第一章 课时六 点群 空间群 晶格对称性
§1.3 对称操作和点群
晶格。
上页
下页
返回
结束
第一章 晶体结构
上页
下页
返回
结束
第一章 晶体结构
上页
下页
返回
结束
第一章 晶体结构
上页
下页
返回
结束
(1)旋转对称(Cn,对称素为线)
若晶体绕某一固定轴转 次(度)旋转对称轴。 下面我们计算与转动对应的变换矩阵。
上页 下页 返回 结束
2π 以后自身重合，则此轴称为n n
当OX绕Ox1转动角度时，图中
第一章 晶体结构 x3
X ( x1 , x2 , x3 )
2 3 X ( x1 , x , x )
2 2 2 2 2
2
~~ ~ ~~ ~ X AX AX XAAX XX X
上页
~ AA I
下页 返回 结束
1 I为单位矩阵，即： I 0 0
第一章 晶体结构 0 0 1 0 0 1
或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式 A 1 。 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演 对称)
( x1 , x2 , x3 ) 变为
x1 x1 x x 2 2 x x 3 3
(4)旋转--反演对称
( x1 , x2 , x3 )
1 0 0 A 0 1 0 0 0 1
A 1
第一章 晶体结构 B A
B1
A B
A1
AB AB 1 2cos θ ,
1 cos 0, ,1 2
晶体对称性
准 晶
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大于6 次以上的轴，可 以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面， 而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存 在 5 次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝 锰合金中发现了晶体学中禁戒的 20 面体具有的 5 次对称性，这是对传统晶 体观念的一次冲击。
晶体的宏观对称性的描述
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同 的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的 不变性 三维情况下，正交变换的表示:
x x ' a11 y y ' a 12 z z' a 13
−1 ������ = 0 0
0 0 −1 0 0 −1
0 0 −1
1 0 ������(������������) = 0 1 0 0 1 0 ������ = 0 1 0 0 0 0 1
像转操作(Rotary reflection):
������������������������ ������ ������ = ������������������������ 0
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其 构成原子的长程有序，而不是平移对称性， 具有 5 次对称性的准晶体(Quasicrystal) 就是属于原子有严格的位置有序，而无平 移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得到理解。实际是一种准 周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之 间的一种新的物质形态—准晶态。
(3). 底心单斜
C2 , Cs , C2 h
晶体对称和极射投影ppt课件
晶体中的宏观对称元素
2，3，4，6次轴和平面点阵的结合
五种平面点阵分别属于下表的四种平面 晶系
对于二维晶体仅有垂直于晶面的1，2， 3，4，6轴和对称心，互相组合只能形 成10种二维晶体学点群
二、晶体对称元素的基本原理:对称性要与晶体内部点阵结构 的周期性相适应。
原理：1、在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴都必与一组 直线点阵平行；任何对称面都必与一组平面点阵平行，而与 一组直线点阵垂直。
空间群符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。 1. 第一字母(L)是点阵描述符号，指明点阵带心类型： P， I， F， C， A， B。 2. 其于三个符号(S1S2S3)表示在特定方向（对每种晶系分别规定）上的对称元
素。 3. 如果没有二义性可能，常用符号的省略形式 (如Pm，而不用写成P1m1)。 4. * 由于不同的晶轴选择和标记，同一个空间群可能有几种不同的符号。如
对称元素的图示和印刷符号（1）
对称元素的图示和印刷符号（2）
了解Herman-Mauguin空间群符号
空间群是经常用简略Herman-Mauguin符号(即 Pnma、I4/mmm等)来指定。 在简略符号中包含 能产生所有其余对称元素所必需的最少对称元素。
从简略H-M符号，我们可以确定晶系、Bravais点 阵、点群和某些对称元素的存在和取向（反之亦 然）。
立方晶系 六方晶系
四方晶系
