4讲扭转内力薄壁圆筒的扭转应力
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薄壁圆筒弯扭作用下内力与应力的测定
5、 6、 7 , 它 们 与 中 轴 线 夹 角 分 别 为 90° 、 45° 、 0° 、 135° 、 45° 、 0° 、 135° ,见图 2.
μ= 0128
p0 = 80 N p n = 400 N
2) 估算试件的承载能力 , 并确定试验的初载
p0 ,末载 pn .
3) 单壁测量电阻应变仪的应变值 ,每枚电阻片
阻改变 ,电阻应变仪将应变片的电阻变化转换成电 信号并放大 ,然后显示出由应变值换算而成的应力 [2 ] 值 ,达到对构件进行实验应力分析的目的 . 112 实验仪器 见图 1.
1 实验原理 、 仪器和方法
111 实验原理
被测构件表面用专用粘结剂将电阻应变片粘 贴后 ,应变片因感受到被测点的应变而使自身的电
薄壁圆筒弯扭作用下内力与应力的测定
耿 皓
( 哈尔滨商业大学 土木与制冷工程学院 ,黑龙江 哈尔滨 150028)
摘 要 : 介绍了应变电测法在实验应力分析中的优越性 ,阐述了采用电测技术测量薄壁圆筒在弯扭组 合作用下应力与内力的实验方法 ; 对被测截面的应力和应变进行分析 ,用理论结果证明了该方法测试 效果的可靠性 . 关键词 : 电测法 ; 弯扭组合 ; 应力 ; 电阻应变仪 ; 被测截面 中图分类号 :O348 文献标识码 :A 文章编号 :1672 - 0946 (2006) 01 - 0105 - 03
a1 上表面电阻片分布 b1 下表面电阻片分布
图2 电阻片布置方式
至少重复加 、 卸载两次 ,以保证数据可靠稳定 . 4) 采用半桥测量方式分别测出与弯矩 、 扭转有
为保证数据的精确性 ,每个被测量点均测量两 次 ,并取其平均值做为被测量点的应变值见表 2.
表2 测定的应变值
μ= 0128
p0 = 80 N p n = 400 N
2) 估算试件的承载能力 , 并确定试验的初载
p0 ,末载 pn .
3) 单壁测量电阻应变仪的应变值 ,每枚电阻片
阻改变 ,电阻应变仪将应变片的电阻变化转换成电 信号并放大 ,然后显示出由应变值换算而成的应力 [2 ] 值 ,达到对构件进行实验应力分析的目的 . 112 实验仪器 见图 1.
1 实验原理 、 仪器和方法
111 实验原理
被测构件表面用专用粘结剂将电阻应变片粘 贴后 ,应变片因感受到被测点的应变而使自身的电
薄壁圆筒弯扭作用下内力与应力的测定
耿 皓
( 哈尔滨商业大学 土木与制冷工程学院 ,黑龙江 哈尔滨 150028)
摘 要 : 介绍了应变电测法在实验应力分析中的优越性 ,阐述了采用电测技术测量薄壁圆筒在弯扭组 合作用下应力与内力的实验方法 ; 对被测截面的应力和应变进行分析 ,用理论结果证明了该方法测试 效果的可靠性 . 关键词 : 电测法 ; 弯扭组合 ; 应力 ; 电阻应变仪 ; 被测截面 中图分类号 :O348 文献标识码 :A 文章编号 :1672 - 0946 (2006) 01 - 0105 - 03
a1 上表面电阻片分布 b1 下表面电阻片分布
图2 电阻片布置方式
至少重复加 、 卸载两次 ,以保证数据可靠稳定 . 4) 采用半桥测量方式分别测出与弯矩 、 扭转有
为保证数据的精确性 ,每个被测量点均测量两 次 ,并取其平均值做为被测量点的应变值见表 2.
