角的定义可求得∠EAF 的度数．【解答过程】（1）证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠CAD +∠ACD ＝∠CAD +∠EBA ＝90°，∴∠ACD ＝∠EBA ，在△AEB 和△F AC 中，{AB =FC ∠EBA =∠ACF BE =CA，∴△AEB ≌△F AC （SAS ），∴AE ＝F A ；（2）解：∵△AEB ≌△F AC ，∴∠E ＝∠CAF ，∵∠E +∠EAG ＝90°，∴∠CAF +∠EAG ＝90°，即∠EAF ＝90°．9．（2021春•铁岭月考）已知：如图，AB ＝AC ，∠1＝∠2．（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；（2）求证：AD ＝AE ．【解题思路】（1）直接根据全等三角形的判定可得答案；（2）先根据SAS 证得△ABF ≌△ACF ，再根据ASA 证得△BDF ≌△CEF ，然后根据全等三角形的性质可得结论．【解答过程】解：（1）△ABF ≌△ACF ，△BDF ≌△CEF ，△ADF ≌△AEF ，△ADC ≌△AEB ；（2）证明：在△ABF 和△ACF 中，{AB =AC ∠1=∠2AF =AF，∴△ABF ≌△ACF （SAS ），∴∠B ＝∠C ，BF ＝CF ．在△BDF 和△CEF 中，{∠B =∠C BF =CF ∠BFD =∠CFE，∴△BDF ≌△CEF （ASA ），∴BD ＝CE ，∴AB ﹣BD ＝AC ﹣CE ，∴AD ＝AE ．10．（2021•南岗区模拟）已知：在△ABC 和△DBE 中，AB ＝DB ，BC ＝BE ，其中∠ABD ＝∠CBE ．（1）如图1，求证：AC ＝DE ；（2）如图2，AB ＝BC ，AC 分别交DE ，BD 于点F ，G ，BC 交DE 于点H ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．【解题思路】（1）根据SAS 证明△ABC 与△DBE 全等，利用全等三角形的性质解答即可．（2）根据全等三角形的判定解答即可．【解答过程】证明：（1）∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠ABD +∠DBC ＝∠CBE +∠DBC ，即∠ABC ＝∠DBE ，在△ABC 与△DBE 中，{AB =DB ∠ABC =∠DBE BC =BE，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴AC ＝DE ；（2）由（1）得△ABC ≌△DBE ，∴∠A ＝∠D ，∠C ＝∠E ，AB ＝DB ，BC ＝BE ，∴AB ＝BE ，∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ，∴∠A ＝∠E ，在△ABG 与△EBH 中，{∠A =∠E AB =BE ∠ABD =∠EBC，∴△ABG ≌△EBH （ASA ），∴BG ＝BH ，在△DBH 与△CBG 中，{BG =BH ∠DBH =∠CBG DB =CB，∴△DBH ≌△CBG （SAS ），∴∠D ＝∠C ，∵DB ＝CB ，BG ＝BH ，∴DG ＝CH ，在△DFG 与△CFH 中，{∠DFG =∠CFH ∠D =∠C DG =CH，∴△DFG ≌△CFH （AAS ）．11．（2021•三水区一模）如图，AB ＝AC ，直线l 过点A ，BM ⊥直线l ，CN ⊥直线l ，垂足分别为M 、N ，且BM ＝AN ．（1）求证△AMB ≌△CNA ；（2）求证∠BAC ＝90°．【解题思路】（1）由HL证明△AMB≌△CNA即可；（2）先由全等三角形的性质得∠BAM＝∠ACN，再由∠CAN+∠ACN＝90°，得∠CAN+∠BAM＝90°，即可得出结论．【解答过程】证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，∴∠AMB＝∠CNA＝90°，在Rt△AMB和Rt△CNA中，{AB=CABM=AN，∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，∴∠BAM＝∠ACN，∵∠CAN+∠ACN＝90°，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．12．（2021•广州模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是30．【解题思路】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；【解答过程】（1）证明：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E ＝∠ADC ＝90°，∴∠EBC +∠BCE ＝90°．∵∠BCE +∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△BCE 和△CAD 中，{∠E =∠ADC ∠EBC =∠DCA BC =AC，∴△BCE ≌△CAD （AAS ）；（2）解：∵：△BCE ≌△CAD ，BE ＝5，DE ＝7，∴BE ＝DC ＝5，CE ＝AD ＝CD +DE ＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC ＝13，∴△ACD 的周长为：5+12+13＝30，故答案为：30．13．（2020春•越秀区校级期中）已知：△ABN 和△ACM 的位置如图所示，∠1＝∠2，AB ＝AC ，AM ＝AN ． 