三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
三个 4 或四个 3 一个 6 或 6
一个 4 或 4
一个 3 或 3
三个 2 一个 2
无（仅有i ）
O,Oh,T,Th,Td
C6 ,C6h ,C3h ,C6v D6 ,D6h ,D3h C4 ,S4 ,C4h ,C4V D4 , D4h , D2d
高二物理竞赛晶体的对称性,晶系,点群,空间群课件
P：简单Bravais格子； C：底心Bravais格子；
I：体心Bravais格子；
F：面心Bravais格子
13
Bravais格子和晶系
晶胞与轴矢坐标系
晶胞：既能反映晶体的对称性 特征又能反映晶格周期性（平 移对称性）的重复单元。 轴矢： a1、 a2、 a3或a、 b、 c 晶胞参量：a、 b、 c、、、
14
晶系 对称性特征 三斜 只有C1或Ci 单斜 唯一C2或CS 正交 三个C2或CS 三方 唯一C3或S6 四方 唯一C4或S4 六方 唯一C6或S3 立方 四个C3
晶胞参数
ab c ab c ==90º ab c = ＝= 90º
a=b=c = ＝ 90º
a=b c = ＝= 90º
P、C P、C、I、
F R
P、I
H
P、I、F 15
任何一种晶体，对应的晶格都是14种 点阵中的一种，指出晶体所属的点阵类型 不但表征了晶格的周期性，而且能从它所 属的晶系了解到该晶体宏观对称所具有的 基本对称性，因此点阵类型概括了晶体的 对称性，阐明晶体结构只要绘出它的带有 基元内容的点阵惯用原胞（晶胞）即可。
晶体的对称性，晶系，点群，空间群
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质
1
晶体的宏观对称性
点对称操作
若一个空间图形经过一空间操作（线性变换）， 其性质复原，则称此空间操作为对称操作。由于对称 操作前后图形中任意两点间的距离保持不变，故此线 性变换为正交变换。
• 六方晶系 Hexagonal 最高对称具有唯一的6次轴或6次反轴
晶体对称性与空间群表
晶体对称性与空间群表表3.1.七个晶系三斜 triclinic a≠b ≠c; α≠β≠γ单斜 monoclinic a≠ b≠ c; α = γ = 90º,β≠ 90º正交 orthorhombic a≠b≠c; α= β = γ = 90º四方 tetragonal a = b≠c; α = β = γ = 90º六方 hexagonal a = b≠c;α = β = 90º, γ = 120º三方 trigonal a = b = c; α=β= γ≠ 90º立方 cubic a = b = c; α= β= γ= 90º注释：表中“≠”仅指不需要等于。
表3.2.七个晶系的特征对称元素晶系特征对称元素三斜无单斜一个二次对称轴或对称面正交三个互相垂直的二次对称轴或两个互相垂直的对称面四方有一个四次对称轴六方有一个六次对称轴三方有一个三次对称轴立方四个立方体对角线上有三次轴注：对称轴包括旋转、螺旋轴；对称面包括镜面和滑移面。
cP cFcI图3.5.14种Bravais晶格。
aP = 三斜（triclinic）, mP = 简单单斜（monoclinic primitive）, mC = 底心单斜（monoclinic C-centered），oP = 简单正交（orthorombic primitive），oC = C 底心正交（orthorombic C-centered，取轴方法不同，可以相当于A心底），oI = 体心正交（orthorombic body-centered），oF = 面心正交（orthorombic face-centered），tP = 简单四方（tetragonal primitive），tI = 体心四方（tetragonal body-centered），hP = 简单三方或六方（trigonal or hexagonal primitive），hR = 菱面体、按六方取晶胞（Rhombohedral hexagonal setting），cP = 简单立方（cubic primitive），cI = 体心立方（cubic body-centered），cF = 面心立方（cubic face-centered）。
第一讲、第二讲：空间点阵、晶格、晶胞、对称性
1.2.3晶体的微观对称性
例2、 m3m点群中，萤石和金刚石结构如何区别
� Fm������������m
CaF2
金刚石
Fd3m
1.2.3晶体的微观对称性
d hkl = 1 / g hkl
• 复习倒易点阵相关知识！
16
第一章：晶体物理学基础
本章内容
1. 1 晶体的结构概述 1. 2 宏观对称要素和点群 1. 3 坐标变换 1. 4 张量及其基本运算 1. 5 初识晶体物理性质的各向异性 1. 6 诺埃曼原理 1. 7 张量的变换方法
布拉非群、布拉菲格子（Bravais Lattice）
• 既含点对称操作又含平移操作的群被称为布拉菲群。 • 从一个给定点经过布拉菲群导出的无限点阵是布拉菲点阵。 • 满足一下条件的格子成为布拉菲格子：通过对该格子的重复，可以 填满整个空间。（The Bravais lattice are the distinct lattice types which when repeated can fill the whole space.）
