圆的一般方程 轨迹方程
圆的轨迹方程
圆的轨迹方程圆的轨迹方程是一种数学表达式，用于描述一个圆的形状和大小。
在平面几何中，圆是指与一个固定点（圆心）距离相等的所有点的集合。
圆的轨迹方程可以用不同的方式表示，包括直角坐标系、极坐标系和参数方程等。
一、直角坐标系下的圆的轨迹方程在直角坐标系下，一个圆可以表示为所有满足以下方程的点的集合：(x - a)² + (y - b)² = r²其中，a和b分别是圆心在x轴和y轴上的投影值，r是圆半径。
这个方程被称为标准式或一般式。
它表明所有到圆心距离为r的点都在圆上。
如果将a和b设为0，则该方程简化为：x² + y² = r²这个方程描述了以原点为中心、半径为r的圆。
二、极坐标系下的圆的轨迹方程在极坐标系下，一个圆可以表示为所有满足以下方程的点：r = a其中a是常数，r是到原点距离。
这个方程表明所有到原点距离相等且与x轴夹角相等的点都在圆上。
如果将a设为圆半径，则该方程可以简化为：r = r0其中r0是圆半径。
三、参数方程下的圆的轨迹方程在参数方程下，一个圆可以表示为：x = a + r cos(t)y = b + r sin(t)其中a和b是圆心坐标，r是圆半径，t是参数。
这个方程描述了一个以(a, b)为中心、半径为r的圆。
通过改变t值，可以得到不同位置的点，从而形成一个完整的圆形。
四、总结以上三种方式都可以用来表示一个圆的轨迹方程。
直角坐标系下的标准式是最常用和最简单的一种方式，极坐标系和参数方程则更适合用于特定问题或需要更多几何直观的情况。
掌握这些不同表达方式对于理解和解决数学问题都非常重要。
4.1.2圆的一般方程
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
2 2 2
2 2
展开
x y 2ax 2by (a b r ) 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0)
（a）2+（b）2=r2 a=4 （1-a）2+（1-b）2=r2 解得 b=-3 （4-a）2+（2-b）2=r2 r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 几何方法
分别说出下列圆的圆心与半径 (1) 圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . (2) 圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0） 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2) x y 2 x 4 y 6 0 配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程
知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.
【原创】圆的一般方程与点的轨迹
概念
圆的标准方程：圆心为 A(a，b)，半径长为 r 的圆的标准方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2. 特殊地，当 a＝b＝0 时，方程为 x2＋y2＝r2， 表示以原点为圆心、半径为 r 的圆．
概念
(1)圆的一般方程的概念： 当 D2＋E2－4F＞0 时，二元二次方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程． (2)圆的一般方程对应的圆心和半径： 圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的 圆的圆心为(－D2 ，－E2)，半径长为12 D2＋E2－4F.
注：
应用待定系数法求圆的方程时： (1) 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或
半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b，r. (2) 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，
再用待定系数法求出常数 D、E、F.
例1
求过三点 O(0,0) 、 M1 (1,1) 、 M 2 (4,2) 的圆的方程，并求出圆的
设 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上的动点，PA 是圆的切线 且|PA|＝1，求 P 点的轨迹方程．
思考
已知△ABC 的边 AB 长为 4，若 BC 边上的中线为定长 3， 求顶点 C 的轨迹方程．
半径长和圆心坐标。
例2
方程 x2 y 2 4mx 2 y 5m 0 表示圆，求实数 m 的取值范围。
例3
已知一动点与两个定点 O(0,0) 、 A(3,0) 距离之比为 1 ， 2
求动点的轨迹方程。
例4
长为 2a 的线段 AB 的两个端点分别在 x 轴、 y 轴上滑动，
求线段 AB 中点 M 的轨迹。
第二讲 圆的一般方程
第二讲 圆的一般方程一、圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程。
【要点】1.220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆，2240D E F +-=时表示的是一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2240D E F +-<时方程没有实数解，不代表任何图形；只有当2240D E F +->时，方程才表示圆。
2.22,x y 的系数相同且不等于0；方程不含xy 项。
3. 圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径长为2242D E F +-4.圆的一般方程−−−→←−−−展开配方圆的标准方程考点一 由圆的一般方程求圆的圆心和半径由圆的一般方程求圆心坐标和半径长有两种方法： 1. 通过配方法化为标准方程； 2. 直接用公式法求。
例1 圆22420x y x y +-+=的圆心坐标和半径长分别是（ ）A. ()2,1,5-B.()2,1,5-C.()2,1,5-D.()2,1,5-考点二 判断形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程是否表示圆形如220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=的方程表示圆必须具备的条件 1. 0A C =≠； 2. 0B =；3. 2240D E AF +->以上三个条件需同时满足时，二元二次方程才表示圆。
例2 下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径；若不能，说明理由。
（1）222750x y x +-+=； （2）22580x xy y x y -+-++=； （3）222240x y x +-=； （4）22210x y ay ++-=； （5）2220x y ax ++=.考点三 由确定圆的条件求参数范围二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件是2240D E F +->，求参数取值范围问题可以转化为解不等式2240D E F +->。
2.1.1-2.1.2 圆的标准方程 圆的一般方程(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第一册)
解： 法一：待定系数法
设所求的方程是 （ − ) + ( − ) = ①
因为 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）三点都在圆上，所
以它们的坐标都满足方程①.