求证：（1）∠BAN ＝∠CAM ；（2）∠ODA ＝∠OEA ．【解题思路】（1）由∠1＝∠2，则∠1+∠MAN ＝∠2+∠MAN ，即∠BAN ＝∠CAM ；（2）先证△ACM ≌△ABN （SAS ），得∠M ＝∠N ，再证△ADN ≌△AEM （ASA ），即可得出结论．【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠MAN ＝∠2+∠MAN ，即∠BAN ＝∠CAM ；（2）在△ACM 和△ABN 中，{AM =AN ∠CAM =∠BAN AC =AB，∴△ACM ≌△ABN （SAS ），∴∠M ＝∠N ，在△ADN 和△AEM 中，{∠DAN =∠EAM AN =AM ∠N =∠M，∴△ADN ≌△AEM （ASA ），∴∠NDA ＝∠MEA ，即∠ODA ＝∠OEA ．14．（2020•江北区模拟）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB ，交ED 的延长线于点F ．（1）求证：△BDE ≌△CDF ；（2）当AD ⊥BC ，AE ＝2，CF ＝1时，求AC 的长．【解题思路】（1）根据平行线的性质得到∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F ，由AD 是BC 边上的中线，得到BD ＝CD ，于是得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到BE ＝CF ＝1，求得AB ＝AE +BE ＝3，于是得到结论．【解答过程】证明：∵CF ∥AB ，∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，在△BDE 和△CDF 中，{∠B =∠FCD ∠BED =∠F BD =CD，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）；（2）∵△BDE ≌△CDF ，∴BE ＝CF ＝1，∴AB ＝AE +BE ＝2+1＝3，∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AC ＝AB ＝3．15．（2020秋•萧山区月考）如图，已知在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，F 是BD 上一点，BF ＝AC ，G 是CE 延长线上一点，CG ＝AB ，连接AG ，AF ．（1）试说明∠ABD ＝∠ACE ；（2）探求线段AF ，AG 有什么关系？并请说明理由．【解题思路】（1）根据的等角的余角相等，即可证明∠ACG ＝∠ABF ；（2）根据SAS 推出△ABF ≌△GCA 即可解决问题；【解答过程】（1）证明：∵BD 、CE 是△ABC 的高，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∴∠ABF +∠BAD ＝90°，∠GCA +∠BAD ＝90°，∴∠ABF ＝∠GCA ，（2）结论：AF ＝AG ，AF ⊥AG ．理由如下：在△ABF 和△GCA 中，{AB =CG ∠ABF =∠GCA BF =AC，∴△ABF ≌△GCA （SAS ），∴AF ＝AG ，∠GAC ＝∠AFB ，∵∠AFB＝∠ADB+∠F AD，∠GAC＝∠GAF+∠F AD，∴∠GAF＝∠ADF，∵∠ADF＝90°，∴∠GAF＝90°，∴AG⊥AF，AG＝AF．16．（2021•张家界模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE（1）求证：△ABE≌△BCD；（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；（3）若CD＝1，试求△AED的面积．【解题思路】（1）由平行线的性质得出∠ABE+∠C＝180°，得出∠ABE＝90°＝∠C，再证出BE＝CD，由SAS证明△ABE≌△BCD即可；（2）由全等三角形的性质得出AE＝BD，证出∠ABF+∠BAE＝90°，得出∠AFB＝90°，即可得出结论；（3）由全等三角形的性质得出BE＝CD＝1，求出CE＝BC﹣BE＝1，得出CE＝CD，△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积，即可得出答案．【解答过程】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABE+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠C，∵E是BC的中点，∴BC＝2BE，∵BC＝2CD，∴BE＝CD，在△ABE和△BCD中，{AB=BC∠ABE=∠CBE=CD，∴△ABE≌△BCD（SAS）；（2）解：AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：由（1）得：△ABE≌△BCD，∴AE＝BD，∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AFB＝90°，∴AE⊥BD；（3）解：∵△ABE≌△BCD，∴BE＝CD＝1，∵AB＝BC＝2CD＝2，∴CE＝BC﹣BE＝1，∴CE＝CD，∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积=12（1+2）×2−12×2×1−12×1×1=3 2．17．