第一章 课时六 点群 空间群 晶格对称性
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
固体物理学
Ch1晶体结构 1.6点群 空间群 晶格对称性
1
对称元素
在晶体中，由于平移对称性的限制，旋转 对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴，对称元素
只能有 1,2,3,4,6
2
3
4
5
6
点Biblioteka Baidu称操作
7
点群、空间群、晶格分类
8
9
群和点群(point group)
群(group)是一种集合，其元素称为群元， 这种集合满足四个条件；（1）封闭性;（2） 存在单位元;（3）存在逆元;（4）结合律成 立. 一个系统拥有的全部对称操作可以组成一 个对称群，每种对称操作是其中一个群元。 由点对称操作组成的群，称为点群。
关于群的更多知识，请参考群论书籍资料。
10
点群
对称素仅有以下10种：
1,2,3,4,6 1ത, 2ത, 3ത,4ത,6
晶体学点群 (Crystallographic point group)
11
Schoenflies Symmetry Notation
符号标
对称元素
记Label Symmetry element
C, Si, Ge, 灰Sn
55
闪锌矿(ZnS)结构
空间群Fd-3m (227)
空间群F-43m (216)
闪锌矿和金刚石结构具有相似性
56
闪锌矿(ZnS)结构
两套相互嵌套的面心立方格子 ZnS, GaAs, GaP
57
58
TiO2
Rutile TiO2 (金红石)
Antase TiO2 (锐钛矿)
C1群：只含有一个元素（不动），表示没有任何对称性
Cn群：只含有一个旋转轴的点群，共4个，C2, C3, C4, C6 Cnv群：Cn群加上包含n重轴的镜面，共4个 Cnh群：Cn群加上垂直于n重轴的镜面，共4个 Cs群：C1群加上镜面
Ci群：C1群加上中心反演
horizontal vertical inversion
1.12
63
64
65
66
67
68
69
空间群 (1)简单空间群（点空间群），由一个平移群和一 个点群对称操作组合而成，共73个； (2)复杂空间群，晶格全部对称操作的集合，共有 230个。
34
带平移量的微观操作
35
36
37
38
39
空间群国际符号
空间群的国际符号包括两个组成部分 前一部分为大写英文字母，表示格子类型（P、 C（A、B）、I、F） 后一部分与点群的国际符号基本相同，只是其 中晶体的某些宏观对称要素的符号需换成相应 的内部结构对称要素的符号。 例如：P23，I432，Fm3m 对应的点群是什么？晶格类型是什么？
https://en.wikipedia.org/wiki/Barium_titanate
49
钙钛矿(BaTiO3)结构
Ti在氧八面体的中心，Ba在氧八面体的间隙； BaTiO3以及其他许多ABO3型化合物
50
CH3NH3PbX3 perovskites (X=I, Br and/or Cl)
https://en.wikipedia.org/wiki/Perovskite_(structure)
Antase TiO2 (锐钛矿) 空间群I41/amd (141)
60
TiO2
61
本课小结
正交变换和三种对称操作 点对称操作，对称元素 32个点群和标记方法 平移对称操作，点空间群 7个晶系，14个布拉维格子 常见的晶体结构
62
作业（需要上交）
考虑晶体的平移对称性，证明晶体中允许 的转动对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴；
44
体心立方和面心立方结构
碱金属Li, Na, K 过渡金属Cr, W, Nb, V, Fe
金属Al, Ni, Au, Ag, Cu, Pb, Pt Ne, A r, Xe
45
CsCl结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
46
CsCl结构
空间群Pm-3m (221)
两套相互嵌套的简单立方格子 CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlI
26
27
28
29
30
31
32
平移(translation)对称性
布拉维格子的格矢
将晶体平移布拉维格子的任一格矢，晶体与自 身重合，称为平移对称操作。
问题 平移对称操作是正交变换吗？ 平移对称操作是点对称操作吗？
33
空间群
布拉维所有格矢对应的平移对称操作的集合， 称为平移群； 使晶体复原的全部平移和点对称操作的集合， 构成空间群。
E
恒等操作
identity
对称操作
Symmetry operation
不变
nothing
