福建省厦门双十中学高三数学热身考试试卷 理 新人教A版
福建省厦门双十中学高三数学热身考试 理 新人教版【会员独享】
厦门双十中学2010届高三数学（理）热身考试卷一、选择题1．集合{3,2},{,}a M N a b ==，a,b 为实数，若{2}M N =则M∪N=（ ）A ．{0,1,2}B ．{0,1,3}C ．{0,2,3}D ．{1,2,3}2．设复数z 满足zi21+=i ，则 z = （ ） A ．-2+i B ．-2-i C ．2+i D ．2-i3．定积分2x11(e )dx x+⎰的值为，则 （ ）A ．234e e -+B ．2ln 2e e +-C ．(1)ln 2e e -+D ．2ln 2e e ++4．数列1111424816，8，16，32，，的前n 项和为（ ）A ．1221n n +--- B ．2223n n +---C ．1221n n +-+-D ．11221n n +----5．函数()ln y x x =-与ln y x x =的图象关于（ ）A ．直线y x =对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称6.已知三个正态分布密度函数22()21()i i x i x μσϕ--=（x ∈R ，123i =，，）的图象如下所示，则（ ）A ．123μμμ<=，123σσσ=>B ．123μμμ>=，123σσσ=<C ．123μμμ=<，123σσσ<=D ．123μμμ<=，123σσσ=<7. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）。
为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，每隔500元一段要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出的人数为 （ ） A ．20 B ．25C ．35D ．458．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f xx 在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的图像是（ ）9．O 为ΔABC 的内切圆圆心，且AB=5,BC=4,CA=3，下列结论中正确的是（ ）A ．∙<∙<∙ B. ∙>>∙∙ C ．∙=∙=∙ D. ∙<∙=∙10．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ,设两条直线l 1：ax ＋b y ＝2，l 2：x ＋2y ＝2平行的概率为P 1，相交的概率为P 2， 试问点（P 1，P 2）与直线l 2：x ＋2y ＝2的位置关系是（ ） A ．P 在直线l 2的右下方 B ．P 在l 2直线的左下方 C ．P 在直线l 2的右上方 D ．P 在直线l 2上 二、填空题 11．542()x x -的二项展开式中，常数项的值是 .12．设0＜θ＜π2，已知12cos a θ=，*1)n a n N +=∈,猜想n a ＝________．13．如图，是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为a 2的等腰三角形俯视图是半径为a 的半圆，则该几何体的表面积是 ．14．按如图所示的程序框图运算，若输出2k =，则输入x 的取值范围是______15．随着科学技术的不断发展，人类通过计算机已找到了630万位的最大质数。
福建省厦门双十中学2020届高三数学5月热身卷 理 新人教A版
福建省厦门双十中学高三数学（理）热身卷一、选择题：本大题共10小题-每小题5分-共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数z 满足(13)1i z i =+，则z =（ ）A ．2-B 2C 2D ． 2 2．已知直线过定点（－1，1），则“直线的斜率为0”是“直线与圆122=+y x 相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 设等差数列{}n a 的前n 项和146,11,6n S a a a =-+=-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.94．若1()2nx x -的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（ ）A ．164-B ．132C ．164D ．11285．设偶函数)sin()(ϕω+=x A x f （,0>A )0,0πϕω<<>的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML =90°，KL ＝1，则1()6f 的值为( )A. 43-B. 14-C. 12- D. 436．设O 为坐标原点，(1,1)A ，若点(,)B x y 满足2210101x y x y ⎧+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则OA OB u u u r u u u r g取得最小值时，点B 的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.无数个 7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友l 本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种8．某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧 则该几何体的体积为（ ） A ．63π+ B ．23π+ C ．362π+D ． 322π+ 9．已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，且满足()()sin sin sin sin sin sin =-++-++AB BB A A ，则点O 在（ ）．A .AB 边上 B .AC 边上 C .BC 边上D .ABC ∆内心10．设非空集合{}S x m x n =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下三个命题：①若1,m =则{}1S =； ②若1,2m =-则114n ≤≤； ③若1,2n =则202m -≤≤． 其中正确的命题的个数为（ ）A.①B.①②C.②③D.①②③二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清-模棱两可均不得分．11．输入x=2，运行下面的程序输出的结果为 。
福建省厦门双十中学2023届高三高考适应性考试数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知为幂函数且，则（ ）A．B．C．D．2. 若集合，，则A．B．C．D．3. 已知复数，则共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 在边长为1的等边△ABC 中，设，，，则（ ）A．B ．0C．D ．35. 大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法中不正确的是（）A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一B ．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个C ．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元D ．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元6. 已知，则（ ）A．B．C．D．7.已知，则（ ）A．B．C．D．8. 在四棱锥中，平面，，点M是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为．当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）．A．B．C．D．9. 已知正方体的棱长为2，棱的中点分别为E ，F ，点G在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是（ ）A ．若存在λ使得，则B．若，则平面C．三棱锥体积的最大值为2D．二面角的余弦值为10. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（ ）福建省厦门双十中学2023届高三高考适应性考试数学试题(2)福建省厦门双十中学2023届高三高考适应性考试数学试题(2)三、填空题四、解答题A ．的倾斜角等于B ．在轴上的截距等于C ．与直线垂直D ．上的点与原点的距离最小值为11. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）A．甲得钱是戊得钱的倍B．乙得钱比丁得钱多钱C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱12. 从装有5只红球､5只白球的袋中任意取出3只球，下列各对事件为对立事件的有（ ）A ．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”B ．“取出3只红球”与“取出的3只球中至少有1只白球”C ．“取出3只红球”与“取出3只白球”.D ．“取出的3只球中至少有2只红球”与“取出的3只球中至少有2只白球”13. 函数的图像在处的切线方程为_____.14. 已知，则___________.15.如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．16.已知由个数构成的有序数组，如果恒成立，则称有序数组为“非严格差增数组”.(1)设有序数组，试判断是否为“非严格差增数组”？并说明理由；(2)若有序数组为“非严格差增数组”，求实数的取值范围.17. 学校为提升高一年级学生自主体育锻炼的意识，拟称每周自主进行体育锻炼的时间不低于6小时的同学称为“体育迷”并予以奖励，为了确定奖励方案，先对学生自主体育锻炼的情况进行抽样调查，学校从高一年级随机抽取100名学生，将他们分为男生组、女姓组，对每周自主体育锻炼的时间分段进行统计（单位：小时）第一段，第二段，第三段，第四段，第五段．将男生在各段的频率及女生在各段的频数用折线图表示如下：(1)求折线图中m 的值，并估计该校高一年级学生中“体育迷”所占的比例；(2)填写下列列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“体育迷”与学生的性别有关？体育迷非体育迷合计男女合计附：0.0500.0100.0013.841 6.63510.828(3)若中学生每周自主体育锻炼的时间不低于5小时，才能保持身体的良好健康发展，试估计该校高一年级学生的周平均锻炼时间是否达到保持身体良好健康发展的水平？（同一段中的数据用该组区间的中点值代表）18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.19. 已知首项为4的数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．20.已知双曲线的离心率为，点，分别是其左右焦点，过点的直线交双曲线的右支于P，A两点，点P在第一象限.当直线PA的斜率不存在时，.(1)求双曲线的标准方程.(2)线段交圆于点B，记，，的面积分别为S1，S2，S，求的最小值.21. 已知数列的前n项和为，且满足，，．(1)求数列的通项公式；(2)令，记中所有的项构成的集合为，中所有的项构成的集合为B，将中的所有元素从小到大依次排列得到数列，求的前50项的和．。
福建省厦门双十高三数学第一次月考理新人教A版
俯视图高三第一次月考 数学试题（理科）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误．．的是 （ ） A ．→--AB ＝→--DCB ．→--AD ＋→--AB ＝→--ACC ．→--AB －→--AD ＝→--BDD ．→--AD ＋→--CB ＝→0 2．函数y=)23(log 21-x 的定义域是（ ）A ．［1，+∞）B ．（32,+∞）C ．［32，1］D ．（32,1］3．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ）ABC D ．83 4．已知向量,a b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3a b-等于（ ）A B C D ．45．已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥-3D ．a ≤-36．设函数⎩⎨⎧<--≥+=1,22,1,12)(2x x x x x x f 若1)(0>x f ，则0x 的取值范围 （ ）A ．),1()1,(+∞--∞B ．[)+∞--∞,1)1,(C ．),1()3,(+∞--∞D ．[)+∞--∞,1)3,( 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线B 1C 和C 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．2B ．12C ．—2D ．—128．定义21---=⊗ka ab b a ，则方程x x ⊗=0有唯一解时，实数k 的取值范围是 （ ） A ．}5,5{- B ．]2,1[]1,2[ --C ．]5,5[-D ．]5,1[]1,5[ --9．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2011）的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．210．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ）A ．[1，4]B ．[2，4]C ．[3，4]D ．[2，3]第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置． 11．函数176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在[]1,3-∈x 上的值域为 ．12．设非零向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ． 13．已知集合{}20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[-1，1]上至少存在一个实数c使f （c ）>0，则实数p 的范围 ．15．已知βα,是平面，n m ,是直线，则下列命题中正确．．的是 ． 若m ∥α⊥m n ,，则α⊥n ○2若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥n若⊥m βα⊥m ,，则α∥β ○4若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ16．研究问题：“已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>+-a bx cx ”，有如下解法：解：由02>+-c bx ax ⇒0)1()1(2>+-xc x b a ，令x y 1=，则)1,21(∈y ， 所以不等式02>+-a bx cx 的解集为)1,21(．参考上述解法，已知关于x 的不等式0<++++cx bx a x k 的解集为)3,2()1,2( --，则关于x 的不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解集为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。
福建省厦门双十中学2022届高三下学期高考热身考试数学试题
一、单选题1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．82. 在双曲线中，称离心率等于的双曲线为黄金双曲线，则下列双曲线中，是黄金双曲线的为A．B．C．D．3. 已知F 是抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点，过点R (2，1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点.若|FA |+|FB |=5，则直线l 的斜率为（ ）A ．3B ．1C ．2D．4. 1.按分层抽样的方法,从个相同的红球和个相同的黑球中抽出个球排成一排,则不同的排列方法为（ ）A．B．C．D．5. 函数的部分图像如图所示，图像与y 轴交于M 点，与x 轴交于C 点，点N 在图像上，且点C 为线段MN 的中点，则下列说法中正确的是（）A．函数的最小正周期是B．函数的图像关于轴对称C ．函数在单调递减D ．函数的图像上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移后，图像关于y 轴对称6. 我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（ ）A ．样本中的男生数量多于女生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C ．对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D ．对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数7. 三个不互相重合的平面将空间分成个部分，则不可能是（ ）A．B．C．D．福建省厦门双十中学2022届高三下学期高考热身考试数学试题福建省厦门双十中学2022届高三下学期高考热身考试数学试题二、多选题三、填空题四、解答题8. 已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）A．B．C．D．9. 点O 在所在的平面内,则以下说法正确的有A ．若,则点O 为的重心B ．若,则点O 为的垂心C．若,则点O 为的外心D．若,则点O 为的内心10.已知直线，则（ ）A．直线过定点B．当时，C ．当时，D．当时，两直线之间的距离为111. 如图，在棱长为1的正方体中，M ，N 分别是，的中点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（）A．一定是异面直线B ．存在点，使得C ．直线与平面所成角的正切值的最大值为D ．过M ，N ，P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为12.已知数列满足（其中，q为非零常数，），则下列说法正确的是（ ）A ．若，则不是等比数列B ．若，则既是等差数列，也是等比数列C ．若，则是递减数列D ．若是递增数列，则13. 直线：与，轴的交点分别是，，与函数，的图像的交点分别为，，若，是线段的三等分点，则的值为________.14.的展开式中，含项的系数为______（用数字作答）.15. 的展开式中含项的系数为______.16. 某市拟兴建九座高架桥，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：年龄段支持保留不支持40岁以下（含4045060140岁）40岁以上15013070(1)在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有多少被抽取；(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在40岁以上的概率.17. 芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素.根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据统计如下：（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（2）根据折线图的数据，求关于的线性回归方程（系数精确到整数部分）；（3）为鼓励科技创新，当研发技术投入不少于15亿元时，国家给予公司补贴4亿元，预测当芯片的研发投入为16亿元时公司的实际收益.附：样本的相关系数，线性回归方程中的系数，，当时，两个变量间高度相关.参考数据：，，.18. 数列满足.(1)求的值；(2)设，证明是等差数列.19. 记为等差数列的前项和，已知，为与的等比中项．(1)求数列的通项公式．(2)若，求数列的前项和．20. 已知函数的最小值为-1.(1)求实数；(2)证明：.21. 已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证恒成立.。
