四方晶系的晶面间距公式为
电子衍射原理
h1u k1v l1 w 0 h2 u k 2 v l 2 w 0
得
u=k1l2-k2l1
v=l1h2-l2h1
w=h1k2-h2k1
简单易记法 h1 k1 l1 h1 k1 l1 h2 k2 l2 h2 k2
u
v
w
l2
六、电子衍射基本公式
电子衍射基本公式推导 TEM的电子衍射是把实际 晶体点阵转换为倒易点阵记 录下来，得到的图像叫做电 子衍射花样或叫电子衍射图。
电子束
光阑选区衍射（Le Pool方式）----用位于物镜象 平面上的选区光阑限制微区大小。先在明场象上找 到感兴趣的微区，将其移到荧光屏中心，再用选区 光阑套住微区而将其余部分挡掉。理论上，这种选 区的极限0.5m。 微束选区衍射 ----用微细的入射束直接在样品上 选择感兴趣部位获得该微区衍射像。电子束可聚焦 很细，所选微区可小于0.5m 。可用于研究微小析 出相和单个晶体缺陷等。目前已发展成为微束衍射 技术。
七、单晶电子衍射花样的标定
基本任务 确定花样中斑点的指数及其晶带轴方向［uvw］； 确定样品的点阵类型、物相和位向。 一般分析任务可分为两大类： 鉴定旧结构，这种结构的参数前人已作过测定，要求在这些
已知结构中找出符合的结构来。
测定新结构，这种结构的参数是完全未知的，在ASTM卡片中 和其它文献中都找不到；
OO*透射束，OG衍 射束，θ衍射角， G O*G＝1/d
Θ
1/λ
o
O
1/λ
O*
**
五、晶带定律与零层倒易截面
1.晶带：晶体内同时平行于某一 方向[uvw] 的所有晶面组（hkl ）构成一个晶带， [uvw]称为晶 带轴。
倒易点阵
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
当相邻原子的散射X射线光程差等于 入射X射线波长整数倍时发生衍射。
a(cosα-cosα0) = Hλ
一维原子列的衍射示意图
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• 劳厄方程
设空间点阵的三个平移向量为a ,b和c,入射的X射线与它们的交角分别为α0，β0和γ0。 衍射方向与它们的交角分别为α，β和γ 。根据上述讨论可知，衍射角α，β和γ在x, y, z三个轴上应满足以下条件：
单晶体电子衍射花样标定
• 确定零层倒易截面上各ghkl矢量端点(倒易阵点)的指数，定出零层倒易截面的 法向(即晶带轴[uvw])，并确定样品的点阵类型、物相及位向。 (1)测量靠近中心斑点的几个衍射斑点至中心斑点距离R1、R2、R3、R4…及 R1与R2、R1与R3等衍射斑点之间的夹角。 (2) 计算R12∶R22∶R32∶…=N1∶N2∶N3∶… 其中N = h2 + k2 + l2
故
于是，它们的点乘 根据倒易基矢定义式，显然有
和
都为0。
倒易点阵的应用—解释X射线及电子衍射
• „ 劳厄的一个科学假设
1911年埃瓦尔德在索末菲的指导下在慕尼黑大学从事博士论文研究，劳厄在 与他的讨论中了解到晶格的平移周期与X射线的波长属于同一量级，因此想到 在二维光栅的两个衍射方程组中再加一个类似的方程，就可以描述X射线在三 维晶体中的衍射。 在此假设的指导下，Knipping和Friedrich在1912年4月开始用CuSO4 后来 用闪锌矿（立方ZnS）进行实验，很快就得到X射线衍射的证据。这不但证明 了X射线的波动性，还确定了晶体的三维周期性。
a*、b*、c*
即倒易基矢
材料分析测试技术习题及答案
第一章一、选择题1.用来进行晶体结构分析的X射线学分支是（）A.X射线透射学；B.X射线衍射学；C.X射线光谱学；D.其它2. M层电子回迁到K层后，多余的能量放出的特征X射线称（）A.Kα；B. Kβ；C. Kγ；D. Lα。
3. 当X射线发生装置是Cu靶，滤波片应选（）A．C u；B. Fe；C. Ni；D. Mo。
4. 当电子把所有能量都转换为X射线时，该X射线波长称（）A.短波限λ0；B. 激发限λk；C. 吸收限；D. 特征X射线5.当X射线将某物质原子的K层电子打出去后，L层电子回迁K层，多余能量将另一个L层电子打出核外，这整个过程将产生（）（多选题）A.光电子；B. 二次荧光；C. 俄歇电子；D. （A+C）二、正误题1. 随X射线管的电压升高，λ0和λk都随之减小。
（）2. 激发限与吸收限是一回事，只是从不同角度看问题。
（）3. 经滤波后的X射线是相对的单色光。
