频率域图像增强
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第四章频率域图像增强
图像傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空 间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示 空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图 像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表 示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。 为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱 图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并 不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶 频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域 点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么 理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来 讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立 叶变换后的频谱图，也叫功率图
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质 ✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
➢图像的频率指什么？
✓ 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面
Mx0
u=0,1,2,…,M-1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f(x)
1
M1
j2ux
F(u)e M
Mu0
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
✓ 从欧拉公式 e j cos j sin
F (u)
1
M 1
频率域图像增强
理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
振铃
附录
产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
截止 频率 分别 为
10,30 ,60,1 60和 460
比较
2阶布特沃斯低通滤波
高斯低通滤波
梯形低通滤波器
梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折 中。它的传递函数为：
低通滤波器
应用： 字符识别的应用 印刷和出版业 卫星图像和航空图像的处理
第四章频率域图像增强
一、频率域介绍
低通滤波器
低通滤波函数
原图
低通滤波结果：模糊
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑 过渡而突出边缘等细节部分
对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波函数
原图
高通滤波结果：锐化
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
最后将G(u,v)进行IDFT变换即可得到频域滤波后 的图像
频域滤波的步骤
具体实施步骤如下: （1）用(-1)x+y乘以输入图像f(x,y)来进行中心变换;
f ( x, y)(1)x y F (u M / 2, v N / 2)
（2）由(1)计算图像的DFT,得到F(u,v); （3）用频域滤波器H(u,v)乘以F(u,v); （4）将(3)中得到的结果进行IDFT; （5）取(4)中结果的实部; （6）用(-1)x+y乘以(5)中的结果,即可得滤波图像。
uv
理想低通滤波器举例
500×500像素的原图 图像的傅里叶频谱
圆环具有半径5,15,30,80和230个像素 图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径越小，模糊越大；半径越大，模糊越小
原图
半径是5的理想低通 滤波,滤除8%的总功 率，模糊说明多数尖 锐细节在这8%的功率 之内
二、频率域平滑滤波器
理想低通滤波器
总图像功率值PT
M 1 N 1
PT P(u, v)
u0 v0
P(u, v) | F (u, v) |2 R(u, v)2 I (u, v)2
频率域图像增强
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