金刚石的微观结构理解
移动1/4的体对角线 关注 晶胞 内的 原子
移动后，金刚石中两个面心立方各自的宏观对称要素将不再交与一点。 （可以对称心为例来查看）
1.2.3晶体的微观对称性
金刚石的微观结构理解
由于晶格的滑移，原本的宏观对称面似乎消失了
d（dimand）滑移面
0 1/2 0 1/2 3/4 0 1/4 1/2 3/4 0 1/4 0 1/2
1.6点群
由十种对称素只能组成32个不相同的点群
晶体的宏观对称性只有32个不同类型 分别由32个点群来概括
熊夫利(Schö nflies)符号
最简单的点群只含一个元素（不动操作），标记为 C1, 它表示没有任何对称的晶体 只包含一个旋转轴的点群称为回转群， 标记为 C2, C3, C4, C6, 共有四个. Cn 表示有一个 n 重旋转轴 包含一个 n 重旋转轴和 n 个与之垂直的 二重轴的点群称为双面群，标记为 Dn ， 这样的点群有 D2, D3, D4, D6, 共有四个
若有两个二重轴，它们之间的夹角 只能是 30°、45 °、60 °、 90 ° 若存在一个n重轴和与之垂直的二重 轴, 就一定存在 n个与之垂直的 二重轴 这种严格的限制是对称操作群的闭合性的结果
如：
设想一个群包含两个二重轴 2 和 2΄，夹角θ
考虑先后绕 2 和 2΄ 转动π, 称它们为 A 操作和 B 操作 操作下 N→N΄→N， 表明B、A相乘得到的操作C=BA 不改变 NN ΄轴
只能是一个绕 NN ΄ 轴的转动 它将 2 转到 2΄΄ 位置 C 的转角 2θ只能是 60°、90 °、120 °、180 ° 因此两个二重轴之间的夹角只能是 30°、45 °、60 °、90 °
以上的结论同样适用于四重轴和四重旋转－反演轴 也就是说一个点群所包含的对称素 2、4、4 相互夹角 都必须符合上列要求 具体的分析证明,由于对称素组合时受到的严格限制,
问题：列举 T 群的所有旋转轴.
4个三重轴<111>; 3个二重轴<100> 不包含<100>晶向的四重轴, 也不包含<110>晶向的二重轴
§1-6 点群 Point group
晶体的宏观对称是在晶体原子的周期排列基础上产生的 宏观对称可能有的对称操作受到严格限制 1. 10种对称素 晶体的周期性是用一定的Bravais格子 {l1 a1+l2 a2+l3a3 }来表征的，
第一章 晶体的对称性
第一章晶体的对称性§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。
不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。
因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。
这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。
这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。
§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。
实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。
应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。
在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。
1．晶体的宏观对称性。
晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。
如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。
这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。
通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。
描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。
为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。
如花瓣。
●等同图形。
如左右手。
相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。
●对称图形。
由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。
2．对称性。
对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。
固体物理学：第一章 第一节 晶格及其平移对称性
8个原子，2不等价原子 配位数：4
钙钛矿(Perovskite)结构(ABO3)
以CaTiO3为原型，A位于定点，B位于体心，而 O位于6个面心。BO6构成了氧八面体。典型材料如 CaTiO3, BaTiO3等等
5个原子 A, B周围都有6个氧原子，形成氧八面体