表2 测定的应变值
薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样
薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样薄壁圆管和空心圆管都是工程中常见的结构，它们在许多领域都有着广泛的应用。
在进行工程设计与计算的时候，需要对它们的力学性能进行分析，以确保它们可以承受所处环境下的应力和荷载。
其中一个重要的参数就是扭转切应力。
本文将对薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力进行详细的介绍，并证明它们的公式是完全一样的。
首先，让我们了解一下扭转切应力的概念。
扭转是指物体在其长轴周围旋转，类似于拧紧一根螺钉时所施加的力。
而切应力则是材料内部受到的切割力。
在薄壁圆管和空心圆管中，扭转切应力是由弯曲力和截面变形引起的。
这个应力表达式可以用以下公式表示：T/τ = Gθ/l其中，T表示扭转矩，τ表示扭转切应力，G表示杨氏模量，θ表示扭转角度，l表示管长。
在上述公式中，我们可以看到，扭转切应力的公式中只涉及到杨氏模量和扭转角度。
这意味着，无论是薄壁圆管还是空心圆管，只要它们的材料和尺寸参数相同，它们所受的扭转切应力应该是一样的。
因此，这个公式在这两种不同的结构中应该是相同的。
不过，我们也需要注意到，薄壁圆管和空心圆管的应用场景和要求是不同的。
比如，在用于承载压力的情况下，薄壁圆管更加适合，因为它更具有抗弯刚度，而且材料费用更低；而空心圆管则更加适用于需要输送气体或液体的情况下，因为它可以在管壁中提供一些附加的绝缘层来隔离携带介质。
综上所述，薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式是完全一样的。
正是这个共同的特征，使得它们在相同的材料和尺寸参数下，能够承受相同的载荷。
而在选择使用哪一种类型的圆管时，需要根据具体的应用场景和需求来进行选择，以确保圆管能够满足所需的强度和稳定性要求。
04-4.2 薄壁圆筒的扭转
材料力学大连理工大学王博纯剪切切应力互等定理剪切胡克定律t r1. 变形特点圆周线 形状、大小、间距未变绕轴线旋转不同角度纵向线 间距未变，倾斜角度相同一、横截面上的切应力（目的：由内力表征出应力）薄壁圆筒扭转 纯剪切什么是薄壁圆筒? ——壁厚 t 远小于平均半径 r圆周线 纵向线2. 横截面上的应力猜测（特点）切应力τσ = 0 ；（2）大小 沿壁厚均匀分布、数值由静力学关系求得（1）方向 垂直于所在半径、 对轴线的矩与扭矩一致Q ：从合力的作用效果分析，切应力与之前所学的连接件切应力有何不同？ F τ ττ ≠ 0 推断（有无） M e T得 t Tr或 其中A 0为壁厚中线所围的面积由静力等效 ⎰=⋅⋅=⋅ATr t r A r τπτ2d 22πT r t τ=02T A t τ=tT r 20πA r =d A τd Ax yz 二、切应力互等定理Theorem of Conjugate Shearing Stress 应力单元体特点 1.各边长无穷小 2.各面应力均匀分布 3.平行两面对应应力数值相等 d y d x d z y z x d xd y d zτ'∑M x =0， ∴ 定理 在互相垂直的两个截面上1.垂直于截面交线的切应力数值相等2.方向同时指向截面交线，或同时背离截面交线 τ()()d d d d d d 0x y z x z y ττ'-==ττ'圆筒扭转横截面边缘各点切应力τ的方向为什么一定与边线相切（垂直于半径）？切应力互等定理——小试牛刀！！τM eτττTτ τ三、剪切胡克定律 Hooke ’s Law in Shear ττ γ γ 回忆 材料的拉压胡克定律 当 σ εσp P =E σσσε≤，弹性常数之关系 当 τ ≤ τpτ = Gγ式中 τp — 剪切比例极限G — 切变模量 Shear Modulus 单位 GPa τ © 变形后 线性剪切胡克定律 τ τ γ τp ()ν+=12E G。
薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒
6.3、等直圆杆在扭转时的应力
实验观察现象 圆周线绕杆轴线相对旋 转了一个角度,大小和 形状均未改变； 圆周线间的距离未变； 纵向线倾斜了一个角度。 满足平面假设 横截面上只有剪应力
剪应力计算
G1G d tg dx dx
此式表达了横截面上任 一处的剪应变随该点在横 截面上的位置而变化的规律。
2 D 2 d 2
(
d ) D
d O
d
D
32 D 4 (1 4 ) 0.1D 4 (1 4 ) 32
(D4 d 4 )
应力分布情况?
