不确定度评估基本方法

三、检测和校准实验室不确定度评估的基本方法

1、测量过程描述：

通过对测量过程的描述，找出不确定度的来源。

内容包括：测量内容；测量环境条件；测量标准；被测对象；测量方法；评定结果的使用。 不确定度来源：

● 对被测量的定义不完整； ● 实现被测量的测量方法不理想；

● 抽样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量；

● 对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境的测量与控制不完善； ● 对模拟式仪器的读数存在人为偏移；

● 测量仪器的计量性能(如灵敏度、鉴别力、分辨力、死区及稳定性等)的局限性； ● 测量标准或标准物质的不确定度；

● 引用的数据或其他参量（常量）的不确定度； ● 测量方法和测量程序的近似性和假设性； ● 在相同条件下被测量在重复观测中的变化。 2、建立数学模型：

建立数学模型也称为测量模型化，根据被测量的定义和测量方案，确立被测量与有关量之间的函数关系。

● 被测量Y 和所有个影响量i X ),2,1(n i ，⋯=间的函数关系，一般可写为

),2,1(n

X X X f Y ，⋯=。 ● 若被测量Y 的估计值为y ，输入量i X 的估计值为i x ，则有),x ,,x f(x y n ⋯=

21。有时为简化

起见，常直接将该式作为数学模型，用输入量的估计值和输出量的估计值代替输入量和输出量。

● 建立数学模型时，应说明数学模型中各个量的含义。

● 当测量过程复杂，测量步骤和影响因素较多，不容易写成一个完整的数学模型时，可以分步评定。

● 数学模型应满足以下条件：

1) 数学模型应包含对测量不确定度有显著影响的全部输入量，做到不遗漏。 2) 不重复计算不确定度分量。

3) 选取合适的输入量，以避免处理较麻烦的相关性。

● 一般根据测量原理导出初步的数学模型，然后将遗漏的输入量补充，逐步完善。 3、不确定度的A 类评定：

（1）基本方法——贝塞尔公式（实验标准差）方法

在重复性条件下对被测量X 做n 次独立重复测量，得到的测量结果为i x ),2,1(n i ，⋯=。则X 的

最佳估计值可以用n 次独立测量结果的算术平均值来表示：

n x

x n

i i

∑==

1

。

根据定义，用标准差表示的不确定度为标准不确定度。 于是单次测量结果的标准不确定度可用贝塞尔公式表示：

若在实际工作中，采用n 次测量结果的算数平均值作为测量结果的最佳估计值，则平均值的标

◆ )(i x u 和)(x u 的自由度都为1-n 。

◆ 显然，采用m 次测量结果的算数平均值作为测量结果的最佳估计值，比单次测量结果更可靠，因此，算术平均值的标准不确定度（实验标准差）比单次测量结果的标准不确定度（实验标准差）小。

◆ 在使用贝塞尔公式时，要求n 应比较大。JJF1033—《计量标准考核规范》中规定，在进行计量标准的重复性测量时，要求测量次数n ≥10。

◆ 如果通过n 次重复测量得到的单次测量结果的标准不确定度（实验标准差），可以保持相当长时间不变，若出现测量结果是m （m 可能比较小）次重复测量的算术平均值，则该平均值的标

（2）合并样本标准差)(i P x s 方法

若在实际工作中，在重复性条件下，对被测量X 做n 次独立测量，并有k 组这样的测量结果。由于各组之间的测量条件可能会稍有不同，因此不能直接用贝塞尔公式对总共k n ⨯次测量计算标准不确定度（实验标准差），而必须使用合并样本标准差)(i P x s ，公式可表示为：

式中ji x 是第j 组的第i 次测量结果，j x 是第j 组的n 个测量结果的算术平均值。 ◆ 合并样本标准差也称为组合实验标准差。

◆ 若已分别算出k 组测量结果的实验标准差)(i j x s ，而且每组包含的测量次数相同，合并样本

标准差)(i P x s 可表示为：k

x s x s k

j i j i P ∑==

1

2

)

()(。

◆ 合并样本标准差)(i P x s 应该采用方差的平均值，即合并样本方差)(2

i P x s 等于各组样本方差

)(2

i j x s 的平均值。

◆ 若各组所包含的测量次数不完全相同，合并样本标准差)(i P x s 表示为：

∑∑==--=

k

j j

k

j i j j

i P n

x s n

X s 1

1

2

)

1()

()1()(。式中j n 为第j 组的测量次数。

◆ 以上计算得到的合并样本标准差仍是单次测量结果的实验标准差。

◆ 若实际工作中最后给出的测量结果是由h 次测量结果的算术平均值，则该平均值的实验标准差为：h

x s x s i p )()(=

。

（3）极差法

在重复性条件下，对被测量X 做n 次独立测量，n 个测量结果中最大值与最小值之差R 称为极差，在可以估计被测量X 接近正态分布的前提下，单次测量结果i x 的标准不确定度（实验标准差）可表示为：

式中级差系数C 如下表，其值与测量次数有关：

◆ 一般在测量次数较少时采用该法。

（4）最小二乘法

当被测量X 的估计值是由实验数据通过最小二乘法拟合的直线或曲线得到时，则任意预期的估计最，或拟合曲线参数的标准不确定度均可以利用已知的统计程序计算得到。

一般来说，两个物理量X 和Y 之间的关系问题，且估计值y x 和之间有线性关系bx a y +=。对

y x 和独立测得n 组数据，其结果为),(,),,(),,(2211n n y x y x y x ⋯，且2>n 。同时假定x 的测量不确定度远小于y 的测量不确定度（即x 的测量不确定度)(x u 可以忽略不计），则可利用最小二乘法得到参数b a ,（拟合直线方程的截距和斜率）以及它们的标准不确定度)()(b u a u 和。

由于测得的i y 存在误差，因而通常i i bx a y +≠，于是bx a y +=的误差方程可以写为：

)(111bx a y v +-= )(222bx a y v +-=

……

)(n n n bx a y v +-=

将上列各等式两边平方后相加，可得残差i v 的平方和为：∑∑==+-=n

i i i n

i i bx a y v 1

21

2)]([

为使残差i v 的平方和∑=n

i i v 1

2达到最小值，必须使上式对b a 和的偏导数同时为零。于是由

01

2

1

2

=∂∂=∂∂∑∑==b

v a

v n

i i

n

i i

和

可得

[]

222)(2)(1

1

2

=-+=---=∂+-∂∑∑==y n x nb na bx a y a

bx a y n

i i i n

i i i 和

0222])[(2)]([1

1

2

1

1

2

=-+=---=∂+-∂∑∑∑∑====n

i i i n i i n i i i i n

i i i y x x b x na x bx a y b

bx a y

得到联立方程：｛

1

1

2=-+=-+∑∑==n

i i i n i i y x x b x na y n x nb na

对a 求解得：x b y a -=；