振铃
附录
产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
H（u，v） =-4π2[（u-P/2)2=(v-Q/2)2] =-4π2D2(u,v)
所以我们就可以得到拉普拉斯图像由下式 ▽
▽2f(x,y)=ζ -1[H(u,v)F(u,v)]
相比较其他滤波器不同的是，一般我们经过逆傅里叶变化就可以得到图像了而我 们需要如下实现
g（x，y）=f（x，y）+c ▽2f(x,y)
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
图像处理课件04频率域图像增强
u 0,1,, M 1 v 0,1,, N 1
反变换: f ( x, y ) F (u , v) e j 2 ( ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
x 0,1, , M 1 y 0,1, , N 1
一般F(u,v)是复函数,即:
1
2
5
20
３、高斯低通滤波器（GLPF）
H (u, v) e
D 2 u ,v / 2 2
令 D0
H (u, v) e
2 D 2 u ,v / 2 D0
当D(u, v) D0
H (u, v) 0.607
有更加平滑的过渡带，平滑后的图象没有振铃现象 与BLPF相比，衰减更快，经过GLPF滤波的图象比 BLPF处理的图象更模糊一些
高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺 利通过，而使低频分量受到削弱。
H hp (u, v) 1 H lp (u, v)
与低通滤波器相对应，频率域内常用的高通滤波器 有３种： 1. 理想高通滤波器 2. 巴特沃斯高通滤波器 3. 高斯高通滤波器
空间域滤波和频率域滤波之间的对应 关系
卷积定理：
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v)
f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
冲激函数
M 1 N 1 x 0 y 0
s( x, y) A ( x x , y y ) As( x , y )
频率域的基本性质：
低频对应着图像的慢变化分量。
较高的频率对应着图像中变化较快的灰度级。
变化最慢的频率成分（原点）对应图像的平均灰度级。
数字图像处理之频率域图像增强
易于分析和处理。
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
频域图像增强
常数以将一些低频分量加回到滤波结果中，从而 获得较好的视觉效果
对转移函数乘以一个常数k ，加一个常数c He(u, v) = kH(u, v) + c
Ge(u, v) = kG(u, v) + cF(u, v)
6.2 高通滤波器
2）高频提升滤波器 把原始图乘以一个放大系数A再减去低通图
GHB(u,v) AF(u,v) FL(u,v) (A1)F(u,v) FH(u,v)
当A = 1时，就是普通的高通滤波器。当A > 1，原始图的一部分与高通图相加，恢复了部分高 通滤波时丢失的低频分量，使得最终结果与原图 更接近
第6章 频域图像增强
6.1 低通滤波器 6.2 高通滤波器 6.3 带阻带通滤波器 6.4 同态滤波器 6.5 空域技术与频域技术
6.3 带阻带通滤波器
用合适的滤波器滤波、反变换、取指数。
6.4 同态滤波器
第6章 频域图像增强
6.1 低通滤波器 6.2 高通滤波器 6.3 带阻带通滤波器 6.4 同态滤波器 6.5 空域技术与频域技术
6.5 空域技术与频域技术
1.空域技术的频域分析
借助频域的概念对空域滤波的工作原理进行 分析常比较直观
空域的平滑滤波对应频域的低通滤波 空域的锐化滤波对应频域的高通滤波 频域里低通滤波器的转移函数应该对应空域 里平滑滤波器的模板函数的傅里叶变换 频域里高通滤波器的转移函数应该对应空域 里锐化滤波器的模板函数的傅里叶变换
3、结果进行傅里叶反变换,得到增强的图像。
第6章 频域图像增强
6.1 低通滤波器 6.2 高通滤波器 6.3 带阻带通滤波器 6.4 同态滤波器 6.5 空域技术与频域技术
6.1 低通滤波器
对转移函数乘以一个常数k ，加一个常数c He(u, v) = kH(u, v) + c
Ge(u, v) = kG(u, v) + cF(u, v)
6.2 高通滤波器
2）高频提升滤波器 把原始图乘以一个放大系数A再减去低通图
GHB(u,v) AF(u,v) FL(u,v) (A1)F(u,v) FH(u,v)
当A = 1时，就是普通的高通滤波器。当A > 1，原始图的一部分与高通图相加，恢复了部分高 通滤波时丢失的低频分量，使得最终结果与原图 更接近
第6章 频域图像增强
6.1 低通滤波器 6.2 高通滤波器 6.3 带阻带通滤波器 6.4 同态滤波器 6.5 空域技术与频域技术
6.3 带阻带通滤波器
用合适的滤波器滤波、反变换、取指数。
6.4 同态滤波器
第6章 频域图像增强