（2020秋•台江区校级期中）如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC 于点F，AE＝BD．（1）求证：C是DE的中点；（2）求证：AB＝2CF．【解题思路】（1）过D 作DH ⊥AC 的延长线与H ，根据全等三角形的判定证得△AEF ≌△BDH ，得到EF ＝DH ，再证得△EFC ≌△DHC 得到CE ＝CD ，即可证得即可证得结论；（2）由（1）得，△AEF ≌△BDH ，△EFC ≌△DHC ，根据全等三角形的性质得到AF ＝BH ，CF ＝CH ，再根据线段的和差即可证得结论．【解答过程】证明：（1）过D 作DH ⊥AC 的延长线与H ，∴∠EFC ＝∠DHC ＝90°，在△AEF 和△BDH 中，{∠A =∠DBC ∠AFE =∠BHD =90°AE =BD，∴△AEF ≌△BDH （AAS ），∴EF ＝DH ，在△EFC 和△DHC 中，{∠FCE =∠HCD ∠EFC =∠DHC =90°EF =DH，∴△EFC ≌△DHC （AAS ），∴CE ＝CD ，∴C 是DE 的中点；（2）由（1）得，△AEF ≌△BDH ，△EFC ≌△DHC ，∴AF ＝BH ，CF ＝CH ，∴AB +BF ＝BF +FH ，FH ＝2FC ，∴AB ＝FH ，∴AB ＝2CF ．18．（2021春•铁岭月考）如图，△AOC 和△BOD 中，OA ＝OC ，OB ＝OD ，∠AOC ＝∠BOD ＝α（0＜α＜90°），AD 与BC 交于点P ．（1）求证：△AOD ≌△COB ；（2）求∠APC （用含α的式子表示）；（3）过点O 分别作OM ⊥AD ，ON ⊥BC ，垂足分别为点M 、N ，请直接写出OM 和ON 的数量关系．【解题思路】（1）由∠AOC ＝∠BOD ，可得∠AOD ＝∠COB ，然后根据SAS 可得结论；（2）根据全等三角形的性质得∠OAD ＝∠OCB ，再根据三角形外角性质可得答案；（3）根据全等三角形的性质得∠MAO ＝∠NCO ，由垂直定义得∠AMO ＝∠CNO ，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．【解答过程】解：（1）∵∠AOC ＝∠BOD ，∴∠AOC +∠COD ＝∠BOD +∠COD ，∴∠AOD ＝∠COB ，在△AOD 和△COB 中，{OA =OC ∠AOD =∠COB OD =OB，∴△AOD ≌△COB （SAS ）；（2）由（1）可知△AOD ≌△COB ，∴∠OAD ＝∠OCB ，令AD 与OC 交于点E ，则∠AEC ＝∠OAD +∠AOC ＝∠OCB +∠APC ，∴∠AOC ＝∠APC ，∵∠AOC ＝α，∴∠APC ＝α；（3）∵△AOD ≌△COB ，∴∠P AP ＝∠BCO ，即∠MAO ＝∠NCO ，∵OM ⊥AD ，ON ⊥BC ，∴∠AMO ＝∠CNO ＝90°，在△AOM 和△CON 中，{∠MAO =∠NCO ∠AMO =∠CNO OA =OC，∴△AOM ≌△CON （AAS ），∴OM ＝ON ．19．（2020秋•花都区月考）如图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，点P 在BD 的延长线上，CA ＝BP ，点Q 在CE 上，QC ＝AB ．（1）探究P A 与AQ 之间的关系；（2）若把（1）中的△ABC 改为钝角三角形，AC ＞AB ，∠A 是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论．【解题思路】（1）由条件可得出∠1＝∠2，可证得△APB ≌△QAC ，可得结论；（2）根据题意画出图形，结合（1）可证得△APB ≌△QAC ，可得结论．【解答过程】（1）结论：AP ＝AQ ，AP ⊥AQ 证明：∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∴BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠1+∠CAB ＝90°，∠2+∠CAB ＝90°， ∴∠1＝∠2，在△QAC 和△APB 中，{QC =AB ∠1=∠2CA =BP，∴△QAC ≌△APB （SAS ），∴AQ ＝AP ，∠QAC ＝∠P ，而∠DAP +∠P ＝90°，∴∠DAP +∠QAC ＝90°，即∠QAP ＝90°，∴AQ ⊥AP ；即AP ＝AQ ，AP ⊥AQ ；（2）上述结论成立，理由如下：如图所示：∵BD 、CE 是△ABC 的高，∴BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠1+∠CAE ＝90°，∠2+∠DAB ＝90°， ∵∠CAE ＝∠DAB ，∴∠1＝∠2，在△QAC 和△APB 中，{QC =AB ∠1=∠2CA =BP，∴△QAC ≌△APB （SAS ），∴AQ ＝AP ，∠QAC ＝∠P ，∵∠PDA ＝90°，∴∠P +∠P AD ＝90°，∴∠QAC +∠P AD ＝90°，∴∠QAP ＝90°，∴AQ ⊥AP ，即AP ＝AQ ，AP ⊥AQ ．20．（2020春•萍乡期末）在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是直线BC 上一点，以AD 为一边在AD 的右侧作△ADE ，使AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE ，设∠BAC ＝∠1，∠DCE ＝∠2．（1）如图①，当点D 在线段BC 上移动时，试说明：∠1+∠2＝180°；（2）如图②，当点D 在线段BC 的延长线上移动时，请猜测∠1与∠2有怎样的数量关系？