福建省厦门双十中学高三数学12月月考题 理 新人教A版
福建省厦门双十中学高三数学12月月考题 理 新人教A 版【会员独享】数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设向量"//""2"),3,1(),1,1(b a x x b x a 是则=+=-=的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知点P 是曲线C:321yx x 上的一点，过点P 与此曲线相切的直线l 平行于直线23yx ，则切线l 的方程是（ ）A ．12+=x yB ．y=121+-x C ．2y x D ．21y x 或2y x3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任一点O ，OC OB OA x OM 3121++= 则x 的值为（ ） A ．0B ．31C ．21D ．61 4．函数xx x f 1lg )(-=的零点所在的区间是（ ） （A ）（0，1）（B ）（1，10） （C ）（10，100） （D ）（100，+∞）5．已知变量)5(log ,003202,2++=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-y x z x y x y x y x 则满足的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．86．如果数列103*,8,,)}({a a a a a N n m R a a n m n m n n 那么且满足对任意=⋅=∈∈+等于（ ） A ．256 B ．510 C ．512 D ． 1024 7．在下列三个命题中（1） 命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题; （2），满足,则该函数是 周期为4的周期函数;（3）命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥， 命题2:,10,q x R x x ∃∈++< 则p q ∨为真; （4）“a+b =2”是“直线x+y=0与圆2)()(22=-+-b y a x 相切”的必要不充分条件. 其中错误的．．．个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．设斜率为1的直线l 与椭圆124:22=+y x C 相交于不同的两点A 、B ，则使||AB 为整数的直线l 共有（ ） A ．4条 B ．5条 C ．6条 D ．7条9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．1010．对于函数2()2f x x x =+在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值max1M =-叫做2()2f x x x =+的下确界，则对于正数,a b ，222()a b a b ++的下确界（ ） A ．4 B ．2 C ．14 D ．12第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.将答案填在题中横线上.11. 已知1),0,0(1212222=+>>=+ny m x mn n m n m 取得最小值时，椭圆则当的离心率是 .12. 平面内有两定点A ，B ，且|AB|=4，动点P 满足4||=+PB PA ，则点P 的轨迹是 .13. 已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |=3,|BC |=4，|CA |=5,则AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于 .14．如图，在空间直角坐标系中的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，棱长为1，已知B 1E 1=D 1F 1=.4311B A 则BE 1与DF 1所成的角的余弦值为 .15. 已知F 是双曲线221412y x-=的左焦点，定点A （1，4），P 是双曲线右支上的动点，则||||PF PA +的最小值为_________.16. 三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ． 三、解答题:本大题共6小题,共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知集合}0,|2||{><-=a a x x A ，集合}1|322|{<+-=x x x B . （Ⅰ）若1a，求B A ⋂；（Ⅱ）若A ⊂≠B ，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱AA 1=2。
福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题
一、单选题1. 下列判断不正确的是（ ）A ．“若，互为相反数，则”是真命题B ．“，”是特称命题C ．若，则x ，y 都不为0D ．“且”是“”的充要条件2. 下列函数中既是偶函数又在上单调递减的函数是（ ）A．B．C．D．3. 将函数的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴的方程为A．B．C．D．4. 已知以直线为渐近线的双曲线，经过直线与直线的交点，则双曲线的实轴长为（ ）．A ．6B．C．D ．85.是评估空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即月均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.某地区2020年1月至12月的月均值(单位：)的统计数据如图所示，则下列叙述不正确的是（）A ．该地区一年中空气质量超标的月份只有1个月B ．该地区一年中月均值2月到7月的方差比8月到11月的方差大C ．该地区上半年中月均值的平均数约为61.83D ．该地区从2月份到7月份值持续增加6. 已知总体划分为若干层，通过分层随机抽样，其中某一层抽取的样本数据为，，…，，其平均数和方差分别为，．记总的样本平均数为，则（ ）．A．B．C．D．7. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（ ）A ．172B ．183C ．191D ．2118.（ ）福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题二、多选题A．B ．1C．D．9. 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（以下称合格考）和选择性考试（以下称选择考），其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某试点高中2019年参加“选择考”的总人数是2017年参加“选择考”的总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，现统计了该校2017年和2019年“选择考”的成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2019年与2017年相比，下列说法正确的是（ ）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数增加了一半D ．获得E 等级的人数相同10. 双曲线具有如下光学性质：如图是双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点.若双曲线的方程为，则（）A．双曲线的焦点到渐近线的距离为B．若，则C ．当过点时，光线由所经过的路程为8D ．反射光线所在直线的斜率为，则11. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（）A ．若，则B ．若平面与平面的交线为，则AC //l C．三棱柱的外接球的表面积为D ．当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为三、填空题四、解答题12. 已知椭圆的上顶点为，两个焦点为，离心率为．过且垂直于的直线与交于两点，若的周长是26，则（ ）A．B．C ．直线的斜率为D．13.不等式的解集是 _____.14. 已知x，，且，则的最大值为________；的最小值为________.15. 矩形ABCD 中，，现将沿对角线AC 折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则______；若二面角的大小为，则______．16.如图，、是抛物线上的两个点, 过点、引抛物线的两条弦.（1）求实数的值；（2）若直线与的斜率是互为相反数, 且两点在直线的两侧.①直线的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是, 说明理由；②求四边形面积的取值范围.17. 某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有8人884211选考方案待确定的有6人430100女生选考方案确定的有10人896331选考方案待确定的有6人5411（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．18. 已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.(1)求；(2)已知点，若存在过点的直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求直线斜率的取值范围.19. 已知在三棱柱中，，，，，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值.20. 某市公安交管部门曾于2017年底公布了一组统计数据：一年来全市范围内共发生涉及电动自行车的交通事故（一般程序）共3558起，造成326人死亡（因颅脑损伤导致死亡占），死亡人数中有263人未佩戴头盔（占）.驾乘电动自行车必须佩戴头盔，既是守法的体现，也是对家庭和社会负责的表现.该市经过长期开展安全教育，取得了一定的效果.表一是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据：表一年度20172018201920202021年度序号x12345未佩戴头盔人数y125012001010920870(1)请利用表一数据求未佩戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程，并预测该路口2022年驾乘人员未佩戴头盔的人数；(2)交管部门从年在该路口发生涉及电动自行车的交通事故案例中随机抽取了50起作为样本制作出表二：未佩戴头盔佩戴头盔合计伤亡61016无伤亡43034合计104050请问能否有的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关？附：参考公式及数据：；，其中.0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87921. 已知曲线E：的左右焦点为，，P是曲线E上一动点(1)求的周长；(2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的斜率；(3)若存在过点的两条直线和与曲线E都只有一个公共点，且，求h的值.。
2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，1）∪（5，7）C ．[﹣1，7）D ．（1，5]2．若2+ai 3−i=bi ，其中i 是虚数单位，a ，b ∈R 且b ≠0，设z ＝a +bi ，则|z|为（ ）A ．2B ．2√5C ．6D ．2√103．在平行四边形ABCD 中，点E 满足BD →=4BE →，CE →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则λμ＝（ ） A ．−316B ．−38C ．316D ．14．记等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，则S 6＝（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．﹣21D ．﹣245．已知tan(θ+π4)=2tanθ−7，则sin2θ＝（ ）A ．2B ．±2C ．±45D ．456．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与以△ABC 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ） A ．12B ．2πC ．22D ．27．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝（ ） A ．45B ．35C ．−35D ．−458．已知平面向量a →，b →，c →．满足|a →|＝2，|a →−b →|＝2√3，若对于任意实数x 都有|b →−x a →|≥|b →−a →|成立，且|c →−a →|≤1，则b →•c →的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于函数f （x ）＝2sin （2x −134π）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．（π8，0）是曲线y ＝f （x ）的一个对称中心B．x=5π8是曲线y＝f（x）的一个对称轴C．曲线y＝2sin2x向左平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）D．曲线y＝2sin2x向右平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）10．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：W/m2）之间的关系是：Li=10lg II0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中正确的是（）A．闻阈的声强级为0.1dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围为[10﹣5，10﹣4]（单位：W/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍11．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，且P A＝AC＝BC＝2，E为线段PC上的一个动点，则下列选项正确的是（）A．三棱锥P﹣ABC的表面积是4+4√2B．直线PC与直线AB所成的角为60°C．|AE|+|BE|的最小值为√2+√6D．三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为12π12．已知a＞0，b＞0，a2+b2﹣ab＝2，|a2﹣b2|≤2，下面结论正确的是（）A．a+b≥2√2B．．a−b≤√63C．log2a+log2b≤1D．log2a+log23b≥2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=1a x+1−m（a＞0，且a≠1）是奇函数，则m＝．14．从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有．15．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2√3b，则C的离心率为．16．已知函数f（x）＝x3+bx2+cx+c有三个零点，且它们的和为0，则b﹣c的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ． （1）求A ；（2）若△ABC 的面积为√3，sin B sin C =14，求a 的值．18．（12分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，S n =na n −n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =(−1)n+1⋅a n +a n+1a n ⋅a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图所示，△ABC 为等边三角形，EA ⊥平面ABC ，EA ∥BD ，AB ＝BD ＝2，AE ＝1，M 为线段AB 上一动点．