6.1 低通滤波器 6.2 高通滤波器 6.3 带阻带通滤波器 6.4 同态滤波器 6.5 空域技术与频域技术
6.5 空域技术与频域技术
1.空域技术的频域分析
借助频域的概念对空域滤波的工作原理进行 分析常比较直观
空域的平滑滤波对应频域的低通滤波 空域的锐化滤波对应频域的高通滤波 频域里低通滤波器的转移函数应该对应空域 里平滑滤波器的模板函数的傅里叶变换 频域里高通滤波器的转移函数应该对应空域 里锐化滤波器的模板函数的傅里叶变换
3、结果进行傅里叶反变换,得到增强的图像。
第6章 频域图像增强
6.1 低通滤波器 6.2 高通滤波器 6.3 带阻带通滤波器 6.4 同态滤波器 6.5 空域技术与频域技术
6.1 低通滤波器
第4讲频率域图像增强
傅立叶反变换
f (x) F(u)ej2uxdu
f (x) 1 F()ejxd
2
（2）周期形式（傅里叶级数）
F (u)
au
1 M
M f (x)e j2ux/ M dx
0
f (x)
aue j 2ux/ M
u
f (x)
2 二维傅里叶变换 （1）连续形式
F(u,v) f(x,y)ej2(uxvy)dxdy
f(x,y) F(u,v)ej2(uxvy)dudv
（2）离散形式
F(u,v)
1
M1N1
j2(uxvy)
f (x, y)e M N
F(u)e j2ux/ M
aue j 2ux/ M
u
u
（3）离散形式
F(u)
1
M 1
f (x)e j2ux/ M
M x0
M 1
f (x) F(u)e j2ux/ M
u0
系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变 换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。
傅立叶变换的引入
• 周期函数可以表示为不 同频率的正弦和/或余弦 和的形式
• 非周期函数可以用正弦 和/或余弦乘以加权函数 的积分来表示——这种 情况下的公式就是傅立 叶变换
傅里叶变换及其反变换
1 一维傅里叶变换 （1）连续形式
单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)可以定义为：
F(u) f(x)ej2uxdx j 1
离散一维卷积
h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j)
f (x) F(u)ej2uxdu
f (x) 1 F()ejxd
2
（2）周期形式（傅里叶级数）
F (u)
au
1 M
M f (x)e j2ux/ M dx
0
f (x)
aue j 2ux/ M
u
f (x)
2 二维傅里叶变换 （1）连续形式
F(u,v) f(x,y)ej2(uxvy)dxdy
f(x,y) F(u,v)ej2(uxvy)dudv
（2）离散形式
F(u,v)
1
M1N1
j2(uxvy)
f (x, y)e M N
F(u)e j2ux/ M
aue j 2ux/ M
u
u
（3）离散形式
F(u)
1
M 1
f (x)e j2ux/ M
M x0
M 1
f (x) F(u)e j2ux/ M
u0
系数1/M也可以放在反变换前， 有时也可在傅立叶正变 换和逆变换前分别乘以(1/M )1/2。
傅立叶变换的引入
• 周期函数可以表示为不 同频率的正弦和/或余弦 和的形式
• 非周期函数可以用正弦 和/或余弦乘以加权函数 的积分来表示——这种 情况下的公式就是傅立 叶变换
傅里叶变换及其反变换
1 一维傅里叶变换 （1）连续形式
单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)可以定义为：
F(u) f(x)ej2uxdx j 1
离散一维卷积
h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j)
《频域图像增强》课件
《频域图像增强》PPT课 件
在本课程中，我们将探索频域图像增强的概念、原理和应用。了解傅里叶变 换、频率域滤波、统计频域增强方法和空间频率滤波等常见技术。
什么是频域图像增强
频域图像增强是一种图像处理技术，通过在图像的频域进行操作，改善图像 的质量和增强图像的细节。它基于信号处理和数学变换的原理，可以优化图 像的视觉效果。
常见的频域图像增强技术
傅里叶变换
通过将图像转换到频域，可以分析和改变图像 的频率成分。
统计频域增强方法
通过统计图像的频域特征，可以对图像进行增 强和修复。
频率域滤波
利用频域滤波器，可以增强或抑制图像的特定 频率成分。
空间频率滤波
利用空间领域和频率领域的关系，可以改善图 像的细节和对比度。
频域图像增强的应用领域
频域图像增强的作用和意义
频域图像增强可以提高图像的可视性，使图像更清晰、更鲜艳。它可以增强图像的细节，并减少噪点和模糊。 频域图像增强在许多应用领域都起到重要的作用。
频域图像增强的基本原理
频域图像增强的基本原理是将图像转换到频域，并利用频域滤波和变换等方法对图像进行处理。通过对图像的 频域表示进行操作，可以改变图像的频率分布，从而改善图像的质量。