（）4. 产生特征X射线的前提是原子内层电子被打出核外，原子处于激发状态。
（）5. 选择滤波片只要根据吸收曲线选择材料，而不需要考虑厚度。
（）三、填空题1. 当X射线管电压超过临界电压就可以产生X射线和X射线。
2. X射线与物质相互作用可以产生、、、、、、、。
3. 经过厚度为H的物质后，X射线的强度为。
4. X射线的本质既是也是，具有性。
5. 短波长的X射线称，常用于；长波长的X射线称，常用于。
习题1.X射线学有几个分支？每个分支的研究对象是什么？2.分析下列荧光辐射产生的可能性，为什么？（1）用CuKαX射线激发CuKα荧光辐射；（2）用CuKβX射线激发CuKα荧光辐射；（3）用CuKαX射线激发CuLα荧光辐射。
3.什么叫"相干散射”、"非相干散射”、"荧光辐射”、"吸收限”、"俄歇效应”、"发射谱”、"吸收谱”？4.X射线的本质是什么？它与可见光、紫外线等电磁波的主要区别何在？用哪些物理量描述它？5.产生X射线需具备什么条件？6.Ⅹ射线具有波粒二象性，其微粒性和波动性分别表现在哪些现象中？7.计算当管电压为50 kv时，电子在与靶碰撞时的速度与动能以及所发射的连续谱的短波限和光子的最大动能。
part.1__材料物理与化学复试---X射线复习题
材料物理与化学——X射线复习题（part.1）1.同一物相X射线衍射谱中，衍射线条的相对强度一般不同，简述原因。
答：由公式I c=CI p|G|2可知：衍射线相对强度是G的函数，又由于干涉函数G与晶面的晶面指数（hkl）有关，因此，不同晶面所对应的衍射线条相对强度也不同。
2.简述使用粉末多晶X射线衍射仪测量单晶样品时得到的衍射谱特征，解释原因。
答：粉末多晶衍射仪测量在工作时，为了使计数器永远处于试样表面的衍射方向，必须让试样表面与入射线呈θ角，且计数器必须正好处于2θ的方位。
所以，粉末多晶体衍射仪所探测的始终是与试样表面平行的那些衍射面。
因此，使用粉末多晶衍射仪测量单晶时只有与试样表面平行的晶面才能发生衍射，在衍射谱上则表现为尖锐的单峰。
3.论述立方点阵衍射图谱（德拜相）的指标化原理及过程以及点阵类型与点阵参数的确定。
答：由立方晶系晶面间距公式d2=a2/(h2+k2+l2)和布拉格方程可得：sin2θ/N=λ2/4a2，其中N=h2+k2+l2，于是有sin2θ1：sin2θ2…：sin2θm=N1：N2…：N m；因此，测出试样每个衍射峰的sin2θm后，就可算出它们之间的比值，并与立方晶系的系统消光相比较，便能确定衍射峰的指标、点阵类型和晶胞参数。
测定过程如下：①在衍射仪上测出各衍射峰的θ值；②计算各个sin2θm；③求出各个sin2θm与sin2θ1之比值，并化为整数；④根据立方晶系系统消光规律得到N m和（hkl）。
4.使用Ka1-X射线测量粉末多晶衍射谱，为了获得更多的衍射线应选择什么样的阳极靶？解释原因。
答：晶体发生衍射满足布拉格公式2dsinθ=λ；其中sinθ＜1；因此要发生衍射，必须要满足晶面间距：d＞λ/2；为了获得更多的衍射线，可以使用Ka1较短的X射线作为入射线。
5.从衍射原理出发并应用厄瓦尔德球图论述获得晶体X射线衍射花样的三种方法。
答：单晶衍射法有劳厄法和周转晶体法。
《材料科学基础》期末复习
总复习
本章区别概念：
晶体与非晶体 • 空间点阵和晶体结构
相和组织
• 固溶体和中间相 间隙固溶体和置换固溶体 • 间隙固溶体和间隙化合物 间隙相和间隙化合物
• 电子化合物和正常价化合物
总复习
第三章 晶体缺陷
1、各类缺陷的认识（点、线、面缺陷定义和特征）。
2、点缺陷、Schottky空位、Frankel空位、间隙原子、置 换原子。点缺陷的特征、平衡浓度公式及应用。 3、线缺陷、位错、位错线、刃型位错、螺型位错、混合 型位错、柏氏矢量、位错运动、滑移、交滑移、双交滑移、 多滑移、攀移、交割、割价、扭折、塞积。 • 位错类型（刃型、螺型、混合型位错）的判断及其特征。 • 柏氏矢量的确定方法、特征及表示法。 • 位错线、柏氏矢量、位错运动与作用在位错上的力之间 的关系。
总复习
本章区别概念：
• 滑移、孪生 软位向，硬位向 • 几何硬化和几何软化 沉淀强化、弥散强化 • 纤维组织与带状组织 第一类残余应力 、第二类残余应力 、第三类残余应力 • 静态回复与动态回复 静态再结晶、动态再结晶 • 正常长大、异常长大 冷加工、热加工 • 重结晶、再结晶、二次再结晶
总复习
3、晶界与相界的类型、晶界的特性和作用（对材料性能的