（1）若M 为线段AB 的中点，证明：ED ⊥MC ． （2）若AM ＝3MB ，求二面角D ﹣CM ﹣E 的余弦值．20．（12分）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到．小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为12，且相互独立．已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司．求： （1）要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发； （2）若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率； （3）小李上班路上的平均时长．21．（12分）已知椭圆C ：x 28+y 24=1，点N （0，1），斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点． （Ⅰ）求圆N 的半径r 的取值范围； （Ⅱ）求|AB |的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝e 2x +（a ﹣2）e x ﹣ax ﹣1． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）若g （x ）＝f （x ）+（2﹣a ）e x 在区间（0，+∞）上存在唯一零点x 0，求证：x 0＜a ﹣2．2023-2024学年福建省厦门市思明区双十中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1） B ．（﹣1，1）∪（5，7）C ．[﹣1，7）D ．（1，5]解：集合A ＝{x |1＜x ＜7}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5≤0}＝{x |﹣1≤x ≤5}，则A ∩B ＝（1，5]． 故选：D ．2．若2+ai 3−i=bi ，其中i 是虚数单位，a ，b ∈R 且b ≠0，设z ＝a +bi ，则|z|为（ ）A ．2B ．2√5C ．6D ．2√10解：2+ai3−i=bi ，则2+ai ＝bi （3﹣i ）＝b +3bi ，故{b =23b =a ，解得a ＝6，b ＝2，所以|z|=|6−2i|=√62+(−2)2=2√10． 故选：D ．3．在平行四边形ABCD 中，点E 满足BD →=4BE →，CE →=λBA →+μBC →(λ，μ∈R)，则λμ＝（ ） A ．−316B ．−38C ．316D ．1解：因为BD →=4BE →，则CD →−CB →=4(CE →−CB →)，整理得CE →=14CD →+34CB →=14BA →−34BC →，由平面向量基本定理可得：λ=14，μ=−34，所以λμ=14×(−34)=−316．故选：A ．4．记等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，则S 6＝（ ） A ．﹣3B ．﹣6C ．﹣21D ．﹣24解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若S 3＝3，S 8﹣S 5＝﹣96，即a 1+a 2+a 3＝3，a 6+a 7+a 8＝q 5（a 1+a 2+a 3）＝﹣96， 变形可得：q 5＝﹣32，则q ＝﹣2；又由a 1+a 2+a 3＝3，即a 1﹣2a 1+4a 1＝3a 1＝3，则有a 1＝1，故S 6=a 1(1−q 6)1−q =1−643=−21．故选：C ．5．已知tan(θ+π4)=2tanθ−7，则sin2θ＝（ ）A ．2B ．±2C ．±45D ．45解：因为tan(θ+π4)=tanθ+tan π41−tanθtan π4=tanθ+11−tanθ=2tanθ−7，整理得tan 2θ﹣4tan θ+4＝0，解得tan θ＝2， 所以sin2θ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=45．故选：D ．6．已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1与以△ABC 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为（ ） A ．12B ．2πC ．22D ．2解：设△ABC 的边长为a ，外接圆半径为r ，AA 1＝b ，由正弦定理得√32=2r ，则r =√33a ，V ABC−A 1B 1C 1=12⋅a ⋅a ⋅√32b =√34a 2b ，设圆柱的高为h ，V 圆柱=13a 2πℎ=√34a 2b ，∴b =4π3√3，正三棱柱的侧面积S 棱柱=3ab =4π33，圆柱的侧面积S 圆柱=2πrℎ=2π⋅√33aℎ，正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为3a⋅3√3ℎ2π⋅√33a⋅ℎ=2，故选：D ．7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝（ ） A ．45B ．35C ．−35D ．−45解：∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴F 点的坐标为（1，0）又∵直线y ＝2x ﹣4与C 交于A ，B 两点，则A ，B 两点坐标分别为（1，﹣2）（4，4）， 则FA →=（0，﹣2），FB →=（3，4），则cos ∠AFB =FA →⋅FB→|FA →|⋅|FB →|=−810=−45， 故选：D ．8．已知平面向量a →，b →，c →．满足|a →|＝2，|a →−b →|＝2√3，若对于任意实数x 都有|b →−x a →|≥|b →−a →|成立，且|c →−a →|≤1，则b →•c →的最大值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8解：设a →=OA →，b →=OB →，c →=OC →，xa →=OM →，b →，c →则如图所示，因为|b →−xa →|⩾|b →−a →|，所以|OB →−OM →|⩾|OB →−OA →|，即|MB →|⩾|AB →|，所以BA ⊥OA ， 因为|a →|=2，|a →−b →|=2√3，所以∠AOB =60°，|b →|=4，由|c →−a →|⩽1，可得点C 在以A 为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），过圆周上一点C 作OB 的垂线，垂足为D ，且DC 与⊙A 相切，延长DC 交OA 于N ，则b →⋅c →=|b →|⋅|c →|cos ＜b →，c →＞⩽|b →||OD →|=4|OD →|，又根据相似知识可得OD =CA ⋅OA AN +CA =cos60°OA +CA =12×2+1=2，所以b →⋅c →的最大值为8，故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于函数f （x ）＝2sin （2x −134π）的图象，下列说法正确的是（ ） A ．（π8，0）是曲线y ＝f （x ）的一个对称中心B ．x =5π8是曲线y ＝f （x ）的一个对称轴 C ．曲线y ＝2sin2x 向左平移58π个单位，可得曲线y ＝f （x ）D ．曲线y ＝2sin2x 向右平移58π个单位，可得曲线y ＝f （x ）解：函数f（x）＝2sin（2x−134π）的图象，对于A：当x=π8时，f（π8）＝2sin（﹣3π）＝0，故A正确；对于B：当x=5π8时，f（5π8）＝2sin（5π4−13π4）＝0，故B错误；对于C：曲线y＝2sin2x向左平移58π个单位，得到y＝f（x）＝2sin（2x+5π4）＝﹣2sin（2x+π4）的图象，故C错误；对于D：曲线y＝2sin2x向右平移58π个单位，可得曲线y＝f（x）＝2sin（2x−5π4）＝2sin（2x−134π）的图象，故D正确．故选：AD．10．声强级Li（单位：dB）与声强I（单位：W/m2）之间的关系是：Li=10lg II0，其中I0指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为1W/m2，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中正确的是（）A．闻阈的声强级为0.1dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围为[10﹣5，10﹣4]（单位：W/m2）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍解：因为Li＝101g II0=10lgI﹣10lgI0，当I＝1W/m2时，Li＝120，代入公式可得I0＝10﹣12W/m2，对于A，当I＝I0时，Li＝10lg1＝0，故选项A错误；对于B，由题意可得，70≤10lgI﹣10lg10﹣12≤80，即70≤10lgI+120≤80，所以﹣5≤lgI≤﹣4，解得10﹣5≤I≤10﹣4，故选项B正确；对于C，当I变为2I时，代入Li'＝10lg（2I）﹣10lgI0≠2Li，故选项C错误；对于D，设声强变为原来的k倍，则10lg（kI）﹣10lgI＝10，解得k＝10，故选项D正确．故选：BD．11．在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，且P A＝AC＝BC＝2，E为线段PC上的一个动点，则下列选项正确的是（）A ．三棱锥P ﹣ABC 的表面积是4+4√2B ．直线PC 与直线AB 所成的角为60°C ．|AE |+|BE |的最小值为√2+√6D ．三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为12π解：如图所示，三棱锥P ﹣ABC 的表面积S ＝S △P AC +S △ACB +S △P AB +S △PCB =12×2×2+12×2×2+12×2√2×2+12×2×2√2=4+4√2，故A 正确； 建立如图所示空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （2，0，0）， B （0，2，0），P （2，0，2），AB →=(−2，2，0)，CP →=（2，0，2），设直线PC 与直线AB 所成的角为θ，则cos θ＝|cos ＜AB →，CP →＞|＝|AB →⋅CP→|AB →||CP →||=−422×22=12，∴θ＝60°，即直线PC 与直线AB 所成的角为60°，故B 正确； 把三角形PCB 沿PC 翻折至平面P AC 内，则AB 1为所求，由题意可知，B 1G =CG =√2，则AB 12=(√2)2+(2+√2)2=8+4√2， 则AB 1=2√2+√2，即|AE |+|BE |的最小值为2√2+√2，故C 错误；取PB 中点O ，则OP ＝OA ＝OB ＝OC ，即O 为三棱锥P ﹣ABC 外接球的球心， 半径为12PB =12√22+22+22=√3，外接球的表面积为4π×(√3)2=12π，故D 正确．故选：ABD ．12．已知a ＞0，b ＞0，a 2+b 2﹣ab ＝2，|a 2﹣b 2|≤2，下面结论正确的是（ ） A ．a +b ≥2√2 B ．．a −b ≤√63C ．log 2a +log 2b ≤1D ．log 2a +log 23b ≥2解：a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）2−3(a+b)24=(a+b)24，所以a +b ≤2√2，a 2+b 2﹣ab ≥2ab ﹣ab ＝ab ，所以ab ≤2，log 2a +log 2b ＝log 2ab ≤1， A 选项错，C 选项对，令m＝a+b，n＝a﹣b，由对称性，不妨设a＞b，所以m＞n＞0，4（a2+b2﹣ab）＝m2+3n2＝8，（a2﹣b2）2＝（mn）2＝（8﹣3n2）n2≤4，解得，n2≤23或n2≥2，若n2≥2，则m2≤2，与假设矛盾，所以n2≤23，所以a﹣b≤√63，所以有ab=m2−n24=2﹣n2≥43，所以log2a+log23b≥2，B，D选项正确，故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若f(x)=1a x+1−m（a＞0，且a≠1）是奇函数，则m＝12．解：∵f(x)=1a x+1−m，∴f(−x)=1a−x+1−m=a xa x+1−m，又f（x）是奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝0，∴1a x+1−m+a xa x+1−m=0，解得m=12．故答案为：1 2．14．从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同取法有25．解：2至8的7个整数中是3的倍数的有3和6两个，从2至8的7个整数中任取3个数，按3和6中取1个和2个分类可得取法数为C21C52+C22C51=25．故答案为：25．15．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若|AB|=2√3b，则C的离心率为√3+2．解：如图所示：设直线方程为y=ba(x−c)，与双曲线方程x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)联立，解得x=a2+c22c，y=−b32ac，因为|AB|=2√3b，所以2×b32ac=2√3b，即b2=2√3ac，即c2−2√3ac−a2=0，解得e=ca=√3+2．故答案为：√3+2．16．已知函数f （x ）＝x 3+bx 2+cx +c 有三个零点，且它们的和为0，则b ﹣c 的取值范围是 （274，+∞） ．解：设x 1，x 2，x 3是f （x ）的三个零点，则f （x ）＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x ﹣x 3）， 所以b ＝﹣（x 1+x 2+x 3）＝0，所以f （x ）＝x 3+cx +c ，f ′（x ）＝3x 2+c ， 若f （x ）有三个零点，则f （x ）有两个极值点， 故对于方程f ′（x ）＝0，Δ＝﹣12c ＞0，c ＜0，f （x ）的两个极值点分别为x 4=−√−c 3和x 5=√−c3，其中x 4为极大值点，x 5为极小值点．若f （x ）存在三个零点，则需满足f （x 4）＞0，且f （x 5）＜0， 所以(−√−c 3)3−c√−c 3+c ＞0，解得c ＜−274，又因为f （x 5）＜f （0）＝c ＜0，所以b ﹣c 的取值范围是(274，+∞)． 故答案为：(274，+∞)． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ． （1）求A ；（2）若△ABC 的面积为√3，sin B sin C =14，求a 的值．解：（1）因为（a ﹣c ）（a +c ）sin C ＝c （b ﹣c ）sin B ，所以由正弦定理可得（a ﹣c ）（a +c ）c ＝bc （b ﹣c ），整理可得b 2+c 2﹣a 2＝bc ， 所以cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，因为A ∈（0，π）， 所以A =π3；（2）因为A =π3，△ABC 的面积为√3=12bc sin A =√34bc ，所以bc ＝4，又sin B sin C =14，a sinA =b sinB =c sinC，所以bc sinBsinC=（a sinA）2，即414=（√32）2，解得a ＝2√3．18．（12分）记S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝3，S n =na n −n 2+n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=(−1)n+1⋅a n+a n+1a n⋅a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）由题意，由S n=na n−n2+n，①可得S n+1=(n+1)a n+1−(n+1)2+n+1，②②﹣①，可得a n+1=(n+1)a n+1−(n+1)2+n+1−na n+n2−n，化简整理，得a n+1﹣a n＝2，∴数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a n＝3+2•（n﹣1）＝2n+1，n∈N*．（2）由（1），可得b n=(−1)n+1⋅a n+a n+1a n⋅a n+1=(−1)n+1⋅(1a n+1a n+1)=−(−1)na n+(−1)n+1a n+1，则T n＝b1+b2+…+b n=[−−1a1+(−1)2a2]+[−(−1)2a2+(−1)3a3]+⋯+[−(−1)na n+(−1)n+1a n+1]=−−1a1+(−1)n+1a n+1=13+(−1)n+12n+3，∴T n=13+(−1)n+12n+3．19．（12分）如图所示，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥BD，AB＝BD＝2，AE＝1，M为线段AB上一动点．（1）若M为线段AB的中点，证明：ED⊥MC．（2）若AM＝3MB，求二面角D﹣CM﹣E的余弦值．（1）证明：因为M为线段AB的中点，且△ABC为等边三角形，所以CM⊥AB，因为EA⊥平面ABC，所以EA⊥CM，因为EA∥BD，所以A，B，D，E四点共面，因为AB∩AE＝A，AB⊂平面ABDE，AE⊂平面ABDE，所以CM⊥平面ABDE，因为DE⊂平面ABDE，所以ED⊥MC；（2）解：设AB 的中点为O ，连接OC ，在平面ABDE 内，过点O 作ON ⊥AB 交ED 于点N ，所以ON ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，ON 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为AB ＝BD ＝2，AE ＝1，AM ＝3MB ，所以M （12，0，0），C （0，√3，0），E （﹣1，0，1），D （1，0，2），所以MC →=（−12，√3，0），ME →=（−32，0，1），MD →=（12，0，2），设平面MCE 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅MC →=−12x +√3y =0m →⋅ME →=−32x +z =0，令x ＝2√3，则y ＝1，z ＝3√3， 所以平面MCE 的一个法向量为m →=（2√3，1，3√3）， 设平面MCD 的法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅MC →=−12a +√3b =0n →⋅MD →=12a +2c =0，令a ＝2√3，则b ＝1，c =−√32，所以平面MCD 的法向量为n →=（2√3，1，−√32），所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=17240×√554=17√22220， 所以二面角D ﹣CM ﹣E 的余弦值为17√22220． 