挑战：频域图像增强需要高级数学和信号处理技术，同时需要根据具体应用 场景选择适当的算法和参数。
1 医学图像处理
频域图像增强在医学影像诊断和治疗中起着重要作用，帮助医生提取和分析图像特征。
2 航空航天图像处理
频域图像增强可以改善航空航天图像的清晰度和对比度，提高目标检测和识别的准确性。
3 摄影图像处理
频域图像增强可用于提升摄影作品的质量，改善细节和色彩还原。
频域图像增强的优势和挑战
在本课程中，我们将探索频域图像增强的概念、原理和应用。了解傅里叶变 换、频率域滤波、统计频域增强方法和空间频率滤波等常见技术。
什么是频域图像增强
频域图像增强是一种图像处理技术，通过在图像的频域进行操作，改善图像 的质量和增强图像的细节。它基于信号处理和数学变换的原理，可以优化图 像的视觉效果。
常见的频域图像增强技术
傅里叶变换
通过将图像转换到频域，可以分析和改变图像 的频率成分。
统计频域增强方法
通过统计图像的频域特征，可以对图像进行增 强和修复。
频率域滤波
利用频域滤波器，可以增强或抑制图像的特定 频率成分。
空间频率滤波
利用空间领域和频率领域的关系，可以改善图 像的细节和对比度。
频域图像增强的应用领域
频域图像增强的作用和意义
频域图像增强可以提高图像的可视性，使图像更清晰、更鲜艳。它可以增强图像的细节，并减少噪点和模糊。 频域图像增强在许多应用领域都起到重要的作用。
频域图像增强的基本原理
频域图像增强的基本原理是将图像转换到频域，并利用频域滤波和变换等方法对图像进行处理。通过对图像的 频域表示进行操作，可以改变图像的频率分布，从而改善图像的质量。
挑战：频域图像增强需要高级数学和信号处理技术，同时需要根据具体应用 场景选择适当的算法和参数。
1 医学图像处理
频域图像增强在医学影像诊断和治疗中起着重要作用，帮助医生提取和分析图像特征。
2 航空航天图像处理
频域图像增强可以改善航空航天图像的清晰度和对比度，提高目标检测和识别的准确性。
3 摄影图像处理
频域图像增强可用于提升摄影作品的质量，改善细节和色彩还原。
频域图像增强的优势和挑战
第四讲频率域图像增强 65页PPT文档
空间域和频率域中的滤波器组成了傅里叶变换对。
高斯函数在空域和频域的对应关系式：
H(u)u2/22
h(x)2 Ae 222x2
1D高斯低 通滤波器
H(u)Ae(u2v2)/22
h (x)2 Ae 2 2 1 2(x2y2)
2D高斯低 通滤波器
结论：1）H (u) 有宽的轮廓，则h(x)有窄的轮廓，反之亦然。 2）频率域滤波器越窄，滤出的低频成分越多，图 像被模糊，在空域则滤波器越宽，模板越大。
G (u , v)=H (u , v) X F (u , v)
例二、显示重要特征的傅里叶谱
注：原始图像中有约±450的强 边缘和两个白色的氧化物 突 起。
注：傅里叶频谱显示了±450的强 边缘，在垂直轴偏左的部分有 垂直成分（对应两个氧化物 突 起）。
频域滤波的基本步骤：
1）用 (-1)x+y 乘以输入图像进行中心变换； 2）计算1）处理后图像的DFT，即 F (u , v)； 3）用滤波器函数 H (u , v)乘以 F (u , v)；即
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
频域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
高斯函数在空域和频域的对应关系式：
H(u)u2/22
h(x)2 Ae 222x2
1D高斯低 通滤波器
H(u)Ae(u2v2)/22
h (x)2 Ae 2 2 1 2(x2y2)
2D高斯低 通滤波器
结论：1）H (u) 有宽的轮廓，则h(x)有窄的轮廓，反之亦然。 2）频率域滤波器越窄，滤出的低频成分越多，图 像被模糊，在空域则滤波器越宽，模板越大。
G (u , v)=H (u , v) X F (u , v)
例二、显示重要特征的傅里叶谱
注：原始图像中有约±450的强 边缘和两个白色的氧化物 突 起。
注：傅里叶频谱显示了±450的强 边缘，在垂直轴偏左的部分有 垂直成分（对应两个氧化物 突 起）。
频域滤波的基本步骤：
1）用 (-1)x+y 乘以输入图像进行中心变换； 2）计算1）处理后图像的DFT，即 F (u , v)； 3）用滤波器函数 H (u , v)乘以 F (u , v)；即
G (u , v)=H (u , v) x F (u , v) 4） 求 G (u , v)的IDFT； 5） 得到4）的IDFT的实部； 6）用 (-1)x+y 乘以 5）的结果。
频域滤波的基本步骤
DFT
滤波器 H (u , v)
IDFT
F (u , v)
H (u , v) F (u , v)
前处理
2D低通滤波器
2D高通滤波器
滤波器原 点为0， 因此几乎 没有平滑 的灰度级 细节
陷波滤波器对图像的影响 （ 陷波滤波器将原点设置为0 平均灰度为0，因而需要标定）
高通滤波器对图像的影响 （滤波器函数加上滤波器高度一
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P(u, v) a 100 u v P T
1. 2.