影响）。
总复习
本章区别概念： • 刃型位错和螺型位错 交滑移和多滑移
• 滑移和攀移
割价、扭折
• 晶界、相界、孪晶界
小角度晶界、大角度晶界 • 共格相界、非共格相界、半共格相界
总复习
第四章 固体原子及分子的运动
1、固态金属扩散的条件及影响扩散的因素； 2、扩散定律（Fick第一、二定律）的方程、稳态扩散、非稳态扩散、 扩散通量。 扩散定律的内容和表达式、物理意义、适应条件。扩散定律的解及 应用，如：渗碳等； 3、迁移率、柯肯达尔效应、扩散激活能。 4、固相中原子扩散的各种机制（空位机制、间隙机制、换位机制、 晶界扩散机制。扩散的驱动力并用扩散理论分析实际问题。 5、扩散的分类、名称（区别，）；扩散、自扩散、互（异）扩散、 上坡扩散、下坡扩散；原子扩散、反应扩散；空位扩散、间隙扩散、换 位扩散、晶界扩散、表面扩散、短路扩散。 6、扩散系数及表达式（阿累尼乌斯方程）、影响扩散的因素。
材料科学基础章作业参考答案
作业参考答案第1章1. 结点数：7×2+3=17原子个数=1（底面中心）×0.5×2+6×1/6×2+3=1+2+3=6r=a/2配位数=1274.07401.02()660sin2221/[(6343≈=⨯⨯⨯︒⨯⨯⨯=rrrπ致密度2. α-Fe——BCC每个晶胞中有2个原子，质量=55.847×2/(6.02×1023)=18.554×10-23(g)体积=a3=(0.2866×10-7)=2.3541×10-23(cm3)872.7357.2554.18===体积质量ρ或直接用式（1.5）计算。
3.概念：晶面族、晶向族)101()011()110()101()011()110(}110{+++++={123}=(见教材P23)晶向族用上述同样的方法。
4. 晶面指数的倒数=截距如211)102(1)102(，，的截距∞==（102）)211()312( [110] ]021[]213[5.晶向指数：]101[和]011[6.7.8. 9. (略，不要求) 10．设晶格常数为a22100a =）面密度（ 785.048210022==⨯=ππr r ）面致密度（ 222110a=）面密度（ 555.02428211022==⨯=ππrr ）面致密度（2234321111a r ==）面密度（ 906.03232111122==⨯=ππr r ）面致密度（ 11. (略，不要求)12. (略，不要求) 13. 6/2+12/4=614.立方晶系晶面间距计算公式： 222lk h na d ++=① )nm (143.0286.02100121222100=⨯=++=ad)011()110()112(]011[]212[]111[)nm (202.0286.021011222110=⨯=++=a d)nm (0764.0286.0141321222123=⨯=++=a d②)nm (1825.0365.02100121222100=⨯=++=ad)nm (2107.0365.031111222111=⨯=++=a d)nm (09125.0365.042121121222112=⨯=++=ad③(略，不要求)15. (略，不要求) 16. (略，不要求)一、 单项选择题。
材料分析方法部分课后习题答案解析
第一章X 射线物理学基础2、若X 射线管的额定功率为1.5KW，在管电压为35KV 时，容许的最大电流是多少？答：1.5KW/35KV=0.043A。
4、为使Cu 靶的Kβ线透射系数是Kα线透射系数的1/6，求滤波片的厚度。
答：因X 光管是Cu 靶，故选择Ni 为滤片材料。
查表得：μ m α＝49.03cm2／g，μ mβ＝290cm2／g，有公式，，，故：，解得:t=8.35um t6、欲用Mo 靶X 射线管激发Cu 的荧光X 射线辐射，所需施加的最低管电压是多少？激发出的荧光辐射的波长是多少？答：eVk=hc/λVk=6.626×10-34×2.998×108/(1.602×10-19×0.71×10-10)=17.46(kv)λ 0=1.24/v(nm)=1.24/17.46(nm)=0.071(nm)其中h为普郎克常数，其值等于6.626×10-34e为电子电荷，等于1.602×10-19c故需加的最低管电压应≥17.46(kv)，所发射的荧光辐射波长是0.071纳米。