What does it do Nothing
i
反演中心
按对称中心反演 projects through the center an
center of symmetry inversion
equal distance
O (octahedron)
O群：立方体点群Oh中的24个纯转动操作 Oh群：立方体点群，含有48个对称操作
T (tetrahedron)
T群：Td群中的12个纯转动操作 Td群：正四面体点群，含有24个对称操作 Th群：T群加上中心反演
18
19
20
21
22
23
24
25
七大晶系的关系
14
四面体点群
4个三重轴（蓝色），共8 个对称操作，记为8C3 ； 3个两重轴（红色），共3 个对称操作，记为3C2； 保持不动，1个对称操作， 用E表示；
共8+3+1=12个对称操作
由如上所示的12个点对称操作{E, 3C2, 8C3}组成 的点群，用T表示。
15
32个点群
Cn (for cyclic)回转群
space group table: http://en.wikipedia.org/wiki/Space_group#Table_of_space_groups_in_3_dimension4s0
41
空间群、点群、晶系、布拉法格子
42
43
常见的晶体结构
体心立方和面心立方结构 CsCl结构和立方钙钛矿结构 NaCl和CaF2结构 金刚石和闪锌矿结构 六角密堆积结构
13
四面体点群
E+8C3 + 3C2； 绕3个立方轴（红色）旋转π/2, 3π/2，接着做水平面镜像，共6 个对称操作，记为6S4； 对立方体相对面的对角线形成截 面作镜像，共6个对称操作，记 为6σd； 共12+6+6=24个对称操作；
由如上所示的24个点对称操作{E, 3C2, 8C3, 6S4, 6σd}组成的点群，用T d表示，称为正四面体点群。
n 主轴的重（次，度）数 h 含有水平镜面 （垂直于主轴） v 含有垂直镜面（包含主轴） i 含有中心反演
16
双面群
Dn群：包含一个n重轴和n个与之对应的二重轴的点群， 共4个，D , D , D , D Dnd群：Dn群加上通过n重轴以及两个二重轴平分线的镜 面，共2个，D , D
17
32个点群
51
NaCl结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
52
NaCl结构
空间群Fm-3m (225)
两套相互嵌套的面心立方格子 NaCl, 以及Li, Na, K, Rb和F, Cl, Br, I化合物 CaO, MgS等
53
CaF2结构
空间群Fm-3m (225)
54
金刚石结构
空间群Fd-3m (227)
or inversion center
Cn
n-重旋转轴
绕轴旋转
rotates counterclockwise
n-fold proper axis of rotation
360o/n degrees about the axis
rotation
σ/m
镜面
镜像
reflects across a plane
perpendicular to the axis
参考 Mildred S. Dresselhaus,Gene Dresselhaus,Ado Jorio. Group theory: Application in1t2he physics of condensed matter. Springer (2008) P44
https://en.wikipedia.org/wiki/Titanium_dioxide https://en.wikipedia.org/wiki/Rutile#Synthetic_rutile https://en.wikipedia.org/wiki/Anatase
59
TiO2
Rutile TiO2 (金红石) 空间群P42/mnm (136)
plane of symmetry
reflection
Sn
n-重旋转镜像轴 绕轴旋转后镜像 rotates counterclockwise
n-fold improper axis rotation followed 360o/n degrees about the axis
of rotation
by reflection and then reflects across a plane
47
钙钛矿(BaTiO3)结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
48
钙钛矿(BaTiO3)结构
Barium titanate can exist in five phases, listing from high temperature to low temperature: (1) hexagonal (2) Cubic (Pm-3m, 221) (3) Tetragonal (P4mm, 99) (4) Orthorhombic (5) Rhombohedral