第一章 晶体的结 构及其对称性
§1.1 晶格及其平移对称性
一、晶体结构及基元
凝聚态
液体 固体->晶体(单晶和多晶)、准晶体和非晶体 软物质
晶体：原子空间周期性排列，有长程序。只有某 些特殊的平移和旋转操作下，才能保持不变，其 对称性是破缺的。同时晶体的很多物理性质表现 出各向异性，有固定的熔点。
a
a1 i j k 2
a
a2 i j k 2
a
a3 i j k 2
Ω a1 a2 a3 1 a3 2
fcc点阵
面心立方以顶点为原点，到其近邻的三个面 心为基矢。立方体的边长为a。
a1 a2
a
a1 j k 2
a
a2 i k 2
a 3 a i j 2
三、基矢和元胞
基矢
晶体可以看做点阵和基元的组合。通过点阵的结 点可以做许多平行的直线，这些直线把结点连接 成一个网格，称为晶格。
为了在数学上精确地描述点阵，我们可以选
择三个不共面的基本矢量
a
1
,
a
2
,
a
作为点阵
3
的基矢，点阵可以由矢量得到：
3
Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 liai
晶体结构
晶格(crystal lattice)：晶体空间中点的规则几何排 列叫做晶格；原子、分子或离子位于这些点上， 形成晶体。 晶体结构：晶体中空间点的具体排列形式。
晶体对称性与空间群表
晶体对称性与空间群表表3.1.七个晶系三斜 triclinic a≠b ≠c; α≠β≠γ单斜 monoclinic a≠ b≠ c; α = γ = 90º,β≠ 90º正交 orthorhombic a≠b≠c; α= β = γ = 90º四方 tetragonal a = b≠c; α = β = γ = 90º六方 hexagonal a = b≠c;α = β = 90º, γ = 120º三方 trigonal a = b = c; α=β= γ≠ 90º立方 cubic a = b = c; α= β= γ= 90º注释：表中“≠”仅指不需要等于。
表3.2.七个晶系的特征对称元素晶系特征对称元素三斜无单斜一个二次对称轴或对称面正交三个互相垂直的二次对称轴或两个互相垂直的对称面四方有一个四次对称轴六方有一个六次对称轴三方有一个三次对称轴立方四个立方体对角线上有三次轴注：对称轴包括旋转、螺旋轴；对称面包括镜面和滑移面。
cP cFcI图3.5.14种Bravais晶格。
aP = 三斜（triclinic）, mP = 简单单斜（monoclinic primitive）, mC = 底心单斜（monoclinic C-centered），oP = 简单正交（orthorombic primitive），oC = C 底心正交（orthorombic C-centered，取轴方法不同，可以相当于A心底），oI = 体心正交（orthorombic body-centered），oF = 面心正交（orthorombic face-centered），tP = 简单四方（tetragonal primitive），tI = 体心四方（tetragonal body-centered），hP = 简单三方或六方（trigonal or hexagonal primitive），hR = 菱面体、按六方取晶胞（Rhombohedral hexagonal setting），cP = 简单立方（cubic primitive），cI = 体心立方（cubic body-centered），cF = 面心立方（cubic face-centered）。
《晶体结构和对称性》课件
五、空间群对称性
定义空间群对称性
空间群对称性是指保持晶格不变 的平移、旋转和反射操作。
1 7种空间群
不同的晶体结构和对称性可以通 过17种空间群来描述和分类。
空间群的应用案例
X射线晶体学、太阳能电池等。
六、小结
1 晶体结构和对称性的 2 学习到的知识及其应 3 未来发展方向
重要性
用
开展更深入的研究，探索
《晶体结构和对称性》 PPT课件
晶体结构和对称性是研究材料科学和固体物理中的重要概念。本课程将深入 探讨晶体的分类和不同类型的对称性，以及其在材料性质和应用中的作用。
一、引言
1 定义晶体
什么是晶体？从原子或分子的角度来看，晶体是由周期性排列的结构单元构成的固态物 质。
2 晶体结构的重要性
晶体结构决定了材料的物理、化学性质，对材料的性能和应用具有重要影响。
晶体对称性分类
点群对称性、空间群对称性。
对称元素
中心对称元素、平面对称元素、旋转对称元素、螺旋对称元素等。
四、点群对称性
1
定义点旋转反演操作。
2
对称元素的应用案例
球面谐函数、晶体场理论等。
3
点群对称性的重要性
点群对称性是解释和描述晶体物理性质的基础，对材料的设计和性能优化具有重 要影响。
3 对称性在晶体结构中的作用
对称性是晶体结构中的重要概念，它决定了晶体的物理特性、外观和相互作用。
二、晶体的分类
按照晶体结构分类
离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体等
按照晶格分类
单斜晶系、正交晶系、立方晶系等
三、晶体对称性
定义对称性
对称性是指物体在某种变换下保持不变的性质。在晶体中，对称性起到了组织和稳定晶体结 构的重要作用。
第1章晶体学PPT课件
.
