第十二章 实数

第十二章 实数

知识梳理

1. 为什么学平方根、立方根：

2. 算术平方根的概念：

3. 算术平方根具有非负性：

4. 平方根的概念：

5. 平方根的特性：

6. 开平方：

7. 立方根概念：

8. 立方根的特性：

9. 开立方： 10. 实数的意义： 11. 实数的分类：

12. 实数范围内求相反数、倒数、绝对值： 13. 实数与数轴上的点是一一对应的： 14. 分数指数幂

知识归纳

一.实数的概念： 1.数的分类及概念

数系表：

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）

2）有标准

2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0）

常见的非负数有：

实数

无理数(无限不循环小数)

0 (有限或无限循环性数) 整数

分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数

整数 分数 无理数

有理数

正数

整数 分数 无理数

有理数

│a │

2

a a (a ≥0)

(a 为一切实数)

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

3．数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

二.实数的运算 (1)加法

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即

⎪⎩

⎪

⎨⎧⋅-⋅=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab

(4)除法

)0(1

≠⋅=b b a b a (5)乘方

个

n n

a aa a = (6)开方 如果x 2＝a 且x ≥0，那么a ＝x ； 如果x 3

=a ，那么x a =3

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面． 3．实数的运算律

(1)加法交换律 a+b ＝b+a

(2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 ab ＝ba ． (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac

其中a 、b 、c 表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．

一.填空题

1.－1的相反数的倒数是

2.已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b ）的相反数

3.数－3．14与－Л的大小关系是

4.和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是

5.数轴上点A 表示数－1，若AB ＝3，则点B 所表示的数为

6.已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x ，－x ，－|y|，y 。

7.最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？ 8.绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？ 9.把下列语句译成式子：

（1）a 是负数 ；

（2）a 、b 两数异号 ； （3）a 、b 互为相反数 ；

（4）a 、b 互为倒数 ；

(5)x 与y 的平方和是非负数 ； （6）c 、d 两数中至少有一个为零 ； （7）a 、b 两数均不为0 。

10.0的相反数是 ，3－л的相反数是 ，3

－8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，0 的绝对值是 ， 2 － 3 的倒数是 11.数轴上表示-3.2的点它离开原点的距离是 。

12.A 表示的数是－12 ，且AB ＝1

3

，则点B 表示的数是 。

13.－33 ,л,(1－ 2 )º,－227 ,0．1313…,2cos60º, －3－1

,1．101001000… (两1之间依次多一个0),

中无理数有 ，整数有 ，负数有 。 14.若a 的相反数是27，则｜a|＝ ；5．若|a|＝ 2 ，则a=

15.若实数x ，y 满足等式（x ＋3）2

＋｜4－y ｜＝0，则x ＋y 的值是 16.一个正数的算术平方根与立方根是同一个数，则这个数是 .

17.小红做了棱长为5cm 的一个正方体盒子，小明说：“我做的盒子的体积比你的大218 cm 3

。”则小明的盒子的棱长为 cm.

1875-的绝对值是 ， 的倒数是

7

1

19一个数的平方等于49，则这个数是 . 20.16的算术平方根是 ，平方根是 .

21.如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是

22.一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是 。

23.若53-=x ，则=x ，若，52

=x 则=x

24.满足73 x -的所有整数x 是 。

25.用“ ”“≤”或“＝”连接

1_______3

1

6,

6______27,43_____34+。 26当x 时，x 32-有意义；当x 时，352+x 有意义。 27.数轴上的点与 一一对应。 28.将坐标平面上的点(

)

2,5-A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，A 点的坐标

为 。