并说明理由．【解题思路】（1）由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ACE ＝∠ABD ，由三角形的内角和定理可得结论；（2）由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ACE ＝∠ABD ，由三角形的内角和定理和平角的定义可得结论．【解答过程】证明：（1）∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠BAC +∠ABD +∠ACB ＝180°，∴∠BAC +∠ACB +∠ACE ＝∠BAC +∠BCE ＝180°，∴∠1+∠2＝180°；（2）∠1＝∠2，理由如下：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠BAC +∠ABD +∠ACB ＝180°，∠ACE +∠ACB +∠DCE ＝180°，∴∠1＝∠2．21．（2020春•揭阳期末）已知△ABC ，点D 、F 分别为线段AC 、AB 上两点，连接BD 、CF 交于点E ．（1）若BD ⊥AC ，CF ⊥AB ，如图1所示，试说明∠BAC +∠BEC ＝180°；（2）若BD 平分∠ABC ，CF 平分∠ACB ，如图2所示，试说明此时∠BAC 与∠BEC 的数量关系；（3）在（2）的条件下，若∠BAC ＝60°，试说明：EF ＝ED ．【解题思路】（1）根据余角的性质得到∠DEC ＝∠BAC ，由于∠DEC +∠BEC ＝180°，即可得到结论；（2）根据角平分线的性质得到∠EBC =12∠ABC ，∠ECB =12∠ACB ，于是得到结论；（3）作∠BEC 的平分线EM 交BC 于M ，由∠BAC ＝60°，得到∠BEC ＝90°+12∠BAC ＝120°，求得∠FEB ＝∠DEC ＝60°，根据角平分线的性质得到∠BEM ＝60°，推出△FBE ≌△EBM ，根据全等三角形的性质得到EF ＝EM ，同理DE ＝EM ，即可得到结论．【解答过程】解：（1）∵BD ⊥AC ，CF ⊥AB ，∴∠DCE +∠DEC ＝∠DCE +∠F AC ＝90°，∴∠DEC ＝∠BAC ，∠DEC +∠BEC ＝180°，∴∠BAC +∠BEC ＝180°；（2）∵BD 平分∠ABC ，CF 平分∠ACB ，∴∠EBC =12∠ABC ，∠ECB =12∠ACB ，∠BEC ＝180°﹣（∠EBC +∠ECB ）＝180°−12（∠ABC +∠ACB ）＝180°−12（180°﹣∠BAC ）＝90°+12∠BAC ；（3）作∠BEC 的平分线EM 交BC 于M ，∵∠BAC ＝60°，∴∠BEC ＝90°+12∠BAC ＝120°，∴∠FEB ＝∠DEC ＝60°，∵EM 平分∠BEC ，∴∠BEM ＝60°，在△FBE 与△EBM 中，{∠FBE =∠EBM BE =BE ∠FEB =∠MEB，∴△FBE ≌△EBM （ASA ），∴EF ＝EM ，同理DE ＝EM ，∴EF ＝DE ．22．（2020秋•淇滨区校级期中）（1）如图1所示，△ACB 和△ECD 都是等腰三角形，A 、C 、D 三点在同一直线上，连接BD 、AE ，并延长AE 交BD 于点F ，试判断AE 与BD 的数量关系及位置关系，并证明你的结论．（2）若△ECD 绕顶点C 顺时针转任意角度后得到图2，图1中的结论是否仍然成立？请说明理由．【解题思路】（1）根据SAS 推出△ACE ≌△BCD ，根据全等三角形的性质得出∠CAE ＝∠DBC ，根据∠ACB ＝90°求出∠CAE +∠AEC ＝90°，求出∠DBC +∠BEF ＝90°，根据三角形内角和定理求出∠BFE ＝90°即可；（2）根据SAS 推出△ACE ≌△BCD ，根据全等三角形的性质得出∠CAE ＝∠DBC ，根据∠ACB ＝90°求出∠CAE +∠AOC ＝90°，求出∠DBC +∠BOE ＝90°，根据三角形内角和定理求出∠BFO ＝90°即可．【解答过程】（1）AE ⊥BD ．证明：在△ACE 和△BCD 中{AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴∠CAE ＝∠DBC ，∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE +∠AEC ＝90°，∵∠CAE ＝∠DBC ，∠AEC ＝∠BEF ，∴∠DBC +∠BEF ＝90°，∴∠BFE ＝180°﹣90°＝90°，∴AE ⊥BD ；（2）解：结论还成立，理由是：∵∠ACB ＝∠ECD ，∴∠ACB +∠BCE ＝∠ECD +∠BCE ，即∠ACE ＝∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中{AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠DBC，∵∠ACB＝90°，∴∠CAE+∠AOC＝90°，∵∠CAE＝∠DBC，∠AOC＝∠BOE，∴∠DBC+∠BOE＝90°，∴∠BFO＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BD．23．（2020秋•蒙阴县期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时，①找出图中一对全等三角形；②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明．