7、名词解释：相干散射、不相干散射、荧光辐射、吸收限、俄歇效应答：⑴当χ射线通过物质时，物质原子的电子在电磁场的作用下将产生受迫振动，受迫振动产生交变电磁场，其频率与入射线的频率相同，这种由于散射线与入射线的波长和频率一致，位相固定，在相同方向上各散射波符合相干条件，故称为相干散射。
⑵当χ射线经束缚力不大的电子或自由电子散射后，可以得到波长比入射χ射线长的χ射线，且波长随散射方向不同而改变，这种散射现象称为非相干散射。
⑶一个具有足够能量的χ射线光子从原子内部打出一个K 电子，当外层电子来填充K 空位时，将向外辐射K 系χ射线，这种由χ射线光子激发原子所发生的辐射过程，称荧光辐射。
或二次荧光。
⑷指χ射线通过物质时光子的能量大于或等于使物质原子激发的能量，如入射光子的能量必须等于或大于将K 电子从无穷远移至K 层时所作的功W，称此时的光子波长λ称为K 系的吸收限。
晶面间距和晶面指数的关系-概述说明以及解释
晶面间距和晶面指数的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述晶面间距是研究晶体结构和性质的重要参数之一，而晶面指数则是描述晶体晶面排列规律的指标。
晶面间距和晶面指数之间存在着密切的关系。
在晶体中，晶面是由原子或者离子按一定的排列顺序组成的。
晶体中的每个原子或者离子都占据了晶体的一个晶胞，而晶面间距则是指相邻两个晶面之间的距离。
通常情况下，晶面间距可以通过测量晶体的晶胞参数来进行计算。
而晶面指数是一种用来描述晶面排列规律的参数。
晶面指数是用一组整数表示晶面与晶轴或平面之间的交点坐标的比值，它可以反映出晶面在晶体中的位置和排列方式。
根据晶面的倾斜和晶面之间的夹角关系，可以用晶面指数来描述晶体晶面的倾斜程度和晶面之间的空间排列关系。
晶面间距和晶面指数之间存在着一定的关系。
晶面间距与晶面指数的关系可以通过晶体的晶胞参数和晶面的倾斜情况来推导和计算。
晶面间距的计算需要考虑晶体的晶胞参数和晶面的倾斜情况，而晶面指数的计算则依赖于晶面在晶轴或者平面上的交点坐标。
研究晶面间距和晶面指数的关系对于理解晶体的结构和性质具有重要的意义。
通过对晶面间距和晶面指数的研究，可以揭示晶体中原子或离子的排列规律，进而解释晶体的物理和化学性质。
此外，晶面间距和晶面指数还可以用于晶体的鉴定和表征，在材料科学和矿物学等领域有着广泛的应用。
综上所述，本文将重点探讨晶面间距和晶面指数的关系，通过详细介绍晶面间距和晶面指数的定义与计算方法，进而深入研究晶面间距与晶面指数之间的联系和相互影响。
最后，将对晶面间距与晶面指数的关系进行总结，并展望其在晶体研究中的未来应用前景。
文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织结构进行说明，列出各个章节的标题和内容简介。
下面是文章结构部分的一个例子：1.2 文章结构本文将以晶面间距和晶面指数之间的关系为主题展开讨论。
文章主要分为以下几个部分：2.正文2.1 晶面间距的定义与计算方法本部分将介绍晶面间距的定义以及如何计算晶面间距。
材料科学基础-固体结构
材料科学基础-固体结构(总分：430.00，做题时间：90分钟)一、论述题(总题数：43，分数：430.00)1.试证明四方晶系中只有简单四方点阵和体心四方点阵两种类型。
（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(可作图加以证明。
四方晶系表面上也可含简单四方、底心四方、面心四方和体心四方结构，然而根据选取晶胞的原则，晶胞应具有最小的体积，尽管可以从4个体心四方晶胞中勾出面心四方晶胞(图2(a))，从4个简单四方晶胞中勾出1个底心四方晶胞(图2(b))，但它们均不具有最小的体积。
因此，四方晶系实际上只有简单四方和体心四方两种独立的点阵。
[*])解析：2.为什么密排六方结构不能称为一种空间点阵?（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(空间点阵中每个阵点应具有完全相同的周围环境，而密排六方晶胞内的原子与晶胞角上的原子具有不同的周围环境。
在A和B原子连线的延长线上取BC=AB，然而C点却无原子。
若将密排六方晶胞角上的一个原子与相应的晶胞内的一个原子共同组成一个阵点(0，0，0阵点可视作由0，0，0和[*]这一对原子所组成)，如图3所示，这样得出的密排六方结构应属简单六方点阵。
[*])解析：3.标出面心立方晶胞中(111)面上各点的坐标，并判断是否位于(111)的线密度。