34
点群
利用对称要素组合定律和结晶多面体的形态特 点可以推导出晶体的宏观对称性只有32种，称为32 种点群(或对称型)，晶体只属于32种对称型中的一 种。
将32种对称性分为7种晶系 。 划分晶系的依据是特征对称性而不是晶胞参数。
.
35
32个宏观对称性(点群)
.
36
.
37
空间群
除了宏观对称要素之外，还有平移、平移与旋 转结合形成的螺旋对称轴、平移和反映结合形成的 滑移反映面等微观对称要素。
②把终点坐标减去起点坐标: u’=u2-u1, v’=v2-v1,w’=w2-w1；
③化为最小整数，给出指数u、
v、w。则[uvw]就是所求晶向 指数。
如OF: X Y Z ½½1
uvw 1 12
与晶面标定
方法不同
晶向[ 1 1 2]
.
50
注意： ①晶向指数[uvw]中如果某一个数字
为负，则将负号标注在该数的上方。 ②一个晶向指数并不表示一个晶向，而是一组相互平
.
9
空间点阵、晶格
阵点的两大特点： 排列的周期性 等同性
晶格
为了便于描述空间点 阵的图形，用许多组假想 的平行直线将阵点连接起 来构成空间格子，这些空 间格子称为晶格。
.
10
晶胞概念的由来
为了说明点阵排列的规律和特点，可以在空间点阵中取出一
个最有代表性的基本单元作为点阵的组成单元，其基本单元称为
空间点阵 ＋ 结构基元
.
晶体结构
15
1.3 晶体的对称性
晶体多面体最 显著特点就是 对称，对于参 观者来说，对 称就是几何形 体中相同部分 有规律地重复 出现。
.
01_06点群
—— 晶体中原子的周期性排列形成晶体一定的宏观对称性 —— 不同的形式原子排列形成的宏观对称性 对称操作也具有一定的限制
描述晶体周期性的布拉伐格子 {l1a1 l 2 a 2 l3 a3 }
—— 经历一个对称操作晶体不变，相应的布拉伐格子不变
§1-6 点群 —— 晶体结构
§1-6 点群 —— 晶体结构
Cnh —— Cn
群加上与n重轴垂直的反演面，共4个
Cnv —— Cn 群加上含有n重轴的反演面，共4个
Dnd —— Dn 群加通过n重轴及2根二重轴角平分线的反演面
D2d , D3d —— 共2个
Sn
—— 群只包含旋转反演轴的点群 —— 其中 S1 Ci , S2 Cs , S3 C3h
§1-6 点群 —— 晶体结构
1, 2, 3, 4, 6 1, 2, 3, 4, 6
十种对称素
—— 长方形、正三角形 正方形和正六方形 可在平面内周期性重复排列 —— 正五边形及其它正n边形 不能作周期性重复排列
பைடு நூலகம்
§1-6 点群 —— 晶体结构
点群 —— 以10种对称素为基础组成的对称操作群 —— 由对称素组合成群时，对称轴的数目 对称轴之间的夹角将受到严格的限制
S4 , S6
—— 共2个
§1-6 点群 —— 晶体结构
Oh Td
O
—— 立方点群, 含有48个对称操作 —— 正四面体点群, 含有24个对称操作
—— 立方点群 Oh 的24个纯转动操作
—— 正四面体点群 Td 的12个纯转动操作 ——
T
Th
T 群加上中心反演
晶体的宏观对称只有32个不同类型
§1-6 点群 —— 晶体结构
晶格的对称性
单斜晶系
简单单斜
a1 a2 a3 a2 a1, a3
单斜晶系
底心单斜
a1 a2 a3 a2 a1, a3
三角晶系、四方晶系、六角晶系
三角晶系
三角
a1 a2 a3
120
90
四方晶系 简单四方
a1 a2 a3
90
四方晶系 体心四方
a1 a2 a3
90
面心正交
a1 a2 a3 a1, a2 , a3 互相垂直
立方晶系
立方晶系 简单立方
a1 a2 a3
90
立方晶系 体心立方
a1 a2 a3
90
立方晶系 面心立方
a1 a2 a3
90
3、空间群
晶格的周期性，
所有布拉伐格子晶
也称平移对称性， 格矢量对应的平移
用布拉伐格子来
对称操作的集合，
表征，平移一个
称为平移群。
布拉伐格子的晶 格矢量空Biblioteka 晶格的对称性也可用一间
tl1l2l3 l1a1 l2a2 l3a3
系列转动（或转动加反
群
后，晶体自身重 合，称为平移对 称操作。
演）对称操作来描述， 这些对称操作的集合组 成点群。
增加的两类对称操作
对于布拉伐格子，在点群操作和平移操作下 都是不变的，但对于基元内多于一个原子的复 式晶格来说，晶格在点群操作后接着平移操作 才是不变的，单独的一种都不是独立的对称操 作。因此，全面分析晶格对称性，必须考虑平 移对称性。
简单立方 体心立方 面心立方
六角
简单四方 体心四方
三角
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
简单单斜 底心单斜
简单三斜