【解题思路】（1）根据余角和补角的性质易证得∠DAC＝∠ECB，已知∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝CB，根据全等三角形的判定AAS即可证明△ADC≌△CEB，根据各边的相等关系即可得DE＝AD+BE．（2）同理可证得△ADC≌△CEB，再根据各边的相等关系可得DE＝AD﹣BE．【解答过程】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°，∴∠DAC＝∠ECB；在△ADC和△CEB中，∠ADC＝∠CEB，∠DAC＝∠ECB，AC＝CB，∴△ADC≌△CEB（AAS）①，（7分）∴DC＝EB，AD＝CE，∴DE＝AD+BE．（9分）（2）解：同理可得△ADC≌△CEB①；（11分）∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝AD﹣BE②．（14分）24．（2018秋•环翠区期末）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，若∠EAF=12∠BAD，可求得EF、BE、FD之间的数量关系为BE+DF＝EF．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，若∠EAF=12∠BAD，判断EF、BE、FD之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【可借鉴第（1）问的解题经验】【解题思路】（1）线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF＝EF．如图1中，延长CB至M，使BM ＝DF，连接AM，利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）结论：EF+DF＝BE．如图2中，在BE上截取BM＝DF，连接AM，证明△ABM≌△ADF（SAS），推出AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，再证明△AEM≌△AEF（SAS），可得结论．【解答过程】解：（1）线段EF、BE、FD之间的数量关系是BE+DF＝EF．如图1，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC +∠D ＝180°，∠ABC +∠1＝180°，∴∠1＝∠D ，在△ABM 和△ADF 中，{AB =AD ∠1=∠D BM =DF，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AM ＝AF ，∠3＝∠2，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠4+∠4＝∠EAF ，∴∠GAM ＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF ，在△MAE 和△F AE 中，{AM =AF ∠MAE =∠FAE AE =AE，∴△MAE ≌△F AE （SAS ），∴EF ＝EM ，∵EM ＝BM +BE ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +FD ；故答案为：BE +DF ＝EF ．（2）结论：EF +DF ＝BE ．理由：在BE 上截取BM ＝DF ，连接AM ，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADE ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ，在△ABM 与△ADF 中，{BM =DF ∠ABM =∠ADF AB =AD，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AM ＝AF ，∠BAM ＝∠DAF ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠EAF ＝∠EAM ，在△AEM 与△AEF 中，{AM =AF ∠EAF =∠EAM AE =AE，∴△AEM ≌△AEF （SAS ），∴EM ＝EF ，即BE ﹣BM ＝EF ，即BE ﹣DF ＝EF ，∴EF +DF ＝BE ．25．（2021春•和平区期末）如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 在边AB 上，AB ＝4BD ，连接CD ，点E ，F 在线段CD 上，连接BF ，AE ，∠BFC ＝∠AEC ＝180°﹣∠ACB ．（1）①∠FBC 与∠ECA 相等吗？说明你的理由；②△FBC 与△ECA 全等吗？说明你的理由；（2）若AE ＝11，EF ＝8，则请直接写出BF 的长为 3 ；（3）若△ACE 与△BDF 的面积之和为12，则△ABC 的面积为 48 ．【解题思路】（1）①连接BC ，由已知及∠AEC ＝180°﹣∠AED ，可得到∠ACB ＝∠AED ．再证明∠CAE ＝∠BCF ，由三角形内角和定理可得∠FBC ＝∠ECA ；②利用“ASA ”证明△FBC ≌△ECA ；（2）由（1）中全等三角形的结论及已知可得到BF 的长；（3）由（1）中结论可得S △FBC ＝S △ECA ，所以S △ECA +S △BDF ＝12＝S △FBC +S △BDF ＝S △DBC ，根据AB ＝4BD ，可得到S △DBC =14S △ABC ＝12，从而可得△ABC 的面积．【解答过程】解：（1）①∠FBC ＝∠ECA ，理由如下：连接BC ，如右图．