截止频率以内的信号可以通过滤波器，截止频率以外的信号被衰减。 以截止频率内的图像功率值PT 与总功率的比值来确定截止频率范围。
中南民族大学电信学院
截止频率示意图
空域图像信号
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对应的频域信号
中南民族大学电信学院
数学符号表示法的不同
2 j ux 1 M 1 M ( ) ( ) 正变换 F u f x e M x 0 2 M 1 j ux 反变换 f ( x) M ( ) F u e u 0
数字图像处理中的符号方式
2 N 1 j kn N 正变换 X (k ) x(n)e n 0 2 N 1 kn j 反变换 x(n) 1 N X (k )e N k 0
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卷积定律
空间域与频率域之间的最基本联系是由卷积定理建 立的；即对于线性时不变系统，有：
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v) f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
给出频率域的滤波器，可以通过将其进行傅里叶反 变换得到其在空间域相应的滤波器。
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基本的滤波模型
G(u,v) = H(u,v)F(u,v)
F(u,v) 是被平滑图像的傅里叶变换； H(u,v) 是滤波器变换函数； G(u,v) 是平滑后图像的傅里叶变换。
目标是选择一个滤波器变换函数H(u,v)，通过 衰减F(u,v)的高频成分来产生G(u,v).
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可与理想低通 滤波器进行对 比。
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D0=80
D0=230
三、高斯低通滤波器（GLPF）
波器了。
一般来说，综合考虑低通滤波的有效性，和 可接受的振铃现象，2阶巴特沃斯滤波器是比 较好的选择。
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实验—— 基于巴特沃斯滤波器的平滑
利用二阶巴特沃 斯滤波器对图像 进行滤波，截止 频率半径为： 5,15,30,80,230
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D0=5
D0=15
D0=30
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相应傅里叶频谱图
图像二维傅里叶变换的若干性质
图像频谱图像中心点的值等于图像均值
ux vy j 2 ( ) 1 M 1 N 1 M N F (u, v) f ( x, y)e MN x0 y 0
1 M 1 N 1 F (0,0) f ( x, y) MN x0 y 0
不同于理想滤波器，BLPF变换函数在通带与被滤 除的频率之间没有明显的截断。
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巴特ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ斯滤波器图示
一个截止频率为D0=80的二阶巴特沃斯滤波器
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巴特沃斯滤波器的性质由其阶数n决定
1阶的巴特沃斯滤波器没有振铃； 2阶的滤波器振铃通常很微小； 20阶的巴特沃斯滤波器就非常类似于理想低通滤
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理想低通滤波器的图示
透视图
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图像表达
标准截止频率
图像中每一个点的功率谱成分相加即为频谱图的总功 率PT
P T P(u, v)
u 0 v 0 M 1 N 1
如果傅里叶变换被中心化，原点在频率矩形的中心，半径为r的圆包 含的功率占总功率的百分比
三种滤波器：
理想滤波器、 巴特沃斯滤波器 高斯滤波器
三种滤波器涵盖了从非常尖锐(理想滤波器)到 非常平坦(高斯滤波器)范围的滤波器函数。 巴特沃斯滤波器有一个参数，称为滤波器的 阶数。当此参数较大时，接近理想滤波器。 因此巴特沃斯滤波器可看做两种“极端”滤波器 的某种过渡。
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ux vy j 2 ( ) 1 M 1 N 1 M N ( , ) ( , ) F u v f x y e MN x 0 y 0 ux vy M 1 N 1 2 ( ) j f ( x, y) M N F (u, v)e u 0 v 0
数字图像处理
中南民族大学电信学院
笪邦友
第四章 频率域图像增强
§4.1 傅里叶变换及其性质 §4.2 频率域图像增强
§4.2.1 频率域滤波 §4.2.2 频率域平滑滤波器 §4.2.3 频率域锐化滤波器
§4.3 同态滤波器
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§4.1傅里叶变换及其性质
傅里叶级数
无论一个函数多么复
一、理想低通滤波器（ILPF）
二维理想低通滤波器的传递函数定义为：
1 H (u, v) 0 D(u, v) D0 D(u, v) D0