《点群和空间群》课件
5. 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
《点群和空间群》
37
《点群和空间群》
38
《点群和空间群》
39
32种点群
晶体中不包括平移在内，只能有8种独立的基
本对称元素, 即C1 , C2 , C3, C4 , C6 , m,
i 和4。一个晶体可以有不只一个对称元素,
对称要素。
有的
《点群和空间群》
《点群和空间群》
52
《点群和空间群》
53
《点群和空间群》
54
7大晶系
按照晶胞6个点阵常数（a, b, c, , , ）之间的关系特点 ，将晶体划分为7种晶系。
立方晶系 abc,900
四方晶系 abc,900
四方晶系 菱方晶系
单斜晶系
菱方晶系 abc,900
六方晶系 a1a2 a3c,900 1200
(5)六个和2度轴垂直的对称面
《点群和空间群》
31
例题2：金刚石的对称性简析—正四面体的对称操作
四个原子 位于正四 面体的四 个顶角上
《点群和空间群》
32
1.绕三个立方轴转动
《点群和空间群》
33
2. 绕4个立方体对角线轴转动 2 , 4
33
《点群和空间群》
34
3. 绕三个立方轴转动 , 3
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
《点群和空间群》
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
Ch1-6点群
Ｓｏｌｉｄ Ｓｔａｔｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ
湖北大学物电学院
电子科学技术系
晶体中原子的周期性排列形成晶体一定的宏观对称性
描述晶体周期性的布拉伐格子
经历一个对称操作晶体宏观外形不变，相应的布拉伐格子
3
绕通过A 的转轴的任意对称操作，转过角度且有
a 1
——任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称素
长方形、正三角形、正方
5
２ 晶体点群的构成
点群——以8种独立的宏观点对称操作构成的对称操作群
例如C3群，它是单位元素e (不转动操作或不变操作）、( 转动2π/3)、( 转动4π/3)组成的：
问题：八种宏观对称要素之间究竟存在着多少种组合方式？即晶体的宏观对称类型有多少种呢？
——由对称素组合成群时，对称轴的数目对称轴之间的夹角将受到严格的限制——封闭性的要求
（1）如果存在一个n重轴和与之垂直的二重轴，就一定存在n
个与之垂直的二重轴
（2）两个2重轴之间的夹角只能是
——是对称操作
只包含一个旋转轴的点群
——４个群群加上中心反演，
群
群群加上与ｎ重轴垂直的反演面，共４个
群群加上含有ｎ重轴的反演面，共４个
双面群包含一个ｎ重旋转轴和ｎ个与之对应的二重轴群群加上通过n重轴及两根二重轴角平分线的反演面，
群群加上通过ｎ重轴及两根二重轴角平分线
的反演面，，
共２个
的２４个纯转动操作
的１２个纯转动操作
群加上中心反演
A4
A A。
固体物理：1.6 点群
东北师范大学物理学院
1 – 6 点群
第一章 晶体的结构
n度旋转轴中n只能取1、2、3、4、6
B
A
B
A （1）AB为格点；
（2）对称操作一：晶体绕 A转θ度，B转至B`点，由 于转动操作不改变格子， 故B`也必为格点。
（3）对称操作二：晶体绕 B转θ度，A转至A`点，由 于转动操作不改变格子， 故A`也必为格点。
第一章 晶体的结构
东北师范大学物理学院
1 – 6 点群
第一章 晶体的结构
对称是晶体的基本性质，晶体的对称既有普遍性也有 特殊性，即所有的晶体都是对称的，但是不同晶体对称特 点不同，从这个意义上讲，对称是晶体分类的 基础。宏观 晶体中所有对称要素的集合称为点群（point group）。这 是由于在结晶多面体中，全部对称要素相交于一点(晶体中 心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，故称为 点群。 根据结晶多面体中可能存在的对称要素和对称要素组合规 律，可以导出可能的对称型共 32 种。
第一章晶体的结构点群东北师范大学物理学院东北师范大学物理学院十种对称素第一章晶体的结构点群东北师范大学物理学院东北师范大学物理学院第一章晶体的结构点群东北师范大学物理学院东北师范大学物理学院ii2次反演轴iii3次反演轴iv4次反演轴第一章晶体的结构点群东北师范大学物理学院东北师范大学物理学院http
1 – 6 点群
cos 1 (1 p)
2 列表分析如下：
第一章 晶体的结构
1 cos 1 p 0,1,1,2,3.