∵∠BFC ＝∠AEC ＝180°﹣∠ACB ，且∠AEC ＝180°﹣∠AED ，∴∠ACB ＝∠AED ．由外角定理可得∠AED ＝∠ACD +∠CAE ，又∠ACB ＝∠ACD +∠BCF ，∴∠CAE ＝∠BCF ，由三角形内角和定理可得∠FBC ＝∠ECA ．②△FBC 与△ECA 全等，理由如下：在△FBC 和△ECA 中，{∠FBC =∠ECA BC =CA ∠BCF =∠CAE，∴△FBC ≌△ECA （ASA ）．（2）由（1）中②可知，FC ＝AE ＝11，BF ＝CE ，又EF ＝8，∴CE ＝FC ﹣EF ＝11﹣8＝3，∴BF ＝3，故答案为：3．（3）由（1）中结论可知S△FBC＝S△ECA，∴S△ECA+S△BDF＝12＝S△FBC+S△BDF＝S△DBC，又AB＝4BD，∴S△DBC=14S△ABC＝12，∴S△ABC＝48．故答案为：48．26．（2020•岱岳区一模）已知∠ABC＝90°，点D是直线AB边上的点，AD＝BC．（1）如图1，点D在线段AB上，过点A作AF⊥AB，且AF＝BD，连接DC、DF、CF，试判断△CDF 的形状并说明理由；（2）如图2，点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，以上结论是否仍然成立？请说明理由．【解题思路】（1）利用SAS证明△F AD≌△DBC，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，即可判断三角形的形状；（2）利用SAS证明△F AD和△DBC全等，再利用全等三角形的性质得出FD＝DC，∠FDC＝90°，即可得出结论．【解答过程】（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AB，∴∠A＝90°，在△F AD和△DBC中，∵{AF=BD∠A=∠B=90°AD=BC，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴∠ADF＝∠BCD，DF＝DC，∵∠BDC+∠BCD＝90°，∴∠ADF+∠CDB＝90°，∴∠FDC＝180°﹣90°＝90°，又∵DF＝DC，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）仍然成立，理由如下：∵AF⊥AB，∴∠A＝90°，在△F AD和△DBC中，∵{AF=BD∠A=∠DBC=90°AD=BC，∴△F AD≌△DBC（SAS），∴∠ADF＝∠BCD，DF＝DC，∵∠BDC+∠BCD＝90°，∴∠ADF+∠BDC＝90°，即∠FDC＝90°，又∵DF＝DC，∴△CDF是等腰直角三角形．27．如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD．（1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由．（2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由．【解题思路】（1）延长AE ，BF 交于点F ，即可求证△ADE ≌△FCE ，即可求得CF ＝AD ，AB ＝BF ，即可求得AB ＝AD +BC ；（2）不成立，新的结论为：AB +BC ＝AD ．延长AE ，BF 交于点F ，可证△ADE ≌△FCE 和AB ＝BF ，即可解题．【解答过程】解：（1）延长AE ，BF 交于点F ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵AD ∥BC ，∴∠AFB ＝∠DAF ，∴AB ＝BF ，在△ADE 和△FCE 中，{∠DAE =∠EFC ∠AED =∠FEC DE =CE，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ，∵BF ＝BC +CF ，∴AB ＝BC +AD ；（2）不成立，新结论为：AB ＝AD ﹣BC ．延长AE ，BF 交于点F ，证明：∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAF ＝∠DAF ，∵AD ∥BC ，∴∠AFB ＝∠DAF ，∴AB ＝BF ，在△ADE 和△FCE 中，{∠DAE =∠EFC ∠AED =∠FEC DE =CE，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ，∵BF +BC ＝CF ，∴AB +BC ＝AD ．28．（2021春•章丘区期末）如图，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB ，E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CF A ＝α．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上．①如图1，若∠BCA ＝90°，α＝90°，则BE ＝ CF ；②如图2，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件 α+∠BCA ＝180° ，使①中的结论们然成立，并说明明理由；（2）如图3，若线CD 经过∠BCA 的外部，a ＝∠BCA ，请提出关于EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．【解题思路】（1）由∠BCA ＝90°，∠BEC ＝∠CF A ＝α＝90°，可得∠CBE ＝∠ACF ，从而可证△BCE ≌△CAF ，故BE ＝CF ．（2）若BE ＝CF ，则可使得△BCE ≌△CAF ．