D0为截止频率，D(u, v)是(u, v)点距中心点的距离。
理想低通滤波器的这种陡峭的截止频率是不能用电 子部件实现，但可以用计算机实现。
数字信号处理中的符号方式
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反变换存在与否的理论问题
对于数字图像处理而言，离散傅里叶变换和 其反变换必定存在。 符号表示：
时域信号用(x,y)表示； 频域信号用(u,v)表示。
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4.1.2 二维离散傅里叶变换
对于一个M×N大小的数字图像，其二维傅里叶变换为：
实验 —— 基于频域技术的平滑
对右图利用理想低通 滤波器进行平滑，选 用的理想滤波器截止 频率半径分别为： 5,15,30,80,230。
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D0 = 5
功率比为：
92 %
此图像的严重模糊表明，图像中的多数细节包含在被滤 除的8%的功率中。
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D0=15
功率比为：
F (u, v) | F (u, v) | e j (u ,v )
(u , v) arctan
I (u , v) R(u , v)
功率谱
P (u , v) F 2 (u , v) R 2 (u , v) I 2 (u , v)
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示例 — 图像的傅里叶频谱图像
1. 变化最慢的频率成分(u=v=0)对应图像的平均灰
度级； 2. 低频对应着图像的慢变化分量； 3. 较高的频率对应着图像中变化越来越快的灰度 变化。
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二 、频域滤波机理
滤波机理
通过滤波器传递函数H(u,v)，以某种方式来修改
待处理图像的傅里叶变换F(u,v)。
G(u,v) = H(u,v)F(u,v)
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(a)
D0= 5
92%
(b)
D0= 15
94.6%
(c)
D0= 30
96.4%
理想低通滤 波器非常不 实用。
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(d)
D0= 80
98%
(e)
D0= 230
99.5%
二、巴特沃斯低通滤波器（BLPF）
n阶巴特沃斯滤波器的传递函数的定义如下：
1 H (u, v) D(u, v) 2n 1 [ ] D0 D0为截止频率
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傅里叶变换结果
显然，傅里叶变换结果 幅度（或频率谱） 为一复数 | F (u , v) | R 2 (u, v) I 2 (u, v) 傅里叶变换的复数形式： 相角（或相位谱） F (u, v) R(u, v) jI (u, v) 傅里叶变换的指数形式：
在上图所示频率谱图像中，距频谱图像中心不同半径的图像功率比为： D0 = 5 功率比为： 92 % D0 = 15 功率比为： 94.6 % D0 = 30 功率比为： 96.4 % D0 = 80 功率比为： 98 % D0 = 230 功率比为： 99.5%
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空域图像信号
傅里叶频谱图
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傅里叶频谱图中心化
用(-1)x+y乘以f(x,y)，可以将F(u,v)原点变换到频率坐标的(M/2,N/2)处。
f ( x, y )(1) x y F (u
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M N ,v ) 2 2
示例 — 人脸图像的傅里叶频谱
人脸图像
94.6 %
存在明显的振铃现象。
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D0 = 30
功率比为：
96.4 %
仍存在振铃现象，但图像质量在逐渐好转。
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D0=80
功率比为：
98 %
仍存在振铃现象，但图像质量在逐渐好转。
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D0 = 230
功率比为：
99.5 %
仅在噪声区内有较小的模糊，大部分图像与原始图像非常 接近。
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高斯滤波器
基于高斯函数的滤波具有特殊的重要性
它们的形状易于确定，直观且容易操作； 高斯函数的傅里叶变换与反变换均为实高斯函
数，这样我们就不必处理复数量，非常有助于分 析。
此外，更复杂的滤波器可用基本的高斯滤波 器构造出来。
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高斯函数滤波器
u 2 H (u ) Ae 2 2 2 x 2 h( x) 2 Ae 为高斯曲线的标准差
如果f(x,y)是实函数，其傅里叶变换共轭对称。
F (u, v) F * (u, v)
1. 2.