确定最大剪应力：
T 知：当 Ip d R , max 2 d T T T 2 max d Wt I I 2
解：①设计杆的外径
Tmax Wt [ ]
D Wt （ 1 4）
3
16
16Tmax D 4 1 ） [ ] （
代入数值得：
1 3
D 0.0226m。
② 由扭转刚度条件校核刚度
Tmax 180 32 40 180 max 1 . 89 9 2 4 4 GIP 80 10 D ( 1 )
③右端面转角为：
T 10 2 40 20x dx 0 dx ( 4 x x2 ) GIP GIP GIP
L 0
2 0
0.033 (弧度）
圆柱形密圈螺旋弹簧的应力计算 T Q
=
Q
+
T
T
P
近似值：
PD P d 8DP 2 3 2 1 3 d d 2D d 16 4
薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。
薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。
薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样圆管扭转时，产生的切应力是一种很重要的计算参数。
对于薄壁圆管和空心圆管，它们的扭转切应力公式完全一样。
以下是详细讨论。
一、扭转切应力公式扭转切应力（τ）指的是圆管轴向两端产生的相互抵消的、沿圆管环向的切应力。
它是由轴向力引起的，常用如下公式表示：τ = Tc / (2πr^2t)其中，Tc为圆管扭矩，r为圆管内径，t为圆管壁厚。
二、薄壁圆管和空心圆管的概念薄壁圆管即壁厚很薄的圆管，其内径（r）和外径之间的差距不大，常用于轻型结构、航空航天等领域。
空心圆管指的是圆管内部为空的管子，常用于输送流体、建造支撑结构等方面。
三、薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式对于薄壁圆管和空心圆管，它们的扭转切应力公式完全一样。
在上面的公式中，圆管内径r的大小对于扭转切应力的大小有很大的影响。
同时，圆管的壁厚（t）也是影响扭转切应力的另一个因素。
在工程和物理计算中，薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式是经常使用的，比如在飞机翼梁和车辆悬挂系统等方面。
同时，在纳米科技和生物医学方面的应用也有相关研究。
四、其他的相关计算除了扭转切应力，圆管在扭转过程中还会产生剪应力、弯曲应力等。
这些应力也需要进行计算和分析。
同时，在实际应用中，一些非圆形管道或扇形管道等结构也有扭转变形的问题。
这些问题需要借助复杂的数学模型和计算方法进行分析和求解。
总之，薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式是很重要的计算参数。
理解和掌握圆管扭转的相关知识，对于工程和物理计算有着重要的意义。
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
W P 1000(N.m)
薄壁圆筒的扭转
用于测量薄壁圆筒在扭转过程 中的应力应变分布。
实验步骤
将薄壁圆筒固定在实验台上，确保其稳定不动 。
01
使用扭矩测量装置测量施加的扭矩大小， 并记录数据。
03
02
在薄壁圆筒的一端施加扭矩，使其发生扭转 。
04
使用位移传感器测量薄壁圆筒在扭转过程 中的位移，并记录数据。
使用应力应变测量仪测量薄壁圆筒在扭转 过程中的应力应变分布，并记录数据。
工程实例一
总结词：桥梁结构
详细描述：薄壁圆筒的扭转在桥梁结构设计中有着广泛应用。例如，桥梁的桥墩和桥台通常采用薄壁圆筒结构，这些结构在 承受扭转力时表现出良好的稳定性。
工程实例二
总结词：建筑结构