20．（12分）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8点整到达，否则视为迟到．小李上班路上需要经过4个路口，每个路口遇到红灯的概率均为12，且相互独立．已知每遇到红灯的平均等候时长皆为1分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10分钟即可到达公司．求： （1）要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发； （2）若小李连续两天7点48分从家出发，则恰有一天迟到的概率；（3）小李上班路上的平均时长．解：（1）易知可知若7点46分出门，则一定不会迟到； 若7点47分出门，仅当遇到4个红灯时才会迟到， 此时迟到的概率为(12)4=116，不迟到的概率为1516＞90%；若7点48分出门，则遇到3个或4个红灯会迟到，此时迟到的概率为C 43×(12)3×12+(12)4=516，不迟到的概率为1116＜90%，所以若保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在7点47分从家出发； （2）由（1）可知，小李7点48分从家出发迟到的概率为516，不迟到的概率为1116， 所以若两天都是7点48分出发，则恰有一天迟到的概率P =C 21×516×1116=55128； （3）易知X 的所有可能取值为10，11，12，13，14， 此时P(X =10)=P(X =14)=(12)4=116，P(X =11)=P(X =13)=C 41×(12)4=14，P(X =12)=C 42×(12)4=38，则X 的分布列为：故上班路平均时长为E(X)=10×116+11×14+12×38+13×14+14×16=12（分钟）． 21．（12分）已知椭圆C ：x 28+y 24=1，点N （0，1），斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，与圆N 相切且切点为M ，M 为AB 中点． （Ⅰ）求圆N 的半径r 的取值范围； （Ⅱ）求|AB |的取值范围．解：（1）如图所示， 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线/方程 为 y ＝kx +m （k ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设圆N 的半径为r ， 联立方程组得{y =kx +mx 28+y 24=1，消去y 得（2k 2+1）x 2+4kmx +2m 2﹣8＝0，Δ＝16k 2m 2﹣4（2k 2+1）（2m 2﹣8）＝8（8k 2﹣m 2+4）＞0，x 1+x 2=−4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2−82k 2+1， 所以 y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =−4k 2m 2k 2+1+2m =2m2k 2+1，又因为M为AB的中点，所以M(−2km2k2+1，m2k2+1)，又因为圆N与直线l相切于点M，所以NM⊥l，且r＝|MN|，k NM×k1＝﹣1，所以k NM=m2k2+1−1−2m2k2+1−0=−1k，解得2k2+1＝﹣m，所以M（2k，﹣1），Δ＝8（8k2﹣m2+4）＝8（8k2﹣（2k2+1）2+4]＝8（2k2+1）（3﹣2k2）＞0，解得：0＜k2＜32，所以r=|MN|=√(2k−0)2+(−1−1)2=2√k2+1（0＜k2＜3），所以1＜k2+1＜52⇒2＜2√k2+1＜√10，即2＜r＜√10，所以圆N的半径r的取值范围为(2，√10)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2k2+1＝﹣m，所以|AB|=√1+k2×√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2×√(−4km2k2+1)2−4×2m2−82k2+1=√8(3−2k2)(k2+1)2k2+1(0＜k2＜32)，令t＝2k2+1，则k2=t−12（1＜t＜4），所以|AB|=√8(4−t)⋅t+12t=2√−t+4t+3，显然y=−t+4t+3在（1，4）上单调递减，所以0＜−t+4t+3＜6，所以0＜2√−t+4t+3＜2√6，即0＜|AB|＜2√6．故|AB|的取值范围为(0，2√6)．22．（12分）已知函数f（x）＝e2x+（a﹣2）e x﹣ax﹣1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若g（x）＝f（x）+（2﹣a）e x在区间（0，+∞）上存在唯一零点x0，求证：x0＜a﹣2．解：（1）由f（x）＝e2x+（a﹣2）e x﹣ax﹣1，得f'（x）＝2e2x+（a﹣2）e x﹣a＝（e x﹣1）（2e x+a）．（i）当a＜0时，令f′（x）＝0，则x1＝0，x2=ln(−a )，①当ln(−a2)＞0，即a＜﹣2时，若0＜x＜ln(−a2)，则f′（x）＜0，f（x）在(0，ln(−a2))上递减；若x＜0或x＞ln(−a2)，则f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0），(ln(−a2)，+∞)上递增．②当ln(−a2)＜0，即﹣2＜a＜0时，若ln(−a2)＜x＜0，则f′（x）＜0，f（x）在(ln(−a2)，0）上递减；若x＞0或x＜ln(−a2)，则f′（x）＞0，f（x）在(−∞，ln(−a2))，（0，+∞）上递增．③当ln(−a2)=0，即a＝﹣2时，则f′（x）≥0，f（x）在R上递增．（ii）当a≥0时，令f′（x）＝0，则x＝0．若x＜0，则f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）上递减；若x＞0，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增．综上，当a≥0时，f（x）的递减区间为（﹣∞，0），递增区间为（0，+∞）；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为(ln(−a2)，0)，递增区间为(−∞，ln(−a2))，（0，+∞）；当a＝﹣2时，f（x）的在R上单调递增；当a＜﹣2时，f（x）的递减区间为(0，ln(−a2))，递增区间为（﹣∞，0），(ln(−a2)，+∞)．（2）证明：g（x）＝e2x﹣ax﹣1，g'（x）＝2e2x﹣a，g（0）＝0．当a≤2时，g'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故g（x）在（0，+∞）上递增，则g（x）＞g（0）＝0，故不可能有零点．当a＞2时，g（x）在(0，12lna2)上递减，在(12lna2，+∞)上递增，且g（0）＝0，所以在(0，12lna2)上g（x）＜0无零点，即g(12lna2)＜0，且x趋向于正无穷时g（x）趋向正无穷，所以在(12lna2，+∞)上存在唯一x0，使g(x0)=e2x0−ax0−1=0．要证x0＜a﹣2，只需g（a﹣2）＝e2（a﹣2）﹣a（a﹣2）﹣1＞0在a＞2上恒成立即可．令t＝a﹣2＞0，h（t）＝e2t﹣t（t+2）﹣1则h'（t）＝2（e2t﹣t﹣1）．令p（t）＝e2t﹣t﹣1，则p'（t）＝2e2t﹣1＞0，即p（t）在（0，+∞）上递增，p（t）＞p（0）＝0．所以h'（t）＞0，即h（t）在（0，+∞）上递增，h（t）＞h（0）＝0．所以g（a﹣2）＝e2（a﹣2）﹣a（a﹣2）﹣1＞0在a＞2上恒成立，得证．故x0＜a﹣2．。
福建省厦门双十中学2024届高三下学期高考热身考试数学试题(解析版)
厦门双十中学2024届高三热身考试数学试题考试时间120分钟，祝考试顺利！一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】先化简集合B ，再根据集合间关系判断.【详解】由，得，则，所以.故选：A.2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】利用已知条件，分析椭圆的标准方程，列出不等式，求解即可.【详解】方程可化为：，因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.故选：C3. 设l ，m ，n 是不同的直线，m ，n 在平面内，则“且”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】1{03},lg 2A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭∣A B ⊆B A⊆A B ⋂=∅A B = R1lg 2x <0x <<{0B x x =<<∣A B ⊆()()222111m x m y m ++-=-x 11m -<<01m <<10m -<<10m -<<01m <<()()222111m x m y m ++-=-22111x y m m +=-+22111x y m m +=-+x 1110m m m ->+⎧⎨+>⎩10m -<<αl m ⊥l n ⊥l α⊥【分析】利用线面垂直的判定、性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】若且，当时，直线可以与平面平行，此时，不能推出，若，m ，n 是平面内两条不同的直线，则，，所以“且”是“”的必要不充分的条件.故选：B4. 在菱形中，，点分别为和的中点，且，则（ ）A. 1 B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】根据向量的线性运算以及数量积的运算律结合，求出，继而根据向量的线性运算以及数量积的运算律即可求得答案.【详解】因为点分别为和的中点，，所以，又，故选：B.5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）A. 52 B. 54C. 56D. 58【答案】C 【解析】【分析】由已知可得也是等差数列，可求得，进而可得.l m ⊥l n ⊥//m n l α//l αl α⊥l α⊥αl m ⊥l n ⊥l m ⊥l n ⊥l α⊥ABCD 2AB =,E F BC CD 4AB AF ⋅= AE BF ⋅=32524AB AF ⋅= 2AB AD ⋅=E F ､BC CD 211422AB AF AB AD AB AB AD AB ⎛⎫⋅=⋅+=⋅+= ⎪⎝⎭ 2AB AD ⋅=11112222A B BC BC C E BF A AB AD AD A D B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎝⎭ 2213313222424AB AD AD AB =⨯=⋅+-= {}n a n n S 26S =420S =7S =n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭787S =756S =【详解】由等差数列的前项和为，可得也是等差数列，又，，所以的公差为1，所以，所以，所以.故选：C.6 已知，则（ ）A. 4 B. 2C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由已知可得，利用，可求值.【详解】因为，所以，所以．故选：D.7. 已知为奇函数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由函数图象平移的规则，且为奇函数，得出函数图象的对称性，进而得出的值.【详解】由函数图象平移的规则可知：函数的图象可由函数的图象向右平移个单位、向下平移个单位得到的，因为函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，.{}n a n n S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭232S =454S =n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭74374S S -=75387S=+=756S =4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭2-4-251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++(1)1y f x =++(1)(0)(1)(2)(3)f f f f f -++++=12-10-6-5-(1)1y f x =++()y f x =(1)(0)(1)(2)(3)f f f f f -++++()y f x =(1)1y f x =++11(1)1y f x =++(1)1y f x =++所以函数的图象关于点对称，得：，即，故选：D.8. 在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】令外接球的半径为，作出图象，求出圆台的母线，即可求出圆台的侧面积，再求出球的表面积，即可得解.【详解】令外接球的半径为，依题意，，，过点作，则，所以，又，所以，所以圆台的侧面积，球的表面积，所以圆台的侧面积与球的表面积之比为.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（）()y f x =(1,1)-(1)(0)(1)(2)(3)[(1)(3)][(0)(2)](1)f f f f f f f f f f -++++=-++++(1)(0)(1)(2)(3)f f f f f -++++2(1)2(1)(1)5=⨯-+⨯-+-=-12O O 2O 1O 2O 3:41:23:83:102R 2R 22O A R =22O B R =1O B R =B 2BC O A ⊥21O C O B R ==2AC O C R ==12BC O O ===2AB R ==()2112π2π226π2S R R R R =+⨯⨯=()2224π216πS R R =⨯=()()2212:6π:16π3:8S S R R ==A =B =C =A. B. C. 事件与是互斥事件 D. 事件与相互独立【答案】AC 【解析】【分析】分别求出事件的概率，再根据互斥事件和相互独立事件的概率进行判断.【详解】因为“取出的求的数字之积为奇数”，就是“取出的两个数都是奇数”，所以；故A 正确；“取出的球的数字之积为偶数”就是“取出的两个数不能都是奇数”，所以；“取出的两个数之和为偶数”就是“取出的两个数都是奇数或都是偶数”，所以；表示“取出的两个数的积可以是奇数，也可以是偶数”，所以；表示“取出的两个数的积与和都是偶数”，就是“取出的两个数都是偶数”，所以.因为，故B 错误；因为，所以互斥，故C 正确；因为，所以不独立，故D 错误.故选：AC10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）()15P A =()1|3P B C =A B B C ,,A B C ()2326C 31C 155P A ===()2326C 3411C 155P B =-=-=()2326C 22C 5P C =⨯=A B +()1P A B +=BC ()2326C 1C 5P BC ==()()()|P BC P B C P C =12=()()()P A B P A P B +=+,A B ()()()P BC P B P C ≠⋅,B C ()()ππ4sin 02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭A.B. 的图象关于直线对称C.D. 若方程在上有且只有5个根，则【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象可求得函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.【详解】对于A ，由，得，即，又，，故A 正确；对于C ，又的图象过点，则，即，，即得，，又，，所以，故C 正确；对于B ，因为，而故直线不是函数的对称轴，故B 错误；对于D ，由，得，解得或，，方程在上有5个根，从小到大依次为：，π6ϕ=-()f x πx =()12π4cos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()2f x =()0,m 26π,10π3m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()f x ()02f =-4sin 2ϕ=-1sin 2ϕ=-ππ22ϕ-<<π6ϕ∴=-()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππsin 036ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭πππ36k ω∴-=132k ω=+k ∈Z 02ω<≤12ω∴=()1ππ12π12π4sin 4sin 4cos 2622323f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1π4sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()ππππ4sin 4sin 263f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭πx =()f x ()2f x =12π1cos 232x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2π4πx k =+2π4π3k +Z k ∈()2f x =()0,m 2π14π26π,2π,,6π,333而第7个根为，所以，故D 正确.故选：ACD.11. 已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，直线：与C 的左、右两支分别交于M ，N 两点（点N 在第一象限），点在直线上，点Q 在直线上，且，则（）A. C 的离心率为3B. 当时，C.D. 为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据离心率的公式即可求解A ，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B ，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C ，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D.