P值 -1 0 1 2 3
θ值
2π/1 2π/6 2π/4 2π/3 2π/2
2
n
n值
1
6
4
3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13
四面体点群
E+8C3 + 3C2； 绕3个立方轴（红色）旋转π/2, 3π/2，接着做水平面镜像，共6 个对称操作，记为6S4； 对立方体相对面的对角线形成截 面作镜像，共6个对称操作，记 为6σd； 共12+6+6=24个对称操作；
由如上所示的24个点对称操作{E, 3C2, 8C3, 6S4, 6σd}组成的点群，用T d表示，称为正四面体点群。
47
钙钛矿(BaTiO3)结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
48
钙钛矿(BaTiO3)结构
Barium titanate can exist in five phases, listing from high temperature to low temperature: (1) hexagonal (2) Cubic (Pm-3m, 221) (3) Tetragonal (P4mm, 99) (4) Orthorhombic (5) Rhombohedral
1.12
63
64
65
66
67
68
69
C1群：只含有一个元素（不动），表示没有任何对称性
Cn群：只含有一个旋转轴的点群，共4个，C2, C3, C4, C6 Cnv群：Cn群加上包含n重轴的镜面，共4个 Cnh群：Cn群加上垂直于n重轴的镜面，共4个 Cs群：C1群加上镜面
Ci群：C1群加上中心反演
horizontal vertical inversion
space group table: /wiki/Space_group#Table_of_space_groups_in_3_dimension4s0
41
空间群、点群、晶系、布拉法格子
42
43
常见的晶体结构
体心立方和面心立方结构 CsCl结构和立方钙钛矿结构 NaCl和CaF2结构 金刚石和闪锌矿结构 六角密堆积结构
or inversion center
Cn
n-重旋转轴
绕轴旋转
rotates counterclockwise
n-fold proper axis of rotation
360o/n degrees about the axis
rotation
σ/m
镜面
镜像
reflects across a plane
Antase TiO2 (锐钛矿) 空间群I41/amd (141)
60
TiO2
61
本课小结
正交变换和三种对称操作 点对称操作，对称元素 32个点群和标记方法 平移对称操作，点空间群 7个晶系，14个布拉维格子 常见的晶体结构
62
作业（需要上交）
考虑晶体的平移对称性，证明晶体中允许 的转动对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴；
44
体心立方和面心立方结构
碱金属Li, Na, K 过渡金属Cr, W, Nb, V, Fe
金属Al, Ni, Au, Ag, Cu, Pb, Pt Ne, A r, Xe
45
CsCl结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
46
CsCl结构
空间群Pm-3m (221)
两套相互嵌套的简单立方格子 CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlI
固体物理学
Ch1晶体结构 1.6点群 空间群 晶格对称性
1
对称元素
在晶体中，由于平移对称性的限制，旋转 对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴，对称元素
只能有 1,2,3,4,6
2
3
4
5
6
点对称操作
7
点群、空间群、晶格分类
8
9
群和点群(point group)
群(group)是一种集合，其元素称为群元， 这种集合满足四个条件；（1）封闭性;（2） 存在单位元;（3）存在逆元;（4）结合律成 立. 一个系统拥有的全部对称操作可以组成一 个对称群，每种对称操作是其中一个群元。 由点对称操作组成的群，称为点群。
https:///wiki/Barium_titanate
49
钙钛矿(BaTiO3)结构
Ti在氧八面体的中心，Ba在氧八面体的间隙； BaTiO3以及其他许多ABO3型化合物
50
CH3NH3PbX3 perovskites (X=I, Br and/or Cl)
https:///wiki/Perovskite_(structure)
perpendicular to the axis