（ − + − =
+ − − + =
02
圆的一般方程
问题：
前面，我们学习直线方程，都研究了哪些问题 ？
提示：
确定直线位置的几何要素：点、
方向
直线的倾斜角和斜率
直线的点斜式方程、直线的两点
式方程等
直线的一般式方程
问题2
类比直线方程的研究过程，我们如何研究圆的方程？
提示：
确定圆的几何要素：圆心、半径
圆的标准方程
圆的一般式方程？
问题3
圆心O的坐标是方程组 + + = 的解.
半径是 =
圆心O（2，-3）
( − ) +( + ) =
所以，△ABC的外接圆的标准方程是（ − ) + ( + ) = .
例3 已知圆心为C的圆经过A（1，1） B（2，-2）两点，且圆心C在直线 l: x-y+1=0 上，
圆的标准方程是 (
)
A.(x-1)2+(y-2)2=5
B.(x-5)2+y2=25
C.(x-1)2+(y-2)2=25
D.(x-5)2+y2=5
解析: 因为圆的一条直径的端点分别是 A(0,0),B(2,4),
所以利用中点坐标公式求得圆心为(1,2),
2
2
从而可求得半径为 (0-1) + (0-2) = 5,
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)判别式为△，则有：(1)d＜r 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N(3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程。
2.4.2 圆的一般方程(与圆有关的轨迹问题) (教学课件)——高二上学期数学人教A版(2019)
三、典型例题
例3 已知圆O的直径AB=4，动点M到点A的距离是它到点B的距离的 2 倍,试探究动点M的轨迹.
三、典型例题
如果把本例中的“ 2倍”改 为“k(k>0)倍”，你能分析并解 决这个问题吗?
四、课堂小结
求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法： 设动点坐标,直接得出坐标所满足的关系式,而求出轨迹方程,
(其中圆心为4（F->0D2),-
E 2
），半径为
Hale Waihona Puke 1 2D2 + E2 - 4F )
二、轨迹问题
点的轨迹方程是指点的坐标(x，y)满足的关系式．轨迹是指 点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形 看作点的轨迹（集合).
三、典型例题
例1 已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上
运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
M
B
O
x
三、典型例题
方法归纳 求动点的轨迹方程的常用方法:
1.直接法: 能直接根据题目提供的条件列出方程; 2.代入法(相关点法): 找到所求动点与已知动点的关系,代入 已知动点所在的方程.
三、典型例题
例2 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P、 Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
第二课时 (与圆有关的轨迹问题)
一、知识回顾
1.圆的标准方程：(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (1)(a，b)表示圆心坐标, r表示圆的半径. (2)确定圆的标准方程必须具备三个条件.
4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)(第二课时)
一、代入法求轨迹方程：
例4：已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
方法总结
代入法也称相关点法：
如果轨迹上的动点P（x,y）依赖于另一动
点Q(a,b)，而Q又按某一个规律运动，则可 先用x,y表示a,b，再把a,b代入点Q所满足
圆的一般方程 （轨迹问题）
学习目标：
由已知条件求出圆的方程及轨迹方程
学习重难点:
根据已知条件求轨迹方程
预备知识：轨迹与轨迹方程 1、什么是轨迹？
符合一定条件的动点所形成的图形，或者 说，符合一定条件的点的全体所组成的集 合，叫做满足该条件的点的轨迹． 2、轨迹与轨迹方程有区别吗？ 轨迹是图形，轨迹方程实际上就是轨迹 曲线的方程，即动点坐标(x,y)满足的关 系式．
2 2
轨迹方程为x 3y 4( x 1)．
10
的条件便得到动点P的轨迹方程。
简记为：先有未知表示已知，再有 已知表示未知
练习：
1、已知点P在圆C： 2 2 x y 8x 6 y 21 0
上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。
2、一个动点在圆：x2+y2=1上运动时，
它与定点（3,0）所连线段的中点P的 轨迹方程是什么？
F 2,0 为
2
二、直接法求轨迹方程：
1.(2010 上海卷)若动点P到点F 2, 0 的距离与它到直线 x 2 0的距离相等，则点P的轨迹方程为 __________
程为y 8x.