（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(为了确定[*]是否位于(111)面上，可运用品带定律：hu+kv+lw=0加以判断，这里1×(-1)+l×1+1×0=0因此[*]位于(111)面上。
材料微观分析作业题答案(一)
材料微观分析作业题答案(一)第一章1.衍射分析用的单色X射线采用的阳极靶材料的哪种标识X射线、滤波片材料的原子序数与阳极靶材料的原子序数关系如何？滤波片吸收限λk与阳极靶材料的标识X射线波长是什么关系？答：①采用Kα标识X射线。
②40Z<靶时，=-1Z Z片靶；40Z≥靶时，=-2Z Z片靶③kλ刚好位于辐射源的Kα和Kβ之间并尽可能靠近Kα2、X射线与物质相互作用时，产生哪两种散射？各有什么特点？哪种散射适用于X射线衍射分析？什么方向是晶体对X射线的衍射方向？答：相干散射、非相干散射。
相干散射：振动频率与入射X射线的相同，这些散射波之间符合振动方向相同、频率相同、位相差恒定的光的干涉条件。
适用于X射线衍射分析。
非相干散射：X射线波长增长并与原方向偏离2θ角，散布于空间各个方向的量子散射波与入射波的波长不相同，位相也不存在确定的关系。
入射波长越短，被照射物质元素越轻。
不能参与晶体对X射线的衍射。
3、X射线是怎么产生的？什么是标识X射线（特征X射线）谱？什么是连续X射线谱？两种谱的产生机理和特点。
答：①X射线的产生：X射线是由高速运动的带电粒子与某种物质相撞击后猝然减速，且与该物质中的内层电子相互作用产生的。
②若我们对X射线管施加不同的电压，在用适当的方法去测量由X射线管发出的X射线的波长和强度，便会得到X射线强度与波长的关系曲线，称之为X射线光谱。
·在管压很低，小于20kV时的曲线是连续变化的，故而称这种X射线谱为连续谱·当电压继续升高，大于某临界值时，突然在连续谱的某个波长处出现强度峰，峰窄而尖锐，改变管电流、管电压，这些谱线只改变强度而峰的位置所对应的波长不变，即波长只与原子序数有关，与电压无关，叫做特征X射线。
4、根据原子结构的模型，阐述封闭式热阴极X射线管中K系标识X射线的产生。
（画图说明）材料微观分析作业题答案(一)6、什么叫X射线光电效应？什么叫荧光X射线？俄歇电子？答：①X射线光电效应：入射X射线的光子与物质原子中电子相互碰撞时产生的物理效应，称为X射线的光电效应。
六方晶系晶面间距公式
[100] 与 (100)
西北工业大学 材料学院 王永欣
[111] 与 (111)
2
5. 六方晶系的晶向指数与晶面指数
采用a1、a2、a3和c四轴坐标系
a1、a2、a3轴共面，夹角120° —— 只有两个独立
c
晶向：[ u v t w ]
－（u + v）＝ t 或 u＋v＋t＝0
a3
o a1
晶面：( h k i l ) －（h + k）＝ i 或 h＋k＋i＝0
a2
西北工业大学 材料学院 王永欣
3
(1 1 00)
(0001) (10 1 0)
[2 1 1 0]
[1 2 1 0] [11 20]
西北工业大学 材料学院 王永欣
4
两晶向夹角公式：
cos
u1u2 v1v2 w1w2
u12 v12 w12 u22 v22 w22
两晶面夹角公式：
西北工业大学 材料学院 王永欣
7
如何快速确定晶向族与晶面族包含的各晶向和晶面？ 同一个晶面，能否具有不同的晶面指数？ 六方晶系能否采用常规的直角坐标系？ 金属中最常见的晶体结构有哪些？请分析其特点。
西北工业大学 材料学院 王永欣
8
—— 加 ｛ ｝ 1. 对于立方晶系，数字相同，仅正负号、数字排序不同的
属同一晶面族
2. 一个晶面指数代表一系列相互平行的晶面 3. 一个晶面族代表一系列性质地位相同的晶面
例：
(111) (1 11) (1 1 1) (11 1)
= { 111 }
(1 1 1) (1 1 1) (1 1 1) (1 1 1)
(110) (101) (011) (1 10) (1 01) (0 1 1)
晶体几何学基础
倒易点阵中，晶面（uvw）*的面间距duvw*是正点阵中同 名矢量长度ruvw的倒数，即duvw*＝1/ruvw。
课堂习题
1. 试求出立方晶系[111]晶带的倒易点阵平面。
解： 利用晶带定律：HU+KV+LW=0 ⅰ，用试探法，根椐晶带定律找出不共线的的两个倒易点。
倒易点阵的作法
首先求基矢，然后利用基矢绘图。 由a,b,c,α,β,γ求a*,b*,c*,α*,β*,γ*进而求倒易点阵.