详细描述：在高层建筑或大型工业建筑中，薄壁圆筒的扭转被广泛应用于建筑结构的支撑和抗扭设计 中。这些薄壁圆筒可以增强建筑的稳定性和抗风能力。
薄壁圆筒的扭转
• 引言 • 薄壁圆筒扭转的基本概念 • 薄壁圆筒的力学性能 • 薄壁圆筒的扭转实验 • 薄壁圆筒的扭转模拟 • 薄壁圆筒的扭转在实际中的转是一个涉及材料力学 、流体力学和工程设计等多个领域的 主题。它主要研究薄壁圆筒在扭矩作 用下的应力、应变和稳定性等特性。
在薄壁圆筒的扭转过程中，圆筒的一端固定，另一端施加扭矩，使圆筒产生旋转 运动。
薄壁圆筒扭转的原理
01
当对薄壁圆筒施加扭矩时，圆筒的横截面将受到剪切应力和弯 曲应力的作用。
02
由于薄壁圆筒的壁厚很薄，剪切应力和弯曲应力会在横截面上
产生很大的应力集中，可能导致圆筒破裂或变形。
因此，在薄壁圆筒的扭转过程中，需要合理选择材料、壁厚和
模拟结果分析
应力和应变分布
通过模拟结果分析薄壁圆筒在不 同扭转状态下的应力和应变分布 情况，验证是否满足强度要求。
实验步骤
将薄壁圆筒固定在实验台上，确保其稳定不动 。
01
使用扭矩测量装置测量施加的扭矩大小， 并记录数据。
03
02
在薄壁圆筒的一端施加扭矩，使其发生扭转 。
04
使用位移传感器测量薄壁圆筒在扭转过程 中的位移，并记录数据。
使用应力应变测量仪测量薄壁圆筒在扭转 过程中的应力应变分布，并记录数据。
工程实例一
总结词：桥梁结构
详细描述：薄壁圆筒的扭转在桥梁结构设计中有着广泛应用。例如，桥梁的桥墩和桥台通常采用薄壁圆筒结构，这些结构在 承受扭转力时表现出良好的稳定性。
工程实例二
总结词：建筑结构
详细描述：在高层建筑或大型工业建筑中，薄壁圆筒的扭转被广泛应用于建筑结构的支撑和抗扭设计 中。这些薄壁圆筒可以增强建筑的稳定性和抗风能力。
薄壁圆筒的扭转
• 引言 • 薄壁圆筒扭转的基本概念 • 薄壁圆筒的力学性能 • 薄壁圆筒的扭转实验 • 薄壁圆筒的扭转模拟 • 薄壁圆筒的扭转在实际中的转是一个涉及材料力学 、流体力学和工程设计等多个领域的 主题。它主要研究薄壁圆筒在扭矩作 用下的应力、应变和稳定性等特性。
在薄壁圆筒的扭转过程中，圆筒的一端固定，另一端施加扭矩，使圆筒产生旋转 运动。
薄壁圆筒扭转的原理
01
当对薄壁圆筒施加扭矩时，圆筒的横截面将受到剪切应力和弯 曲应力的作用。
02
由于薄壁圆筒的壁厚很薄，剪切应力和弯曲应力会在横截面上
产生很大的应力集中，可能导致圆筒破裂或变形。
因此，在薄壁圆筒的扭转过程中，需要合理选择材料、壁厚和
模拟结果分析
应力和应变分布
通过模拟结果分析薄壁圆筒在不 同扭转状态下的应力和应变分布 情况，验证是否满足强度要求。
11-扭转内力+薄壁圆筒的扭转
Me
往不是直接给出的，而是给出 其功率和转速。
功率：N 马力或 P 千瓦 转速：n转/分钟
Me每分钟做功 = M e ⋅ 2π ⋅ n 1千瓦 = 1kN.m/s = 60kN.m/min
P千瓦每分钟做功
= P ⋅ 60kN.m
P M e = 9.55 n
第八章 扭转
§8-4 薄壁圆筒的扭转
Me
γ δ
E G= 2(1 + υ )
r0 δ≤ 10
Me
可以观察到： ①圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变 ②所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同
第八章 扭转 Me
dy γ 放大
τ'
单元体 dy τ
γ
τ
dx
Me
τ'dx
δ
(τ ⋅ δ ⋅ dy ) ⋅ dx
(τ ′ ⋅ δ ⋅ dx ) ⋅ dy
τ′ =τ
切应力互等定理： 在单元体相互垂直的两个截面上，切应力的数值相 等，并且它们同时指向（或背离）这两个截面的交线。
第八章 扭转 Me