方法总结
直接法也称直译法： 将已知条件直接翻译为关于动点的几何关 系，再利用解析几何有关公式（如两点间
圆的一般方程2(求轨迹方程)
推导圆的标准方程 问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C(a,b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
解：由题意，以AB中点为原点，边AB所 在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图，则A(－a，0)，B(a，0),
xa y , ) 则BC中点为E ( 2 2
设C(x，y)，
因为|AE|=m，所以
xa y 2 2 ( a) ( ) m 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时， 不能构成三角形，故去掉曲 线与x轴的两个交点， 从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)
x y ＝ 1． 即点P的轨迹方程为 25 16
2
2
例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ 解： 设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 （x，y）,圆 x y ＝４上的
对应点的坐标为（x’，y’），由 题意可得：
0
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
2
x
曲线的方程
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
③
2
例2 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程． 解：设｜PB｜＝r．
圆的一般方程(轨迹问题)
(P124,B3) 已知一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的
比是 1 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程，并画出曲线.
2
解：在给定的坐标系里，设点M(x,y)是曲线上的任意一点，
也就是点M属于集合
{M
|
|
OM|
1 }
| AM| 2 由两点间的距离公式，得
y
M
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
CO
Ax
化简得
x2+y2+2x3＝0
①
这就是所求的曲线方程．
直译法
把方程①的左边配方，得(x+1)2+y2＝4．
所以方程②的曲线是以C(1，0)为圆心，2为半径的圆.
(P124,B2)长为2a的线段AB的两个端点分别在相互 垂直的两条直线上滑动，则线段AB的中点轨迹为?
x2 y2 a2
轨迹的常用求法:
1.直译法; 2.定义法;
y
B
M
Ｏ
A
x
【课堂练习】
1.已知Rt△ABC中，A(-1,0),B(3,0),
复习引入
【思考1】平面内到一定点A的距离等于定长的
点M的轨迹是什么？
M r
|MA|=r
A
【答】以定点A为圆心，定长r为半径的圆。
【思考2】平面内与两定点A、 B距离相等的点
M的轨迹是什么？
M
|MA|= |MB|
【答】线段AB的垂直平分线。 A
B
典型例题
【例1】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 (x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
3.求轨迹方程的步骤：①建系设点（x,y）; ②列式代入； ③化简检验.
4.1.2圆的一般方程
方程.
解：建立直角坐标系， 原点为O，A在x轴上， 则A坐标为（ 2 x， 0）B坐标为（ 0,2 y） 根据勾股定理， OA2 OB2 AB2 就有（ 2 x） (2 y ) (2a)
2 2 2
B在y轴上，连接AB设中点P的坐标为（x, y），
化简得x 2 y 2 a 2
不是
(4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是
(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
圆的一般方程与二元二次方程的关系
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
与二元二次方程：
A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系: 1. A ＝ C ≠ 0 2. B=0
方法二：
待定系数法
解：设所求圆的一般方程为：
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
2 2 2 2
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F=0 F=0 D+E+F+2=0 解得 D=-8 4D+2E+F+20=0 E=6 3.源自D2＋E2－4AF＞0
二元二次方程表
示圆的一般方程
x y Dx Ey F 0
2 2
D E 圆心 , 2 2
y C o
圆心在 y轴上
x
y
圆心 在x轴 C 上
x
y
圆过 原点C
o x
o
D=0
E=0
F=0
x y Dx Ey F 0
圆的一般方程 课件
类型二 待定系数法求圆的方程 [例 2] 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)， 求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
又 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，且 kAC·kBC＝－1，
所以x＋y 1·x－y 3＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠ －1)．
方法二：同法一得 x≠3 且 x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2 ＝16，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2 ＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠－1)． 方法三：设 AB 中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角
因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3 且 x≠1)．
方法归纳
1．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等 量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的 轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．
2．求曲线的轨迹方程要注意的三点 (1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法． (2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的 曲线(图形)． (3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点．
【解析】 方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆的轨迹方程ppt课件
x0 2
y0 0
x,
y.
M是AP的中点,
2
2
y
P x0 , y0 ，
M x, y
即x0 2 x 2, y0 2 y.①
O
点A( x0 , y0 )在圆上, x0 y0 4.②
2
2
将①代入②得 (2 x 2) 2 (2 y ) 2 4.