同样可求 得b*,c*。
a*
b*
|
a*
||
b*
|
cos
*
cos *
|aa**bb**|
b
c
c
a
VV
bc sin ca sin
代入晶带定律检证 110 101 ⅱ，利用公式计算两倒易点对应倒易矢量的长度和夹角。
| r* | H 2 K 2 L2 2 | r* |
110
a
a
101
cos
H1H 2 K1K 2 L1L2
111 0 01 1
H
2 1
K12
L12
H
2 2
K
正空间
晶带与倒易面
ruv w
(h3k3l3 )
(h2k2l2 )
晶带正空间 与倒空间对 应关系图
倒空间
a2
1 d hk l 2
h2 k2 a2
l2 c2
1 d hk l 2
h2 a2
材料科学基础-2
[ 1 11]
[1 1 1]
[1 1 1]
[11 1 ]
[1 1 1]
[1 1 1]
[1 1 1]
例：在一个面心立方晶胞中画出[012]、[123] 晶向。
晶面：通过空间点阵中任一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面，称为晶面 晶面指数：表示晶体中点阵平面的指数，由晶面 与三个坐标轴的截距值所决定。 晶面指数的标定步骤： 建坐标：所定晶面不应通过原点； 求截距：求出待定晶面在三个坐标轴上的截距， 如果该晶面与某坐标轴平行，则其截距为∞； 取倒数：取三个截距值的倒数； 化整并加圆括号：将三个截距的倒数化为最小 整数h、k、l，并加圆括号，即（hkl），如果截距 为负值，则在负号标注在相应指数的上方。
正交
三、晶向指数与晶面指数(Miller指数)
晶向：空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中原子排列的 方向，称为晶向，即空间点阵中任意两阵点的连接矢量。 晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数。 晶向指数的确定步骤：
z
[ 1 11]
[112] • 建立坐标系； • 确定坐标值：在待定晶向上确定 [1 1 1] [1 1 0] 距原点最近的一个阵点的三个坐标值； • 化整并加方括号：将三个坐标值化为最小 [001] [111] 整数u、v、w,并加方括号。如有负值，在 [010] o 该数值上方标负号。 [100] [110]
• 在立方晶系中，具有相同指数的晶面和晶向 必定相互垂直。不适合其它晶系。 如： [121] (121) 即：晶向 [121] 为晶面 (121)的法向量。 ★ 因此，晶面指数可作为向量进行运算。
例：在一个面心立方晶胞中画出(102)、 (223) 晶面。
六方晶系的晶向指数和晶面指数
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
六方晶系一些晶面的指数
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述 晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
六方晶系晶向指数的表示方法(c轴与图面垂直)
六方晶系中，三轴指数和四轴指数 的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
4-3 六方晶系指数表示
• 上面我们用三个指数 表示晶面和晶向。这 种三指数表示方法， 原则上适用于任意晶 系。对六方晶系，取 a， b，c 为晶轴，而 a 轴 与 b 轴的夹角为120°， c 轴与 a，b 轴相垂直， 如右图所示。
• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向 有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面 和晶向不具有类似的指数。这一点可以从上 图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面 和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒 指数（Miller Indices）却分别是 (110) 和(100)。 图中夹角为 60°的两个密排方向 D1 和 D2 是 晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别 是[100]和[110]。
O
●
Y
X
Z
练习
●
O X
Y
晶向符号 [221] [001] [111]
● ●
常见的晶向指数
●
O
●
[010]
[100]
4、晶带、晶面间距和晶面夹角
晶带：在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有
晶面属于同一晶带。