【详解】由题意得，，故A错误；联立，得，解得或，则，故B 正确；由直线：可知，又，，故在线段的中垂线上，设，的斜率分别为，，，故直线的方程为，联立，得，设，则，，故.10π26π10π3m <≤2213y x -=1F 2F l ()1x my m =-∈R 01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭l 2NF 12QF PF ∥m =MN =22PF M NF P ∠=∠2QF 1,a b ==2c e a ===22113x y x ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩2803y -=0y =y =0MN =-=l ()1x my m =-∈R ()1,0M -1,2a b c ===01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭P 2MF PM 2PF k k -()1,0M -MP ()1y k x =+()22113y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩()22223230k x k x k ----=()11,N x y 212213k x k -+=-21233k x k +=-22236,33k k N k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭当轴时，，是等腰直角三角形，且易知；当不垂直于x 轴时，直线的斜率为，故，因为，所以，所以，，故C 正确；因为，故，故，故D 正确.故选:BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.【详解】由题意得，，解得，∴实数的取值范围是.故答案为：.13. 已知的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为______.【答案】270【解析】2NF x ⊥2223b MF a c NF a=+===2MF N 2245PF M NF P ∠=∠=︒2NF 2NF 22226233123k k k k k k -=+---222tan 1k NF M k ∠=--2tan PF M k ∠=2222tan 2tan 1kPF M NF M k∠==∠-222PF M NF M ∠=∠22PF M NF P ∠=∠12QF PF ∥212221F FQ PF M NF P F QF ∠=∠=∠=∠2124QF F F ==()()45i z a a =+-+a ()5,4--()4050a a +<⎧⎨-+<⎩54a -<<-a ()5,4--()5,4--5233a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】首先利用赋值法求出所有项的系数和，建立方程求出参数，然后利用二项展开式的通项求常数项即可.【详解】令，展开式中所有项的系数之和为，所以，解得，所以展开式的通项，令，得，所以常数项为.故答案为：270.【点睛】对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如的式子求其展开式中各项系数之和，只需令即可.14. 在中，角，，的对边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】借助等面积法及基本不等式计算即可得.【详解】如图所示，由题意知，因为是的平分线且，，可得，即，即，且，，则，当且仅当，即也即时，等号成立，则的最小值为.故答案为：.的a1x =5233a x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭()5332a +=32a +=1a =-()()52510515531331rrr rr rr r T C xC x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭1050r -=2r =()2233531270T C =⨯⨯-=()(),nax b a b R +∈1x =()(),nax by a b R +∈1x y ==ABC A B C a b c 120ABC ∠=︒ABC ∠AC D 1BD =2a c +3+3+ABC ABD BCD S S S =+△△△BD ABC ∠120ABC ∠=︒1BD =111sin1201sin 601sin 60222ac c a ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒ac a c =+111a c+=0a >0c >()11222333a c a c a c a c c a ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭2c a a c =c =11a c =+=+2a c +3+3+四、解答题：本题共5 小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 正方体的棱长为2，分别是的中点.（1）求证：面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用中位线定理构建线线平行，再利用线面平行判定定理证明线面平行即可.（2）利用线面平行合理转化点面距离，再利用等体积法处理即可.【小问1详解】连接，因为分别是的中点，由中位线定理得，又，所以，所以四点共面，由于是AD 的中点，则且那么四边形为平行四边形，从而，又面面故面，【小问2详解】的1111ABCD A B C D -,,E F G 1,CC BC AD ,CG //1D EF G 1D EF 2311,,D A FA BC ,E F 1,CC BC EF //1BC 1BC //1D A EF //1D A 1,,,A F E D G AG //FC ,AG FC =AGCF CG //AF CG ⊄1,D EF AF ⊂1,D EF CG //1D EF由上问结论知点到平面的距离等于点到平面的距离.易得，利用余弦定理得则设点到平面的距离，利用等体积法，可得，即点到平面距离为.16. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）递增区间为，递减区间为（2）【解析】【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；（2）可借助，得到，在的情况下，借助，从而构造函数，结合该函数的单调性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到对任意的恒成立，通过研究得解.【小问1详解】当时，，其定义域为，，的G 1D EF C 1D EF 113D E EF D F ===1cos D EF ∠==1111113sin sin .222D EF D EF S DE EF D EF ∠==⋅⋅∠== C 1D EF d 11111133C D EF CEF D EF V S D C S d -∆=⋅=⋅ 111111222332CEF D EF S D C d S ⨯⨯⨯⋅=== G 1D EF 23()2ln ()m f x x x m x=-+∈R 3m =-()f x ()0f x ≤[1,)x ∈+∞(0,3)(3,)+∞(,1]-∞(1)0f ≤1m £1m £1()2ln 2ln m f x x x x x x x =-+≤-+1()2ln g x x x x=-+22ln m x x x ≤-[1,)x ∈+∞2()2ln h x x x x =-3m =-3()2ln f x x x x=--(0,)+∞()()2222312323()1x x x x f x x x x x--+-++='=-+=令，得（舍去），当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；【小问2详解】方法1：由条件可知，于是，解得．当时，，构造函数，，，所以函数在上单调递减，于是，因此实数m 的取值范围是．方法2：由条件可知对任意的恒成立，令，，只需即可．，令，则，所以函数在上单调递增，于是，所以函数在上单调递增，所以，于是，因此实数m 的取值范围是．17. 某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社工作人员在该农村地区2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm ）.得到数据如下：7.11 7.35 6.93 7.11 7.06 7.23 7.16 7.05 7.12 7.096.877.19 7.12 7.08 7.12 7.11 7.25 6.99 7.12 7.14根据经验，果实平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值.为提高果实品质，需要将直径小于的果实提前去除，果实直径大于7.2cm 的即为()0f x '=3x ==1x -03x <<()0f x '>()f x 3x >()0f x '<()f x ()f x (0,3)(3,)+∞(1)0f ≤10m -≤1m £1m £1()2ln 2ln m f x x x x x x x =-+≤-+1()2ln g x x x x=-+1x ≥()222121()10x g x x x x -=---'=≤()g x [1,)+∞()(1)0g x g ≤=(,1]-∞22ln m x x x ≤-[1,)x ∈+∞2()2ln h x x x x =-1x ≥min [()]m h x ≤()()()22ln 12ln 1h x x x x x =-+=--'()ln 1x x x μ=--()10x x xμ-'=≥()h x '[1,)+∞()()10h x h ''≥=()h x [1,)+∞()()min 11h x h ⎡⎤==⎣⎦1m £(,1]-∞()2,N μσx μ μs σ σ3μσ-优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个.经计算得，.（1）估计优果的个数；（2）为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取个测量果实直径，如果出现果实小于的果实，则认为该果树为果实较小.（ⅰ）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；（ⅱ）根据小概率值及（ⅰ）中结论确定的值，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数.附：若，则；，.【答案】（1）（2）说明见解析；3， 【解析】【分析】（1）根据样本估计总体的思想求解即可；（2）根据正态分布和独立重复试验的二项分布规律即可求解.【小问1详解】根据题意，20棵样本果树中果实平均直径大于7.2cm 的有3棵，所以该农村地区2000棵果树中果实平均直径大于7.2cm 的有棵，平均每棵果树结果50个，所以估计优果的个数为（个）；【小问2详解】（ⅰ）因为，所以，所以，个测量果实直径，出现果实小于的果实的概率为：，当越来越大时，越来越小，越来越大，所以试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；7.11x =0.11s ≈n 3μσ-0.005α=n ()2,X N μσ ()30.9973P X μσ-<=ln 0.9950.005≈-ln 0.998650.0014≈-1500060003200030020⨯=3005015000⨯=()30.9973P X μσ-<=()330.9973P X σμσ-<-<=()10.997330.001352P X u σ-<-==n 3μσ-()()()001C 10.001350.0013510.99865n nn p =-⨯-⨯=-n ()0.99865n ()10.99865n -（ⅰⅰ）得，，因为为整数，所以，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数为个.18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.（1）求抛物线的方程.（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1）（2）过定点，定点坐标为【解析】【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可；（2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果.【小问1详解】点到圆上点的最大距离为，即，得,故抛物线的方程为.【小问2详解】设，则方程，方程为,联立与抛物线的方程可得，即,为()10.998650.005n-<ln 0.9950.005 3.57ln 0.998650.0014n -<≈≈-n 3n =320006000⨯=2:2(0)C y px p =>F F 22:(3)1E x y ++=C O ()2,4,,P A B C P ,PA PB y ,M N O O MN AB 28y x =(0,2)-F E 1EF +3162p ⎛⎫++= ⎪⎝⎭(0,),(0,)M m N m -PA PB PA C A B AB F E 1EF +3162p ⎛⎫++=⎪⎝⎭4p =C 28y x =(0,),(0,)M m N m -PA 42m y x m -=+PB 42m y x m +=-PA C 21616044m y y m m -+=--()4404m y y m ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，则点坐标为,同理可得点坐标为,因此直线的斜率为,代入点坐标可以得到方程为,整理可以得到,因此经过定点.19. 对于，，不是10的整数倍，且，则称为级十全十美数.已知数列满足：，，.（1）若为等比数列，求；（2）求在，，，…，中，3级十全十美数的个数.【答案】（1）或（2）.【解析】【分析】（1）设的公比为，根据题意，列出方程组，即可求得的值；（2）由（1）知，得到，和，两式相减得，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合二项展开式的性质，即可求解.【小问1详解】解：设的公比为，A 44A m y m =-A ()222284A A y m x m ==-A ()2224,44m m m m ⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭B ()2224,44m m m m ⎛⎫ ⎪- ⎪++⎝⎭AB 2216A B A B y y m k x x m --==-B AB ()2222416244m m m y x m m m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++⎝⎭22162m y x m-=-AB (0,2)-*,m t ∈N s ∈N t 10s m t =⋅m s {}n a 18a =240a =2156n n n a a a ++=-{}1n n a ka +-k 1a 2a 3a 2024a 2340{}1n n a ka +-q k ()112122383n n n n a a a a -+-=-=⋅()112133282n n n n a a a a -+-=-=⋅()832n n n a =-n n {}1n n a ka +-q则，即，由，可得，解得或，所以或.【小问2详解】解：由（1）知，当时，，当时，，两式相减得.当为奇数时，的个位数为1或9，的个位数不可能为0；当为偶数时，设，则，要想末尾3个数字为0，需满足被整除，当时，均不符合题意；当时，，自，以后各项均可被125整除，故只需考虑能否被125整除，其中不是5的倍数，故若原式能被整除，需为偶数且能被整除，即需是50的倍数，在1，2，3，...，2024中，50的倍数有40个：50，100，150， (2000)故在，，…，中，3级十全十美数的个数为40.()211n n n n a ka q a ka +++-=-()21n n n a q k a qka ++=+-2156n n n a a a ++=-56q k qk +=⎧⎨-=-⎩23k q =⎧⎨=⎩32k q =⎧⎨=⎩2k =3k =23k q =⎧⎨=⎩()112122383n n n n a a a a -+-=-=⋅32k q =⎧⎨=⎩()112133282n n n n a a a a -+-=-=⋅()832n n n a =-n 32n n -()832n n n a =-n ()*2n k k =∈N ()()22832894k k k k n a =-=-n a 94k k -3100051258==1,2,3k =94k k -3k >()()()()2011229411015C 1C (1)10C 110C 10k k k k k k k k k k k k k --⎡⎤-=-+--+=-+-⋅+-⋅++⋅⎣⎦ ()()()120122C 1C 15C 15C 5k k k k k k k k k --⎡⎤--+-⋅+-⋅++⋅⎣⎦31035()()()()()()()1212221(1)11101101151522k k k k k k k k k k k k ----⎡⎤--⎡⎤-+-⋅⋅+-⋅⋅--+-⋅⋅+-⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()122111517515215122k k k k k k k k ----⎡⎤=-⋅+-⋅⋅=⋅-⋅⋅-+-⎣⎦()2151k -+-125k 25k 1a 2a 2024a【点睛】方法点睛：与数列有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解；4、若数列与向量有关问题时，应根据条件将向量式转化为与数列有关的代数式进行求解；5、若数列与不等式有关问题时，一把采用放缩法进行判定证明，有时也可通过构造函数进行证明；6、若数列与二项式有关的问题时，可结合二项展开式的性质，进行变换求解.。
福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题(含解析)
(1)若 a 2 ，求曲线 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
(2)若 f (x) 在区间 (1, ) 上存在两个不同的零点 x1， x2 x1 x2 .
①求实数 a 的取值范围；
②证明：
x2
f
x2
a2 2e
a 2
e
.