和“去掉多余”的点．
求轨迹方程的关键：动中找定——在动点运动的过程中
找出动点满足的不变的性质。
轨迹方程
− 6 2 + ²=32.
所以点的轨迹是以 (6,2)为圆心，半径为4 2的一个圆.
轨迹
求轨迹方程——①（坐标法）
[例1](P89-9)已知点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为
2
2
点P的轨迹方程为x y 4, 且
,
.
y 0 y 0
点P的轨迹是圆心为(0,0), 半径为2的圆,
并除去点(2,0), ( 2,0).
求轨迹方程——④消参法
P 89.10. 在平面直角坐标中, 如果点P的坐标( x , y )
x a r cos ,
满足
y
2
2
m
1
(
m
1)
2
c( m 2 1)
2mc
表示圆心在
, 0 , 半径是
的圆
2
m 1
m 1
小结：坐标法求动点轨迹问题的基本步骤
第一步
第二步
第三步
建立适当的平面直角坐标系
寻找动点满足的几何关系
求轨迹方程的五种方法
求轨迹方程的五种方法1.直线轨迹方程的求解方法：直线的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。
1.1斜率截距法：当直线已知斜率m和截距b时，可以使用斜率截距法求解。
直线的轨迹方程为：y = mx + b。
1.2点斜式方法：当直线已知斜率m和通过的一点（x1，y1）时，可以使用点斜式方法求解。
直线的轨迹方程为：(y-y1)=m(x-x1)。
1.3两点式方法：当直线已知通过的两点（x1，y1）和（x2，y2）时，可以使用两点式方法求解。
直线的轨迹方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
1.4截距式方法：当直线已知x轴和y轴上的截距时，可以使用截距式方法求解。
直线的轨迹方程为：x/a+y/b=1，其中a和b分别为x轴和y轴上的截距。
1.5法向量法：当直线已知法向量n和通过的一点（x1，y1）时，可以使用法向量法求解。
直线的轨迹方程为：n·(r-r1)=0，其中n为法向量，r为直线上的任意一点的位置矢量，r1为通过的一点的位置矢量。
2.圆轨迹方程的求解方法：圆的轨迹方程可以通过以下五种方法求解。
2.1一般式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用一般式方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.2标准式方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用标准式方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-h)²+(y-k)²=r²。
2.3参数方程方法：当圆的圆心为（h，k）且半径为r时，可以使用参数方程方法求解。
圆的轨迹方程为：x = h + rcosθ，y = k + rsinθ，其中θ为参数。
2.4三点定圆方法：当圆已知经过三点（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3）时，可以使用三点定圆方法求解。
圆的轨迹方程为：(x-x1)(x-x2)(x-x3)+(y-y1)(y-y2)(y-y3)-r²(x+y+h)=0，其中h为x平方项和y平方项的系数之和。
圆的一般方程
4．1．2圆的一般方程主要概念：圆的一般方程――022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )。
轨迹方程-----是指点动点M 的坐标),(y x 满足的关系式。
一、重点难点本节教学重点是掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程，难点是二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程。
二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。
编写形式上采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。
第一板块问题提出解读方程014222=++-+y x y x 表示什么图形？方程064222=+--+y x y x 表示什么图形？对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形式，第一个方程为4)2()1(22=++-y x ，它表示以(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为1)2()1(22-=-+-y x ，由于不存在点的坐标),(y x 满足这个方程，所以它不表示任何图形。
第二板块探索研究解读方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++。
(1)当0422>-+F E D 时，方程表示以)2,2(E D --为圆心，F E D 42122-+为半径的圆；(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点)2,2(E D --；(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
关于y x ,的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 成为圆方程的充要条件是(1)2x 和2y 的系数相同且不等于0，即A=C ≠0；(2)没有xy 这样的二次项，即B=0；(3)0422>-+AF E D 。
对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。
根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。