τ
dA
T r0
dA
τ
T r0
τ dA
T=
τ dA
∫
= ∫ τ ⋅ r0 dA = τ r0 ∫ dA = τ r0 A
A
T T τ= = Ar0 2π r02δ
第八章 扭转
τ'
dy τ
γ
τ ∝γ
τ
引入比例常数 G
τ'dx
δ
τ = Gγ
——剪切虎克定律 G — 剪切弹性模量，切变模量
M2 M3 M1 M4
A
B
C
4.68kN.m
往不是直接给出的，而是给出 其功率和转速。
功率：N 马力或 P 千瓦 转速：n转/分钟
Me每分钟做功 = M e ⋅ 2π ⋅ n 1千瓦 = 1kN.m/s = 60kN.m/min
P千瓦每分钟做功
= P ⋅ 60kN.m
P M e = 9.55 n
第八章 扭转
§8-4 薄壁圆筒的扭转
Me
γ δ
E G= 2(1 + υ )
r0 δ≤ 10
Me
可以观察到： ①圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变 ②所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同
第八章 扭转 Me
dy γ 放大
τ'
单元体 dy τ
γ
τ
dx
Me
τ'dx
δ
(τ ⋅ δ ⋅ dy ) ⋅ dx
(τ ′ ⋅ δ ⋅ dx ) ⋅ dy
τ′ =τ
切应力互等定理： 在单元体相互垂直的两个截面上，切应力的数值相 等，并且它们同时指向（或背离）这两个截面的交线。
第八章 扭转 Me
τ
dA
T r0
dA
τ
T r0
τ dA
T=
τ dA
∫
= ∫ τ ⋅ r0 dA = τ r0 ∫ dA = τ r0 A
A
T T τ= = Ar0 2π r02δ
第八章 扭转
τ'
dy τ
γ
τ ∝γ
τ
引入比例常数 G
τ'dx
δ
τ = Gγ
——剪切虎克定律 G — 剪切弹性模量，切变模量
M2 M3 M1 M4
A
B
C
4.68kN.m
薄壁圆筒的扭转熟悉扭矩
BC
D
A
BC
D
A
351Nm 351Nm
1170Nm 468Nm 468Nm
351Nm
702Nm (a)
351Nm 351Nm 468Nm
351Nm 702Nm (b)
1170Nm 1170Nm
3、增大极惯性矩和抗扭截面模量。
G
d
dx
τmax
max
Tn
O
Tn
O
3、静力学方面
圆轴扭转变形的基本公式
Tn I
I 2dA，称为截面的极惯性矩。
圆轴的极惯性矩 I
d 4
32
最大扭转剪应力
max
Tn R I
Tn I R
W
I 为抗扭截面模量， max
R
Tn W
0 GI
GI
薄壁圆管
Tnl 2GR03t
二、圆轴扭转刚度条件
单位长度内的扭转角 d Tn
dx GI
刚度条件
T GI
p
max
或max
Tn max GI
180
许用扭转角查设计标准或规范。
单位换算：rad
教学要求
了解扭转的概念，薄壁圆筒的扭转 熟悉扭矩、扭矩图，圆轴扭转时的应力， 圆轴扭转时的强度计算掌握圆轴扭转时的 变形和刚度计算，提高圆轴扭转强度和刚 度的措施。
教学重点与难点
重点：扭矩图的绘制，圆轴扭转时的 应力，圆轴扭转时的强度计算
难点：圆轴扭转时的变形和刚度计算
§8、2-1 扭转的概念 §8.2-2 圆轴扭转时的应力 §8.2-3 薄壁圆筒的扭转 §8.2-4 圆轴扭转时的应力分析 §8.2-5 圆轴扭转时的强度计算 §8.2-6 圆轴扭转时的变形与刚度计算
薄壁圆筒的扭转
B
Me
D C dx δ
2
4.推导公式 (Derivation of formula)
A dA r r A dA r(2π r ) T
T 2πr 2
此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.