试卷第 5 页，共 5 页
1．B
参考答案：
【分析】先通过对限制条件的整理，再求 M N
1 算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于 50 的概率为（ ）
1 A．
4
3
B．
8
C．
1 2
5 D．
8
5．已知 S, A, B,C 是球 O 表面上的点， SA 平面ABC ， AB BC ， SA AB 1 ，
BC 2 ，则球 O 表面积等于
A．4
B．3
C．2
D．
6．已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时， f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则 a （ ）
试卷第 3 页，共 5 页
(1)用反比例函数模型求 y 关于 x 的回归方程； (2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0.001），并用其估计产量 为 10 千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本 y 服从正态分布 N , 2 ，用样本平均数 y 作为
距离，即| MQ |min 2 ，
2
2
所以 (FM FN )min FM 1 = MQ 1 3 .
min
min
故选：B
8．A
【分析】设 f x x2 2 ln x, g x ex x ，则 f a g 1, f b g 2, f c g 3 ，然后
厦门双十中学23年考前热身数学卷
厦门双十中学23年考前热身数学卷厦门双十中学23年考前热身数学卷一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1, 则 f(2) 的值为（）。
A. 9B. 11C. 15D. 172. 已知三个相等的角的度数之和为 270 度，这三个角是（）。
A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 重合角3. 若 2x + 3y = 7, 4x - y = 9，求方程组的解。
（）。
A. (x, y) = (4, -5)B. (x, y) = (-3, 5)C. (x, y) = (2, 3)D. (x, y) = (1, 2)4. 已知点 A 在第一象限，且点 A 距坐标原点的距离为 5，点A 的坐标可能是（）。
A. (2, 3)B. (-3, 4)C. (4, 3)D. (-2, -3)5. 数列 {an} 的前 n 项和公式为 Sn = 2n^2 + 3n，求 a5 的值。
（）。
A. 8B. 12C. 15D. 17二、计算题1. 计算下列算式的值：(1/2) × (1/3) - (2/3) × (1/4) + (3/4) × (1/5) = ？2. 已知平行四边形 ABCD 中，AB 的长度为 7cm，BC 的长度为 5cm，求 BD 的长度。
三、解答题1. 解方程组：{ 2x - 3y = 1{ x + 2y = 7求方程组的解。
2. 用勾股定理求直角三角形的斜边长度。
已知一条直角边为3cm，另一条直角边为 4cm。
提示：勾股定理的公式为 a^2 + b^2 = c^2，其中 a 和 b 为直角边的长度，c 为斜边的长度。
以上为厦门双十中学23年考前热身数学卷，祝大家考试顺利！。
福建省厦门双十中学2024届高三下学期高考热身考试数学试题
福建省厦门双十中学2024届高三下学期高考热身考试数学试题一、单选题1．已知集合1{03},lg 2A xx B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭∣，则（ ） A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B ⋂=∅D ．A B =U R2．若方程()()222111m x m y m ++-=-表示焦点在x 轴上的椭圆，则（ ）A ．11m -<<B ．01m <<C ．10m -<<D ．10m -<<或01m <<3．设l ，m ，n 是不同的直线，m ，n 在平面α内，则“l m ⊥且l n ⊥”是“l α⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在菱形ABCD 中，2AB =，点,E F 分别为BC 和CD 的中点，且4AB AF ⋅=u u u r u u u r ，则A E B F ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．1B ．32C ．2D ．525．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若26S =，420S =，则7S =（ ） A ．52B ．54C ．56D ．586．已知4sin25α=-，则tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-7．已知(1)1y f x =++为奇函数，则(1)(0)(1)(2)(3)f f f f f -++++=（ ） A ．12-B ．10-C ．6-D ．5-8．在圆台12O O 中，圆2O 的半径是圆1O 半径的2倍，且2O 恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（ ） A ．3:4B ．1:2C ．3:8D ．3:10二、多选题9．袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件A =“取出的球的数字之积为奇数”，事件B =“取出的球的数字之积为偶数”，事件C =“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ） A ．()15P A =B ．()1|3P B C =C ．事件A 与B 是互斥事件D ．事件B 与C 相互独立10．函数()()ππ4sin 02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．π6ϕ=-B ．()f x 的图象关于直线πx =对称C ．()12π4cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．若方程()2f x =在()0,m 上有且只有5个根，则26π,10π3m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11．已知双曲线C ：2213y x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：()1x my m =-∈R 与C的左、右两支分别交于M ，N 两点（点N 在第一象限），点01,2P y ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上，点Q 在直线2NF 上，且12QF PF ∥，则（ ）A ．C 的离心率为3B ．当m 时，MN C ．22PF M NF P ∠=∠D ．2QF 为定值三、填空题12．若复数()()45i z a a =+-+在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围是. 13．已知5233a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为32，则展开式中的常数项为.14．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为.四、解答题15．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，,,E F G 分别是1,CC BC AD ,的中点.(1)求证：CG //面1D EF ； (2)求点G 到平面1D EF 的距离. 16．已知函数()2ln ()mf x x x m x=-+∈R ． (1)当3m =-时，求函数()f x 的单调区间；(2)若不等式()0f x ≤对任意的[1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．17．某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社工作人员在该农村地区2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径（单位：cm ）.得到数据如下：7.11 7.35 6.93 7.11 7.06 7.23 7.16 7.05 7.12 7.09 6.87 7.19 7.12 7.08 7.12 7.11 7.25 6.99 7.12 7.14 根据经验，果实平均直径服从正态分布()2,N μσ，以样本平均数x 作为μ的估计值µμ，样本标准差s 作为σ的估计值µσ.为提高果实品质，需要将直径小于µµ3μσ-的果实提前去除，果实直径大于7.2cm 的即为优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个.经计算得7.11x =，0.11s ≈.(1)估计优果的个数；(2)为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取n 个测量果实直径，如果出现果实小于µµ3μσ-的果实，则认为该果树为果实较小. （ⅰ）试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；（ⅱ）根据小概率值0.005α=及（ⅰ）中结论确定n 的值，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数.附：若()2,X N μσ:，则()30.9973P X μσ-<=；ln 0.9950.005≈-，ln 0.998650.0014≈-.18．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，已知点F 到圆22:(3)1E x y ++=上一点的距离的最大值为6. (1)求抛物线C 的方程.(2)设O 是坐标原点，点()2,4,,P A B 是抛物线C 上异于点P 的两点，直线,PA PB 与y 轴分别相交于,M N 两点（异于点O ），且O 是线段MN 的中点，试判断直线AB 是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.19．对于*,m t ∈N ，s ∈N ，t 不是10的整数倍，且10s m t =⋅，则称m 为s 级十全十美数.已知数列{}n a 满足：18a =，240a =，2156n n n a a a ++=-. (1)若{}1n n a ka +-为等比数列，求k ；(2)求在1a ，2a ，3a ，…，2024a 中，3级十全十美数的个数.。
福建省厦门双十中学2021届高三数学热身考试试卷 理 新人教A版
2021双十中学热身卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的]1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，那么()U NM = ( )A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（ ）A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个 3.以下结论错误．．的是( ) A.命题“若2340x x --=，那么4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分没必要要条件C.已知命题p “若0m >，那么方程20x x m +-=有实根”,那么命题p 的否定p ⌝为真命题D.命题“若220m n +=，那么00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或”4．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，那么其前3项的和S 3的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞5. 执行如下图的程序框图，假设输出结果为3，那么可输入的实数x 值的个数为( ) A.1B.2C.3D.46.为了解儿子身高与其父切身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝1767．把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，取得的图象是( )8. 已知方程|x –2n|-k x =0（*n N ∈）在区间[2n –1，2n+1]上有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．1021k n <≤+ B ．0<k ≤121n + C ．121n +≤k ≤121n + D ．1021k n <<+9. 如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2AA 1=4，点O 是底面ABCD 的中心， 点E 是A 1D 1的中点，点P 是底面ABCD 上的动点，且到直线OE 的距离等于1， 关于点P 的轨迹，以下说法正确的选项是（ ） A.离心率为22的椭圆 B.离心率为12的椭圆 C.一段抛物线 D.半径等于1的圆10.已知集合M=N={0，1，2，3}，概念函数f ：M →N ，且点A （0，f （0）），B （i ，f （i ）），C （i+1，f （i+1）），（其中i=1，2）．假设△ABC 的内切圆圆心为P ，且知足()PA PC PB R λλ+=∈，那么知足条件的ABC ∆有（ ） A ． 10个B ． 12个C ． 18个D ． 24个二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分。
福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.已知，，，则（ ）A．B．C．D．2. “一日之锤，日取其半，万世不竭”，意义是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完．出自《庄子·杂篇·天下》，反映了有限与无限的辩证关系．现有一根1米长的棍棒，按照上述截取方法，第n 天截取部分的总长度是剩余部分长度的63倍，则（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73. 某地为响应“扶贫必扶智，扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅．现收集了该图书馆五年的借阅数据如下表：年份20162017201820192020年份代码x 12345年借阅量y （万册）4.95.15.55.75.8根据上表，可得y 关于x 的线性回归方程为，则下列说法中错误的是（ ）．A．B ．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的第75百分位数为5.7C ．y 与x的线性相关系数D ．2021年的借阅量一定少于6.12万册4. 已知，设曲线在处的切线斜率为，则（ ）A．B．C．D．5. 在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，（）A ．1B ．2C ．3D ．46. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若.则的大小是（ ）A．B．C．D．7. 设，点，，，，设对一切都有不等式成立，则正整数的最小值为A．B．C．D．8.设△的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a=b，，则的值为（ ）A．B．C．D．9. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中随机取出两个球，设事件“取出的球的数字之积为奇数”，事件“取出的球的数字之积为偶数”，事件“取出的球的数字之和为偶数”，则（ ）A ．事件与是互斥事件B．事件与是对立事件C ．事件与是互斥事件D ．事件与相互独立福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题 (2)福建省厦门双十中学2023届高三热身考试数学试题 (2)三、填空题四、解答题10. 已知函数的导函数，且，，则（ ）A ．是函数的一个极大值点B．C ．函数在处切线的斜率小于零D．11. 已知直线与函数的图象相交，A ，B ，C是从左到右的三个相邻交点，设，，则下列结论正确的是（ ）．A．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称B．若，则C ．若在上无最值，则的最大值为D．12. 对两个变量和进行回归分析，则下列结论正确的为（）A．回归直线至少会经过其中一个样本点B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．建立两个回归模型，模型的相关系数，模型的相关系数，则模型的拟合度更好D ．以模型去拟合某组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别为13.若平面向量满足，则的取值范围是___________.14.在等比数列中，，，则数列的前4项和______．15. 已知椭圆的右焦点和上顶点B ，若斜率为的直线l 交椭圆C 于P ，Q两点，且满足，则椭圆的离心率为___________.16. 已知函数为偶函数．(1)求图象的对称中心的坐标．(2)将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．若对任意的，总存在，使得成立，求A 的取值范围．17. 如图，在平面五边形ABCDE中是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是直角梯形，其中．将沿AD 折起，使得点E 到达点M 的位置，且使．(1)求证：平面平面ABCD ；(2)设点P 为棱CM 上靠近点C 的三等分点，求平面PBD 与平面MAD 所成的二面角的正弦值．18. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，点为的中点，证明：直线的斜率为定值.19. 为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造､智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平.一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计.某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司有如下两种收费方案.方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务，每次另外收费200元；方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元.（1）设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为13次和14次的月份中任选3个月求这3个月，恰好是1个13次服务､2个14次服务的概率；（3）依据条形统计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由.20. 函数.(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若有两个相异零点，求证：.21. 某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）.若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%.现用（）表示A型车床在第n年创造的价值.(1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前n项的和，，企业经过成本核算，若万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床，试问该企业须在第几年年初更换A型车床？。