圆的轨迹方程公式
圆的轨迹方程公式圆的轨迹方程是描述圆的几何性质的重要公式。
在数学中，圆是由平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形。
圆的轨迹方程可以帮助我们准确描述和分析圆的性质和特征。
圆的轨迹方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
根据这个方程，我们可以推导出圆的各种性质。
首先，我们来看一下圆心和半径对于轨迹方程的影响。
圆心的坐标(a, b)决定了圆在平面上的位置。
当圆心为原点(0, 0)时，圆的轨迹方程可以简化为：x² + y² = r²。
这是一个以原点为中心的圆。
当圆心不在原点时，方程中的(a, b)项会发生平移，使得圆的中心位置发生相应的变化。
半径r决定了圆的大小。
半径越大，圆的轨迹越大，反之亦然。
当半径为0时，轨迹方程变为x² + y² = 0，这代表了一个点，即圆变为一个点。
除了圆的位置和大小，轨迹方程还可以帮助我们计算其他重要的几何性质。
例如，我们可以通过轨迹方程来计算圆的直径、周长和面积。
圆的直径是通过圆心的两个点之间的距离。
根据轨迹方程，我们可以通过直接计算圆心到圆上任意点的距离来求得直径。
直径的长度等于半径的两倍。
圆的周长是圆上任意一点绕圆一周所经过的路径长度。
使用轨迹方程，我们可以通过积分计算圆的弧长，从而得到圆的周长。
圆的周长等于2πr，其中π是一个重要的数学常量，约等于3.14159。
圆的面积是圆内部所有点所覆盖的平面区域。
利用轨迹方程，我们可以通过积分计算圆的面积。
圆的面积等于πr²。
除了以上几个基本性质，圆的轨迹方程还可以帮助我们解决一些几何问题。
通过对轨迹方程的变形和利用一些几何知识，我们可以求解圆与直线、圆与圆之间的交点、切点等问题。
总结一下，圆的轨迹方程是描述圆的几何性质的重要公式。
通过圆的轨迹方程，我们可以准确地描述和分析圆的位置、大小以及其他几何性质。
大学物理 第一章 第二节圆周运动与一般平面曲线运动
2、角加速度
lim
t 0 t
d
dt
d 2
dt 2
方向？
四、 圆周运动中线量和角量的关系 1、线速度与角速度 v R
角速度 的方向:
按“右旋规则”确定 角加速度 的方向: 加速时与方向相同 减速时与方向相反
y
R
o
x
2、切向加速度与角加速度 3、 法向加速度与角速度
a R
an
v2 R
v
R 2
4、速度分量式
（1）可将抛体运动分解为 沿x和y 两个方向的独立运动。
立进行的运动迭加而成。
※
抛体运动方程的矢量形式
v
(v0cos )i
(v0
sin
gt)
j
v0t
r
1
gt
2
2
v dr dt
r
t vdt
0
t 0
(vxi
vy
j )dt
(v0t
cos
)i
(v0t
sin
1 2
gt2 )
j
（2）也可将抛体运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和
t
a a
ax2
a
2 y
R 2
7
五、匀变速率圆周运动
常量， 故 at r，an r 2
dω 常量，
dt
又
dω dt d dt，
如 t 0 时, 0 ， 0
可得：
0 t θ θ0 0t
1 2
t
2
2
2 0
2 (
0)
匀变速率圆周运动
0 t
θ
θ0
0t
1 2
t
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2015-2016（上）狮山高中高二术科班数学学案（36）
内容：4.1.2圆的一般方程（2）轨迹方程 班别： 姓名： 学习目标
1、进一步熟悉圆的方程及求法
2、初步体会求动点轨迹的方法和方程的思想，会用直接法和相关点法求曲线的轨迹方程 重点与难点
圆的方程的求法；利用直接法和相关点法求轨迹方程
学习过程
一、自主学习：（知识归纳与探究）
1．确定圆的几何条件
确定圆的几何条件是 和 .圆心的坐标中含有 个量，故需要 个独立条件才能确定圆的方程.
2．求圆的方程的方法
（1）直接法：根据已知条件，求出圆心坐标和圆的半径，直接写出圆的方程.
（2）待定系数法：
①根据题中条件，选择圆的方程（标准方程或一般方程）；
②根据条件列出方程组；
③解出待定系数，代入圆的方程.
二、例题学习
例1．（P124 B 1）等腰ABC 的顶点(4,2)A ，底边一个端点(3,5)B ，求另一顶点C 满足的
等式？
【知识点提炼】轨迹方程：动点M 的坐标(,)x y 满足的等式称为点M 的轨迹方程. 问题：例题1中C 的轨迹方程是什么？其轨迹是个什么图形？
例2．已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程.
归纳小结：求轨迹方程的步骤：
1）根据题目中条件，将动点满足的几何关系直接转化为坐标关系，再经过整理、化简得到动点的轨迹方程的方法叫做直接法.
2）当动点(,)
Q x y的变化而有规律地变动，可把Q点的坐标'x，'y分P x y，随另一动点(',')
别用动点P的坐标x，y表示，代入Q点满足的等式，得到动点P的轨迹方程的方法叫做代入法或相关点法.
三、巩固练习
1．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是()
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋2)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
2．圆22
x x y y
-++-=的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是
4240
3．（书本P124 B4）已知点M与两个定点()()
O A的距离的比为12，求点M的轨迹
0,0,3,0
方程。
4．（书本P124 B2）长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程。