洛伦兹变换的详细推导

第三节 洛伦兹变换式

教学内容：

1. 洛伦兹变换式的推导；

2. 狭义相对论的时空观：同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓； 重点难点：

狭义相对论时空观的主要结论。 基本要求：

1. 了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；

2. 了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；

3. 理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导

()()⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧--='='='--='

222

11c v c vx t t z z y y c v vt x x 或 ()()⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨

⎧

-'+'='='=-'+'=2

22

11c v c x v t t z z y y c v t v x x

据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。

1. 时空坐标间的变换关系

作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。

对于任意事件P 在S 系和S '系中的时空坐标(x ，y ，z ，t )、(x '，y '，z '，t ')，因S ' 相对于S 以平行于 x 轴的速度v 作匀速运动，显然有y '=y , z '=z 。

在S 系中观察S 系的原点，x =0；在S '系中观察该点，

x '=-v t '，即x '+v t '=0。因此x =x '+v t '。

在任意的一个空间点上，可以设：x =k （x '+v t '），k 是—比例常数。

同样地可得到：x '=k '（x -v t ）= k '（x +(-v )t ）

根据相对性原理，惯性系S 系和S '系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k =k '。

2. 由光速不变原理可求出常数k

设光信号在S 系和S '系的原点重合的瞬时从重合点沿x 轴前进，那么在任一瞬时t （或t '），光信号到达点在S 系和S '系中的坐标分别是：x =c t , x '=c t '，则：

t t c x x '='2

()()()()t v t c vt ct k t v x vt x k '+'-='+'-=22

()222v c t t k -'=

由由此此得得到

到

()22211

c v v c c k -=

-=。。

这样，就得到

()

2

1c v vt x x --=

'，

()

2

1c v t v x x -'+'=

。由上面二式，消去x '

得到()

2

21c v c vx t t --=

'；若消去x 得到()

2

21c v c x v t t -'+'=

，综合以上结果，

就得到 洛仑兹变换， 或 洛仑兹反变换

()()⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧--='='='--='

222

11c v c vx t t z z y y c v vt x x ()()⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧

-'+'='='=-+'=222

11c v c x v t t z z y y c v vt x x

可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。

3. 讨论

（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。

（2）当|v /c |<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形—低速极限。

四、相对论速度变换公式

洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。

设物体在S 、S '系中的的速度分别为()z y

x

u u

u ,,，

()

z y x u u u ''',,，根据洛仑兹变

换式可得：

()()()()()2

22111c v dt

v u c v dt v dt dx c v vdt

dx x d x --=--=--=

'

()

()

()

2

2

2

2111c v c vu dt c v c vdx dt t d x --=

--=

'

因此：

()()

(

)

()

2

2

2111c v c vu dt c v dt v u t d x d x x ----=

''，即：

2

1c vu v

u u x x x --=

'

因y '=y , z '=z ，有d y '=d y , d z '=d z 则

()

()

22

11c v c vu dt dy

t d y d x --=''，即

()2

2

11c vu c v u u x y y --=

'。同理：()

2

2

11c vu c v u u x z z --='

因此得相对论的速度变换公式：

2

1c vu v

u u x x x --=

'、

()2

2

11c vu c v u u x y y --=

'、

()2

2

11c vu c v u u x z z --='

其逆变换为：

21c u v v u u x x x '++'=、

()2

211c u v c v u u x y y '+-'=、

()2

2

11c u v c v u u x z z '+-'=。

讨论

（1）当速度u 、v 远小于光速c 时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式v

u u x x -='。

（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c 。

证明：设S '系中观察者测得沿x ' 方向传播的一光信号的光速为c ，在S 系中的观察者

测得该光信号的速度为：c c vc v c u x =++=2

1，即光信号在S 系和S '系中都相同。