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，△BCE ≌△CAF 便可得证．（3）题干已知条件可证△BCE ≌△CAF ，故BE ＝CF ，EC ＝F A ，从而可证明EF ＝BE +AF ．【解答过程】解：（1）∵∠BEC ＝∠CF A ＝α＝90°，∴∠BCE +∠CBE ＝180°﹣∠BEC ＝90°．又∵∠BCA ＝∠BCE +∠ACF ＝90°，∴∠CBE ＝∠ACF ．在△BCE 和△CAF 中，{∠BEC =∠CFA ，∠CBE =∠ACF ，BC =AC ．∴△BCE ≌△CAF （AAS ）．∴BE ＝CF ．（2）α+∠BCA ＝180°，理由如下：∵∠BEC ＝∠CF A ＝α，∴∠BEF ＝180°﹣∠BEC ＝180°﹣α．又∵∠BEF ＝∠EBC +∠BCE ，∴∠EBC +∠BCE ＝180°﹣α．又∵α+∠BCA ＝180°，∴∠BCA ＝180°﹣α．∴∠BCA ＝∠BCE +∠ACF ＝180°﹣α．∴∠EBC ＝∠FCA ．在△BCE 和△CAF 中，{∠CBE =∠ACF ，∠BEC =∠CFA ，BC =CA ．∴△BCE ≌△CAF （AAS ）．∴BE ＝CF ．（3）EF ＝BE +AF ，理由如下：∵∠BCA ＝α，∴∠BCE +∠ACF ＝180°﹣∠BCA ＝180°﹣α．又∵∠BEC ＝α，∴∠EBC +∠BCE ＝180°﹣∠BEC ＝180°﹣α．∴∠EBC ＝∠FCA ．在△BEC 和△CF A 中，{∠EBC =∠FCA ，∠BEC =∠FCA ，BC =CA ．∴△BEC ≌△CF A （AAS ）．∴BE ＝CF ，EC ＝F A ．∴EF ＝EC +CF ＝F A +BE ，即EF ＝BE +AF ．29．（2020春•南岸区期末）在∠MAN 内有一点D ，过点D 分别作DB ⊥AM ，DC ⊥AN ，垂足分别为B ，C ．且BD ＝CD ，点E ，F 分别在边AM 和AN 上．（1）如图1，若∠BED ＝∠CFD ，请说明DE ＝DF ；（2）如图2，若∠BDC ＝120°，∠EDF ＝60°，猜想EF ，BE ，CF 具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【解题思路】（1）根据题目中的条件和∠BED ＝∠CFD ，可以证明△BDE ≌△CDF ，从而可以得到DE ＝DF ；（2）作辅助线，过点D 作∠CDG ＝∠BDE ，交AN 于点G ，从而可以得到△BDE ≌△CDG ，然后即可得到DE ＝DG ，BE ＝CG ，再根据题目中的条件可以得到△EDF ≌△GDF ，即可得到EF ＝GF ，然后即可得到EF ，BE ，CF 具有的数量关系．【解答过程】解：（1）∵DB ⊥AM ，DC ⊥AN ，∴∠DBE ＝∠DCF ＝90°，在△BDE 和△CDF 中，∵{∠BED =∠CFD ，∠DBE =∠DCF ，BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）．∴DE ＝DF ；（2）EF ＝FC +BE ，理由：过点D 作∠CDG ＝∠BDE ，交AN 于点G ，在△BDE 和△CDG 中，{∠EBD =∠GCD BD =CD ∠BDE =∠CDG，∴△BDE ≌△CDG （ASA ），∴DE ＝DG ，BE ＝CG ．∵∠BDC ＝120°，∠EDF ＝60°，∴∠BDE +∠CDF ＝60°．∴∠FDG ＝∠CDG +∠CDF ＝60°，∴∠EDF ＝∠GDF ．在△EDF 和△GDF 中，{DE =DG ∠EDF =∠GDF DF =DF，∴△EDF ≌△GDF （SAS ）．∴EF ＝GF ，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．30．（2021春•揭东区期末）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，直线AE与BD交于点F．（1）如图1，求证：△ACE≌△DCB．（2）如图1，若∠ACD＝60°，则∠AFB＝120°；如图2，若∠ACD＝90°，则∠AFB＝90°；（3）如图3，若∠ACD＝β，则∠AFB＝180°﹣β（用含β的式子表示）并说明理由．【解题思路】（1）求出∠ACE＝∠DCB，根据SAS证出两三角形全等即可；（2）根据全等三角形性质得出∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，求出∠EAB+∠DBA＝∠ACD，∠AFB ＝180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可；（3）根据全等三角形性质得出∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，求出∠EAB+∠DBA＝∠ACD，∠AFB ＝180°﹣（∠EAB+∠DBC），代入求出即可．【解答过程】（1）证明：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△DCB中∵{AC=CD∠ACE=∠DCB CE=CB，∴△ACE≌△DCB；（2）解：∵∠ACD＝60°，∴∠CDB+∠DBC＝∠ACD＝60°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，∴∠CAE+∠DBC＝60°，∴∠AFB＝180°﹣60°＝120°；当∠ACD＝90°时，∵∠ACD＝90°，∴∠CDB+∠DBC＝∠ACD＝90°，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，∴∠CAE+∠DBC＝90°，∴∠AFB＝180°﹣90°＝90°；故答案为：120°，90°；（3）解：当∠ACD＝β时，∠AFB＝180°﹣β，理由是：∵∠ACD＝β，∴∠CDB+∠DBC＝∠ACD＝β，∵△ACE≌△DCB，∴∠AEC＝∠DBC，∠CDB＝∠CAE，∴∠CAE+∠DBC＝β，∴∠AFB＝180°﹣（∠CAE+∠DBC）＝180°﹣β；故答案为：180°﹣β．。