Ch1晶体结构 1.6点群 空间群 晶格对称性
1
对称元素
在晶体中，由于平移对称性的限制，旋转 对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴，对称元素
只能有 1,2,3,4,6
2
3
4
5
6
点Biblioteka Baidu称操作
7
点群、空间群、晶格分类
8
9
群和点群(point group)
群(group)是一种集合，其元素称为群元， 这种集合满足四个条件；（1）封闭性;（2） 存在单位元;（3）存在逆元;（4）结合律成 立. 一个系统拥有的全部对称操作可以组成一 个对称群，每种对称操作是其中一个群元。 由点对称操作组成的群，称为点群。
关于群的更多知识，请参考群论书籍资料。
10
点群
对称素仅有以下10种：
1,2,3,4,6 1ത, 2ത, 3ത,4ത,6
晶体学点群 (Crystallographic point group)
11
Schoenflies Symmetry Notation
符号标
对称元素
记Label Symmetry element
C, Si, Ge, 灰Sn
55
闪锌矿(ZnS)结构
空间群Fd-3m (227)
空间群F-43m (216)
闪锌矿和金刚石结构具有相似性
56
闪锌矿(ZnS)结构
两套相互嵌套的面心立方格子 ZnS, GaAs, GaP
57
58
TiO2
Rutile TiO2 (金红石)
Antase TiO2 (锐钛矿)
C1群：只含有一个元素（不动），表示没有任何对称性
Cn群：只含有一个旋转轴的点群，共4个，C2, C3, C4, C6 Cnv群：Cn群加上包含n重轴的镜面，共4个 Cnh群：Cn群加上垂直于n重轴的镜面，共4个 Cs群：C1群加上镜面
Ci群：C1群加上中心反演
horizontal vertical inversion
1.12
63
64
65
66
67
68
69
空间群 (1)简单空间群（点空间群），由一个平移群和一 个点群对称操作组合而成，共73个； (2)复杂空间群，晶格全部对称操作的集合，共有 230个。
34
带平移量的微观操作
35
36
37
38
39
空间群国际符号
空间群的国际符号包括两个组成部分 前一部分为大写英文字母，表示格子类型（P、 C（A、B）、I、F） 后一部分与点群的国际符号基本相同，只是其 中晶体的某些宏观对称要素的符号需换成相应 的内部结构对称要素的符号。 例如：P23，I432，Fm3m 对应的点群是什么？晶格类型是什么？
https://en.wikipedia.org/wiki/Barium_titanate
49
钙钛矿(BaTiO3)结构
Ti在氧八面体的中心，Ba在氧八面体的间隙； BaTiO3以及其他许多ABO3型化合物
50
CH3NH3PbX3 perovskites (X=I, Br and/or Cl)
https://en.wikipedia.org/wiki/Perovskite_(structure)
Antase TiO2 (锐钛矿) 空间群I41/amd (141)
60
TiO2
61
本课小结
正交变换和三种对称操作 点对称操作，对称元素 32个点群和标记方法 平移对称操作，点空间群 7个晶系，14个布拉维格子 常见的晶体结构
62
作业（需要上交）
考虑晶体的平移对称性，证明晶体中允许 的转动对称轴只能是1, 2, 3, 4和6重轴；
44
体心立方和面心立方结构
碱金属Li, Na, K 过渡金属Cr, W, Nb, V, Fe
金属Al, Ni, Au, Ag, Cu, Pb, Pt Ne, A r, Xe
45
CsCl结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
46
CsCl结构
空间群Pm-3m (221)
两套相互嵌套的简单立方格子 CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlI
26
27
28
29
30
31
32
平移(translation)对称性
布拉维格子的格矢
将晶体平移布拉维格子的任一格矢，晶体与自 身重合，称为平移对称操作。
问题 平移对称操作是正交变换吗？ 平移对称操作是点对称操作吗？
33
空间群
布拉维所有格矢对应的平移对称操作的集合， 称为平移群； 使晶体复原的全部平移和点对称操作的集合， 构成空间群。
E
恒等操作
identity
对称操作
Symmetry operation
不变
nothing
What does it do Nothing
i
反演中心