薄壁筒扭转时横截面上的切应力均匀分布, 与半径垂直,
指向与扭矩的转向一致.
τ T
τ
二、切应力互等定理 (Shearing Stress Theorem)
§3-3 薄壁圆筒的扭转
(Torsion of thin-walled cylindrical Vessels)
薄壁圆筒：壁厚
1 10
r0（r0—圆筒的平均半径）
一、应力分析 (Analysis of stress)
1.实验前
（1）画纵向线,圆周线;
（2）施加一对外力偶.
2.实验后 （1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和 Me 间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
r
l
T
从 T 与 之间的线性关系,可推出 与 间
的线性关系 . G
O
该式称为材料的剪切胡克定律
(Hooke’s law for shear)
G –剪切弹性模量
三个弹性常数的关系 G E
2(1 )
O
知识回顾 Knowledge Review
（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度 ； （3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.
3.推论(Inference)
Me
（1）横截面上无正应力，只
有切应力；
（2）切应力方向垂直半径或 与圆周相切.
圆周各点处切应力的方向于圆周相切, A
且数值相等, 近似的认为沿壁厚方向各点处
材料力学(第五版)扭转切应力 PPT课件
得：
pq
da
Me
cb
pq
pq
d’ a’
Me
c’
b’
pq
切应力互等定理
切应力互等定理
d
a
d
a
c
b
c
b
在相互垂直的两个截面上，切应力 必然成对出现，且大小相等，方向为共 同指向或共同背离两个截面的交线。
二、剪切胡克定律
d
a
Me
c
b
d’
γ
a’
pq
da
Me
cb
pq pq
T3 158.7 N m
Wp1
d13 16
703 109 16
67.34 106 m3
Wp 2
d32 16
503 109 16
24.54 106 m3
Wp3
d33 16
353 109 16
8.418106 m3
(max )E
D4 d 4 32
D
I p
πD4
1 α4 32
d
O
式中: d
D
D
圆轴扭转最大切应力
max
|R
TR IP
令:
Wp
IP R
抗扭截面系数
圆轴扭转最大切应力为:
max
T Wp
实心圆轴的抗扭截面系数为:
D3 Wp 16
空心圆轴的抗扭截面系数为:
Wp
A1
4
d12
A2
4
pq
da
Me
cb
pq
pq
d’ a’
Me
c’
b’
pq
切应力互等定理
切应力互等定理
d
a
d
a
c
b
c
b
在相互垂直的两个截面上，切应力 必然成对出现，且大小相等，方向为共 同指向或共同背离两个截面的交线。
二、剪切胡克定律
d
a
Me
c
b
d’
γ
a’
pq
da
Me
cb
pq pq
T3 158.7 N m
Wp1
d13 16
703 109 16
67.34 106 m3
Wp 2
d32 16
503 109 16
24.54 106 m3
Wp3
d33 16
353 109 16
8.418106 m3
(max )E
D4 d 4 32
D
I p
πD4
1 α4 32
d
O
式中: d
D
D
圆轴扭转最大切应力
max
|R
TR IP
令:
Wp
IP R
抗扭截面系数
圆轴扭转最大切应力为:
max
T Wp
实心圆轴的抗扭截面系数为:
D3 Wp 16
空心圆轴的抗扭截面系数为:
Wp
A1
4
d12
A2
4
材料力学课件-第四章 扭转-薄壁杆件的扭转
部分加厚由于最小壁厚不变，最大应力不变。部分加厚后甚至由于应力集中更危险。
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
《材料力学》课件3-2薄壁圆筒的扭转
切应力计算
根据材料力学的基本原理，切应力的大小可以通过扭矩和横截面 面积的比值计算得到。
变形量计算
通过测量薄壁圆筒在扭转变形前后的长度变化，可以计算出其变 形量。
弹性模量
在一定条件下，切应力和变形量之间的关系可以用弹性模量来描 述。
薄壁圆筒的变形特性
变形方向
薄壁圆筒的扭转变形是沿着圆筒轴线的方向进行的。
04
根据实验结果，讨论薄壁圆筒在纯扭状态 下横截面上的应力分布规律。
实验结论与讨论
01
实验结果表明，薄壁圆筒在纯扭 状态下横截面上的应力分布符合 剪切应力与剪切应变线性关系；