初三证明题练习题及答案
初三证明题练习题及答案1. 已知直角三角形ABC中，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求证：∠B = 90°。
证明：首先，我们知道直角三角形的定义是其中一个角为90°。
所以，我们需要证明∠B = 90°。
假设∠B ≠ 90°，即角B为锐角或钝角。
若∠B为锐角，则根据三角形内角和为180°的性质，∠A + ∠B + ∠C = 180°，因为∠B是一个锐角，所以∠A + ∠C > 90°。
但根据余弦定理，我们可以计算出AB^2 + BC^2 = AC^2：3^2 +4^2 = 9 + 16 = 25 = AC^2。
然而，当∠A + ∠C > 90°时，对于一个给定的直角三角形，AC的长度必定大于5（根据三角不等式），但根据计算结果AC = 5。
这与实际情况不符，所以假设不成立，∠B不能是一个锐角。
若∠B为钝角，则根据三角形内角和为180°的性质，∠A + ∠B + ∠C = 180°，因为∠B是一个钝角，所以∠A + ∠C < 90°。
但根据余弦定理，我们可以计算出AB^2 + BC^2 = AC^2：3^2 +4^2 = 9 + 16 = 25 = AC^2。
然而，当∠A + ∠C < 90°时，对于一个给定的直角三角形，AC的长度必定小于5（根据三角不等式），但根据计算结果AC = 5。
这同样与实际情况不符，所以假设不成立，∠B不能是一个钝角。
综上所述，假设∠B ≠ 90°不成立，所以∠B = 90°，即三角形ABC 是一个直角三角形。
2. 已知直角三角形ABC中，AC = 5 cm，BC = 12 cm，求证：AB = 13 cm。
证明：为了证明AB = 13 cm，我们可以利用勾股定理。
根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形相关计算与证明练习题
姓名：
☆1、如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，
四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则
AC的长为（）
A．
B．4cm C
．D．
☆2、如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿AB方向平移到△EBD的位置，点D在BC
上，已知△AEF的面积为5，则图中阴影部分的面积为．
1题2题3题
☆3、如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落
在C′处，连接BC′，那么BC′的长为．
☆☆4、如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；
②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是．
4题5题6题
☆5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 900, AB = 8cm , BC = 6cm , 分别以A,C为圆心，以
AC
2
的长为半径作圆, 将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为
cm2（结果保留π）
6、在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP 的最小值是 .
7、如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD
=3，则EF的长是
7题8题
8、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AB，E为垂足，
BE=2AE，若四边形AECD的面积为1，则梯形ABCD的面积为．
9、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC
的延长线上，且∠CBF=
1
2
∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（
2）若AB=5，sin∠BC和BF的长．
10、如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD
于点E，交CB于点F
（1
）求证：CE=CF．
A
D
E
O
（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．
11、如图7，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．求证：AM＝AN．12、已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．
13、如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；
（2）若BF=EF，求证：AE=AD．
图7。