按对称中心反演 projects through the center an
center of symmetry inversion
equal distance
O (octahedron)
O群：立方体点群Oh中的24个纯转动操作 Oh群：立方体点群，含有48个对称操作
T (tetrahedron)
T群：Td群中的12个纯转动操作 Td群：正四面体点群，含有24个对称操作 Th群：T群加上中心反演
18
19
20
21
22
23
24
25
七大晶系的关系
14
四面体点群
4个三重轴（蓝色），共8 个对称操作，记为8C3 ； 3个两重轴（红色），共3 个对称操作，记为3C2； 保持不动，1个对称操作， 用E表示；
共8+3+1=12个对称操作
由如上所示的12个点对称操作{E, 3C2, 8C3}组成 的点群，用T表示。
15
32个点群
Cn (for cyclic)回转群
space group table: http://en.wikipedia.org/wiki/Space_group#Table_of_space_groups_in_3_dimension4s0
41
空间群、点群、晶系、布拉法格子
42
43
常见的晶体结构
体心立方和面心立方结构 CsCl结构和立方钙钛矿结构 NaCl和CaF2结构 金刚石和闪锌矿结构 六角密堆积结构
13
四面体点群
E+8C3 + 3C2； 绕3个立方轴（红色）旋转π/2, 3π/2，接着做水平面镜像，共6 个对称操作，记为6S4； 对立方体相对面的对角线形成截 面作镜像，共6个对称操作，记 为6σd； 共12+6+6=24个对称操作；
由如上所示的24个点对称操作{E, 3C2, 8C3, 6S4, 6σd}组成的点群，用T d表示，称为正四面体点群。
n 主轴的重（次，度）数 h 含有水平镜面 （垂直于主轴） v 含有垂直镜面（包含主轴） i 含有中心反演
16
双面群
Dn群：包含一个n重轴和n个与之对应的二重轴的点群， 共4个，D , D , D , D Dnd群：Dn群加上通过n重轴以及两个二重轴平分线的镜 面，共2个，D , D
17
32个点群
51
NaCl结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
52
NaCl结构
空间群Fm-3m (225)
两套相互嵌套的面心立方格子 NaCl, 以及Li, Na, K, Rb和F, Cl, Br, I化合物 CaO, MgS等
53
CaF2结构
空间群Fm-3m (225)
54
金刚石结构
空间群Fd-3m (227)
or inversion center
Cn
n-重旋转轴
绕轴旋转
rotates counterclockwise
n-fold proper axis of rotation
360o/n degrees about the axis
rotation
σ/m
镜面
镜像
reflects across a plane
perpendicular to the axis
参考 Mildred S. Dresselhaus,Gene Dresselhaus,Ado Jorio. Group theory: Application in1t2he physics of condensed matter. Springer (2008) P44
https://en.wikipedia.org/wiki/Titanium_dioxide https://en.wikipedia.org/wiki/Rutile#Synthetic_rutile https://en.wikipedia.org/wiki/Anatase
59
TiO2
Rutile TiO2 (金红石) 空间群P42/mnm (136)
plane of symmetry
reflection
Sn
n-重旋转镜像轴 绕轴旋转后镜像 rotates counterclockwise
n-fold improper axis rotation followed 360o/n degrees about the axis
of rotation
by reflection and then reflects across a plane
47
钙钛矿(BaTiO3)结构
布拉维格子是？ 基元是？ 空间群？
48
钙钛矿(BaTiO3)结构
Barium titanate can exist in five phases, listing from high temperature to low temperature: (1) hexagonal (2) Cubic (Pm-3m, 221) (3) Tetragonal (P4mm, 99) (4) Orthorhombic (5) Rhombohedral