参考 Mildred S. Dresselhaus,Gene Dresselhaus,Ado Jorio. Group theory: Application in1t2he physics of condensed matter. Springer (2008) P44
C, Si, Ge, 灰Sn
55
闪锌矿(ZnS)结构
空间群Fd-3m (227)
空间群F-43m (216)
闪锌矿和金刚石结构具有相似性
56
闪锌矿(ZnS)结构
两套相互嵌套的面心立方格子 ZnS, GaAs, GaP
57
58
TiO2
Rutile TiO2 (金红石)
Antase TiO2 (锐钛矿)
O (octahedron)
O群：立方体点群Oh中的24个纯转动操作 Oh群：立方体点群，含有48个对称操作
T (tetrahedron)
T群：Td群中的12个纯转动操作 Td群：正四面体点群，含有24个对称操作 Th群：T群加上中心反演
18Biblioteka 19202122
23
24
25
七大晶系的关系
51
NaCl结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
52
NaCl结构
空间群Fm-3m (225)
两套相互嵌套的面心立方格子 NaCl, 以及Li, Na, K, Rb和F, Cl, Br, I化合物 CaO, MgS等
53
CaF2结构
空间群Fm-3m (225)
54
金刚石结构
空间群Fd-3m (227)
空间群 (1)简单空间群（点空间群），由一个平移群和一 个点群对称操作组合而成，共73个； (2)复杂空间群，晶格全部对称操作的集合，共有 230个。
34
带平移量的微观操作
35
36
37
38
39
空间群国际符号
空间群的国际符号包括两个组成部分 前一部分为大写英文字母，表示格子类型（P、 C（A、B）、I、F） 后一部分与点群的国际符号基本相同，只是其 中晶体的某些宏观对称要素的符号需换成相应 的内部结构对称要素的符号。 例如：P23，I432，Fm3m 对应的点群是什么？晶格类型是什么？
14
四面体点群
4个三重轴（蓝色），共8 个对称操作，记为8C3 ； 3个两重轴（红色），共3 个对称操作，记为3C2； 保持不动，1个对称操作， 用E表示；
共8+3+1=12个对称操作
由如上所示的12个点对称操作{E, 3C2, 8C3}组成 的点群，用T表示。
15
32个点群
Cn (for cyclic)回转群
关于群的更多知识，请参考群论书籍资料。
10
点群
对称素仅有以下10种：
1,2,3,4,6 1ത, 2ത, 3ത,4ത,6
晶体学点群 (Crystallographic point group)
11
Schoenflies Symmetry Notation
符号标
对称元素
记Label Symmetry element
plane of symmetry
reflection
Sn
n-重旋转镜像轴 绕轴旋转后镜像 rotates counterclockwise
n-fold improper axis rotation followed 360o/n degrees about the axis
of rotation
by reflection and then reflects across a plane
26
27
28
29
30
31
32
平移(translation)对称性
布拉维格子的格矢
将晶体平移布拉维格子的任一格矢，晶体与自 身重合，称为平移对称操作。
问题 平移对称操作是正交变换吗？ 平移对称操作是点对称操作吗？
33
空间群
布拉维所有格矢对应的平移对称操作的集合， 称为平移群； 使晶体复原的全部平移和点对称操作的集合， 构成空间群。
n 主轴的重（次，度）数 h 含有水平镜面 （垂直于主轴） v 含有垂直镜面（包含主轴） i 含有中心反演
16
双面群
Dn群：包含一个n重轴和n个与之对应的二重轴的点群， 共4个，D , D , D , D Dnd群：Dn群加上通过n重轴以及两个二重轴平分线的镜 面，共2个，D , D
17
32个点群
E
恒等操作
identity
对称操作
Symmetry operation
不变
nothing
What does it do Nothing
i
反演中心
按对称中心反演 projects through the center an
center of symmetry inversion
equal distance
https:///wiki/Titanium_dioxide https:///wiki/Rutile#Synthetic_rutile https:///wiki/Anatase