高三数学(理)高考热身卷试卷
厦门双十中学2022届高三数学〔理〕高考热身卷试卷一、选择题〔本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求〕 1．如图,阴影局部所表示的集合是 〔 〕 A ．B A C IB ．BC A IC ．B A C ID ．B C A I2．设复数2121)(2,1z z R x i x z i z ，若∈+=+=为纯虚数,那么x = 〔 〕 A ．－2B ．－1C ．1D ．23. x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤≥0620y x x y y ,那么目标函数y x z +=的最大值为〔 〕A ．0B ．3C ．4D ．64.m ,n 表示两条直线,α表示一个平面,给出以下四个命题：①m n m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥αα∥n ②n n m m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥α∥α ③n m n m //////⇒⎩⎨⎧αα ④n m n m ⊥⇒⎩⎨⎧⊥αα// 其中正确命题的序号是〔 〕A ．①②B ．②④C ．①④D ．②③5．{a n }是正项的等差数列,如果满足,642752725=++a a a a 那么数列{a n }的前11项的和为〔 〕A ．8B ．44C ．56D ．646．设a,b ∈R ,那么“a+b =1〞是“4ab ≤1〞的〔 〕条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件7. 如右图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象,那么21x x +=〔 〕 A ．32 B ．910 C ．98 D ．928 8．函数)0,3()2sin(2)(πθ=+=a x x f 的图象按向量平移后,得到函数y=g(x),假设y=g(x)是奇函数,那么θ可以是〔 〕 A.3π B. 6πC. 3π-D. 32π-9．假设A,B,C,D,E,F 六个元素排成一行,要求A 不排在两端,且B,C 相邻,那么不同的排法有 〔 〕A ．72种B ．96种C ．120种D ．144种 10椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba则,23的值为 〔 〕A ．23B ．332 C ．239 D ．2732 11．函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立,那么a 的取值范围是〔 〕A ．]41,0(B ．〔0,1〕C ．)1,41[D ．〔0,3〕12.定义21---=⊗ka ab b a ,那么方程x x ⊗=0有唯一解时,实数k 的取值范围是〔 〕A.]2,1[]1,2[ --B.}5,5{-C. ]5,5[-D. ]5,1[]1,5[ -- 二、填空题〔本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中的横线上〕 13.不等式x x>1的解集是．．．14．在代数式522)11)(83(xx --的展开式中,常数项是 . 15. 在样本的频率分布直方图中,共有4个小长方形,这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列}{n a ,122a a =,且样本容量为400,那么小长方形面积最大的一组的频数为 ；频率是16．O 是△ABC 内一点,OB OC OA 3-=+,那么△AOB 与△AOC 的面积的比值为 三、解做题〔本大题共6小题,共74分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤〕 17. 〔此题总分值12分〕在△ABC 中,,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. 〔Ⅰ〕求B 的值； 〔Ⅱ〕求22sin cos()A A C +-的范围.18. 〔此题总分值12分〕某商场准备在节日期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.〔Ⅰ〕试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率； 〔Ⅱ〕商场对选出的商品采用有奖促销,即在该商品现价的根底上价格提升180元,同时允许顾客每购置1件促销商品有3次抽奖的时机,假设中奖,那么每次中奖都可获得奖金100元,假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的,试分析此种有奖促销方案对商场是否有利.19. 〔此题总分值12分〕如图,在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是矩形,AB=2,AD=1,顶点D 1在底面ABCD 上的射影O 是CD 的中点,侧棱与底面所成的角为60°. 〔Ⅰ〕求证：1BO D AO ⊥平面； 〔Ⅱ〕求点O 到平面AA 1D 1D 的距离； 〔Ⅲ〕求二面角C —AD 1—O 的大小.20. 〔此题总分值12分〕如图,A 村在B 地正北3km 处,C 村在B 地正东4km 处,弧形公路PQ 上任一点到B 、C 距离之和为8km, 〔I 〕建立适当的坐标系,求出公路PQ 所在的曲线方程；〔II 〕现要在公路旁〔近似地认为在公路上〕建造一个交电房M 分别向A 村、C 村送电,但C 村有一村办工厂用电需用专用线路,不得与民用混线用电,因此向C 村要架两条线路分别给村民和工厂送电,要使得所用电线长最短,变电房M 应建在A 村的什么方位,并求出M 到A 村的距离．21.〔此题总分值12分〕函数 28718.2,(0,310,1)(23=∈⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=e R m x mx x x e x f x 是自然对数的底数〕. 〔I 〕求函数)(x f 的极值；〔II 〕当x >0时,设)(x f 的反函数为),(1x f -假设)(,0p q f q p -<<试比较与)(1p q f--的大小.22.〔此题总分值14分〕数列{a n }满足a 1=5,a 2=5,a n+1=a n +6a n －1〔n ≥2,n ∈N*〕,假设数列}{1n n a a λ++是等比数列. 〔Ⅰ〕求数列{a n }的通项公式；〔Ⅱ〕求证：当k 为奇数时,113411++<+k k k a a ；〔Ⅲ〕求证：*).(2111121N n a a a n ∈<+++厦门双十中学2022届高三数学〔理〕高考热身卷参考答案1．B.2．D.解：=21z z i x x i x i )2()2()2)(1(++-=++,依题意得：x=2 3. C 解：如图,过(2,2)点时,Z 取最大值=2+2=44.C5．B.解：⇒=++642752725a a a a ⇒=+64)(275a a 4411281111175=⨯+=⇒=+a a S a a 6．A 解：〔条件最值〕设u=4ab=4a(1-a)=41]41)21([4)(22≤+--=+-a a a ,当且仅当a=21时等号成立 7. A.解：由三根式：x x x x x x x f 2)2)(1()(23--=-+=223)(2/--=x x x f ,依题意,21,x x 是02232=--x x 的两个根,8．C 解：)0,3()2sin(2)(πθ=+=a x x f 的图象按向量 y=g(x)= ])3(2sin[2θπ+-xg(x))322sin(2θπ+-=x ,因y=g(x)是奇函数,所以⇒=+-πθπk 32Z k k ∈+=,32ππθ.9.D 解：先将AB 捆绑当成一个元素,那么N=144222442255=⨯-⨯A A A A 10.A 解：0))(())((112121212122222121=-++-+⇒⎩⎨⎧=+=+y y y y b x x x x a by ax by ax 0=⋅+⇒AB k by ax 中中 所以0=⋅+⇒AB k x y b a 中中,所以23=b a 11．A.解：因0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有,所以f(x)在R 上单调递减函数,得0<a<1且a-3<0且a a 40≥,所以解得：]41,0(∈a12.A.解：x x ⊗=00212=---⇔kx x 212+=-⇔kx x ,设21221+=-=⇔kx y x y 与方程解的问题转化为两个函数图象的交点 由图可以观察出,]2,1[]1,2[ --∈k13.解：)1,0()1,(0)1)(1(0112 --∞⇔<+-⇔>-⇔>xx x x x x x ---------不用集合表示不得分14．解：常数项=2318)1(312152-=⨯--⨯xC x 15.解：d a a d a a a =⇒=+⇒=1111222,所以这4个正方形的面积为11114,3,2,a a a a , 所以⇒=+++4004321111a a a a 404001011=⇒=a a ,所以面积最的是160. 频率是0.416．解1：OB OC OA 3-=+⇒OB OC OA 23)(21-=+OB OD 23-=⇒,D 为 AC 中点所以设,23|,1||==OD OB 则,所以AOC AOD AOB S S S ∆∆∆==3132解2：图形特殊化,构造如下图的等腰直角三角形 那么设B 〔0,0〕,A 〔1,0〕,C 〔0,1〕),(y x OOB OC OA 3-=+⇒),(3)1,(),1(y x y x y x ---=--+--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==⇒=-=-5151321321y x y y x x 所以△AOB 面积=101,△BOC 的面积=101,△ABC 的面积=21,△AOC 的面积=103,所以答案为31 17．〔Ⅰ〕解法一：cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列,∴ cos cos 2cos a C c A b B +=…………………………………………2分 由正弦定理得,2sin ,2sin ,2sin .a R A b R B c R C ===代入得,2sin cos 2cos sin 4sin cos R A C R A C R B B +=即：sin(A+C)=2sinBcosB∵A+B+C=π∴sin(A+C)=sinB ∴sin 2sin cos B B B =…………………………4分 又在ABC ∆中,sin 0B ≠,∴1cos 2B =又0B π<<, ∴3B π=.……………………6分 解法二：∵cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列,∴cos cos 2cos a C c A b B +=…………………………………………2分由余弦定理,.2222222222222acb c a b bc a c b c ab c b a -+⋅=-+⋅+-+ 化简得, .222ac b c a =-+ ……………………4分∴212cos 222=-+=ac b c a B ∵ .3,0ππ=∴<<B B ………………………6分〔Ⅱ〕解：3B π=,23A C π∴+=∴222sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A π+-=-+-…………………8分 OC(0,1)A(1,0)B13331cos2cos2sin21sin2cos22222A A A A A=--+=+-13sin(2)3Aπ=+-……………………………………………………10分23Aπ<<,233Aπππ-<-<3sin(2)123Aπ∴-<-≤22sin cos()A A C∴+-的范围是1(,13]2-+……………………12分18.解：〔1〕从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中,选出3种商品,一共有39C种不同的选法,选出的3种商品中,没有日用商品的选法有35C种,所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.4237425113935=-=-=CCP……〔4分〕〔注：没有描述好P的意义扣1分〕〔2〕顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ,-----------------------------------------5分其所有可能的取值为0,100,200,300.〔元〕所以81)21()0(3===ξP, ,83)21()21()100(213=⋅==CPξ,83)21()21()200(223=⋅==CPξ.81)21()300(3===ξP-----------每个1分---------9分于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.180150813008320083100810<=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE…………11分故促销方案对商场有利.…………12分19．〔Ⅰ〕证实：1D在平面ABCD上的射影为O,1OD ABCD∴⊥平面,1OD OB∴⊥点O为DC的中点,2DC=,∴OC=1又1BC=,90DCB∠=,∠BOC=45°同理∠AOD=45°, ∴∠AOB=90°. ∴OB OA∴⊥1D O AO O=,1OB D AO∴⊥平面…………………………4分〔没有指出两线相交扣1分〕〔Ⅱ〕解法一：1D O ABCD⊥平面,1D O AD∴⊥又AD DO⊥,∴AD⊥平面1D DC111,,AD ADD A ADD A⊂∴平面平面在平面1D OD内,作1OH DD⊥,垂足为H,那么OH⊥11平面ADD A.∴线段OH的长为点O到平面11ADD A的距离1,D O ABCD⊥平面1DD∴在平面ABCD上的射影为DO.1D DO ∴∠为侧棱1DD 与平面ABCD 所成的角.160D DO ∴∠= 在Rt ODH ∆中,sin 60OH OD ==32.即点O 到平面11ADD A 的距离为32……8分 解法二：∵D 1O ⊥平面ABCD,∴DD 1在平面ABCD 上的射影为DO∴∠D 1DO 为棱DD 1与平面ABCD 所成的角, ∴∠D 1DO=60°∵OD=1, ∴2,311==DD O D∴6332131)21(3111=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=-OD AD OD V ADO D ∵AD ⊥DO,AD ⊥D 1O, ∴AD ⊥平面D 1DO ∴AD ⊥DD 1,设点O 到平面ADD 1A 1的距离为h, 那么h h h DD AD V ADD O 312161)21(3111=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=- ∵23.633111=∴=∴=--h h V V ADD O ADO D ，即点O 到平面ADD 1A 1的距离为 .23………10分 解法三：由〔Ⅰ〕可得,OA,OB,OD 1的两两垂直以点O 为坐标原点,分别以射线OA,OB,OD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. ∵D 1O ⊥平面ABCD,∴DD 1在平面ABCD 上的射影为DO∴∠D 1DO 为棱DD 1与平面ABCD 所成的角.∴∠D 1DO=60° ∵OD=1, ∴31=O D ∴)3,0,0(),0,22,22(),0,0,2(1D D A - ∴)3,22,22(),0,22,22(1-=--=DD AD )0,22,22(-=DO 设平面ADD 1的一个法向量为n =〔a ,b,c 〕,那么⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅-⋅-⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥.320322220022221b c b a c b a c b a DD AD ，解得，即nn 不妨令 )2,3,3(3--==n ，则b ∴点O 到平面ADD 1的距离.23|||||||||,cos |||=⋅⋅⨯=><=DO DO DO DO DO h n n n ………………8分 〔Ⅲ〕解：如图,作AO CM ⊥于M ,作1AD MN ⊥于N ,连结CNABCD O D 平面⊥1 ,MC O D ⊥∴1又1AD MC ⊥ ,1AOD MC 平面⊥∴又1AD MN ⊥ ,111AD CN AOD AD ⊥∴⊂平面CNM ∠∴为二面角O AD C --1的平面角,在OCM Rt ∆中,1=OC ,45=∠MOC ,22=∴CM . 在1ACD ∆中,21=CD ,522=+=AB BC AC ,52211=+=AO O D AD取C D 1的中点E ,连结AE ,那么C D AE 1⊥,2=∴AE 22111=⨯⨯=∆C D AE S C AD 2211=⨯⨯∴CN AD ,554=∴CN 在CMN Rt ∆中,810sin ==∠CN CM CNM 810arcsin =∠∴CNM . 