• 同一晶带中包含不同的晶面，这些晶面的交线互相平行。 • 晶带由所平行的轴向的晶向指数表示。 [001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面 [001]
(完整版)材料分析方法部分课后习题答案
第一章X 射线物理学基础2、若X 射线管的额定功率为1.5KW，在管电压为35KV 时，容许的最大电流是多少？答：1.5KW/35KV=0.043A。
4、为使Cu 靶的Kβ线透射系数是Kα线透射系数的1/6，求滤波片的厚度。
答：因X 光管是Cu 靶，故选择Ni 为滤片材料。
查表得：μ m α＝49.03cm2／g，μ mβ＝290cm2／g，有公式，，，故：，解得:t=8.35um t6、欲用Mo 靶X 射线管激发Cu 的荧光X 射线辐射，所需施加的最低管电压是多少？激发出的荧光辐射的波长是多少？答：eVk=hc/λVk=6.626×10-34×2.998×108/(1.602×10-19×0.71×10-10)=17.46(kv)λ 0=1.24/v(nm)=1.24/17.46(nm)=0.071(nm)其中h为普郎克常数，其值等于6.626×10-34e为电子电荷，等于1.602×10-19c故需加的最低管电压应≥17.46(kv)，所发射的荧光辐射波长是0.071纳米。
7、名词解释：相干散射、不相干散射、荧光辐射、吸收限、俄歇效应答：⑴当χ射线通过物质时，物质原子的电子在电磁场的作用下将产生受迫振动，受迫振动产生交变电磁场，其频率与入射线的频率相同，这种由于散射线与入射线的波长和频率一致，位相固定，在相同方向上各散射波符合相干条件，故称为相干散射。
⑵当χ射线经束缚力不大的电子或自由电子散射后，可以得到波长比入射χ射线长的χ射线，且波长随散射方向不同而改变，这种散射现象称为非相干散射。
⑶一个具有足够能量的χ射线光子从原子内部打出一个K 电子，当外层电子来填充K 空位时，将向外辐射K 系χ射线，这种由χ射线光子激发原子所发生的辐射过程，称荧光辐射。
或二次荧光。
⑷指χ射线通过物质时光子的能量大于或等于使物质原子激发的能量，如入射光子的能量必须等于或大于将K 电子从无穷远移至K 层时所作的功W，称此时的光子波长λ称为K 系的吸收限。
电子衍射及衍射花样标定
q
d
q L
q
G’ r
O
G’’
立方晶体[001]晶带
晶体中，与某一晶向[uvw]平行的 所有晶面（hkl）属于同一晶带， 称为[uvw]晶带，该晶向[uvw]称 为此晶带的晶带轴. 如 [001] 晶 带 中 包 括 （ 100 ） ， （010）、（110）、（210）等 晶面。
[001]
晶带定律：若晶面（hkl）属于晶 带轴[uvw]， 则有 hu+kv+lw=0 这就是晶带定理。
相机常数未知、晶体结构已知时衍射花样的标定
以立方晶系为例来讨论电子衍射花样的标定 电子衍射基本公式
同一物相，同一衍射花样而言， 为常数，有 R12：R22 ：R32：…Rn2=N1：N2：N3：…Nn
立方晶系点阵消光规律 R12：R22 ：R32：…Rn2=N1：N2：N3：…Nn
衍射 线序 号n 1 2 3 4 简单立方 体心立方
H、K、L全奇或全偶
4.单晶电子衍射花样标定
例：下图为某物质的电子衍射花样 ，试指标化并求其晶 胞参数和晶带方向。 RA＝7.1mm, RB＝10.0mm, RC=12.3mm, (RARB）90o, (rArC）55o.
A
C
B 000
4.单晶电子衍射花样标定
解2：
2 2 2 1）由 RA : RB : RC N1 : N2 : N3 2 : 4 : 6
晶面间距
立方晶系的晶面间距公式为：
d
四方晶系的晶面间距公式为：
a h2 k 2 l 2
1 h2 k 2 l 2 2 2 a c
d
六方晶系的晶面间距公式为：
d
a 4 2 a (h hk k 2 ) ( ) 2 l 2 3 c
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§2.4 晶面间距、晶面夹角
一、 晶面间距的计算
晶面间距是指两个相邻的平行晶面间的垂直距离。通常用 dhkl或简写为d来表示。
立方晶系的晶面间距公式为：
d
a h2 k 2 l 2
1 h2 k 2 l 2 2 2 a c
四方晶系的晶面间距公式为：
d
五、十四种布拉菲（Bravais）点阵
在晶体结构理论中，按照对称的特点将自然界的晶体物质 分成七个晶系，每个晶系都有互相对应的空间点阵，布拉 菲于1848年用布拉菲晶胞证实了七种晶系共仅有十四种可 能的点阵，后人为了纪念他的这一重要论断，称为布拉菲 点阵。
六、 晶体的32种点群及符号
任何一种晶体结构都可能同时具有多种对称元素。在有限 对称图形中由宏观对称元素组合成的对称元素群称为点群。 之所以称为点群，是因为构成它的对称元素必须至少相交 于一点，此点称为点群中心。利用数学方法推导出，点群 只可能有32种。