02
与理论公式对比，实验结果与理 论公式基本一致，验证了理论公
式的正确性；
在实验过程中，应采取措施减小 误差，提高实验精度；
薄壁圆筒的扭转原理
当薄壁圆筒受到一对大小相等、 方向相反的力偶作用时，圆筒
就会发生扭转。
薄壁圆筒的剪切模量是衡量 其抗扭能力的物理量，剪切 模量越大，抗扭能力越强。
薄壁圆筒的弯曲应力与轴向应 力在剪切模量中得到体现，弯 曲应力与轴向应力的比值决定
了圆筒的形状变化。
薄壁圆筒的扭转应用
薄壁圆筒广泛应用于机械、化工、建筑等工程领域，如管道、压力容器、塔器等。
计算时应根据实际情况选择合适的 公式进行计算。
薄壁圆筒的应力特性
01
薄壁圆筒的应力特性主要表现为剪切应力和弯曲应力的共同作 用。
02
在扭转载荷作用下，圆筒的外侧受到较大的剪切应力和弯曲应
力，而内侧受到较小的剪切应力和弯曲应力。
圆筒的应力特性与圆筒的材料属性、几何形状以及扭转载荷的
03
大小有关。
03
《材料力学》课件3-2薄壁圆 筒的扭转
材料力学—薄壁圆筒扭转时的切应力
扭转变形：杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件 轴线的力偶作用, 使得杆件的横截面绕轴线产生相对转动。
（2）扭矩：
用截面法研究受扭圆 轴横截面上的内力：
T = Me
扭矩方向规定：
右手螺旋法则
扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致， 为正；反之为负。
T1
n （+） （-）
T4
n
n
n
T2
T3
2
内力
3
应力
4
变形
外力偶矩Me
扭矩T
切应力
……
T 2πr02
（2）研究思路：
Me
m r0
dA
x
m
d A r 0 T 根据应力分布可知： 由 A
r0 d A T
A
T T 2 r0 d A r0 (2πr0 ) 2πr0
A
T
薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径
垂直，指向与扭矩的转向一致。
小结：
（1）研究内容：
1
外力
（3）扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。
MA
１
２
MC
１
MBT1 M A２T（+）
X
（-）
T2 M C
§3.3.1
薄壁圆筒扭转时的切应力
r0
好处：（ 1）应力分布均匀，变形情况易预测； （ 2）应力状态简单—纯剪切。
实验方法：
将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分成方
《材料力学》 — 薄壁圆筒扭转时的切应力
徐州工程学院 机电工程学院
王晓溪 2015年4月
知识回顾：
1 扭转变形
（2）扭矩：
用截面法研究受扭圆 轴横截面上的内力：
T = Me
扭矩方向规定：
右手螺旋法则
扭矩矢量的指向与截面外法线的指向一致， 为正；反之为负。
T1
n （+） （-）
T4
n
n
n
T2
T3
2
内力
3
应力
4
变形
外力偶矩Me
扭矩T
切应力
……
T 2πr02
（2）研究思路：
Me
m r0
dA
x
m
d A r 0 T 根据应力分布可知： 由 A
r0 d A T
A
T T 2 r0 d A r0 (2πr0 ) 2πr0
A
T
薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力均匀分布，与半径
垂直，指向与扭矩的转向一致。
小结：
（1）研究内容：
1
外力
（3）扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。
MA
１
２
MC
１
MBT1 M A２T（+）
X
（-）
T2 M C
§3.3.1
薄壁圆筒扭转时的切应力
r0
好处：（ 1）应力分布均匀，变形情况易预测； （ 2）应力状态简单—纯剪切。
实验方法：
将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分成方
《材料力学》 — 薄壁圆筒扭转时的切应力
徐州工程学院 机电工程学院
王晓溪 2015年4月
知识回顾：
1 扭转变形
0103薄壁圆筒扭转
4.78
6.37
15.9
4.78
24
材料力学Ⅰ电子教案
第三章 扭转
§3-4 等直圆杆扭转时的应力·强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
dx
dx
d/2
O1 E
A
g
g
O2 G
D
dj
G'