二面角O AD C --1的大小为810arcsin.………………………………12分 20. 解：〔1〕如图,以BC 的中点为原点,BC 所在的直线为x 轴建立直角坐标系,----------1分那么B 〔－2,0〕,C 〔2,0〕,A 〔-2,3〕,---------------2分 ∵|MB|+|MC|=8〔8>|BC|=4〕,∴M 在以B 、C 为焦点,长轴长为8的椭圆上．-----------4分 得椭圆方程为1121622=+y x ．-----------6分〔2〕其离心率为21=e ,右准线为l ：x =8． 作MN ⊥l ,垂足为N,那么|AM|+2|MC|=|AM|+|MN|,-----------8分可见,当M 在AN 上时,|AM|+2|MC|最小,此时M 的纵坐标为3==A M y y ,-----------10分∴M 的纵坐标为32]12)3(1[162=-⨯=Mx ,故得M 在A 正东且距A 为〔2+23〕km 处．-----12分点评：2022年广东高考数学试题中,就有一道解析几何应用性的问题,它实质是来源于课本,你知道吗？ 21.解：〔I 〕∵当x >0时,),0(1)(+∞-=在xe xf 上单调递增,且01)(>-=xe xf ；当x ≤0时,2331)(mx x x f +=,此时).2(2)(2m x x mx x x f +=+='…………2分 ①假设m =0时,]0,(31)(,0)(32-∞=≥='在则x x f x x f 上单调递增,且031)(3≤=x x f .又0)0(=f ,可知函数)(x f 在R 上单调递增,无极值.…………………………3分②当m <0,令.200)2()(m x x m x x x f -<>⇒>+='或〔舍去〕函数]0,(31)(23-∞+=在mx x x f 上单调递增,同理,函数)(x f 在R 上单调递减,无极值, ………………4分③假设.200)2()(,0m x x m x x x f m -<>⇒>+='>或令函数]2,(31)(23m mx x x f --∞+=在上单调递增,在〔－2m ,0]上单调递减. 此时函数)(x f 在x =－2 m 处取得极大值：034438)2(333>=+-=-m m m m f ； 又)(x f 在〔0,+∞〕上单调递增,故在x =0处取得极小值：f (0)=0.综上可知,当m >0时,)(x f 的极大值为334m ,极小值为0；当m ≤0时,)(x f 无极值. …6分 〔II 〕当x >0时,设y =f 〔x 〕=e x －1).1ln(1+=⇒=+⇒y x e y x ).0)(1ln()(1>+=∴-x x x f 7分解1：比拟)1ln()(1)(1+-=--=---p q p q f e p q f pq 与的大小. 记).0(1)1ln()()()(1>-+-=-=-x x e x f x f x g x……………………………………………8分),0(11)(+∞+-='在x e x g x 上是单调递增函数,〔0)1(1)(2//>++=x e x g x 〕……9分011)0()(0=+-='>'∴x e g x g 恒成立. ∴函数),0()(+∞在x g 上单调递增. ……………10分.01)10ln()0()(0=-+-=>∴e g x g 当0<p <q 时,有q －p >0,.01)1ln()(>-+--=-∴-p q ep q g pq).()(),1ln(11p q f p q f p q e p q ->-+->-∴--即 ……………12分 解2：)1ln()(1)(1+-=--=---p q p q f ep q f pq 与,设函数)1ln(1)(+---=-p x e x g p x (x>p) 那么11)(/+--=-p x ex g px 在),0(+∞∈x 上是单调递增,〔2//)1(1)(+-+=-p x e x g px >0〕 011)()(0=-='>'∴e p g x g 恒成立 ∴函数),()(+∞p x g 在上单调递增,又在x=p 处连续.01)10ln()()(0=-+-=>∴e p g x g所以当q>p 时,g(q)>g(p),即.01)1ln(>-+---p q epq 所以)()(1p q f p q f ->-- 22.解〔Ⅰ〕∵}{1n n a a λ++为等比数列,∴1111116)1(6-----++++=+++=++n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a λλλλλλ1116)1(--+++⋅+=n n n n a a a a λλλ应为常数,∴λλ+=16得λ=2或λ=－3 ……………………2分 当λ=2时,可得}2{1n n a a ++为首项是 15212=+a a ,公比为3的等比数列,那么113152-+⋅=+n n n a a ①………………4分当λ=－3时,}3{1n n a a -+为首项是10312-=-a a ,公比为－2的等比数列,∴11)2(103-+--=-n n n a a ②①－②得, .)2(3nn n a --= ……………6分〔注：也可由①利用待定系数或同除2n+1得通项公式〕〔Ⅱ〕当k 为奇数时,11111342312313411+++++--++=-+k k k k k k k k a a 0)23)(23(3])23(78[4)23)(23(34867111111<-+⋅-⋅=-+⋅⨯+⨯-=++++++k k k k k k kk k k k k k k ∴ 113411++<+k k k a a …10分〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知k 为奇数时,11131313411++++=<+k k k k k a a …………12分 ①当n 为偶数时,21)311(21313131111221<-=+++<+++n n n a a a ②当n 为奇数时,121211111111+++++<+++n n n a a a a a a a =21)311(21313131112<-=+++++n n ………………14分。
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2014双十中学热身卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的]1．设全集R U =，集合{11}M x x x =><-或，{}|02N x x =<<，则()U N M =I ð ( )A ．{}|21x x -≤<B ．{}|01x x <≤C ．{}|11x x -≤≤D ．{}|1x x <2. 已知圆22:1O x y +=及以下３个函数：①3()f x x =；②()tan f x x =；③()sin .f x x x =其中图像能等分圆C 面积的函数有（ ）A ．3个 B. 2个 C. 1 个 D. 0个 3.下列结论错误．．的是( ) A.命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若24,340x x x ≠--≠则”B.“4x =”是“2340x x --=”的充分不必要条件C.已知命题p “若0m >，则方程20x x m +-=有实根”,则命题p 的否定p ⌝为真命题D.命题“若220m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若220.00m n m n +≠≠≠则或”4．已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞- B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．[3,)+∞ D ．(,1][3,)-∞-+∞U5. 执行如图所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.46.父亲身高x (cm) 174 176 176 176 178 儿子身高y (cm)175175176177177则y 对x A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝1767．把函数22cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是( )8. 已知方程|x –2n|-k x =0（*n N ∈）在区间[2n –1，2n+1]上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．1021k n <≤+ B ．0<k ≤21n + C ．121n +≤k ≤21n + D ．021k n <<+9. 如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=2AA 1=4，点O 是底面ABCD 的中心，点E 是A 1D 1的中点，点P 是底面ABCD 上的动点，且到直线OE 的距离等于1， 对于点P 的轨迹，下列说法正确的是（ ）A.离心率为2的椭圆 B.离心率为12的椭圆 C.一段抛物线 D.半径等于1的圆 10.已知集合M=N={0，1，2，3}，定义函数f ：M →N ，且点A （0，f （0）），B （i ，f （i ）），C （i+1，f （i+1）），（其中i=1，2）．若△ABC 的内切圆圆心为P ，且满足()PA PC PB R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的ABC ∆有（ ）A ． 10个B ． 12个C ． 18个D ． 24个 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
11. 已知复数z 的实部为1，且2z =，则复数z 的虚部是 . 12. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 .13. 某初中校共有学生1200名，各年级男、女生人数如右表，已知在全校 学生中随机抽取l 名，抽到八年级女生的概率是0.18，现用分层抽样 的方法在全校抽取200名学生，则在九年级应抽取 名学生.14. 已知,x y 满足约束条件220200x y x y y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的取值范围15. 已知2012(21)...n n n x a a x a x a x +=++++中令0,x =就可以求出常数，即01a =. 请你研究其中蕴含的解题方法研究下列问题若0xi i i e a x +∞==∑，即23401234x n n e a a x a x a x a x a x =++++++L L ，则123123nna a a a ++L= 16.(本题满分13分)如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC =AD =CD =DE =2，AB =1，F 为CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ； （Ⅱ）求面ACD 和面BCE 所成锐二面角的大小．17.(本题满分13分)如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处进行该仪器的垂直弹射，地面观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得最高点H的仰角为30°.(声音的传播速度为340米/秒)（Ⅰ）设AC 两地的距离为x 千米，求x ； （Ⅱ）求该仪器的垂直弹射高度CH .18．(本题满分13分)某电视台举办猜歌曲的娱乐节目：随机播放歌曲片段，选手猜出歌曲名称可以赢取奖金. 曲库中歌曲足够多，不重复抽取. 比赛共分7关：前4关播放常见歌曲；第5,6关播放常见或罕见歌曲，曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比为1：4；第7关播放罕见歌曲.通过关卡与对应的奖金如右表所示.选手在通过每一关（最后一关除外）之后可以自主决定退出比赛或继续闯关；若退出比赛，则可获得已经通过关卡对应奖金之和；若继续闯关但闯关失败，则不获得任何奖金.（Ⅰ）选手甲准备参赛，在家进行自我测试：50首常见歌曲，甲能猜对40首；40首罕见歌曲，甲只能猜对2首，以他猜对常见歌曲与罕见歌曲的频率最为概率.①若比赛中，甲已顺利通过前5关，求他闯过第6关的概率是多少？②在比赛前，甲计划若能通过第1,2,3关的任意一关，则继续；若能通过第4关，则退出，求这种情况下甲获得奖金的数学期望；（Ⅱ）设选手乙猜对罕见歌曲的概率为p ，且他已经顺利通过前6关，当p 满足什么条件时，他选择继续闯第7关更有利？．19．（本小题满分13分）已知点F 是抛物线Γ: 22(0)x py p =>的焦点，点0(,1)M x 到F 的距离为2.关卡 关卡奖金/元 累计奖金/元1 1000 10002 2000 30003 3000 60004 4000 100005 8000 180006 12000 30000720000 50000（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线AB :y x b =+与曲线Γ相交于A,B 两点，若AB 的中垂线与y 轴的交点为(0,4)，求b 的值.（Ⅲ）抛物线Γ上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线.若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. 20．（本小题满分14分） 已知()x af x x e =-存在单调递减区间． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）判断曲线y=f （x ）在x=0的切线能否与曲线x y e =相切？若存在，求出a ，若不存在，说明理由；（Ⅲ）若f （x 1）=f （x 2）=0（x 1＜x 2），求证：12x e x a<．21.(1)已知矩阵3221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵1011B ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求矩阵A 的逆矩阵；（Ⅱ）若矩阵X 满足AX B =,求矩阵X.（2）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为3512x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于P 、Q 两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积．(3)选修4-5：不等式选讲已知函数f(x) = |x + a| + |x －2|.(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若f(x)≤|x －4|的解集包含[1, 2]，求a 的取值范围.2014双十中学热身卷理科数学1.【解析】{11}M x x x =><-或，所以{11}U M x x =-≤≤ð，所以()U N M =I ð{}|01x x <≤，选B.2.解：①与②都是奇函数，满足题意，③是偶函数，且f(0)=0，所以不符合题意.3.【解析】虽然对“若…则…”结构命题的“否定”我们现在写不出，但并不妨碍我们对其否定进行判断.命题p “若0m >，则方程20x x m +-=有实根”，140m ∆=+>，所以p 为真，则p ⌝一定是 .4.∵等比数列{a n }中，a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q.当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3， 当公比q ＜0时，S 3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2－q ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案 D5.由题意知221,2log ,2x x y x x ⎧-≤=⎨>⎩。
当2x ≤时，由213x -=，得24x =，解得2x =±。
当2x >时，由2log 3x =，得8x =，所以输入的实数x 值的个数为3个，选C.6.解析 因为x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(x －，y －)，所以将(176,176)代入A 、B 、C 、D 中检验知选C. 7.2222(1)(1)2cos 2cos 2cos 2cos 1cos(1)222x x x y x y y y x ++=→=→=→=-=+，再用五点作图.A8.解观察发现令n=1进行检验，转化为12|2|y x y k x =-=与在[1,3]上有两交点的条件. 只需满足B 在A 下方（包括重合）,331k k ≤⇒≤，且k>0,只有B 满足 9.解1：先不考虑点P 在平面上，由点P 到OE 的距离为1，则P 的轨迹是空间中以OE 为旋转轴，半径为1的圆柱，又被底面所截，所以点P 的轨迹为椭圆，作EF ⊥AD 于点F ，则EF=OF=2，△OEF 为等腰直角三角形，得轴OE 与平面ABCD 所成的角为45°，知点P 的轨迹是椭圆，而半长轴长a ＝2，b=1,则c=1,所以22e =. 解2：利用向量“投影” 研究点到线距离,点P 到OE 的距离=2222()||OP OE OP OF OP OE ⋅-=-=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r 如图建立坐标系,… 解3：利用“三垂线定理”，过P 作OF 垂线PG ，则PG ⊥平面 ，过G 作GH 垂直OE ，连接PH ，则PH ⊥如图建立坐标系,…10. 选C.设D 为AC 中点，则2()PA PC PD PB R λλ+==∈u u u r u u u r u u u r u u u r，所以AC 边上的中线与角平分线重合，知△ABC 是以B 为顶点的等腰三角形，A 点是4×4的格点第一列中的点． ①当i=1时，B 点是第二列格点中的点，C 点是第三列格点中的点， 此时腰长为、、的△ABC 分别有6个、4个、2个，②当i=2时，B 点是第三列格点中的点，C 点是第四列格点中的点， 此时腰长为的△ABC 分别有6个，满足条件的△ABC 共有18个． 11.解：设21(),1+23z bi b R b b =+∈⇒=则12. 1111133v =⨯⨯⨯=13.解：0.182161200aa =⇒=，则1200(204198216222)360bc +=-+++=，则360602001200x x =⇒= （在样本中的比例与总体中的比例 ）14.由2z x y =+得，2y x z =-+。