截止频率以内的信号可以通过滤波器，截止频率以外的信号被衰减。 以截止频率内的图像功率值PT 与总功率的比值来确定截止频率范围。
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截止频率示意图
空域图像信号
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对应的频域信号
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数学符号表示法的不同
2 j ux 1 M 1 M ( ) ( ) 正变换 F u f x e M x 0 2 M 1 j ux 反变换 f ( x) M ( ) F u e u 0
数字图像处理中的符号方式
2 N 1 j kn N 正变换 X (k ) x(n)e n 0 2 N 1 kn j 反变换 x(n) 1 N X (k )e N k 0
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卷积定律
空间域与频率域之间的最基本联系是由卷积定理建 立的；即对于线性时不变系统，有：
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v) f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
给出频率域的滤波器，可以通过将其进行傅里叶反 变换得到其在空间域相应的滤波器。
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基本的滤波模型
G(u,v) = H(u,v)F(u,v)
F(u,v) 是被平滑图像的傅里叶变换； H(u,v) 是滤波器变换函数； G(u,v) 是平滑后图像的傅里叶变换。
目标是选择一个滤波器变换函数H(u,v)，通过 衰减F(u,v)的高频成分来产生G(u,v).
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可与理想低通 滤波器进行对 比。
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D0=80
D0=230
三、高斯低通滤波器（GLPF）
波器了。
一般来说，综合考虑低通滤波的有效性，和 可接受的振铃现象，2阶巴特沃斯滤波器是比 较好的选择。
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实验—— 基于巴特沃斯滤波器的平滑
利用二阶巴特沃 斯滤波器对图像 进行滤波，截止 频率半径为： 5,15,30,80,230
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D0=5
D0=15
D0=30
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相应傅里叶频谱图
图像二维傅里叶变换的若干性质
图像频谱图像中心点的值等于图像均值
ux vy j 2 ( ) 1 M 1 N 1 M N F (u, v) f ( x, y)e MN x0 y 0
1 M 1 N 1 F (0,0) f ( x, y) MN x0 y 0
不同于理想滤波器，BLPF变换函数在通带与被滤 除的频率之间没有明显的截断。
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巴特ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ斯滤波器图示
一个截止频率为D0=80的二阶巴特沃斯滤波器
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巴特沃斯滤波器的性质由其阶数n决定
1阶的巴特沃斯滤波器没有振铃； 2阶的滤波器振铃通常很微小； 20阶的巴特沃斯滤波器就非常类似于理想低通滤
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理想低通滤波器的图示
透视图
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图像表达
标准截止频率
图像中每一个点的功率谱成分相加即为频谱图的总功 率PT
P T P(u, v)
u 0 v 0 M 1 N 1
如果傅里叶变换被中心化，原点在频率矩形的中心，半径为r的圆包 含的功率占总功率的百分比
三种滤波器：
理想滤波器、 巴特沃斯滤波器 高斯滤波器
三种滤波器涵盖了从非常尖锐(理想滤波器)到 非常平坦(高斯滤波器)范围的滤波器函数。 巴特沃斯滤波器有一个参数，称为滤波器的 阶数。当此参数较大时，接近理想滤波器。 因此巴特沃斯滤波器可看做两种“极端”滤波器 的某种过渡。
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ux vy j 2 ( ) 1 M 1 N 1 M N ( , ) ( , ) F u v f x y e MN x 0 y 0 ux vy M 1 N 1 2 ( ) j f ( x, y) M N F (u, v)e u 0 v 0
数字图像处理
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第四章 频率域图像增强
§4.1 傅里叶变换及其性质 §4.2 频率域图像增强
§4.2.1 频率域滤波 §4.2.2 频率域平滑滤波器 §4.2.3 频率域锐化滤波器
§4.3 同态滤波器
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§4.1傅里叶变换及其性质
傅里叶级数
无论一个函数多么复
