数学分析第十八章隐函数定理及其应用复习

一、( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:

ⅰ> 函数在以为内点的某一区域D上连续 ;

ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 )

ⅲ> 在D内存在连续的偏导数;

ⅳ> .

则在点的某邻域()D内 , 方程唯一地确定一个定义在

某区间内的隐函数, 使得

⑴,时()且

.

⑵函数在区间内连续 .

二、隐函数可微性定理:

Th 2 设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D内

存在且连续 . 则隐函数在区间内可导 , 且

. ( 证 )

例1 验证方程

在点

满足隐函数存在唯一性定

理的条件 , 并求隐函数的导数 . P149例1 例2

. 其中

为由方程

所确定的隐函

数 . 求

. P150例2 ( 仿 )

例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数

在点

的某邻域内有连续的导函数

, 且

, . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数（后面的例题P162）

.

0),()

,(

(iv);, (iii));0(),,,( 0,),,,( (ii);

),,,(),,,(),,,( (i) :

00000000400000≠∂∂===⊂P v u G F J G F V v u y x G v u y x F R V v u y x P v u y x G v u y x F 具有一阶连续偏导数内在初始条件内连续为内点的区域在以和若满足下列条件隐函数组定理)( 18.4 定理

性质三：雅可比

.

)

,()

,(1

,),(),(1,

),()

,(1

,),(),(1

,)()),(),,0y u G F J

y v v y G F J

y u x u G F J x v v x G F J

x u Q U y x g y ∂∂-

=∂∂∂∂-=∂∂∂∂-

=∂∂∂∂-=∂∂且内有一阶连续偏导数在

并求其偏导数数附近能确定怎样的隐函在讨论方程组

,)2,1,1,2(

,01),,,(,0),,,( 0222P xy v u v u y x G y x v u v u y x F ⎩⎨

⎧=+-+-==--+= 例1

;

)2,1,1,2(,1,1 ,, ,2,2,1,2 3 ;

0)()( 2 ;)2,1,1,2(, 1 0o 00o 0o 的邻域内连续在的邻域内连续在解：P G G x G y G v F u F F x F P G P F P G F v u y x v u y x =-=-=-===-=-===

:

6!

2!2!

4)2,1,1,2(4 240o 个雅克比式处在=⋅=C P

.01

144 ),()

,(,

0,61

14

2

),()

,( 00

0=--=∂∂≠=-==∂∂P P v

u

v u P v x G F G G F F v u G F 仅

. ,,,)2,1,1,2(0变量的隐函数变量可以作为其余两个任何两个的隐函数外难以确定为附近除在u y v x P

⎪⎩

⎪

⎨⎧===.cos ,

sin sin ,

cos sin ),,(),,(θϕθϕθϕθr z r y r x r z y x 之间的变换公式

与球坐标讨论直角坐标 例4

几何应用

平面曲线的切线和法线；

.0))(,())(,( ),

()

,()

,( :000000000000=-+---

=-y y y x F x x y x F x x y x F y x F y y y x y x 即则切线方程

,0))(,())(,( ),

()

,(),(:000000000000=----=

-y y y x F x x y x F x x y x F y x F y y x y x y 即法线方程

空间曲线的切线和法平面；

,0))(,())(,( ),

()

,(),(:000000000000=----=

-y y y x F x x y x F x x y x F y x F y y x y x y 即法线方程

)

6( .0))(())(())(( :000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x 法平面方程

曲面的切平面和法线。

1),,(),,(),,(),,(

:0

00000000000000--=

--=--z z z y x F z y x F y y z y x F z y x F x x z y z x 法线方程

,

0))(,,())(,,())(,,(:

,000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 切平面方程写为

.

)1,2(09)(2 33处的切线和法线在点求笛卡儿叶形线

=-+xy y x 例1

.

012)1,2(015)1,2( 96),(,96),(,9)(22233≠-=≠=-=-=-+=y x y x F F x y y x F y x y x F xy y x F ，全平面连续，在解：

.0645,0)1(12)2(51 :=--=---y x y x 即切线方程.01354 ,0)1(15)2(21 :=-+=----y x y x 即法线方程 处的切线和法线方程在求：)2,2(4 22--=+y x 练习1

.

04)2,2(04)2,2( 2,2,4222≠-=--≠-=--==-+=y x y x F F R y F x F y x F ，上连续，在解： 0)2(4)2(4 =+-+-y x 切线方程： .0 =-y x 方程：法线

平面方程

处的切线和法在求螺旋线：3,sin ,cos π====t bt z t a y t a x 练习2