(1)证明R是等价关系

13、解：[a]=[b]={a,b},[c]=[d]={c,d}

14、证明：

（1）证明R 是等价关系，即证明R 是A 上的自反、对称、传递关系，要证R 是自反、对称、传递，采用按定义证明法证明。

① 自反性：对,x y A >∈∀<有x y y x +=+，所以,,x y R x y <><>，即R 是A 上的自

反关系。

② 对称性：对∀<，如,,,a b c d A ><>∈,,a b R c d <><>，则，即

，所以，即R 是A 上的对称关系。

a b c d +=+c d a +=+b ,c d R a b <><,>③ 传递性：对，如,,,,,a b c d e f A ∀<><><>∈,,,,,a b R c d c d R e f <><><><>f ，

则，即,c d c d e f ++=+a b a b +=e +=+。所以,,a b R e f <><>，即R 是A 上的传递关系。

由①，②，③知R 是A 上的等价关系。

（2） 首先求出A ＝S ×S 的全部元素，然后找出所有元素所对应的等价类即可。

因A ＝S ×S ＝{<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,3>, <3,4>,<4,1>,<4,2>,<4,3>,<4,4>}。

[1,1]{1,1}R <>=<>

[1,2]{1,2,2,1}[2,1]R R <>=<><>=<>

[1,3]{1,3,3,1,2,2}[3,1][2,2]R R <>=<><><>=<>=<>R R R R R

[1,4]{1,4,4,1,3,2,2,3}[4,1][3,2][2,3]R R <>=<><><><>=<>=<>=<>

[2,4]{2,4,4,2,3,3}[4,2][3,3]R R <>=<><><>=<>=<>

[3,4]{3,4,4,3}[4,3]R R <>=<><>=<>

[4,4]{4,4}R <>=<>

所以

/{[,]|,}R A R x y x y A =<><>∈= {

[1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[2,4],[3,4],[4,4]}R R R R R R <><><><><><><>16、证明：

① 对任意x A ∈，由R 是自反的，即有,,x x R x x R <>∈∧<>∈，所以,x x >∈T <，即

T 是自反的。

② 对,x y A ∈∀，,(,)(,)x y T x y R y x R <>∈⇒<>∈∧<>∈

(,)(,),y x R x y R y x T ⇒<>∈∧<>∈⇒<>∈

所以T 是对称的。

③ 对,,x y z ∀，(,)(,)x y T y z T <>∈∧<>∈

(,)(,)(,)(,)x y R y x R y z R z y R ⇒<>∈∧<>∈∧<>∈∧<>∈ ((,)(,))((,)(,))x y R y z R z y R y x R ⇒<>∈∧<>∈∧<>∈∧<>∈ (,)(,),x z R z x R x z ⇒<>∈∧<>∈⇒<>∈T

所以T 是传递的。

由①，②，③知，T 是等价关系。

33、证明：（用反证法）

假设R 是传递的，因为R 是集合A 上的对称关系。若,x y R <>∈，则有<，由传递性可得到,y x R >∈,x x ∈R <>，这与R 是反自反的相矛盾，所以R 不是传递的。

35、证明：

由于对∀∈，都有，R 是对称的，可得a A ,a b R <>∈,b a R <>∈，R 是传递的，可得，所以R 是自反的，而题中已给出R 是对称和传递的，所以R 是一个等价关系。 ,a a ∈