一、理想低通滤波器（ILPF）
二维理想低通滤波器的传递函数定义为：
1 H (u, v) 0 D(u, v) D0 D(u, v) D0
D0为截止频率，D(u, v)是(u, v)点距中心点的距离。
理想低通滤波器的这种陡峭的截止频率是不能用电 子部件实现，但可以用计算机实现。
数字信号处理中的符号方式
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反变换存在与否的理论问题
对于数字图像处理而言，离散傅里叶变换和 其反变换必定存在。 符号表示：
时域信号用(x,y)表示； 频域信号用(u,v)表示。
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4.1.2 二维离散傅里叶变换
对于一个M×N大小的数字图像，其二维傅里叶变换为：
实验 —— 基于频域技术的平滑
对右图利用理想低通 滤波器进行平滑，选 用的理想滤波器截止 频率半径分别为： 5,15,30,80,230。
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D0 = 5
功率比为：
92 %
此图像的严重模糊表明，图像中的多数细节包含在被滤 除的8%的功率中。
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D0=15
功率比为：
F (u, v) | F (u, v) | e j (u ,v )
(u , v) arctan
I (u , v) R(u , v)
功率谱
P (u , v) F 2 (u , v) R 2 (u , v) I 2 (u , v)
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示例 — 图像的傅里叶频谱图像
1. 变化最慢的频率成分(u=v=0)对应图像的平均灰
度级； 2. 低频对应着图像的慢变化分量； 3. 较高的频率对应着图像中变化越来越快的灰度 变化。
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二 、频域滤波机理
滤波机理
通过滤波器传递函数H(u,v)，以某种方式来修改
待处理图像的傅里叶变换F(u,v)。
G(u,v) = H(u,v)F(u,v)
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(a)
D0= 5
92%
(b)
D0= 15
94.6%
(c)
D0= 30
96.4%
理想低通滤 波器非常不 实用。
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(d)
D0= 80
98%
(e)
D0= 230
99.5%
二、巴特沃斯低通滤波器（BLPF）
n阶巴特沃斯滤波器的传递函数的定义如下：
1 H (u, v) D(u, v) 2n 1 [ ] D0 D0为截止频率
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傅里叶变换结果
显然，傅里叶变换结果 幅度（或频率谱） 为一复数 | F (u , v) | R 2 (u, v) I 2 (u, v) 傅里叶变换的复数形式： 相角（或相位谱） F (u, v) R(u, v) jI (u, v) 傅里叶变换的指数形式：
在上图所示频率谱图像中，距频谱图像中心不同半径的图像功率比为： D0 = 5 功率比为： 92 % D0 = 15 功率比为： 94.6 % D0 = 30 功率比为： 96.4 % D0 = 80 功率比为： 98 % D0 = 230 功率比为： 99.5%
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空域图像信号
傅里叶频谱图
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傅里叶频谱图中心化
用(-1)x+y乘以f(x,y)，可以将F(u,v)原点变换到频率坐标的(M/2,N/2)处。
f ( x, y )(1) x y F (u
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M N ,v ) 2 2
示例 — 人脸图像的傅里叶频谱
人脸图像
94.6 %
存在明显的振铃现象。
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D0 = 30
功率比为：
96.4 %
仍存在振铃现象，但图像质量在逐渐好转。
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D0=80
功率比为：
98 %
仍存在振铃现象，但图像质量在逐渐好转。
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D0 = 230
功率比为：
99.5 %
仅在噪声区内有较小的模糊，大部分图像与原始图像非常 接近。
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高斯滤波器
基于高斯函数的滤波具有特殊的重要性
它们的形状易于确定，直观且容易操作； 高斯函数的傅里叶变换与反变换均为实高斯函
数，这样我们就不必处理复数量，非常有助于分 析。
此外，更复杂的滤波器可用基本的高斯滤波 器构造出来。
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高斯函数滤波器
u 2 H (u ) Ae 2 2 2 x 2 h( x) 2 Ae 为高斯曲线的标准差
如果f(x,y)是实函数，其傅里叶变换共轭对称。
F (u, v) F * (u, v)