§2.3 晶体的定向和 晶面符号
空间点阵中的结点平面相当于晶体结构中的晶面。在晶体 学中结点平面的空间取向用晶面指数（或称密勒Miller， W.H.指数）来表示。
一、晶向
晶体的定向就是确定晶面在空间的位置。它包括两个方面 的内容，即选择坐标轴（晶轴）和确定单位或其相对比例 （轴率）。 1、晶轴的选择：优先选择对称轴为晶轴；在缺少对称轴 时，可以选择对称面法线。 2、轴单位的确定：轴单位是指在结晶轴上度量距离时， 用作计量单位的那段长度，它等于该行列上的结点间距。
§2.2 晶体结构的周期性和空间点阵
一、 晶体结构的周期性
自从1912年劳厄等人用X射线衍射实验证实了晶体结构具 有周期性后，几十年来，大量的研究探明了成千上万个晶 体结构，充分肯定了晶体的周期性质。
二、 点阵和结构
点阵定义为在空间中由相同的点排列成的无限阵列，每一 点周围都有相同的环境。 把空间点阵想象为晶体的结构框架，点阵中每一阵点所代 表的周期重复的内容（原子、分子或离子）称为晶体的结 构基元，所以晶体结构可表述为： 晶体结构＝点阵＋结构基元
二、 晶面
通过空间点阵任意三结点的 平面是一个晶面，而且同时 还有一系列等间距的晶面与 之平行，组成一组晶面。例 如，图2－2中的晶面，在三 轴上截距长为1、2、3时； 系数的倒数为：1、1/2、 1/3；将三个倒数乘以最小 公倍数6，得三整数为：6、 3、2，则此晶面的晶面指数 为（632）。
当泛指某一晶面指数时，一般用（hkl）代表。如果晶面 与某坐标轴的负方向相交 时，则在相应的指数上加一负 号来表示。例如，（ hk l ）即表示晶面与z轴的负方向相 交。当某晶面与某坐标轴平行时，则认为晶面与该轴的截 距为∞，其倒数为0。
空间点阵研究表明，晶体结构中晶体结构周期性与对称性，原 子排列的规律分属七个晶系。
四、 四种晶胞类型
1、简单晶胞（P）：这类晶胞仅在阵胞的八个顶点上有结 点，用符号P表示。 2、 底心晶胞（C）：这类晶胞除在阵胞的八个顶点上有 结点外，上下两个面的面心上还有结点，用符号C表示。 3、体心晶胞（I）：这类晶胞除在阵胞的八个顶点上有结 点外，在体心有一个结点，用符号I表示。 4、面心晶胞（F）：这类晶胞除在阵胞的八个顶点上有结 点外，每个面心上都有一个结点，用符号F表示。
三、 晶胞பைடு நூலகம்
结点在三维空间形成的最 小单位 (引出: 晶胞参数： a, b, c; α,β,γ ,也称为轴长 与轴角） 可以把点阵按平行六面体 划分为许多大小、形状相 同的格（称为晶格）。最 简单的格子只有顶角有阵 点。晶体学取能反映对称 性的最小晶格来构成空间 格子。这样的重复单元称 为晶胞（布拉菲晶胞或单 位晶胞）。
七个晶系
Crystal systems
Cubic Tetragonal Hexagonal Rhomboedric Orthorhombic Monoclinic Triclinic
Lattice Paramater
a = b = c , = = = 90° a = b c , = = = 90° a = b c , = = 90° , = 120° a = b = c , = = 90° a b c , = = = 90° a b c , = = 90°, 90° a b c , °
七、 晶体的230种空间群
在晶体结构内部的无限对称图形中，由宏观对称元素和微 观对称元素共同组合成的对称群，称为空间群。了解和识 别空间群十分重要。空间群能提供晶体的全部对称性资料。 一旦知道空间群和每个晶胞中含有几个化学式单位，常常 可推测出原子在晶胞中的位置，这就是晶体结构测定要完 成的工作。 根据俄国晶体学家费多罗夫的精确分析，空间群共有230 种。
b
a
c
• 单位晶胞选取的原则是：见图2－1， 基本矢量a、b、c长 度相等的数目最多，其夹角α、β、γ为直角的数目最多， 且晶胞体积最小为条件。一般称a、b、c及α、β、γ 为 点阵参数或晶胞参数，其中a、b、c又称为点阵常数。
三、 七个晶系
根据点阵参数的外形特征，人们把晶体分为七个晶系（或 六个晶系，菱方用六方晶系表示时）：①立方晶系（C）； ②四方晶系（T）；③六方晶系（H）；④菱方晶系（R）； ⑤正交晶系（O）；⑥单斜晶系（M）；⑦三斜晶系（A）。
§2. 晶体学基础知识
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 晶体的特征 晶体结构的周期性和空间点阵 晶体的定向和 晶面符号 晶面间距、晶面夹角
§2.1 晶体的特征
在自然界的固态物质一般分晶体和非晶体两大类， 绝大多数是晶体，非晶体在一定条件下也可以转 变成晶体。两者的主要差别就在于它们是否具有 周期排列的内部结构。 晶体是由原子、分子或离子等在空间周期地排列 构成的固体物质。在晶体中，原子、分子或离子 等按照一定的方式在空间作周期性规律的排列， 隔一定的距离重复出现，具有三维空间的周期性。