D'
材料力学Ⅰ电子教案
a
b
T
O1
E
A
g
a
T
g
G
O2
dj
D G'
D'
dx
b
第三章 扭转
g
ρ
dj
dx
式中 dj ——相对扭转角
dx
j 沿杆长的变化率，常用j' 来
表示，对于给定的横截面为常
量。
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变 g 均相同；g 与 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。
E
A
ga
O2
G
dj
D
G
D'
b
dx
倾角 g 是横截面圆周上任一点A 处的切应变, dj 是 b-b截面相对于
a-a 截面象刚性平面一样绕杆的轴 线转动的一个角度.
经过半径 O2D 上任一点G的
纵向线EG 也倾斜了一个角度gρ，
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圆筒横截面上没有正应力，只有切应力。切应力在截面 上均匀分布，方向垂直于半径。
切应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
Me Me
Me
TT
dA
dA
r
r dA T
A
r dA T
A
r 2rt T
T 2 r2t
根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的误差 不超过4.52%,是足够精确的。
m 7.02 N马力 n
(kN m)
m 9.55 NKW n
(kN m)
2 求扭转内力的方法—截面法
Ⅰ
Ⅰ
3 受扭圆轴横截面上的内力—扭矩
I Mn
I
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
I
m
扭
Mn
矩
符 号 规
Mn I
Mn
I
定
mI
I
m
：
Mn
Mn
Mn
I
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
扭矩图
Mn2 MC
三 薄壁圆筒的扭转时的切应力
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成方格,然后 加载。
Me
Me
观察到如下现象：
Me
mn
γ
φ
mn
Me
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度γ
(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变
根据以上实验现象,可得结论：
四 切应力互等定理和虎克定律
切应力互等定理 Me
dy
t dx
Me 微元体 单元体
( t dy)dx ( t dx)dy
虎克定律
薄壁圆筒的实验, 证实了切应力与切应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当切应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,切应力与切应 变成正比
G
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
G E
2(1 )
作业：孙训方，《材料力学》（第五版） 3-1
第四讲 扭转内力和薄壁圆筒的扭转应力
湖南理工学院——曾纪杰
一 工程实例 承受扭转变形的构件
对称扳手拧紧镙帽
m m
m m
这些构件的 受力特点: 所受外力是一些力偶矩,作用在垂直于杆轴的平 面内。 变形特点: 杆件的任意两个横截面都绕轴线发生相对转动。
二 外力偶矩、扭矩和扭矩图
1 外力偶矩的计算 外力偶矩与功率和转速之间的关系
MA １
1
MC
M n1
１ M n1
1 MB
扭矩
Mn1 M A M B MC
MA １
２
MC
１ MB
２
截面2-2上的内力：
MA １
２
２
MC
M n2
１ MB
M n2
２
２
Mn2 M A MB MC
5 扭矩随圆轴横截面的位置变化的图线—扭矩图
mA １
２
mC
１ mB
２
M n1 M A
（+）
（-）
指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相
同，规定扭矩为正，反之为负。
例题1：
已知圆轴受外力偶矩mA 、mB 、mC 作用而处于匀速
转动平衡状态，试求1-1、2-2截面上的扭矩。
mA １
２
mC
１ mB
２
mA １
已知圆轴受外力偶矩作
２
mC
用，匀速转动。则
１mB
２
用截面法求内力：
MA MB MC 0